一元一次不等式组解题技巧
一元一次不等式组解题技巧
一、重点难点提示
重点:理解一元一次不等式组的概念及解集的概念。
难点:一元一次不等式组的解集含义的理解及一元一次不等式组的几个基本类型解集的确定。
二、学习指导:
1、几个一元一次不等式合在一起,就组成了一个一元一次不等式组。但这“几个一元一次不等式”必须含有同一个未知数,
2、前面学习过的二元一次方程组是由二个一次方程联立而成,在解方程组时,两个方程不是独立存在的(代入法和加减法本是独立的,而且组成不等式组的不等式的个数可以是三个或多个。(课本上主要学习由两个一元一次不等式组成的不等式组)。
3、在不等式组中,几个一元一次不等式的解集的公共部分,叫做由它们组成的一元一次不等式组的解集。(注意借助于数轴
4、一元一次不等式组的基本类型(以两个不等式组成的不等式组为例)
类型(设a>b)不等式组的解集数轴表示
)(同大型,同大取大)?
2)(同小型,同小取小)?
3)(一大一小型,小大之间)?
4)(比大的大,比小的小空集)无解?
三、一元一次不等式组的解法
例1.解不等式组并将解集标在数轴上
分析:解不等式组的基本思路是求组成这个不等式组的各个不等式的解集的公共部分,在解的过程中各个不等式彼此之间无关“组”的角度去求“组”的解集,在此可借助于数轴用数形结合的思想去分析和解决问题。
步骤:
解:解不等式(1)得x> (1)分别解不等式组的每
解不等式(2)得x≤4一个不等式
∴(2)求组的解集
(借助数轴找公共部分)
(利用数轴确定不等式组的解集)
∴原不等式组的解集为 ∴(4)将解集标在数轴上 例2.解不等式组 解:解不等式(1)得x>-1, 解不等式(2)得x≤1, 解不等式(3)得x<2, ∴∵在数轴上表示出各个解为: ∴原不等式组解集为-1 注意:借助数轴找公共解时,应选图中阴影部分,解集应用小于号连接,由小到大排列,解集不包括-1而包括1(2)来画。 例3.解不等式组 解:解不等式(1)得x>-1, 解不等式(2), ∵≤5, ∴-5≤x≤5, ∴ 将(3)(4)解在数轴上表示出来如图, ∴原不等式组解集为-1 四、一元一次不等式组的应用。 例4.求不等式组的正整数解。 步骤: 解:解不等式3x-2>4x-5得:x<3,1、先求出不等式组解不等式≤1得x≤2, 的解集。 ∴2、在解集中找出它 所要求的特殊解,∴原不等式组解集为x≤正整数解。 ∴这个不等式组的正整数解1、2。? 例5.m为何整数时,方程组的解是非负数 分析:本题综合性较强,注意审题,理解方程组解为非负数概念,即。先解方程组用m的代数式表示x, y, 再运列出不等式组寻求m的取值范围,最后切勿忘记确定m的整数值。? 解:解方程组得 ∵方程组的解是非负数,∴ 即 解不等式组∴此不等式组解集为≤m≤, 又∵m为整数,∴m=3或m=4。 例6.解不等式<0. 分析:由“”这部分可看成二个数的“商”此题转化为求商为负数的问题。两个数的商为负数这两个数异或(2) 因此,本题可转化为解两个不等式组。? 解:∵<0, ∴或(2) 由(1) ∴无解, 由(2) ∴? ∴原不等式的解为- 例7.解不等式-3≤3x-1<5. 解法(1):原不等式相当于不等式组 解不等式组得- ≤,∴原不等式解集为- ≤? 解法(2):将原不等式的两边和中间都加上1,得-2≤3x<6, 将这个不等式的两边和中间都除以3得, - ≤∴原不等式解集为- ≤? 例取哪些整数时,代数式与代数式的差不小于6而小于8。分析:(1)“不小于6”即≥6, (2) 由题意转化成不等式问题解决, 解:由题意可得,6≤- <8, 将不等式转化为不等式组, ∴ ∴解不等式(1)得x≤? 解不等式(2)得x>- , ∴∴原不等式组解集为- ∴- ∴当x取±3,±2,±1,0,4,5,6时两个代数式差不小于6而小于8。? 例9.有一个两位数,它十位上的数比个位上的数小2,如果这个两位数大于20并且小于40,求这个两位数。 分析:这题是一个数字应用题,题目中既含有相等关系,又含有不等关系,需运用不等式的知识来解决。题目中有两个主要未个位上的数=十位上的数+2,一个不等关系:20<原两位数<40。 解法(1):设十位上的数为x, 则个位上的数为(x+2), 原两位数为10x+(x+2), 由题意可得:20<10x+(x+2)<40, 解这个不等式得,1 ∵x为正整数,∴ 1 ∴当x=2时,∴? 当x=3时,∴10x+(x+2)=35, 答:这个两位数为24或35。 解法(2):设十位上的数为x, 个位上的数为y, 则两位数为10x+y, 由题意可得(这是由一个方程和一个不等式构成的整体,既不是方程组也不是不等将(1)代入(2)得,20<11x+2<40, 解不等式得:1 ∵x为正整数,1 ∴当x=2时,y=4,∴? 当x=3时,y=5, ∴? 答:这个两位数为24或35。 解法(3):可通过“心算”直接求解。方法如下:既然这个两位数大于20且小于40,所以它十位上的数只能是2时,个位数为5,所以原两位数分别为24或35。 例10.解下列不等式: (1)| |≤(2) <0; (3)(3x-6)(2x-1)>0. (1)分析:这个不等式不是一元一次不等式,因此,不能用解一元一次不等式的方法来解。但由绝对值的知识|x (a>0)则x>a或x<-a. 解:| |≤-4≤≤4, ∴由绝对值的定义可转化为: 即 解不等式(1),去分母:3x-1≥解不等式(2)去分母:3x-1≤8, 移项:3x≥移项:3x≤8+1, 合并同类项:3x≥合并同类项:3x≤9, 系数化为1,∴≥- , 系数化为1:∴x≤3, ∴,∴原不等式的解集为- ≤≤3. (2)分析:不等式的左边为是两个一次式的比的形式(也是以后要讲的分式形式),右边是零。它可以由除法的符号法则可知,只要被除式与除式异号,商就为负值。因此这个不等式的求解问题,可以转化为解一元一次 解:∵<0, ∴3x-6与2x+1异号, 即:I 或II 解I的不等式组得, ∴不等式组无解, 解II的不等式组得, ∴不等式组的解集为- ∴原不等式的解集为- (3)分析:不等式的左边是(3x-6)(2x+1)为两个一次式的积的形式,右边是零。它可以理解为“当x取何值时,两两个因式同号,积就为正值。因此这个不等式的求解问题,也可以转化为解一元一次不等式组的问题。 解:∵(3x-6)(2x+1)>0, ∴(3x-6)与(2x+1)同号, 即I 或II 解I的不等式组得, ∴不等式组的解集为x>2, 解II的不等式组得, ∴不等式组的解集为x<- , ∴原不等式的解集为x>2或x<- . 说明:ab>0(或>0)与ab<0(或<0)这两类不等式都可以转化为不等式组的形式,进行分类讨论。这类问题(1)ab>0(或>0), ∴、b同号, 即I 或II , 再分别解不等式组I和II, 如例10的(3)题。? (2)ab<0(或<0), ∵ab<0(或<0), ∴、b异号, 即I 或II , 再分别解不等式组I和不等式组II。 例11.已知整数x满足不等式3x-4≤6x-2和不等式-1< , 并且满足方程3(x+a)=5a-2试求代数式5a3-分析:同时满足两个不等式的解的x值实际是将这两个不等式组成不等式组,这个不等式组的解集中的整数为x值。 出a值,再将a代入代数式5a3- 即可。? 解:∵整数x满足3x-4≤和-1< , ∴x为,解集的整数值, 解不等式(1),得x≥- , 解不等式(2)得,x<1, ∴的解集为- ≤? ∴- ≤x<1的整数x为x=0, 又∵x=0满足方程3(x+a)=5a-2, ∴将x=0代入3(x+a)=5a-2中, ∴∴a=1, 当a=1时,5a3- =5×13- =4 , 答:代数式5a3- 的值为4.。 测试 选择题 1.解下列不等式组,结果正确的是() A、不等式组的解集是x>3 B、不等式组的解集是-3 C、不等式组的解集是x<-1 D、不等式组的解集是-4 2.不等式组的解集是() A、x>1 B、x<3 C、x<1或x>3 D、1 3.不等式组的解集是() A、x<1 B、x>1 C、x<2 D、无解 4.如果不等式组有解,那么m的取值范围是:()A、m>8B、m≥8C、m<8D、m≤8 5.使两个代数式x-1与x-2的值的符号相同的x取值范围是() A、x>2 B、x<1 C、x<1或x>2 D、x>1或x<2 答案与解析 答案:1、D2、D3、D4、C5、C 解析: 2.分析:由(1)得x<3,由(2)得x>1∴1 3.分析:先解不等式,看是否有解,由(1)得x<1,由(2)得x>2,两者无公共部分,所以选D。答案:D 5.因x-1与x-2的值的符号相同,所以 或 可求得x>2或x<1. 所以选C. 注:比较简单,应该全部正确。 一元一次不等式和它的解法 考点扫描: 1.了解一元一次不等式的概念. 2.会用不等式的基本性质解一元一次不等式. 名师精讲: 一元一次方程:只含有一个未知数,并且未知数的次数是1,系数不等于0的不等式,叫一元一次不等式.其标1.一元一次不等式经过去分母、去括号、移项、合并同类项等变形后,能化为ax>b或axb或ax 中考典例: 1.解不等式–(x–1)<1,并把它的解集在数轴上表示出来. 考点:一元一次不等式的解法 评析:一元一次不等式的解法与一元一次方程的解法相类似,只要注意不等式性质3的运用.该题可先去分母(不要漏乘得出解集,解题过程如下: 解:原不等式化为:x–2–2(x–1)<2 x–2–2x+2<2 即:-x<2 ∴x>–2. 它在数轴上表示为: 2.(河北省)在一次“人与自然”知识竞赛中,竞赛试题共有25道题,每道题都给出4个答案,其中只有一个答案不选或选错倒扣2分.如果一个学生在本次竞赛中的得分不低于60分,那么,他至少选对了________________道题. 考点:一元一次不等式的应用 评析:可设选对了x道,那么选错或不选的共有(25–x)道题。根据题意,可以列不等式为4x–2(25–x)≥60,解不 说明:列不等式解的应用题,一般所求问题有至少、或最多、或不低于等词的要求,要正确理解这几个词的含义. 3.商场出售的A型冰箱每台售价2190元,每日耗电量为1度,而B型节能冰箱每台售价虽比A型冰箱高出10%一折后的售价为原价的),问商场至少打几折,消费者购买才合算(按使用期为10年,每年365天,每度电元计算)考点:一元一次不等式的应用 评析:列一元一次不等式解应用题首先要弄清题意,设出适当的未知数.消费者要买A型冰箱,10年的花费用比B型少才 +365×10×1×,B型10年的费用为2190×(1+10%)+365×10××,根据题意得不等式2190×+365×10×1×打八折,解题过程如下:? 解:设商场将A型冰箱打x折出售,消费者购买才合算 依题意,有 2190×+365×10×1×≤×(1+10%)+365×10×× 即219x+1460≤+803 解这个不等式,得x≤? 答:商场应将A型冰箱至少打八折出售,消费者购买才合算. 真题专练: 1.不等式7–2x> 1的正整数解是. 2.若代数式+2x的值不大于代数式8 –的值,那么x的正整数解是. 3.恩格尔系数表示家庭日常饮食开支占家庭经济总收入的比例,它反映了居民家庭的实际生活水平,各种类型家 家庭类型贫困家庭温饱家庭小康家庭发达国家家庭最富 思格尔系数(n) 75%以上50%—75% 40%—49% 20%—39% 则用含n的不等式表示小康家庭的恩格尔系数为____________. 4.(杭州市)x的2倍减3的差不大于1,列出的不等式是() A、2x–≤1 B、2x–3≥1 C、2x–3<1 D、2x–3>1 5.(内江市)解不等式≥ 6.(安徽省)解不等式3x–2(1–2x)≥1,并把解集在数轴上表示出来. 作品编号:DG13485201600078972981 创作者:玫霸* (1)2X-4≤X+2 与X≥3 解集为3≤X≤6 (2)2X-1>1 与4-2X≤0 解集为无解 (3)3X+2>5 与5-2≥1 解集为1<X≤2 (4)X﹣1<2 与2X+3>2+X 解集为-1<X<3 (5)X+3>1 与X﹢2(X-1)≤1 解集为-2<X≤1 (6)2X+1≤3 与X>-3 解集为1≤X>-3 (7)2X+5>1 与3X+7X≤10 解集为1≥X>2 (8)2X-1>X+1 与X+8<4X-1 解集为X>3 (9)1-2(X-1)≤5与2/(3X-2)<X+1/2解集为-1≤X<3 (10)2X≤4+X 与X+2<4X-1解集为1<X≤4 (11)2-X>0 与2/(5X+1)+1≥3/(2X-1)解集为-1≤X <2 (12)1-X<0 与2/(X-2)<1 解集为1<X<4 (13)2-X<3 与2-X≥0 解集为2≥X>1 (14)2X+10>-5 与6X-7≥10 解集为X>17/6 (15)6X+6>8 与3X+10<5 解集为-(3/5)>X>-3 (16)6X+6X24 与10X+(1/2)X<-42 解集为无解 (17)24X-20X>4 与8X+4X≤24解集为2≥X>1 (18)9X-5X<8 与15X+5X>80 解集为无解 (19)X+X≤1 与2X+(1/2)X>100 解集为无解 (20)2011X-2012X≤1 与2013X-2012X≥1 解集为1≤X (21)4X-X>6 与10X+5X<15 解集为无解 (22)-5X-6X≤-22 与5X-9X≥24 解集为无解(23)(1/5)X+(1/5)X>2/5 与X+10X>22 解集为X>2 (24)55X+55X<220 与66X+10X<38 解集为X<1/2 (25)70X+1≤71 与53X-13X≤40 解集为X≤1 (26)X+1<7 与X-1>10 解集为无解 (27)5X+5>5 与2X+3X>9 解集为X>9/5 (28)85X-5X <8 与50X+30X<5 解集为X<1/16 (29)2X≤14 与6X <6 解集为X<1 (30)15X+15≥30 与6X-8X≥4 解集为-2≥X≥1 (31)2X≥160 与4X≥316 解集为X≥80 (32)35X-27X >136 与20X+20X<800解集为20>X>17 (33)55X≤165 与56X>112 解集为2<X≤3 (34)20X+18X≥76 与2X≥2 解集为X≥2 (35)59X+X>600 与55X+35X<1350 解集为10<X< 一元一次不等式和一元一次不等式组基础练习 一. 填空题 1. 用不等式表示:x 的2倍与1的和大于-1为__________,y 的1 3与t 的差的一半是负数为_________。 2. 有理数a 、b 在数轴上的对应点如图所示,根据图示,用“>”或“<”填空。 b 0 a (1)a +3______b +3;(2)b -a_______0 (3)- a 3______- b 3;(4)a +b________0 3. 若0??的解集是____________ 9. 若不等式组2123 x a x b -<->???的解集是-<<11x ,则()()a b +-11的值为___________ 10. 如果不等式20x m -≥的负整数解是-1,-2,则m 的取值范围是_________ 二. 选择题(每小题3分,共24分) 11. 若a>b ,则下列不等式中一定成立的是( ) A. b a <1 B. a b >1 C. ->-a b D. a b ->0 12. 与不等式325 1-≤-x 的解集相同的是( ) A. 325-≥x B. 325-≤x C. 235x -≥ D. x ≤4 13. 不等式x x --<-32 1313的负整数解的个数有( ) A. 0个 B. 2个 C. 4个 D. 6个 14. 不等式组1241323-<-≤-?????x x x 的整数解的和是( ) A. 1 B. 0 C. -1 D. -2 15. 下列四个不等式:(1)ac>bc ;(2)-<-ma mb ;(3)ac bc 22>;(4)-≤-ac bc 22中, 《9.3一元一次不等式组》(2)翻转课教学设计表(网上自主学习+课堂互助探究) 习 网上、网下 发布的任 务 任务一、认真观看微课《解不等式组》和《解含有字母的一元一次不等式组》, 弄清楚以下任务: 1)能正确地解一元一次不等式组。 2)解含有字母的一元一次不等式组。 任务二、认真阅读教材《9.3一元一次不等式组》相关的内容,勾画重点,并 提出你的问题。 任务三、看完微课后,认真完成预习小测(小牛试刀) 学生的完 成情况 1.认真完成作业客观题,拍照上传作业。 有42位同学全部提交课本预习,课本预习同学们都很认真,4位同学不合格,合格率90.4% 。 2.预习小测完成情况: 学生的问题归纳(共性问题和个性问题)个性问题: 1、去分母漏乘。 2.系数化为1时,当系数为负数时,学生易忘记不等号的改变。共性问题: 1、含参数的不等式组字母的取值范围。 五课堂互助探究教学目标 1.熟悉一元一次不等式组的解集规律; 2.几个一元一次不等式含有参数的字母的取值范围; 3.体会数形结合,类比,化归思想。 4.培养学生团队合作精神,不畏挫折勇于探究的精神。 教师活动学生活动设计意图 预设 时间 活 动 一 展示学生课前预习、任务完成情况 反思 让学生了解自己 是否预习到位, 表扬先进,激励 后进。 2 分 钟 活 动 二 知 识 回 顾 默读 唤醒学生对已有 知识的回顾,建 构知识网络,形 成解题方法。 3 分 钟 活 动 三 典 例 精 析 做一做,2 个学生上 黑板展示, 其他学生 独自作答。 找出学生的错 误,再纠正其错 误,调动学生参 与课堂活动的积 极性。从而培养 学生数形结合的 思想及化归的思 想。 6 分 钟 一元一次不等式组练习题 一.解下列一元一次不等式组 1.?????? >-<-322,352x x x x 2.?????->---->-.6)2(3)3(2,132x x x x 3.?????+>-≤+).2(28,142x x x 4.()324 2+1 1 3x x x x --???≥-??< 5.()()281043141126x x x x +≤--???-+-??< 6. ???????<+->+--.1)]3(2[21,312233x x x x x 7.?????????? >-->-->-24,2 55, 13x x x x x x 8. 32472x -≤-< 9..234512x x x -≤-≤- 二.解答题: 10.求不等式组 () 324 12 1 4 x x x x --≤ ? ? ?- - ? ? < 的整数解. 11.求不等式组 () 1 212 3 73+4 34 25 x x x x ? --≤ ?? ?? ?? ? - ?-- ?? > 的负整数 解 12.求不等式组 5 13 2 2110+15 5 364 x x x x x + ? - ?? ? - ?-≥- ?? < 的非负整数解. 三..列不等式组解应用题 13.一工厂要将100吨货物运往外地,计划租用某运输公司甲、乙两种型号的汽车共6辆一次将货物全部运动,已知每辆甲型汽车最多能装该种货物16吨,租金800元,每辆乙型汽车最多能装该种货物18吨,租金850元,若此工厂计划此次租车费用不超过5000元,通过计算求出该公司共有几种租车方案?请你设计出来,并求出最低的租车费用. 《一元一次不等式组》说课稿 说课内容:《一元一次不等式组》 教材分析: 上节课学习了一元一次不等式,知道了一元一次不等式的有关概念,本节主要学习一元一次不等式组及其解集,这是学好利用一元一次不等式组解决实际问题的关键,同时要求学生会用数轴确定解集。并且本课也通过一元一次不等式,一元一次不等式的解集,解不等式的概念来类推学习一元一次不等式组的一些概念,尝试对学生类比推理能力进行培养。在情感态度、价值观方面要培养学生独立思考的习惯,也要培养学生的合作交流意识与创新意识,为学生在今后生活和学习中更好运用数学作准备。 教学重点:1、理解有关不等式组的概念。 2、会解由两个一元一次不等式组成的不等式组。 教学难点:在数轴上确定解集。 教学难点突破办法: 一般由两个一元一次不等式组成的不等式组由四种基本类型构成,它们的解集、数轴表示,学生很难确定,用顺口溜的方式解决问题,即:大大取大;小小取小;比小大,比大小,中间找;比小小,比大大,解不了(无解)。 学生分析: 学生已经学习了一元一次不等式,并会解简单的一元一次不等式,知道了用数轴表示一元一次不等式的解集分三步进行:画数轴、定界点、走方向。本节我们要学习一元一次不等式组,因此由一元一次不等式猜想一元一次不等式组的概念学生易于接受,同时能更好的培养学生的类比推理能力。本节所选例题也真正的实现了低起点小台阶,循序渐进,能使学生更好的掌握知识。 教学方法: 1、采用复习法查缺补漏,引导发现法培养学生类比推理能力,尝试指导法逐步培养学生独立思考能力及语言表达能力。充分发挥学生的主体作用,使学生在轻松愉快的气氛中掌握知识。 2、让学生充分发表自己的见解,给学生一定的时间和空间自主探究每一个问题,而不是急于告诉学生结论。 3、尊重学生的个体差异,注意分层教学,满足学生多样化的学习需要。 学习方法: 1、学生要深刻思考,把实际问题转化为数学模型,养成认真思考的好习惯。 2、学生做题要紧扣不等式基本性质,特别是不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数时,要认真检查不等号的方向是否正确。 3、合作类推法:学习过程中学生共同讨论,并用类比推理的方法学习。 教学步骤设计如下: (一)创设问题情境,引入新课: 让学生从字面上来推断一下一元一次不等式和一元一次不等式组之间是否存在一定的关系。并由验证猜想是否正确引人课题。 学生活动:猜想和推断一元一次不等式和一元一次不等式组的关系。 (二)讲授新课 1、想一想: 出示一个实际问题,请大家先理解题意,搞清已知条件和未知元素,从而确定用那个知识点来解决问题,即把实际问转换为数学模型,从而求解。通过学生的分析和解答,让学生根据一元一次不等式的有关概念来类推一元一次不等式组的有关概念。 学生活动:找出已知条件,列出所有的不等关系。互相讨论,类推概念。 一元一次不等式组计算题 1. ???-≤+>+1 45321x x x x 2. 31422x x x ->??<+? 3. 512324x x x x ->+??+ 4. 21241x x x x >-??+<-? 5. 230 320x x -?+>? 6. 23182x x x >-??-≤-? 7. 253(2)123x x x x +≤+??-?? 8. ?????+≥--<+-132 15423x x x x x )( 9. ?? ???-≤-+>+31 2214513x x x x )( 10. ?????>+-≥+x x x x 4121213)( )( 11. ?? ? ??+<-<->+4 120520 13x x x x 12. ?????+<++≤--->+3.22.05.02832)1(42x x x x x x 13. ? ??-≤+>+145321x x x x 14. 314,2 2.x x x ->??<+? 15. 230320x x -?+>? 16. 512,324.x x x x ->+??+ 17. 21, 24 1.x x x x >-??+<-? 18. 2 51,3311.48x x x x ?+>-????-<-?? 19. 3(2)451312 x x x x x -+? ?--≥+?? 20. 312(1)2(1)4x x x x +≥-??+>? 21. ?????-≥-->+35663 4)1(513x x x x 22. ??? ??-≤-+>+3122145)1(3x x x x 一元一次不等式和一元一次不等式组提高题 一、填空题: 1、若x A 、x ≥-1 B 、x >1 C 、-3 人教版七年级数学下册 一元一次不等式组(基础)知识讲解 【学习目标】 1.理解不等式组的概念; 2.会解一元一次不等式组,并会利用数轴正确表示出解集; 3.会利用不等式组解决较为复杂的实际问题,感受不等式组在实际生活中的作用. 【要点梳理】 要点一、不等式组的概念 定义:一般地,关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起,就组成了一元一次不等式 组.如 25 62010 x x -> ? ? -< ? , 70 2116 3159 x x x -> ? ? +> ? ?+< ? 等都是一元一次不等式组. 要点诠释: (1)这里的“几个”不等式是两个、三个或三个以上. (2)这几个一元一次不等式必须含有同一个未知数. 要点二、解一元一次不等式组 1. 一元一次不等式组的解集:一元一次不等式组中几个不等式的解集的公共部分叫做这个一元一次不等式组的解集. 要点诠释: (1)找几个不等式的解集的公共部分的方法是先将几个不等式的解集在同一数轴上表示出来,然后找出它们重叠的部分. (2)有的一元一次不等式组中的各不等式的解集可能没有公共部分,也就是说有的不等式组可能出现无解的情况. 2.一元一次不等式组的解法 解一元一次不等式组的方法步骤: (1)分别求出不等式组中各个不等式的解集. (2)利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分即这个不等式组的解集. 要点三、一元一次不等式组的应用 列一元一次不等式组解应用题的步骤为:审题→设未知数→找不等关系→列不等式组→解不等式组→检验→答. 要点诠释: (1)利用一元一次不等式组解应用题的关键是找不等关系. (2)列不等式组解决实际问题时,求出不等式组的解集后,要结合问题的实际背景,从解集中联系实际找出符合题意的答案,比如求人数或物品的数目、产品的件数等,只能取非负整数. 【典型例题】 类型一、不等式组的概念 1.某小区前坪有一块空地,现想建成一块面积大于48平方米,周长小于34米的矩形绿化草地,已知一边长为8米,设其邻边为x,请你根据题意写出x必须满足的不等式.【思路点拨】由题意知,x必须满足两个条件①面积大于48平方米.②周长小于34米.故 一元一次不等式组的概念及其解法 班级________ 姓名________ 【例1】下列四个不等式组,哪一个是一元一次不等式组,并写出这个不等式组的解集. A .53x x <-??->? B .11x y x y +>??- C .221512x x ?+>??-? D .11527x m ?+>???+>? 【例2】(2005·南平市)解下列不等式组. (1)532,314;2x x x -???-?… (2)627,328.x x x +<+??+<-? 【例3】解不等式组. (1)20,10, 50;x x x +>??->??- (2)31374 x -<…. 【例4】(2005·成都市)求不等式组()312531342 x x x x x ?-+<+??-+-??…①②的自然数解. 【例5】若不等式组232x a x a >+??<-? 元解,求a 的取值范围. 【例6】已知关于x 、y 的方程组39,51x y a x y a +=+??-=-? 的解是一对正数. (1)求a 的取值范围;(2)化简445a a +--. 【例7】若不等式组0,1x a x a ->??- 的解集中的任何一个x 值均不在18x 剟范围内,则a 的取值范围是什么? 【例8】某钱币收藏爱好者想把3.5元纸币兑换成1分、2分、5分的硬币,他要求硬币总数为150枚, 2分硬币的枚数不少于20枚且是4的倍数,5分的硬币要多于2分的硬币,请你根据此要求,帮忙设计所有的兑换方案. 1.(2004·河北省)不等式组21,215x x -?+>? 的解集是_________. 2.(2004·绵阳市)不等式组310,27x x +?? …的整数解有_________个. 3.(2003·重庆市)已知关于x 的不等式组521,0x x a --??->? …无解,则a 的取值范围为_________. (1)2X-4≤X+2 与X≥3 解集为3≤X≤6 (2)2X-1>1 与 4-2X≤0 解集为无解 (3)3X+2>5 与 5-2≥1 解集为1<X≤2 (4)X﹣1<2 与 2X+3>2+X 解集为-1<X<3 (5)X+3>1 与 X﹢2(X-1)≤1 解集为-2<X≤1 (6)2X+1≤3 与 X>-3 解集为1≤X>-3 (7)2X+5>1 与3X+7X≤10 解集为1≥X>2 (8)2X-1>X+1 与 X+8<4X-1 解集为X>3 (9)1-2(X-1)≤5与2/(3X-2)<X+1/2解集为-1≤X<3 (10)2X≤4+X 与 X+2<4X-1解集为1<X≤4 (11)2-X>0 与 2/(5X+1)+1≥3/(2X-1)解集为-1≤X<2 (12)1-X<0 与 2/(X-2)<1 解集为1<X<4 (13)2-X<3 与 2-X≥0 解集为2≥X>1 (14)2X+10>-5 与 6X-7≥10 解集为X>17/6 (15)6X+6>8 与 3X+10<5 解集为-(3/5)>X>-3 (16)6X+6X24 与 10X+(1/2)X<-42 解集为无解 (17)24X-20X>4 与8X+4X≤24解集为2≥X>1 (18)9X-5X<8 与 15X+5X>80 解集为无解 (19)X+X≤1 与 2X+(1/2)X>100 解集为无解 (20)2011X-2012X≤1 与 2013X-2012X≥1 解集为1≤X (21)4X-X>6 与 10X+5X<15 解集为无解 (22)-5X-6X≤-22 与 5X-9X≥24 解集为无解(23)(1/5)X+(1/5)X>2/5 与 X+10X>22 解集为X>2 (24)55X+55X<220 与 66X+10X<38 解集为X<1/2 (25)70X+1≤71 与 53X-13X≤40 解集为X≤1 (26)X+1<7 与 X-1>10 解集为无解 (27)5X+5>5 与 2X+3X>9 解集为X>9/5 (28)85X-5X<8 与 50X+30X<5 解集为X<1/16 (29)2X≤14 与 6X<6 解集为X<1 (30)15X+15≥30 与 6X-8X≥4 解集为-2≥X≥1 (31)2X≥160 与4X≥316 解集为X≥80 (32)35X-27X>136 与 20X+20X<800解集为20>X>17 (33)55X≤165 与 56X>112 解集为2<X≤3 (34)20X+18X≥76 与2X≥2 解集为X≥2 (35)59X+X>600 与 55X+35X<1350 解集为10<X<15 (36)60X<120 与 5X+5X<10 解集为X<1 (37)100X<20X+1200 与 2X<30X+10 解集为X<5/14 ( 一元一次不等式组测试题(提高)一、选择题 1.如果不等式 213(1) x x x m ->- ? ? < ? 的解集是x<2,那么m的取值范围是() A.m=2 B.m>2 C.m<2 D.m≥2 2.(贵州安顺)若不等式组 530 x x m -≥ ? ? -≥ ? 有实数解.则实数m的取值范围是() A. 5 3 m≤B. 5 3 m 一元一次不等式及一元一次不等式组 一. 填空题(每题3分) 1. 若 582 112 m x 是关于x 的一元一次不等式,则m =_________. 2. 不等式0126 x 的解集是____________. 3. 当x _______时,代数式4 23x 的值是正数. 4. 当2 a 时,不等式52 x ax 的解集时________. 5. 已知13222 k x k 是关于x 的一元一次不等式,那么k =_______,不等式的解集是_______. 6. 若不等式组 3 212 b x a x 的解集为11 x ,则 11 b a 的值为_________. 7. 小于88的两位正整数,它的个位数字比十位数字大4,这样的两位数有_______个. 8. 小明用100元钱去购买笔记本和钢笔共30件,如果每枝钢笔5元,每个笔记本2元,那么小明最多能买________枝钢笔. 二. 选择题(每题3分) 9.下列不等式,是一元一次不等式的是 ( ) A.24)1(2 y y y B.0122 x x C. 6 13121 D.2 x y x 10.4与某数的7倍的和不大于6与该数的5倍的差,若设某数为x ,则x 的最大整数解是( ) A.1 B.2 C.-1 D0 11.若代数式72 a 的值不大于3,则a 的取值范围是( ) A.4 a B.2 a C.4 a D.2 a 12.某种商品的进价为800元,出售时标价为1200元,后来由于商品积压,商品准备打折出售,但要保证利润率不低于5%,则至多可打( )折 A.6 B.7 C.8 D.9 13.若不等式组 a x x 3的解集是a x ,则a 的取值范围是( ) A.3 a B 3 a . C.3 a D.3 a 14.不等式 0352 x x 的解集是( ) A.253 x x 且 B.253 x x 或 C.325 x D.253 x 15.若不等式组 b x a x 无解,则不等式组 b x a x 22 的解集是( ) A.a x b 22 B.22 a x b C.b x a 22 D.无解 1. ???-≤+>+1 45321x x x x 31422x x x ->??<+? 512324x x x x ->+??+ 21241x x x x >-??+<-? 5. 230320x x -?+>? 23182x x x >-??-≤-? 253(2)12 3x x x x +≤+??-?? ?????+≥--<+-132 15423x x x x x )( 9. ?????-≤-+>+31 22 14513x x x x )( ?????>+-≥+x x x x 4121213)()( ?????+<-<->+412052013x x x x . ?? ? ??+<++≤--->+3 .22.05.02832)1(42x x x x x x ???-≤+>+145321x x x x 314,2 2.x x x ->??<+? 230320x x -?+>? 512,324.x x x x ->+??+ 21, 24 1.x x x x >-??+<-? 2 51,3311.48x x x x ?+>-????-<-?? 19. 3(2)451312 x x x x x -+??--≥+?? 312(1)2(1)4x x x x +≥-??+>? ?????-≥-->+356634)1(513x x x x ?????-≤-+>+3122145)1(3x x x x ???????-<-+<-.3212 112)2(31x x x x . 253(2)123x x x x +≤+??-?? 25. ()324,12 1.3 x x x x --≥???+>-? ? ???≤+-<+51148x x x 270≤523x -≤1 -1<213-x ≤4 一元一次不等式组练习题 1、解下列不等式组,并把解集在数轴上表示出来 2x-1≥0 (2)4<1-3x<13 3x+1>0 3x-2<0 2、已知a= 23 + x ,b= 32 + x ,且a>2>b,那么求x的取值范围。 3、已知方程组2x+y=5m+6 的解为负数,求m的取值范围。 X-2y=-17 4、若不等式组x2x同时成立? (1) 12-x x >1 (2)2 2 3-+x x <2 7、某工厂现有A 种原料290千克,B 种原料220千克,计划利用这两种原料生产甲、乙两种产品共40件,已知生产甲种产品需要A种原料8千克,B种原料4千克,生产乙种产品需要A 种原料5千克,B 种原料9千克。问有几种符合题意的生产方案? 8、已知有长度为3cm ,7cm ,xcm 的三条线段,问,当x 为多长时,这三条线段可以围成一个三角形? 9、把一批铅笔分给几个小朋友,每人分5支还余2支;每人分6支,那么最后一个小朋友分得的铅笔小于2支,求小朋友人数和铅笔支数。 一元一次不等式组练习题之一 一、填空 1、不等式组()1 2243 1223 x x x x ?--≥???-?>+??的解集为 2、若m<n,则不等式组1 2 x m x n >-?? <+?的解集是 3.若不等式组2113 x a x ? -?>??无解,则a 的取值范围是 . 4.已知方程组24 20x ky x y +=?? -=? 有正数解,则k 的取值范围是 . 5.若关于x 的不等式组61540 x x x m +?>+? ??+ 一元一次不等式组(基础)知识讲解 【学习目标】 1.理解不等式组的概念; 2.会解一元一次不等式组,并会利用数轴正确表示出解集; 3.会利用不等式组解决较为复杂的实际问题,感受不等式组在实际生活中的作用. 【要点梳理】 要点一、不等式组的概念 定义:一般地,关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起,就组成了一元一次不等式 组.如 25 62010 x x -> ? ? -< ? , 70 2116 3159 x x x -> ? ? +> ? ?+< ? 等都是一元一次不等式组. 要点诠释: (1)这里的“几个”不等式是两个、三个或三个以上. (2)这几个一元一次不等式必须含有同一个未知数. 要点二、解一元一次不等式组 1. 一元一次不等式组的解集:一元一次不等式组中几个不等式的解集的公共部分叫做这个一元一次不等式组的解集. 要点诠释: (1)找几个不等式的解集的公共部分的方法是先将几个不等式的解集在同一数轴上表示出来,然后找出它们重叠的部分. (2)有的一元一次不等式组中的各不等式的解集可能没有公共部分,也就是说有的不等式组可能出现无解的情况. 2.一元一次不等式组的解法 解一元一次不等式组的方法步骤: (1)分别求出不等式组中各个不等式的解集. (2)利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分即这个不等式组的解集. 要点三、一元一次不等式组的应用 列一元一次不等式组解应用题的步骤为:审题→设未知数→找不等关系→列不等式组→解不等式组→检验→答. 要点诠释: (1)利用一元一次不等式组解应用题的关键是找不等关系. (2)列不等式组解决实际问题时,求出不等式组的解集后,要结合问题的实际背景,从解集中联系实际找出符合题意的答案,比如求人数或物品的数目、产品的件数等,只能取非负整数. 【典型例题】 类型一、不等式组的概念 1.某小区前坪有一块空地,现想建成一块面积大于48平方米,周长小于34米的矩形绿化草地,已知一边长为8米,设其邻边为x,请你根据题意写出x必须满足的不等式.【思路点拨】由题意知,x必须满足两个条件①面积大于48平方米.②周长小于34米.故必须构建不等式组来体现其不等关系. 【答案与解析】 一元一次不等式组有解、无解、整数解的求参问题 【一元一次不等式组有解、无解、整式解的数轴表示】 1.一元一次不等式组有解 (1) (2) (3) (4) 2.一元一次不等式组无解 (1) (2) (3) 3.一元一次不等式组整数解 4.验证端点的取舍 【总结】①解一元一次不等式 ②数形结合,画数轴分析 ③验证端点的取 舍 例1-a .一个一元一次不等式组的解集在数轴上表示如图所示,则该不等式组的解集为( ) A .x <﹣3 B .x ≥2 C .﹣3<x ≤2 D .无解 例2-a .如图表示的是某个关于x 的一元一次不等式组解集,则此不等式组的解集是( ) A .x ≥﹣3 B .﹣3≤x <1 C .x <1 D .无解 例3-b .若关于x 的一元一次不等式组 无解,则m 的取值范围为( ) A .m >﹣ B .m ≤ C .m <﹣ D .m ≥﹣ 例4-b .一元一次不等式组 的解集是x >1,则m 的取值范围是( ) A .m ≥0 B .m ≤0 C .m >0 D .m <0 例5-b .一元一次不等式组的整数解的个数是 . 例6-b .若关于x 的一元一次不等式组有解,则m 的取值范围是 . 例7-b .一元一次不等式组 有5个整数解,则a 的取值范围是 . 例8-a .关于x 的一元一次不等式组? ??> 例9-c .关于x 的一元一次不等式组? ??-≥-≥-1230x a x ,(1)有解,求a 的取值范围. 变式:(2)有五个整数解,求a 的取值范围. 例10-b .关于x 的一元一次不等式组???>-≥+m x x x 148无解,求m 的取值范围. 例11-b .关于x 的一元一次不等式组? ??->+<121m x m x 无解,求m 的取值范围. 例12-b .关于x 的一元一次不等式组?????>+<--x x a x x 422)2(3有解,求a 的取值范围. 北师大版八年级下册《第2章一元一次 不等式与一元一次不等式组》2014年单 元检测卷A(一) 一、选择题(每小题4分,共48分) 1.(4分)(2013?湘西州)若x>y,则下列式子错误的是() A.x﹣3>y﹣3 B.﹣3x>﹣3y C.x+3>y+3 D.> 2.(4分)下面列出的不等式中,正确的是() A.a不是负数,可表示成a>0 B.x不大于3,可表示成x<3 C.m与4的差是负数,可表示成m﹣4<0 D.x与2的和是非负数,可表示成x+2>0 3.(4分)(2013?)已知ab=4,若﹣2≤b≤﹣1,则a的取值范围是() A.a≥﹣4 B.a≥﹣2 C.﹣4≤a≤﹣1 D.﹣4≤a≤﹣2 4.(4分)(2013?)不等式组的解集在数轴上表示正确的是()A.B.C.D. 5.(4分)(2004?)已知点M(3a﹣9,1﹣a)在第三象限,且它的坐标是整数,则a等于() A.1B.2C.3D.0 6.(4分)(2009?达州)函数y=kx+b的图象如图所示,则当y<0时x的取值范围是() A.x<﹣2 B.x>﹣2 C.x<﹣1 D.x>﹣1 7.(4分)(2011?北仑区一模)若不等式组的解集是x>3,则m的取值范 围是() A.m≤3 B.m>3 C.m<3 D.m=3 8.(4分)(2013?)已知实数x,y,m满足,且y为负数,则m的取值范围是() A.m>6 B.m<6 C.m>﹣6 D.m<﹣6 9.(4分)(2012?恩施州)某大型超市从生产基地购进一批水果,运输过程中质量损失10%,假设不计超市其它费用,如果超市要想至少获得20%的利润,那么这种水果的售价在进价的基础上应至少提高() A.40% B.33.4% C.33.3% D.30% 10.(4分)(2011?)已知一次函数y=ax+b的图象过第一、二、四象限,且与x轴交于点(2,0),则关于x的不等式a(x﹣1)﹣b>0的解集为() A.x<﹣1 B.x>﹣1 C.x>1 D.x<1 11.(4分)(2013?潍坊)对于实数x,我们规定[x]表示不大于x的最大整数,例如[1.2]=1,[3]=3,[﹣2.5]=﹣3,若[]=5,则x的取值可以是() A.40 B.45 C.51 D.56 12.(4分)(2010?)若关于x的不等式的整数解共有4个,则m的取值范围 是() A.6<m<7 B.6≤m<7 C.6≤m≤7 D.6<m≤7 二、填空题(每小题4分,共24分) 13.(4分)根据“y的与x的5倍的差是非负数”,列出的不等式为_________ .14.(4分)(2013?)不等式组的解集是_________ . 15.(4分)(2012?凉山州)某商品的售价是528元,商家出售一件这样的商品可获利润是进价的10%~20%.设进价为x元,则x的取值范围是_________ . 4x+16>0 5x-15<5 3x-6≤02x-1>1 1. 5x-3>x-4 10x<5 1+2/3-x<=x-1/3 5x>10 2.x-2(x-1)<=3 (2x+5)/3>x 3.(3x-1)/4>3 (3x-1)/4<=7 4.2x-3>0 4-3x<0 5.2-5x<=3(1-x) (x+2)/3>2x-1 2、2X<-1 X+2>0 3、5X+6<3X 8-7X>4-5X 4、2(1+X)>3(X-7)4(2X-3)>5(X+2) 5、2X<4 X+3>0 6、1-X>0 X+2<0 7、5+2X>3 X+2<8 8、2X+4<0 1/2(X+8)-2>0 9、5X-2≥3(X+1)1/2X+1>3/2X-3 10、1+1/2X>2 2(X-3)≤4 1.0.25x>100 2.-x-29+10<5 3.13x-15,330 4.2x>6 5.2x+9<3x3-33335 6.x=3333,求4x-m+1<38x-1 7.2x+5<34x-2310.13x+5<25 1. 6x+8>3x+8 2. 3x-7≥4x-4 3. 2x-19<7x+31 4. 2x-3x+1<6 5. 3x-2(9-x)>3(7+2x)-(11-6x) 6. 2(3x-1)-3(4x+5)≤x-4(x-7) 7. 2(x-1)-x>3(x-1)-3x-5 8. 3[y-2(y-7)]≤4y 9. 15-(7+5x)≤2x+(5-3x) 10. 20x-3≤5x+(x-5) 11. 7x-2(x-3)<16 12. 3(2x-1)<4(x-1) 13. 5-x(x+3)>2-x(x-1) 14. 3-4[1-3(2-x)] >59 15. 4x-10<15x-(8x-2) (1)2X+2>3 (2)3X+0.5<5 一元一次不等式组测试题(提高) 一、选择题 1.如果不等式213(1)x x x m ->-?? 的解集是x <2,那么m 的取值范围是( ) A .m =2 B .m >2 C .m <2 D .m ≥2 2.(贵州安顺)若不等式组5300x x m -≥?? -≥?有实数解.则实数m 的取值范围是 ( ) A .53m ≤ B .53m < C .53m > D .53 m ≥ 3.若关于x 的不等式组3(2)432x x x a x --?- 无解,则a 的取值范围是 ( ) A .a <1 B .a ≤l C .1 D .a ≥1 4. 关于x 的不等式0721x m x -?-≤? 的整数解共有4个,则m 的取值范围是 ( ) A .6<m <7 B .6≤m <7 C .6≤m ≤7 D .6<m ≤7 5.某班有学生48人,会下象棋的人数比会下围棋的人数的2倍少3人,两种棋都会下的至多9人,但不少于5人,则会下围棋的人有 ( ) A .20人 B .19人 C .11人或13人 D .20人或19人 6.某城市的一种出租车起步价是7元(即在3km 以内的都付7元车费),超过3km 后,每增加1km 加价 1.2元(不足1km 按1km 计算),现某人付了14.2元车费,求这人乘的最大路程是( ) A .10km B .9 km C .8km D .7 km 7.不等式组312840x x ->??-≤? 的解集在数轴上表示为 ( ). 8.解集如图所示的不等式组为( ). A .12x x >-??≤? B .12x x ≥-??>? C .12x x ≤-?? D .12x x >-?? 二、填空题 1.已知24221x y k x y k +=??+=+? ,且10x y -<-<,则k 的取值范围是________. 2. 某种药品的说明书上,贴有如右所示的 标签,一次 一元一次不等式组练习题 1、已知方程???-=++=+② ①m 1y 2x m 31y x 2满足0y x <+,则( ) A. 1m -> B. 1m > C. 1m -< D. 1m < 2、若不等式组? ??+>+<+1m x 1x 59x 的解集为2x >,则m 的取值范围是( ) A. 2m ≤ B. 2m ≥ C. 1m ≤ D. 1m > 3、若不等式组? ??>+>-01x 0 x a 无解,则a 的取值范围是( ) A. 1a -≤ B. 1a -≥ C. 1a -< D. 1a -> 4、如果不等式组? ??<->-m x x x )2(312的解集是x <2,那么m 的取值范围是( ) A 、m=2 B 、m >2 C 、m <2 D 、m≥2 5、如果不等式组2223 x a x b ?+???-≥的解集是01x <≤,那么a b +的值为 . 6、若不等式组0,122x a x x +??->-? ≥有解,则a 的取值范围是( ) A .1a >- B .1a -≥ C .1a ≤ D .1a < 7、关于x 的不等式组12x m x m >->+??? 的解集是1x >-,则m = . 8、已知关于x 的不等式组0521x a x -??->?≥, 只有四个整数解,则实数a 的取值范围是 ____ 9、若不等式组530,0 x x m -??-?≥≥有实数解,则实数m 的取值范围是( ) A.m ≤53 B.m <53 C.m >53 D.m ≥53 10、关于x 的不等式组?????x +152>x -3 2x +23<x +a 只有4个整数解,则a 的取值范围是 ( ) A. -5≤a ≤-143 B. -5≤a <-143 C. -5<a ≤-143 D. -5<a <-14340道一元一次不等式组计算及答案
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