正四面体外接球面上点的有趣性质
30.四面体
四面体与平行六面体一、一般四面体的性质性质1.任意四面体六个二面角的平分面交于一点，这点到四面体四个面的距离相等，称该点为四面体内切球球心（简称四面体的内心）。
内切球与四面体四个面内切。
若四面体ABCD 的体积为V ，顶点A 所对的侧面面积为A S ，类似的有,,B C D S S S ,则内切球半径3A B C DVr S S S S =+++.性质2.任意四面体六条棱的垂直平分面交于一点，这点到四面体顶点的距离相等，该点称为四面体外接球球心（简称四面体外心）。
外接球通过四面体四顶点。
性质3.任意四面体的四条中线（每一顶点与其对面重心的连线）交于一点，而且该点是中线的四等分点。
性质4.四面体体积公式一：11113333A A B B C C D D V S h S h S h S h ==== 性质5.四面体体积公式之二：1||||sin ,6V AB CD d AB CD =⋅⋅⋅<> （其中d 为AB 、CD 距离）性质6.四面体体积公式二：2sin 2sin 2sin 2sin 2sin 2sin 333333C D AB A D BC A B CD B C DA B D AC A C BDS S S S S S S S S S S S V AB BC CD DA AC BDθθθθθθ======二、特殊四面体的性质（1） 正四面体：各边均相等；（2） （3） 等腰四面体：三组对边分别相等。
三、平行面体像平行四边形是平面图几何的基础一样， 平行六面体是立体几何的基本图形。
性质1.平行六面体的四条体对角线交于一点，且在这一点互相平分，称该点为平行六面体的中心； 性质2.平行六面体的所有体对角线的平方和等于所有棱的平方和。
推论1:平行六面体的所有侧面对角线的平方和等于其所有体对角线平方和的两倍。
推论2：平行六面体的每一侧棱的平方和等于等于与这一侧共面的两侧面四条对角线的平方减去与这一侧棱不共面而共端点的两条侧面对角线平方和所得差的14。
正四面体有趣性质的简单证明
正四面体有趣性质的简单证明
王志和
【期刊名称】《中学教研：数学版》
【年(卷),期】2004(000)010
【摘要】本刊文(1)中给出了正四面体的一个性质：定理正四面体的各个顶点到其外接球面上任何一点的切面的距离之和为定值．
【总页数】2页(P18-19)
【作者】王志和
【作者单位】上海市奉贤中学201400
【正文语种】中文
【中图分类】G633.63
【相关文献】
1.抛物线的几个有趣性质的推广与证明 [J], 李芋宏;李晓菁
2.基础R0-代数的一组有趣性质及其证明 [J], 乔希民
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4.数量积与正四面体的一个有趣性质 [J], 陈世明
5.数学题集锦——1.正四面体的一个有趣性质的证明 [J], 段春华
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探求正四面体外接球、内切球半径求法知识讲解
探求正四面体外接球、内切球半径求法探求正四面体外接球、内切球半径正四面体是特殊的正三棱锥，所有的棱长都相等，四个面是全等的等边三角形，有外接球、内切球，且球心重合.已知正四面体ABCD 棱长为a ，设外接球半径为R ，内切球半径为r ，球心为O ，则正四面体的高h a a 即34R h =；内切球a 即14r h =. 外接球半径是内切球半径的3倍. 下面从不同角度、用不同方法进行探求：方法一：（勾股定理）作 平面于点,则点H 是的中心，AH BCD H BCD ⊥V高3h AH a ==，设O 为球心，则.O AH ∈ 连结,.BH BO 在Rt BOH V 中，222BO BH OH =+，即222()()33R a a R =+-，,.R a r h R a a a ∴==-=-= 方法二：（三角正切倍角公式）作 平面于点,则点H 是的中心，AH BCD H BCD ⊥V高3h AH a ==，设O 为球心，则.O AH ∈ 连结,.BH BO = ,2.AO BO ABO BAO BOH θθ=∴∠=∠∠=Q在Rt ABHV中，tan,23aBHAHθ===在Rt OBHV中，3tan2,3aBHOH r rθ===23r⨯∴==,.r a R h r a a a∴==-=-=方法三：（分割等体积）作平面于点,则点H是的中心，AH BCD H BCD⊥V高3h AH a==，设O为球心，则.O AH∈连结,,,BO CO DO得到四个以O为顶点的小棱锥，它们的底面是正四面体的一个面，高是内切球的半径r，设正四面体每个面的面积为S，则4,O BCD A BCDV V--=即114,33S r S AH⨯=g g11,4412.3124r AH h aR h r a a a∴====-=-=方法四：（侧棱、高相似或三角）作平面于点,则点H是的中心，AH BCD H BCD⊥V22tantan2,1tanθθθ=-Q高3h AH a ==，设O 为球心，则.O AH ∈ 设M 是AB 的中点，连结,,,OM OB BHAO BO OM AB =∴⊥QAMO AHB Rt ∴∠=∠=∠，又MAO HAB ∠=∠，AMO AHB ∴V :V ， AM AO AH AB∴=， 即,aR a =,.R a r h R a a a ∴==-=-= 或：设BAH MAO θ∠=∠=，则在Rt ABH V中，3cos a AH AB aθ==， 在Rt AMO V 中，2cos .aAM AO Rθ==32a aa R∴= ， 以下同上. 方法五：（斜高、高相似或三角）作 平面于点,则点H 是的中心，AH BCD H BCD ⊥V高h AH a ==，设O 为球心，则.O AH ∈ 设E 为BC 中点，连结,AE EH ，作ON AE ⊥于N 点，则N 是ABC V 中心，N 是AE 的三等分点，平面，ON 是内切圆半径r,ON ABC ⊥且 ,Rt ANO Rt AEH V :VAN AO AH AE ∴=，32a R = ，,.43412R a r h R a a a ∴==-=-= 或：设EAH NAO θ∠=∠=，则在Rt AEH V中，cos 2a AH AEθ==， 在Rt ANO V中，3cos .a AN AO Rθ==3aa R∴=， 以下同上. 方法六：（斜高、侧棱相似或三角）作 平面于点,则点H 是的中心，AH BCD H BCD ⊥V高h AH a ==，设O 为球心，则.O AH ∈ 设E 为BC 中点，连结,,AE DE DO ，延长DO 交AE 于N ，则N 是AE 的三等分点，.H DE ∈ 且DN ⊥平面.ABC则,Rt ODH Rt DNE V :V OH OD NE DE∴= 即 OH OD = NE DE 13=， 13r R ∴=， 3.R r ∴=又,R r AH h a +===13,.41244r h a R h a ∴==== 或：在Rt DNE V 中，1sin ,3NE NDE DE ∠== 在Rt DOH V 中，sin sin ,OH NDE ODH OD∠=∠= 13OH OD ∴=， 即13r R =， 3.R r ∴=又,3R r AH h a +===13,.41244r h a R h a ∴==== 方法七：（构造正方体）正四面体的四个顶点是正方体的顶点，此时正四面体的外接球也是正方体的外接球，正四面体的棱长为a的棱长为.2a 正方体的体对角线等于外接球直径，有22a R ⨯=，,.43412R a r h R a a a ∴==-=-= 方法八：（相交弦定理）设外接球球心为O ，半径为R ，过A 点作球的直径，交底面BCD V 于H ，则H 为BCD V 的外心，求得,,33AH a BH a == 由相交弦定理得2(2)).333a R a a -=g解得.4R a =.r h R a a a ∴=-=-= 以上从不同角度针对正四面体的外接球半径、内切球半径作了讨论，从而从不同方面对思维作了训练，不仅对正四面体的外接球半径、内切球半径有了透彻的认识，同时对解题能力的提高是有帮助的.。
与正四面体有关的有趣定值
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特 别地 ， 若 ＝ ４ ， 时平面 即为正 四面 体 此 外接 球 的切 面 ，就 可 以得 到 以下 ： 推论 １正 四面 体各 顶点 到其外 接 求 的任 一切 面 的 距 离 的 平 方 之 和 等 该 正 四 面 体 棱 长 的 平 方 的 两
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正四面体外接球公式
正四面体外接球公式为了推导正四面体外接球的半径公式，首先我们需要先了解一些正四面体的性质。
一、正四面体的性质：1.正四面体的面积公式：一个正四面体的面积可以通过以下公式计算：A=√3*a²，其中a是正四面体的一个边长。
2.正四面体的高公式：一个正四面体的高可以通过以下公式计算：h=(√6/3)*a，其中a是正四面体的一个边长。
3.正四面体的体积公式：一个正四面体的体积可以通过以下公式计算：V=(√2/12)*a³，其中a是正四面体的一个边长。
4.正四面体的垂直高公式：一个正四面体的垂直高可以通过以下公式计算：H=(√6/4)*a，其中a是正四面体的一个边长。
二、正四面体外接球的性质：1.正四面体外接球的半径R，可以通过以下公式计算：R=(√6/4)*a，其中a是正四面体的一个边长。
这是一个重要的结论，可以称之为正四面体外接球半径公式。
推导过程：我们首先使用勾股定理来证明正四面体外接球半径公式。
我们知道正四面体的高是等边三角形高线段的1/3，所以正四面体的高为(√6/3)*a。
又根据正四面体外接球的性质，球的半径，也就是外接球的半径R，正好是正四面体垂直高的2/3倍。
所以我们有：R=(2/3)*(h)。
我们可以把h代入R的公式中，得到：R=(2/3)*((√6/3)*a)=(√6/9)*a。
然而，这个结果与我们之前提到的正四面体外接球半径公式不相符。
所以我们需要检查我们之前提到的正四面体外接球半径公式有没有错误。
我们可以使用三角函数来验证正确性。
正四面体的一个面上的顶角是60度，所以它的两个邻边与外接球的半径之间的夹角也是60度。
根据正余弦定理：cos(60) = a / (2R)。
根据余弦函数的性质：cos(60) = 1/2所以我们可以得到：1/2=a/(2R)即：R=(1/2)*a这可以证明我们的正四面体外接球半径公式是正确的。
综上所述，正四面体外接球半径公式为：R=(1/2)*a或R=(√6/4)*a。
四面体的特殊性原理
四面体的特殊性原理四面体是一个具有四个面的多面体，每个面都是一个三角形。
它是空间中最简单的多面体之一，具有许多特殊性质和原理。
1.形状特性：四面体的最基本特性是其形状。
正四面体是最常见的四面体类型，其四个面都是等边三角形，并且所有的内角也相等。
正四面体具有对称性，每个面都等效地相对于其他三个面。
这种形状特性使得正四面体具有优秀的稳定性和抗力特性。
2.内外共点性：四面体的一个重要特性是其四个顶点共面且共点。
换句话说，四面体的顶点均位于同一平面上，这被称为“共点性”。
这个特性很容易证明，只需考虑四面体的两个对角线，它们必定会相交于一个点。
3.顶点对称性：四面体的另一个重要特性是其顶点的对称性。
四面体的顶点分别对称于其他三个顶点，具有相同的距离和角度关系。
这种对称性使四面体在空间中具有优雅和美学上的特殊性。
4.重心性质：四面体的重心是四个顶点的平均值，即四个顶点的坐标均值。
重心在许多应用中起着重要的作用，例如在计算力学性质时，求解质心是简化计算和分析的关键步骤。
每个面的重心位于该面的中心，而整个四面体的重心位于整个四面体内部的一个点上。
5.体积与高度的关系：四面体的体积可以根据其底面积和高度计算得出。
四面体的高度是从底面到对面顶点上垂线的距离。
根据勾股定理，四面体的高度可以通过底边长和平行于对面底边的高边的长度计算得出。
四面体的体积是其底面积和高度的乘积的1/3倍。
6.四面体剖分：四面体可以通过不同的剖分方式展示其特殊性质。
例如，当将四面体通过从顶点到对面底边作垂线分成两个小的四面体时，这两个小的四面体与原始四面体具有相似性质。
该剖分方式可以应用于几何中的许多问题，例如计算体积和表面积。
7.点与平面的关系：一个点可以描述为一个四面体的顶点，而四面体的三个面可以描述为三个相交的平面。
这种关系在几何学和图形学中得到广泛应用，例如在计算射线与平面的交点时。
8.斜四面体的稳定性：斜四面体是指四个面都是三角形，但不满足等边性质的四面体。
球内接四面体与球外接四面体
球内接四面体与球外接四面体四面体是一种特殊的多面体，具有四个面和四个顶点。
在四面体中，我们可以找到两种特殊情况：球内接四面体和球外接四面体。
本文将讨论这两种四面体及其特点。
一、球内接四面体球内接四面体是指四面体的四个顶点都处于同一个球的表面上且该球同时与四面体的四个面相切。
换句话说，球心在四面体的内部，球面与四面体的相切。
例子1：正四面体是一个球内接四面体。
它的四个顶点位于一个以中心为球心的球面上，且四个面都与该球面相切。
在球内接四面体中，我们可以观察到以下特点：1. 球心到四个顶点的距离相等：由于四个顶点都在同一个球面上，因此球心到每个顶点的距离相等。
2. 四边形的性质：任意三个顶点决定一个平面，该平面与球心构成的直线垂直相交，因此四个面都是三角形，相邻面之间的边构成四个边相等的四边形。
3. 体积关系：球内接四面体的体积可以通过以下公式计算：V =(r^3) * (4/3) * π，其中r为球内接四面体的球半径。
二、球外接四面体球外接四面体是指四面体的四个面都与同一个球的表面相切，球心位于四面体所在的平面外部。
例子2：正二十面体是一个球外接四面体。
四面体的四个面都与外接球的球面相切。
在球外接四面体中，我们可以观察到以下特点：1. 球心至四面体各面的距离相等：由于四个面都与同一个球表面相切，因此球心到每个面的距离相等。
2. 三个顶点共面：在球外接四面体中，任意三个顶点都共面，即它们处于同一个平面上。
3. 体积关系：球外接四面体的体积可以通过以下公式计算：V =(a^3) * (4/3) * √2 / 12，其中a为球外接四面体的棱长。
综上所述，球内接四面体和球外接四面体分别具有不同的特点和性质。
球内接四面体的四个顶点位于一个球面上，而球心在四面体内部；而球外接四面体的四个面与同一个球的球面相切，球心位于四面体所在的平面外部。
对于这两种四面体而言，它们的体积与边长之间存在一定的关系，可通过相应的公式计算得出。
正四面体相关结论
正四面体相关结论正四面体是一种具有特殊性质的几何图形，它由四个相等的正三角形组成，每个角都是60度。
在正四面体中，有一些重要的结论和性质，这些结论和性质在解决相关的几何问题时非常有用。
1、中心与顶点之间的关系正四面体的中心到四个顶点的距离相等，也就是说，中心是四个顶点所组成的菱形的中心。
这个结论可以用于计算正四面体的半径和中心到顶点的距离。
2、边长与高之间的关系正四面体的边长和高之间有一个重要的关系，即高是边长的2/3。
这个结论可以用于计算正四面体的高，也可以用于解决与正四面体的边长和高有关的问题。
3、体积与半径之间的关系正四面体的体积与半径之间有一个重要的关系，即体积是半径的立方根。
这个结论可以用于计算正四面体的体积，也可以用于解决与正四面体的体积和半径有关的问题。
4、三个两两垂直的平面相交于一点在正四面体中，三个两两垂直的平面相交于一点，这个结论可以用于解决与正四面体的三个两两垂直的平面相交有关的问题。
5、相对的两条边互相垂直在正四面体中，相对的两条边互相垂直，这个结论可以用于解决与正四面体的相对的两条边互相垂直有关的问题。
正四面体的一些重要结论和性质在解决相关的几何问题时非常有用，这些结论和性质可以帮助我们更好地理解和解决正四面体的问题。
正四面体外接球和内切球的半径的求法在几何学中，正四面体是一种具有特殊性质的几何形态。
它由四个相等的正三角形构成，每个面都是一个等边三角形。
这种几何形态在许多领域都有广泛的应用，包括物理学、化学、工程学等。
在解决实际问题时，我们常常需要找出正四面体的外接球和内切球的半径。
下面将介绍两种求法。
第一种方法是通过几何计算直接求解。
首先，我们需要找到正四面体的中心点。
这个点可以通过连接正四面体的四个顶点并取其中间位置来找到。
一旦找到了中心点，我们就可以通过连接这个点和正四面体的各个顶点，找到外接球的球心。
外接球的半径就是从球心到正四面体顶点的距离。
内切球的半径则是从球心到正四面体四个面的中心的距离。
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正四面体外接球面上点的有趣性质
正四面体外接球面是一种把小球装在一个正四面体框中的拼装
形式，被称为大喇叭形或正四面体球。
正四面体外接球面上的点的有趣性质被找到已经有数千年的历史，它们是难以想象的极端和精妙结构，体现在正四面体外接球面上的点的有趣性质来自于有趣的历史和结构。
首先，正四面体外接球面上的点具有“定位术”的有趣性质。
当球面上的点被定位时，它们将有序的排列，就像在电脑游戏中的点一样。
这得益于正四面体外接球面的结构，即一个拼起来的小球，使每个小球拥有不同的位置和方向，以及“钥匙点”和“锁点”的特殊位置。
因此，当球面上的点被定位时，它们就可以使用“定位术”来保持有序排列，这就是正四面体外接球面上点的有趣性质。
此外，正四面体外接球面上的点还具有“回旋轨迹”的有趣性质。
在球面上，每个点都将有自己的回旋轨迹，即一个点可以在球面上沿着一条特定方向旋转，并且在一定的时间范围内在球面上走一定的距离。
由于正四面体外接球面的结构，每一个小球都有自己的回旋轨迹，就像一个小行星在太阳系中环绕太阳一样。
因此，在正四面体外接球面中，每一个点都有着自己的回旋轨迹，这就是正四面体外接球面上点的有趣性质。
最后，正四面体外接球面上的点还具有“紧密结构”的有趣性质。
正四面体外接球面是由一组小球拼起来而成，该组小球非常紧密地拼在一起，构成了一个超级原子（superatom）。
大喇叭形就如同一个超
级原子，它的小球是由紧密的原子连接在一起的。
所以，正四面体外接球面上的点具备了“紧密结构”的有趣性质，这也是它最有趣的一面。
综上所述，正四面体外接球面上的点具有许多有趣的性质，包括“定位术”、“回旋轨迹”和“紧密结构”。
这些性质使正四面体外接
球面变得极其有趣，并且也提供了有趣的定理和结构，正四面体外接球面上的点也就受到了关注。
从这些有趣的性质中，可以推断出令人着迷的未来，以及此类外接球面上的研究可能会取得的成就。
正四面体外接球面上的点的有趣性质表明，正四面体球的形状和结构的可能性是无限的，它们包括令人惊叹的有趣性质和深刻的理论，使其成为一种有趣的学科。
在未来，会有更多对正四面体外接球面上点有趣性质的研究，为人类带来更多有趣的发现，同时也开辟出更多视野，以期发现更多有趣的发现。