平面直角坐标系的有关概念

平面直角坐标系的有关概念
平面直角坐标系的有关概念

平面直角坐标系

定义:在同一个平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系,简称为直角坐标系。通常,两条数轴分别置于水平位置与铅直位置,取向右与向上的方向分别为两条数轴的正方向。水平的数轴叫做X轴或横轴,竖直的数轴叫做Y轴或纵轴,X轴或Y轴统称为坐标轴,它们的公共原点O称为直角坐标系的原点。

X轴和Y轴把坐标平面分成四个象限,右上面的叫做第一象限,其他三个部分按逆时针方向依次叫做第二象限、第三象限和第四象限。象限以数轴为界,横轴、纵轴上的点及原点不属于任何象限。一般情况下,x轴和y轴取相同的单位长度。

点的坐标

建立了平面直角坐标系后,对于坐标系平面内的任何一点,我们可以确定它的坐标(coordinate)。反过来,对于任何一个坐标,我们可以在坐标平面内确定它所表示的一个点。

对于平面内任意一点C,过点C分别向X轴、Y轴作垂线,垂足在X轴、Y 轴上的对应点a,b分别叫做点C的横坐标、纵坐标,有序实数对(ordered pair)(a,b)叫做点C的坐标。

平面直角坐标系

一个点在不同的象限或坐标轴上,点的坐标不一样。

特殊位置的点的坐标的特点

1.x轴上的点的纵坐标为零;y轴上的点的横坐标为零。

2.第一、三象限角平分线上的点横、纵坐标相等;第二、四象限角平分线上的点横、纵坐标互为相反数。

3.在任意的两点中,如果两点的横坐标相同,则两点的连线平行于纵轴;如果两点的纵坐标相同,则两点的连线平行于横轴。

4.点到轴及原点的距离

点到x轴的距离为|y|;点到y轴的距离为|x|;点到原点的距离为x的平方加y的平方再开根号;在平面直角坐标系中对称点的特点

1.关于x成轴对称的点的坐标,横坐标相同,纵坐标互为相反数。(横同纵反)

2.关于y成轴对称的点的坐标,纵坐标相同,横坐标互为相反数。(横反纵同)

3.关于原点成中心对称的点的坐标,横坐标与横坐标互为相反数,纵坐标与纵坐标互为相反数。(横纵皆反)

各象限内和坐标轴上的点和坐标的规律

第一象限:(+,+)正正第二象限:(-,+)负正

第三象限:(-,-)负负第四象限:(+,-)正负

x轴正方向:(+,0)x轴负方向:(-,0)

y轴正方向:(0,+)y轴负方向:(0,-)

x轴上的点的纵坐标为0,y轴上的点的横坐标为0。原点:(0,0)

注:以数对形式(x,y)表示的坐标系中的点(如2,-4),“2”是x轴坐标,“-4”是y轴坐标。

平面直角坐标系的应用

1.用坐标表示地理位置

2.用坐标表示平移

平面直角坐标系其他公式

1.坐标平面内的点与有序实数一一对应。

2.一三象限角平分线上的点横纵坐标相等。

3.二四象限角平分线上的点横纵坐标互为相反数。

4.一点上下平移,横坐标不变,即平行于y轴的直线上的点横坐标相同。

5.y轴上的点,横坐标为0。

6.x轴上的点,纵坐标为0。

7.坐标轴上的点不属于任何象限。

8.一点关于x轴对称的点横坐标不变,纵坐标变为原坐标的相反数。反之同样成立。

9.一点关于原点对称的点横纵坐标均为原坐标相反数。

第一节平面向量的概念及运算性质

第一节平面向量的概念及其线性运算 [知识能否忆起] 一、向量的有关概念 1.向量:既有大小又有方向的量叫向量;向量的大小叫做向量的模. 2.零向量:长度等于0的向量,其方向是任意的. 3.单位向量:长度等于1个单位的向量. 4.平行向量:方向相同或相反的非零向量,又叫共线向量,规定:0与任一向量共线. 5.相等向量:长度相等且方向相同的向量. 6.相反向量:长度相等且方向相反的向量. 二、向量的线性运算 平行四边形法则 1.定义:实数λ与向量a的积是一个向量,这种运算叫向量的数乘,记作λa,它的长度与方向规定如下: ①|λa|=|λ||a|; ②当λ>0时,λa的方向与a的方向相同;当λ<0时,λa的方向与a的方向相反;当λ=0时,λa=0. 2.运算律:设λ,μ是两个实数,则: ①λ(μa)=(λμ)a;②(λ+μ)a=λ a+μ a;③λ(a+b)=λa+λb. 四、共线向量定理 向量a(a≠0)与b共线,当且仅当有唯一一个实数λ,使得b=λa.

[小题能否全取] 1.下列命题正确的是( ) A .不平行的向量一定不相等 B .平面内的单位向量有且仅有一个 C .a 与b 是共线向量,b 与c 是平行向量,则a 与c 是方向相同的向量 D .若a 与b 平行,则b 与a 方向相同或相反 解析:选A 对于B ,单位向量不是仅有一个,故B 错;对于C ,a 与c 的方向也可能相反,故C 错;对于D ,若b =0,则b 的方向是任意的,故D 错,综上可知选A. 2.如右图所示,向量a -b 等于( ) A .-4e 1-2e 2 B .-2e 1-4e 2 C .e 1-3e 2 D .3e 1-e 2 解析:选C 由题图可得a -b =BA =e 1-3e 2. 3.(教材习题改编)设a ,b 为不共线向量,AB =a +2b ,BC =-4a -b ,CD =-5a -3b ,则下列关系式中正确的是( ) A .AD =BC B .AD =2B C C .A D =-BC D .AD =-2BC 解析:选B AD =AB +BC +CD =a +2b +(-4a -b )+(-5a -3b )=-8a -2b =2(-4a -b )=2BC . 4.若菱形ABCD 的边长为2,则|AB -CB +CD |=________. 解析:|AB -CB +CD |=|AB +BC +CD |=|AD |=2. 答案:2 5.已知a 与b 是两个不共线向量,且向量a +λb 与-(b -3a )共线,则λ=________. 解析:由题意知a +λb =k [-(b -3a )], 所以????? λ=-k , 1=3k ,解得??? k =1 3 ,λ=-13. 答案:-1 3 共线向量定理应用时的注意点 (1)向量共线的充要条件中要注意“a ≠0”,否则λ可能不存在,也可能有无数个. (2)证明三点共线问题,可用向量共线来解决,但应注意向量共线与三点共线的区别与联系,当两 向量共线且有公共点时,才能得出三点共线;另外,利用向量平行证明向量所

平面向量的基本概念及线性运算知识点

平面向量 一、向量的相关概念 1、向量的概念:既有大小又有方向的量,注意向量和数量的区别。向量常用有向线段来表示,注意不能说向量就是有向线段(向量可以平移)。如已知A (1,2),B (4,2),则把向量AB u u u r 按向量a r =(-1,3)平移后得到的向量是_____(3,0) 2、向量的表示方法:用有向线段来表示向量. 起点在前,终点在后。有向线段的长度表示向量的大小,用_____箭头所指的方向____表示向量的方向.用字母a ,b ,…或用AB ,BC ,…表示 (1) 模:向量的长度叫向量的模,记作|a |或|AB |. (2)零向量:长度为0的向量叫零向量,记作:0,注意零向量的方向是任意的; (3)单位向量:长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与AB u u u r 共线的单位向量是|| AB AB ±u u u r u u u r ); (4)相等向量:长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量,相等向量有传递性。 (5)平行向量(也叫共线向量):方向相同或相反的非零向量a 、b 叫做平行向量,记作:a ∥b ,规定零向量和任何向量平行。提醒:①相等向量一定是共线向量,但共线向量不一定相等;②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念:两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直线重合;③平行向量无传递性!(因为有0r );④三点A B C 、、共线? AB AC u u u r u u u r 、共线; (6)相反向量:长度相等方向相反的向量叫做相反向量。a 的相反向量是-a 。零向量的相反向量时零向量。 二、向量的线性运算 1.向量的加法: (1)定义:求两个向量和的运算,叫做向量的加法. 如图,已知向量a ,b ,在平面内任取一点A ,作AB =u u u r a ,BC =u u u r b ,则向量AC 叫做a 与b 的和,记作a+b ,即 a+b AB BC AC =+=u u u r u u u r u u u r 。AB BC CD DE AE +++=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 特殊情况:a b a b a+b b a a+ b (1)平行四边形法则三角形法则 C B D C B A 对于零向量与任一向量a ,有 a 00+=+ a = a (2)法则:____三角形法则_______,_____平行四边形法则______ (3)运算律:____ a +b =b +a ;_______,____(a +b )+c =a +(b +c )._______ 当a 、b 不共线时,

圆中的基本概念及定理(一) (含答案)

学生做题前请先回答以下问题 问题1:圆中相关的定理以及推论: 垂径定理:____________________________________________________; 推论:________________________________________________________; 总结:知二推三①___________________________________, ②_______________________,③______________________, ④_______________________,⑤______________________. 问题2:四组量关系定理:在_____________________中,如果_______________、______________、_______________、_______________中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等. 问题3:圆周角定理:_______________________________________; 推论1:______________________________________; 推论2:____________________________;________________________________. 推论3:______________________________________. 问题4:三点定圆定理:_____________________________________. 问题5:圆中处理问题的思路: ①_______________________________________; ②_______________________________________; ③_______________________________________; ④_______________________________________. 圆中的基本概念及定理(一) 一、单选题(共10道,每道10分) 1.如图,CD是⊙O直径,弦AB⊥CD,垂足为点F,连接BC,BD,则下列结论不一定正确的是( ) A. B.AF=BF C.OF=CF D.∠DBC=90°

平面向量的概念、运算及平面向量基本定理

05—平面向量的概念、运算及平面向量基本定理 突破点(一)平面向量的有关概念 知识点:向量、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、相反向量 考点 平面向量的有关概念 [典例]⑴设a , b 都是非零向量,下列四个条件中,使 向=而成立的充分条件是( ) A . a =- b B . a // b C . a = 2b D . a // b 且 |a|= |b| ⑵设a o 为单位向量,下列命题中:①若 a 为平面内的某个向量,贝U a = |a| a o ;②若a 与a o 平行,则 a = |a|a o ;③若a 与a o 平行且|a|= 1,则a = a o .假命题的个数是( ) A . o B . 1 C . 2 D . 3 [解析]⑴因为向量合的方向与向量a 相同,向量£的方向与向量b 相同,且£,所以向量a 与 |a| |b| |a| |b| 向量b 方向相同,故可排除选项 A , B , D.当a = 2b 时,a =警=b ,故a = 2b 是耳=g 成立的充分条件. |a| |2b| |b| |a| |b| (2)向量是既有大小又有方向的量, a 与|a|a o 的模相同,但方向不一定相同,故①是假命题;若 a 与a o 平行,则a 与a o 的方向有两种情况:一是同向,二是反向,反向时 a =- |a|a o ,故②③也是假命题.综上 所述,假命题的个数是 3. [答案](1)C (2)D _ _[易错提醒」_____________ _____________ 厂7i)两个向量不能比较大小,只可以判断它们是否相等,但它们的模可以比较大小 […(2)大小与方向是向量的两个要素?j 分别是向量的代数特征与几何特征; (3)向量可以自由平移,任意一组平行向量都可以移到同一直线上. 突破点(二)平面向量的线性运算 1. 向量的线性运算: 加法、减法、数乘 2. 平面向量共线定理: 向量b 与a(a ^ o )共线的充 要条件是有且只有一个实数 人使得b = 1 [答案](1)D ⑵1 —…_[方法技巧丄—――――_—_ _―_—_ _―_……_ _―_…_ _―_…_ _―_…_ _―_…「 i 1.平面向量的线性运算技巧: ⑴不含图形的情况:可直接运用相应运算法则求解. ⑵含图形的情况:将它们转化到 ] 三角形或平行四边形中,充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位线等性质,把未知向量用已知向量表示岀来求解. 2?利用平面向量的线性运算求参数的一般思路: (1)没有图形的准确作出图形,确定每一个点的位置. (2)利用平行四 边形法则或三角形法贝U 进行转化丄转化为要求的向量形式._ _ (3) 比较,观察可知所求.__________ 考点二 平面向量共线定理的应用 [例2Lu 设两个非零向J a 和b 不共鈿 平面向量的线性运算 …uuur …"uLu r 考点一 ~~uuur ----- u uur [例 1] (1)在厶 ABC 中,AB = c , AC = b.若点 D 满足 BD = 2 DC 12 5 2 A.3b + 3C B.gC — 3b 2 1 2 1 C.gb — 3c D.gb + 3C uuuu 1 uuur ⑵在△ ABC 中,N 是AC 边上一点且 AN = NC , P 是BN 上一点, 数m 的值是 ______________ . uuur umr [解析](1)由题可知BC = AC - uuur + BD = c + 2 1 —c)= 3b + §c,故选 D. uuuu 1 uuur (2)如图,因为AN = 2 NC ,所以 uuur 2 uuuu m AB + 3 AN ?因为B ,P ,N 三点共线, ―uuur ,贝U AD =( ) UULT uuur 2 uuur 若 AP = m AB + 9 AC ,则实 2 uuir 2 uuir uur uuur uuur uuur UULT AB = b — c , '^BD = 2 DC ,「.BD = 3 BC = 3(b — c),则 AD = AB uuuu 1 uuur AN = 3 AC ,所以 2 所以m +3= 1,则 UULT uuur 2 uuur AP = m AB + 9 AC = 1 m = 3.

圆的有关概念练习题

《圆的有关概念》练习题 一.选择题(共7小题) 1.下列各图形中,各个顶点一定在同一个圆上的是() A.正方形B.菱形 C.平行四边形 D.梯形 2.下列说法:(1)直径是弦;(2)弦是直径;(3)半圆是弧,但弧不一定是半圆;(4)半径相等的两个圆是等圆;(5)长度相等的两条弧是等弧.其中错误的个数是()A.1个B.2个C.3个D.4个 3.下列说法中,(1)长度相等的两条弧一定是等弧;(2)半径相等的两个半圆是等弧;(3)同一条弦所对的两条弧一定是等弧;(4)直径是圆中最大的弦,也就是过圆心的直线.其中正确说法的个数是() A.1个B.2个 C.3个D.4个 4.如图,AB是⊙O的直径,D、C在⊙O上,AD∥OC,∠DAB=60°,连接AC,则 ∠DAC等于() A.15° B.30°C.45° D.60° 5.如图,⊙O的直径AB与弦CD的延长线交于点E,若DE=OB,∠AOC=84°,则∠E等于()A.42° B.28° C.21° D.20° 第4题图第5题图第6题图 6.如图,AB是⊙O的直径,点C、D在⊙O上,且点C、D在AB的异侧,连结AD、OD、OC.若∠AOC=70°,且AD∥OC,则∠AOD的度数为() A.70°B.60° C.50°D.40° 7.点A、O、D与点B、O、C分别在同一直线上,图中弦的条数为()A.2 B. 3 C.4 D.5 二.填空题(共3小题) 8.如图,△ABC中,∠ACB=90°,∠A=40°,以C为圆心、CB为半径的圆交AB于点D,则∠ACD= 度. 第8题图第9题图第0题图 9.如图,AB为⊙O的直径,AD∥OC,∠AOD=84°,则∠BOC= . 10.如图,点A、D、G、M在半圆O上,四边形ABOC、DEOF、HMNO均为矩形,设BC=a,EF=b,NH=c,则a、b、c的大小是. 三.解答题(共6小题) 11.已知:如图,AB是⊙O的直径,点C、D在⊙O上,CE⊥AB于E,DF⊥AB于F,且AE=BF,AC与BD相等吗?为什么? 12.如图,AB、CD为⊙O中两条直径,点E、F在直径CD上,且 CE=DF.求证:AF=BE.

与圆有关的概念及性质

圆的有关概念与性质 教学目标:复习与圆有关的概念与性质。 教学重点:巩固垂径定理、圆心角、圆周角定理。并能运用这些定理进行正确的证明。 教学难点:灵活地运用这些定理进行有关的证明。 一、知识回顾 1. 圆上各点到圆心的距离都等于 . 2. 圆是对称图形,任何一条直径所在的直线都是它的;圆又 是对称图形,是它的对称中心. 3. 垂直于弦的直径平分,并且平分;平分弦(不是直径)的 垂直于弦,并且平分 . 4. 在同圆或等圆中,如果两个圆心角,两条弧,两条弦,两条弦心距,两个圆周角中有一 组量,那么它们所对应的其余各组量都分别 . 5. 同弧或等弧所对的圆周角,都等于它所对的圆心角的 . 6. 直径所对的圆周角是,90°所对的弦是 . 例题精讲 例1、如图,AB为⊙O的弦,⊙O的半径为5,OC⊥AB于点D,交⊙O于点C,且CD=l ,求弦AB的长. 对应练习1、在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后,截面如图所示,若油面宽AB=600mm,求油的最大深度.

例2、已知:如图,在△ABC中,AB为⊙O的直径,BC,AC分别交⊙O于D、E两点,,连接AD,求证:△ABD≌△ACD. 对应练习2、如图,⊙O是△ABC的外接圆,AB是⊙O的直径,D为⊙O上的一点,OD⊥AC,垂足为E,连接BD. (1)求证:BD平分∠ABC; (2)当∠ODB=30°时,求证:BC=OD. 例3、本市新建的滴水湖是圆形人工湖.为测量该湖的半径,小杰和小丽沿湖边选取、、 三根木柱,使得、之间的距离与、之间的距离相等,并测得长为120米,到 的距离为4米,如图所示.请你帮他们求出滴水湖的半径. 对应练习3、

第一轮复习—24圆的有关概念

B 圆的有关概念 1. 圆上各点到圆心的距离都等于 . 2. 圆是 对称图形,任何一条直径所在的直线都是它的 ;圆又 是 对称图形, 是它的对称中心. 3. 垂直于弦的直径平分 ,并且平分 ;平分弦(不是直径)的 垂直于弦,并且平分 . 4. 在同圆或等圆中,如果两个圆心角,两条弧,两条弦,两条弦心距,两个圆周角中有一组量 ,那么它们所对应的其余各组量都分别 . 5. 同弧或等弧所对的圆周角 ,都等于它所对的圆心角的 . 6. 直径所对的圆周角是 ,90°所对的弦是 . 练习题 一、选择题 1.如图,A B 是⊙O 的直径,点D 在A B 的延长线上,D C 切⊙O 于C ,若 25A = ∠. 则D ∠等于( ) A . 20 B . 30 C . 40 D . 50 2.如图,⊙O 的半径OA =5,以A 为圆心,OA 为半径的弧交⊙O 于B 、C 两点,则BC 等于( ). A. 35 B. 25 C. 32 5 D. 8 3.AB 是⊙O 的直径,CD 为弦,AB CD ⊥于E ,则下列结论中不.成立的是( ) A.∠A ﹦∠D B.CE ﹦D E C.∠ACB ﹦90° D .C E ﹦BD 4.如图,AB 是⊙O 的直径,弦CD ⊥AB 于点E ,∠CDB =30°,⊙O 的半径为3cm ,则圆心O 到弦CD 的距离为( ) A .3 2 cm B .3 cm C .3 3 cm D .6cm 二、填空题 1.如图,将半径为2cm 的圆形纸片折叠后,圆弧恰好经过圆心O ,则折痕A B 的长为 __cm . 2.如图,两正方形彼此相邻且内接于半圆,若小正方形的面积为1cm 2 ,则该半圆的直径为____ 3.如图,AB 是⊙O 的直径, 点D 在⊙O 上,∠AOD =130°,BC ∥OD 交⊙O 于C ,则∠A = °. A E O B D A B

圆的基本概念与性质

圆的有关概念和性质 一 本讲学习目标 1、理解圆的概念及性质,能利用圆的概念和性质解决有关问题。 2、理解圆周角和圆心角的关系;能运用几何知识解决与圆周角有关的问题。 3、了解垂径定理的条件和结论,能用垂径定理解决有关问题。 二 重点难点考点分析 1、运用性质解决有关问题 2、圆周角的转换和计算问题 3、垂径定理在生活中的运用及其计算 三 知识框架 圆的定义 确定一个圆 不在同一直线上的三点点与圆的位置关系 圆的性质 圆周角定理及其推论 垂径定理及其推论距关系定理及其推论圆心角、弦、弧、弦心对称性 四 概念解析 1、 圆的定义,有两种方式: 错误!未找到引用源。在一个平面内,线段OA 绕它固定的一个端点O 旋转一周,一个端点A 随之旋转说形成的图形叫做圆。固定端点O 叫做圆心,以O 为圆心的圆记作O ,线段OA 叫做半径; 错误!未找到引用源。圆是到定点的距离等于定长的点的集合。注意:圆心确定圆的位置,半径决定圆的大小。 2、 与圆有关的概念: 错误!未找到引用源。弦:连接圆上任意两点的线段叫做弦;如图1所示 线段AB ,BC ,AC 都是弦; 错误!未找到引用源。直径:经过圆心的弦叫做直径;如AC 是O 的直径,直径是圆中最长的弦; 错误!未找到引用源。弧:圆上任意两点之间的部分叫做圆弧,简 称弧,如曲线BC,BAC 都是O 中的弧,分别记作BC 和BAC ; 错误!未找到引用源。半圆:圆中任意一条直径的两个端点分圆成

两条弧,每条弧都叫做半圆,如AC 是半圆; 错误!未找到引用源。劣弧和优弧:像BC 这样小于半圆周的圆弧叫做劣弧,像BAC 这样大于 半圆周的圆弧叫做优弧; 错误!未找到引用源。同心圆:圆心相同,半径不等的圆叫做同心圆; 错误!未找到引用源。弓形:由弦及其说对的弧所组成的图形叫做弓形; 错误!未找到引用源。等圆和等弧:能够重合的两个圆叫做等圆,在同圆或等圆中,能够重合的弧叫做等弧; 错误!未找到引用源。圆心角:定点在圆心的角叫做圆心角如图1中的∠AOB,∠BOC 是圆心角,圆心角的度数:圆心角的读书等于它所对弧的度数;∠ 错误!未找到引用源。 圆周角:定点在圆上,两边都和圆相交的角叫做圆周角;如图1中的∠BAC,∠ACB 都是圆周角。 3、 圆的有关性质 ①圆的对称性 圆是轴对称图形,经过圆心的直线都是它的对称轴,有无数条。圆是中心对称图形,圆心是对称中心,优势旋转对称图形,即旋转任意角度和自身重合。 错误!未找到引用源。垂径定理 A. 垂直于弦的直径平分这条弦,且评分弦所对的两条弧; B. 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且评分弦所对的两条弧。如图2 所示。 注意 (1)直径CD ,(2)CD ⊥AB,(3)AM=MB,(4)BD AC =BC ,(5)AD =BD .若 上述5个条件中有2个成立,则另外3个业成立。因此,垂径定理也称五二三定理,即推二知三。(以(1),(3)作条件时,应限制AB 不能为直径)。 错误!未找到引用源。弧,弦,圆心角之间的关系 A. 在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦也相等; B. 同圆或等圆中,两个圆心角,两条弧,两条弦中有一组量相等,他们所对应的其余各组量也相等; 错误!未找到引用源。圆周角定理及推论 A.圆周角定理:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半; B.圆周角定理的推论:半圆(或直径)所对的圆周角是直角,90的圆周角所对的弦是直径。 五 例题讲解 例1. 如图所示,C 是⊙O 上一点,O 是圆心,若80AOB =∠,求B A ∠+∠ 的值. 例1题图 A B C O

平面向量的基本概念

平面向量得实际背景及基本概念 1、向量得概念:我们把既有大小又有方向得量叫向量。 2、数量得概念:只有大小没有方向得量叫做数量。 数量与向量得区别: 数量只有大小,就就是一个代数量,可以进行代数运算、比较大小; 向量有方向,大小,双重性,不能比较大小、 3.有向线段:带有方向得线段叫做有向线段。 4.有向线段得三要素:起点,大小,方向 5、有向线段与向量得区别; (1)相同点:都有大小与方向 (2)不同点:①有向线段有起点,方向与长度,只要起点不同就就就是不同得有向线段 比如:上面两个有向线段就就是不同得有向线段。 ②向量只有大小与方向,并且就就是可以平移得,比如:在①中得两个有向线 段表示相同(等)得向量。 ③向量就就是用有向线段来表示得,可以认为向量就就是由多个有向线段连接而成 6、向量得表示方法: ①用有向线段表示; ②用字母a 、b (黑体,印刷用)等表示; ③用有向线段得起点与终点字母:; 7、向量得模:向量得大小(长度)称为向量得模,记作||、 8、零向量、单位向量概念: 长度为零得向量称为零向量,记为:0。长度为1得向量称为单位向量。 9、平行向量定义: ①方向相同或相反得非零向量叫平行向量;②我们规定0与任一向量平行、即:0 ∥a 。 说明:(1)综合①、②才就就是平行向量得完整定义; (2)向量a、b、c 平行,记作a∥b ∥c 、 10、相等向量 长度相等且方向相同得向量叫相等向量、 说明:(1)向量a与b相等,记作a =b ;(2)零向量与零向量相等; (3)任意两个相等得非零向量,都可用同一条有向线段来表示,并且与有.. A(起点) B (终点) a

圆的有关概念和性质

圆的有关性质 【中考考纲解读】 1.课标要求 ①理解圆及其有关概念,了解弧、弦、圆心角的关系. ②了解圆的性质,了解圆周角与圆心角的关系、直径所对圆周角的特征. ③掌握垂径定理,并能应用它解决有关弦的计算和证明问题. 2.考向指南 从2008、2009两年广东省统一中考数学试卷来看,本讲所学的圆的有关概念、弧长的计算、圆周角定理,垂径定理与三角形的联系等知识点考查的可能性较大.题型以选择题和填空题为主,难度不大,所占分值一般在3~5分. 【考点知识网络】 【中考考点剖析】 考点1:圆的有关概念 1. 圆的定义:平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形.其中,定点为圆心,定长为半径 2. 弦:连接圆上任意两点的线段. 3. 直径:经过圆心的弦. 4. 弧:圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧. 5. 半圆:圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧,每一条弧都叫做半圆. 6. 优弧:大于半圆的弧,用三个大写字母表示,如ABC . 7. 劣弧:小于半圆的弧,用两个大写字母表示,如AC . 8. 弓形:由弦及其所对的弧组成的圆形. 9. 同心圆:圆心相同,半径不相等的两个圆. 10.等圆:能够重合的两个圆或半径相等的两个圆. 11.等弧:在同圆或等圆中,能够互相重合的弧. 12.圆心角:顶点在圆心的角叫做圆心角. 13.弦心距:从圆心到弦的距离叫做弦心距. 14.圆周角:顶点在圆上,?并且两边都与圆相交的角叫做圆周角. ?? ??????????????? ???? ??基本概念:弧 弦 圆心角 圆周角确定圆的条件对称性圆基本性质垂径定理圆心角 弧 弦的关系 圆周角定理2个推论

[高二数学]平面向量的概念及运算知识总结

平面向量的概念及运算 一.【课标要求】 (1)平面向量的实际背景及基本概念 通过力和力的分析等实例,了解向量的实际背景,理解平面向量和向量相等的含义,理解向量的几何表示; (2)向量的线性运算 ①通过实例,掌握向量加、减法的运算,并理解其几何意义; ②通过实例,掌握向量数乘的运算,并理解其几何意义,以及两个向量共线的含义; ③了解向量的线性运算性质及其几何意义 (3)平面向量的基本定理及坐标表示 ①了解平面向量的基本定理及其意义; ②掌握平面向量的正交分解及其坐标表示; ③会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算; ④ 理解用坐标表示的平面向量共线的条件 二.【命题走向】 本讲内容属于平面向量的基础性内容,与平面向量的数量积比较出题量较小。以选择题、填空题考察本章的基本概念和性质,重点考察向量的概念、向量的几何表示、向量的加减法、实数与向量的积、两个向量共线的充要条件、向量的坐标运算等。此类题难度不大,分值5~9分。 预测2010年高考: (1)题型可能为1道选择题或1道填空题; (2)出题的知识点可能为以平面图形为载体表达平面向量、借助基向量表达交点位置或借助向量的坐标形式表达共线等问题。 三.【要点精讲】 1.向量的概念 ①向量 既有大小又有方向的量。向量一般用c b a ,,……来表示,或用有向线段的起点与终点 的大写字母表示,如:AB 几何表示法AB ,a ;坐标表示法),(y x j y i x a =+= 。向量的大小即向量的模(长度),记作|AB |即向量的大小,记作|a |。 向量不能比较大小,但向量的模可以比较大小 ②零向量 长度为0的向量,记为0 ,其方向是任意的,0 与任意向量平行零向量a =0 ?|a | =0。由于0的方向是任意的,且规定0平行于任何向量,故在有关向量平行(共线)的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件。(注意与0的区别) ③单位向量 模为1个单位长度的向量,向量0a 为单位向量?|0a |=1。 ④平行向量(共线向量) 方向相同或相反的非零向量。任意一组平行向量都可以移到同一直线上,方向相同或相

九年级数学专题复习圆的有关概念、性质与圆有关的位置关系

总复习圆的有关概念、性质与圆有关的位置关系 【考纲要求】 1. 圆的基本性质和位置关系是中考考查的重点,但圆中复杂证明及两圆位置关系中证明会有下降趋势,不会有太复杂的大题出现; 2.中考试题中将更侧重于具体问题中考查圆的定义及点与圆的位置关系,对应用、创新、开放探究型题目,会根据当前的政治形势、新闻背景和实际生活去命题,进一步体现数学来源于生活,又应用于生活. 【知识网络】 【考点梳理】 考点一、圆的有关概念及性质 1.圆的有关概念 圆、圆心、半径、等圆; 弦、直径、弦心距、弧、半圆、优弧、劣弧、等弧; 三角形的外接圆、三角形的内切圆、三角形的外心、三角形的内心、圆心角、圆周角. 要点进阶:等弧:在同圆或等圆中,能够互相重合的弧叫做等弧. 2.圆的对称性 圆是轴对称图形,任何一条直径所在直线都是它的对称轴,圆有无数条对称轴; 圆是以圆心为对称中心的中心对称图形; 圆具有旋转不变性. 3.圆的确定 不在同一直线上的三个点确定一个圆. 要点进阶:圆心确定圆的位置,半径确定圆的大小. 4.垂直于弦的直径 垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧. 推论 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧. 要点进阶:在图中(1)直径CD ,(2)CD ⊥AB ,(3)AM =MB ,(4)C C A B =,(5)AD BD =.若上述5个条

件有2个成立,则另外3个也成立.因此,垂径定理也称“五二三定理”.即知二推三.注意:(1)(3)作条件时,应限制AB不能为直径. 5.圆心角、弧、弦之间的关系 定理在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦也相等. 推论在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量也相等. 6.圆周角 圆周角定理在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半.推论1 在同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧也相等. 推论2 半圆(或直径)所对的圆周角是直角;90°的圆周角所对的弦是直径. 要点进阶:圆周角性质的前提是在同圆或等圆中. 7.圆内接四边形 (1)定义: 圆内接四边形:顶点都在圆上的四边形,叫圆内接四边形. (2)性质:圆内接四边形对角互补,外角等于内对角(即它的一个外角等于它相邻内角的对角).考点二、与圆有关的位置关系 1.点和圆的位置关系 设⊙O的半径为r,点P到圆心的距离OP=d,则有: 点P在圆外?d>r; 点P在圆上?d=r; 点P在圆内?d<r. 要点进阶:圆的确定: ①过一点的圆有无数个,如图所示. ②过两点A、B的圆有无数个,如图所示. ③经过在同一直线上的三点不能作圆. ④不在同一直线上的三点确定一个圆.如图所示.

平面向量的概念练习(学生版)

1、下列说法正确的是( ) A 、数量可以比较大小,向量也可以比较大小. B 、方向不同的向量不能比较大小,但同向的可以比较大小. C 、向量的大小与方向有关. D 、向量的模可以比较大小. 2、给出下列六个命题: ①两个向量相等,则它们的起点相同,终点相同; ②若||||a b =,则a b =; ③若AB DC =,则四边形ABCD 是平行四边形; ④平行四边形ABCD 中,一定有AB DC =; ⑤若m n =,n k =,则m k =; ⑥a b ,b c ,则a c . 其中不正确的命题的个数为( ) A 、2个 B 、3个 C 、4个 D 、5个 3、设O 是正方形ABCD 的中心,则向量,,,AO BO OC OD 是( ) A 、相等的向量 B 、平行的向量 C 、有相同起点的向量 D 、模相等的向量 4、判断下列各命题的真假: (1)向量AB 的长度与向量BA 的长度相等; (2)向量a 与向量b 平行,则a 与b 的方向相同或相反; (3)两个有共同起点的而且相等的向量,其终点必相同; (4)两个有共同终点的向量,一定是共线向量; (5)向量AB 和向量CD 是共线向量,则点A 、B 、C 、D 必在同一条直线上; (6)有向线段就是向量,向量就是有向线段. 其中假命题的个数为( ) A 、2个 B 、3个 C 、4个 D 、5个 5、若a 为任一非零向量,b 为模为1的向量,下列各式:①|a |>|b | ②a ∥b ③|a |>0 ④|b |=±1,其中正确的是( ) A 、①④ B 、③ C 、①②③ D 、②③

6、下列命中,正确的是( ) A 、|a |=|b |?a =b B 、|a |>|b |?a >b C 、a =b ?a ∥b D 、|a |=0?a =0 7、下列物理量:①质量 ②速度 ③位移 ④力 ⑤加速度 ⑥路程,其中是向量的有( ) A 、2个 B 、3个 C 、4个 D 、5个 8、平行向量是否一定方向相同? 9、不相等的向量是否一定不平行? 10、与零向量相等的向量必定是什么向量? 11、与任意向量都平行的向量是什么向量? 12、若两个向量在同一直线上,则这两个向量一定是什么向量? 14、如图所示,四边形ABCD 为正方形,△BCE 为等腰直角三角形, (1)找出图中与AB 共线的向量; (2)找出图中与AB 相等的向量; (3)找出图中与|AB |相等的向量; (4)找出图中与EC 相等的向量. A B E C D

圆中的基本概念及定理(习题)

圆中的基本概念及定理(习题) ? 巩固练习 1. 一条排水管的截面如图所示,已知排水管的截面圆半径OB 为10,截面圆圆 心O 到水面的距离OC 为6,则水面宽AB 的长为( ) A .16 B .10 C .8 D .6 第2题图 2. 如图,AB 是⊙O 的弦,OD ⊥AB 于点D ,交⊙O 于点E ,则下列说法不一定 正确的是( ) A .AD =BD B .∠ACB =∠AOE C .AE ︵=BE ︵ D .OD =DE 3. 如图,AB 为⊙O 的直径,CD 为弦,AB ⊥CD ,若∠BOC =70°,则∠A 的度 数为( ) A .70° B .35° C .30° D .20° A O D C O C B A 第3题图 第4题图 4. 如图,⊙O 是△ABC 的外接圆,∠BAC =60°,若⊙O 的半径OC 为2,则弦 BC 的长为( ) A .1 B C .2 D .5. 6. E O D C B A

A 第6题图 第7题图 7. 如图,已知⊙O 是△ABC 的外接圆,且∠C =70°,则∠OAB = __________. 8. 如图,点O 为优弧ACB 所在圆的圆心,∠AOC =108°,若点D 在AB 的延长 线上,且BD =BC ,则∠D =_________. O D C B A 第8题图 第9题图 9. 如图,以原点O 为圆心的圆交x 轴于A ,B 两点,交y 轴的正半轴于点C , D 为第一象限内⊙O 上的一点,若∠DAB =20°,则∠OCD =_________. 10. 某蔬菜基地的圆弧形蔬菜大棚的剖面如图所示,已知 AB =16 m ,半径OA =10 m ,则中间柱CD 的高度为______m . C D B O A D C 第10题图 第11题图 11. 如图,“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的问题:“今有 圆材,埋在壁中,不知大小,以锯锯之,深一寸,锯道长一尺,问径几何.”用几何语言可表述为:CD 为⊙O 的直径,弦AB ⊥CD 于点E ,若CE =1寸,AB =10寸,则直径CD 的长为_________. 12. 如图,点A ,B ,C ,D 在⊙O 上,点O 在∠D 的内部,若四边形OABC 为 平行四边形,则∠OAD +∠OCD =______.

《圆的有关概念》教学设计

《圆的有关概念》教学设计 一、教材分析: 本节课是人教版《义务教育课程标准实验教科书》九年级上册第二十四章圆第一节内 容,圆的定义和有关概念,是圆的第一节第一课时。因为学生在小学中已经学过圆的一些 知识,对圆已有初步的了解,本课时的内容也较为简单。这节课概念较多,是今后进一步 学习圆的相关内容的基础,因此在教材的处理上,不能盲目忽略这一节,结合小学中学习 的内容、生活中的实例来学习这一节。根据《数学课程标准》的要求,结合以上分析从而 确定教学目标。 二、教法分析: 新的课程标准指出,数学课程不仅要考虑到数学自身的特点,更应遵循学生学习数学 的心理规律,从学生已有的生活经验出发,通过自主探索与合作交流的形式,使学生乐于 投入到数学活动中去。为此我联系学生生活实际创设问题情境引入新课,使大多数学生在 问题情境中自然的进入新课,引起学生学习的兴趣;通过教师问题的设置,抓住学生已有 的知识点,在学生主动参与,教师引导下,使学生更好掌握新知识,培养学生的探索精神; 经过学生合作学习,共同探究新知识,培养学生与他人合作的意识。结合我校的“学——讲——练”教学模式学习圆的有关概念,最后利用新的知识解决问题。采用直观教具和多媒体 演示,使学生获得直观印象便于学生理解新知。 三、学情分析 学生在小学中学过圆的一些知识,对于圆已经有进步的了解,并会利用圆规画面,经历 了在操作活动中探索圆的性质的过程。初步了解圆所具有的一些性质,并会用自己的语言 加以简单描述,初步具有了有条理地思考与表达的能力,为本章的深入学习奠基了基础圆是一种基本的几何图形,圆形物体在生活中随处可见。学生通过观察体会现实生活中 圆形物体所具有的性质。获得了初步的数学活动体验。因此,圆这部分知识得以从小学到 初中的顺利过渡,并以积极的态度投入到初中数学的学习,具有了一定的主动参与、合作 意识和初步的观察、分析抽象概括的能力。通过一系列不同问题,采用自主学习与合作学

平面向量的概念。知识梳理

平面向量的概念、线性运算及坐标运算 编稿:李霞 审稿:孙永钊 【考纲要求】 1.了解向量的实际背景;理解平面向量的概念及向量相等的含义;理解向量的几何表示. 2.掌握向量加法、减法的运算,并理解其几何意义;掌握向量数乘的运算及其几何意义,理解两个向量共线的含义;了解向量线性运算的性质及其几何意义. 3.了解平面向量的基本定理及其意义,掌握平面向量的正交分解及其坐标表示,会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算,理解用坐标表示的平面向量共线的条件. 【知识网络】 【考点梳理】 【高清课堂:平面向量的概念与线性运算401193知识要点】 考点一、向量的概念 1.向量:既有大小又有方向的量.通常用有向线段AB 表示,其中A 为起点,B 为终点. 向量AB 的长度|AB |又称为向量的模; 长度为0的向量叫做零向量,长度为1的向量叫做单位向量. 2.方向相同或相反的非零向量叫做平行向量,规定零向量与任一向量平行. 平行向量可通过平移到同一条直线上,因此平行向量也叫共线向量. 3.长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.零向量与零向量相等. 4. 与a 长度相等,方向相反的向量叫做a 的相反向量,规定零向量的相反向量是零向量. 要点诠释: 平面向量 平面向量的概念 平面向量的坐标表示 平面向量的基本定理 平面向量的线性运算

①有向线段的起、终点决定向量的方向,AB 与BA 表示不同方向的向量; ②有向线段的长度决定向量的大小,用|AB |表示,|AB ||BA |=. ③任意两个非零的相等向量可经过平移重合在一起,因此可用一个有向线段表示,而与起点无关. 考点二、向量的加法、减法 1.向量加法的平行四边形法则 平行四边形ABCD 中(如图), 向量AD 与AB 的和为AC ,记作:AD AB AC +=.(起点相同) 2.向量加法的三角形法则 根据向量相等的定义有:AB DC =,即在ΔADC 中,AD DC AC +=. 首尾相连的两个向量的和是以第一个向量的起点指向第二个向量的终点. 规定:零向量与向量AB 的和等于AB . 3. 向量的减法 向量AB 与向量BA 叫做相反向量.记作:AB BA =-. 则AB CD AB DC -=+. 要点诠释: ①关于两个向量的和应注意:两个向量的和仍是一个向量;使用三角形法则时要注意“首尾相连”;当两个向量共线时,三角形法则适用,而平行四边形法则不适用. ②向量减法运算应注意:向量的减法实质是加法的逆运算,差仍为一个向量;用三角形法则作向量减法时,记住“连结两个向量的终点,箭头指向被减向量”. 要点三、实数与向量的积 1.定义: 一般地,实数λ与向量a 的积是一个向量,记作λa ,它的长与方向规定如下: (1)||||||λ=λ?a a ; (2)当λ>0时,λa 的方向与a 的方向相同;当λ<0时,λa 的方向与a 的方向相反; 当λ=0时,0λ=a ; 2.运算律 设λ,μ为实数,则 (1)()()λμ=λμa a ; (2)()λ+μ=λ+μa a a ;

圆的有关概念及性质

圆的有关概念及性质 The Standardization Office was revised on the afternoon of December 13, 2020

第二十三讲圆的有关概念及性质 【基础知识回顾】 一、圆的定义及性质: 1、圆的定义: ⑴形成性定义:在一个平面内,线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周,另一个端点A随之旋转形成的图形叫做圆,固定的端点叫线段OA叫做 ⑵描述性定义:圆是到定点的距离等于的点的集合 【名师提醒:1、在一个圆中,圆←决定圆的半径决定圆的 2、直径是圆中的弦,弦不一定是锥】 2、弦与弧: 弦:连接圆上任意两点的叫做弦 弧:圆上任意两点间的叫做弧,弧可分为、、三类 3、圆的对称性: ⑴轴对称性:圆是轴对称图形,有条对称轴的直线都是它的对称轴 ⑵中心对称性:圆是中心对称图形,对称中心是 【名师提醒:圆不仅是中心对称图形,而且具有旋转性,即绕圆心旋转任意角度都被与原来的图形重合】 二、垂径定理及推论: 1、垂径定理:垂直于弦的直径,并且平分弦所对的 2、推论:平分弦()的直径,并且平分弦所对的

【名师提醒:1、垂径定理及其推论实质是指一条直线满足:⑴过圆心⑵垂直于弦⑶平分弦⑷平分弦所对的优弧⑸平分弦所对的劣弧五个条件中的两个,那么可推出其中三个,注意解题过程中的灵活运用 2、圆中常作的辅助线是过圆心作弦的线 3、垂径定理常用作计算,在半径r弦a弦心d和弦h中已知两个可求另外两个】 三、圆心角、弧、弦之间的关系: 1、圆心角定义:顶点在的角叫做圆心角 2、定理:在中,两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量它们所对应的其余各组量也分别 【名师提醒:注意:该定理的前提条件是“在同圆或等圆中”】 四、圆周角定理及其推论: 1、圆周角定义:顶点在并且两边都和圆的角叫圆周角 2、圆周角定理:在同圆或等圆中,圆弧或等弧所对的圆周角都等于这条弧所对的圆心角的 推论1、在同圆或等圆中,如果两个圆周角那么它们所对的弧 推论2、半圆(或直弦)所对的圆周角是 900的圆周角所对的弦是 【名师提醒:1、在圆中,一条弦所对的圆心角只有一个,而它所对的圆周角有个,它们的关系是 2、作直弦所对的圆周角是圆中常作的辅助线】 五、圆内接四边形: 定义:如果一个多边形的所有顶点都在圆上,这个多边形叫做这个圆叫做

平面向量概念教学设计

篇一:平面向量概念教案 平面向量概念教案 一.课题:平面向量概念 二、教学目标 1、使学生了解向量的物理实际背景,理解平面向量的一些基本概念,能正确进行平面向量的几何表示。 2、让学生经历类比方法学习向量及其几何表示的过程,体验对比理解向量基本概念的简易性,从而养成科学的学习方法。 3、通过本节的学习,让学生感受向量的概念方法源于现实世界,从而激发学生学习数学的热情,培养学生学习数学的兴趣 三.教学类型:新知课 四、教学重点、难点 1、重点:向量及其几何表示,相等向量、平行向量的概念。 2、难点:向量的概念及对平行向量的理解。 五、教学过程 (一)、问题引入 1、在物理中,位移与距离是同一个概念吗?为什么? 2、在物理中,我们学到位移是既有大小、又有方向的量,你还能举出一些这样的量吗? 3、在物理中,像这种既有大小、又有方向的量叫做矢量。 在数学中,我们把这种既有大小、又有方向的量叫做向量。而把那些只有大小,没有方向的量叫数量。 (二)讲授新课 1、向量的概念 练习1 对于下列各量: ①质量②速度③位移④力⑤加速度⑥路程⑦密度⑧功⑨体积⑩温度 其中,是向量的有:②③④⑤ 2、向量的几何表示 请表示一个竖直向下、大小为5n的力,和一个水平向左、大小为8n的力(1厘米表示1n)。思考一下物理学科中是如何表示力这一向量的? (1)有向线段及有向线段的三要素 (2)向量的模 (4)零向量,记作____; (5)单位向量 练习2 边长为6的等边△abc中,=__,与相等的还有哪些? 总结向量的表示方法: 1)、用有向线段表示。 2)、用字母表示。 3、相等向量与共线向量 (1)相等向量的定义 (2)共线向量的定义 六.教具:黑板 七.作业 八.教学后记 篇二:平面向量的实际背景及基本概念教学设计 平面向量的实际背景及基本概念教学设计

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