基本初等函数I知识点总结
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第二章 基本初等函数
一、指数函数
（一）指数与指数幂的运算
1．根式的概念：一般地，如果a x n
=，那么x 叫做a 的n 次方根，
其中n >1，且n ∈N *
．
◆ 负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作00=n 。 当n 是奇数时，a a n n =，当n 是偶数时，⎩
⎨⎧<≥-==)0()
0(||a a a a a a n
n
2．分数指数幂
正数的分数指数幂的意义，规定：
)
1,,,0(*>∈>=n N n m a a a
n m n
m
，
)1,,,0(1
1*>∈>=
=
-
n N n m a a a
a
n
m
n
m n
m
◆ 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义 3．实数指数幂的运算性质
（1）r
a ·s
r r a a +=
),,0(R s r a ∈>； （2）rs
s r a a =)(
),,0(R s r a ∈>；
（3）s
r
r
a a a
b =)(
),,0(R s r a ∈>． （二）指数函数及其性质
1、指数函数的概念：一般地，函数)1,0(≠>=a a a y x
且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R ．
注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1．
注意：利用函数的单调性，结合图象还可以看出：（1）在[a ，b]上，
)1a 0a (a )x (f x ≠>=且值域是)]b (f ),a (f [或)]a (f ),b (f [；
（2）若0x ≠，则1)x (f ≠；)x (f 取遍所有正数当且仅当R x ∈；
（3）对于指数函数)1a 0a (a )x (f x
≠>=且，总有a )1(f =；
二、对数函数 （一）对数
1．对数的概念：一般地，如果N a x
=)1,0(≠>a a ，那么数x 叫做以．a 为底．．N 的对数，记作：N x a log =（a — 底数，N — 真数，N a log — 对数式）
说明：○1 注意底数的限制0>a ，且1≠a ；
○
2 x N N a a x
=⇔=log ； ○
3 注意对数的书写格式． 两个重要对数：
○
1 常用对数：以10为底的对数N lg ； ○
2 自然对数：以无理数 71828.2=e 为底的对数的对数N ln ． 指数式与对数式的互化
幂值 真数
（二）对数的运算性质
如果0>a ，且1≠a ，0>M ，0>N ，那么： ○
1 M a (log ·=)N M a log ＋N a log ； ○
2 =N
M
a log M a log －N a log ； ○
3 n a M log n =M a log )(R n ∈． 注意：换底公式
a
b
b c c a log log log =
（0>a ，且1≠a ；0>c ，且1≠c ；0>b ）．
利用换底公式推导下面的结论 （1）b m n
b a n a m log log =
；
（2）a b b
a log 1log =． （二）对数函数
1、对数函数的概念：函数0(log >=a x y a ，且)1≠a 叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是（0，+∞）．
注意：○1 对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别。如：x y 2log 2=，5
log 5x y = 都不是对数函数，而只能称
其为对数型函数．
○2 对数函数对底数的限制：0(>a ，且)1≠a ．
（三）幂函数
1、幂函数定义：一般地，形如αx
y=)
(R
a∈的函数称为幂函数，其中α为常数．
2、幂函数性质归纳．
（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义并且图象都过点（1，1）；
（2）0
>
α时，幂函数的图象通过原点，并且在区间)
,0[+∞上是
增函数．特别地，当1
>
α时，幂函数的图象下凸；当1
0<
<α时，
幂函数的图象上凸；
（3）0
<
α时，幂函数的图象在区间)
,0(+∞上是减函数．在第一
象限内，当x从右边趋向原点时，图象在y轴右方无限地逼近y轴
正半轴，当x趋于∞
+时，图象在x轴上方无限地逼近x轴正半轴．
例题：
1. 已知a>0，a0，函数y=a x与y=log a(-x)的图象只能是 ( )
2.计算：①=
64
log
2
log
27
3 ;②3
log
42
2+= ；2
log
2
27
log5
5
3
1
25+= ;
③
2
1
3
4
3
1
01
.0
16
]
)2
[(
)
8
7
(
064
.075.0
3
0+
+
-
+
-
--
-
- =
3.函数y=log
2
1
(2x2-3x+1)的递减区间为
4.若函数)1
0(
log
)(<
<
=a
x
x
f
a
在区间]
2,[a
a上的最大值是最小值的3倍，则a=
5.已知1
()log(01)
1a
x
f x a a
x
+
=>≠
-
且，（1）求()
f x的定义域（2）求使()0
f x>
的x的取值范围.