2014高考数学一轮复习课件3.4函数y=asin(ωx+φ)的图象
ω
根据函数图象的对应关系，
π 得2× ＋φ＝2kπ＋π， 3 π π ∴φ＝2kπ＋ ，k∈Z.令k＝0，取φ＝ . 3 3 π ∴函数解析式为f(x)＝ 2sin(2x＋ )， 3 π 6 ∴f(0)＝ 2sin ＝ . 3 2 π (2)由题意知，Asin( ×2＋φ)＝A， 6 π π π ∴sin( ＋φ)＝1，又0＜φ＜ ，∴φ＝ ， 3 2 6 ∵周期T＝12，∴Q(8，－A)，
π π (2)已知函数f(x)＝Asin( x＋φ)(示，P、Q分别为该图象的最高点和最 低点，点P的坐标为(2，A)，点R的坐标为(2，0)．若∠PRQ 2π ＝ ，则y＝f(x)的最大值及φ的值分别是( ) 3 π π A．2 3， B. 3， 6 3 π π C. 3， D．2 3， 6 3
第四节
函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及三角函数模型的应用
1．y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念
振幅 y＝Asin(ωx＋φ)(A ＞0，ω＞0，x≥0) 表示一个振动量时 周期 频率 相位 初相 φ
A
2π ω ω x＋ 1 T＝___ f＝ ＝___ ω T 2π φ
2.用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图 用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找 五个关键点，如下表所示
1 【解析】 由题意知f(0)＝2sin φ＝1，∴sin φ＝ ， 2 π π 又|φ|＜ ，∴φ＝ ，又T＝6，故选A. 2 6
【答案】
A
1 2．把y＝sin x的图象上点的横坐标变为原来的2倍得 2 到y＝sin ω x的图象，则ω的值为( ) 1 A．1 B．4 C. D．2 4
1 【解析】 横坐标变为原来的2倍，则x变为 x，故得 2 1 到的函数解析式为y＝sin x . 4
π (2)点A在圆上转动的角速度是 ， 30 π 故t秒转过的弧度数为 t， 30 π π ∴h＝5.6＋4.8sin( t－ )，t∈[0，＋∞)． 30 2 到达最高点时，h＝10.4 m. π π π π π 由sin( t－ )＝1且用时最少得 t－ ＝ ， 30 2 30 2 2 ∴t＝30，∴缆车到达最高点时，用的时间最少为30 秒．
【答案】
C
π 4．已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(ω＞0，|φ|＜ )的部分图 2 象如图3－4－1所示，则( )
π A．ω ＝1，φ＝ 6 π C．ω ＝2，φ＝ 6
π B．ω ＝1，φ＝－ 6 π D．ω ＝2，φ＝－ 6
【解析】 ＝2，
π 7 由图象知A＝1，T＝4( π－ )＝π，∴ω 12 3
2 A. 3
4 B. 3
3 C. 2
D．3
【思路点拨】 (1)写出变换后的函数解析式，再根据 图象变换找图象； (2)平移后与原图象重合，则平移量是周期的整数倍．
【尝试解答】
(1)y＝cos 2x＋1
y＝cos x y
＋1 y＝cos(x＋1)＋1 ＝cos(x＋1)． 结合选项可知应选A.
4 (2)设函数的周期为T，由题意知kT＝ π，k∈Z，∴T＝ 3 4π ， 3k 3 ∴ω＝ k，k∈Z，且ω＞0. 2 3 ∴k＝1时，ω有最小值 . 2
3.由y＝sin x的图象变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(其中A＞
0，ω＞0)的图象 (1)先平移后伸缩 (2)先伸缩后平移
1．五点作法作y＝Asin(ωx＋φ)的图象，首先确定哪些 数据？
【提示】 后求出x的值．
π 3π 先使ωx＋φ等于0， ，π， ，2π，然 2 2
2．在图象变换时运用“先平移后伸缩”与“先伸缩后
如图3－4－5是函数y＝Asin(ωx＋φ)＋2(A＞0，ω＞0)的
图象的一部分，它的振幅、周期、初相各是(
)
4π π A．A＝3，T＝ ，φ＝－ 3 6 4π 3π B．A＝1，T＝ ，φ＝ 3 4 4π 3π C．A＝1，T＝ ，φ＝－ 3 4 4π π D．A＝1，T＝ ，φ＝－ 3 6
3－1 【解析】 由图象知，A＝ ＝1， 2 π 2 T 5 又 ＝ π－ ＝ π， 2 6 6 3 4 3 ∴T＝ π，ω＝ ， 3 2
π 5 3 3 由 π× ＋φ＝ ＋2kπ，得φ＝－ π＋2kπ，k∈Z， 6 2 2 4 3 令k＝0得φ＝－ π. 4
【答案】
C
如图3－4－6为一个缆车示意图， 该缆车半径为4.8 m，圆上最低点与
地面距离为0.8 m，60秒转动一圈，
图中OA与地面垂直，以OA为始边， 逆时针转动θ角到OB，设B点与地 面间的距离为h. (1)求h与θ间关系的函数解析式；
【答案】
(1)A
(2)C
对y＝Asin(ω x＋φ)进行图象变换时应注意以下两点： (1)平移变换时，x变为x± a(a＞0)，变换后的函数解析式 为y＝Asin[ω(x± a)＋φ]； x (2)伸缩变换时，x变为 (横坐标变为原来的k倍)，变换 k ω 后的函数解析式为y＝Asin( x＋φ)． k
π 2 ∵∠PRQ＝ π，∴∠xRQ＝ ， 3 6 π A ∴tan ＝ ，∴A＝2 3. 6 6 π 因此函数f(x)的最大值为2 3，φ＝ . 6
6 【答案】 (1) 2
(2)A
1．求参数φ是确定函数解析式的关键，由特殊点求φ 时，一定要分清特殊点是“五点法”的第几个点． 2．用五点法求φ值时，往往以寻找“五点法”中的第 一个点为突破口．“第一点”(即图象上升时与x轴的交点) 时ωx＋φ＝0.“第二点”(即图象的“峰点”)时，ωx＋φ＝ π ；“第三点”(即图象下降时与x轴的交点)时ωx＋φ＝ 2 3π π ；“第四点”(即图象的“谷点”)时ωx＋φ＝ ；“第 2 五点”时ωx＋φ＝2π .
π π 【解析】 (1)∵y＝sin(2x－ )＝sin 2(x－ )， 3 6 π ∴只需将函数y＝sin 2x的图象向右平移 个单位． 6 π 1 (2)将函数y＝ sin x的图象向右平移 个单位后，得到 2 2 π 1 的图象解析式为y＝ sin(x－ )，再把得到的图象横坐标缩 2 2 π 1 1 短到原来的 后得到的图象解析式为y＝ sin(2x－ )． 2 2 2
平移”两种途径，向左或向右平移的单位个数为什么不一
样？
φ 【提示】 前者平移|φ|个单位，后者平移| |个单位， ω
原因在于相位变换和周期变换都是针对变量x而言的，因此 在用这样的变换法作图象时一定要注意平移与伸缩的先后 顺序，否则会出现错误．
π 1．(人教A版教材习题改编)已知简谐运动f(x)＝2sin( 3 π x＋φ)(|φ|＜ )的图象经过点(0，1)，则该简谐运动的最小 2 正周期T和初相φ分别为( π A．T＝6，φ＝ 6 π C．T＝6π ，φ＝ 6 ) π B．T＝6，φ＝ 3 π D．T＝6π ，φ＝ 3
【思路点拨】
(1)观察函数f(x)的图象特征，可求A、
T，根据图象过定点可求φ，最后求f(0)．
(2)根据图象过点P(2，A)可求φ，根据周期可求点Q的横 坐标，解直角三角形求A.
【尝试解答】 T＝π， 2π 又T＝ ，∴ω＝2， T 7π π π (1)由题图知A＝ 2， ＝ － ＝ ， 4 12 3 4
(2)设从OA开始转动，经过t秒后到达OB，求h与t之间 的函数关系式，并求缆车到达最高点时用的最少时间是多
少？
【思路点拨】
【尝试解答】 (1)以圆心O为 原点，建立如图所示的直角坐 标系，则以Ox为始边，OB为终 π 边的角为θ－ . 2 π 故点B的坐标为(4.8cos(θ－ )， 2 π 4.8sin(θ－ ))， 2 π ∴h＝5.6＋4.8sin(θ－ )． 2
1．三角函数模型在实际中的应用体现在两个方面：一 是已知三角函数模型，准确理解自变量的意义及自变量与函 数之间的对应法则，二是把实际问题抽象转化成数学问题，
建立三角函数模型，再利用三角函数的有关知识解决问题，
其关键是合理建模． 2．建模的方法是，认真审题，把问题提供的“条件” 逐条地“翻译”成“数学语言”，这个过程就是数学建模的 过程．
π 已知函数f(x)＝sin(2x＋ )． 3 (1)求函数y＝f(x)的单调递增区间； (2)画出函数y＝f(x)在区间[0，π ]上的图象． π π π 【解】 (1)由2kπ－ ≤2x＋ ≤2kπ＋ (k∈Z) 2 3 2 5π π 得kπ－ ≤x≤kπ＋ (k∈Z)， 12 12 5π π ∴所求单调增区间为[kπ－ ，kπ＋ ](k∈Z)． 12 12
【答案】
C
3．(2012· 安徽高考)要得到函数y＝cos(2x＋1)的图象， 只要将函数y＝cos 2x的图象( ) A．向左平移1个单位 B．向右平移1个单位 1 1 C．向左平移 个单位 D．向右平移 个单位 2 2
1 【解析】 ∵y＝cos(2x＋1)＝cos 2(x＋ )， 2 1 ∴只要将函数y＝cos 2x的图象向左平移 个单位. 2
π π 再由2× ＋φ＝ ， 3 2 π 得φ＝－ . 6
【答案】
D
(1)(2012·浙江高考)把函数y＝cos 2x＋1的图象上所
有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移
1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图象是( )
π (2)设ω＞0，函数y＝sin(ωx＋ )＋2的图象向右平移 3 4π 个单位后与原图象重合，则ω的最小值是( 3 )
π π 7π (2)∵0≤x≤π，∴ ≤2x＋ ≤ . 3 3 3
列表如下：
π 2x＋ 3 x y π 3 0 3 2 π 2 π 12 1
π π 3 0
3π 7π 2π 2 3 7π 5π 12 6 －1 0 π 3 2
画出图象如图所示．
(1)(2013·深圳模拟)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ 为常数，A＞0，ω＞0)的部分图象如图3－4－3所示，则f(0) 的值是________．
2014年高考数学(文,江苏教育版)一轮复习课件：第21讲 函数y=Asin(ωx+φ)的图像与性质
第21讲
函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像与性质
•
［归纳总结］“变量变化”与“图像变化”的关系： (1)当 x→x＋φ 时， 若 φ>0， 则向左平移 φ 个单位； 若 φ<0， 点则向右平移|φ|个单位． 面 (2)当 y→y＋m 时，若 m>0，则向下平移 m 个单位；若 讲 考m<0，则向上平移|m|个单位． 向 1 (3)当 x→ωx(ω>0)时，其横坐标变为原来的 . ω 1 (4)当 y→ky(k>0)时，其纵坐标变为原来的k .
(2)[2013· 苏州模拟]
已知函数y＝sin(ωx＋φ)ω>0，0<φ ≤
• 点 面 讲 考 向
π 213所示，则φ的值为________． 2 的部分图像如图4-
图4213
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第21讲2 [答案] (1)3 (2) 3 15π 3π 9π 3 [解析] (1)由图像可知4T＝ 8 －（－ 8 ）＝ 4 ，所以T
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第21讲
函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像与性质
•
π 变式题 为了得到函数y＝cos(x＋ 3 )的图像，只需将 点 函数y＝sin x的图像向左平移________个长度单位．
面 讲 考 5π 向 [答案] 6
π [解析] 因为y＝sin x＝cos（x－ 2 ），且y＝cos（x＋ π π 5π 5π 3 ）＝cos（x－ 2 ＋ 6 ），所以向左平移 6 个单位长度．
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第21讲
函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像与性质
•
π [解析] (1)函数y＝2sin 3 x的图像向右平移1个单位长度得y π π π ＝2sin 3 (x－1)＝2sin 3 x－ 3 的图像，将所得图像上每一点的 点 π 面横坐标扩大为原来的 3 倍(纵坐标保持不变)，则得到y＝ 讲
高考数学一轮复习 第三章三角函数 解三角形第四节函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型
_
_______．
π 解析：函数 y＝sin2x 的图象向右平移 个单位后得到 y＝sin2(x 4 π π － )＝sin(2x－ )＝－cos2x 的图象，再向上平移 1 个单位可以 4 2 得到 y＝－cos2x＋1 的图象，由二倍角公式知 y＝2sin2x.
1 法二：将 y＝sinx 的图象上每一点的横坐标 x 缩短为原来的 倍， 2 纵坐标不变，得到 y＝sin2x 的图象； π π 再将 y＝ sin2x 的图象向左平移 个单位，得到 y＝ sin2(x＋ )＝ 6 6 π π sin(2x＋ )的图象；再将 y＝sin(2x＋ )的图象上每一点的横坐标保 3 3 π 持不变，纵坐标伸长为原来的 2 倍，得到 y＝2sin(2x＋ )的图象． 3
1 π 解：(1)y＝3sin( x－ )的周期 T＝4π. 2 4 π 振幅为 3，初相为－ . 4
(2)在x∈[0,4π]上确定关键点列表：
x 1 π x－ 2 4 1 π 3sin( x－ ) 2 4 0 － － π 4 π 2 0 0 3π 2 π 2 3 5π 2 π 0 7π 2 3π 2 4π
π (3)法一：把 y＝sinx 的图象上所有的点向左平移 个单位，得到 y＝ 3 π π sin(x＋ )的图象， 再把 y＝sin(x＋ )的图象上的点的横坐标缩短到原 3 3 1 π 来的 倍(纵坐标不变)， 得到 y＝sin(2x＋ )的图象，最后把 y＝sin(2x 2 3 π ＋ )上所有点的纵坐标伸长到原来的 2 倍(横坐标不变)，即可得到 y 3 π ＝2sin(2x＋ )的图象． 3
答案：0
1. y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念 y＝Asin(ωx 振幅 ＋φ)(A>0， ω>0)，
y=asin(ωxφ)的图象变换PPT课件
则
由
韦
达
定
理：xx11
x2
x2
4k 4(ak
b),
又 过S、R点的切线方程分别为：
4 y 2 x1 x x12 ,4 y 2 x2 x x22 ,
联立
并
解 之 得
x y
x1 x2 k
22
1 4
x1 x2
ak
(k为 常 数) b
消 去k, 得 : ax 2 y 2b 0,
c)2
a 2b2 .
即(b2
a4 b2
)x2
2
a4 b2
cx
(
a4c b2
2
a2b2 )
0,
x1
x2
(
a4c b2
2
a2b2 )
b2
a4 b2
0,
b4 a4.
即b2 a2 , c2 a2 a2 .
e2 2. 即e 2.
[例3] 已 知 点H (0,3),点P在x轴 上,点Q
在y轴 正 半 轴 上,点M在 直 线PQ上, 且 满 足
进y=而A得sin到0（五ω个x关+φ键）2点大作致出图函像数的方法，32
2
是作此类函数图像的主要方法.
78《圆锥曲线背景下的 最值与定值问题》
【考点搜索】
1. 圆锥曲线中取值范围问题通常从 两个途径思考，一是建立函数，用求值 域的方法求范围；二是建立不等式，通 过解不等式求范围.
2. 注意利用某些代数式故B点 在 直 线2ax y b 0上.
[例4] 设 双 曲 线x2 y2 1上 两 点A、B, AB
2 中点M (1,2).
(1) 求直线AB的方程; (2) 如果线段AB的垂直平分线与双曲 线 交 于C、D两 点, 那 么A、B、C、D是 否 共 圆, 为 什 么 ？
【与名师对话】高考数学一轮复习 3.4函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型的简单应用课件 文
值是( 1 A.3 5 C. 3
) B．1 D．2
π 解析：将函数 y＝sin ωx 向右平移4 个单位可得解析式为 y＝
ωπ sinωx－ ，当 4
3π 3π π x＝ 时，y＝0，代入令 ω－ ω＝kπ⇒ω＝2k， 4 4 4
2．当函数 y＝Asin (ωx＋φ)(A>0，ω>0，x∈[0，＋∞))表示 2π 周期 ，f＝1 叫做______ 频率 ， 一个振动时，A 叫做振幅 _____，T＝ 叫做_____ ω T
初相． 相位 ，φ 叫做________ ωx＋φ 叫做_______
3． 函数 y＝sin x 的图象经变换得到 y＝Asin (ωx＋φ)的图象 的步骤如下： 方法一
π 对称中心为2kπ＋2 ，0(k∈Z).
考点二 三角函数图象变换
在进行三角函数图象的左右平移时应注意以下几点：一要弄 清楚是平移哪个函数的图象，得到哪个函数的图象；二要注意平 移前后两个函数的名称一致，若不一致，应先利用诱导公式化为 同名函数； 三是由 y＝A sin ωx 的图象得到 y＝A sin (ωx＋φ)的图象 φ 时，需平移的单位数应为| |而不是 点
互 动 探 究
考点一 利用五点法作函数 y＝Asin (ωx＋φ)的图象
用“五点法”作图应抓住四条： (1)将原函数化为 y＝Asin (ωx ＋φ)(A>0，ω>0)或 y＝Acos (ωx＋φ)(A>0，ω>0)的形式；(2)求出 2π 周期 T＝ ；(3)求出振幅 A；(4)列出一个周期内的五个特殊点， ω 当画出某指定区间上的图象时，应列出该区间内的特殊点．
2014届高考江苏专用(理)一轮复习第四章第4讲函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质及三角
1 解析 因为 f(x)＝sin xcos x＝ sin 2x， 2 π f(x)＝sin x＋ 3cos x＝2sinx＋ 3 . π π 所以仅 f(x)＝2sinx＋ 4 与 f(x)＝2sinx＋ 3 图象经过平移 可以重合，所以“同簇函数”是②③.
5．三角函数模型的应用 (1)根据图象建立解析式或根据解析式作出图象．
(2)将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型．
(3)利用收集到的数据作出散点图，并根据散点图进行函 数拟合，从而得到函数模型．
【助学· 微博】 确定y＝Asin(ωx＋φ)＋k(A＞0，ω＞0，|φ|＜π)中参数的方 法 在由图象求解析式时，若最大值为 M，最小值为 m，则 A
第4讲 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象与性质 及三角函数模型的简单应用
考点梳理
1．用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找 五个特征点 如下表所示
x ωx＋φ y＝Asin(ωx ＋φ)
0－φ ω ______
0 0
π －φ 2 _______ ω
π 2 A
π－φ ω π 0
【训练2】 如图为y＝Asin(ωx＋
φ)(A>0，ω>0，－π<φ<0)的图象
的一段． (1)求其解析式；
π (2)若将 y＝Asin(ωx＋φ)的图象向左平移 个单位后得 y＝ 6 f(x)，求 f(x)的对称轴方程．
解
(1)由图象知 A＝ 3，以
π M3，0为第一个零点，
g(x)在
π π x∈－6，3
上的
最大值，并确定此时 x 的值．
T π 2π π 3 解 (1)由题图知 A＝2， ＝ ，则 ω ＝4× ，∴ω＝ . 4 3 3 2 3 π π 又 f － 6 ＝2sin2×－ 6 ＋φ π ＝2sin－4＋φ＝0， π π π π π φ－ ＝0，∵0＜φ＜ ，∴－ ＜φ－ ＜ ， ∴sin 4 2 4 4 4 π π ∴φ－ ＝0，即 φ＝ ， 4 4 3 π ∴f(x)的解析式为 f(x)＝2sin2x＋ 4 .
高考数学一轮复习第三章三角函数解三角形第五节y=Asinωx+φ的图象及应用课件新人教版
其中所有正确结论的编号是( D )
A．①④
B．②③ C．①②③ D．①③④
[解析] 已知 f(x)＝sinωx＋π5(ω＞0)在[0,2π]有且仅有 5 个零点，如图， 其图象的右端点的横坐标在[a，b)上，此时 f(x)在(0,2π)有且仅有 3 个极
大值点，但 f(x)在(0,2π)可能有 2 或 3 个极小值点，所以①正确，②不正 确；当 x∈[0,2π]时，ωx＋π5∈5π，2πω＋π5，由 f(x)在[0,2π]有且仅有 5 个 零点可得 5π≤2πω＋π5＜6π，得 ω 的取值范围是152，2190，所以④正确； 当 x∈0，1π0时，π5＜ωx＋π5＜π1ω0 ＋π5＜41090π＜π2，所以 f(x)在0，1π0单调递 增，所以③正确．
三角函数的零点、不等式问题的求解思路 (1)把函数表达式转化为正弦型函数情势y＝Asin(ωx＋φ)＋B(A>0， ω>0)． (2)画出长度为一个周期的区间上的函数图象． (3)利用图象解决有关三角函数的零点、不等式问题．
[题组突破]
1．(2021·佛山四校联考)已知x0＝
π 3
是函数f(x)＝sin(2x＋φ)的一个极大值
点，则f(x)的一个单调递减区间是( B )
A.6π，23π C.2π，π
B．3π，56π D．23π，π
角，∴2A＝π3，A＝π6，故tan
A＝
3 3.
确定y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A＞0，ω＞0)的步骤和方法 (1)求A，b.确定函数的最大值M和最小值m， 则A＝M－2 m，b＝M＋2 m. (2)求ω.确定函数的最小正周期T，则ω＝2Tπ.
(3)求φ常用的方法： ①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A，ω，b已知)或代入 图象与直线y＝b的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在 降落区间上)． ②特殊点法：确定φ值时，往往以寻找“最值点”为突破口．具体 如下：
高考数学一轮总复习第4章三角函数第4节函数y=Asinωx+φ的图象及简单应用教师用书
第四节 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及简单应用考试要求：1．结合具体实例，了解函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的实际意义．2．能借助图象理解参数A ，ω，φ的意义，了解参数的变化对函数图象的影响．3．会用三角函数解决一些简单的实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型．一、教材概念·结论·性质重现1．y ＝A sin(ωx ＋φ)的有关概念y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，x ≥0)振幅周期频率相位初相A T ＝f ＝＝ωx ＋ φ φ2．用五点法画y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，x ∈R )在一个周期内的简图时，要找五个特征点，如下表所示：ωx ＋φ0π2πxy ＝A sin(ωx＋φ)0A 0－A 01．五点法作简图要取好五个关键点，注意曲线凹凸方向．3．函数y ＝sin x 的图象经变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象的两种途径：由函数y ＝sin x 的图象经过变换得到y ＝sin(ωx ＋φ)的图象，如先伸缩，再平移时，要平移个单位长度，而不是|φ|个单位长度．二、基本技能·思想·活动经验1．判断下列说法的正误，对的打“√”，错的打“×”．(1)将y＝sin 2x的图象向右平移个单位长度，得到y＝sin的图象．( × )(2)函数f(x)＝A sin(ωx＋φ)(A≠0)的最大值为A，最小值为－A．( × )(3)若函数y＝A sin(ωx＋φ)(A≠0)为偶函数，则φ＝kπ＋(k∈Z)．( √ )(4)函数y＝A cos(ωx＋φ)的最小正周期为T，那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为．( √ ) 2．(2021·常州一模)已知函数f(x)＝2sin x，为了得到函数g(x)＝2sin的图象，只需( )A．先将函数f(x)图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，再向右平移个单位长度B．先将函数f(x)图象上所有点的横坐标变为原来的，再向右平移个单位长度C．先将函数f(x)的图象向右平移个单位长度，再将所有点的横坐标变为原来的D．先将函数f(x)的图象向右平移个单位长度，再将所有点的横坐标变为原来的2倍B 解析：将f(x)＝2sin x的图象上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到的函数解析式为f(x)＝2sin 2x；再将函数f(x)＝2sin 2x图象上所有的点向右平移个单位长度，得到函数f(x)＝2sin．3．函数f(x)＝cos(ω>0)的最小正周期是π，则其图象向右平移个单位长度后得到的图象对应函数的单调递减区间是( )A．(k∈Z)B．(k∈Z)C．(k∈Z)D．(k∈Z)B 解析：由题意知ω＝＝2，将函数f(x)的图象向右平移个单位长度后得到函数g(x)＝cos＝cos＝sin 2x的图象，由2kπ＋≤2x≤2kπ＋(k∈Z)，解得函数的单调递减区间为(k∈Z)．4．(2021·东城区一模)已知函数f(x)＝A sin(2x＋φ)，其中x和f(x)部分对应值如表所示：x－0f(x)－2－2－222那么A＝________．4 解析：由题意得f(0)＝A sin φ＝－2，f＝－A cos φ＝－2，所以A2(sin2φ＋cos2φ)＝16，因为A＞0，所以A＝4．5．函数y＝A sin(ωx＋φ)(A，ω，φ为常数，A＞0，ω＞0)在闭区间[－π，0]上的图象如图所示，则ω＝ ．3 解析：观察函数图象可得周期T＝，故T＝＝，所以ω＝3．考点1 由图象确定y＝A sin ωx＋φ 的解析式——基础性1．(2022·银川模拟)已知函数y＝sin(ωx＋φ)的图象如图所示，则此函数的解析式可以是( )A．y＝sinB．y＝sinC．y＝sinD．y＝sinC 解析：由函数y＝sin(ωx＋φ)的图象知，T＝2×＝π，ω＝＝2，由五点法画图知，是函数图象的第三个关键点，即2×＋φ＝π，解得φ＝，所以此函数的解析式是y＝sin．2．若函数f(x)＝sin(ωx＋φ)满足f＝f(x)，且f(x)的图象如图所示，则φ＝( )A． B．－C． D．－D 解析：因为函数f(x)＝sin(ωx＋φ)满足f＝f(x)，所以函数f(x)的图象关于直线x＝对称，结合图象，－＝×，所以ω＝2．结合五点法作图可得，2×＋φ＝，所以φ＝－．3．(2021·全国甲卷)已知函数f(x)＝2cos(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则f ＝________．－ 解析：由题意可得T＝－＝，所以T＝π，ω＝＝2，当x＝时，ωx＋φ＝2×＋φ＝2kπ，所以φ＝2kπ－π(k∈Z)，令k＝1可得φ＝－，据此有f(x)＝2cos，f ＝2cos＝2cos＝－．4．如图，某地一天6～14时的温度变化曲线近似满足函数T＝A sin(ωt＋φ)＋b，则这段曲线对应的函数解析式为____________．y＝10sin＋20，x∈[6,14] 解析：从题图中可以看出，6～14时是函数y＝A sin(ωx＋φ)＋b的半个周期，所以A＝×(30－10)＝10，b＝×(30＋10)＝20．又×＝14－6，所以ω＝．又×10＋φ＝2π＋2kπ，k∈Z，取φ＝，所以y＝10sin＋20，x∈[6,14]．1．由图象求解析式问题，求①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A，ω，b已知)或代入图象与直线y＝b 的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)．②特殊点法：确定φ值时，往往以寻找“最值点”为突破口．具体如下：“最大值点”(即图象的“峰点”)时ωx＋φ＝＋kπ，k∈Z；“最小值点”(即图象的“谷点”)时ωx＋φ＝＋kπ，k∈Z．考点2 函数y＝A sin ωx＋φ 的图象变换——综合性(1)(2021 ·全国乙卷)把函数y＝f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数y＝sin的图象，则f(x)＝( )A．sin B．sinC．sin D．sinB 解析：由已知的函数y＝sin逆向变换，第一步：向左平移个单位长度，得到y＝sin＝sin的图象，第二步：图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到y＝sin的图象，即为y＝f(x)的图象，所以f(x)＝sin．(2)(2021·山西二模)将函数y＝sin的图象沿x轴向右平移φ(φ＞0)个单位长度得到y ＝cos 2x的图象，则φ的值可能为( )A． B．C． D．A 解析：将函数y＝sin的图象沿x轴向右平移φ(φ＞0)个单位长度，得到y＝sin＝sin＝cos＝cos＝cos．若要得到y＝cos 2x的图象，则－2φ－＝2kπ，即φ＝－kπ－，k∈Z．因为φ＞0，所以当k＝－1时，φ＝．本例(1)若改为：函数y＝sin的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度得到函数y＝f(x)的图象，则f(x)＝________．sin 解析：函数y＝sin的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到函数y＝sin，向右平移个单位长度得到函数f(x)＝sin＝sin．1．由函数y移后伸缩”与“先伸缩后平移”．要特别注意这两种情况下平移的单位长度．2．当变换前后解析式三角函数名称不同时，要注意利用诱导公式转化．1．(2022·泰安模拟)已知函数f(x)＝4sin的图象为C，为了得到函数g(x)＝4sin的图象，只要把C上所有点的( )A．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变B．纵坐标缩短到原来的倍，横坐标不变C．纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变D．横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变D 解析：函数f(x)＝4sin的图象为C，为了得到函数g(x)＝4sin的图象，只要把C 上所有点横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，即可．2．已知函数f(x)＝cos是偶函数，要得到函数g(x)＝sin 2x的图象，只需将函数f(x)的图象( )A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向右平移个单位长度D．向左平移个单位长度C 解析：因为函数f(x)＝cos是偶函数，所以φ－＝kπ(k∈Z)．因为|φ|<，所以φ＝，所以f(x)＝cos 2x，要得到函数g(x)＝sin 2x＝cos的图象，只需将函数f(x)＝cos 2x的图象向右平移个单位长度．考点3 三角函数模型及其应用——应用性(2021·上海模拟)如图，某大风车的半径为2米，每12秒旋转一周，它的最低点O离地面1米，点O在地面上的射影为A．风车圆周上一点M从最低点O开始，逆时针方向旋转40秒后到达P点，则点P到点A的距离与点P的高度之和为( )A．5米B．(4＋)米C．(4＋)米D．(4＋)米D 解析：以圆心O1为原点，以水平方向为x轴正方向，以竖直方向为y轴正方向建立平面直角坐标系，则根据大风车的半径为2米，圆上最低点O离地面1米，12秒转动一圈．设∠OO1P＝θ，运动t(秒)后与地面的距离为f(t)．又T＝12，所以θ＝t，所以f(t)＝3－2cos t，t≥0；风车圆周上一点M从最低点O开始，逆时针方向旋转40秒后到达点P，θ＝6π＋，P(，1)，所以点P的高度为3－2×＝4(米)．因为A(0，－3)，所以AP＝＝，所以点P到点A的距离与点P的高度之和为(4＋)米．三角函数模型的应用体现在两方面：一是已知函数模型求解数模型，再利用三角函数的有关知1．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中使用．假设在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做逆时针匀速圆周运动．现将筒车抽象为一个几何图形，如图所示，圆O的半径为4 m，P0在水平面上，盛水筒M 从点P0处开始运动，OP0与水平面所成角为30°，且2分钟恰好转动1圈，则盛水筒M距离水面的高度H(单位：m)与时间t(单位：s)之间的函数关系式是( )A．H＝4sin＋2B．H＝4sin＋2C．H＝4sin＋2D．H＝4sin＋2A 解析：以O为原点，过点O的水平直线为x轴，建立如图所示平面直角坐标系，因为∠xOP0＝30°＝，所以OM在 t(s) 内转过的角度为t＝t，所以以x轴为始边，以OM为终边的角为t－，则点M的纵坐标为4sin，所以点M距水面的高度H(m)表示为时间 t(s) 的函数是H＝4sin＋2．2．据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在7 000元的基础上，按月呈f(x)＝A sin(ωx＋φ)＋B的模型波动(x为月份)．已知3月份达到最高价9 000元，9月份价格最低，为5 000元，则7月份的出厂价格为________元．6 000 解析：作出函数简图如图：三角函数模型为y＝A sin(ωx＋φ)＋B，由题意知A＝(9 000－5 000)＝2 000，B＝7 000，T＝2×(9－3)＝12，所以ω＝＝．将(3,9 000)看成函数图象的第二个特殊点，则有×3＋φ＝，所以φ＝0，故f(x)＝2 000sin x＋7 000(1≤x≤12，x∈N*)．所以f(7)＝2 000×sin＋7 000＝6 000(元)．故7月份的出厂价格为6 000元．考点4 三角函数图象与性质的综合问题——综合性(1)(多选题)将函数f(x)＝2sin的图象向右平移个单位长度后，所得图象对应的函数为y＝g(x)，则下列结论正确的是( )A．函数g(x)的图象关于直线x＝对称B．函数g(x)的图象关于点对称C．函数g(x)在上单调递减D．函数g(x)在[0,2π]上恰有4个极值点AD 解析：函数f(x)＝2sin的图象向右平移个单位长度后，所得图象对应的函数为y＝g(x)＝2sin的图象，对于A：当x＝时，g＝2，故A正确．对于B：当x＝时，g＝2sin＝，故B错误．对于C：当x∈时，2x－∈，故函数在该区间上单调递增，故C错误．对于D：令2x－＝kπ＋(k∈Z)，解得x＝＋(k∈Z)，当k＝0,1,2,3时，x＝，，，，正好有4个极值点，故D正确．(2)已知关于x的方程2sin2x－sin 2x＋m－1＝0在上有两个不同的实数根，则m的取值范围是( )A． B．(－2,2)C．(－2，－) D．(－2，－1)D 解析：方程2sin2x－sin 2x＋m－1＝0可转化为m＝1－2sin2x＋sin 2x＝cos 2x＋sin 2x＝2sin，x∈．设2x＋＝t，则t∈，题目条件可转化为＝sin t，t∈，有两个不同的实数根．所以y＝和y＝sin t，t∈的图象有两个不同交点，如图：由图象观察知，的范围为，故m的取值范围是(－2，－1)．已知关于x的方程2sin2x－sin 2x＋m－1＝0在x∈上有两个不同的实数根，则实数m的取值范围是________．1≤m＜2 解析：2sin2x－sin 2x＋m－1＝－cos 2x－sin 2x＋m＝－2sin＋m．因为x∈，所以2x＋∈．要使方程2sin2x－sin 2x＋m－1＝0在x∈上有两个不同的实数根，则2x＋∈且2x ＋≠，此时2sin∈[1,2)，所以1≤m＜2．1．研究y＝1．(2021·运城模拟)函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω＞0，|φ|＜π)的部分图象如图所示，则下列结论错误的是( )A．f(x)＝2sinB．若把f(x)的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，则得到的函数在[－π，π]上是增函数C．若把函数f(x)的图象向左平移个单位长度，则所得图象对应的函数是奇函数D．函数y＝f(x)的图象关于直线x＝－4π对称B 解析：由图象可得T＝－2π＝，所以T＝6π，所以ω＝＝．因为f(2π)＝2，所以f(2π)＝2sin＝2，即sin＝1，所以＋φ＝2kπ＋(k∈Z)，所以φ＝2kπ－(k∈Z)．因为|φ|＜π，所以φ＝－．所以f(x)＝2sin，故A正确．把f(x)的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到的函数为y＝2sin．因为x∈[－π，π]，所以－≤x－≤，所以y＝2sin在[－π，π]上不单调递增，故B错误．把函数f(x)的图象向左平移个单位长度，得到的函数为y＝2sin＝2sin x，是奇函数，故C正确．f(－4π)＝2sin＝2，是最值，故x＝－4π是f(x)的对称轴，故D正确．2．若将函数f(x)＝2sin(2x＋φ)的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于y轴对称，则函数f(x)在上的最大值为( )A．2 B．C．1 D．A 解析：将函数f(x)＝2sin(2x＋φ)的图象向左平移个单位长度后，得到的y＝2sin的图象关于y轴对称，所以φ＝，函数f(x)＝2sin．因为x∈，所以2x＋∈，则当2x＋＝时，函数f(x)在上的最大值为2．将函数y＝cos x＋sin x(x∈R)的图象向左平移m(m>0)个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是( )A ．B ．C ．D ．[四字程序]思路参考：构造正弦型函数的解析式．B 解析：y ＝cos x ＋sin x ＝2sin ，函数的图象向左平移m (m >0)个单位长度，得y ＝2sin 的图象．由x ＋m ＋＝k π＋(k ∈Z )，得函数y ＝2sin 的图象的对称轴为x ＝－m ＋k π(k ∈Z )．因为所得的图象关于y 轴对称，所以－m ＋k π＝0(k ∈Z )，即m ＝k π＋(k ∈Z )，则m 的最小值为．思路参考：构造余弦型函数的解析式．B 解析：函数y ＝cos x ＋sin x ＝2cos 的图象向左平移m (m >0)个单位长度得到y ＝2cos 的图象．因为此函数图象关于y 轴对称，所以y ＝2cos 为偶函数，易知m 的最小值为．思路参考：根据图象对称轴与函数最值的关系．B 解析：由解法1，得y ＝2sin ．因为所得的图象关于y 轴对称，可得当x ＝0时，y ＝±2，进而sin ＝±1，易知m 的最小值为．思路参考：利用函数图象．B 解析：y＝cos x＋sin x＝2sin，可得此函数图象的对称轴为x＝kπ＋(k∈Z)，可知离y轴最近的对称轴为x＝和x＝－．由图象向左平移m(m>0)个单位长度后关于y轴对称，易知m的最小值为．1．基于课程标准，解答本题一般需要提升运算求解能力、逻辑推理能力，体现逻辑推理、数学运算的核心素养．2．基于高考数学评价体系，本题涉及三角恒等变换、三角函数的图象与性质等知识，渗透了转化与化归思想方法，有一定的综合性，属于中低档难度题．将函数f(x)＝sin(2x＋φ)的图象向左平移个单位长度后，所得函数g(x)的图象关于原点对称，则函数f(x)在上的最大值为( )A．0 B．C． D．1D 解析：将函数f(x)＝sin(2x＋φ)的图象向左平移个单位长度后，可得函数g(x)＝sin的图象．根据所得图象关于原点对称，可得＋φ＝kπ．因为|φ|<，所以φ＝，f(x)＝sin．在上，2x＋∈，故当2x＋＝时，f(x)取得最大值为1．。
高考数学一轮总复习课件：函数y=Asin(ωx+φ)
sin
π
x＋
4
图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y＝
sin12x＋π4 的图象；再将图象上各点的纵坐标都伸长到原来的2倍(横坐标
不变)，得到y＝2sin12x＋π4 的图象，即y＝2cos－12x＋π4 的图象．
【答案】 见解析
(2)如何由y＝13sin2x＋π3 的图象得y＝sinx的图象．
例1
用五点法作出y＝2sin
2x＋π3
在[－
π 3
，
2π 3
]内的图
象．
【解析】 2·－π3 ＋π3 ＝－π3 ，2·2π 3 ＋π3 ＝5π 3 ，
令2x＋π3 ＝0，解得x＝－π6 .
ππ
π
2x＋ 3 ＝ 2 ，解得x＝12.
π
π
2x＋ 3 ＝π，解得x＝ 3 .
2x＋π3 ＝3π 2 ，解得x＝71π2 .
(2)变换作图．
相位
周期
振幅
①y＝sinx―变―换→y＝sin(x＋φ)―变―换→y＝sin(ωx＋φ)―变―换→y＝
Asin(ωx＋φ)
周期
相位
振幅
②y＝sinx―变―换→y＝sinωx―变―换→y＝sin(ωx＋φ)―变―换→
y＝Asin(ωx＋φ)
【说明】 前一种方法第一步相位变换是_向_左__(φ_>_0_)_或_向__右_(_φ_<_0_)
π
π
则ω＝ 3 －2kπ(k∈Z)，结合0<ω<2，得ω＝ 3 ，
所以f(x)＝sinπ3 x＋π6 ＝cosπ2 －π3 x－π6
＝cosπ3 （x－1），
所以只需将函数g(x)＝cos
π 3
高考理数一轮总复习：第3章-3.4-函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用
夯实双基·自主梳理
题型考向·层级突破
练习测评·课时作业
考点 1．函数 y＝Asin(ωx＋φ) 的图象
2．求函数 y＝Asin(ωx ＋φ)的解析式
3．三角函数的图象与性 质综合应用
五年考情 5年5考 5年5考 5年5考
素养定位 1．由图象确定 y＝Asin(ωx＋φ)的解析 式，发展直观想象和数学运算素养 2．由图象变换法确定 y＝Asin(ωx＋φ) 的解析式，增强直观想象和数学运算素 养 3．三角函数模型及其应用，提升数学 建模和数学运算素养
周期
y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0， A
ω＞0)，x∈[0，＋∞)
2π T＝ ω
频率 f＝T1
相位 初相 ωωxx＋＋φφ φ φ
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2．“五点法”作函数 y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的简图 “五点法”作图的五点是在一个周期内的最高点、最低点及与 x 轴相 交的三个点，作图时的一般步骤为：
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(4)函数 y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为 T，那么函数图象的两个相邻对 称中心之间的距离为T2.( √ )
(5)由图象求解析式时，振幅 A 的大小是由一个周期内图象中最高点的 值与最低点的值确定的．( √ )
解析 振幅 A 的值是由最大值 M 与最小值 m 确定的，其中 A＝M－2 m.
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练习测评·课时作业
趋势分析 函数 y＝Asin(ωx＋φ)图象的变换以及根据图象和简单性质确定 A、 ω、φ 的取值为高考中的一个热点，主要考查考生识图、辨图的能力 及三角恒等变换问题，题型多以选择题或填空题的形式出现，且难 度不大，属中低档题．有时也作为解答题中的一问或某一环节中有 所涉及
高三数学一轮复习 第3章 三角函数第4课时 函数y=Asin(ωx+φ)的图象精品课件
解析： (1)由图象可知，函数的最大值 M＝3，最小值 m＝－1， 则 A＝3－2－1＝2，b＝3－2 1＝1， 又 T＝223π－π6＝π，∴ω＝2Tπ＝2ππ＝2， ∴f(x)＝2sin(2x＋φ)＋1， 将 x＝π6，y＝3 代入上式，得 sinπ3＋φ＝1，
答案：
4π
1 4π
10
12t－π4
－π4
5．函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ)其中A＞0，ω＞0，|φ|＜π2的部分图象如 图所示，则 f(x)的解析式为________．
解析： 由图知：T＝8， ∴2ωπ＝8.∴ω＝π4，A＝2. ∴f(x)＝2sinπ4x＋φ，令 x＝2， ∴2＝2sinπ2＋φ. ∴sin2π＋φ＝1. ∵|φ|＜π2， ∴φ＝0，∴f(x)＝2sinπ4x.
列表，并描点画出图象：
x
－π6
π 12
π 3
7π 12
5π 6
X
0
π 2
π
3π 2
2π
y＝sin X 0
1
0
－1
0
y＝
2sin
0
2
0
－2
0
2x＋π3
(3)方法一：把 y＝sin x 的图象上所有的点向左平移π3个单位，得到 y ＝sinx＋π3的图象，再把 y＝sinx＋π3的图象上的点的横坐标缩短到原来 的12倍(纵坐标不变)，得到 y＝sin2x＋π3的图象，最后把 y＝sin2x＋π3上 所有点的纵坐标伸长到原来的 2 倍(横坐标不变)，即可得到 y＝ 2sin2x＋π3的图象．
3 2.
方法二：因区间0，34关于 x＝1 对称区间为23，2， 且 y＝g(x)与 y＝f(x)的图象关于 x＝1 对称，