高考数学命题角度6_3利用导数研究函数的零点、方程的根大题狂练文

命题角度3：利用导数研究函数的零点、方程的根

1. 已知函数，.

（1）求函数的单调区间；

（2）若关于的方程有实数根，求实数的取值范围.

【答案】（1）函数的单调递增区间为，单调递减区间为；（2）当时，方程有实数根.

【解析】试题分析：（1）函数求导，从而得单调区间；

（2）方程有实数根，即函数存在零点，分类讨论函数的单调性，从而得有零点时参数的范围.

（2）由题得，.

依题意，方程有实数根，

即函数存在零点.

又.

令，得. 当时，

.

即函数

在区间

上单调递减，

而， .

所以函数存在零点； 当

时，

，

随的变化情况如下表：

所以为函数

的极小值，也是最小值.

当，即时，函数没有零点；

当

，即

时，注意到

，

，

所以函数存在零点. 综上所述，当时，方程有实数根. 点睛：已知函数有零点求参数常用的方法和思路：

（1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成函数的值域问题解决；

（3）数形结合法：先对解析式变形，在同一个平面直角坐标系中，画出函数的图像，然后数形结合求解.

2.已知函数()x

f x e =， ()ln 2

g x x =+.

（1）若直线y kx b =+是曲线()y f x =与曲线()y g x =的公切线，求,k b ； （2）设()()()2h x g x f x a a =--+-，若()h x 有两个零点，求a 的取值范围. 【答案】（1）{

0k e b ==或1

{ 1

k b ==；（2）1a >.

试题解析：对函数x y e =求导，得/x

y e =，对函数ln 2y x =+求导，得/1

y x

=

。 设直线y kx b =+与x

y e =切于点()

11,x P x e ，与ln 2y x =+切于()22,ln 2Q x x +.

则在点P 处的切线方程为： ()111x

x

y e e x x -=-，即()1111x

x

y e x x e =+-.

在点Q 处的切线方程为： ()2221ln 2y x x x x --=

-，即22

1

ln 1y x x x =++. 这两条直线为同一条直线，所以有()

()()

11

2

1211{

11

2x x

e x x e lnx =

-=+

由（1）有12ln x x =-，代入（2）中，有

()()122

110x x x --=，则1

1x

=或21x =.

当11x =时，切线方程为y ex =，所以{

0k e

b ==, 当21x =时，切线方程为1y x =+，所以1{

1

k b ==.

（2）()ln x a

h x x e

a -=-+。求导： ()()/1,0x a

h x e x x

-=

->， 显然()/

h x 在()0,+∞上为减函数，存在一个0x ，使得()/

00h

x =，

且()00,x x ∈时， ()/

0h x >， ()0,x x ∈+∞时， ()/

0h x <， 所以0x 为()h x 的极大值点。 由题意，则要求()00h x >. 由()0/

00

1

0x a h

x e x -=?

=，有00ln x x a -=-，所以00ln a x x =+， 故()0000

1

2ln h x x x x =-+. 令()1

2ln x x x x

?=-

+，且()10?=。 ()/2

21

10x x x ?=

++>， ()x ?∴在()0,+∞上为增函数，又()10?=， 要求()00h x >，则要求01x >，又ln y x x =+在()0,+∞上为增函数， 所以由01x >，得00ln 1a x x =+>。

综上， 1a > 【方法点睛】本题主要考查利用导数的几何意义及利用导数研究函数的单调性，属于难题. 应用导数的几何意义求切点处切线的斜率，主要体现在以下几个方面：(1) 已知切点

()()00,A x f x 求斜率k ,即求该点处的导数()0k f x ='；(2) 己知斜率k 求切点()()11,,A x f x 即解方程()1f x k '=；(3) 巳知切线过某点()()11,M x f x (不是切点) 求切

点, 设出切点()()

00,,A x f x 利用()()()10010

f x f x k f x x x ='-=

-求解.

3.已知函数

.

（1）求在区间上的最值； （2）若过点可作曲线的3条切线，求实数的取值范围.

【答案】（Ⅰ）最大值是10+a ，最小值是(Ⅱ)． 【解析】试题分析：

（1）求导数，分析函数的单调性，可求函数的最大小值；

（2）利用导数的几何意义，转化为方程有3根，再利用函数的单调性，根据函数变化情况写出对应的约束条件即可求解.

(Ⅱ) 设切点

，

则，

整理得，由题知此方程应有3个解． 令，

∴

，

由解得或

，由解得

，

即函数在

，

上单调递增，在上单调递减．

要使得有3个根，则，且

，

解得

， 即a 的取值范围为

．

4.已知函数()()31

,ln 4

f x x ax

g x x =++

=-． （1）当a 为何值时， x 轴为曲线()y f x =的切线；

（2）用{}min ,m n 表示,m n 中的最小值，设函数()()(){}

min ,(0)h x f x g x x =>，讨论

()h x 零点的个数．

【答案】（1）当34a =-时， x 轴是曲线()y f x =的切线（2）当34a >-或54a <-时， ()h x 有一个零点；当34a =-或54a =-时， ()h x 有两个零点；当53

44

a -<<-时， ()h x 有三

个零点．

【解析】【试题分析】（1）先对函数()31

4

f x x ax =++

求导，再运用导数的几何意义建立方程组3

002

010{4

30

x ax x a ++

=+=求出3

4a =-；（2）先确定函数()()(){}min ,(0)h x f x g x x =>的解析表达式的情形，再运用分类整合思想分3a ≤-或0a ≥和30a -<<两种情形进行分类讨论函数()h x 的零点的个数问题，进而求出对应的参数的取值范围：

（1）设曲线()y f x =与x 轴相切于点()0,0x ，则()()000,0f x f x '==，即

300201

{4

30

x ax x a ++

=+=， 解得： 013

,24x a =

=-， 因此，当3

4

a =-时， x 轴是曲线()y f x =的切线；

（2）当()1,x ∈+∞时， ()ln 0g x x =-<，从而()()(){}

()min ,0h x f x g x g x =≤<， ∴()h x 在()1,+∞无零点，

当1x =时，若54a ≥-

，则()5104

f a =+≥， ()()(){}()1min 1,110h f

g g ===，故1x =是()

h x 的零点； 若54a <-，则()5

104

f a =+<， ()()(){}()1min 1,110h f

g f ==<，

故1x =不是()h x 的零点，当()0,1x ∈时， ()ln 0g x x =->，所以只需考虑()f x 在()0,1的零点个数，

（Ⅰ）若3a ≤-或0a ≥，则()2

3f x x a ='+在()0,1无零点，故()f x 在()0,1单调，而

()()15

0,144

f f a ==+，

所以当3a ≤-时， ()f x 在()0,1有一个零点； 当0a ≥时， ()f x 在()0,1无零点；