安徽省亳州市第三十二中学2020-2021学年高二上学期第九周周测数学试题
数学第九次周测试卷
内容：一元二次不等式、基本不等式
一、单选题（50分）
1．不等式()10x x ->的解集是（ ）
A ．()(),01,-∞?+∞
B ．()0,1
C ．(),0-∞
D ．()1,+∞ 2．关于x 的不等式210x mx -+>的解集为R ，则实数m 的取值范围是（ ） A ．()0,4 B ．()(),22,-∞-+∞ C ．[]22-, D ．()2,2- 3．已知,0a b >，下列不等式一定成立的是( )
A ．2a b +≤≤
B ．2a b +≤≤
C 2a b +≤≤
D 2a b +≤≤ 4．已知0x >，则16y x x =+
的最小值为（ ） A ．4 B ．16
C ．8
D ．10 5．已知关于x 的不等式20x ax b --<的解集是(2,3)-，则+a b 的值是（ ） A ．7
B ．7-
C ．11
D ．11- 二、填空题（30分）
6．已知a >3，则4a?3+a 的最小值为______．
7．不等式2101x x
+>-的解集为__________. 8．若120,021x y x y x y
且，则>>+=+的最小值为_______________；
三、解答题（40分）
9．当[]13x ∈，时，一元二次不等式2280x x a -+-≤恒成立，求实数a 的取值范围.
10．已知a ，b ，c 是全不相等的正实数，求证
（选做题）11．已知a 、b 、c +∈R ， （1）求证：()114a b a b ??++≥ ??
?； （2）求证：()1119a b c a b c ??++++≥ ???
； （3）由（1）、（2），将命题推广到一般情形（不作证明）．
参考★★答案★★
1．A
【解析】
【分析】
利用二次不等式的解法解原不等式即可.
【详解】
解二次不等式()10x x ->，得0x <或1x >，
因此，不等式()10x x ->的解集()(),01,-∞?+∞.
故选：A.
【点睛】
本题考查一元二次不等式的解法，考查计算能力，属于基础题.
2．D
【解析】
【分析】
根据题意可得出?<0，由此可解得实数m 的取值范围.
【详解】
不等式210x mx -+>的解集为R ，所以?<0，即240m -<，解得22m -<<. 因此，实数m 的取值范围是()2,2-.
故选：D.
【点睛】
本题考查利用一元二次不等式恒成立求参数，考查计算能力，属于基础题.
3．D
【解析】
【分析】
由基本不等式得2a b +≥，由2
2222a b a b ++??≤ ???
即可判断三个数的大小关系。 【详解】
2a b +≥，又2
2222222222442a b a ab b a a b b a b +++++++??=≤= ???
，
∴2a b +≤≤ 故选：D
【点睛】
本题主要考查了基本不等式及等价转化思想，属于基础题。
4．C
【解析】
【分析】
利用基本不等式直接求得结果.
【详解】
168y x x =+≥=（当且仅当16x x =，即4x =时取等号） 本题正确选项：C
【点睛】
本题考查基本不等式求解和的最小值，属于基础题.
5．A
【解析】
【分析】
先利用韦达定理得到关于a,b的方程组，解方程组即得a,b的值，即得解.【详解】
由题得
23
,1,6 (2)3
a
a b
b
-+=
?
∴==
?
-?=-
?
，
所以a+b=7.
故选A
【点睛】
本题主要考查一元二次不等式的解集，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.
6．7
【解析】
【分析】
根据题意，原不等式变形可得4
a?3+a=4
a?3
+(a?3)+3，结合基本不等式的性质分析可得
★★答案★★．【详解】
根据题意，当a>3时，4
a?3+a=4
a?3
+(a?3)+3≥2√4
a?3
×(a?3)+3=7，
当且仅当a=5时等号成立，
即4
a?3
+a的最小值为7；
故★★答案★★为：7．
【点睛】
本题考查基本不等式的性质以及应用，关键是掌握基本不等式的形式，属于基础题．
7．
1
|1
2
x x
??
-<
【解析】
【分析】
把分式不等式等价转化为二次不等式，然后根据一元二次不等式的解法求解即可.【详解】
不等式21
1
x
x
+
>
-
等价于()()
2110
x x
+-<，
解得
1
1 2
x
-<<，
故★★答案★★为：
1
|1
2
x x
??
-<<
????
.
【点睛】
本题主要考查了分式不等式的求解，考查了一元二次不等式的求解，考查转化思想的应用，属于基础试题.
8．9
【解析】
因为21x y +=，所以()122221459y x x y x y x y y ??++=+++≥+= ???
. 当且仅当22y x x y =时，即1 3
x y ==时，12x y +的最小值为9. 点睛：本题主要考查基本不等式，在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等.①一正：关系式中，各项均为正数；②二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；③三相等：含变量的各项均相等，取得最值.
9．5a ≤
【解析】
【分析】
结合二次函数的图象列式12809680a a -+-≤??-+-≤?
解得结果即可. 【详解】
对于二次函数2
28y x x a =-+-，抛物线开口向上，当[]13x ∈，时，一元二次不等式2280x x a -+-≤恒成立，则当1x =时函数值0y ≤，且当3x =时函数值0y ≤. 得12809680a a -+-≤??-+-≤?
，解得5a ≤. 所以a 的取值范围是5a ≤.
【点睛】
本题考查了一元二次不等式恒成立问题，属于基础题.
10．利用均值不等式b a +a b >2￡?c a +a c >2￡?c b +b
c >2?来分析证明即可。
【解析】
证明：（综合法）
∵a ，b ，c 全不相等
∵与，与，与全不相等．
∵b a +a b >2￡?c a +a c >2￡?c b +b c >2?
三式相加得b a +c a +c b +a b +a c +b c >6?
11．（1）详见解析；
（2）详见解析； （3）()()21212
111*n n a a a n n a a a ??++???+?++???+≥∈ ???N . 【解析】
【分析】
（1）对不等式()11,a b a b ??++ ???分别使用基本不等式即可证明出()114a b a b ??++≥ ???
； （2）对不等式()111,a b c a b c ??++++ ???
分别使用基本不等式即可证明出 ()1119a b c a b c ??++++≥ ??
?； （3）根据（1）（2）不等式的结构特征直接写出一般推广结论.
【详解】
（1）(
)114a b a b ??++≥= ???
（当且仅当a b ==1时取等号）；
（2）(
)1119a b c a b c ??++?++≥= ???
（当且仅当1a b c ===时取等号）； （3）推广：已知1a ，2a ，…，n a +∈R 则
()()21212
111*n n a a a n n a a a ??++???+?++???+≥∈ ???N （当且仅当121n a a a ====时取
等号）；
【点睛】 本题考查了基本不等式的应用与推广，考查了类比推理的能力.
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