【4月安庆二模理数】2020年安徽省安庆市高三高考第二次模拟考试数学试卷及参考答案(解析版)
50
52
49
42
43
471 1048.32 1669.92 3144.12 3891.5
计算可得农村居民人均食品支出总额呈增长趋势，故 B 正确；
71
209
244
159
47
1074 1392 4078 1564
2011 年至 2015 年农村居民人均生活消费支出增长 4078 元，为最快；故 C 正确；2015 年到
A. z 的虚部为 i
B. z 2
C. z z 2
D. z2 2
【考查目标】考查复数的概念、运算及其性质.
2.
C. 解 析 ：
z
1
2 i3
2 1i
1 i
，其虚部为1，A
错；
z
12 12
2 ，B 错；
z z (1 i)(1 i) 2 ，C 正确； z2 (1 i)2 2i 2 ，D 错误.故选 C.
1 ， a1(1 q4 ) 2 1q
15 2
，解得
a1
4，
a2
2
， a4
1 2
， a2
a4
5 2
，故选
B.
6. 改革开放 40 多年来，城乡居民生活从解决温饱的物质需求为主逐渐转变到更多元化的精
神追求，消费结构明显优化.下图给出了 1983—2017 年部分年份我国农村居民人均生活
消费支出与恩格尔系数（恩格尔系数是食品支出总额占个人消费支出总额的比重）统计
据的能力.
6. D.解析：从图中可以看出，农村居民人均生活消费支出呈增长趋势，故 A 正确；根据“农
村居民人均食品支出总额=农村居民人均生活消费支出 恩格尔系数”，
212 67 142.04
283 61 172.63
492 61 300.12
736 56 412.16
895 52 465.4
942 2016 3408 7486 9050
O 为过 A ， B ， C ， D ， E ， F 六点的球的球心， G 为 EF 中点，则 OO1 ， OO2 分别垂
直于这两个平面，且 OGO1 OGO2 60 °，所以 OO1 O1G tan OGO1 3 ，
而 O1 A
1 2
AF
2 ，所以 OA
OO12 O1 A2
5 ，所以球的表面积为 4π OA2 20π .
C. 1，3
D. 1，6
【考查目标】考查集合的表示方法和集合交集的运算，同时也考查一元一次不等式、 一元二次不等式解集的计算方法.
1.A.解析： A x x 1， B x 6 x 1，所以 A B = x 1 x 1.故选 A.
2. 已知 i 为虚数单位，复数 z 满足 1 i3 z 2 ，则下列判断正确的是
2017 年农村居民人均生活消费支出增长比率为 = 9050 7486 20.892% ，人均食品支出 7486
总额增长比率为 = 9050 0.43 7486 0.42 23.771% ，故 D 错误.选 D. 7486 0.42
7.已知矩形 ABCD ， AB 2 AD 4 ， E ， F 分别为 AB ， CD 的中点，将四边形 AEFD
5.等比数列 an的前 n
项和为
Sn
.若 a3a6
2a52 ，
S415 2ຫໍສະໝຸດ ，则a2a4
3
A.
5
B.
C. 32
2
2
D. 40
【考查目标】考查等比数列的概念、通项公式与前 n 项和公式等基础知识，考查学
生的逻辑思维能力和运算求解能力.
5.B.解析：设公比为 q ，则 a4a5
2a52 ，所以 q
a5 a4
沿 EF 折起,使 AEB 120 ，则过 A ， B ， C ， D ， E ， F 六点的球的表面积为
A. 5 π 2
B. 5π
C. 10π
D. 20π
【考查目标】考查了直棱柱和球的相关概念，考查了考生逻辑推理能力、运算求解能力以
及分析问题和解决问题的能力.
3
7. D 解析：方法一：折起的如图所示，其中 O1 ，O2 分别为正方形 AEFD 和 BCFE 的中心,
图. 对所列年份进行分析，则下列结论错．误．的是
2
A. 农村居民人均生活消费支出呈增长趋势
B. 农村居民人均食品支出总额呈增长趋势
C. 2011 年至 2015 年农村居民人均生活消费支出增长最快
D. 2015 年到 2017 年农村居民人均生活消费支出增长比率大于人均食品支出总额增长比率
【考查目标】考查统计图的应用，考查学生“读图识图”的能力和从统计图中提取数
2020 年安庆市高三模拟考试
数学试题（理科）
第I卷
一、 选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分. 在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的.
1. 已知集合 A x x 1 0 ， B x x2 5x 6 0 ，则 A B =
A. 1，1
B. 1，2
m （ m 0 ）个单位，所得图象关于 x π 对称，则实数 m 的最小值为 3
π
A．
4
π
B．
3
3π
C．
4
D． π
【考查目标】本题考查考生对正弦型三角函数的图像与性质（对称性、周期性、单
调性）的掌握情况.考查考生对三角函数三种表征（零点、对称轴、单调性）的理解
分不必要条件.故选 A.
4.
函数
f (x)
x sin x
的大致图象是
x2 1
1
【考查目标】考查函数的概念、奇偶性，考查考生对函数图像的分析及计算能力.
4.A.解析：函数 f (x) 的定义域为 x R x 1 ，且为偶函数，排除选择支 C, D ；当
x 1, 时， f (x) 0 ，排除 B，故选 A.
3. 设 p ： 0 log2 x 1 ， q ： 2x 1 ，则 p 是 q 成立的
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【考查目标】考查对数函数、指数函数的性质，简单的逻辑用语.考查考生的计算能力.
3.A.解析： p ：1 x 2 ， q ： x 0 ，而x 1 x 2 x x 0 ，所以 p 是 q 成立的充
方法二：易知折叠后图形为三棱柱，将其补形为四棱柱，底面为菱形，且 AEB 120 ，
HD HF HC GA GE GB 2 ，因此球心为 GH 的中点，
DO= DH 2 HO2 5 ，所以球的表面积为 4π OA2 20π .故应选 D. 8. 已知函数 f (x) 2 sin 2 x ，（ 0 ）的最小正周期为 π ，若将其图象沿 x 轴向右平移
2024年安庆市高三模拟考试(二模) 数学含答案
绝密食启封并使用完毕前2024年安庆市高三模拟考试〈二模〉.数学试题命题：考试时间120分钟，满分150分－、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，有且只有－项符合题目要求。
1设集合A＝�I I匀’－斗寸，集合B＝↓xl斗＞O↓，则AnB=I IX-1 IA.(L 2]B.[1,2] c.(-LI)(l+i)2 -2.己知复数Z＝－－；：：：＝一一，z是Z的共辄复数，则z·z=飞／3-iA.一B.I c.2D.(-L2) D.4r y23.设F是椭圆C：二一＋一＝1的一个焦点，过椭圆C中心的直线交椭圆于P,Q两25 9点，则b.PQF的周长的最小值为A 12 B. 14 C. 16 D. 184.在一次学科核心素养能力测试活动中，随机抽取了100名同学的成绩G平分满分为100分〉，将所有数据按［40 , 50] , ( 50 , 60] , ( 60 , 70] (70, 80], (80, 90], (90, 100］进行分组，整理得到频率分布直方图如图所示，则估计这次调查数据的第64百分位数为A.80B.78C.76D.745英军组l,'e.0.030�－一－一－0.025』一－一－…一0.020』…0.015←－··第4题图／分2024年安庆二模数学参考答案一、选择题1. A【解析】[]12A =−，，()()∞+−∞−=，，11 B ，=B A (]12，，故选A. 2. B【解析】因为12z −+==，所以12z −=，得1zz =，故选B. 3. C【解析】设F '是椭圆的另一个焦点，根据题意和椭圆的对称性可知，PF QF '=，所以△PFQ 的周长10PF QF PQ QF QF PQ PQ '++=++=+ 10616+=≥，当且仅当直线PQ 与y 轴重合时等号成立，故选C. 4. B【解析】因为前3组数据的频率之和为4.02.015.005.0=++，前4组数据的频率之和为7.03.02.015.005.0=+++，则%64分位数在(]7080，内，设%64分位数为x ，则()64.0030.0704.0=⨯−+x ，解得78=x ，所以%64分位数为78，故选B ．5. C【解析】已知00n a q >>，，且1q ≠，-11n n a a q =.若{}n a 为递减数列，由指数型函数的性质可知，1＜＜0q ，随着n 趋向无穷大，n a 趋向于0，所以一定存在正整数m ，当m n ＞时，1＜n a .若存在正整数m ，当m n ＞时，1＜n a 恒成立，假使1＞q ，由指数型函数的性质，则当n 趋向无穷大，n a 趋向于无穷大，不符合要求.只有当1＜＜0q 满足条件，此时{}n a 为递减数列，所以是充要条件，故选C.6. A【解析】因为C ()03，，且1BC =，所以点B 在以点C 为圆心，1为半径的圆上. 如图，过点P 作圆C 的切线，设在第二象限的切点为B ，连接BC ，则BC BP ⊥. 连接CP ，在Rt △CBP 中，1BC =，()22132PC =+=，所以，π6CPB ∠=. 又易知π3CPO ∠=，所以πππ366BPO CPO CPB ∠=∠−∠=−=. 因为π5ππ=66−，所以OP 与PB 夹角最大值为5π6，故选A. 7. B【解析】由()πcos 2sin 22sin 24f x x x x ωωω⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，因为()x f 的图象关于点π04⎛⎫ ⎪⎝⎭，对称，所以ππ2π44k ω⨯+=， Z k k ∈−=，212ω. 又()x f 在π03⎛⎫ ⎪⎝⎭，上没有最小值，ππ2ππ24434x ωω⎛⎫+∈+ ⎪⎝⎭，，所以2ππ3π342ω+≤，815≤ω，故23=ω，故选B. 8. D【解析】对于A ，若1EC D E ⊥，则⊥EC 平面ED D 1，故DE EC ⊥ .在矩形ABCD 中取边AB 的中点E ，因为AD AB 2=，易证得DE EC ⊥，所以1EC D E ⊥. 故A 错误；对于B ，在11D A 上任取点1P ，过1P ，1B ，B 作正方体的截面BP B P 11，其中B B P P 11//，M EC PB = .第6题解答图在平面BP B P 11中，M P 1与B B 1不平行，故N B B M P =11 .因为1P 是在11D A上任取的点，故这样的直线N P 1有无数条. 故B 错误；对于C ，易求得二面角D AE D −−1的平面角为1π4D AD ∠=，在锐二面角D AE D −−1中过点A 作AD D 1∠的平分线，显然满足与平面AE D 1和平面DAEC 都成π8；在平面AE D 1和平面DAEC 所成钝二面角中，过点A 作与平面AE D 1和平面DAEC 都成π8的直线有2条；现过点E 分别作这3条直线的平行线可作3条，即过点E 与平面AE D 1和平面DAEC 所成角都等于π8的直线有且只有3条. 故C 错误；对于D ，第一类：通过点A 位于三条棱之间的直线中有一条与1AA AD AB ，，所成的角都相等；第二类：在图形外部与每条棱的反向延长线和另2条棱夹角相等的直线有3条，合计4条.现过点E 分别作这4条直线的平行线，这样的平行线共有4条， D 正确，故选D.二、多项选择题9. ACD【解析】解析：令0x y ==，可得，()01f =，A 项正确；令11x y ==−，，可得，()()()01111f f f =+−−=，所以()()112f f +−=，B 项错误；令12x x >，则()()()12121f x f x f x x =+−−，而120x x −>，()121f x x −<，则()()()121210f x f x f x x −=−−<，()()12f x f x <，所以函数()f x 为减函数， C 项正确；令y x =−，()()()011f f x f x =+−−=，()()2f x f x +−=，则函数()f x 关于点()01，对称，D 项正确. 10. CD【解析】易知抛物线C 的方程为24x y =，直线l 的方程为tan 1y x α=+，将tan 1y x α=+代入24x y =，整理得24tan 40x x α−−=.设A ()11x y ，，B ()22x y ，，则124tan x x α+=，124x x =−.所以AB ==()241tan α=+，由16AB =，得2tan 3α=，所以tan α=，所以π3α=或2π3α=，所以A 不正确.因为 212111222AOB AOF BOF S S S OF x x x x ∆∆∆=+=−=−=≥，当且仅当0α=时，△AOB 的面积有最小值2，故B 不正确.因为切线AE 的方程为()11112y x x x y =−+，切线BE 的方程为()22212y x x x y =−+，联立可得点E 的坐标为()2tan 1α−，，故点E 在一条定直线1y =−上，所以C 正确.当时0α=°时，显然90β=°，90αβ−=°；当时0α≠°时，因为111tan 2tan 0tan βαα−−==−−，所以tan tan 1αβ=−，这说明直线EF 与直线l 互相垂直，所以90αβ−=°，所以D 正确.11. BCD.【解析】若A 成立，由已知有33=a ，44=a ，75=a ，由()3412232ta a ta a ta a +++=+，解得31=t ，得到{}n n ta a ++1的前4项依次为35，310，315，325，不可能构成等差数列，故A 错误. 对B ，设()n n n n ta a s ta a +=++++112，则()n n n sta a t s a +−=++12，故⎩⎨⎧==−11st t s ，有非零实数解，且012≠+ta a ，故B 正确.对C ，()()2122343++++++=−++=+n n n n n n n a a a a a a a ，故C 正确. 对D ，()()()n nn n n n a a a 1111122−+−−=−++++，即()()()112023202320243111a a a i i i −+−−=−∑=22023−=a ，故()31202320241−=−∑=a a i i i，故D 正确.三、填空题12. 210【解析】二项式1031⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 的展开式中，通项公式为()r rrrrx C x x C65510310101−−=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅，100≤≤r ，当6=r 时，常数项210610=C . 13. 3π【解析】过圆锥的轴PM 作截面，显然其截面为等腰PAB ∆，球心O 在轴PM 上，点O 是内切球的球心，故ON OM =，点O 是外接球的球心，故OB OP =，所以PAB∆是等边三角形.因为2=AB ，所以半径1=MB ，母线2=PB ，求得圆锥的表面积为线3π. 14.a 21，a 【解析】曲线C 有x 轴，y 轴，x y =，x y −=四条对称轴，由曲线的对称性，内切圆心为坐标原点，只需考察第一象限内，曲线上的点到原点距离的最小值即为内切圆半径，第一象限内曲线上的点为()y x P ，，则22y x PO +=，令αcos 3131a x =，αsin 3131a y =，π02α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，则()αα662sin cos +=a PO α2sin 4312−=a ，故当π4α=时，a PO 21min =，即内切圆半径为a 21；由曲线的对称性，只需考察第一象限内的点()n m ，()0＞0＞n m ，为切点的直第13题解答图线，考查函数233232⎪⎪⎭⎫⎝⎛−=xa y ，则切线方程为()n m x m a m y +−⎪⎪⎭⎫⎝⎛−−=21323232，设切线与x 轴，y 轴交点为B A ，，由于323232a n m =+，令0=y ，得A 点坐标⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+03231，m n m ，令0=x ，得B 点坐标⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+03132，n n m ，故a n m n m n m n n m m n m AB =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=232323223232322313223231.四、解答题15．【解析】（1）由已知得：ABDBADADB ADB ABD ABD ∠∠=∠∠+∠∠cos sin 2cos sin cos sin ，故 ABDBADADB ABD ADB ABD ADB ABD ∠∠=∠∠∠∠+∠∠cos sin 2cos cos sin cos cos sin ，所以()ABD BADADB ABD ADB ABD ∠∠=∠∠∠+∠cos sin 2cos cos sin .……………… 3分因为()()sin sin πsin 0ABD ADB BAD BAD ∠+∠=−∠=∠≠， 故21cos =∠ADB ，所以π3ADB ∠=.……………… 6分（2）解法一：由已知，△ABD 为边长为4的等边三角形， 在△ABC 中，π6ACB ∠=，由正弦定理得ACB AB BAC BC ∠=∠sin sin ，故BAC ACBBACAB BC ∠=∠∠=sin 8sin sin .由于πBAC BCA ABD CBD ∠+∠+∠+∠=，所以π2BAC CBD ∠+∠=， 故CBD BC ∠=cos 8.……………… 9分在△BCD 中， 由余弦定理得CBD BC BD BC BD CD ∠⨯⨯−+=cos 2222，即16cos 84222=∠⨯⨯−+=CBD BC BC CD ，得4=CD .……………… 13分解法二：设ACD α∠=，因为90ADC ∠=°，所以sin AD AC α=⨯，即4sin AC α=①. ……………… 8分在△ABC 中，sin sin AC ABABC ACB=∠∠，所以()481sin π2AC α==−，即8sin AC α= ②.……………… 10分由①②得，2sin 2α=，所以45α=°， ……………… 12分所以4CD =.……………… 13分解法三：以D 为圆心，DA 为半径作圆D .若点C 在圆D 内，如图，连接AC 并延长交圆D 于C '，连C B '，则1π26ACB AC B CBC AC B ADB '''∠=∠+∠>∠=∠=，与π6ACB ∠=矛盾；……… 9分若点C 在圆D 外，同理可得π6ACB ∠<， 与π6ACB ∠=矛盾. ……… 12分故点C 在圆D 上，所以4DC DA ==.……… 13分16. 【解析】（1）当3m =−时，()32ln f x x x x=−−，其定义域为()0+∞，， 第 15 题解答图求导，得()()()22223123231x x x x f x x x x x−−+−++'=−+==. ……………… 3分令()0f x '=，得3x =（1x =−舍去），……………… 4分当03x <<时，()0f x '>，函数()f x 单调递增；……………… 5分当3x >时，()0f x '<，函数()f x 单调递减.……………… 6分所以函数()f x 的单调递增区间为()03，，单调递减区间为()3+∞，. ……………… 7分（2）方法1：由条件可知()01≤f ，于是01≤−m ，解得1≤m .……………… 8分当1≤m 时，()xx x x m x x x f 1ln 2ln 2+−+−=≤， ……………… 9分构造函数()xx x x g 1ln 2+−=，1≥x ， 对其求导，得()()22212110x g x x x x−'=−−=−≤， ……………… 10分所以函数()g x 在[)1+∞，上单调递减，于是()()01g =≤x g ， ……………… 14分因此实数m 的取值范围是(]1−∞，. ……………… 15分方法2：由条件可知x x x m ln 22−≤对任意的[)1x ∈+∞，恒成立， ……………… 8分令()x x x x h ln 22−=，1≥x ，只需()[]min x h m ≤即可.……………… 10分对函数()h x 求导，得()()()22ln 12ln 1h x x x x x '=−+=−−，()()21121x h x x x −⎛⎫''=−= ⎪⎝⎭≥0，所以函数()h x '在[)1,+∞上单调递增，……………… 12分于是()()10h x h ''=≥，所以函数()h x 在[)1+∞，上单调递增， 所以()()min 11h x h ==⎡⎤⎣⎦，于是1≤m ，……………… 14分因此实数m 的取值范围是(]1−∞，. ……………… 15分17. 【解析】（1）证明：取BC 的中点O ，连接OA OP 、，如图所示.因为四边形ABDC 是边长为2的菱形，PBC ∆是边长为2的等边三角形， 所以ABC ∆也是边长为2的等边三角形.在等边PBC ∆中，O 是BC 的中点，故BC OP ⊥；且3==OP OA ，又6=PA ，故OA OP ⊥；又O BC OA = ，故ABC OP 平面⊥；又OP ⊂平面PBC ，故平面PBC ⊥平面ABC ..………………6分（2）由（1）知，BC OP ⊥，OA OP ⊥. 又O 是等边ABC ∆的BC 边中点，故OA BC ⊥.所以，以O 为原点，分别以OP OB OA 、、所在直线为z y x 、、轴，建立如图示空间直角坐标系.第17题解答图1则)003(，，A ，)010(，，B ，)010(，，−C ，)300(，，P ，故)23023(，，E . ……………… 8分因为DBC ∆是边长为2的等边三角形，故3OD OP PD ===，所以60POD ∠=，且OD BC ⊥，又BC OP ⊥，O OP OD = ，故DOP BC 平面⊥，则D 在平面xOz 内.故求得)23023(，，−D ，所以)23123(，，−=BE ，)23123(，，−−=BD ， 设平面ABC 的法向量为)(c b a m ，，=，显然可令(0)m =，0，1；设平面EBD 的法向量为)(z y x n ，，=，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+−−=⋅=+−=⋅0232302323z y x BD n z y x BE n ， 令2=z ，则30==y x ，，即)230(，，=n . ……………… 11分227cos 77m n m n m n⋅<>===所以，，设平面EBD 与平面ABC 的夹角为θ，则721cos 1sin 2=><−=n m，θ， 故平面EBD 与平面ABC 的夹角的正弦值为217. ……………… 15分18.【解析】（1）()()02275.029545.012212=−=+=σμξξ≥≥P .P . 第17题解答图2所以符合该项指标的学生人数为：6825.6802275.03000≈=⨯人.……………… 4分（2）①记1A 表示解答A 类试题第一次测试合格，1B ，2B 分别表示解答B 类试题第一次和第二次测试合格，测试共进行3次记为事件M ，则()311=A P ，11121121311331()()+()3443444P A M P A B B P A B B ==⨯⨯+⨯⨯=.……………… 7分11121121111()()+()34()1()()43P A M P A B B P A B B P M A P A P A ====.……………… 10分② 设X 的取值为0，1，2 ，……………… 11分224(0)339P x ==⨯=，13321335(1)+344334416P x ==⨯⨯⨯⨯⨯=，()()()144351012==−=−==x P x P x P ，……………… 14分所以X 的分布列为……………… 15分数学期望4535115()012916144144E X =⨯+⨯+⨯=.……………… 17分19. 【解析】（1）1， 0.25；……………… 2分（2）证明：因为a a ab b b ⎡⎤⎧⎫=+⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭，等式两边同时乘b ，得 a a a b b b b ⎡⎤⎧⎫=+⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭. ……………… 4分因为a ，b 都为整数，所以a a b a b b b ⎧⎫⎡⎤=−⎨⎬⎢⎥⎩⎭⎣⎦也为整数，又 1＜0⎭⎬⎫⎩⎨⎧b a ≤，所以b b a b ＜0⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤.所以10−⎭⎬⎫⎩⎨⎧b b a b ≤≤，得证.……………… 8分解法一：假设b ，2b ，…，nb 都小于等于a ，因为a a a b b b b ⎡⎤⎧⎫=+⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭，所以⎭⎬⎫⎩⎨⎧+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=b a b b a b a nb ≤，所以⎭⎬⎫⎩⎨⎧+⎥⎦⎤⎢⎣⎡b a b a n ≤.因为1＜0⎭⎬⎫⎩⎨⎧b a ≤，所以⎥⎦⎤⎢⎣⎡b a n ≤，所以b 的倍数中不大于a 的正整数的个数为a b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦.……………… 12分解法二：设b 的倍数为kb （*k ∈N ），所以kb a ≤，即a k b≤， ……………… 8分所以k =1，2，3，…，a b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，所以b 的倍数中不大于a 的正整数的个数为a b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦.……………… 12分（3）!123n n =⨯⨯⨯⨯，将2，3，…，n 每一个数都分解为质因数的乘积.对于质因数i p ，利用（2）中结论，i p 的倍数中不大于n 的正整数的个数为i n p ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，记为1n ，将这些数都提取i p 出来，此时i p 的倍数中还有可以提取出i p 的数，注意到2i p 的倍数中不大于n 的正整数的个数为2i n p ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，记为2n ，将这些数提取i p 出来；同理，3i p 的倍数中不大于n 的正整数的个数为⎥⎦⎤⎢⎣⎡3i p n ，记为3n ，依此这样进行下去，则质因数i p 的指数∑∞=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=+++=132321r r i i i i i p n p n p n p n n n n a ，得证.……………… 17分。
安徽省安庆市2024届高三模拟考试(二模)数学试题含答案
2024年安庆市高三模拟考试（二模）数学试题（答案在最后）命题：安庆市高考命题研究课题组考试时间120分钟，满分150分一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求．1.设集合{}213A x x =-≤，集合101x B x x ⎧⎫+=>⎨⎬-⎩⎭，则A B = （）A.(1,2]B.[1,2]C.(1,1)- D.(1,2)-【答案】A 【解析】【分析】计算出集合A 、B 后借助交集定义即可得.【详解】由213x -≤，可得12x -≤≤，故{}12A x x =-≤≤，由101x x +>-，可得()()110x x +->，即1x >或1x <-，故{1B x x =>或}1x <-，则{}12A B x x ⋂=<≤.故选：A.2.已知复数2z =，z 是z 的共轭复数，则z z ⋅=（）A.14B.1C.2D.4【答案】B 【解析】【分析】首先分析题意，对给定复数化简，再利用共轭复数知识求解即可.【详解】221=+i 422z -+-，而1i 22z =--，可得1113(+i)(1222244z z ⋅=---=+=.故选：B.3.设F 是椭圆22:1259x y C +=的一个焦点，过椭圆C 中心的直线交椭圆于P ，Q 两点，则PQF △的周长的最小值为（）A.12B.14C.16D.18【答案】C 【解析】【分析】根据椭圆的定义求出10PF QF +=，再由min 26PQ b ==，即可求解.【详解】由椭圆的对称性可知P ，Q 两点关于原点对称，设椭圆的另一个焦点为1F ，则四边形1PFQF 为平行四边形，由椭圆定义可知：11420PF PF QF QF a +++==，又1PF QF =，1PF QF =，所以10PF QF +=，又PQ 过原点，所以min 26PQ b ==，所以PQF △的周长的最小值为：10616+=.故选：C4.在一次学科核心素养能力测试活动中，随机抽取了100名同学的成绩（评分满分为100分），将所有数据按[40,50]，(50,60]，(60,70]，(70,80]，(80,90]，(90,100]进行分组，整理得到频率分布直方图如图所示，则估计这次调查数据的第64百分位数为（）A.80B.78C.76D.74【答案】B 【解析】【分析】借助百分位数的定义计算即可得.【详解】由0.005100.015100.020100.4⨯+⨯+⨯=，0.005100.015100.020100.030100.7⨯+⨯+⨯+⨯=，故这次调查数据的第64百分位数位于(70,80]之间，设这次调查数据的第64百分位数为x ，则有700.640.4100.70.4x --=-，解得78x =.故选：B .5.设{}n a 是公比不为1的无穷正项等比数列，则“{}n a 为递减数列”是“存在正整数0n ，对任意的正整数0n n >，1n a <”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C .充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】由等比数列基本量的计算以及正项等比数列的单调性、充要条件的定义即可得解.【详解】{}n a 是公比不为1的无穷正项等比数列，所以()*0,N n a n >∈，一方面：“{}n a 为递减数列”，等价于101n na q a +<=<，要使得()111,0nn a a q a =<>，只需11nq a <，即1lg lg n q a <-，从而1lg lg a n q>-，所以取10lg max 1,1lg n q a ⎧⎫⎡⎤=-+⎨⎬⎢⎣⎦⎩⎭，其中[]x 是指不超过x 的最大整数，则当0n n >时，有1n a <，另一方面：我们假设1q >，且“存在正整数0n ，对任意的正整数0n n >，1n a <”，则当n 越来越大时，同理可得()111,0nn a a q a =>>，但这与“存在正整数0n ，对任意的正整数0n n >，1n a <”矛盾，综上所述，“{}n a 为递减数列”是“存在正整数0n ，对任意的正整数0n n >，1n a <”的充要条件.故选：C.6.已知点(1,0)P，(C ，O 是坐标原点，点B 满足1BC = ，则OP 与PB夹角的最大值为（）A.56π B.23π C.2π D.3π【答案】A 【解析】【分析】根据题意，求得点B的轨迹是以C 为圆心，半径1r =的圆，结合直线与圆相切，求得切线的倾斜角，即可求解.【详解】设点(,)B x y，可得()BC x y =--，因为1BC =，可得22(1x y +-=，即点B的轨迹是以C 为圆心，半径1r =的圆，如图所示，设过点P 与圆C 相切的直线PB 的方程为(1)y k x =-，即kx y k 0--=，1=，解得3k =-，设切线的倾斜角为(0π)αα≤<，则tan 3α=-，可得5π6α=，即OP 与PB 夹角的最大值为5π6.故选：A.7.已知函数2()2cos sin 21(0)f x x x ωωω=+->的图象关于点π,04⎛⎫ ⎪⎝⎭对称，且()f x 在π0,3⎛⎫⎪⎝⎭上没有最小值，则ω的值为（）A.12B.32C.52D.72【答案】B 【解析】【分析】先化简解析式，根据对称性可得12,2k k ω=-∈Z ，再结合最小值点即可求解.【详解】2π()2cos sin 21cos 2sin 224f x x x x x x ωωωωω⎛⎫=+-=+=+ ⎪⎝⎭，因为()f x 的图象关于点π,04⎛⎫⎪⎝⎭对称，所以πππ0424f ω⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故πππ,24k k ω+=∈Z ，即12,2k k ω=-∈Z ，当ππ22π42x k ω+=-+，即3ππ,8k x k ωω=-+∈Z 时，函数()f x 取得最小值，因为()f x 在π0,3⎛⎫⎪⎝⎭上没有最小值，所以5ππ83ω≥，即158ω≤，由115228k ω=-≤解得1918k ≤，故1k =，得32ω=.故选：B8.如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，122AB AD AA ==，点E 是棱AB 上任意一点（端点除外），则（）A.不存在点E ，使得1EC D E⊥B.空间中与三条直线11A D ，EC ，1BB 都相交的直线有且只有1条C.过点E 与平面1D AE 和平面DAEC 所成角都等于π8的直线有且只有1条D.过点E 与三条棱AB ，AD ，1AA 所成的角都相等的直线有且只有4条【答案】D 【解析】【分析】当E 为AB 的中点时判断A ；作图判断B ；利用角平分面的特征判断C ；建立空间直角坐标系，分析判断D.【详解】在长方体1111ABCD A B C D -中，122AB AD AA ==，对于A ，当E 为AB 的中点时，连接DE ，则45AED BEC ∠=∠= ，即有EC DE ⊥，而1DD ⊥平面ABCD ，EC ⊂平面ABCD ，则1EC DD ⊥，又11,,DE DD D DE DD ⋂=⊂平面1DD E ，因此EC ⊥平面1DD E ，而1D E ⊂平面1DD E ，则1EC D E ⊥，A 错误；对于B ，连接11,BD B D ，设BD EC K ⋂=，111////BB CC DD ，则平面11BDD B 与直线EC 交于K ，点K 在线段BD 上，不含端点，则直线1D K 与直线1BB 相交，同理直线1A E 与直线1BB 相交,因此直线1D K 、1A E 分别与三条直线11A D ，EC ，1BB 都相交，B 错误；对于C ，AB ⊥平面11ADD A ，而1AD ⊂平面11ADD A ，则1AB AD ⊥，又AB AD ⊥，于是1DAD ∠是二面角1D AE D --的平面角，且1π4DAD ∠=，显然1DAD ∠的平分线与平面1D AE 和平面DAEC 所成角都等于π8，过点E 与此直线平行的直线符合要求，这样的直线只有1条；半平面1D AE 与半平面DAEC 的反向延长面所成二面角的角平分面与平面1D AE 和平面DAEC 所成角都等于3π8，在此角平分面内过点E 与平面1D AE 和平面DAEC 所成角都等于π8的直线有2条，因此过点E 与平面1D AE 和平面DAEC 所成角都等于π8的直线有3条，C 错误；对于D ，建立如图所示的空间直角坐标系，直线1,,AB AD AA 的方向向量分别为(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)，设过点E 的直线l 方向向量为(,,)a x y z =，由直线l 分别与直线1,,AB AD AA 所成角都相等，==||||||x y z ==，不妨令||1x =，有(1,1,1)a =r 或(1,1,1)a =- 或(1,1,1)a =- 或(1,1,1)a =- ，显然使得||||||1x y z ===成立的向量a有8个，其余4个分别与上述4个向量共线，所以过点E 与三条棱AB ，AD ，1AA 所成的角都相等的直线有且只有4条，D 正确.故选：D【点睛】关键点睛：建立空间直角坐标系，利用线线夹角的求法是求解选项D 的关键.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知定义在R 上的函数()f x ，满足对任意的实数x ，y ，均有()()()1f x y f x f y +=+-，且当0x >时，()1f x <，则（）A.(0)1f = B.(1)(1)1f f +-=C.函数()f x 为减函数 D.函数()y f x =的图象关于点()0,1对称【答案】ACD 【解析】【分析】对A ：借助赋值法令0x y ==计算即可得；对B ：借助赋值法令1x =，1y =-计算即可得；对C ：结合函数单调性的定义及赋值法令0y >计算即可得；对D ：结合函数对称性及赋值法令y x =-计算即可得.【详解】对A ：令0x y ==，则有()()()0001f f f =+-，故(0)1f =，故A 正确；对B ：令1x =，1y =-，则有()()()0111f f f =+--，故()()112f f +-=，故B 错误；对C ：令0y >，则有()()()1f x y f x f y +-=-，其中x y x +>，()10f y -<，令1x x y =+，2x x =，即有对1x ∀、2x ∈R ，当12x x >时，12())0(f x f x -<恒成立，即函数()f x 为减函数，故C 正确；对D ：令y x =-，则有()()()1f x x f x f x -=+--，又(0)1f =，故()()2f x f x +-=，故函数()y f x =的图象关于点()0,1对称，故D 正确.故选：ACD.10.抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点为(0,1)F ，经过点F 且倾斜角为α的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，分别过点A 、点B 作抛物线C 的切线，两切线相交于点E ，则（）A.当16AB =时，π3α=B.AOB 面积的最大值为2C.点E 在一条定直线上D.设直线EF 倾斜角为β，αβ-为定值【答案】CD 【解析】【分析】由焦点为(0,1)F 可得抛物线方程，联立直线与曲线方程，可得关于x 的一元二次方程，即可得与x 有关韦达定理，对A ：利用韦达定理与弦长公式计算即可得；对B ：利用韦达定理与弦长公式及面积公式计算即可得；对C ：借助导数的几何意义可得AE l 与BE l 的方程，即可得点E 坐标，即可得解；对D ：由tan tan 1αβ⋅=-，故可得2παβ-=.【详解】由抛物线的焦点为(0,1)F ，故2p =，即2:4C x y =，由题意可知，直线l 斜率存在，设():1tan AB l y kx k α=+=，()11,A x y ，()22,B x y ，联立241x y y kx ⎧=⎨=+⎩，有2440x kx --=，216160k ∆=+>，124x x k +=，124x x =-，对A：()241AB k ===+，当16AB =时，即有()24116k +=，故k =，即tan α=，即π3α=或2π3α=，故A 错误；对B：()2114122AOB S d AB k =⨯=+= ，故2AOB S ≥ ，故B 错误；对C ：由()11,A x y ，2:4C x y =，即24x y =，有2x y '=，故()111:2AE x l y x x y =-+，又2114x y =，故211:24AE x x l y x =-，同理可得222:24BE x x l y x =-，设点(),E m n ，则有2112222424x x n m x xn m ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，有22121212242x x x x m x x -+=⨯=-，21121122244x x x x x x n +=⨯-=，由124x x k +=，124x x =-，故2m k =，1n =-，故点E 在一条定直线上且该直线为1y =-，故C 正确；对D ：由()2,1E k -，(0,1)F ，则111tan 2k kβ+==--，故有1tan tan 1k k αβ⎛⎫⋅=⋅-=- ⎪⎝⎭，即π2αβ-=，故αβ-为定值且该定值为π2，故D 正确.故选：CD.【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为()()1122,,,x y x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，注意∆的判断；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +、12x x （或12y y +、12y y ）的形式；（5）代入韦达定理求解.11.满足12a =，21a =，()*21n n n a a a n ++=+∈N 的数列{}na 称为卢卡斯数列，则（）A.存在非零实数t ，使得{}()*1n n a ta n ++∈N 为等差数列B.存在非零实数t ，使得{}()*1n n a ta n ++∈N 为等比数列C.()*243n n n a a a n ++=+∈ND.()20242023113ii i a a =-=-∑【答案】BCD 【解析】【分析】对A 、B ：借助等差数列与等比数列定义计算即可得；对C ：借助21n n n a a a ++=+代入即可得；对D ：由()*21n n n a a a n ++=+∈N ，得到()()()2121111n n nn n n a a a ++++-=--+-，从而将()202411ii i a =-∑展开后借助该式裂项相消即可得.【详解】对A ：若数列{}()*1n n a ta n ++∈N为等差数列，则有211n n n n ad ta a ta +++-+=-，即()211n n n a t a ta d ++=-++，由()*21n n n a a a n ++=+∈N，故有()111n n n n a a t a ta d +++=-++恒成立，即有1110t t d -=⎧⎪=⎨⎪=⎩，无解，故不存在这样的实数t ，故A 错误；对B ：若数列{}()*1n n a ta n ++∈N为等比数列，则有211n n n na q ta a ta ++++=+，即()21n n n a q t a qta ++=-+，由()*21n n n a a a n ++=+∈N，故有()11n n n n a a q t a qta +++=-+恒成立，即有11q t qt -=⎧⎨=⎩，即210t t +-=，解得12t -±=，此时21110a ta +=-=≠，故存在非零实数t ，使得{}()*1n n a ta n ++∈N 为等比数列，故B 正确；对C ：由()*21n n n a a a n ++=+∈N，则32214223n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a ++++++++=++=+++=，即有()*243n n n a a a n ++=+∈N，故C 正确；对D ：由()*21n n n a a a n ++=+∈N ，故()()()()()222121111111n n n n nn n n n n a a a a a +++++++-=-+-=--+-，故()()()()()20242320241232024111111ii i a a a a a =-=-+-+-+-=∑ ()()()()()()()()()()2232432023202221324320232022121111111111a a a a a a a a ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤-⨯+-⨯+--+-+--+-+--+-++--+-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦()()202312023202321113a a a ⎡⎤=-++---=-⎣⎦，故D 正确.故选：BCD.【点睛】关键点点睛：D 选项中关键点在于由()*21n n n a a a n ++=+∈N，得到()()()2121111n n nn n n a a a ++++-=--+-，从而将()202411ii i a =-∑展开后可借助该式裂项相消.三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．12.在二项式10的展开式中，常数项为__________．【答案】210【解析】【分析】借助二项式展开式的通项公式计算即可得.【详解】对10，有10151536211010C C kkk k k k T x x x ---+⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令5506k -=，则6k =，则有655671010C C 210T x -===.故答案为：210.13.已知圆锥的顶点为P ，底面圆心为M ，底面直径2AB =．圆锥的内切球和外接球的球心重合于一点O ，则该圆锥的全面积为__________．【答案】3π【解析】【分析】画出圆锥的截面PAB ，由圆锥的内切球和外接球的球心重合于一点O ，可得PAB 为等边三角形，借助圆锥的表面积公式计算即可得.【详解】画出圆锥的轴截面如图所示，由O 为圆锥的内切球球心，则有BO 为PBA ∠的角平分线，由O 为圆锥的外接球球心，则OB OP =，故PBO OPB ∠=∠，故APB PBA ∠=∠，又PA PB =，故PAB 为等边三角形，故PM =，2PB =，则22πππ1π123πS r rl =+=⨯+⨯⨯=全.故答案为：3π.14.剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹，用于装点生活或配合其他民俗活动的中国民间艺术．其传承赓续的视觉形象和造型格式，蕴涵了丰富的文化历史信息，表达了广大民众的社会认知、道德观念、实践经验、生活理想和审美情趣，具有认知、教化、表意、抒情、娱乐、交往等多重社会价值．现有如图所示剪纸图案，其花纹中就隐含方程为222333(0)x y a a +=>的曲线C （称为星形线），则曲线C 的内切圆半径为__________；以曲线C 上点(,)(0)m n mn ≠为切点的直线被坐标轴截得的线段长等于__________．【答案】①.2a②.a【解析】【分析】由曲线C 的方程可得，该曲线关于x 轴、原点对称，故只需研究第一象限即可，求出第一象限上的点到曲线C 的最短距离即可得其内切圆半径；当0x >，0y >时，曲线可为函数322233y a x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，结合导数的几何意义可得曲线上的点()00,x y 的切线方程，即可得该直线被坐标轴截得的线段长.【详解】设点(),P x y 在曲线222333(0)x y a a +=>上，则(),x y -、(),x y -、(),x y --亦在曲线222333(0)x y a a +=>上，故曲线222333(0)x y a a +=>关于x 轴、y 轴、原点对称，故只需研究第一象限内部分，当0x >，0y >时，由(),P x y 曲线222333(0)x y a a +=>上，故有222333x y a +=，即有2211331x y a a ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥⎢⎥+= ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦，则可设13cos x a α⎛⎫= ⎪⎝⎭，13sin y a α⎛⎫= ⎪⎝⎭，π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，即3cos x a α=，3sin y a α=，则OP ======，由π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则(]2sin 20,1α∈，则min2a OP ==，即曲线C 的内切圆半径为2a ；当0x >，0y >时，222333(0)x y a a +=>可化为322233y a x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，11221122223333333223y a x x x a x --⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯-='-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则曲线上的点()00,x y 的切线方程为：()3122122223333300y a x xa x x x -⎛⎫⎛⎫--=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令0x =，则有()13122222233333000y xa x x a x -⎛⎫⎛⎫=---+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11222222222122333333333300a x x a x a a x a y ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-=-=⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，令0y =，则有1222133333000x x a x x a x ⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭，则AB a ====.即曲线C 上点(,)(0)m n mn ≠为切点的直线被坐标轴截得的线段长等于a .故答案为：2a；a .【点睛】关键点点睛：本题关键点在于借助曲线的对称性，得出只需研究第一象限部分，若点(),P x y 曲线222333(0)x y a a +=>上，可设13cos x a α⎛⎫= ⎪⎝⎭，13sin y a α⎛⎫= ⎪⎝⎭，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，从而计算出点P 到曲线的最短距离即可得曲线C 的内切圆半径，当0x >，0y >时，曲线可为函数322233y a x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，结合导数的几何意义可得曲线上的点()00,x y 的切线方程，即可计算得该直线被坐标轴截得的线段长.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.如图，在平面凸四边形ABCD 中，2sin tan tan cos BADABD ADB ABD∠∠+∠=∠.（1）求ADB ∠；（2）若4AD BD ==，6ACB BDC π∠=∠=，求CD .【答案】（1）3π（2）4【解析】【分析】（1）借助三角恒等变换将所给式子化简计算即可得；（2）结合题意，借助正弦定理与余弦定理计算即可得.【小问1详解】由已知得：sin sin 2sin cos cos cos ABD ADB BADABD ADB ABD∠∠∠+=∠∠∠，故sin cos cos sin 2sin cos cos cos ABD ADB ABD ADB BADABD ADB ABD∠∠+∠∠∠=∠∠∠，所以sin()2sin cos cos cos ABD ADB BADABD ADB ABD∠+∠∠=∠∠∠．因为()()sin sin πsin 0ABD ADB BAD BAD ∠+∠=-∠=∠≠，故1cos 2ADB ∠=，由三角形内角范围知π3ADB ∠=；【小问2详解】由4AD BD ==，π3ADB ∠=，故ABD △为边长为4的等边三角形，在ABC 中，π6ACB ∠=，由正弦定理得sin sin BC AB BAC ACB=∠∠，故sin 8sin sin AB BACBC BAC ACB∠==∠∠，由于πBAC BCA ABD CBD ∠+∠+∠+∠=，所以π2BAC CBD ∠+∠=，故8cos BC CBD =∠，在BCD △中，由余弦定理得2222cos CD BD BC BD BC CBD =+-⨯⨯∠，即22248cos 16CD BC BC CBD =+-⨯⨯∠=，得4CD =.16.已知函数()2ln ()mf x x x m x=-+∈R ．（1）当3m =-时，求函数()f x 的单调区间；（2）若不等式()0f x ≤对任意的[1,)x ∈+∞恒成立，求实数m 的取值范围．【答案】（1）递增区间为(0,3)，递减区间为(3,)+∞（2）(,1]-∞【解析】【分析】（1）求出导函数后借助导函数的正负即可得原函数的单调性；（2）可借助(1)0f ≤，得到1m £，在1m £的情况下，借助1()2ln 2ln m f x x x x x x x=-+≤-+，从而构造函数1()2ln g x x x x=-+，结合该函数的单调性及最值即可得解；亦可通过参变分离，得到22ln m x x x ≤-对任意的[1,)x ∈+∞恒成立，通过研究2()2ln h x x x x =-得解.【小问1详解】当3m =-时，3()2ln f x x x x=--，其定义域为(0,)+∞，()()2222312323()1x x x x f x x x x x--+-++='=-+=，令()0f x '=，得3x =（=1x -舍去），当03x <<时，()0f x '>，函数()f x 单调递增；当3x >时，()0f x '<，函数()f x 单调递减．所以函数()f x 的单调递增区间为(0,3)，单调递减区间为(3,)+∞；【小问2详解】方法1：由条件可知(1)0f ≤，于是10m -≤，解得1m £．当1m £时，1()2ln 2ln m f x x x x x x x=-+≤-+，构造函数1()2ln g x x x x=-+，1x ≥，()222121()10x g x x x x-=---'=≤，所以函数()g x 在[1,)+∞上单调递减，于是()(1)0g x g ≤=，因此实数m 的取值范围是(,1]-∞．方法2：由条件可知22ln m x x x ≤-对任意的[1,)x ∈+∞恒成立，令2()2ln h x x x x =-，1x ≥，只需min [()]m h x ≤即可．()()()22ln 12ln 1h x x x x x =-+=--'，令()ln 1x x x μ=--，则()10x x xμ-'=≥，所以函数()h x '在[1,)+∞上单调递增，于是()()10h x h ''≥=，所以函数()h x 在[1,)+∞上单调递增，所以()()min 11h x h ⎡⎤==⎣⎦，于是1m £，因此实数m 的取值范围是(,1]-∞．17.如图，将边长为2的菱形ABDC 沿其对角线BC 对折，使得点A 、D 分别位于边长为2的等边PBC 所在平面的两侧，且PA PD =．设E 是PA 的中点．（1）证明：平面PBC ⊥平面ABC ；（2）求平面EBD 与平面ABC 夹角的正弦值．【答案】（1）证明见解析（2）217【解析】【分析】（1）取BC 的中点O ，根据题意，分别证得OP BC ⊥和OP OA ⊥，利用线面垂直的判定定理，证得OP ⊥平面ABC ，进而证得平面PBC⊥平面ABC ．（2）以O 为原点，建立空间直角坐标系，根据题意，分别求得平面ABC 和EBD 得到法向量(0,0,1)m =和()3,2n =，结合向量的夹角公式，即可求解.【小问1详解】证明：取BC 的中点O ，连接OA 、OP ，如图所示．因为四边形ABDC 是边长为2的菱形，PBC 是边长为2的等边三角形，所以ABC 也是边长为2的等边三角形，在等边PBC 中，O 是BC 的中点，可得OP BC ⊥且3OA OP ==又因为6PA =222PA OA OP =+，所以OP OA ⊥，因为⋂=OA BC O ，且,OA BC ⊂平面ABC ，所以OP ⊥平面ABC ；又因为OP ⊂平面PBC ，故平面PBC ⊥平面ABC ．【小问2详解】解：由（1）知，OP BC ⊥，OP OA ⊥．因为O 是等边ABC 的BC 边中点，可得OA BC ⊥．所以，以O 为原点，分别以,,OA OB OP 所在直线为x 、y 、z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则3,0,0),,(0,1,0)(0,1,0)3),A B C -，可得33,0,22E ⎛⎫⎪⎪⎝⎭，因为DBC △是边长为2的等边三角形，故OD OP PD ===，所以60POD ∠=︒，且OD BC ⊥，又因为OP BC ⊥，OD OP O ⋂=，故BC ⊥平面DOP ，则D 在平面xOz 内，可得3,0,22D ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，所以,1,22BE ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，3,1,22BD ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，设平面ABC 的法向量为(,,)m a b c = ，显然可令(0,0,1)m =；设平面EBD 的法向量为(,,)n x y z =，则0223022n BE x y z n BE x y z ⎧⋅=-+=⎪⎪⎨⎪⋅=--+=⎪⎩，令2z =，则0x =，y =()2n =，所以cos ,7m mm n m n ⋅===，设平面EBD 与平面ABC 的夹角为θ，则sin 7θ==，故平面EBD 与平面ABC 的夹角的正弦值为217．18.树人高中拟组织学生到某航天基地开展天宫模拟飞行器体验活动，该项活动对学生身体体能指标和航天知识素养有明确要求．学校所有3000名学生参加了遴选活动，遴选活动分以下两个环节，当两个环节均测试合格可以参加体验活动．第一环节：对学生身体体能指标进行测试，当测试值12.2ξ≥时体能指标合格；第二环节：对身体体能指标符合要求的学生进行航天知识素养测试，测试方案为对A ，B 两类试题依次作答，均测试合格才能符合遴选要求．每类试题均在题库中随机产生，有两次测试机会，在任一类试题测试中，若第一次测试合格，不再进行第二次测试．若第一次测试不合格，则进行第二次测试，若第二次测试合格，则该类试题测试合格，若第二次测试不合格，则该类试题测试不合格，测试结束．经过统计，该校学生身体体能指标ξ服从正态分布(9,2.56)N ．参考数值：()0.6827P X μσμσ-<<+=，(22)0.9545P X μσμσ-<<+=，(33)0.9973P X μσμσ-<<+=．（1）请估计树人高中遴选学生符合身体体能指标的人数（结果取整数）；（2）学生小华通过身体体能指标遴选，进入航天知识素养测试，作答A 类试题，每次测试合格的概率为13，作答B 类试题，每次测试合格的概率为14，且每次测试相互独立．①在解答A 类试题第一次测试合格的条件下，求测试共进行3次的概率．②若解答A 、B 两类试题测试合格的类数为X ，求X 的分布列和数学期望．【答案】（1）68（2）①34；②分布列见解析，115()144E X =.【解析】【分析】（1）首先分析题意，利用正态分布的性质求解即可.（2）进行分类讨论，求解出分布列，再求出期望即可.【小问1详解】10.9545(12.2)(2)0.022752P P ξξμσ-≥=≥+==．所以符合该项指标的学生人数为：30000.0227568.2568⨯=≈人．【小问2详解】①记1A 表示解答A 类试题第一次测试合格，1B ，2B 分别表示解答B 类试题第一次和第二次测试合格，测试共进行3次记为事件M ，则()113P A =，()()()1121213113313443444P A M P AB B P AB B =+=⨯⨯+⨯⨯=．()()()()()112112111134().143P A B B P A B B P A M P M A P A P A +====∣②设X 的取值为0，1，2，224(0)339P x ==⨯=，13321335(1)344334416P x ==⨯⨯+⨯⨯⨯=，35(2)1(0)(1)144P x P x P x ==-=-==，所以X 的分布列为X12P4951635144数学期望4535115()012916144144E X =⨯+⨯+⨯=．19.取整函数被广泛应用于数论、函数绘图和计算机领域，其定义如下：设x ∈R ，不超过x 的最大整数称为x 的整数部分，记作[]x ，函数[]y x =称为取整函数．另外也称[]x 是x 的整数部分，称{}[]x x x =-为x 的小数部分．（1）直接写出[]ln π和34⎧⎫-⎨⎬⎩⎭的值；（2）设a ，*b ∈N ，证明：a a a b b b b ⎡⎤⎧⎫=+⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭，且01a b b b ⎧⎫≤≤-⎨⎬⎩⎭，并求在b 的倍数中不大于a 的正整数的个数；（3）对于任意一个大于1的整数a ，a 能唯一写为1212k aaak a p p p =⨯⨯⨯ ，其中i p 为质数，i a 为整数，且对任意的i j <，i j p p <，i ，{1,2,3,,}j k ∈⋯，称该式为a 的标准分解式，例如100的标准分解式为2210025=⨯．证明：在!n 的标准分解式中，质因数i p （i p n ≤，1n >，*n ∈N ）的指数231i r r i i i i n n n n a p p p p ∞=⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+++=⎢⎥⎢⎢⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦∑ ．【答案】（1）1，0.25（2）证明见解析，a b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦个（3）证明见解析【解析】【分析】（1）结合定义计算即可得；（2）由题意可得a a ab b b ⎡⎤⎧⎫=+⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭，等式两边同时乘b ，即可得证a a a b b b b ⎡⎤⎧⎫=+⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭，由a ，b 都为整数，结合定义可证得0a b b b ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭，即可得证01a b b b ⎧⎫≤≤-⎨⎬⎩⎭，假设b ，2b ，…，nb 都小于等于a ，可得a a nb a b b b b ⎡⎤⎧⎫≤=+⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭，即有a a n b b ⎡⎤⎧⎫≤+⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭，又01a b ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭，即可得a n b ⎡⎤≤⎢⎥⎣⎦，即可得解；（3）利用（2）中结论可得i p 的倍数中不大于n 的正整数的个数为i n p ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，2i p 的倍数中不大于n 的正整数的个数为2i n p ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，3i p 的倍数中不大于n 的正整数的个数为3i n p ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，依次进行下去，可得123r i r i i i i n n n n a p p p p ∞=⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+++=∑⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即得证.【小问1详解】由e π2e <<，故12ln π<<，故[]1ln π=，()3333110.2544444⎧⎫⎡⎤-=---=---==⎨⎬⎢⎥⎩⎭⎣⎦；【小问2详解】因为a a a b b b ⎡⎤⎧⎫=+⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭，等式两边同时乘b ，得a a a b b b b ⎡⎤⎧⎫=+⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭，因为a ，b 都为整数，所以a a b a b b b⎧⎫⎡⎤=-⎨⎬⎢⎥⎩⎭⎣⎦也为整数，又01a b ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭，所以0a b b b ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭，所以01a b b b ⎧⎫≤≤-⎨⎬⎩⎭，即得证，假设b ，2b ，…，nb 都小于等于a ，*n ∈N ，因为a a a b b b b ⎡⎤⎧⎫=+⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭，所以a a nb a b b b b ⎡⎤⎧⎫≤=+⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭，所以a a n b b⎡⎤⎧⎫≤+⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭，因为01a b ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭，所以a n b ⎡⎤≤⎢⎥⎣⎦，所以b 的倍数中不大于a 的正整数的个数为a b⎡⎤⎢⎥⎣⎦个；【小问3详解】!123n n =⨯⨯⨯⨯ ，将2，3，…，n 每一个数都分解为质因数的乘积．对于质因数i p ，利用（2）中结论，i p 的倍数中不大于n 的正整数的个数为i n p ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，记为1n ，将这些数都提取i p 出来，此时p 的倍数中还有可以提取出i p 的数，注意到2i p 的倍数中不大于n 的正整数的个数为2i n p ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，记为2n ，将这些数提取i p 出来；同理，3i p 的倍数中不大于n 的正整数的个数为3i n p ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，记为3n ，依此这样进行下去，则质因数i p的指数112323ri ri i i in n n na n n np p p p∞=⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+++=+++=∑⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即得证．。
安徽省安庆市2020届高三数学第二次模拟考试试题文
1．已知全集U Z ， M {1,0,1,2} ， N { x R | x2 = x } ，则 M ∩（ CU N ）=
A． 1,2
B． 1,0
C． 0,1
D． 1,2
2.
复数 z
2
i
i
i是虚数单位的共轭复数是
A．
1 5
2 5
i
B.
1 5
2 5
i
C.
1 5
2 5
i
3. 设 m, n 为实数，则“ 2m 2n ”是“ log1 m log1 n ”的
y2 8
1的左、右焦点，直线 4x
y 12 0 与该双曲线交
于两点 P,Q ,则 F1P F1Q PQ
A. 4 2
B. 4
C. 2 2
D. 2
11. 已知在四面体 P ABC 中， PA 4, BC 2 6, PB PC 2 3, PA 平面PBC ,
则四面体 P ABC 的外接球的表面积是
称冬奥会）在北京和张家口两个城市举办. 某中学为了普及奥运会知识和提高学生参加体育
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运动的积极性，举行了一次奥运知识竞赛. 随机抽取了 25 名学生的成绩，绘成如图所示的 茎叶图. 成绩在平均分以上（含平均分）的学生所在组别定义为甲组，成绩在平均分以下 （不含平均分）的学生所在组别定义为乙组.
（Ⅰ）在这 25 名学生中，甲组学生中有男生 6 人，乙组学生中有女生 11 人，试问有没 有 90%的把握认为学生按成绩分在甲组或乙组与性别有关？
（Ⅱ）如果用分层抽样的方法从甲组和乙组中抽取 5 人，再从这 5 人中随机抽取 2 人， 求至少有 1 人在甲组的概率.
2020届安徽省安庆市高三第二次模拟考试数学(理)试题 PDF版
A.241
B.242
C.243
D.244
10. 已知抛物线 C : y2 2 px （ p 0 ）的焦点为 F ， 准线与 x 轴交于点 K ，过点 K 作圆
第页
2
x
p 2 2
y2
p2 4
的切线，切点分别为 A ， B .
若
AB
3 ，则 p 的值为
A. 1
B. 3
C. 2
D. 3
11. 棱 长 为 1 的 正 方 体 ABCD A1B1C1D1 中 ， P，Q 分 别 为 C1D1, BC 的 中 点 ， 现 有 下 列 结 论 ：
单位，所得图象关于 x π 对称，则实数 m 的最小值为 3
A． π 4
B． π 3
C． 3π 4
D． π
9. 今年（2020 年）是闰年. 如图所示是判断 2000～3000（包括 2000，但不包括 3000）年中哪些年份是闰 年的程序框图，那么由框图可知，在 2000～3000 年 中年份是闰年的个数是
（Ⅰ）证明： BD EC ； （Ⅱ）求平面 BEC 与平面 DEC 所成锐二面角的余弦值．
19.（本小题满分 12 分） 某小区为了加强对“新型冠状病毒”的防控，确保居民在小区封闭期间生活不受影响，小区超市采取有
力措施保障居民正常生活的物资供应.为做好日常生活必需的甲类物资的供应，超市对社区居民户每天对甲 类物资的购买量进行了调查，得到了以下频率分布直方图（如图）.
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
4.
函数
f (x)
x sin x 的大致图象是 x2 1
D．既不充分也不必要条件
5.
等比数列an的前 n 项和为
2020年安徽省安庆市高考数学二模试卷(理科) (含答案解析)
2020年安徽省安庆市高考数学二模试卷(理科)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|x>−2},B={x|(x+5)(x−2)≤0}，则A∩B=()A. (−2,+∞)B. [−2,2]C. (−2,2]D. [−5,+∞)2.已知i是虚数单位，若复数z满足zi=1+i，则z2=()A. −2iB. 2iC. −2D. 23.已知log43=p，log325=q，则lg5(用p，q表示)等于()A. pqp+q B. p+qpqC. 1+pqp+qD. pq1+pq4.已知函数f(x)=14x2−4x，则f(x)的大致图象是()A. B.C. D.5.已知等比数列{a n}的前n项和S n=2n−1，则a12+a22+⋯+a n2等于()A. (2n−1)2B. 13(2n−1) C. 4n−1 D. 13(4n−1)6.在国家各类与消费有关的统计数据中社会消费品零售总额是表现国内消费需求最直接的数据．社会消费品零售总额是国民经济各行业直接售给城乡居民和社会集团的消费品总额，是反映各行业通过多种商品流通渠道向城乡居民和社会集团供应的生活消费品总量是研究国内零售市场变动情况、反映经济景气程度的重要指标．图示为我国2010—2019年社会消费品零售总额和同比增长率的统计图．根据统计图分析，下列说法错误的是A. 从2010年到2019年社会消费品零售总额逐年上升B. 从2015年到2019年社会消费品零售总额平均超过30万亿元C. 从2010年到2013年社会消费品零售总额同比增长率波动性较大D. 从2010年到2019年社会消费品零售总额同比增长率连年下降7.如图，在四边形ABCD中，AB=BC=2，∠ABC=90∘，DA=DC=√6，现沿对角线AC折起，使得平面DAC⊥平面ABC，此时点A，B，C，D在同一个球面上，则该球的体积是()A. 92π B. 8√23π C. 272π D. 12π8.已知函数f(x)=sin2(ωx)−12(ω>0)的最小正周期为π2，若将其图象沿x轴向右平移a个单位(a>0)，所得图象关于原点对称，则实数a的最小值为()A. π4B. 3π4C. π2D. π89.执行如图所示的程序框图，若判断框中的条件为n<2019，则输出A的值为()．A. 12B. 2C. −1D. −210. 已知抛物线y 2=2px(p >0)的焦点为F ，其准线与双曲线y 23−x 2=1相交于M ，N 两点，若△MNF 为直角三角形，其中F 为直角顶点，则p =( )A. 2√3B. √3C. 3√3D. 611. 设有直线m 、n 和平面α、β.下列四个命题中，正确的是( )A. 若m//α，n//α，则m//nB. 若m ⊂α，n ⊂α，m//β，n//β，则α//βC. 若α⊥β，m ⊂α，则m ⊥βD. 若α⊥β，m ⊥β，m ⊈α，则m//α12. 设函数f(x)=x +lnx ，则函数f (x )( )A. 在区间(0,1e )，(1e ,+∞)内均有零点 B. 在区间(0,1e )，(1e ,+∞)内均无零点C. 在区间(0,1e )内有零点，在区间(1e ,+∞)内无零点 D. 在区间(0,1e )内无零点，在区间(1e ,+∞)内有零点二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知a ⃗ =(3,−4)，b ⃗ =(2,3)，则2|a ⃗ |−3a ⃗ ⋅b ⃗ = ______ ．14. 已知等差数列{a n }中，若−2<a 2<2，1<a 5<8，则S 7的取值范围是______ ． 15. 如图是以一个正方形的四个顶点和中心为圆心，以边长的一半为半径在正方形内作圆弧得到的．现等可能地在该正方形内任取一点，则该点落在图中阴影部分的概率为__________．16. 已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若F 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，F 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅F 2B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，则C 的离心率为 三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）).17.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知bsinA=acos(B−π6(1)求角B的大小；(2)若b=3，△ABC的面积为2√3，求△ABC的周长．18.如图，菱形ABCD中，∠ABC=60°，AE⊥平面ABCD，CF⊥平面ABCD，AB=AE=2，CF=3．(1)求证：EF⊥平面BDE；(2)求锐二面角E−BD−F的大小．19.为了实现绿色发展，避免能源浪费，某市计划对居民用电实行阶梯收费.阶梯电价原则上以住宅(一套住宅为一户)的月用电量为基准定价，具体划分标准如表：阶梯级别第一阶梯电量第二阶梯电量第三阶梯电量月用电量范围(单位：kW⋅ℎ)(0,200](200,400]从本市随机抽取了100户，统计了今年6月份的用电量，这100户中用电量为第一阶梯的有20户，第二阶梯的有60户，第三阶梯的有20户．(1)现从这100户中任意选取2户，求至少1户用电量为第二阶梯的概率；(2)以这100户作为样本估计全市居民的用电情况，从全市随机抽取3户，X表示用电量为第二阶梯的户数，求X的概率分布列和数学期望．20.已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的焦距为2√3，且过点P(1,√32)．(1)求E的标准方程；(2)过E的右焦点F作直线l交E于A、B两点，线段AB的垂直平分线与y轴交于点M(0,m)，求m的取值范围．21.已知函数f(x)=ax2−1−lnx，其中a∈R．(1)讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)≥x对x∈(1,+∞)成立，求实数a的取值范围．22.在平面直角坐标系中，曲线C1的参数方程为{x=1+2cosφ,y=√3+2sinφ(φ为参数)，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=4cosθ．(1)求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；(2)直线l：y=kx(k>0)分别交曲线C1，C2于M，N(M,N都非原点)两点，且|MN|=2，求k的值．23.已知a2+b2=1．(1)求证：|a−b|≤|1−ab|；(2)若a⋅b>0，求(a+b)⋅(a3+b3)的最小值．【答案与解析】1.答案：C解析：求出集合A ，B ，由此能求出A ∩B ．本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 解：∵集合A ={x|x >−2}，B ={x|(x +5)(x −2)≤0}={x|−5≤x ≤2}， ∴A ∩B ={x|−2<x ≤2}=(−2,2]． 故选：C ．2.答案：A解析：本题考查复数的四则运算，属于基础题． 根据已知，求出z ，进而可得答案． 解：∵复数z 满足zi =1+i ， ∴z =1+i i=−i (1+i )−i 2=1−i ，∴z 2=(1−i )2=−2i ， 故选A ．3.答案：D解析：本题考查对数函数运算性质的应用，属于中档题． 解：log 43=lg32lg2，log 325=2lg5lg3，∴pq =lg5lg2=lg51−lg5， ∴lg5=pq1+pq ． 故选D ．4.答案：B解析：本题考查函数的图象，考查推理能力和计算能力，属于基础题． 利用函数值的分布情况即可求解．解：易知当0<x <1时，f(x)<0；x <0或x >1时，f(x)>0，可排除A 、C ， 又可由f(13)<f(12)，排除D ， 故选B ．5.答案：D解析：本题主要考查数列的求和问题，以及由前n 项和求数列通项和等比数列的前n 项和公式，属于中档题．解：∵等比数列{a n }的前n 项和S n =2n −1， ∴a 1=S 1=1，a 2=S 2−S 1=2，q =2， 所以等比数列的首项为1，公比q 为2， 则a n =2n−1，则a n 2=4n−1，是首项为1，公比为4的等比数列，所以，则a 12+a 22+⋯a n 2=1−4n 1−4=13(4n −1)．故选D ．6.答案：D解析：本题考查图表分析能力，准确读囹识图是关键，是基础题， 利用图表逐项分析即可求解解：对A ：2010年到2019年社会消费品零售总额逐年上升，故A 正确；对B ：由图观察知，从2015年到2019年社会消费品零售总额平均超过30万亿元，故B 正确； 对C ：由图观察知，从2010年到2013年社会消费品零售总额变化较大，及同比增长率波动性较大，故C 正确；对D ：由图观察知，从2010年到2019年社会消费品零售总额同比增长率上升，从2011年到2019年该地区社会消费品零售额增长速度递增，故D错误；故选D．7.答案：A解析：本题主要考查几何体外接球体积的求解，关键是利用两平面的形状寻找外球球的球心位置，属于中档题．取AC的中点E，连接DE，BE，根据面面垂直的性质得到DE⊥平面ABC，可得外接球的球心O在直线DE上，利用勾股定理求出外接球半径，从而可得出球的体积．解：在图2中，取AC的中点E，连接DE，BE，∵AD=CD，∴DE⊥AC，∵平面ACD∩平面ABC=AC，平面ACD⊥平面ABC，DE⊂平面ACD，∴DE⊥平面ABC，∵∠ABC=90°，∴棱锥外接球的球心O在直线DE上，∵AD=CD=√6，AB=BC=2，∠ABC=90°，∴BE=AE=CE=12AC=√2，DE=√AD2−AE2=2，设OE=x，则OD=2−x，OB=√x2+2，∴2−x=√x2+2，解得x=12，∴外接球的半径r=2−x=32，∴外接球的体积V=4πr33=4π3×(32)3=9π2．故选A．8.答案：D解析：解：∵f(x)=sin2(ωx)−12=1−cos2ωx2−12=−12cos2ωx，∴2π2ω=π2，解得：ω=2，∴f(x)=−12cos4x，∵将函数f(x)图象沿x轴向右平移a个单位(a>0)，得到的新函数为g(x)=−12cos(4x−4a)，∴cos4a=0，∴4a=kπ+π2，k∈Z，当k=0时，a的最小值为π8．故选：D．由条件利用三角恒等变换化简函数的解析式，利用余弦函数的周期性，求得ω的值，可得函数的解析式，利用函数y=Acos(ωx+φ)的图象变换规律，正弦函数、余弦函数的奇偶性，求得a的最小值．本题主要考查三角恒等变换，余弦函数的周期性，函数y=Acos(ωx+φ)的图象变换规律，正弦函数、余弦函数的奇偶性，属于基础题．9.答案：B解析：本题主要考查算法初步中逻辑结构的程序框图，属于基础题．解：执行如图所示的程序框图，第一次，A=−1，n=2;第二次，A=2，n=3;第三次，A=12，n=4;第四次，A=−1，n=5;…;第二零一八次，A=2，n=2019，此时输出A的值为2，故选：B．10.答案：A解析：本题考查抛物线的定义及抛物线的几何性质，双曲线方程的应用，考查计算能力．利用抛物线方程求出准线方程，然后代入双曲线方程求出M，N.利用三角形是直角三角形，转化求解即可．解：由题设知抛物线y2=2px的准线为x=−p2，代入双曲线方程y23−x2=1解得y=±√3+3p24，由双曲线的对称性知△MNF为等腰直角三角形，∴∠FMN=π4，∴tan∠FMN=√3+4=1，∴p2=3+3p24，即p=2√3，故选：A．11.答案：D解析：解：当两条直线同时与一个平面平行时，两条直线之间的关系不能确定，故A不正确，B选项再加上两条直线相交的条件，可以判断面与面平行，故B不正确，C选项再加上m垂直于两个平面的交线，得到线面垂直，故C不正确，D选项中由α⊥β，m⊥β，m⊈α，可得m//α，故是正确命题故选D由题意设有直线m、n和平面α、β，在此背景下对四个选项逐一判断找出正确选项，A选项可由线线平行的条件作出判断，B选项可由面面平行的条件作出判断，C选项可由线面垂直的条件作出判断，D选项可由线面平行的条件作出判断．本题考点是命题真假的判断与应用，考查了线线平行的判定，面面平行的判定，线面垂直的判定，线面平行的判定，解题的关键是有着较强的空间想像能力，能根据题设条件想像出实物图形，本题考查了空间想像能力，推理判断的能力，命题真假的判断与应用题是近几年高考的热点，主要得益于其考查的知识点多，知识容量大，符合高考试卷命题精、博的要求12.答案：D解析：本题主要考查函数零点的判断，求函数的导数，判断函数的单调性，以及利用函数零点的判断条件是解决本题的关键．求函数的导数，判断函数的单调性，然后利用函数零点的判断条件即可得到结论．解：函数的导数为f′(x)=1+1x =x+1x，因为x >0，所以f ′(x)>0，所以函数f(x)在(0,+∞)上单调递增， 又f(1e )=1e +ln 1e =1e −1<0，f(e)=e +lne =e +1>0， 所以f(x)在(0,1e )内无零点，在(1e ,+∞)内有零点． 故选D ．13.答案：28解析：解：∵a⃗ =(3,−4) ∴|a ⃗ |=√32+(−4)2=5 a ⃗ ⋅b ⃗ =3×2−4×3=−6 ∴2|a ⃗ |−3a ⃗ ⋅b ⃗ =28 故答案为28．利用向量模的坐标公式求出|a⃗ |，利用向量的数量积公式求出向量的数量积，代入求出值． 本题考查向量模的坐标形式的公式、向量的数量积公式．14.答案：(214,42)解析：解：∵等差数列{a n }中，−2<a 2<2，1<a 5<8，∴{−2<a 1+d <21<a 1+4d <8， S 7=72(a 1+a 7)=7(a 1+3d)=7a 1+21d ，作出可行域四边形ABCD ， 得(S 7)A =7×0+21×14=214，(S 7)B =7×1+21×0=7， (S 7)C =7×2+21×0=14， (S 7)D =7×0+21×2=42． ∴S 7的取值范围是(214,42)． 故答案为：(214,42)．利用等差数列的通项公式将已知条件中的不等式化成首项与公差满足的不等关系，利用不等式的性质及等差数列的前n 项和公式及线性规划能求出前7项的和的范围．利用不等式的性质解决问题时，一定要注意不等式的两边同乘以一个负数，不等号要改变方向，是中档题．15.答案：解析：本题考查几何概型概率的求法，关键是求出阴影部分的面积，是基础题．设正方形的边长为2，分别求出正方形及阴影部分的面积，再由该点落在图中阴影部分的概率为是面积比得答案．解：设正方形的边长为2，则正方形面积为4． 图中阴影部分的面积可看作8个弓形的面积和， 其面积为，所以该点落在图中阴影部分的概率为．故答案为．16.答案：2解析：本题考查双曲线的简单性质，是中档题．由题意画出图形，结合已知可得F 1B ⊥OA ，从而可得，进而求出离心率．解：如图，∵F 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，且F 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅F 2B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0， ∴F 1B ⊥F 2B,F 1A =AB ，∴OA⊥F1B，则△AOF1≌△AOB，则，所以一条渐近线的斜率为，所以e=ca =√1+b2a2=2，故答案为：2．17.答案：解：(1)在△ABC中，由正弦定理asinA =bsinB，可得bsinA=asinB，又由bsinA=acos(B−π6)，得asinB=acos(B−π6)，即sinB=cos(B−π6)，可得：tanB=√3．又因为B∈(0,π)，可得B=π3．(2)因为△ABC的面积为2√3，所以12acsinπ3=2√3，所以ac=8，又因为9=a2+c2−2accosπ3=(a+c)2−3ac，所以a+c=√33，所以△ABC的周长为3+√33．解析：本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，三角形的面积公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．(1)由正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得tanB =√3，结合范围B ∈(0,π)，可求B =π3；(2)利用三角形的面积公式可求ac =8，利用余弦定理即可解得a +c 的值，可求三角形的周长．18.答案：(1)证明：连接AC 、BD ，设AC ∩BD =O ，∵ABCD 为菱形，∴AC ⊥BD ，以O 为原点，OA ，OB 为x.y 轴正向，z 轴过O 且平行于CF ，建立空间直角坐标系，则B(0,√3,0)，D(0,−√3,0)，E(1,0，2)，F(−1,0，3)，DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,√3,2)，BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,−√3,2)，EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,0,1)， ∴EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，∴EF ⊥DE ，EF ⊥BE ，又DE ∩BE =E ， ∴EF ⊥平面BDE ；(2)解：由知(1)EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,0,1)是平面BDE 的一个法向量，设m ⃗⃗⃗ =(x,y,z)是平面BDF 的一个法向量， DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,√3,3)，BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,−√3,3)， 由m ⃗⃗⃗ ⋅DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，m ⃗⃗⃗ ⋅BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =0得：{−x +√3y +3z =0−x −√3y +3z =0，取x =3，得z =1，y =0，于是m ⃗⃗⃗ =(3,0,1)，∴cos <m ⃗⃗⃗ ,EF⃗⃗⃗⃗⃗ >=m⃗⃗⃗ ⋅EF ⃗⃗⃗⃗⃗ |m ⃗⃗⃗ ||EF⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=−5√10×√5=−√22， 由于二面角E −BD −F 为锐二面角，故其大小为45°．解析：(1)证明连接AC 、BD ，设AC ∩BD =O ，以O 为原点，OA ，OB 为x.y 轴正向，z 轴过O 且平行于CF ，建立空间直角坐标系，用坐标表示点与向量，利用向量的数量积，即可证得EF ⊥平面BDE ；(2)由知(1)EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,0,1)是平面BDE 的一个法向量，求出平面BDF 的一个法向量m ⃗⃗⃗ =(3,0,1)，再利用向量的夹角公式，即可得到二面角E −BD −F 的大小．本题考查线面垂直，考查面面角，解题的关键是利用空间向量解决立体几何问题，确定平面的法向量．19.答案：解：(1)从这100户中任意选取2户，基本事件总数n =C 1002=4950，至少1户用电量为第二阶梯的概率： p =1−C 402C 1002=139165．(2)从全市任取1户，抽到用电量为第二阶梯的概率P =610=35，所以X ～B(3,35)，P(X =k)=C 3k(35)k (25)3−k ,k =0,1,2,3， X 的分布列为E(X)=3×35=95．解析：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查排列组合、古典概型，属于中档题．(1)基本事件总数n =C 1002=4950，利用对立事件概率计算公式能求出至少1户用电量为第二阶梯的概率．(2)X 的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X 的概率分布列和数学期望E(X)．20.答案：解：(1)依题意得：2c =2√3， c =√3，即焦点坐标F 1(−√3,0),F 2(√3,0)，那么2a =(√2)+(√2)=4，即a =2，则b 2=a 2−c 2=1， 所以椭圆的标准方程为x 24+y 2=1．(2)当直线l 斜率不存在时，得m =0．当直线l 斜率存在时，设直线方程为y =k(x −√3)． 因为直线l 交椭圆于A 、B 两点，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，联立方程：{x 24+y 2=1y =k(x −√3)消去y 得：(4k 2+1)x 2−8√3k 2x +12k 2−4=0．所以x 1+x 2=8√3k 24k 2+1,y 1+y 2=k(x 1−√3)+k(x 2−√3)=−2√3k4k 2+1，所以AB中点坐标为(4√3k24k2+1,−√3k4k2+1)．设AB垂直平分线方程为y+√3k4k2+1=−1k(x−4√3k24k2+1)，即y=−1kx+3√3k4k2+1．令x=0，得m=3√3k4k2+1，当k>0时，1m =23√3k=3√33√3k⩾3√3，即0<m⩽3√34，当k<0时，1m =23√3k=3√33√3k)≤3√3，即−3√34⩽m<0．综上，m取值范围为[−3√34,3√34]．解析：本题考查椭圆的标准方程及性质，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，中点坐标公式，考查基本不等式的应用，考查转化思想，属于中档题．(1)由题意可知：焦点坐标F1(−√3,0),F2(√3,0)，根据椭圆的定义，即可求得a的值，即可求得椭圆方程；(2)分类讨论，当直线AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理及中点坐标求得AB中点坐标，求得方程，分类讨论，根据基本不等式的性质，即可求得实数m的取值范围．21.答案：解：(1)函数f(x)=ax2−1−lnx的导数为f′(x)=2ax−1x =2ax2−1x，当a≤0时，f′(x)<0，f(x)在(0,+∞)为减函数；当a>0时，f′(x)=0可得x=√12a，当0<x<√12a 时，f′(x)<0；当x>√12a时，f′(x)>0．可得f(x)在(0,√12a )为减函数，在(√12a,+∞)为增函数，综上可得，当a≤0时，f(x)在(0,+∞)为减函数；当a>0时，f(x)在(0,√12a )为减函数，在(√12a,+∞)为增函数；(2)f(x)≥x对x∈(1,+∞)成立，可得ax2≥1+x+lnx，当x>1时，a≥1x2+1x+lnxx2，令g(x)=1x2+1x+lnxx2，g′(x)=−2x3−1x2+1−2lnxx3=−1−x−2lnxx3，当x≥1时，−1−x−2lnx<0，即g′(x)<0，g(x)在[1,+∞)递减，可得a≥g(1)=2，则a的取值范围是[2,+∞)．解析：(1)求出f(x)的导数，讨论当a≤0时，当a>0时，由导数大于0，可得增区间；导数小于0，可得减区间；(2)由题意可得ax2≥1+x+lnx，当x>1时，a≥1x2+1x+lnxx2，令g(x)=1x2+1x+lnxx2，求出导数，判断单调性，可得g(x)的最大值，可得a的范围．本题考查导数的运用：求单调性，注意运用分类讨论的思想方法，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用参数分离和构造函数法，考查转化思想和运算能力，属于中档题．22.答案：解：，消φ，得曲线C1的普通方程为(x−1)2+(y−√3)2=4．将x2+y2=ρ2，x=ρcosθ代入，得曲线C2的直角坐标方程为x2+y2=4x．(2)由(1)知曲线C1极坐标方程为，即．设直线l的极坐标方程为θ=α(α∈(0,π))．由，得．由，得ρN=4cosα．故，故由，得α=π3，由，得无解，故．解析：本题考查了参数方程与极坐标的应用问题，解题时应熟练地把参数方程与极坐标方程和普通方程互相转化，寻找解题的适当方法，培养了学生的综合能力．(1)消去参数φ，把曲线C1的参数方程化为直角坐标方程，利用极坐标公式，把曲线C2的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)设出直线l 的极坐标方程为θ=α(α∈(0,π))，求出ρM ,ρN ，进而可求解．23.答案：解：(1)证明：要证原不等式，即证： (a −b )2≤(1−ab )2，只需证：(a 2−1)(1−b 2)≤0， ∵a 2+b 2=1，∴a 2≤1,b 2≤1∴(a 2−1)(1−b 2)≤0，故原不等式成立;(2)根据题意，(a +b)(a 3+b 3)=a 4+ab 3+a 3b +b 4≥a 4+2√ab 3×a 3b +b 4=(a 2+b 2)2=1， 当且仅当a =b =√22或−√22时，等号成立，则(a +b)(a 3+b 3)的最小值为1．解析：本题考查不等式的证明方法，涉及利用基本不等式求最值问题，属于中档题．(1)根据题意，变形可得(a −b)2≤(1−ab)2，进而可得可得：(a 2−1)(1−b 2)≤0，结合a 、b 的范围分析可得证明；(2)根据题意，分析可得(a +b)(a 3+b 3)=a 4+ab 3+a 3b +b 4≥a 4+2√ab 3×a 3b +b 4，进而利用基本不等式分析从而可求得最值．。
【数学】安徽省安庆市高三第二次模拟考试试卷(理)(扫描版)(解析版)
安徽省安庆市高三第二次模拟考试数学试卷（理）【参考答案】一、选择题：1. 【解析】由条件知， A 错；，B 错；，C 正确；，D 错误. 故选C.【解析】根据全称命题的否定是特称命题，只有B 正确. 故选B.3. 【解析】根据程序框图可知： ； ；，. 故选C.4. 【解析】由，可得， ，即.又，，则，.故 即. 故选D .5. 【解析】作出可行域，可知当，时，目标函数取到最小值，最小值为. 故选D.6. 【解析】该几何体是一个长方体，其长、宽、高分别为，，，其体积为. 故选B.7.【解析】由、的坐标可知，函数的图象有对称轴，，故，可得函数的一个单调递增区间为，则的递增区间为，. 故选A.i 12i 1+-==-=z 2=z ()()2i 1i 1=--⋅+-=⋅z z ()2i 2i 122≠-=+-=z 112233i S i S i S ======，；，；，；6,4==S i 511622743886i S i S i S i S ========，；，；，；，；9171i S ==，1034211683i S i S ====，；，1011>=i 683=S cos tan (1sin)βαβ=+sincos (1sin )cos αββα=+πcos cos sin sin sin cos 2βααβαα⎛⎫-==- ⎪⎝⎭πcos()cos 2αβα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭π02α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，π02β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()0παβ+∈，ππ022α⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，π2αβα+=-π22αβ+=1x =0y =()221y x z ++=()4122=++=y x z 32432222=⨯⨯B C )(x f 37=x 231372=-=T 4=T 5133⎛⎫- ⎪⎝⎭，)(x f 514433k k ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，Z k ∈8. 【解析】设，则，，，故时，；时，；时，. 故选B.9. 【解析】不妨设点在双曲线的右支上，则.因为，所以，.由点到双曲线中心的距离等于双曲线焦距的一半可知，，所以，即，得. 所以双曲线的离心率.故选A. 10. 【解析】由，得，得． 又，由余弦定理得， 得故选D ． 11.【解析】，，.故选C ． 12.【解析】函数的定义域与值域相同等价于方程有两个不同的实数解. 因为，所以问题等价于直线与函数的图象有两个交点. 作函数的图象，如图所示. 根据图象可知，当时，即时，直线与函数的图象有两个交点.选D.第II 卷（非选择题，共90分）二、填空题：0log log log 532>===k z y x 122-=k x 133-=k y 155-=k z1=k 532z y x ==1>k 532z y x <<10<<k 532zy x >>P 122PF PF a -=124PF PF a +=13PF a =2PF a =P 12PF PF ⊥2221212PF PF F F +=22294a a c +=22104c a =2c e a ==sin 2sin =b A a B 2sin sin cos sin sin =B A A A B 1cos 2=A 2c b =222222212cos 4432=+-=+-⨯=a b c bc A b b b b =ab4343)(=B P 4334)(A AB P =92)()()(==B P AB P B A P ()log a f x x =log a x x =ln ln log ln ln a x xx x x a a x=⇔=⇔=ln y a =ln x y x =ln xy x=10ln ea <<1e 1e a <<ln y a =ln x y x =13.，于是，.14. 【解析】展开式的通项公式为. 由，得，所以一次项的系数为. 由，得.15. 【解析】是上周期为5的奇函数，．16. 【解析】由作法可知，弧（Ⅰ）为抛物线弧，则实线围成的区域面积为.三、解答题：17. 解：（Ⅰ）由①，得（，）②.①-②，得，即（，）.………………3分由，，得，所以（），所以数列是首项和公比都为的等比数列，因此，.……………… 6分（Ⅱ）由，得，……………… 7分所以，………………9分所以. ……………… 12分18. 解：（Ⅰ）在图1中，因为，所以在图2中有，，……………2分又因，所以平面，……………4分5222=+⋅-=-bbaa4=⋅21222=+⋅+=+bbaa21=+()7772177C2C2rrr r r r rraT x a xx---+⎛⎫==⎪⎝⎭721r-= 3r=3437C2a3437C270a=-12a=-()f x R3)1()2()0()1()2()5()4()3(-=+--=+-+-=++ffffffff)20(22≤≤=yxydxxxS)212(42212-=⎰3162)61232(4323=-=xx111n na S+++=1n na S+=2n≥*Nn∈120n na a+-=112n na a+=2n≥*Nn∈()222121a S a a a+=++=112a=211142a a==112n na a+=*Nn∈{}n a1212n na=*Nn∈12n na=2logn nb a n==-11111(1)1n nb b n n n n+==-++12231111n nb b b b b b++++1111112231n n⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭1111nn n=-=++BE CE BE DE⊥⊥，BE PE BE DE⊥⊥，EPEDE=⊥BE PDE因平面，故.………………5分（Ⅱ）因为，，，所以平面. 又，以为原点，分别以所在直线为轴，轴，轴， 建立如图1所示的空间直角坐标系，设，，则，.……………6分 设平面的法向量为， 由. 取，即，……………8分 取平面的法向量为，……………9分，即. ……………10分设直线与平面所成角为，. 所以直线与平面所成角的正弦值为.……………… 12分⊂BE PBE PDE PBE 平面平面⊥DE PE ⊥BE PE ⊥E BE DE = ⊥PE ABED ED BE ⊥E EP EB ED ,,x y z a PE=(200)(00)(220)D P a A ，，，，，，，，(20)PD a =-，，(22)PA a =-，，PAD ()n x y z →=，，⎩⎨⎧=-+=-⇒⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0220200az y x az x 02x a y z ===，，(02)n a →=，，PBE )0,0,2(=ED =552)4,2,0(),2,0,4(,4,5524222-====+a a a 故解得PB PAD α52sin ==αPB PAD 52注：（Ⅱ）另解根据题设可将四棱锥补成直四棱柱，且平面与平面所成二面角的平面角为，如图2所示. 设，则，得. 作，为垂足，易知平面. 连接，则就是直线与平面所成角..19. 解:（Ⅰ）抽取的一件药品的主要药理成分含量在之内的概率为0．9974，………………1分从而主要药理成分含量在之外的概率为0．0026，………………2分 故．………………4分 理科数学答案（共10页）第5页因此，………………5分 的数学期望为．………………6分（Ⅱ）（1）由，，得的估计值为，的估计值为，………………7分由样本数据可以看出有一件药品的主要药理成分(9.22)含量在之外，因此需对本次的生产过程进行检查．………………8分（2）设“在一次检测中，发现需要对本次的生产过程进行检查”为事件，则；…………………10分如果在一天中，需停止生产并对原材料进行检测，则在一天的四次检测中，有连续两次出现了主要药理成分含量在之外的药品，故概率为.故确定一天中需对原材料进行检测的概率为.…………………12分P ABED -EBAD PEGH -PBE PAD DPE ∠PE a =PD =cos 5PE DPE PD ∠==4a =BO AF ⊥O BO ⊥PFAD OP BPO ∠PB PAD 2sin 5OBBPO PB∠====(33)μσμσ-+，(33)μσμσ-+，~(200.0026)X B ，0495.00026.0)9974.0()1(19120≈⨯==C X P X 052.00026.020=⨯=EX 96.9=x 19.0=s μ96.9ˆ=μσ19.0ˆ=σˆˆˆˆ(33)(9.3910.53)μσμσ-+=，，A 0507.09493.01)9974.0(1)]0([1)(2020=-=-≈=-=X P A P (33)μσμσ-+，007.0)9493.0()0507.0(3)](1[)]([32222≈⨯⨯≈-⨯=A P A P P 007.020. 解：（Ⅰ）根据题意可得解得，.故椭圆的标准方程为.……………… 5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，当直线的斜率不存在时，，于是； ………………6分当直线的斜率存在时，设直线，设，，联立得，根据韦达定理得，………………8分于是………………10分.当且仅当时等号成立，此时的最大值为. 综上，的最大值为.………………12分 21. 解：（Ⅰ）的定义域为 所以.……………… 2分 ① 当时，，所以在上为减函数；222222421c aab a bc ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪=+⎪⎩28a =24b =C 22184x y +=()20F ，l 21S S =021=-S S l ()()02:≠-=k x k y l ()11M x y ，()22N x y ，()222184y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩()22221+28880k x k x k -+-=2122812k x x k +=+21228812k x x k -=+()121212142S S y y x x k -=⨯+=+-228441122k k k k k=⨯-==≤=++2k =±21S S -421S S -4x ax x f ln )(-=()0+∞，()11ax f x a x x-'=-=0a ≤()0f x '<()f x ()0+∞，② 当时，，所以在上为减函数，在上为增函数. ……………… 5分 （Ⅱ）法1：要证，即证，即 ………………6分理科数学答案（共10页）第7页 由得，所以只要证. ………………7分不妨设，则只要证. ………………8分 令，则只要证明当时，成立. ………………10分设，，则，所以函数 在上单调递减，所以，即成立. ………………11分由上分析可知，成立. ……………… 12分 法2：要证，即证，即.………6分 令，，下证.………………7分 由.得，即. 0a >()10f x x a '>⇔>()f x 10a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，1a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，0)()(2'1'<+x f x f 011221<--x x a 21112x x a +<12()()f x f x =1212ln ln x x a x x -=-121212ln ln 112-<+-x x x x x x 120x x >>()111212212221112ln 2ln x x x xx x x x x x x x ⎛⎫<-+⇔<- ⎪⎝⎭121x t x =>1t >12ln t t t<-1()2ln g t t t t ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭1t >()222121()10t g t t tt-'=--=-<()g t ()1+∞，()(1)0g t g <=12ln t t t<-12()()0f x f x ''+<12()()0f x f x ''+<011221<--x x a 21112x x a +<111t x =221t x =122t t a +>12()()f x f x =1122ln ln ax x ax x -=-2211ln ln t t at t a +=+令，，.由，所以在上为减函数，在上为增函数.………………8分 设，. 令.……………… 10分，，. 所以在上为减函数，，即，. ……………… 11分又因为在上为增函数，所以，即.故，得证. ……………… 12分 请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。
2020年4月安徽省安庆市普通高中2020届高三下学期第二次高考模拟考试数学(理)试题及答案解析
绝密★启用前安徽省安庆市普通高中2020届高三毕业班下学期第二次高考模拟考试数学(理)试题2020年4月第I 卷一、 选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}01>+=x x A ，{}0652<-+=x x x B ，则A B =IA.()11-， B. ()12-， C. ()13-， D. ()16-， 2. 已知i 为虚数单位,复数z 满足()31i 2z +=,则下列判断正确的是A. z 的虚部为iB. 2z =C. 2z z ⋅=D. 22z =3. 设p ：20log 1x <<,q ：21x >,则p 是q 成立的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4. 函数1sin )(2-=x x x x f 的大致图象是5. 等比数列{}n a 的前n 项和为n S .若25632a a a =,2154=S ,则=+42a aA.23B. 25 C. 32 D.40 6. 改革开放40多年来,城乡居民生活从解决温饱的物质需求为主逐渐转变到更多元化的精神追求,消费结构明显优化.下图给出了1983—2017年部分年份我国农村居民人均生活消费支出与恩格尔系数（恩格尔系数是食品支出总额占个人消费支出总额的比重）统计图. 对所列年份进行分析,则下列结论错误．．的是A. 农村居民人均生活消费支出呈增长趋势B. 农村居民人均食品支出总额呈增长趋势C. 2011年至2015年农村居民人均生活消费支出增长最快D. 2015年至2017年农村居民人均生活消费支出总额增长比率大于人均食品支出总额增长比率7. 已知矩形ABCD ,24AB AD ==,E ,F 分别为AB ,CD 的中点,将四边形AEFD 沿EF 折起,使ο120=∠AEB ,则过A ,B ,C ,D ,E ,F 六点的球的表面积为A. 5π2B. 5πC. 10πD. 20π8. 已知函数x x f ω2sin 2)(=（0ω>）的最小正周期为π,若将其图象沿x 轴向右平移m （0>m ）个单位,所得图象关于π3x =对称,则实数m 的最小值为 A ．π4 B ．π3 C ．3π4D ．π。
2020届 安徽省安庆市高三 第二次模拟考试数学(理)试题 PDF版
绝密★启封并使用完毕前2020年安庆市高三模拟考试（二模）数学试题（理科）第 I卷一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合A x x 10， 5 6 0B x x 2 x ，则A I B =A. 1，1B. 1，2C. 1，3D. 1，62. 已知i 为虚数单位，复数z 满足1 i z 2，则下列判断正确的是3A. z 的虚部为iB. z 2C. z z 2D. z 2 23. 设p ：0 log x 1，q ：2x 1，则p 是q 成立的2A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4. 函数x sin xf (x ) 的大致图象是x 2 15.等比数列a 的前n项和为n S .若a2 ，3a 2an 6 515S ，则4a2 a42A. 32B.52C. 32D.406. 改革开放40 多年来，城乡居民生活从解决温饱的物质需求为主逐渐转变到更多元化的精神追求，消费结构明显优化.下图给出了 1983—2017 年部分年份我国农村居民人均生活消费支出与恩格尔系数（恩格第页1尔系数是食品支出总额占个人消费支出总额的比重）统计图. 对所列年份进行分析，则下列结论错．误．的是A. 农村居民人均生活消费支出呈增长趋势B. 农村居民人均食品支出总额呈增长趋势C. 2011 年至 2015 年农村居民人均生活消费支出增长最快D. 2015 年至 2017 年农村居民人均生活消费支出总额增长比率大于人均食品支出总额增长比率7. 已知矩形ABCD ，AB 2AD 4，E ，F 分别为AB ，CD 的中点，将四边形AEFD 沿EF 折起,使AEB 120，则过A ，B ，C ，D ，E ，F 六点的球的表面积为A. 52π B. 5π C. 10π D.20π8. 已知函数f (x) 2sin2 x （ 0 ）的最小正周期为π，若将其图象沿x 轴向右平移m （m 0）个单位，所得图象关于πx 对称，则实数m 的最小值为3A．π4B．π3C．3π4D．π9. 今年（2020 年）是闰年. 如图所示是判断 2000～3000（包括 2000，但不包括 3000）年中哪些年份是闰年的程序框图，那么由框图可知，在 2000～3000 年中年份是闰年的个数是A.241B.242C.243D.24410. 已知抛物线C : y2 2px（p 0）的焦点为F ，准线与x 轴交于点K ，过点K 作圆第页22 2ppx y224的切线，切点分别为 A ， B . 若 AB 3 ，则 p 的值为A. 1B.3C. 2D. 311. 棱长为 1 的正方体 A BCD A 1B C D 中， P ，Q 分别为 C D ,BC1 1 111的中点，现有下列结论：① P Q // BD ；② PQ // 平面 B B 1D D ；③ PQ平面 ABC111；④四面体 DPQB1的体积等于1 24.其中正确的是 A. ①③ B. ②③ C. ②④ D. ③④12. 函数 f (x )ln xax 恰有两个零点x ， 1 x ，且 x21x . 则 2x 所在区1间为1 1 1 A.0,B. ,e3e32e1 11C. ,12 , D.e ee 第Ⅱ卷二、填空题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分. 13. 已知向量 a =(1，3) ， ab 1， a 与 ab 的夹角为60 ，则 ab.14. 等差数列a 中， na，22aa 3a16111S 是其前 n 项和，则使nS 取最大值的 n 的值n为 .15. 鞋匠刀形是一种特殊的图形，古希腊数学家阿基米德发现该图形有许多优美的性质. 如图，若点 C 为线段AB 的三等分点且AC 2CB ，分别以线段AB，AC，BC 为直径且在AB 同侧作半圆，则这三个半圆周所围成的图形称为鞋匠刀形（即图中阴影部分）.现等可能地从以AB 为直径的半圆内任取一点，则该点落在鞋匠刀形内的概率为.x y2 216. 已知双曲线C : 1 a 0 b 0 的左、右焦点分别为，a b2 2 F ，F ，1 2π一条渐近线方程记为y tan x (0 ) 与2 2，直线l : y tan x双曲线C 在第一象限内交于点P ，若O P P F，则双曲线C 的离心率2为.三、解答题：共 70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 第 17~21第页3题为必考题，每个试题考生都必须作答. 第 22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：60 分.17.（本小题满分 12 分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a，b ，c，且b c sin Aa c sin B sin C.（Ⅰ）求角B 的大小；1534 （Ⅱ）若△ABC 的周长等于15，面积等于，求a，b ，c的值．18.（本小题满分 12 分）如图，在四面体ABCD 中， E 是线段AD 的中点，，AB BD，BC DC EC ．ABD BCD 90o（Ⅰ）证明：BD EC ；（Ⅱ）求平面BEC 与平面DEC 所成锐二面角的余弦值．19.（本小题满分 12 分）某小区为了加强对“新型冠状病毒”的防控，确保居民在小区封闭期间生活不受影响，小区超市采取有力措施保障居民正常生活的物资供应.为做好日常生活必需的甲类物资的供应，超市对社区居民户每天对甲类物资的购买量进行了调查，得到了以下频率分布直方图（如图）.（I）从小区超市某天购买甲类物资的居民户中任意选取 5 户.①若将频率视为概率，求至少有两户购买量在[3，4）（单位：kg)的概率是多少？②若抽取的 5 户中购买量在[3，6]（单位：kg)的户数为 2 户，从 5 户中选出 3 户进行生活情况调查，记 3 户中需求量在[3，6]（单位：kg)的户数为，求的分布列和期望；（II）将某户某天购买甲类物资的量与平均购买量比较，当超出平均购买量不少于 0.5kg 时，则将该居民户称为“迫切需求户”，若从小区某天购买甲类物资的居民户中随机抽取 10 户，且抽到 k 户为“迫切需求户”的可能性最大，试求 k 的值.20.（本小题满分 12 分）已知椭圆Ex y2 2: 1（a b 0 ）的离12 ，F 是E 的右焦点，过点F 的直线交E 于点心率为a b2 2A(x ，y ) 和点1 1 B(x ，y )（2 2y1 y 2 0）．当直线AB 与x轴垂直时，AB3．第页4（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）设直线l : x 2a 交x 轴于点G ，过点B 作x 轴的平行线交直线l 于点C ．求证：直线AC 过线段FG 的中点．21.（本小题满分 12 分）1已知函数f x a x a x （a R ）.( ) ln 1 122（Ⅰ）讨论f (x) 的单调性；（Ⅱ）当a 1时，对任意的x ，x20，，且1x1x ，都有2x1(x ) x ( )mx xf f x2 2 1x x121 2，求实数m的取值范围．（二）选考题：共 10 分.请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. 22. [选修 4—4：坐标系与参数方程] （本小题满分 10 分）在平面直角坐标系中，以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，并在两坐标系中取相同的长1x t2度单位.已知曲线C 的极坐标方程为 4sin 0 ，直线l 的参数方程为3，y 1t2（t 为参数）. （Ⅰ）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ）若直线l 与曲线C 交于A，B 两点，M (0，1) ，且MA MB ，求1 的值．1 MA MB23. [选修 4–5：不等式选讲]（本小题满分 10 分）已知a 0 ，b 0，且a 2 b 2 1.(Ⅰ)若对于任意的正数a ,b ,不等式2x 1 ≤1 1(Ⅱ)证明：( )(a 5 b5 )≥1.a b 1a21恒成立，求实数x 的取值范围；b2第页52020年安庆市高三模拟考试（二模）数学试题（理科）参考答案第 I 卷二、 选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A CAABDDBCCCD二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13.3. 14.16.15. 4 9.16. 51.三、解答题：共 70 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 第 17~21 题为必考题，每个试题考生都必须作答. 第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答. 17.（本小题满分 12 分） b c sin A解析：（Ⅰ）由，根据正弦定理得a c sin B sin Cb cab caac ac bac222222a cb c， 根据余弦定理得 cos Ba 2 c 2b 21，由 0 B π ，所以 2π 2ac2 3B . (5)分13 15 3（Ⅱ）由Sac B ac ，得 ac 15 . 又 a b c 15，sin ABC244由（Ⅰ）知b 2 a 2 c 2 ac ( a c ) 2 15 (15b ) 2 15 ，所以 b 7 ，化简得 a c 8.得 a 3， c 5，或者 a 5， c 3.所以 a3， b 7, c 5，或者 a5， b 7, c 3.………… 12 分【考查目标】考查正弦定理、余弦定理和考生对面积公式的合理选用情况，考查考生的运算求解能力. 18.（本小题满分 12 分）解析：（Ⅰ）取线段 BD 的中点 F ，连接 EF ，CF .因为E 是线段AD的中点，所以EF / /AB ．又AB BD ，所以EF BD ．因为BC DC ，F 是BD的中点，所以CF BD ．因为EF 平面ECF ，CF 平面ECF ，EF I CF F ，所以BD 平面ECF ，而CE 平面ECF ，所以BD EC ．………… 5 分第页6（Ⅱ）令BC DC EC a ，则AB BD 2a ，那么EF AB a ， 1 21 2CF BD a ，所以2 2 2 2EF CF a EC ，所以EF CF ．2 2 2 2又EF BD，CF BD ，故可以点F 为原点，射线FC 、FD、FE分别为x轴、y 轴、z 轴正方向，建立空间直角坐标系，2 2如图所示．则B 0，a，0 ，C a，0，0 ，2 22 2D 0，a，0 ，E 0 0 a，，，2 2u u u r u u u ru u u r2 2 2 2 2 2所以BC a a 0DC a ，a ，，，，，0 EC a，0， a ．2 2 2 2 2 2设平面BEC 、平面DEC 的法向量分别为m x ，y ，z ，n x ，y ，z ，1 1 1 2 222 2ax ay2 2m BC 01 1 由u r u u u r，得m EC 0x 11，则m 1，1，1.y 1，取1z 112 2ax az2 21 1n 由nDCEC，得2222ax2ax22222ay2az21x1，取y 1，则n 1，1，1 .1z 11u r rm n 11111 1 1所以cos m，n .u r r1 1 1 32 22m n故平面BEC 与平面DEC 所成锐二面角的余弦值为13. (12)分解法二：令BC DC EC a ，由已知及（Ⅰ）得BE ED a ，所以BCE ，CDE 均为棱长为a的正三角形.取CE 中点G ，则BG CE , DG CE ，故BGD 为二面角3B CE D 的平面角，在BDG 中，BG DG a ，2BD 2a，由余弦定理可得：第页7BG DG BD 12 2 2cos BGD ,2BG DG 31故平面BEC 与平面DEC 所成锐二面角的余弦值为. …………12 分3 【考查目标】本题综合考查立体几何的基本知识、基本思想和基本方法，通过空间的直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系考查考生的空间想象能力和逻辑推理能力，通过二面角的概念及计算考查考生的运算求解能力.19.（本小题满分 12 分）解析：（I）由题意，事件“从小区超市购买甲类物资的居民户中任意选取 1 户，购买量在[3，4)”发生的概率为1p . (1)分4①记事件“从小区超市购买甲类物资的居民户中任意选取 5 户，则至少有两户购买量在[3，4)”为A，则1 1 1 P（A） 5)1C1 (1 )4 (154 4 4 47128 . ……… 3 分②随机变量所有可能的取值为 0，1，2.则C 32P （）,3C 1035C C 31 1P（）,1 3 2C 535C 12P（2）2 ,C 10350 1 2P （）31035110 3 1 4所以E () 1 2…………………7 分5 10 5（II）每天对甲类物资的购买量平均值为1.50.10 2.50.30 3.50.25 4.50.20 5.50.15 3.5（kg）……… 8 分则购买甲类生活物资为“迫切需求户”的购买量为[4，6]，从小区随机抽取中随机抽取一户为“迫切需求户”的概率为p 0.35，若从小区随机抽取 10 户，且抽到X 户为“迫切需求户”，则X ~ B(10,0.35) ，故P(X P(X k C k p k p 10k k ，若 k 户的可能性最大，则)10(1) , 0,1, ,10P(Xk)≥k)≥P(XP(Xkk1)1)，得k kC (0.35)10kk C (0.35)10 10k(0.65)10k (0.65)k 1 k 111k≥C (0.35) (0.65)10k 1 k 19k≥C (0.35) (0.65)10，解得2.85≤k ≤3.85 ，由于k N* ,故k 3. ……… 12 分【考查目标】本题考查统计与概率的基础知识和基本思想方法、二项分布的知识和应用、样本估计总体的第页8思想与方法、随机事件概率的计算以及随机变量期望的概率的计算与应用，考查考生应用所学的统计与概 率知识分析问题、解决问题的能力. 20.（本小题满分 12 分）解析：（Ⅰ）由 ec 1 ，得13c a ，所以 b a2c2a ． c1 ，得13a 2 22因为直线 AB 经过点 F ，且y 1 y 2 0，当直线 AB 与 x 轴垂直时，1 3 x x c a ，则 y 1 ya ，且1222 4y 1 y ，23 3 a ，得 a 2，所以 b 3 ， c 1．所以 AB2 y 1 a ，故 32 2所以椭圆 E 的方程为x y． …………4 分2214 3（Ⅱ）由（Ⅰ）有直线l : x 4 ，故G (4,0) ，因为 F 1，0，则线段FG 的中点为 5 0， . 2①当直线 AB 与 x 轴垂直时，1 1 y x 1 x， y0，且22B ，，故 A (1，y ) ， (1y ) C 4， y ，1113 y，1y22yy y x 2这时直线 AC 的方程为1y 11，即 ( 1)1y y 1y x ． 4 131令 y0，得 5 x ，所以直线 AC 过线段 FG 的中点．2②当直线AB 不与x轴垂直时，可设其方程为y k x 1，代入x y，2 21 4 3整理得3 4k2 x 2 8k2 x4 k 2 3 0．所以8k2x x1 223 4k，4 k32x x1 2 23 4k．y y因为A x ，y ，B x ，y ，C ，y ，所以直线AC 的方程为4 y 2 1 x x y因为A x ，y ，B x ，y ，C ，y ，所以直线AC 的方程为4 x1 12 2 2 111．因为y k x ，1 1 1 y2 k x 2 1 ，所以k x xy y 5 52 1 x y x k x2 114 x 2 4 x 21 1 1 11 1第页9xx5kx x 1 2 14 x21115x xx4 x x 1 211112k4 x1k 5 2x xx x121 24 x 14k4 k3258k22 3 4k34k224 x1420 k 4kk43 4 35222k，这说明直线 AC 过点 0，0 ．4 x 34k221综上，可知直线 AC 过线段 FG 的中点．………… 12 分【考查目标】本题主要考查椭圆的方程、离心率以及直线与椭圆的位置关系，考查数形结合的数学思想和考生的逻辑 思维能力与运算求解能力以及应用解析几何方法解决几何问题的能力. 21.（本小题满分 12 分） 解析：（Ⅰ）a 1 x a2a（x 0 ）．f (x) a 1 xx x（1）当a≥1时，f (x ) 0，f (x) 在0，上单调递增；（2）当0 a 1时，a a1a x xa 1 a 1，f (x)x所以当xaa1时，f (x ) 0，当0x aa1时，f (x )0，a a所以f (x) 在0，上单调递增，在，上单调递减；a 1 a 1（3）当a ≤0时，f (x ) 0，f (x) 在0，上单调递减. ………… 5 分（Ⅱ）当a 1时，f (x ) ln x x 2 1,不妨设0 x x ，则1 2 x1f (x ) x f (x )mx x2 2 1x x1 21 2等价于f ，考察函数(x ) f (x )2 m x x1 ( )2 1x x2 1f (x)g(x ) ，得xg'(x) lnx x 2 2，令x2h(x) lnx x 2 2，x2h'(x) 5 2 ln x5 5 5，则x(0e2) 时，h'(x) 0 ，x(e2，)时，h'(x) 0，所以h(x) 在区间(0 e2 )，，x35 51上是单调递增函数，在区间(e2 ) g'( )，上是单调递减函数.故g'(x)≤e2 1 0 ，所以g(x) 在2e5第页10(0,) 上单调递减.从而 g (x 1) g (x ) ，即2f，故 ( ) ( ) ( )( 2 )( )x f xf f x，x112m xx21xxxx 21 12所以f (f x，即x1)( )mx2mxmx12xx12g (xmxg x mx恒成立，1)( )122设(x ) g (x ) mx ，则(x ) 在 (0,) 上恒为单调递减函数， 1从而'(x ) g '(x ) m ≤0 恒成立！故'(x ) g '(x ) m ≤1m2e≤0，51故 m ≤1. …………12 分2e5【考查目标】本题考查导数公式和导数运算法则以及恒成立的思想，考查考生灵活运用导数工具分析问题、 解决问题的能力，综合考查考生的分类讨论思想以及逻辑推理能力、运算求解能力和推理论证能力. （二）选考题：共 10 分。
2020届安徽省安庆市省市示范高中高三下学期高考模拟数学(理)试题解析
绝密★启用前数学试卷学校：___________姓名：___________班级：___________考号：________2020届安徽省安庆市省市示范高中高三下学期高考模拟数学（理）试题一、单选题1．已知集合{}12,|A x x x Z =-≤≤∈，{}2x x y B y ==-+，则集合AB 的子集个数为（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4答案：D 先求得A B ，由此求得集合A B 的子集个数.解：依题意{}1,0,1,2A =-，2111|()244B y y x ⎧⎫==--+≤⎨⎬⎩⎭， 所以{}1,0A B ⋂=-，共有2个元素，故集合A B 的子集个数为224=个.故选：D 点评：：本小题主要考查交集的概念和运算，考查集合子集个数，属于基础题.2．已知复数z 满足1z i -≤（i 为虚数单位），则z 在复平面内对应的点组成图形的面积为（ ） A ．2πB ．πC ．1D ．2答案：B根据复数z 满足1z i -≤，利用复数的模的几何意义，得到在复平面内复数z 表示的点为以（0，1）为圆心，1为半径的圆及其内部求解. 解：因为复数z满足1z i-≤，所以在复平面内复数z表示的点为以（0，1）为圆心，1为半径的圆及其内部，所以其面积为π．故选：B点评：：本题主要考查复数的模的几何意义，属于基础题.3．某单位统计了本单位的职工一天行走步数（单位：百步）得到如图频率分布直方图：估计该单位职工一天行走步数的平均值为（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）（）A．125 B．125.6 C．124 D．126答案：B由频率分布直方图能估计该单位职工一天行走步数的平均值．解：由频率分布直方图：估计该单位职工一天行走步数的平均值为：600.00220800.006201000.008201200.012201400.010201600.008201800.002202000.00220125.6x=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=．故选：B【点评】本题考查平均值的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4．已知奇函数()f x的定义域为R．若() 1f x+为偶函数.且()12f=，则()()20192020f f+=（）A ．-2B ．-1C ．0D ．1答案：A 根据题意，由()1f x +为偶函数分析可得()()2f x f x -=+，又由()f x 为奇函数，分析可得()()2f x f x +=-，进而可得()()()42f x f x f x +=-+=，即函数()f x 是周期为4的周期函数，据此求出()2020f 与()2019f 的值，相加即可得答案. 解： 根据题意，()1f x +为偶函数，则有()()11f x f x -=+，变形可得()()2f x f x -=+，又由()f x 为奇函数，则()()f x f x -=-.综合可得：()()2f x f x +=-则有()()()42 f x f x f x +=-+=，即函数()f x 是周期为4的周期函数，所以()()()20204504 00f f f =⨯==，()()()()2019 20201112f f f f =-=-=-=-，()()202020192f f +=-．故选：A 点评：：本题考查抽象函数的奇偶性周期性应用，属于中等题型.5．1852年，英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得到的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”.“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，例如求1到2000这2000个整数中，能被3除余1且被7除余1的数的个数，现由程序框图，其中MOD 函数是一个求余函数，记(,)MOD m n 表示m 除以n 的余数，例如(8,3)2=MOD ，则输出i 为（ ）.A ．98B ．97C ．96D ．95答案：D根据程序图可知，能被3除余1且被7除余1的数，就是能被21整除余1的数，运用等差数列的通项公式，以及解不等式即得。
2020年安徽省安庆市市示范中学高考数学模拟试卷(二)(4月份)(有答案解析)
解析：【解答】 解：∵某学生 5 次考试的成绩（单位：分）分别为 85，67，m，80，93，其中 m＞0， 该学生在这 5 次考试中成绩的中位数为 80，
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∴m≤80，
∴得分的平均数： ≤
=83，
∴得分的平均数不可能为 85． 故选 D． 【分析】 由该学生在这 5 次考试中成绩的中位数为 80，得到 m≤80，由此能求出得分的平均数不 大于 81． 本题考查实数值的判断，考查中位数、平均数等基础知识，考查运算求解能力，是基础 题．
cos10°+sin10°，
∴关于 x 的不等式 2sinx≤m 化为 sinx≤- ；
解得 +2kπ≤x≤ +2kπ，k∈Z；
∴不等式的解集为[ +2kπ， +2kπ]，k∈Z．
故选择 C．
11.答案：C
解析：【分析】 本题考查线面角的正切值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知 识，考查推理论证能力、运算求解能力，是中档题． 以 D 为原点，DA，DC，DD1 所在直线分别为 x，y，z 轴，建立空间直角坐标系，利用 向量法能求出 B1G 与平面 ABCD 所成角的正切值． 【解答】 解：以 D 为原点，DA，DC，DD1 所在直线分别为 x，y，z 轴，建 立空间直角坐标系， 设正方体 ABCD-A1B1C1D1 中棱 长为 6， ∵E 为棱 CD 上一点，且 CE=2DE， F 为棱 AA1 的中点，且平面 BEF 与 DD1 交于点 G， ∴B1（6，6，6），G（0，0，1），
8.答案：B
解析：【分析】 本题目主要考查利用三视图求简单组合体体积的应用问题，属于较易题． 根据三视图知该几何体是一个三棱柱和一个三棱锥组合而成的，结合图中数据计算它的 体积． 解析： 解:根据三视图知该几何体是由一个三棱柱和一个三棱锥组合而成的， 画出直观图如图所示，