有限元模型修正中若干重要问题
基于Kriging模型的有限元模型修正方法研究
基于Kriging模型的有限元模型修正方法研究基于Kriging模型的有限元模型修正方法研究摘要：有限元模型是一种常用的结构分析方法，然而，由于模型假设和离散化误差等因素，其结果可能存在一定误差。
本文提出了基于Kriging模型的有限元模型修正方法，通过对已有有限元模型数据进行拟合，进而修正模型中的误差，并对修正效果进行验证。
实验结果表明，基于Kriging模型的有限元模型修正方法能够显著提高有限元模型的精度和稳定性。
关键词：有限元模型；Kriging模型；模型修正；精度；稳定性1. 引言有限元模型是一种常用的结构分析方法，广泛应用于工程领域。
然而，在实际应用过程中，由于对结构复杂性的简化、参数估计误差以及离散化误差等因素的影响，有限元模型的分析结果可能存在一定误差，从而影响工程设计的准确性。
因此，如何对有限元模型进行修正并提高其精度和稳定性成为了一个重要的研究方向。
2. Kriging模型的基本原理Kriging模型是一种基于统计学的插值方法，通过对已有样本数据的拟合，预测未知位置上的数值。
其基本思想是通过已知样本点之间的空间相关性，在未知位置上进行插值，从而得到预测结果。
Kriging模型通过建立样本点之间的半变异函数，从而描述其空间相关性，并通过最小化预测误差来确定未知位置上的数值。
3. 基于Kriging模型的有限元模型修正方法基于Kriging模型的有限元模型修正方法主要包括以下几个步骤：（1）数据采集：首先，需要采集与有限元模型相关的数据，包括原始模型的力学性能、结构几何参数、材料参数等。
（2）数据预处理：对采集到的数据进行预处理，包括数据的筛选、去噪和归一化处理等，以减小数据误差对模型修正的影响。
（3）Kriging模型构建：根据预处理后的数据，构建Kriging模型，包括选择合适的半变异函数、估计其参数，并进行模型的验证。
（4）有限元模型的修正：利用步骤（3）中构建的Kriging模型，对已有的有限元模型进行修正，得到修正后的模型。
结构有限元模型修正算法研究综述概要
科技论坛结构有限元模型修正算法研究综述王春岩（哈尔滨工业大学建筑设计研究院，黑龙江哈尔滨1500901概述结构有限元模型修正是典型的结构动力反问题，即通过结构测试信息识别结构的物理参数。
由于反问题的解具有非唯一性，而且求解的方程通常是病态的，所以从理论上讲，模型修正理论存在很大的挑战。
另外，结构模型修正的成功与否，往往与结构测试信息的数量及精确性息息相关。
土木工程结构的实测信息往往十分有限，而且测试信息通常受到各种噪声的干扰，从而使得模型修正技术在应用中受到了很多限制。
因此，土木工程结构的模型修正研究具有重要的理论和实际意义。
本文综述了近20年国内外发展起来的结构有限元模型修正算法，并提出了该领域有待进一步深入研究的问题。
2结构模型修正技术的发展现状结构模型修正采用反映结构真实动态特性的测量模态参数（或频响函数修正理论的有限元模型，使得理论计算模态参数（或频响函数同实测结果良好一致。
根据求解方法及所选修正参数的特点不同，修正算法可分为直接法和迭代法两类。
2.1直接修正法直接修正法是指不需要大量迭代求解的修正方法。
这类方法不存在求解发散的情况,也不存在大量耗费计算时间的问题。
但是，该类方法的修正结果通常不具有明确的物理意义，修正后的结构矩阵通常不再具有带状、稀疏的特点。
2.1.1最优矩阵法此类方法通过直接修正结构的整体刚度、质量矩阵达到模型修正的目的。
矩阵型法首先由Rodden[1]和Brock[2]所提出，但更多的方法是在Baruch[3]及Berman[4] 提出的方法基础上产生的。
在此基础上，Wei又增加了新的约束条件，使得修正后的质量阵、刚度阵分别满足正交性条件。
此类方法虽然能够很容易的完成修正模型，但其修正后的结构矩阵通常是满阵，不再满足结构相联性的要求。
此外,Friswell et al. [5]首先采用最优矩阵法修正了结构的阻尼阵，其方法假设质量阵准确无误，利用Baruch所建立的目标函数同时修正阻尼阵和刚度阵。
有限元中的一些问题
有限元中的一些问题1.有限元软件中常用的单元的拓扑类型有哪些？分别用于什么场合？单元的拓扑类型：有限元软件中常用的拓扑结构单元：一维单元：杆与梁管单元；二维单元：平面三角形单元、平面四边形单元、膜单元、等参单元、壳单元等；三维单元：三维实体单元。
使用场合：工程中常把平面应变单元用于模拟厚结构，平面应力单元用于模拟薄结构，膜壳单元用于包含自由空间曲面的薄壁结构。
由于三角形单元的刚度比四变形单元略大，因此相对三节点三角形单元，优先选择四边形四节点单元。
如果网格质量较高且不发生变形，可使用一阶假定应变四边形或六面体单元，六面体单元优先四面体单元和五面体锲形单元。
十节点四面体单元与八节点六面体单元具有相同的精度。
网格较粗的情况下使用二阶缩减积分四边形或四面体单元，对于橡胶类体积不可压缩材料使用Herrmann单元，避免体积自锁。
2.有限元软件中常用的单元的几何类型有哪些？分别用于什么场合？(1)按形状分类：点单元：MASS；线单元：LINK、BEAM、COMBIN；面单元：PLANE、SHELL。
(2)按单元阶次分类：线性单元：对于结构分析问题，单元内的位移数值按线性变化，因而每个单元内的应力状态是保持不变的；二次单元：对于结构分析问题，单元内的位移数值按二次函数变化，因此每个单元内的应力状态是线性变化的；P单元：对于结构分析问题，单元内的位移数值按二阶到八阶函数变化，而且具有求解收敛自动控制功能，自动确定各位置上应采用的函数阶数。
使用场合：①点单元几何形状为点型的结构，可用以下单元模拟MASS单元主要用于动力学分析质量块结构的模拟。
②线单元几何形状为线型的结构，可以用以下单元模拟。
Link单元用于桁架、螺栓、螺杆等连接件的模拟。
Beam单元用于梁、螺栓、螺杆、连接件等的模拟。
Pipe单元用于管道、管件等结构的模拟。
Combin单元用于弹簧，细长构件等的模拟。
③面单元几何形状为面型的结构，可用以下单元模拟。
11-有限元若干问题讨论-1
边 界 条 件 的 处 理 与 支 反 力 的 计 算
有限元分析中的若干问题讨论
例：平面问题斜支座的处理（p200）
边 界 条 件 的 处 理 与 支 反 力 的 计 算
单 元 形 函 数 矩 阵 与 刚 度 矩 阵 的 性 质
单元形状函数性质1：0/1性质
3. 考虑单元发生刚体位移的情形 设单元有刚体位移 都为 ，即 ，由于是刚体位移，则单元的位移场函数及节点位移
有限元分析中的若干问题讨论
一、形状函数矩阵的性质
单 元 形 函 数 矩 阵 与 刚 度 矩 阵 的 性 质
二、刚度矩阵的性质
单 元 形 函 数 矩 阵 与 刚 度 矩 阵 的 性 质
3. 考察位移 根据以上讨论，总结出以下性质: 单元刚度矩阵性质5：奇异性质
单元刚度矩阵性质6：行(或列)的代数和为零的性质 刚度矩阵的任一行（或列）代表一个平衡力系；当节点位移全部为线位移时 (即为C0型问题)，任一行（或列）的代数和应为零。
有限元分析中的若干问题讨论
位移边界条件BC(u)在大多数情形下有两种类型
边 界 条 件 的 处 理 与 支 反 力 的 计 算
(5-46)
有限元分析中的若干问题讨论
一、处理边界条件的直接法
边 界 条 件 的 处 理 与 支 反 力 的 计 算
(5-49) (5-50) (5-51)
有限元分析中的若干问题讨论
有限元分析中的若干问题讨论
单 元 的 节 点 编 号 与 总 刚 度 阵 的 存 储 带 宽
由于刚度矩阵是对称的，可以看出，若节点的DOF数为λ，则每一
个单元在整体刚度矩阵的半带宽(semi bandwidth)为：
其中n为整个结构系统的单元数。显然，对于2D问题，有λ＝2， 对于3D问题，有λ＝3。 因此在计算机中，一般都采用二维半带宽存储刚度矩阵的系数，为 等带宽存储。
有限元模型修正技术
有限元模型修正技术有限元模型修正技术是一种改进有限元分析模型的新型技术。
它旨在使用一些有限元数据来提供更准确的分析结果，从而更好地满足工程应用的要求。
有限元模型修正技术的核心思想是：通过对有限元模型进行深入分析、更新、修正和优化，可以获得更准确的分析结果。
本文将重点讨论有限元模型修正技术的实现过程，主要包括三个部分：1. 模型评估；2. 模型修正；3. 模型验证。
1. 模型评估：有限元模型修正技术的实现过程始于模型评估。
首先，根据工程应用的要求，使用相关的软件将复杂的物理结构建模成有限元模型。
然后，对该有限元模型进行评估，包括但不限于精度评估、稳定性评估、弹性模量评估、粘弹性模量评估、拉伸模量评估等。
这些评估结果将为有限元模型的修正和优化提供基础信息。
2. 模型修正：根据上述评估结果，对有限元模型进行必要的修正，以提高分析结果的准确性。
这些修正可以分为两类：一类是基于数学分析的修正，主要是通过改变模型中的参数，如单元形状函数、位移函数、应力函数等；另一类是基于实验测试结果的修正，主要是通过改变材料参数，如弹性模量、泊松比等。
3. 模型验证：在有限元模型修正完成后，应对修正后的模型进行验证，以确定模型的准确性。
这种验证可以采用两种方法：一种是与实际测试结果进行比较；另一种是与其他有限元模型进行比较。
如果模型的验证结果达到要求，则说明有限元模型修正技术的实施成功，可以得到更精确的分析结果。
总之，有限元模型修正技术是一种改进有限元分析模型的新型技术，它旨在通过数学分析和实验测试，使用一些有限元数据来提供更准确的分析结果，从而更好地满足工程应用的要求。
它的实施过程包括模型评估、模型修正和模型验证三个部分，只有经过这些步骤，才能获得更准确的分析结果。
结构有限元模型的修正方法
结构有限元模型的修正方法摘要模型修正可以提高有限元模型的可信度,随着结构的大型化和复杂化,模型修正方法越来越受到重视。
根据修正对象的不同,模型修正方法有很多种。
本文采用参考基方法,以修正后的质量矩阵为参考基准,通过目标函数最小化来进行模型修正。
数值实验表明本文的方法是可行的,问题的解存在唯一性。
关键词模态数据;有限元;模型修正0 引言有限元模型修正是一门正在兴起的学科,近几年来,人们渐渐发现它在很多科学领域中发挥了越来越重要的作用,特别是在结构动力学、工程技术、信号处理和电子振荡等领域,有限元模型修正指的是关于动力系统模型的设计、构造和修正。
在工程技术领域里,要解决工程中普遍存在的振动问题,首先就必须建立结构的动力学模型。
一般的建模方法有理论建模和实验建模两种,而理论建模工程上常用有限元方法。
模型修正的目的是用实测数据校正不精确的分析模型,而这些数据像固有的频率、阻尼比和振型等,一般是通过振动测试得到的。
根据实测的模态数据修正模型分析得到质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵,缩小有限元模型与实测模型之间的误差,改善有限元模型[1]。
1 模型修正方法假设由有限元方法计算得到近似的质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵分别为,根据实际测量得到的低阶频率和相应的振型,一般情况下二次束的特征值和特征向量跟实际的频率和振型存在着一定的误差。
模型修正方法是利用实测模态数据对质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵进行修正,使修正后的质量矩阵M、阻尼矩阵C和刚度矩阵K满足谱约束条件[3]。
设低阶频率和相应的振型分别为:改写成矩阵形式如下:,其中。
一般的模型修正问题可表述如下:给定,以及模态数据,求矩阵,使得这里Sn表示n阶实对称矩阵,M>0表示对称正定矩阵,C1,C2为两个正的参数。
对于阻尼结构动力系统,如果以质量矩阵作为不变的参考基准,即取M=Ma,那么就可以直接修正阻尼矩阵和刚度矩阵[2]。
在实际问题中,往往要求质量矩阵M是对称正定矩阵,我们可以先修正质量矩阵Ma,取,这里表示所有实对称正定矩阵的集合,表示Ma在上的投影,即.于是,我们以修正后的质量矩阵为参考基,同时修正阻尼矩阵和刚度矩阵,使得罚函数最小。
有限元热模型修正
有限元热模型修正引言：有限元热模型修正是一种常见的热传导问题的数值解法。
在实际应用中，由于模型的简化和假设的不完善，模型的精度往往无法满足实际需求。
因此，对于有限元热模型的修正和优化是非常必要的。
一、模型简化与修正在实际应用中，为了简化计算和降低成本，有限元热模型往往会进行一定的简化。
例如，将复杂的几何形状简化为简单的几何形状，或者将材料的热物性参数设为常数。
这些简化虽然可以降低计算难度，但是也会导致模型的精度下降。
因此，需要对模型进行修正和优化，以提高模型的精度。
二、参数修正与优化在有限元热模型中，材料的热物性参数是非常重要的。
这些参数包括热导率、比热容和密度等。
在实际应用中，这些参数往往会受到多种因素的影响，例如温度、压力和湿度等。
因此，需要对这些参数进行修正和优化，以提高模型的精度。
三、边界条件修正与优化在有限元热模型中，边界条件是非常重要的。
边界条件包括温度、热流和热辐射等。
在实际应用中，这些边界条件往往会受到多种因素的影响，例如环境温度、辐射源和热源等。
因此，需要对这些边界条件进行修正和优化，以提高模型的精度。
四、模型验证与优化在有限元热模型中，模型验证是非常重要的。
模型验证包括实验验证和数值验证两种方法。
实验验证是通过实验数据来验证模型的精度，数值验证是通过数值计算来验证模型的精度。
在实际应用中，需要对模型进行验证和优化，以提高模型的精度。
结论：有限元热模型修正是一种非常重要的数值解法。
在实际应用中，由于模型的简化和假设的不完善，模型的精度往往无法满足实际需求。
因此，需要对模型进行修正和优化，以提高模型的精度。
模型修正和优化包括模型简化与修正、参数修正与优化、边界条件修正与优化和模型验证与优化等方面。
通过对模型的修正和优化，可以提高模型的精度，从而更好地满足实际需求。
第七讲有限元分析建模及若干问题
M
M
L
9-6 模型简化
2、力学问题的简化 、 根据计算结构的几何、受力及相应变形等情况， 根据计算结构的几何、受力及相应变形等情况，对其相应 的力学问题进行简化，从而达到减小计算时间和存储空间 的力学问题进行简化， 的目的。 的目的。 1）对称结构受对称载荷作用 ）
p y
x 对称面
对称面上只有沿对称方向的位 移没有垂直对称面方向的位移
9-6 模型简化
• b、固定铰支：它与活动铰支的区别在于整个支座不能移动， 、固定铰支：它与活动铰支的区别在于整个支座不能移动， 但是被支撑的结构可绕固定轴线或铰自由转动。如图。 但是被支撑的结构可绕固定轴线或铰自由转动。如图。 • c、固接支座（即插入端）：其特点是结构与基础相连后，既 、固接支座（即插入端）：其特点是结构与基础相连后， ）：其特点是结构与基础相连后 不能移动也不能转动，支反力除支反力外还有反力矩。如图。 不能移动也不能转动，支反力除支反力外还有反力矩。如图。
9-4 有限元建模的基本内容
• 有限元建模在一定程度上是一种艺术，是一种物体发生的物理相互 有限元建模在一定程度上是一种艺术， 作用的直观艺术。一般而言，只有具有丰富经验的人， 作用的直观艺术。一般而言，只有具有丰富经验的人，才能构造出 优良的模型。建模时，使用者碰到的主要困难是： 优良的模型。建模时，使用者碰到的主要困难是：要理解分析对象 发生的物理行为；要理解各种可利用单元的物理特性； 发生的物理行为；要理解各种可利用单元的物理特性；选择适当类 型的单元使其与问题的物理行为最接近；理解问题的边界条件、 型的单元使其与问题的物理行为最接近；理解问题的边界条件、所 受载荷类型、数值和位置的处理有时也是困难的。 受载荷类型、数值和位置的处理有时也是困难的。 • 建模的基本内容： 建模的基本内容： • 1、力学问题的分析（平面问题、板壳、杆梁、实体、线性与非线 、力学问题的分析（平面问题、板壳、杆梁、实体、 流体、流固耦合…..）-----取决于工程专业知识和力学素养。 取决于工程专业知识和力学素养。 性、流体、流固耦合 ） 取决于工程专业知识和力学素养 • 2、单元类型的选择（高阶元 低阶元？杆/梁元？平面 板壳？ ….. ） 低阶元？ 梁元 平面/板壳 梁元？ 板壳？ 、单元类型的选择（高阶元/低阶元 -----取决于对问题和单元特性的理解及计算经验 取决于对问题和单元特性的理解及计算经验 • 3、模型简化（对称性 反对称性简化、小特征简化、抽象提取、支 反对称性简化、 、模型简化（对称性/反对称性简化 小特征简化、抽象提取、 坐等简化） 坐等简化） • 4、网格划分（手工、半自动、自动，单元的形状因子？） 、网格划分（手工、半自动、自动，单元的形状因子？） • 5、载荷、约束条件的引入（载荷等效、边界处理） 、载荷、约束条件的引入（载荷等效、边界处理） • 6、求解控制信息的引入 、
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来确定模型参数向量 p 的变化量 △ p , 这里动力残数 取为 ( 6) Ri = ( K - ω2Ei M) φEi 其中 , (ωEi ,φEi ) 是结构的第 i 阶实测模态对 。 问题在于试验时模态形状的采样 ( 或测量 ) 自由 度 , 远比有限元模型的离散自由度 ( 或位移基 ) 为少 。 因此 , 为了利用方程 ( 5 ) , 或者是将模态降阶 ( 或减缩 ) 到测量自由度上 , 或者设法把模态形状的测量部分映 射成模型的位移基 , 有关各种模型降阶技术 , 放在后 节介绍 。用位移基 ( 完全的位移集 ) 模态形状来估计 方程 ( 6) 定义的动力残数 , 也便于误差定位 ( Error Lo2 calization) 。 利用动力残数校正模型的理论基础如下 : 若校正 模型是 : Kc = K + △K ( 7) Mc = M + △ M 按照方程( 4) , 有 2 ( Kc - ω Ei M c ) φ Ei = 0 于是得到 - Ri = ( △K - ω2Ei △ M) φEi
数 ( 或称为灵敏度 ) 来修正有限元模型 。相对于最优 矩阵修正 ( 直接法 ) , 该方法有一系列优点 : 初始模型 的公式 ,包括它的连通性被隐含地保存下来 , 其次 , 模 型修正的结果可用设计参数或建模假设中的误差表 示出来 。
这里 ,行为参数是通过实验测量得到的 ; 2) 模型反演设计问题 ( Inverse Design) [4 ] ,这里 ,把 行为参数作为设计目标加以设定 。 我们要介绍的是第一类反问题 ,当前通称为模型 修正 (Model Updating) . Ibrahim[7 ] 认为 : 有限元模型修正 已成为九十年代以来模态分析和试验的一大挑战 。 由于有限元建模中存在各种误差 , 一个可靠的有限元 模型一般必须针对准确的实验结果加以修正后才可 得到 。 在模型修正中 ,可以说绝大多数都是利用某种残 数 ( Residual ) [1 ] 达到极小的策略 ,因此 ,各种优化算法 , 诸如梯度法 、 遗传算法等 , 在这里找到了广阔应用的 新天地 。 主要有下述两种模型修正技术 : (1) 最优矩阵修正 ( Optimal Matrix Updating) : 这种 修正法是直接去修正装配质量和/ 或刚度矩阵 , 以使 实测模态与解析模态相关 。这种方法最近的发展内 容中 ,包含有用约束来保持模型的连通性格局 ( Con2 nectivity Pattern) , 或者使矩阵修正的秩达到极小 。最 近 ,Friswell 等提出 “ , Usually elements in the mass and stiffness matrices perform very poorly as candidate parame2
n 自由度非线性动态方程可写成 :
M¨ x + Cx + Kx + DN( x , x) = Bf ( t )
( 1)
式中 , M 、 C 和 K 分别为质量 、 阻尼和刚度矩阵 , 它们 都是模型参数的函数 , f 为外激励向量 , 而 B 和 D 为 分别把外力和非线性项变换到模型的有关自由度上 的转换矩阵 , 因为外力和非线性项可能具有较低的维 数 。如果非线性是局部的 , 则可用 s ( < n ) 个广义坐 标 qi , i = 1 , 2 , …s 来描述它 ,
阶 ,参数化和正则化 ,以及有限元模型修正中的贝叶斯概率方法 。 关键词 : 映射 ,降阶 ,参数化和正则化 ,概率方法 中图分类号 : TH113. 1
0 引 言
就一般的的动力系统而言 ,根据所建立的数学模 型 ( 如有限元模型 ) , 由模型参数 ( 如材料常数和几何 参数) 来求行为参数 ( 模型的频率和模态形状 、 脉冲响 应或频率响应函数等) ,称为结构动力学正问题 ( Direct Problem) ; 而由行为参数反推模型参数 , 称为逆问题
振 动 与 冲 击 2003 年第 22 卷 70
Analysis) 、 最优投影法 ( Optimal Projection) 、 平衡降阶法 (Balanced Reduction ) 以及 这 些 方 法 的 组 合 。总 的 说
( Inverse Problem) ; 依据行为参数的不同来源 , 又把逆 ( 或反) 问题分为两类 [21 ] : 1) 模型参数辨识问题 ( Identification Problem) [2 ,3 ] ,
ters ,and this is one reason why the direct methods of model updating are not favored. ” (2 ) 基 于 灵 敏 度 的 模 态 修 正 ( Sensitivity-Based Model Updating) : 这种方法利用行为参数关于模型参数的导
ical Systems-MEMS) [14 ,15 ] ,另一重大应用是解决局部非
线性问题 [13 ] 。 至今已有很多模型降阶方法 ,除上述提到的几种 之外 ,比较成熟的有矩量匹配法 、 代价分析法 ( Cost
2 模型降阶( Model Reduction)
[ 5 , 6 , 12～15 , 22]
可划归成 Hadamard 意义下的适定问题 。他们在理论 和方法上的研究成果 , 已成为今天反问题研究的数学 基础 。 对非适定问题及其数值解法的研究工作很多 ,最 [19 ] 有影响的当推 Tikhonov 的著作 《不适定问题解法》 , 书中提出了不适定问题的正则化思想 , 并且给出了具 体算法 ,它为求解不适定问题提供有力手段 , 使得许 多不适定问题在正则化下迎刃而解 。与正则化类似 的另一种解决不适定问题的方法是 Phillips 光滑化方 法 ; 现已证明 , 这种引入光滑矩阵来改善解的光滑性 质的方法是 Tikhonov 正则化在某些条件下的特殊情 况 [21 ] 。 可以在各种算法之中引入约束 , 比如选择法 , 截 断奇异值法 ,截断 QR 法 ,迭代法以及特征函数展开法 等。 病态的噪声方程组的处理 ,是对有限元模型修正 极为重要的问题 。正则化集中围绕如下线性方程组 θ= b J ( 20) 式中 θ( = △ p) n 维参数变更向量 , 它是需要确定的未 知量 ; 而 b 是 m 维残数向量 , 它是从实测数据和模型 的现时估计得出的 ; 一般 , J m ×n 是灵敏度矩阵 , 数学上 称为 Jacobi 阵 , 在模型修正中测量输出 ( 诸如 , 固有频 率 ,模态形状和频率响应函数 ) 间的关系一般是非线 性的 ,方程 ( 20 ) 是借助一阶泰勒展开的线性方程 , 用 迭代法求解直到收敛 , 详情细节可参看文献 [ 8 ,9 ] 。 当 b 被附加的 , 具有零均值的独立随机噪声污染时 , 众所周知 , 只要 rank ( J) = n , 那么最小二乘解 θ LS 时唯 一的而且无偏 。当 J 接近秩亏时 , 那时小的噪声水准 会导致估计参数离它们的精确值的巨大偏差 。这种 解叫做不稳定的 , 同时方程( 20) 是病态的 。 不同的问题发生在 n > m 之时 , 那时 ( 20) 是欠定 的 , 它有无穷多个解 , 形式为 θLS = J + b ( 21) 的解给出最小范数解 , 式中 J + 是 Moore- Penrose 逆 。对 于 rank ( J) = r < min ( n , m ) 场合 , 奇异值分解 ( Singularvalue Decomposition) 给出最小范数解 。这是业已在模 型修正中广泛应用的一种正则化形式 。不幸的是 , 最 小范数解很少导致有物理意义的修正参数[17 ] 。 模型修正经常导致病态的参数估计问题 。一种 卓有成效的正则化形式是放约束到参数上 , 一种可能 的约束 ,是使原模型和修正的模型的参数之间的偏差 达到极小 。比如 ,在框架结构中可以有若干个名义上 等同的 T - 连接点 。由于制造公差 , 这些连接点的参 数将稍有差异 , 虽然这些差异很小 。因此 , 可以对在 这些参数加上侧边约束 ( Side Constraint ) 使得残数和名 义等同的参数间的差异达到极小 。因此 ,如果 ( 20) 生
振 动 与 冲 击 第 22 卷第 4 期
JOURNAL OF VIBRATION AND SHOCK Vol . 22 No. 4 2003
有限元模型修正中若干重要问题
宋汉文 王丽炜 王文亮
( 复旦大学力学与工程科学系 ,上海 200433)
Ξ
摘 要 本文论述线 ,模型降
S= 0 0 0
- 1 Kss
( 13)
M R 和 KR 是得自静力缩聚的减缩到测量自由度上的
质量矩阵和刚度矩阵 :
T T M R = TG MTG , KR = TG KTG
( 14)
因此 , Ri 是模型的误差大小及误差分布 ( 空间位置) 的 函数 。 1 . 3 Farhat 和 Hemez 的 摇 晃 迭 代 法 ( Stagger Itera2 tion[ 2] ) 及 Alvin 的改进[ 3] ) 模态形 Hemez 摇晃迭代法有三个关键步骤 : ( ⅰ 状的 映 射 ( Model- Shape Projection ) , ( ⅱ) 误 差 定 位 , (ⅲ ) 参数估计 ( Parameter Estimation ) 。整个算法是迭 代 ;利用原模型 ( 即有误差的有限元模型 ) 映射出完整 的 ( 位移基) 模态形状 , 然后用映射好的振型估计参数 修正 ,再在每次迭代中用上述参数的变更去校准质量 阵和刚度阵 , 紧接着开始次一轮的迭代 , 当参数变更 的大小落在使用者规定的门槛值之下时迭代终止 。 Hemez 的迭代算法在如下意义上是摇晃的 。虽然 在整个过程中 ,模型的确在被校准 , 但在映射振型 ( 或 称为模态形状 ) 时却不顾参数的校准 , 这种算法虽然 稍微简化了理论推导 , 但却要付出较大的计算耗费 — — — 每次迭代产生很小的参数变化和十分缓慢的收 敛性 。 Alvin 以一致的方式计入映射与校准 ( 参数变更 ) 之间的相互依赖性 ,他把校准量附加到模型形状的映 射部分 ,从而较大地改善了算法的收敛性 。