三角换元(高二)
三角换元,换出一片天
１ 于 是 可 设 ＝ ｏ ａ， ＝ ｉ ｔ 把 代 数 ， ｃｓ ｙ ｓ ￣ ｎ ，
三 角 与代 数 或 几 何 的 联 系 ，将 复 杂
的代 数 或几 何 问题 转 化 为 三角 问题 ． 根据 具 体 问题 ．实施 三 角代 换 的方
ｌ ｓ ｉ ｎ
『 ２ ＋ ｌ ／ ≤＼ ．
已 知 ｎ ｂ∈Ｒ 且 ， ，
数 的 平 方 ， 脱 去 根 号 了 ， 想 便 联
舳 Ｃ 成 的角 的大小 ． 所 破解 如 图３． 因 为 ｓ 是 等 边 Ａ
平 Ｓ ＢＣ 距 离 为 ｄ． 则 ×
３ ２
×
中， 我们 不 难 发 现 ， 用 此 方 法解 题 采
的关 键 在 于 ： １ ．巧 妙 地 利 用 三 棱 锥 每 个 顶 点
三 角 形 ， Ｂ＝ Ｃ ２，Ｄ＝ Ｄ＝ ， （ ） Ａ Ｂ ＝ Ｃ Ｓ Ｉ 由 １ 得 心
角 的 大 小 为 ａｃ ｉ ｒ ．
７
外 ，也 可作 为对 其 他 解 法 所 得 结果
ＢＣ ２ 所 以 可 得 ｓ ： ：， 螂
， 设 到
从 以 上 各 题 解 法 的 展 示 过 程
的检验 手 段． 雹
拦 赢 法 多 用 ＂ ， 乃 Ａ５ ，
一
ｏ ｓ『 ｌ ｃ＋ ２ ２ｓ ２ｉｌ ２ ｎ－
法有 ：
１ 已 ａ ｂ ｌ ２ ：， Ｚ ，＋ ｌ ＋： ｃ
求证 Ｉ ＋ ｄ ≤１ ａ ｂＩ ． ｃ
思 索 这 是 一 个代 数 不 等 式 问
题 ． 以 用代 数 方 法 证 明 ．但 若 注 意 可
高二数学 简单的三角恒等变换(3个课时)教案
3.2 简单的三角恒等变换（3个课时）一、课标要求：本节主要包括利用已有的十一个公式进行简单的恒等变换，以及三角恒等变换在数学中的应用．二、编写意图与特色本节内容都是用例题来展现的．通过例题的解答，引导学生对变换对象目标进行对比、分析，促使学生形成对解题过程中如何选择公式，如何根据问题的条件进行公式变形，以及变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法的认识，从而加深理解变换思想，提高学生的推理能力．三、教学目标通过例题的解答，引导学生对变换对象目标进行对比、分析，促使学生形成对解题过程中如何选择公式，如何根据问题的条件进行公式变形，以及变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法的认识，从而加深理解变换思想，提高学生的推理能力．四、教学重点与难点教学重点：引导学生以已有的十一个公式为依据，以推导积化和差、和差化积、半角公式的推导作为基本训练，学习三角变换的内容、思路和方法，在与代数变换相比较中，体会三角变换的特点，提高推理、运算能力．教学难点：认识三角变换的特点，并能运用数学思想方法指导变换过程的设计，不断提高从整体上把握变换过程的能力．五、学法与教学用具学法：讲授式教学六、教学设想：学习和（差）公式，倍角公式以后，我们就有了进行变换的性工具，从而使三角变换的内容、思路和方法更加丰富，这为我们的推理、运算能力提供了新的平台．下面我们以习题课的形式讲解本节内容．例1、试以cos α表示222sin ,cos ,tan 222ααα．解：我们可以通过二倍角2cos 2cos12αα=-和2cos 12sin 2αα=-来做此题． 因为2cos 12sin2αα=-，可以得到21cos sin 22αα-=； 因为2cos 2cos 12αα=-，可以得到21cos cos 22αα+=． 又因为222sin 1cos 2tan 21cos cos 2ααααα-==+． 思考：代数式变换与三角变换有什么不同？代数式变换往往着眼于式子结构形式的变换．对于三角变换，由于不同的三角函数式不仅会有结构形式方面的差异，而且还会有所包含的角，以及这些角的三角函数种类方面的差异，因此三角恒等变换常常首先寻找式子所包含的各个角之间的联系，这是三角式恒等变换的重要特点．例２、求证：（１）、()()1sin cos sin sin 2αβαβαβ=++-⎡⎤⎣⎦； （２）、sin sin 2sin cos 22θϕθϕθϕ+-+=．证明：（１）因为()sin αβ+和()sin αβ-是我们所学习过的知识，因此我们从等式右边着手．()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+；()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-． 两式相加得()()2sin cos sin sin αβαβαβ=++-； 即()()1sin cos sin sin 2αβαβαβ=++-⎡⎤⎣⎦； （２）由（１）得()()sin sin 2sin cos αβαβαβ++-=①；设,αβθαβϕ+=-=， 那么,22θϕθϕαβ+-==．把,αβ的值代入①式中得sin sin 2sincos 22θϕθϕθϕ+-+=．思考：在例２证明中用到哪些数学思想？例２ 证明中用到换元思想，（１）式是积化和差的形式，（２）式是和差化积的形式，在后面的练习当中还有六个关于积化和差、和差化积的公式．例３、求函数sin y x x =的周期，最大值和最小值．解：sin y x x =这种形式我们在前面见过，1sin 2sin 2sin 23y x x x x x π⎛⎫⎛⎫=+=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以，所求的周期22T ππω==，最大值为２，最小值为2-．点评：例３是三角恒等变换在数学中应用的举例，它使三角函数中对函数()sin y A x ωϕ=+的性质研究得到延伸，体现了三角变换在化简三角函数式中的作用．小结：此节虽只安排一到两个课时的时间，但也是非常重要的内容，我们要对变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法加深认识，学会灵活运用．作业：157158P P - 14T T -。
公开高中复习三角换元法
解：由题可知 0，, ] 2
则原式变为：y sin t cost 2 sin(t ， )
4
t ，[0, ] 2
所以：t
4
4
, 34，所以：
1 y ，2
即 y的值域是 [1, 2.]
小结：本题中令 x sin2 t 的形式，主要发现值域 的联系，又有去根号的需要。
关系进行转换。
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四、总结
1.三角换元法适用的题型是应用于去根号，或者是 变换三角函数形式易求时。注意“两种情形”.
2.当用三角换元时，换元之后一定要带上“新的自变 量”的取值范围(注：是等量代换).
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五、暑期课程安排
1. 重点复习高一所学习的四本必修中的重点、 难点以及易错点；
2. 在查缺补漏的基础上 注重方法的教学，使 各个知识点有机的结合，从而使学生能够 将所学知识系统的联系在一起；
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谢谢大家！
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注意两种情形当用三角换元时换元之后一定要带上新的自变量的取值范围重点复习高一所学习的四本必修中的重点难点以及易错点
一、引入
换元法： 又称变量代换法。通过引进新的变量，把分
散的条件联系起来，把条件与结论联系起来，变 为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化。
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二、三角换元法
三角换元法： 是换元法的一种，应用于去根号，或者
解：y sin x cosx sin x cosx
令 sin x cosx t，则 t [ 2, 2] ，
则由 (sin x cos x)2 sin2 x cos2 x 2sin x cos x 得：
t2 1 sin x cos x
三角换元巧应用，高考问题妙破解
一、代数式的最值
例１ （２０２０年江苏卷第１２题）已知５狓２狔２＋狔４＝
１（狓，狔 ∈ 犚），则狓２ ＋狔２ 的最小值是
．
分析：利用条件中代数关系式的平方和为１的形
式，直 接 联 想 到 三 角 函 数 中 的 平 方 关 系，借 助 三 角 换
元处理，把 对 应 的 参 数 都 转 化 为 三 角 函 数 形 式，通 过
等式的性 质、函 数 的 单 调 性 等 来 分 析 与 处 理，分 类 讨
论，从而得以判断对应的不等式成立问题．
解 析：因为犪＞０，犫＞０，且犪＋犫＝１，设犪＝ｃｏｓ２θ，
（ ） 犫＝ｓｉｎ２θ，θ ∈ ０，２π ．
对于选项 Ａ，犪２ ＋犫２ ＝ｃｏｓ４θ ＋ｓｉｎ４θ ＝ （ｃｏｓ２θ ＋
ｓｉｎ２θ）２ －２ｃｏｓ２θｓｉｎ２θ＝１－
式，借助三角换元法的应用，结合犪＝－犫－犮的转化与
辅助角公式的应用，利用三角函数的图像与性质建立
不等式，并利用不等式的求解来证明相应的不等式成
立．
解析：不失一般性，不妨设 ｍａｘ｛犪，犫，犮｝＝犪，由犪
＋犫＋犮＝０，犪犫犮＝１可知，犪 ＞０，犫＜０，犮＜０，且犪＝
－犫－犮，犫犮＝ 犪１，则有犪２＝ （－犫－犮）２＝犫２＋犮２＋２犫犮，即
槡 犫２＋犮２＝犪２－２犫犮＝犪２－犪２．设－犫＝
犪２
－
２ 犪
·ｃｏｓθ，
槡 （ ） －犮＝
犪２
－
２ 犪
·ｓｉｎθ，θ
∈
０，２π
，所以犪＝－犫－犮
槡 槡 槡 ＝
犪２
－
２ 犪
·ｃｏｓθ＋
犪２
－
２ 犪
·ｓｉｎθ
＝
犪２
例说三角换元
—
｛ （ Ｏ ＜ ａ ４ ３ ＜ 詈 ） 测 ｙ － ｔ ａ ｎ （ 诎又 由 １ ＋ Ｉ ａ ２ ０
ｃｏ ｓ ＇ ｆ
及 余 弦 函 数 的 有 界 性 ， 得 去＋ ｌ 十 。 ｌ ＋ ‘ ＋ 去＝ ｌ ＋ Ｚ
一
ｍ ａ ＋ ｎ ｂ ＝ ｍ、 ｖ ／ ５ ｓ ｉ ｎ Ｏ ＋ ｎ 、 ／ ５ Ｃ ０ ８ ０ ｍ ｘ ／５、 ／ ｍ ２ ＋ ｎ ｓ ｉ ｎ （ Ｏ ＋
） ＝ ５ ， 所 以、 ｉ ｓ ｉ ｎ （ ＋ ） ＝ 、 ／ 了 ≤、
， 所以
、 ／
的最小值 为、 ／ 了。
二、 求 解 不 等 式
、
求 最 值
例１ 求 函数厂（ ） ＝ 、 儒
＋
的最 大值 和
例２ 解不等式
ＭＯ 试题 ）
一 佩
＞ 。（ 第 四届， －
２
最小值 。（ ２ ０ １ ３ 年江西高 中数学联赛题 ） 分析 ： 此题考 查的是形如ｙ ＝ 、 丽 ＋ 、 ／
的 无理函数最值 的求法 ，它是高 中数学的一个难点 内 容， 充分利用好三角换元 ， 会使求解过程快捷 。 解： 因为３ ｘ 一 ６ １ ＞０ ， ３ － ｘ ＞０ ￣ ， 所 以可求出函数， （ ） ＝ 、 ／ 二 ＋ 、 的定 义域为 ［ ２ ， ３ ］ ，从而 可设 ＝ ２ ＋
２
于 是 原 不 等 式 等 价 于 ｛ ｉ “ 。 ÷ ， 即 ３ ２ ｃ 。
ｌ ｓ ｉ ｎ ＋ ｃ ｏ ｓ ＝ １ 。
－
、 二 ； 丽 ： 、 ＋ Ｘ ／ ］ ￣ｉ ｎ ２ ０＝ 、 ／ 了ｓ ｉ ｎ Ｏ ＋ ｃ ｏ ｓ Ｏ ＝ ２ ｓ ｉ ｎ （ ＋ 一 ， ｆ） ， 而一 ， Ｉ Ｔ≤ ＋ 一 ＇ Ｉ Ｔ≤ ， 这 时 ≤ｓ ｉ ｎ （ ＋ ） ≤１ ， 所 以１ ≤ ） ≤２ ， 故此 函数厂 （ ） 的最大值 为
第二类换元积分法三角代换
第二类换元积分法三角代换积分是高等数学中一个非常重要的概念，也是数学中的一门重要的分支。
在积分的学习中，我们常常需要运用到换元积分法，而换元积分法又分为第一类和第二类。
在本文中，我们将主要讨论第二类换元积分法中的三角代换。
一、第二类换元积分法第二类换元积分法是指在进行积分计算时，通过对被积函数中的某个量进行代换，从而将原函数化为一个更容易积分的形式。
这种方法的本质是代数上的变量代换，可以将变量从原来的自变量x 换成一个新的自变量t，使得原来的积分式变为一个更容易求解的形式。
二、三角代换三角代换是第二类换元积分法中的一种常用方法，它通过将被积函数中的某些项表示为三角函数的形式，从而实现对积分式的简化。
常见的三角函数有正弦函数、余弦函数、正切函数等。
三、三角代换的基本思想三角代换的基本思想是将被积函数中的某些项表示为三角函数的形式，然后通过代换将其化简为更容易求解的形式。
具体的方法如下：1、当被积函数中包含二次项时，可以采用正弦或余弦代换，即将被积函数中的二次项表示为三角函数的平方。
2、当被积函数中包含平方根时，可以采用正切代换，即将被积函数中的平方根表示为三角函数的比值。
3、当被积函数中包含其他三角函数时，可以采用三角恒等式进行化简，从而将被积函数化为更容易求解的形式。
四、三角代换的具体方法1、正弦代换当被积函数中包含二次项时，可以采用正弦代换，即将被积函数中的二次项表示为正弦函数的平方。
具体的方法如下：将被积函数中的二次项表示为正弦函数的平方，即令x=asin t，其中a>0。
这时，可以通过三角恒等式sin^2t=1/2(1-cos2t)将正弦函数的平方表示为余弦函数的形式，从而将被积函数化为更容易求解的形式。
2、余弦代换余弦代换与正弦代换类似，也是将被积函数中的二次项表示为余弦函数的平方。
具体的方法如下：将被积函数中的二次项表示为余弦函数的平方，即令x=acos t，其中a>0。
这时，可以通过三角恒等式cos^2t=1/2(1+cos2t)将余弦函数的平方表示为余弦函数的形式，从而将被积函数化为更容易求解的形式。
平面向量中的三角换元法
平面向量中的三角换元法
平面向量中的三角换元法是一种常用的计算方法，主要用于简化向量的运算和求解。
其基本思想是将一个向量用另外两个已知向量的线性组合表示出来，通过对其进行代数变换，最终得到所需的结果。
具体来说，假设有两个已知向量a和b，以及一个待求向量c，我们可以用a和b来表示c，即c=xa+yb（其中x和y为待求系数）。
接下来，我们可以将c表示成另外一组向量的线性组合，例如c=pa+qb （其中p和q为待求系数）。
将这两个表达式相等并联立求解，就可以得到x、y、p和q的值，从而得到c向量的具体表达式。
需要注意的是，在使用三角换元法时，我们要选择合适的已知向量a和b，并且保证它们不共线，否则可能会出现无解的情况。
同时，我们还需要注意计算的精度，特别是在使用浮点数时，避免因精度误差而导致计算结果错误。
总之，平面向量中的三角换元法是一种十分实用的计算方法，可以帮助我们简化向量的运算和求解，提高计算效率和准确性。
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(完整版)三角换元(高二)
三角换元（一）三角换元是一种用三角函数中的角度θ代替问题中的字母参数，然后利用三角函数之间的关系而达到解题目的的一种换元方法，此方法应用非常广泛，本文主要介绍利用三角恒等式sin2θ+cos2θ=1及其变形形式，来处理多元代数式的最值或取值范围问题．x=cos θ2,y=tanθ, 其中θ∈[0,π2)，则|x|−|y|=cos θ2−tan θ=cos θsin θ-2, 表示点(0,2)与单位圆2x +2y =1,x ∈(0,1]上的点连线的斜率的相反数，如下图：因此，可计算得斜率的范围为(−∞,−3]，故题中所求代数式的最小值为3．例2 设 x,y 为实数，若2x −xy+2y =1，求x+2y 的取值范围． 分析 联想到θsin 2+θcos 2=1，考虑将题中2x −xy+2y =1变形，然后用三角换元进行求解．解 题中等式可化为22y -x ）（+2y 43=1, 进行三角换元，令x=2y +cos θ,y=sin θ32, 其中θ∈[0,2π)，解得x=31sin θ+cosθ,y=sin θ32,, 所以x+2y=35sinθ+cosθ=328sin(θ+φ),其中sinφ=1421,cosφ=1475． 因此，x+2y 的取值范围为[−3212,3212]． 总结(1)常用于三角换元的三角恒等式有sin 2θ+cos 2θ=1,αcos 12−tan 2α=1, (2) 利用三角恒等式，可将多元代数式的变元用θ代替，进而使变元减少，然后再结合辅助角公式等方式求最值或范围即可．(3)三角换元是换元法的一种，换元后一定注意新变元的范围，也就是需要根据题意给出θ的合理范围；练习由(x −3)2+(4−x)2=1，可令x -4=cos θ, 其中θ∈[0,2π]，此时题中函数化为 f(θ)=sinθ+3cosθ,其中θ∈[0,2π]，结合辅助角公式，得 f(θ)=2sin(θ+3π), 其中 θ∈[0,2π]，因此，f(θ)的取值范围为[1,2]，故原函数的值域为[1,2]．总结(1)当题中出现两个无理式相加减的形式，且其“平方和”或“平方差”为定值时，可根据三角恒等式进行换元；(2)三角换元是换元法的一种，换元后一定注意新变元的范围，也。
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三角换元（一）
三角换元是一种用三角函数中的角度θ代替问题中的字母参数，然后利用三角函数之间的关系而达到解题目的的一种换元方法，此方法应用非常广泛，本文主要介绍利用三角恒等式sin2θ+cos2θ=1及其变形形式，来处理多元代数式的最值或取值范围问题．
x=cos θ2,y=tanθ, 其中θ∈[0,π2)，则
|x|−|y|=
cos θ2−tan θ=cos θsin θ-2, 表示点(0,2)与单位圆2x +2y =1,x ∈(0,1]上的点连线的斜率的相反数，如下图：
因此，可计算得斜率的范围为(−∞,−3]，故题中所求
代数式的最小值为3．
例2 设 x,y 为实数，若2
x −xy+2y =1，求x+2y 的取值范围． 分析 联想到θsin 2+θcos 2=1，考虑将题中2
x −xy+2y =1变形，然后用三角换元进行求解．
解 题中等式可化为
22y -x ）（+2y 4
3=1, 进行三角换元，令
x=2y +cos θ,y=sin θ3
2, 其中θ∈[0,2π)，解得
x=31sin θ+cosθ,y=sin θ3
2,, 所以
x+2y=
35sinθ+cosθ=328sin(θ+φ),
其中sinφ=1421,cosφ=14
75． 因此，x+2y 的取值范围为[−3212,3
212]． 总结
(1)常用于三角换元的三角恒等式有
sin 2θ+cos 2θ=1,
αcos 12−tan 2α=1, (2) 利用三角恒等式，可将多元代数式的变元用θ代替，进而使变元减少，然后再结合辅助角公式等方式求最值或范围即可．
(3)三角换元是换元法的一种，换元后一定注意新变元的范围，也就是需要根据题意给出θ的合理范围；
练习
由(x −3)2+(4−x)2=1，可令
x -4=cos θ, 其中θ∈[0,2
π]，此时题中函数化为 f(θ)=sinθ+3cosθ,
其中θ∈[0,2
π]，结合辅助角公式，得 f(θ)=2sin(θ+3
π), 其中 θ∈[0,2
π]，因此，f(θ)的取值范围为[1,2]，故原函数的值域为[1,2]．
总结
(1)当题中出现两个无理式相加减的形式，且其“平方和”或“平方差”为定值时，可根据三角恒等式进行换元；
(2)三角换元是换元法的一种，换元后一定注意新变元的范围，也。