平面向量的坐标运算

一、知识精讲

1．平面向量的正交分解

把一个向量分解成两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解．

2．平面向量的坐标表示

(1)向量的坐标表示：

在直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底，对于平面内的一个向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x，y使得a＝xi＋yj，则把有序数对(x，y)叫做向量a的坐标．记作a＝(x，y)，此式叫做向量的坐标表示．

(2)在直角坐标平面中，i＝(1,0)，j＝(0,1)，0＝(0,0)．

3．平面向量的坐标运算

设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.则a∥b?a＝λb?x1y2－x2y1＝0.

[小问题·大思维]

1．与坐标轴平行的向量的坐标有什么特点

提示：与x轴平行的向量的纵坐标为0，即a＝(x,0)；与y轴平行的向量的横坐标为0，即b＝(0，y)．

2．已知向量OM＝(－1，－2)，M点的坐标与OM的坐标有什么关系提示：坐标相同但写法不同；OM＝(－1，－2)，而M(－1，－2)．3．在基底确定的条件下，给定一个向量．它的坐标是唯一的一对实数，给定一

对实数，它表示的向量是否唯一

提示：不唯一，以这对实数为坐标的向量有无穷多个，这些向量都是相等向量．

4．向量可以平移，平移前后它的坐标发生变化吗

提示：不发生变化。向量确定以后，它的坐标就被唯一确定，所以向量在平移前后，其坐标不变．

5．已知a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，若a ∥b ，是否有x 1x 2＝y 1

y 2

成立

提示：不一定．由于x 1x 2＝y 1y 2

的意义与x 1y 2－x 2y 1＝0的意义不同，前者不

允许x 2和y 2为零，而后者允许，当x 1＝x 2＝0，或y 1＝y 2＝0或x 2＝y 2＝0时，a ∥b

但x 1x 2＝y 1

y 2

不成立．

二、典例精析

例1、如图所示，已知△ABC ，A (7,8)，B (3,5)，C (4,3)，M ，N ，D 分别是AB ，

AC ，BC 的中点，且MN 与AD 交于点F ，求DF 的坐标．

变式练习：

若向量a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，c ＝(－1,2)，则c 等于 ( )

A．－1

2

a＋

3

2

b a－

3

2

b a－

1

2

b D．－

3

2

a＋

1

2

b

答案：B

例2、已知点O(0,0)，A(1,2)，B(4,5)，及OP＝OA＋t AB.

(1)t为何值时，点P在x轴上点P在y轴上点P在第二象限

(2)四边形OABP能为平行四边形吗若能，求出t值；若不能，说明理由．

保持例题条件不变，问t为何值时，B为线段AP的中点

变式练习：

已知向量u＝(x，y)和向量v＝(y,2y－x)的对应关系用v＝f(u)表示．

(1)若a＝(1,1)，b＝(1,0)，试求向量f(a)及f(b)的坐标．

(2)求使f(c)＝(4,5)的向量c的坐标．

例3、已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)，当k为何值时，ka＋b与a－3b平行平行时它们是同向还是反向

保持例题条件不变，是否存在实数k，使a＋kb与3a－b平行

变式练习

已知A(2,1)，B(0,4)，C(1,3)，D(5，－3)．判断AB与CD是否共线如果共线，它们的方向相同还是相反

例4、(1)已知OA＝(3,4)，OB＝(7,12)，OC＝(9,16)，

(1)求证：A，B，C三点共线；

(2)设向量OA＝(k,12)，OB＝(4,5)，OC＝(10，k)，当k为何值时，A，B，C三点共线

变式练习

设A(x,1)，B(2x,2)，C(1,2x)，D(5,3x)，当x为何值时，AB与CD共线且方向相同，此时，A，B，C，D能否在同一条直线上

例5、如图所示，已知点A(4,0)，B(4，4)，C(2,6)，求

AC和OB交点P的坐标．

变式练习：

在△AOB中，已知点O(0,0)，A(0,5)，B(4,3)，OC＝1

4

OA，OD＝

1

2

OB，AD

与BC交于点M，求点M的坐标．

三、课后检测

一、选择题

1．已知向量i ＝(1,0)，j ＝(0,1)，对坐标平面内的任一向量a ，给出下列四个结论 ①存在唯一的一对实数x ，y ，使得a ＝(x ，y )； ②a ＝(x 1，y 1)≠(x 2，y 2)，则x 1≠x 2，且y 1≠y 2； ③若a ＝(x ，y )，且a ≠0，则a 的始点是原点O ； ④若a ≠0，且a 的终点坐标是(x ，y )，则a ＝(x ，y )． 其中，正确结论的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2

D ．3

解析：由平面向量基本定理可知，①正确；②不正确．例如，a ＝(1,0)≠(1,3)，但1＝1；因为向量可以平移，所以a ＝(x ，y )与a 的始点是不是原点无关，故③错误；a 的坐标与终点坐标是以a 的始点是原点为前提的，故④错误．

答案：B

2．已知a ＝(3，－1)，b ＝(－1,2)，若ma ＋nb ＝(10,0)(m ，n ∈R)，则( ) A ．m ＝2，n ＝4 B ．m ＝3，n ＝－2 C ．m ＝4，n ＝2

D ．m ＝－4，n ＝－2

解析：∵ma ＋nb ＝m (3，－1)＋n (－1,2) ＝(3m －n ，－m ＋2n )＝(10,0)，

∴?????

3m －n ＝10，－m ＋2n ＝0，

∴m ＝4，n ＝2.

答案：C

3．设向量a ＝(1，－3)，b ＝(－2,4)，c ＝(－1，－2)，若表示向量4a,4b －2c,2(a －

c )，

d 的有向线段首尾相接能构成四边形，则向量d 为( )

A ．(2,6)

B ．(－2,6)

C ．(2，－6)

D ．(－2，－6)

解析：∵四条有向线段首尾相接构成四边形，则对应向量之和为零向量，即4a ＋(4b －2c )＋2(a －c )＋d ＝0，

∴d ＝－6a －4b ＋4c ＝－6(1，－3)－4(－2,4)＋4(－1，－2)＝(－2，－6)． 答案：D

4．若向量a ＝(1,1)，b ＝(－1,1)，c ＝(4,2)满足(ka ＋b )∥c ，则k ＝( ) A ．3

B ．－3

D ．－1

3

解析：ka ＋b ＝(k －1，k ＋1)，

由(ka ＋b )∥c ，得2(k －1)－4(k ＋1)＝0，解得k ＝－3. 答案：B

5．已知四边形ABCD 的三个顶点A (0,2)，B (－1，－2)，C (3,1)，且BC ＝2AD ，则顶点D 的坐标为( )

C ．(3,2)

D ．(1,3)

解析：令D (x ，y )，由已知得?

??

??

2

x －0＝3－－1，2y －2＝1－－2.

解得????

?

x ＝2，y ＝7

2

.∴顶点D 的坐标为(2，7

2

)．

答案：A

6．若A (3，－6)，B (－5,2)，C (6，y )三点共线，则y ＝( ) A ．13 B ．－13 C ．9

D ．－9

解析：AB ＝(－8,8)，AC ＝(3，y ＋6)． ∵AB ∥AC ，∴－8(y ＋6)－24＝0. ∴y ＝－9. 答案：D

7．已知a ＝(－2,1－cos θ)，b ＝(1＋cos θ，－1

4)，且a ∥b ，则锐角θ等于( )

A ．45°

B ．30°

C ．60°

D ．30°或60°

解析：由a ∥b 得－2×(－14)＝1－cos 2θ＝sin 2

θ，

∵θ为锐角，∴sin θ＝2

2

，∴θ＝45°. 答案：A 二、填空题

8．已知向量a ＝(sin θ，cos θ－2sin θ)，b ＝(1,2)，且a ∥b ，则tan θ＝________. 解析：∵a ∥b ，∴2sin θ＝cos θ－2sin θ. 即4sin θ＝cos θ，∴tan θ＝14

.

答案：1

4

9．已知向量a ＝(2，－1)，b ＝(－1，m )，c ＝(－1,2)，若(a ＋b )∥c ，则m ＝________. 解析：a ＋b ＝(2－1，－1＋m )＝(1，m －1)，由(a ＋b )∥c ， 得1×2－(m －1)×(－1)＝0，即m ＝－1. 答案：－1

10．已知点A (－1，－1)、B (1,3)、C (x,5)，若对于平面上任意一点O ，都有OC ＝λOA ＋(1－λ) OB ，λ∈R，则x ＝______.

解析：取点O (0,0)，由OC ＝ λOA ＋(1－λ) OB ，得 (x,5)＝λ(－1，－1)＋(1－λ)(1,3)，

∴?????

x ＝－λ＋1－λ，5＝－λ＋31－λ.

解得???

??

λ＝－12，

x ＝2.

答案：2

11．已知向量a ＝(－2,3)，b ∥a ，向量b 的起点为A (1,2)，终点B 在坐标轴上，则点

B 的坐标为________________．

解析：由b ∥a ，可设b ＝λa ＝(－2λ，3λ)． 设点B 坐标为(x ，y )，则AB ―→＝(x －1，y －2)＝b .

由?

??

??

－2λ＝x －1，

3λ＝y －2，??

??

??

x ＝1－2λ，

y ＝3λ＋2.①

又B 点在坐标轴上，则1－2λ＝0或3λ＋2＝0， ∴λ＝12或λ＝－2

3

，代入①式得

B 点坐标为(0，72)或(73

，0)．

答案：(0，72)或(7

3，0)

三、解答题

12．已知A 、B 、C 三点的坐标为(－1,0)、(3，－1)、(1,2)，并且AE ＝1

3AC ，BF

＝1

3

BC ，求证：EF ∥AB . 证明：设E 、F 的坐标分别为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)，

依题意有AC ＝(2,2)，BC ＝(－2,3)，AB ＝(4，－1)．

∵AE ＝1

3AC ，

∴(x 1＋1，y 1)＝1

3(2,2)．

∴点E 的坐标为(－13，2

3

)．

同理点F 的坐标为(73，0)，EF ＝(83，－2

3)．

又83×(－1)－4×(－2

3

)＝0，∴EF ∥AB . 13．平面内给定三个向量a ＝(3,2)，b ＝(－1,2)，c ＝(4,1)，回答下列问题： (1)求3a ＋b －2c ；

(2)求满足a ＝mb ＋nc 的实数m ，n ； (3)若(a ＋kc )∥(2b －a )，求实数k .

解：(1)3a ＋b －2c ＝3(3,2)＋(－1,2)－2(4,1) ＝(9,6)＋(－1,2)－(8,2) ＝(9－1－8,6＋2－2)＝(0,6)． (2)∵a ＝mb ＋nc ，

∴(3,2)＝m (－1,2)＋n (4,1)＝(－m ＋4n,2m ＋n )． ∴－m ＋4n ＝3且2m ＋n ＝2，解得m ＝59，n ＝89.

(3)∵(a ＋kc )∥(2b －a )，

又a ＋kc ＝(3＋4k,2＋k )，2b －a ＝(－5,2)， ∴2×(3＋4k )－(－5)×(2＋k )＝0. ∴k ＝－16

13

.