河北省衡水中学2022届高三数学六调考试试题 理(含解析)

【答案】D
【解析】
【分析】
将右下角黑色三角形进行移动，可得黑色部分面积等于一个等腰直角三角形加一个直角梯形的面积之和，求解出面积再根据几何概型公式求得结果.
【详解】设正方形的边长为
则①处面积和右下角黑色区域面积相同
故黑色部分可拆分成一个等腰直角三角形和一个直角梯形
等腰直角三角形面积为：
直角梯形面积为：
【分析】
（Ⅰ）根据正弦定理和等比数列的关系建立方程关系即可求角B的大小；（Ⅱ）根据向量的数量积公式进行计算，然后利用三角函数的图象和性质即可判断三角形的形状．
【详解】（I）因为 、 、成等比数列，则 .由正弦定理得 .
又 ，所以 ·因为 ，则 .
因为 ，所以 或 .
又 ，则 ，当且仅当a=c等号成立，即 故 .
【点睛】根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．
A. B. C.1D.
【答案】B
【解析】
试题分析：：∵点 在椭圆 上，∴设 ，∵过椭圆 上一点 作圆 的两条切线，点 为切点，则
∴以O为圆心，以|AM|为半径的圆的方程为 ①．
又圆的方程为 ②．①-②得，直线AB的方程为：
∵过A，B的直线l与x轴，y轴分别交于点P，Q两点，
∴P ，Q ，
∴△POQ面积 ，
考点：本题考查了复数的运算
点评：熟练掌握复数的概念及运算法则是解决此类问题的关键，属基础题
2.已知集合 ， ，则下列结论中正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
试题分析：由 得 ，故 ，选项为C.
考点：集合间的关系.
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3.已知 的面积为2，在 所在的平面内有两点 、 ，满足 ， ，则 的面积为（ ）
考点：对定义的理解能力,三角函数恒等变性, 三角函数图象及性质.
7.已知 ， ， ，则下列选项正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由 ， ， ，则a，b，c的大小比较可以转化为 的大小比较．设f（x） ，则f′（x） ，根据对数的运算性质，导数和函数的单调性，即可比较．
【详解】 ， ， ，
则 错误；
由长方体的性质可知四面体的对棱中点连线
必经过长方体的中心，
由对称性知连接四面体ABCD每组对棱中点的线段相互垂直平分，则 正确；
由 ， ， ，
可得过四面体任意一点的三条棱的长为 的三边长，则 正确．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了棱锥的结构特征与命题真假的判断问题，解题的关键是把三棱锥放入长方体中，属于难题．
∵6π＞0，
∴a，b，c的大小比较可以转化为 的大小比较．
设f（x） ，
则f′（x） ，
当x＝e时，f′（x）＝0，当x＞e时，f′（x）＞0，当0＜x＜e时，f′（x）＜0
∴f（x）在（e，+∞）上，f（x）单调递减，
∵e＜3＜π＜4
∴ ，
∴b＞c＞a，
故选：D．
【点睛】本题考查了不等式的大小比较，导数和函数的单调性，属于难题．
黑色部分面积为：
则所求概率为：
本题正确选项：
【点睛】本题考查几何概型中的面积类问题，属于基础题.
6.定义运算： ，将函数 的图像向左平移 个单位，所得图像对应的函数为偶函数，则 的最小值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
试题分析： ，将函数 化为 再向左平移 （ ）个单位即为: 又为偶函数,由三角函数图象的性质可得,即 时函数值为最大或最小值,即 或 ,所以 ,即 ,又 ,所以 的最小值是 .
10.如下图，第（1）个多边形是由正三角形“扩展“而来，第（2）个多边形是由正方形“扩展”而来，……，如此类推.设由正 边形“扩展”而来的多边形的边数为 ，则 （ ）
A. ；B. ；C. ；D.
【答案】A
【解析】
，猜想 , ,
,故选A.
11.过椭圆 上一点 作圆 的两条切线，点 ， 为切点，过 ， 的直线与 轴， 轴分别交于点 ， 两点，则 的面积的最小值为（ ）
【详解】∵在直观图△A′B′C′中，A′B′＝B′C′＝3，
∴S′ A′B′•B′C′•sin45°
由斜二侧画法的画图法则，可得在△ABC中，AB＝6．BC＝3，且AB⊥BC
∴S AB•BC＝9
则由S＝kS′得k＝2 ，则T＝T （m﹣1）＝T 2（m﹣1）
故执行循环前，S＝9，k＝2 ，T＝0，m＝1，满足进行循环的条件，执行循环体后，T＝0，m＝2
【详解】（1）∵ 是正三角形， 是 中点，
∴ ，即 .
又∵ 平面 ，∴ .
又 ，∴ 平面 .
∴ .
（2）取 中点 ，连接 ，则 平面 ，
又直线 平面 ，EG∩EF=E所以平面 平面 ，所以
∵ 为 中点， ，∴ .
∵ ， ，∴ ，则三角形AMF为直角三角形，又 ，故
（3）分别以 ， ， 为 轴， 轴，轴建立如图的空间直角坐标系，
考点：1.等比数列的求和公式；2.数列的通项公式.
16.若四面体 的三组对棱分别相等，即 ， ， ，则________.（写出所有正确结论的编号）
①四面体 每个面的面积相等
②四面体 每组对棱相互垂直
③连接四面体 每组对棱中点的线段相互垂直平分
④从四面体 每个顶点出发的三条棱的长都可以作为一个三角形的三边长
当且仅当 时取等，此时 即A,O,B三点共线，
结合“柯西函数”定义可知，f(x)是柯西函数 f(x)的图像上存在两点A与B，使得A,O,B三点共线 过原点直线与f(x)有两个交点.
① ,画出f(x)在x＞0时，图像若f(x)与直线y=kx有两个交点，则必有k≥2，此时， ，所以 （x＞0），此时仅有一个交点，所以 不是柯西函数；
∵ 即 ∴
考点：线性规划.
15.已知数列 的前 项和为 ，且 ，则使不等式 成立的 的最大值为________.
【答案】4
【解析】
试题分析：当 时， ，得 ，
当 时， ，所以 ，所以 ，
又因为 适合上式，所以 ，所以 ，
所以数列 是以 为首项，以4为公比的等比数列，
所以 ，
所以 ，即 ，易知 的最大值为4.
（3）求二面角 的余弦值.
【答案】（1）见解析；（2）1；（3） .
【解析】
【分析】
（1）利用线面垂直的判定定理，证明BD⊥平面PAC，可得BD⊥PC；（2）取DC中点G，连接FG，证明平面EFG∥平面PAD，可得FG∥平面PAD，证明三角形AMF为直角三角形，即可求AF的长；（3）建立空间直角坐标系，求出平面PAC、平面PBC的法向量，利用向量的夹角公式，即可求二面角A﹣PC﹣B的余弦值．
【答案】
【解析】
【分析】
由对棱相等知四面体为长方体的面对角线组成的三棱锥，借助长方体的性质判断各结论是否正确即可．
【详解】由题意可知四面体ABCD为长方体的面对角线组成的三棱锥，如图所示；
由四面体的对棱相等可知四面体的各个面全等，
它们的面积相等，则 正确；
当四面体棱长都相等时，四面体的每组对棱互相垂直，
A. B. C. D.1
【答案】C
【解析】
【分析】
画出△ABC，通过 ， 2 ，标出满足题意的P、Q位置，利用三角形的面积公式求解即可．
【详解】由题意 可知，P为AC的中点， 2 ，可知Q为AB的一个三等分点，如图：
因为S△ABC 2．
所以S△APQ ．
故选：B．
【点睛】本题考查向量在几何中的应用，三角形的面积的求法，考查转化思想与计算能力．
∵-1≤sin2θ≤1，
∴当sin2θ=±1时，△POQ面积取最小值 ．
考点：圆与圆锥曲线的综合
12.若函数 在其图象上存在不同的两点 ， ，其坐标满足条件： 的最大值为0，则称 为“柯西函数”，则下列函数：① ：② ：③ :④ .
其中为“柯西函数”的个数为（ ）
A.1B.2C.3D.4
【答案】B
【解析】
（Ⅱ）因为 ，
所以 .所以当 时， 取得最小值.此时 ，于是 .
又 ，从而 为锐角三角形.
点睛】本题主要考查三角形的形状的判断，利用正弦定理和三角函数的公式是解决本题的关键，考查学生的运算能力．
18.在四棱锥 中， 平面 ， 是正三角形， 与 的交点 恰好是 中点，又 ， .
（1）求证： ；
（2）设 为 的中点，点 在线段 上，若直线 平面 ，求 的长；
4.如图，一个空间几何体的正视图、侧视图都是面积为 ，一个内角为60°的菱形，俯视图为正方形，那么这个几何体的表面积为（ ）
A. B. C.8D.4
【答案】D
【解析】
试题分析：因为一个空间几何体的正视图、侧视图都是面积为 ，且一个内角为 的菱形，所以菱形的边长为 ，由三视图可得，几何体是由两个底面正方形的正四棱锥组合而成，底面边长为 ，侧棱长为 ，所以几何体的表面积为： ，故选D．
考点：1、三视图；2、多面体的表面积．
【此处有视频，请去附件查看】
5.七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，被誉为“东方模板”，它是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的.如图所示的是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此点取自黑色部分的概率为（ ）
A. B. C. D.
当T＝0，m＝2时，满足进行循环的条件，执行循环体后，T＝2，m＝3
当T＝2，m＝3时，满足进行循环的条件，执行循环体后，T＝6，m＝4