广义对称矩阵的定义
广义(R,S)-对称矩阵
。
…
≤ 一
因 为 Ｒ∈
（ ） 故 有 五，
一 ， ｉ 一 １ … ，）若 Ｒ 为 ｉ 规 矩 阵 ， Ｒ Ｒ— Ｒ Ⅳ 则 Ｐ Ｐ 一 ， ，（ Ｐ “ ， ５ Ｆ ＿ 即 Ⅳ Ｒ ， 如
山东 自然 科 学 基 金 资 助项 目（Ｏ ４ Ｘ１ ） ２ ＯＺ ３ 收 稿 日期 ：０ ７０ －６ ２ ０ －３１
（ ） Ｓ∈ 五 ， （） 五 ．
本文将 给 出此类矩 阵 的基本特 征 与性质 ． 先在第 二 部分 我们 给 出 了ｋ次单 位矩 阵 的性 质 ： 首 如果 ∈ （ ） 那么存 在正 整数 （一１ … ，） 五， ， 五 和矩 阵Ｐ ∈Ｃ 』 得Ｐ Ｐ 一， Ｒ Ｐ ， ｒ 使 Ｕ ， Ｐ 一 这里 为ｋ次单 位根 ，
ｎ ｒ Ｊ订
＾
由此 可 知 一 ， 因此
“
］
．
…
叩
．
姒
ｌ
ｓ
ｆ
＾
（ ．・ Ｐ１． ） Ｐ
１ ． ‘
（） ４
●
姒 Ｊ
设矩 阵 ， 分别 为 ｎ阶和 阶 志次单位 矩 阵 ， ４ 式 可知 由（ ）
ｎ
；
．． ｈ
● ● ●
即 ｆ ｏ ２￣ ｋ ｓ ２￣ ｋ 一 １ … ， ． ＝ｃｓ ｉ／ ＋ｊｉ ｉ／ ， ｎ ， ｋ
在第三 部 分给 出 了广义 ， 对 称矩 阵 Ａ的精 确表 达 式 ， 一 据此 将 方程 Ａ Ｘ＝Ｖ化 成 若 干低 阶方 程 来求
解． 给出 了Ａ 的几类广 义逆 的表达 式．
１ 预 备知 识
令 Ｗ －＇ ， ｋ次单 位根 ， ． 为 Ｒ∈刃 （ ） 设 五， … ， ． Ｒ 的特征 根 ， ｒ 为 这里 １ 。 … ≤ ≤ ≤ ≤五 令 ， ， ， — ． ，≤ 的一组 标 １ ≤５ （） １
第十八讲 广义特征值问题及对称矩阵特征值的极性
于 是 (1) 式 可 写 为 Ax GGT x ， 令
y GT x，则有 x (GT )1 y (G1 )T y ，代入 上式得
A(G1 )T y Gy ，即 G1 A(G1 )T y y 。
1 r s n ，则有
min x0
R(
x)
r
，
max x0
R(
x)
s
。
二、 对称矩阵特征值的极性
定理 3、（ Couanrt hrFsei
）设实对称
矩阵 A 的特征值按 1 2 n 的次序排 列，则 A 的第 k 个特征值
k
min max{xT Ax Vk
xபைடு நூலகம்Vk ,
x
2
1}，
其 中 Vk 是 Rn 的 任 意 一 个 k 维 子 空 间 ，
1 k n。
二、 对称矩阵特征值的极性
2、广义特征值的极小极大原理
定义 4、设 A 、B 为 n 阶实对称矩阵，且
B 正定， x Rn 。称
R(x)
xT xT
Ax Bx
，
x
0
为矩阵 A 相对于矩阵 B 的广义 Rayleigh 商。
二、 对称矩阵特征值的极性
定理 4、非零向量 x0 是 R( x)的驻点的充
推 论 2 、 设 Vnk 1 是 Rn 的 任 意 一 个 n k 1维子空间，则定理 5 或推论 1 的结论
可写成如下形式：
k
max[ min R(x)] ， Vnk1 0 xVnk1
nk 1
min[ max
Vnk1 0 xVnk1
第四章 矩阵
Ch5 P234 习题4（1）
13.正交矩阵
定义7：P370CH9
1.正交矩阵的充要条件
A
（a
）正交（A是实矩阵）
ij
A为正交阵
A1为正交阵
A为正交阵
A*为正交阵
A1 A
2）A正交，则A的特征值的模为1；
3）A正交，则 A 1； 4） A、B正交，则AB正交.
,A )为准对角阵，则 S
秩A=秩A +秩A
1
2
L
秩AS
4）A=diag(A1,A 2 ,L
,A ) S
B=diag(B ,B 1
2
,L
,B ) S
那么 AB diag( A1B1,L , AS BS )
5）A=diag(A1,A 2 ,L
,A ) S
B=diag(B ,B 12
,L
,B ) S
8) 设A为n m复矩阵，则 秩A=秩A=秩AA=秩AA
9) A,B为n n矩阵，AB=0,则 秩A+秩B n,(P200.18)
10) A为n n矩阵, A2 E,则
秩（A+E）+秩(A-E)=n；（P .3） 203
11) A为n n矩阵, A2 A,则
秩A+秩(A-E)=n；（P .4） 203
1）设 A, B 为n阶矩阵，则
① tr(A B) trA trB
② tr(kA) ktrA
③ trA trA ④ trAB trBA
2）A ~ B 那么 trA trB
3) A为n阶方阵，则A的特征多项式为
则有 E A
n
b n1 n1
广义正定矩阵的几点注记
广义正定矩阵的几点注记
王萍
【期刊名称】《湖南理工学院学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2000(013)003
【摘要】首先给出参考文献[2]与[3]中所定义的两类广义正定矩阵之间的关系,然后指出并纠正了参考文献[2]、[3]中的一些错误.
【总页数】4页(P14-17)
【作者】王萍
【作者单位】株洲职业技术学院,湖南株洲 412000
【正文语种】中文
【中图分类】O151.21
【相关文献】
1.关于广义正定矩阵行列式不等式的注记 [J], 李爱华;庹清;乐晓波;谢清明
2.关于"广义正定矩阵与稳定矩阵的关系"的注记 [J], 张金辉
3.广义正定矩阵的几个注记 [J], 许向阳
4.《非对称广义正定矩阵定义的再推广》一文的注记 [J], 李样明;梁茂辉;
5.关于“非对称广义正定矩阵定义的再推广”一文的注记 [J], 吕洪斌;杨忠鹏因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
中心对称矩阵的广义中心对称{1, 4}逆的迭代算法
中心对称矩阵的广义中心对称{1, 4}逆的迭代算法一、广义中心对称矩阵的定义广义中心对称矩阵是一种特殊的矩阵，其特性是当矩阵中每个元素都与矩阵中其他元素进行比较时，其中心位置符合中心对称规律。
这种矩阵可以用以下方法来定义：定义1：设A是n阶实矩阵，若对于任意的m<=n，存在满足s1+…+sm=cn（其中s1,…,sm(m<=n)为矩阵A的第m行元素，cn为A第m行元素的平均值）的行满足上式，则称矩阵A是广义中心对称的。
定义2：设A是n阶实矩阵，若对于任意的m<=n，存在满足t1+…+tm=cm（其中t1,…,tm(m<=n)为矩阵A的第m列元素，cm为A第m列元素的平均值）的列满足上式，则称矩阵A是广义中心对称的。
以上两个定义来说明了什么是广义中心对称矩阵，简而言之，即为平均值的行和列的相互对称。
二、广义中心对称矩阵的逆的迭代算法对于求解广义中心对称矩阵的逆的问题，可以采用迭代算法的方法来求解。
首先，将矩阵A分解为乘积的形式，即A=XAY。
在迭代步骤中，分解矩阵A的乘积XAY，并且设A的逆为Y，根据AY=X，得到Y=XA-1，再将A-1矩阵代入到上式可以得到Y=X2A-2，以此类推可以继续优化结果得到Y=XnA-n，所以最终可以求出A的逆矩阵。
三、示例说明以下给出一个4阶广义中心对称矩阵的一个例子：A=[ 3,2,2,3](all = 10)[2 ,3,3,2](all = 10)[2 ,3,3,2](all = 10)[3,2,2,3](all = 10)可以看出，矩阵A的每一行的元素之和均为10，同时每一列的元素之和也均为10，所以，矩阵A即为广义中心对称矩阵。
接下来就可以使用上文提到的迭代算法来求解A的逆矩阵。
首先，求A的逆矩阵，用Y=XA-1代入A，可得Y=[ 1.2, -0.2，-0.2，1.2][-0.2， 1.2，1.2，-0.2][-0.2 ，1.2，1.2，-0.2][1.2， -0.2，-0.2，1.2]所以最终，可以求出4阶广义中心对称矩阵A的逆矩阵Y。
广义范德蒙矩阵和广义柯西矩阵
广义范德蒙矩阵和广义柯西矩阵全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：广义范德蒙矩阵和广义柯西矩阵是线性代数中常见的两种矩阵类型。
它们在数学领域的作用十分重要，对于解决实际问题和理论推导都具有一定的意义。
本文将从定义、性质和应用等方面，对广义范德蒙矩阵和广义柯西矩阵进行详细介绍。
【广义范德蒙矩阵】我们来了解一下广义范德蒙矩阵。
范德蒙矩阵是一种特殊形式的方阵，它的每一行都是一个等比数列。
具体来说，范德蒙矩阵是由一个向量序列按照特定方式排列而成的矩阵。
通常来说，范德蒙矩阵的第一列是等差数列，第二列是相应等差数列的平方，第三列是相应等差数列的立方，以此类推。
广义范德蒙矩阵是对范德蒙矩阵的推广。
在广义范德蒙矩阵中，每一列都是与前一列满足某种函数关系的向量序列。
最常见的广义范德蒙矩阵是以n次多项式为基础的形式，即第i列的元素是第一个列向量的第i次方。
由此可见，广义范德蒙矩阵是一种更为灵活的矩阵形式，可以适用于更加复杂的数学问题。
对于广义范德蒙矩阵，我们可以定义其一般形式为：\[ V = \begin{bmatrix} v_1 & v_2 & \ldots & v_n \end{bmatrix} \]\(v_i\)表示向量序列的第i个元素。
在实际应用中，广义范德蒙矩阵常常用于拟合数据、插值、解线性方程组等问题，具有广泛的应用价值。
接下来，我们一起了解一下广义柯西矩阵。
柯西矩阵是一种特殊形式的方阵，它的元素之间满足柯西分布的性质。
具体来说，柯西矩阵的每个元素都是由两个向量序列的内积得到的，即第i行第j列的元素为向量序列Ai和向量序列Bj的内积。
广义柯西矩阵是对柯西矩阵的推广。
在广义柯西矩阵中，每个元素仍然是由两个向量序列的内积得到，但是向量序列之间的关系可以更为灵活。
在柯西矩阵中，向量序列可以是一维的，也可以是多维的；可以是等差数列，也可以是符合某种函数规律的。
\[ C = \begin{bmatrix} c_{11} & c_{12} & \ldots & c_{1n} \\c_{21} & c_{22} & \ldots & c_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ c_{m1} & c_{m2} & \ldots & c_{mn} \end{bmatrix} \]\(c_{ij}\)表示向量序列Ai和向量序列Bj的内积。
矩阵方程AX=B的投影广义对称解及最佳逼近问题
则 有
尺＿ Ｒ ＝ Ｐ Ｐ， Ｑ Ｏ．
ｇ理 １ ｌ ．
，
（．） １１
若 矩 阵Ａ ∈ｃ 满秩 分 解 为Ａ＝ Ｇ， ａ的 Ｆ
解及 最小 二乘 问题 的研 究 ．已经 有不 少 文献 ．７在 ［］ －
此 ， 们讨 论 一类 广 义对 称矩 阵ｆ 我 即投 影广 义对 称 矩 阵１ 及其 相关 逼近 问题 ． 首 先 给 出文 中用 到 的一 些 记 号 ， 示 秩 为ｒ ｃ…表 的ｍｘ 复 矩阵 全体 ， 、 ） ｎ Ａ 、 Ｒ 及 ） 分别 表示 矩 阵 Ａ的Ｍｏ ｒ— ｅ ｒ ｅ ｏｅ Ｐ ｎｏ 广义 逆 、共 轭转 置 、值域 与 零 空 ｓ
引 理 １３ 若 矩 阵 Ａ ∈Ｇ Ｓ ～ ． 对 引 理 １ 中 的 ． ＰＣ 则 ． ２
称矩 阵全体 为Ｇ Ｓ 一． 尸Ｃ 由定 义 １１ ．可见 ． 投影 广 义对 称矩 阵是 中心 对 称 矩 阵 的 自然 推广 ．
１ 预 备 知 识
对 投影 矩 阵Ｒ∈ｃＸ 令ｓ ｒｎ （－ ， 由Ｒ（ ａ ｎ ＝ａ ｋ ＩＲ） 则 尺）
秩分解为，Ｒ Ｑ ， ｎ ＝ Ｑ 则有Ｏ Ｑ （— ） Ｑ 因此， — ＝ ＩＲ 及０ ＝． ｎ
令 （ ）结合式（． 可得Ｍ ＝ ＤＩ 为正交 ＝ＰＱ ， １） １ ｌ｛ 当Ｒ ．
ｌＪ Ｏ 投影矩阵时，＝ ０ Ｑ， Ｐｐ，＝ 从而结论成立．
由上述 引理 及投 影广 义对 称矩 阵 的定义 可得
Ｂ∈Ｃ 的 内 积 定 义 为 ， ＞ ｔ ｃ （ ）， 此 内积 ～ Ｂ ＝ｒ ｅ Ｂ ａ 由
（：ｌ Ｐ． Ｍ 中 ｃ － ＝Ｑ ， 其
特 别 ， Ｒ＝ 即 Ｒ为 正 交 投 影 矩 阵 时 ， 为 酉 当 Ｒ， Ｍ
广义行(列)对称矩阵的QR分解及其算法
Ａ ｓｒｃ：Ｔ ｅ ｒｐｒｅ ｎ ｅ Ｒｆｅ ｒ ａｏ ｆ ｅｅａ ｚｄｌＷ（ｏ ｍ ）ｓｍ ｅ ｃ ｔｘｗ ｒ ｓ ｄｅ ，ａｄｓｍｅ ｂ ｔ ｔ ｈ ｏｅ ｉ ａ ｄｔ ｔ ｉ ｔ ｎｏ ｎｒｌｅ ａ ｐ ｔｓ ｈ Ｑ ａ ｏｚ ｉ ｇ ｉ Ｏ ｃｌ ｎ ｙ ｍ ｔ ｒ ｅｅ ｔ ｉ ｕ ｉ ｒ ｍａ ｉ ｕ ｄ ｎ ｏ
Ｌ Ｒ Ｄ ｃｍ ｏｉｏ ｎ ｌ ｒｈ ｒ ｎｔ ｙＳｍ ｅ ｃＭａ ｘ ｈｎｓ ｏｒａ ｏ ｏ ｐ ｔ ｓ ０ ５ ２ （ ） ８ ７—８２ ．Ｑ ｅｏ ｐ ｓｉ ａｄＡｇｉ ｍ ｆ ｉｒ ｙ ｍ ｔ ｔ ．Ｃ ｉｅｅＪｕｎ ｆ ｍ ｕｅ ，２０ ，８ ５ ： １ ｔｎ ｏｔ ｏ Ｕ ａ ｉ ｒ ｉ ｒ ｌ Ｃ ｒ ２）
ｆｃ ｒ ａｏ ｒ ｏ ｒ ｏ ｍ ｙ ｅ ｉ ｍ ｔｘ ｃ ｎｅｏ ｈｎ ：Ｓｒ ｓＡ ０ ２３ （） ４ ａｔ ｉ ｔ ｎｆ ｗｏ ｌ ｎｓｍｍ ｔｃ ａ ．Ｓｉ ｃ ｆ ｉ ｏｚ ｉ ｏ ｒ ｃｕ ｒ ｒ ｉ ｅ Ｃ ａ ｅ ｅ ，２０ ，２９ ：８２—８９ Ｉ ，Ｊ Ｎ ｉ ４ ；ＬＮ Ｘ Ｌ Ｉ Ｇ Ｙ Ａ
袁 晖坪
（ 重庆工商大学 数学与统计学院， 重庆 ４ ０ ６ ） ００７ （ 通信作者 电子邮箱 ｙ ｐ ｔ ．ｄ ．ｎ ｈ ＠ｃ ｕ ｅｕ ｃ ） ｂ
摘
要： 对广义行 （ 对称矩 阵的 Ｑ 列） Ｒ分解和性质进行 了研 究， 出了广义行 （ 对称矩 阵的 Ｑ 给 列） Ｒ分解的公式和
ＹＵＡＮ ｉｐｉ Ｈｕ － ｎｇ （ｃｏｌｆＭａｈｍ ｔｓａｄＳａ，ｉ，Ｃ ｏｇ ｉ ｅｈｏｏｙａ ｕｉ ｓ Ｕ ｉ ｒｔ，Ｃ ｏｇｉｇ４ ０ ６ ，Ｃ ｉａ Ｓｈ ｏ ｏ ｔｅ ａｗ ｎ ｔｒｔｓ ｈ ｎｑｎ Ｔｃｎ ｌ ｎ Ｂ ｓｎ ｓ ｎｖ ｓｙ ｈｎ ｑ ０ ０ ７ ｈｎ ） ｃ ｇ ｇ ｄ ｅ ｅｉ ｎ
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广义对称矩阵的定义
广义对称矩阵是一种特殊的矩阵，它具有对称性和正定性的特点。
在数学中，矩阵是一种非常重要的数学工具，广义对称矩阵则是其中的一种重要类型。
广义对称矩阵的定义是指，对于一个n阶矩阵A，如果存在一个正定矩阵B，使得B^-1AB是对称矩阵，那么A就是广义对称矩阵。
其中，正定矩阵是指所有特征值都大于0的矩阵，对称矩阵是指矩阵的转置等于它本身。
广义对称矩阵的性质非常重要，它们在数学和物理学中都有广泛的应用。
首先，广义对称矩阵具有正定性，这意味着它们的所有特征值都是正数。
这个性质在优化问题中非常有用，因为它可以保证最小值是存在的。
广义对称矩阵具有对称性，这意味着它们的转置等于它们本身。
这个性质在物理学中非常有用，因为它可以保证物理系统的能量守恒。
广义对称矩阵还具有一些其他的性质，比如它们的特征向量是正交的，它们的逆矩阵也是广义对称矩阵等等。
这些性质使得广义对称矩阵在数学和物理学中都有广泛的应用。
广义对称矩阵是一种非常重要的数学工具，它们具有对称性和正定性的特点，这些性质在数学和物理学中都有广泛的应用。
研究广义对称矩阵的性质和应用，对于深入理解数学和物理学都非常有帮助。