2011年全国统一高考数学试卷(理科)(大纲版)(含解析版)
2011年全国统一高考数学试卷（理科）（大纲版）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）复数z=1+i，为z的共轭复数，则z•﹣z﹣1=（）A．﹣2i B．﹣i C．i D．2i2．（5分）函数y=（x≥0）的反函数为（）A．y=（x∈R）B．y=（x≥0）C．y=4x2（x∈R）D．y=4x2（x≥0）3．（5分）下面四个条件中，使a＞b成立的充分而不必要的条件是（）A．a＞b+1B．a＞b﹣1C．a2＞b2D．a3＞b3 4．（5分）设S n为等差数列{a n}的前n项和，若a1=1，公差d=2，S k+2﹣S k=24，则k=（）A．8B．7C．6D．55．（5分）设函数f（x）=cosωx（ω＞0），将y=f（x）的图象向右平移个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则ω的最小值等于（）A．B．3C．6D．96．（5分）已知直二面角α﹣l﹣β，点A∈α，AC⊥l，C为垂足，B∈β，BD⊥l，D 为垂足，若AB=2，AC=BD=1，则D到平面ABC的距离等于（）A．B．C．D．17．（5分）某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有（）A．4种B．10种C．18种D．20种8．（5分）曲线y=e﹣2x+1在点（0，2）处的切线与直线y=0和y=x围成的三角形的面积为（）A．B．C．D．19．（5分）设f（x）是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f（x）=2x（1﹣x），则=（）A．﹣B．﹣C．D．10．（5分）已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，直线y=2x﹣4与C交于A，B两点，则cos∠AFB=（）A．B．C．D．11．（5分）已知平面α截一球面得圆M，过圆心M且与α成60°二面角的平面β截该球面得圆N，若该球的半径为4，圆M的面积为4π，则圆N的面积为（）A．7πB．9πC．11πD．13π12．（5分）设向量，，满足||=||=1，=﹣，＜﹣，﹣＞=60°，则||的最大值等于（）A．2B．C．D．1二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上.（注意：在试题卷上作答无效）13．（5分）的二项展开式中，x的系数与x9的系数之差为．14．（5分）已知α∈（，π），sinα=，则tan2α=．15．（5分）已知F1、F2分别为双曲线C：的左、右焦点，点A∈C，点M的坐标为（2，0），AM为∠F1AF2的平分线，则|AF2|=．16．（5分）已知E、F分别在正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱BB1、CC1上，且B1E=2EB，CF=2FC1，则面AEF与面ABC所成的二面角的正切值等于．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知A﹣C=，a+c=b，求C．18．（12分）根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3．设各车主购买保险相互独立．（Ⅰ）求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率；（Ⅱ）X表示该地的100位车主中，甲、乙两种保险都不购买的车主数．求X 的期望．19．（12分）如图，四棱锥S﹣ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，侧面SAB为等边三角形，AB=BC=2，CD=SD=1．（Ⅰ）证明：SD⊥平面SAB；（Ⅱ）求AB与平面SBC所成的角的大小．20．（12分）设数列{a n}满足a1=0且．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）设，记，证明：S n＜1．21．（12分）已知O为坐标原点，F为椭圆C：在y轴正半轴上的焦点，过F且斜率为﹣的直线l与C交于A、B两点，点P满足．（Ⅰ）证明：点P在C上；（Ⅱ）设点P关于点O的对称点为Q，证明：A、P、B、Q四点在同一圆上．22．（12分）（Ⅰ）设函数，证明：当x＞0时，f（x）＞0．（Ⅱ）从编号1到100的100张卡片中每次随机抽取一张，然后放回，用这种方式连续抽取20次，设抽到的20个号码互不相同的概率为p，证明：．2011年全国统一高考数学试卷（理科）（大纲版）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）复数z=1+i，为z的共轭复数，则z•﹣z﹣1=（）A．﹣2i B．﹣i C．i D．2i【考点】A5：复数的运算．【专题】11：计算题．【分析】求出复数z的共轭复数，代入表达式，求解即可．【解答】解：=1﹣i，所以=（1+i）（1﹣i）﹣1﹣i﹣1=﹣i故选：B．【点评】本题是基础题，考查复数代数形式的混合运算，考查计算能力，常考题型．2．（5分）函数y=（x≥0）的反函数为（）A．y=（x∈R）B．y=（x≥0）C．y=4x2（x∈R）D．y=4x2（x≥0）【考点】4R：反函数．【专题】11：计算题．【分析】由原函数的解析式解出自变量x的解析式，再把x和y交换位置，注明反函数的定义域（即原函数的值域）．【解答】解：∵y=（x≥0），∴x=，y≥0，故反函数为y=（x≥0）．故选：B．【点评】本题考查函数与反函数的定义，求反函数的方法和步骤，注意反函数的定义域是原函数的值域．3．（5分）下面四个条件中，使a＞b成立的充分而不必要的条件是（）A．a＞b+1B．a＞b﹣1C．a2＞b2D．a3＞b3【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件．【专题】5L：简易逻辑．【分析】利用不等式的性质得到a＞b+1⇒a＞b；反之，通过举反例判断出a＞b 推不出a＞b+1；利用条件的定义判断出选项．【解答】解：a＞b+1⇒a＞b；反之，例如a=2，b=1满足a＞b，但a=b+1即a＞b推不出a＞b+1，故a＞b+1是a＞b成立的充分而不必要的条件．故选：A．【点评】本题考查不等式的性质、考查通过举反例说明某命题不成立是常用方法．4．（5分）设S n为等差数列{a n}的前n项和，若a1=1，公差d=2，S k+2﹣S k=24，则k=（）A．8B．7C．6D．5【考点】85：等差数列的前n项和．【专题】11：计算题．，S k，将S k+2﹣S k=24转化为关于k 【分析】先由等差数列前n项和公式求得S k+2的方程求解．【解答】解：根据题意：S k+2=（k+2）2，S k=k2∴S k+2﹣S k=24转化为：（k+2）2﹣k2=24∴k=5故选：D．【点评】本题主要考查等差数列的前n项和公式及其应用，同时还考查了方程思想，属中档题．5．（5分）设函数f（x）=cosωx（ω＞0），将y=f（x）的图象向右平移个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则ω的最小值等于（）A．B．3C．6D．9【考点】HK：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【专题】56：三角函数的求值．【分析】函数图象平移个单位长度后，所得的图象与原图象重合，说明函数平移整数个周期，容易得到结果．【解答】解：f（x）的周期T=，函数图象平移个单位长度后，所得的图象与原图象重合，说明函数平移整数个周期，所以，k∈Z．令k=1，可得ω=6．故选：C．【点评】本题是基础题，考查三角函数的图象的平移，三角函数的周期定义的理解，考查技术能力，常考题型．6．（5分）已知直二面角α﹣l﹣β，点A∈α，AC⊥l，C为垂足，B∈β，BD⊥l，D 为垂足，若AB=2，AC=BD=1，则D到平面ABC的距离等于（）A．B．C．D．1【考点】MK：点、线、面间的距离计算．【专题】11：计算题；13：作图题；35：转化思想．【分析】画出图形，由题意通过等体积法，求出三棱锥的体积，然后求出D 到平面ABC 的距离．【解答】解：由题意画出图形如图：直二面角α﹣l ﹣β，点A ∈α，AC ⊥l ，C 为垂足，B ∈β，BD ⊥l ，D 为垂足，若AB=2，AC=BD=1，则D 到平面ABC 的距离转化为三棱锥D ﹣ABC 的高为h ，所以AD=，CD=，BC=由V B ﹣ACD =V D ﹣ABC 可知所以，h=故选C ．【点评】本题是基础题，考查点到平面的距离，考查转化思想的应用，等体积法是求解点到平面距离的基本方法之一，考查计算能力．7．（5分）某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有（）A ．4种B ．10种C ．18种D ．20种【考点】D3：计数原理的应用．【专题】11：计算题．【分析】本题是一个分类计数问题，一是3本集邮册一本画册，让一个人拿一本画册有4种，另一种情况是2本画册2本集邮册，只要选两个人拿画册C 42种，根据分类计数原理得到结果．【解答】解：由题意知本题是一个分类计数问题，一是3本集邮册一本画册，从4位朋友选一个有4种，另一种情况是2本画册2本集邮册，只要选两个人拿画册C 42=6种，根据分类计数原理知共10种，故选：B．【点评】本题考查分类计数问题，是一个基础题，这种题目可以出现在选择或填空中，也可以出现在解答题目的一部分中．8．（5分）曲线y=e﹣2x+1在点（0，2）处的切线与直线y=0和y=x围成的三角形的面积为（）A．B．C．D．1【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】11：计算题．【分析】根据导数的几何意义求出函数f（x）在x=0处的导数，从而求出切线的斜率，再用点斜式写出切线方程，化成一般式，然后求出与y轴和直线y=x 的交点，根据三角形的面积公式求出所求即可．【解答】解：∵y=e﹣2x+1∴y'=（﹣2）e﹣2x∴y'|x=0=（﹣2）e﹣2x|x=0=﹣2∴曲线y=e﹣2x+1在点（0，2）处的切线方程为y﹣2=﹣2（x﹣0）即2x+y﹣2=0令y=0解得x=1，令y=x解得x=y=∴切线与直线y=0和y=x围成的三角形的面积为×1×=故选：A．【点评】本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及两直线垂直的应用等有关问题，属于基础题．9．（5分）设f（x）是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f（x）=2x（1﹣x），则=（）A．﹣B．﹣C．D．【考点】3I：奇函数、偶函数；3Q：函数的周期性．【专题】11：计算题．【分析】由题意得=f（﹣）=﹣f（），代入已知条件进行运算．【解答】解：∵f（x）是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f（x）=2x（1﹣x），∴=f（﹣）=﹣f（）=﹣2×（1﹣）=﹣，故选：A．【点评】本题考查函数的周期性和奇偶性的应用，以及求函数的值．10．（5分）已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，直线y=2x﹣4与C交于A，B两点，则cos∠AFB=（）A．B．C．D．【考点】KH：直线与圆锥曲线的综合．【专题】11：计算题．【分析】根据已知中抛物线C：y2=4x的焦点为F，直线y=2x﹣4与C交于A，B 两点，我们可求出点A，B，F的坐标，进而求出向量，的坐标，进而利用求向量夹角余弦值的方法，即可得到答案．【解答】解：∵抛物线C：y2=4x的焦点为F，∴F点的坐标为（1，0）又∵直线y=2x﹣4与C交于A，B两点，则A，B两点坐标分别为（1，﹣2）（4，4），则=（0，﹣2），=（3，4），则cos∠AFB===﹣，故选：D．【点评】本题考查的知识点是直线与圆锥曲线的关系，其中构造向量然后利用向量法处理是解答本题的重要技巧．11．（5分）已知平面α截一球面得圆M，过圆心M且与α成60°二面角的平面β截该球面得圆N，若该球的半径为4，圆M的面积为4π，则圆N的面积为（）A．7πB．9πC．11πD．13π【考点】MJ：二面角的平面角及求法．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】先求出圆M的半径，然后根据勾股定理求出求出OM的长，找出二面角的平面角，从而求出ON的长，最后利用垂径定理即可求出圆N的半径，从而求出面积．【解答】解：∵圆M的面积为4π∴圆M的半径为2根据勾股定理可知OM=∵过圆心M且与α成60°二面角的平面β截该球面得圆N∴∠OMN=30°，在直角三角形OMN中，ON=∴圆N的半径为则圆的面积为13π故选：D．【点评】本题主要考查了二面角的平面角，以及解三角形知识，同时考查空间想象能力，分析问题解决问题的能力，属于基础题．12．（5分）设向量，，满足||=||=1，=﹣，＜﹣，﹣＞=60°，则||的最大值等于（）A．2B．C．D．1【考点】9P：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】利用向量的数量积求出的夹角；利用向量的运算法则作出图；结合图，判断出四点共圆；利用正弦定理求出外接圆的直径，求出最大值．【解答】解：∵，∴的夹角为120°，设，则；=如图所示则∠AOB=120°；∠ACB=60°∴∠AOB+∠ACB=180°∴A，O，B，C四点共圆∵∴∴由三角形的正弦定理得外接圆的直径2R=当OC为直径时，模最大，最大为2故选：A．【点评】本题考查向量的数量积公式、向量的运算法则、四点共圆的判断定理、三角形的正弦定理．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上.（注意：在试题卷上作答无效）13．（5分）的二项展开式中，x的系数与x9的系数之差为0．【考点】DA：二项式定理．【专题】11：计算题．【分析】利用二项展开式的通项公式求出通项，令x的指数分别取1，9求出x 的系数与x9的系数；求出值．【解答】解：展开式的通项为令得r=2；令得r=18∴x的系数与x9的系数C202，C2018∴x的系数与x9的系数之差为C202﹣C2018=0故答案为：0【点评】本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题．14．（5分）已知α∈（，π），sinα=，则tan2α=﹣．【考点】GG：同角三角函数间的基本关系；GS：二倍角的三角函数．【专题】11：计算题．【分析】利用题目提供的α的范围和正弦值，可求得余弦值从而求得正切值，然后利用二倍角的正切求得tan2α．【解答】解：由α∈（，π），sinα=，得cosα=﹣，tanα==∴tan2α==﹣故答案为：﹣【点评】本题考查了二倍角的正切与同角三角函数间的基本关系，是个基础题．15．（5分）已知F1、F2分别为双曲线C：的左、右焦点，点A∈C，点M的坐标为（2，0），AM为∠F1AF2的平分线，则|AF2|=6．【考点】KC：双曲线的性质．【专题】16：压轴题．【分析】利用双曲线的方程求出双曲线的参数值；利用内角平分线定理得到两条焦半径的关系，再利用双曲线的定义得到两条焦半径的另一条关系，联立求出焦半径．【解答】解：不妨设A在双曲线的右支上∵AM为∠F1AF2的平分线∴=又∵|AF1|﹣|AF2|=2a=6解得|AF2|=6故答案为6【点评】本题考查内角平分线定理；考查双曲线的定义：解有关焦半径问题常用双曲线的定义．16．（5分）已知E、F分别在正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱BB1、CC1上，且B1E=2EB，CF=2FC1，则面AEF与面ABC所成的二面角的正切值等于．【考点】MJ：二面角的平面角及求法．【专题】11：计算题；16：压轴题；31：数形结合．【分析】由题意画出正方体的图形，延长CB、FE交点为S连接AS，过B作BP ⊥AS连接PE，所以面AEF与面ABC所成的二面角就是：∠BPE，求出BP与正方体的棱长的关系，然后求出面AEF与面ABC所成的二面角的正切值．【解答】解：由题意画出图形如图：因为E、F分别在正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱BB1、CC1上，且B1E=2EB，CF=2FC1，延长CB、FE交点为S连接AS，过B作BP⊥AS连接PE，所以面AEF与面ABC 所成的二面角就是∠BPE，因为B1E=2EB，CF=2FC1，所以BE：CF=1：2所以SB：SC=1：2，设正方体的棱长为：a，所以AS=a，BP=，BE=，在RT△PBE中，tan∠EPB===，故答案为：【点评】本题是基础题，考查二面角的平面角的正切值的求法，解题的关键是能够作出二面角的棱，作出二面角的平面角，考查计算能力，逻辑推理能力．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知A﹣C=，a+c=b，求C．【考点】HU：解三角形．【专题】11：计算题．【分析】由A﹣C等于得到A为钝角，根据诱导公式可知sinA与cosC相等，然后利用正弦定理把a+c=b化简后，把sinA换为cosC，利用特殊角的三角函数值和两角和的正弦函数公式把左边变为一个角的正弦函数，给方程的两边都除以后，根据C和B的范围，得到C+=B或C++B=π，根据A为钝角，所以C++B=π不成立舍去，然后根据三角形的内角和为π，列出关于C的方程，求出方程的解即可得到C的度数．【解答】解：由A﹣C=，得到A为钝角且sinA=cosC，利用正弦定理，a+c=b可变为：sinA+sinC=sinB，即有sinA+sinC=cosC+sinC=sin（C+）=sinB，又A，B，C是△ABC的内角，故C+=B或C++B=π（舍去），所以A+B+C=（C+）+（C+）+C=π，解得C=．【点评】此题考查学生灵活运用诱导公式、特殊角的三角函数值以及两角和的正弦函数公式化简求值，是一道中档题．学生做题时应注意三角形的内角和定理及角度范围的运用．18．（12分）根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3．设各车主购买保险相互独立．（Ⅰ）求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率；（Ⅱ）X表示该地的100位车主中，甲、乙两种保险都不购买的车主数．求X 的期望．【考点】C8：相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式；CH：离散型随机变量的期望与方差．【专题】11：计算题．【分析】（Ⅰ）首先求出购买乙种保险的概率，再由独立事件和对立事件的概率求出该车主甲、乙两种保险都不购买的概率，然后求该车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率即可．（Ⅱ）每位车主甲、乙两种保险都不购买的概率均相等，故为独立重复试验，X 服从二项分布，由二项分布的知识求概率即可．【解答】解：（Ⅰ）设该车主购买乙种保险的概率为P，则P（1﹣0.5）=0.3，故P=0.6，该车主甲、乙两种保险都不购买的概率为（1﹣0.5）（1﹣0.6）=0.2，由对立事件的概率该车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率1﹣0.2=0.8（Ⅱ）甲、乙两种保险都不购买的概率为0.2，X～B（100，0.2）所以EX=100×0.2=20【点评】本题考查对立事件独立事件的概率、独立重复试验即二项分布的期望等知识，考查利用所学知识分析问题、解决问题的能力．19．（12分）如图，四棱锥S﹣ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，侧面SAB为等边三角形，AB=BC=2，CD=SD=1．（Ⅰ）证明：SD⊥平面SAB；（Ⅱ）求AB与平面SBC所成的角的大小．【考点】LW：直线与平面垂直；MI：直线与平面所成的角．【专题】11：计算题；14：证明题．【分析】（1）利用线面垂直的判定定理，即证明SD垂直于面SAB中两条相交的直线SA，SB；在证明SD与SA，SB的过程中运用勾股定理即可（Ⅱ）求AB与平面SBC所成的角的大小即利用平面SBC的法向量，当为锐角时，所求的角即为它的余角；当为钝角时，所求的角为【解答】（Ⅰ）证明：在直角梯形ABCD中，∵AB∥CD，BC⊥CD，AB=BC=2，CD=1∴AD==∵侧面SAB为等边三角形，AB=2∴SA=2∵SD=1∴AD2=SA2+SD2∴SD⊥SA同理：SD⊥SB∵SA∩SB=S，SA，SB⊂面SAB∴SD⊥平面SAB（Ⅱ）建立如图所示的空间坐标系则A（2，﹣1，0），B（2，1，0），C（0，1，0），作出S在底面上的投影M，则由四棱锥S﹣ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，侧面SAB为等边三角形知，M点一定在x轴上，又AB=BC=2，CD=SD=1．可解得MD=，从而解得SM=，故可得S（，0，）则设平面SBC的一个法向量为则，即取x=0，y=，z=1即平面SBC的一个法向量为=（0，，1）又=（0，2，0）cos＜，＞===∴＜，＞=arccos即AB与平面SBC所成的角的大小为arcsin【点评】本题考查了直线与平面垂直的判定，直线与平面所成的角以及空间向量的基本知识，属于中档题．20．（12分）设数列{a n}满足a1=0且．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）设，记，证明：S n＜1．【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式；8K：数列与不等式的综合．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】（Ⅰ）由是公差为1的等差数列，知，由此能求出{a n}的通项公式．（Ⅱ）由==，能够证明S n＜1．【解答】解：（Ⅰ）是公差为1的等差数列，，∴（n∈N*）．（Ⅱ）==，∴=1﹣＜1．【点评】本题考查数列的性质和应用，解题时要注意裂项求和法的合理运用．21．（12分）已知O为坐标原点，F为椭圆C：在y轴正半轴上的焦点，过F且斜率为﹣的直线l与C交于A、B两点，点P满足．（Ⅰ）证明：点P在C上；（Ⅱ）设点P关于点O的对称点为Q，证明：A、P、B、Q四点在同一圆上．【考点】9S：数量积表示两个向量的夹角；KH：直线与圆锥曲线的综合．【专题】15：综合题；16：压轴题；35：转化思想．【分析】（1）要证明点P在C上，即证明P点的坐标满足椭圆C的方程，根据已知中过F且斜率为﹣的直线l与C交于A、B两点，点P满足，我们求出点P的坐标，代入验证即可．（2）若A、P、B、Q四点在同一圆上，则我们可以先求出任意三点确定的圆的方程，然后将第四点坐标代入验证即可．【解答】证明：（Ⅰ）设A（x1，y1），B（x2，y2）椭圆C：①，则直线AB的方程为：y=﹣x+1②联立方程可得4x2﹣2x﹣1=0，则x1+x2=，x1×x2=﹣则y1+y2=﹣（x1+x2）+2=1设P（p1，p2），则有：=（x1，y1），=（x2，y2），=（p1，p2）；∴+=（x1+x2，y1+y2）=（，1）；=（p1，p2）=﹣（+）=（﹣，﹣1）∴p的坐标为（﹣，﹣1）代入①方程成立，所以点P在C上．（Ⅱ）设点P关于点O的对称点为Q，证明：A、P、B、Q四点在同一圆上．设线段AB的中点坐标为（，），即（，），则过线段AB的中点且垂直于AB的直线方程为：y﹣=（x﹣），即y=x+；③∵P关于点O的对称点为Q，故0（0.0）为线段PQ的中点，则过线段PQ的中点且垂直于PQ的直线方程为：y=﹣x④；③④联立方程组，解之得：x=﹣，y=③④的交点就是圆心O1（﹣，），r2=|O1P|2=（﹣﹣（﹣））2+（﹣1﹣）2=故过P Q两点圆的方程为：（x+）2+（y﹣）2=…⑤，把y=﹣x+1…②代入⑤，有x1+x2=，y1+y2=1∴A，B也是在圆⑤上的．∴A、P、B、Q四点在同一圆上．【点评】本题考查的知识点是直线与圆锥曲线的关系，向量在几何中的应用，其中判断点与曲线关系时，所使用的坐标代入验证法是解答本题的关键．22．（12分）（Ⅰ）设函数，证明：当x＞0时，f（x）＞0．（Ⅱ）从编号1到100的100张卡片中每次随机抽取一张，然后放回，用这种方式连续抽取20次，设抽到的20个号码互不相同的概率为p，证明：．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【专题】14：证明题；16：压轴题．【分析】（Ⅰ）欲证明当x＞0时，f（x）＞0，由于f（0）=0利用函数的单调性，只须证明f（x）在[0，+∞）上是单调增函数即可．先对函数进行求导，根据导函数大于0时原函数单调递减即可得到答案．（Ⅱ）先计算概率P=，再证明＜＜，即证明99×98×…×81＜（90）19，最后证明＜e﹣2，即证＞e2，即证19ln＞2，即证ln，而这个结论由（1）所得结论可得【解答】（Ⅰ）证明：∵f′（x）=，∴当x＞﹣1，时f′（x）≥0，∴f（x）在（﹣1，+∞）上是单调增函数，∴当x＞0时，f（x）＞f（0）=0．即当x＞0时，f（x）＞0．（Ⅱ）从编号1到100的100张卡片中每次随机抽取一张，然后放回，连续抽取20次，则抽得的20个号码互不相同的概率为P=，要证P＜＜．先证：P=＜，即证＜即证99×98×…×81＜（90）19而99×81=（90+9）×（90﹣9）=902﹣92＜90298×82=（90+8）×（90﹣8）=902﹣82＜902…91×89=（90+1）×（90﹣1）=902﹣12＜902∴99×98×…×81＜（90）19即P＜再证：＜e﹣2，即证＞e2，即证19ln＞2，即证ln＞由（Ⅰ）f（x）=ln（1+x）﹣，当x＞0时，f（x）＞0．令x=，则ln（1+）﹣=ln（1+）﹣＞0，即ln＞综上有：P＜＜【点评】本题主要考查函数单调性的应用、函数的单调性与导数的关系等，考查运算求解能力，函数、导数、不等式证明及等可能事件的概率等知识．通过运用导数知识解决函数、不等式问题，考查了考生综合运用数学知识解决问题的能力．。
【深度解析高考真题】2011年全国统一高考数学试卷(理科)(大纲版)(3)
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 2011年全国统一高考数学试卷（理科） （大纲版）、选择题（共 （5分）复数 A .— 2i12小题，每小题5分，满分60分）Z=1+i , 2为z 的共轭复数，则7? - z - 1= XB .— i C. i D .2i y=2依 X x > 0)_ 2A . y 止 X x € R )B . y=^ 44X 5分)下面四个条件中，使（5分）函数 2A . a >b+1的反函数为X） (x >0) C. y=4x 2 X x € R ) D .y=4x 2 (x > 0)B . a > b - 1a >b 成立的充分而不必要的条件是X）C. a 2>b 2 D . a 3>b 3 （5分）设S n 为等差数列｛a n ｝的前n 项和，若a i =1，公差d=2, S<+2- S=24, 则 k= X ) A . 8B . 7(5 分)设函数 f (x ) =COS 3X (3> 0), 长度后，所得的图象与原图象重合，则 A .寺X 5分）已知直二面角a- l - B 点A €B . 3D . 5将y=f X x ）的图象向右平移斗个单位JC. 63的最小值等于X ）C. 6D . 9a ，AC 丄 I , C 为垂足，B € B, BD 丄l ，D为垂足，若AB=2, AC=BD=1则D 到平面ABC 的距离等于X ） A .返B.逅C.逅3 33X 5分）某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本， 4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有X A . 4种B . 10 种 C. 18 种 D .1从中取出4本赠送给 D . 20 种（5分）曲线的面积为X A .寺y=e -2x +1在点X 0, 2）处的切线与直线 y=0和y=x 围成的三角形 B- 2D . 1X 5分）设f 则玖今）=X ） （X ）是周期为2的奇函数，当0W x < 1 时，f X x ) =2x (1 - x )， A .- — B .- 1 C.—D . 124 4210. X 5分）已知抛物线C:y 2=4x 的焦点为F ,直线y=2x - 4与C 交于A , B 两点,则 cos / AFB=（ ） A . 2B .丄5511. （5分）已知平面a 截一球面得圆M ，过圆心M 且与A . 7 nB . 9 n C. 11 n12. （5 分）设向量 rn H , c 满足 | 刨=|b|=1, a b =—寺，V a - c , b - c > =60°, 则| d 的最大值等于（） A. 22 2已知F1、F2分别为双曲线C ^=i 的左、右焦点，点A c ，点 M 的坐标为（2, 0）, AM 为/ F 1AF 2的平分线，则I AF 2I =16. （5分）已知E 、F 分别在正方体 ABCD- A 1B 1C 1D 1的棱BB 、CC 上，且B 1E=2EBCF=2FC,则面AEF 与面ABC 所成的二面角的正切值等于三、解答题（共6小题，满分70 分）17. （ 10分）△ ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .已知A -C 斗，a+c £b ,1a 成60 °二面角的平面D .B 截该球面得圆N ,若该球的半径为4,圆M 的面积为4 n 则圆N 的面积为 D . 13nD . 1填空题：本大题共4小题，每小题 5分，共20分.把答案填在题中横线上.（注意:在试题卷上作答无效） 13. （5 分） 14. （5 分） （1^ ） 2°的二项展开式中， 已知 a€ （占-,n , sin 2^=,则 tan2 a 三 25x 的系数与X 9的系数之差为15. （5 分）求C.18. (12分)根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3 .设各车主购买保险相互独立.(I )求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率;(n) X表示该地的100位车主中，甲、乙两种保险都不购买的车主数.求X的期望.19. (12分)如图，四棱锥S-ABCD中, AB// CD, BC丄CD,侧面SAB为等边三角形，AB=BC=2 CD=SD=1(I )证明：SD丄平面SAB(n )求AB与平面SBC所成的角的大小.20. (12分)设数列｛a n｝满足a1=0且—------ =1.(I )求｛a n｝的通项公式；弋严，记S.=g^b,，证明：SV 1.(n)设by过F 且斜率为-心^的直线I 与C 交于A 、B 两点，点P 满足OA+OB+OP=0.（I ）证明：点P 在C 上;（n ）设点P 关于点0的对称点为Q ,证明：A 、P 、B 、（n ）从编号1到100的100张卡片中每次随机抽取一张, 式连续抽取 20次，设抽到的 20个号码互不相同的概率为P ,证明:21. （12分）已知0为坐标原点，F 为椭圆C: 2/+「二1在y 轴正半轴上的焦点,Q 四点在同一圆上.22. （12 分）（I ）设函数 f （a 二g （l+疋）翁，证明：当 x >0 时，f (x )>0.然后放回，用这种方参考答案与试题解析【考点】A5:复数的运算.【专题】11:计算题.【分析】求出复数Z 的共轭复数，代入表达式，求解即可.【解答】解：£=1-i ，所以ZI-Z-1 =(1+i ) (1 - i )- 1-故选：B.【点评】本题是基础题，考查复数代数形式的混合运算，考查计算能力，常考题 型.【分析】由原函数的解析式解出自变量 x 的解析式，再把x 和y 交换位置，注明 反函数的定义域（即原函数的值域）.【解答】解：T y=N/^ （x > 0），，y >0, 2故反函数为y W （ x > 0）.42011年全国统一高考数学试卷（理科）（大纲版）、选择题（共 12小题, 每小题5分，满分60分） 1. （5分）复数 z=1+i ,工 为Z 的共轭复数，则7? - Z - 1 = A .- 2iB . C. iD . 2i(x € R ) B . 【考点】4R 反函数. 【专题】11: 计算题.【点评】本题考查函数与反函数的定义，求反函数的方法和步骤，注意反函数的 定义域是原函数的值域.3. （5分）下面四个条件中，使a > b 成立的充分而不必要的条件是（【考点】29:充分条件、必要条件、充要条件. 【专题】5L :简易逻辑.【分析】利用不等式的性质得到a >b+1? a >b ；反之，通过举反例判断出 a >b 推不出a >b+1；利用条件的定义判断出选项.【解答】解：a >b+1? a >b ； 反之，例如a=2, b=1满足a > b ,但a=b+1即a > b 推不出a > b+1,故a >b+1是a > b 成立的充分而不必要的条件. 故选：A .【点评】本题考查不等式的性质、考查通过举反例说明某命题不成立是常用方法.4. （5分）设S n 为等差数列｛a n ｝的前n 项和，若a 1=1，公差d=2, S k +2- S k =24, 则k=先由等差数列前n 项和公式求得S k +2, S k ,将S k +2 - S k =24转化为关于k 的方程求解. 【解答】解：根据题意:S k +2= (k+2) 2, S k =k 2 ••• S k +2 - S k =24转化为: (k+2) 2 - k 2=24A . a >b+1B. a > b - 1C. a 2> b 2 D . a 3>b 3A . 8B . 7C. 6D . 5【考点】 85: 等差数列的前n 项和. 【专题】 11: 计算题.【分析】故选：D .【点评】本题主要考查等差数列的前n 项和公式及其应用，同时还考查了方程思 想，属中档题.5. （5分）设函数f （X ）=cos 3x （3>0）,将y=f （X ）的图象向右平移2L 个单位3 长度后，所得的图象与原图象重合，则3的最小值等于（）可得3 =6 故选：C.【点评】本题是基础题，考查三角函数的图象的平移，三角函数的周期定义的理 解，考查技术能力，常考题型.6. （5分）已知直二面角 a- I - B,点A € a ，AC 丄I , C 为垂足，B € B, BD 丄l ，D 为垂足，若AB=2, AC=BD=1则D 到平面ABC 的距离等于（ ）A .寥B .啤C •啤333【考点】 【专题】 【分析】 B . 3C. 6D . 9HK 由y=Asin （3：+^）的部分图象确定其解析式. 56:三角函数的求值.函数图象平移工个单位长度后，所得的图象与原图象重合，说明函数 3 容易得到结果. 的周期T 贺平移整数个周期, 【解答】解：f （X ） 象与原图象重合,，函数图象平移¥个单位长度后，所得的图■J说明函数平移整数个周期，所以斗二k •專，k €乙令k=1,3 3D . 1【考点】 MK :点、线、面间的距离计算.【专题】 11:计算题；13:作图题；35 :转化思想.画出图形，由题意通过等体积法，求出三棱锥的体积，然后求出D到【分析】平面ABC的距离.【解答】解：由题意画出图形如图: 直二面角a- I- B,点A€ a, AC丄l, C为垂足，B€ B, BD丄l, D为垂足,若AB=2, AC=BD=1贝U D到平面ABC的距离转化为三棱锥D- ABC的高为h,所以AD l, CD£, BC V5由V B-AC[=V D- ABC可知是求解点到平面距离的基本方法之一，考查计算能力.7. （5分）某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本, 从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有（A. 4种B. 10 种C. 18 种D. 20 种【考点】D3:计数原理的应用.【专题】11:计算题.【分析】本题是一个分类计数问题，一是3本集邮册一本画册，让一个人拿一本画册有4种，另一种情况是2本画册2本集邮册，只要选两个人拿画册C42种，根据分类计数原理得到结果.【解答】解：由题意知本题是一个分类计数问题,是3本集邮册一本画册，从4位朋友选一个有4种, 另一种情况是2本画册2本集邮册，只要选两个人拿画册C42=6种,根据分类计数原理知共10种,故选：B.【点评】本题考查分类计数问题，是一个基础题，这种题目可以出现在选择或填 空中，也可以出现在解答题目的一部分中.8 （5分）曲线y=e -2x +1在点（0，2）处的切线与直线y=0和y=x 围成的三角形 的面积为（ ）A .丄3【考点】6H :利用导数研究曲线上某点切线方程. 【专题】11:计算题.【分析】根据导数的几何意义求出函数f （X ）在x=0处的导数，从而求出切线的 斜率，再用点斜式写出切线方程，化成一般式，然后求出与 y 轴和直线y=x的交点，根据三角形的面积公式求出所求即可. 【解答】解：••• y=e -“+仁.y'= (- 2) e -2x••• y'| x=o = (- 2) e 2x | x=o =- 2•••曲线y=e 2x +1在点(0, 2)处的切线方程为y -2=- 2 (x -0)即2x+y - 2=0 令y=0解得x=1，令y=x 解得x=y=|^ •••切线与直线y=0和y=x 围成的三角形的面积为寺X 1X 故选：A .【点评】本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程,D . 1以及两直线垂直的应用等有关冋题, 属于基础题.9. (5 分)设 f (X ) 则f (子)=( 12A .【考点】 【专题】 是周期为2的奇函数，当0W x < 1时, f (X )=2x (1 - X )，31:奇函数、偶函数；3Q :函数的周期性. 11:计算题.)【点评】本题考查函数的周期性和奇偶性的应用，以及求函数的值.10. （5分）已知抛物线C: y 2=4x 的焦点为F ,直线y=2x - 4与C 交于A , B 两点, 则 cos / AFB=（A. I根据已知中抛物线C: y 2=4x 的焦点为F ,直线y=2x -4与C 交于A , B 我们可求出点A , B , F 的坐标，进而求出向量 冠，両的坐标，进而利 用求向量夹角余弦值的方法，即可得到答案. 【解答】解：•••抛物线C: y 2=4x 的焦点为F , ••• F 点的坐标为（1, 0）又•••直线y=2x- 4与C 交于A , B 两点， 则A , B 两点坐标分别为（1,- 2） （4, 4）, 则冠=(0,- 2), FB = (3, 4),则皿AFB 倆•丽 故选：D .【点评】本题考查的知识点是直线与圆锥曲线的关系， 其中构造向量然后利用向 量法处理是解答本题的重要技巧.11. （ 5分）已知平面a 截一球面得圆M ，过圆心M 且与a 成60°二面角的平面B 截该球面得圆N ,若该球的半径为4,圆M 的面积为4n 则圆N 的面积为 第10页（共23页）【分析】由题意得If （上）=f （-丄）=-f 4）,代入已知条件进行运算.2 2【解答】解：••• f （X ）是周期为2的奇函数，当0W x < 1时，f （x ） =2x （1-x ）,-一 5 •八2 故选：A .戸（诗）=-f 垮 C -4D .【考点】 KH:直线与圆锥曲线的综合. 【专题】 11:计算题.【分析】 两点,【考点】MJ :二面角的平面角及求法. 【专题】11:计算题；16:压轴题.【分析】先求出圆M 的半径，然后根据勾股定理求出求出 OM 的长，找出二面 角的平面角，从而求出 ON 的长，最后利用垂径定理即可求出圆 N 的半径, 从而求出面积.【解答】解：•••圆M 的面积为4n •••圆M 的半径为2 根据勾股定理可知OM=2“j •••过圆心M 且与a 成60°二面角的平面P 截该球面得圆N •••/ OMN=30，在直角三角形 OMN 中，ON=^ •••圆N 的半径为"\/1茅 则圆的面积为13n【点评】本题主要考查了二面角的平面角， 以及解三角形知识，同时考查空间想 象能力，分析问题解决问题的能力，属于基础题.12. （5分）设向量已，b ，C 满足2| =| b | =1，b =-寺，v a -恒＞ =60°,则I c |的最大值等于（）【考点】9P:平面向量数量积的坐标表示、模、夹角. 【专题】11:计算题；16:压轴题.A . 7nB . 9n C. 11 n D . 13nA . 2B . M3 D . 1故选：D .【分析】利用向量的数量积求出；，£的夹角；利用向量的运算法则作出图；结 合图，判断出四点共圆；禾用正弦定理求出外接圆的直径，求出 【解答】解：••••二*的夹角为120°, 设B 爲，■55"，丘二:则云二；二；ra 耳二 如图所示 则/ AOB=120;/ ACB=60 •••/ AOBh/ACB=180 ••• A , O , B , C 四点共圆 ••• AB=b-a • * 2 -*2 亠 T 2• • AB =1)-2a-b + a =3 ••• AB=V5由三角形的正弦定理得外接圆的直径 2R=・学"二2sinz_ ACB 当OC 为直径时，模最大，最大为2 故选：A .【点评】本题考查向量的数量积公式、向量的运算法则、四点共圆的判断定理、 三角形的正弦定理.、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上. （注意：在试题卷上作答无效）13. （5分）的二项展开式中，x 的系数与X 9的系数之差为 0 .I C I 最大值.CsA利用二项展开式的通项公式求出通项，令 X 的指数分别取1, 9求出X 的系数与X 9的系数；求出值. 【解答】解：展开式的通项为 令£二1得 r=2;令乂二g 得 r=18 2 2 ••• X 的系数与X 9的系数Qo 2, Qo 18••• X 的系数与X 9的系数之差为C 2o 2 - Qo 18=O 故答案为：0【点评】本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题.14. （5 分）已知 a€（£^，n ， sin ，则 tan2 a 二-寻_.GG 同角三角函数间的基本关系；GS:二倍角的三角函数. M 的坐标为（2, 0）, AM 为/ F 1AF 2的平分线，则I AFd = 6【考点】KC 双曲线的性质.【考点】 DA:二项式定理. 【专题】 11:计算题.【分析】 【考点】 【专题】 11:计算题.【分析】 利用题目提供的a 的范围和正弦值，可求得余弦值从而求得正切值，然 后利用二倍角的正切求得tan2 a 【解答】解：由a€（-^••• tan2 a =©：=-!1-lan^ CL 3故答案为：-寻，n ），sin 芈‘得 c osa =竽，tan 皤=气【点评】本题考查了二倍角的正切与同角三角函数间的基本关系，是个基础题.15. （5分）已知F 1、F 2分别为双曲线C :2 2〒二1的左、右焦点，点A C,点【专题】16:压轴题.【分析】利用双曲线的方程求出双曲线的参数值；利用内角平分线定理得到两条 焦半径的关系，再利用双曲线的定义得到两条焦半径的另一条关系，联立求 出焦半径.【解答】解: 不妨设A 在双曲线的右支上 ••• AM 为/ F I AF 2的平分线.lAFi |=|F 』| 3 c悶？|=|吧|盲岂 又••• I AF| - | AF 2| =2a=6 解得I AFd =6 故答案为6【点评】本题考查内角平分线定理；考查双曲线的定义：解有关焦半径问题常用 双曲线的定义.16. （5分）已知E 、F 分别在正方体 ABCD - A 1B 1C 1D 1的棱BB 、CC 上，且B 1E=2EBCF=2FC,则面AEF 与面ABC 所成的二面角的正切值等于由题意画出正方体的图形，延长 CB FE 交点为S 连接AS,过B 作BP 丄AS 连接PE 所以面AEF 与面ABC 所成的二面角就是：/ BPE 求出BP 与 正方体的棱长的关系，然后求出面 AEF 与面ABC 所成的二面角的正切值. 【解答】解：由题意画出图形如图: 因为 E 、F 分别在正方体 ABCDH A 1B1C 1D 1 的棱 BBi 、CG 上,且 B 1E=2EB CF=2FC,延长CB FE 交点为S 连接AS,过B 作BP 丄AS 连接PE,所以面AEF 与面ABC 所 成的二面角就是/ BPE,因为B 1E=2EB CF=2FC, 所以 BE: CF=1: 2 所以 SB: SC=1 2,【考点】 MJ :二面角的平面角及求法.【专题】 11:计算题；16:压轴题；31:数形结合.【分析】设正方体的棱长为：a ,所以AS 铠a , BP 追.已，BE 科，在 RT ^PBE 中，tan /3【点评】本题是基础题，考查二面角的平面角的正切值的求法， 解题的关键是能 够作出二面角的棱，作出二面角的平面角，考查计算能力，逻辑推理能力.三、解答题（共6小题，满分70 分）17. （ 10分）△ ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c.已知A -C 匹，a+c 4b ， 求C.11:计算题.由A -C 等于冷-得到A 为钝角，根据诱导公式可知sinA 与cosC 相等，然后利用正弦定理把a+c R^b 化简后，把sinA 换为cosC ，利用特殊角的三角 函数值和两角和的正弦函数公式把左边变为一个角的正弦函数，给方程的两 边都除以西后，根据C 和B 的范围，得到G ^=B 或C 于+B=n,根据A 为 +B=n 不成立舍去，然后根据三角形的内角和为 n 列出关于C 的方程，求出方程的解即可得到 C 的度数.TT【考点】 HU:解三角形. 【专题】 【分析】 TT 钝角，所以C+y【解答】解：由A-C〒，得到A为钝角且sinA=cosC利用正弦定理，a+c习別可变为：sinA+sinC链sinB,即有sinA+sinC=cosCsinC^j sin ) ^2sinB,4又A, B, C是^ ABC的内角，故C+—=B 或C+2L+B=n (舍去), 4 4所以A+B+C= (C+—解得c m.12)+(吩)+C=n【点评】此题考查学生灵活运用诱导公式、特殊角的三角函数值以及两角和的正弦函数公式化简求值，是一道中档题.学生做题时应注意三角形的内角和定理及角度范围的运用.18. （12分）根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3 •设各车主购买保险相互独立.（I ）求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率;（n）X表示该地的100位车主中，甲、乙两种保险都不购买的车主数•求X的期望.【考点】C8:相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式；CH:离散型随机变量的期望与方差.【专题】11:计算题.【分析】（I ）首先求出购买乙种保险的概率，再由独立事件和对立事件的概率求出该车主甲、乙两种保险都不购买的概率，然后求该车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率即可.（n）每位车主甲、乙两种保险都不购买的概率均相等，故为独立重复试验,服从二项分布，由二项分布的知识求概率即可.【解答】解：（I）设该车主购买乙种保险的概率为P,则P (1-0.5) =0.3,故P=0.6,该车主甲、乙两种保险都不购买的概率为（1- 0.5）(1- 0.6) =0.2,由对立事件的概率该车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率1 - 0.2=0.8(n)甲、乙两种保险都不购买的概率为0.2, X〜B (100, 0.2)所以EX=100X 0.2=20【点评】本题考查对立事件独立事件的概率、独立重复试验即二项分布的期望等知识，考查利用所学知识分析问题、解决问题的能力.19. (12分)如图，四棱锥S-ABCD中, AB// CD, BC丄CD,侧面SAB为等边三角形，AB=BC=2 CD=SD=1(I)证明：SD丄平面SAB(n)求AB与平面SBC所成的角的大小.【考点】LW 直线与平面垂直；Ml :直线与平面所成的角.【专题】11:计算题；14:证明题.【分析】(1) 利用线面垂直的判定定理，即证明SD垂直于面SAB中两条相交的直线SA SB在证明SD与SA SB的过程中运用勾股定理即可(n )求AB与平面SBC所成的角的大小即利用平面SBC的法向量；与忑间的夹甬关系即可，当；与逅间的夹角为锐角时，所求的角即为它的余角；当；与忑间的夹角为钝角时，所求的角为【解答】(I )证明：在直角梯形ABCD中,••• AB// CD, BC丄CD, AB=BC=2 CD=1二AD引僦S陌•••侧面SAB为等边三角形，AB=2••• SA=2 ••• SD=1 ••• AC2=SA2+SE2••• SD 丄 SA 同理：SD 丄SB••• SAn SB=S SA, SB?面 SAB ••• SD 丄平面SAB（n ）建立如图所示的空间坐标系则 A ( 2, - 1, 0), B (2 , 1 , 0) , C (0 , 1 , 0),作出S 在底面上的投影 M ,则由四棱锥S- ABCD 中 , AB// CD, BC 丄CD,侧面SAB为等边三角形知，M 点一定在x 轴上，又AB=BC=2 CD=SD=1可解得MD^ , 从而解得SM 近,故可得S （国,0 ,2 -则（号，1- 设平面SBC 的一个法向量为:二⑴Z—y+y-—s=0取 x=0 ,, z=12又丽二(0 , 2 , 0) cos <-,-击订沪F .•.V AS , n > =arccoS ^即AB 与平面SBC 所成的角的大小为arcsi 踣2迈) 2丿SC=(-y. b即平面SBC 的一个法向量为7二仗冬y, Z)|=( 0 ,乎,1)2 ，2【点评】本题考查数列的性质和应用，解题时要注意裂项求和法的合理运用.【点评】本题考查了直线与平面垂直的判定， 直线与平面所成的角以及空间向量 的基本知识，属于中档题.20. （12分）设数列｛a n ｝满足a 1=0且一一1—钿（I ）求｛a n ｝的通项公式;S n < 1.【考点】8E: 8K:数列与不等式的综合. 数列的求和；8H :数列递推式； 计算题；16:压轴题.【分析】（I ）由是公差为1的等差数列，知（n-nxi=n ， 1-5 f 1-辽1 由此能求出｛an ｝的通项公式.（n ）由b 上斗，能够证明sn < 1.门 VnVn Vii Vn+1【解答】解：（I ）是公差为1的等差数列，+ （□-1） X 1 二口，【专题】11:1-曰割1-ai •••%罟N*).11 Vn Vn+1，过F 且斜率为-心^的直线I 与C 交于A 、B 两点，点P 满足OA+OB+OP=0.（I ）证明：点P 在C 上;（n ）设点P 关于点0的对称点为Q ,证明：A 、P 、B 、Q 四点在同一圆上.9S:数量积表示两个向量的夹角；KH :直线与圆锥曲线的综合.【分析】（1）要证明点P 在C 上，即证明P 点的坐标满足椭圆C 的方程^之+工^ 根据已知中过F 且斜率为-的直线I 与C 交于A 、B 两点，点P 满足 OA+OB+OP=0,我们求出点P 的坐标，代入验证即可.（2）若A 、P 、B Q 四点在同一圆上，贝賊们可以先求出任意三点确定的圆的 方程，然后将第四点坐标代入验证即可.【解答】证明：（I ）设A （x i ，y i ）， B （x 2，y 2）2椭圆C : /+匚二1①，贝9直线AB 的方程为：y=-丁办+1②2联立方程可得4x 2- 2/^x - 1=0, yfn 1 贝U X 1+x 2七一，X 1 X x 2=- —2 4贝U y 什y 2=- Vij （X 1+X 2）+2=1 设 P （P 1， p 2），则有：0A = （X 1，y 1），0B =（X 2，y 2），l oP = （p 1，p 2）；21. （12分）已知0为坐标原点，F 为椭圆C: 2/+「二1在y 轴正半轴上的焦点,【考点】 【专题】 15:综合题；16:压轴题；35:转化思想.2 厂1， OA +0£= （x 1+x 2， y 1+y 2）=（ ，1）； °P = （P 1，P 2） =-（0A +0B ）=（- —2 ，2二A 、P 、B 、Q 四点在同一圆上.【点评】本题考查的知识点是直线与圆锥曲线的关系， 向量在几何中的应用，其 中判断点与曲线关系时，所使用的坐标代入验证法是解答本题的关键.-1)••• P 的坐标为（-*2，-1）代入①方程成立，所以点P 在C 上.2（n ）设点P 关于点0的对称点为Q ,证明：A 、P 、B 、Q 四点在同一圆上.设线段AB 的中点坐标为（工^,厘竺），即（唾，丄），2 2 4 2 X-远,即 2 4则过线段AB 的中点且垂直于AB 的直线方程为：y -••• P 关于点0的对称点为Q ,故0 （0.0）为线段PQ 的中点, 闵X ④ 2则过线段PQ 的中点且垂直于PQ 的直线方程为：y=-③④联立方程组，解之得：x=-③④的交点就是圆心O i （-V2 8忑L ） ，，yi 8迈-（-警））2+ （- 1 -i ） 故过P Q 两点圆的方程为：（X 聲）2+ （y -寺） 把y= - M 以+1 -②代入⑤， 有 X 1+X2&^, y 1+y 2=1 ••• A , B 也是在圆⑤上的.r 2=| O i P| 2=(- 2-99 642=99=64…⑤,10••• 99X 98 X •••X81V q 19即PV 爲)9 W (90) 19in 19再证：（卷）V e -2,即证（¥） >e 2,即证10 9由（I ） f （x ） =1n （1+x ）-鳥，当 x > 0 时, 191呼> 2,即证f (x )>0.【考点】6B:利用导数研究函数的单调性. 【专题】14:证明题；16:压轴题.【分析】（I ）欲证明当x > 0时，f （x ）> 0，由于f （0） =0利用函数的单调性, 只须证明f （x ）在［0, +X ）上是单调增函数即可.先对函数进行求导，根据 导函数大于0时原函数单调递减即可得到答案.•••当 x >- 1,时 f (x ) 1到100的100张卡片中每次随机抽取一张，然后放回，连续抽取 A 刘1320次，则抽得的20个号码互不相同的概率为P 严》要证P V （吕）<寺.10 严 10/A 2"19先证：P 誥<缶，即证肿 即证 99X 98X-X 81V( 90) 19x( 90 - 9) =902 - 92V 902 (90 - 8) =902 - 82V 902… (90 - 1) =902 - 12V 902A mo 心血（n ）先计算概率 再证明 10护。
2011年全国大纲高考数学理科试卷(带详解)
2011年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(必修+选修II)第Ⅰ卷一、选择题1.复数1i z =+，z 为z 的共轭复数，则1zz z --= （ ） A.2i - B.i - C.i D.2i 【测量目标】复数的基本概念以及四则运算. 【考查方式】给出复数及共轭复数直接运算. 【难易程度】容易 【参考答案】B【试题解析】()21121i 1i zz z z z --=--=-+-=-.2.函数0)y x =…的反函数为 （ ）A.2()4x y x =∈RB.2(0)4x y x =… C.24y x =()x ∈R D.24(0)y x x =…【测量目标】反函数的定义.【考查方式】已知函数的表达式直接求反函数. 【参考答案】B【试题解析】由原函数反解得24y x =,又原函数的值域为0y …,所以函数0)y x =…的反函数为2(0)4x y x =…. 3.下面四个条件中，使a b >成立的充分而不必要的条件是 （ ） A.1a b >+ B.1a b >- C.22a b > D.33a b > 【测量目标】充分、必要条件，不等式比较大小.【考查方式】结合不等式比较大小判断充分、必要条件 【难易程度】容易 【参考答案】A【试题解析】即寻找命题P ,使P a b ⇒>,且a b >推不出P ,逐项验证知可选A.4.设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若11a =，公差2d =，224k k S S +-=，则k = （ ） A.8 B.7 C.6 D.5 【测量目标】等差数列的通项、前n 项和及性质.【考查方式】解法一:直接利用前n 项和公式计算. 解法二：利用前n 项和的公式及性质. 【难易程度】容易 【参考答案】D 【试题解析】解法一：2(2)(1)(1)[(2)12][12]442422k k k k k k S S k k k +++--=+⨯+⨯-⨯+⨯=+=，解得5k =.解法二: 221[1(1)2](12)4424k k k k S S a a k k k +++-=+=++⨯++⨯=+=，解得5k =.5.设函数()cos (0)f x x ωω=>，将()y f x =的图象向右平移π3个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则ω的最小值等于 （ ） A.13B.3C.6D.9 【测量目标】三角函数的周期性,三角函数图象的平移变换.【考查方式】给出三角函数，图象平移，结合三角函数的周期性求值. 【参考答案】C【试题解析】由题意得2ππ()3k k ω⨯=∈Z ,解得6k ω=,又0ω>,令1k =,得min 6ω=.6.已知直二面角l αβ--,点A α∈，AC l ⊥,C 为垂足,B β∈，BD l ⊥,D 为垂 足．若2,1AB AC BD ===，则D 到平面ABC 的距离等于 （ ）A D.1 【测量目标】空间内点到平面的距离，二面角.【考查方式】给出两个平面，结合直二面角，利用等面积法求值. 【难易程度】中等 【参考答案】C【试题解析】如图,过D 作DE BC ⊥,垂足为E ,因为l αβ--是直二面角,AC l ⊥,∴AC ⊥平面β,∴AC DE ⊥,BC DE ⊥,AC BC C =I ,∴DE ⊥平面ABC , 故DE 的长为点D 到平面ABC 的距离.在Rt BCD ∆中,由等面积法得3BD CD DE BC ⨯===第6题图7.某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友每位朋友1本，则不同的赠送方法共有 （ ） A.4种 B.10种 C.18种 D.20种 【测量目标】排列、组合的应用.【考查方式】给出条件采用分类计数原理，分步计数原理进行简单的排列组合. 【难易程度】容易 【参考答案】B【试题解析】分两类:一是取出1本画册,3本集邮册,此时赠送方法有144C =种； 二是取出2本画册,2本集邮册，此时赠送方法有246C =种.故赠送方法共有10种.8.曲线2e1xy -=+在点(0,2)处的切线与直线0y =和y x =围成的三角形的面积为 （ ） A.13 B.12 C.23D.1 【测量目标】导数的几何意义，三角形面积公式.【考查方式】利用导数求切线方程，结合三角形面积公式求值. 【难易程度】中等 【参考答案】A【试题解析】22e ,x y -'=-∴曲线2e 1x y -=+在点(0,2)处的切线的斜率2,k =-故切线方程是22y x =-+,在直角坐标系中作出示意图得围成的三角形的三个顶点分别为(0,0)、(1,0)、(23, 23)，∴三角形的面积是1211233S =⨯⨯=. 9.设()f x 是周期为2的奇函数，当01x剟时，()f x =2(1)x x -,则5()2f -= （ ）A.-12B.1 4-C.14D.12【测量目标】函数的周期性，奇偶性.【考查方式】给出函数，利用函数的周期性、奇偶性，进而求值. 【难易程度】容易 【参考答案】A【试题解析】由()f x 是周期为2的奇函数,利用周期性和奇偶性得:5511111()(2)()()2(1)2222222f f f f -=-+=-=-=-⨯⨯-=-.10.已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，直线24y x =-与C 交于A ，B 两点．则cos AFB ∠= （ ） A.45 B.35 C.35- D.45-【测量目标】直线与抛物线的位置关系，余弦定理.【考查方式】给出抛物线和直线的方程，结合其位置关系，利用余弦定理求值. 【难易程度】中等 【参考答案】D【试题解析】联立2424y x y x ⎧=⎨=-⎩消去y 得2540x x -+=,解得1,4x x ==,不妨设A 点在x轴的上方,于是A ，B 两点的坐标分别为(4,4), ()1,2-,又(1,0)F ,可求得AB =5,2AF BF ==.在ABF △中,由余弦定理2224cos 25AF BF AB AFB AF BF +-∠==-⨯⨯. 11.已知平面α截一球面得圆M ，过圆心M 且与α成60二面角的平面β截该球面得圆N .若该球面的半径为4，圆M 的面积为4π，则圆N 的面积为 （ ）A.7πB.9πC.11πD.13π 【测量目标】二面角，球的性质.【考查方式】结合图象，在空间里构造特殊三角形，利用勾股定理等知识求解三角形，进而求面积.【难易程度】较难 【参考答案】D【试题解析】如图所示,由圆M 的面积为4π知球心O 到圆M 的距离OM =,在Rt OMN △中,30OMN ︒∠=,∴12ON OM ==,故圆N 的半径r∴圆N 的面积为2π13πS r ==.第11题图12.设向量a ，b ，c 满足1==a b ，12=-g a b ，60︒--=a c,b c ，则||c 的最大值等于 （ ）A.2 D.1 【测量目标】平面向量的数量积运算，向量的线性运算，圆的性质. 【考查方式】给出向量，结合四点共圆的条件，，利用平面向量的数量积运算，加、减法运算求值.【难易程度】中等 【参考答案】A【试题解析】如图，设,,AB AD AC ===u u u r u u u r u u u ra b c ，则120,60BAD BCD ︒︒∠=∠=，180BAD BCD ︒∠+∠=，∴,,,A B C D 四点共圆，当AC 为圆的直径时，||c 最大，最大值为2.第 12题图2011年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(必修+选修II)第Ⅱ卷注意事项：1答题前，考生先在答题卡上用直径0．5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，然后贴好条形码.请认真核准条形码卜的准考证号、姓名和科目.2第Ⅱ卷共2页，请用直径0．5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域 内作答，在试题卷上作答无效.3第Ⅱ卷共l0小题，共90分.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上(注意：在试．．卷上作答无效．．．．．．)13.20(1的二项展开式中，x 的系数与9x 的系数之差为 . 【测量目标】二项式定理.【考查方式】给出二项式，利用二项式展开式的通项公式求解. 【难易程度】容易 【参考答案】0【试题解析】由212020C ((1)C r rrrr r T x +==-得x 的系数为220C ,9x 的系数为1820C ,而1820C =220C ,所以x 的系数与9x 的系数之差为0. 14.已知π(,π)2α∈,sin 5α=,则tan 2α= . 【测量目标】同角三角函数的基本关系，二倍角的正切公式. 【考查方式】给出正弦值，利用二倍角的正切公式求值. 【难易程度】容易 【参考答案】43-【试题解析】由π(,π)2α∈,sin α=得cos 5α=-故sin 1tan cos 2ααα==-, ∴22tan 4tan 21tan 3ααα==--.15.已知1F 、2F 分别为双曲线C : 221927x y -=的左、右焦点，点A C ∈，点M 的坐标为(2，0)，AM 为12F AF ∠的平分线．则2||AF = .【测量目标】三角形的内角平分线定理，双曲线的定义和性质.【考查方式】给出了双曲线，利用角平分线定理和双曲线的第一定义求值. 【难易程度】中等 【参考答案】6【试题解析】Q AM 为12F AF ∠的平分线， ∴2211||||41||||82AF MF AF MF === ∴12||2||AF AF =（步骤1） 又点A C ∈，由双曲线的第一定义得12222||||2||||||26AF AF AF AF AF a -=-===.（步骤2）16.己知点E 、F 分别在正方体1111ABCD A BC D -的棱1BB 、1CC 上，且112,2B E EB CF FC ==，则面AEF 与面ABC 所成的二面角的正切值等于 .【测量目标】二面角.【考查方式】结合正方体的结构，作辅助线找出二面角，进而求值. 【难易程度】中等【参考答案】3【试题解析】延长FE 交CB 的延长线于G ,连结AG ,则AG 为面AEF 与面ABC 的交线,由112,2B E EB CF FC ==得2CF BE =,∴B 为GC 中点. （步骤1） 设正方体的棱长为1,则AG AC ==又2GC =,∴222AC AG GC +=∴90CAG ︒∠=（步骤2）Q FC ⊥平面ABC ,∴FA AG ⊥∴CAF ∠是面AEF 与面ABC 所成的二面角的平面角,在Rt ACF △中,2tan 3CF CAF AC ∠===,故面AEF 与面ABC 所成的二面角的正切值等于3.（步骤3） 三．解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分l0分)(注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．)ABC △的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .已知90A C ︒-=, a c +=,求C .【测量目标】正弦定理、三角形内角和定理、诱导公式.【考查方式】给出三角形，利用正弦定理、三角形内角和定理、诱导公式求解角. 【难易程度】容易【试题解析】由a c +=及正弦定理可得：sin sin A C B += （步骤1）又由90A C ︒-=,180()B A C =-+o ,故cos sin )C C A C ++2)C ︒+2C （步骤2）cos cos 222C C C +=, cos(45)cos2C C ︒-=因为 090C ︒︒<<,所以 245C C ︒=-,15C ︒= （步骤3）18.(本小题满分l2分)(注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．) 根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3,设各车主购买保险相互独立.(I)求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的l 种的概率；(Ⅱ)X 表示该地的l00位车主中,甲、乙两种保险都不购买的车主数.求X 的期望. 【测量目标】独立事件的概率、互斥与对立事件的概率及二项分布的数学期望.【考查方式】利用独立事件的概率公式求解概率，利用二项分布的数学期望公式求期望. 【难易程度】容易【试题解析】记A 表示事件: 该地的1位车主购买甲种保险；B 表示事件: 该地的1位车主购买乙种保险但不购买甲种保险；C 表示事件: 该地的1位车主至少购买甲、乙两种保险中的l 种；D 表示事件: 该地的1位车主甲、乙两种保险都不购买.(I)()0.5P A =, ()0.3P B =, C A B =+ （步骤1）()()()()0.8P C P A B P A P B =+=+= （步骤2）(Ⅱ)D C =,()1()10.80.2P D P C =-=-=(100,0.2)X B :,即X 服从二项分布, （步骤3）所以期望 1000.220EX =⨯=. （步骤4）19.(本小题满分l2分)(注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．) 如图，四棱锥S ABCD -中， AB CD ,BC CD ⊥，侧面SAB 为等边三角形，2,1AB BC CD SD ====.(Ⅰ)证明：SD ⊥平面SAB ；(Ⅱ)求AB 与平面SBC 所成角的大小.第19题图【测量目标】线面垂直的证明，线面角的计算，空间坐标系的应用.【考查方式】解法一：通过作辅助线证明线面垂直，平移找线面夹角，在三角形中求角的大小.解法二：空间向量坐标的应用. 【难易程度】中等【试题解析】 解法一：(Ⅰ)取AB 中点E ，连结DE ，则四边形BCDE 为矩形，2DE CB ==，连结SE ，则SE AB ⊥，SE =又1SD =,故222ED SE SD =+,所以DSE ∠直角. （步骤1） 由AB DE ⊥,AB SE ⊥,DE SE E =I ,得AB ⊥平面SDE , 所以AB SD ⊥.SD 与两条相交直线AB 、SE 都垂直.所以SD ⊥平面SAB . （步骤2）另解:由已知易求得1,2SD AD SA ==,于是222SA SD AD +=，可知SD SA ⊥,同理可得SD SB ⊥,又SA SB S =I .所以SD ⊥平面SAB . (Ⅱ)由AB ⊥平面SDE 知，平面ABCD ⊥平面SDE .作SF DE ⊥,垂足为F ,则SF ⊥平面ABCD ,SD SE SF DE ⨯==作FG BC ⊥,垂足为G ,则1FG DC ==.连结SG .则SG BC ⊥.又,BC FG SG FG G ⊥=I ,故BC ⊥平面SFG ,平面SBC ⊥平面SFG .（步骤1） 作FH SG ⊥,H 为垂足,则FH ⊥平面SBC .SF FG FH SG ⨯==,即F 到平面SBC . 由于ED BC ,所以ED 平面SBC ,E 到平面SBC 的距离d . 设AB 与平面SBC 所成的角为α,则sin d EB α==,α=（步骤2）第19题图解法二：以C 为原点,射线CD 为x 轴的正半轴,建立如图所示的空间直角坐标系C xyz -. 设(1,0,0)D ,则(2,2,0)A 、(0,2,0)B . 又设(,,)S x y z ,则0,0,0x y z >>>.(Ⅰ)(2,2,),(,2,),(1,,)AS x y z BS x y z DS x y z =--=-=-u u r u u r u u u r,由||||AS BS =u u r u u r=故1x =.由||1DS =u u u r得221y z +=,又由||2BS =u u r得222(2)4x y z +-+=,即22410y z y +-+=,故1,2y z ==（步骤1）于是1331(1,(1,(1,(0,2222S AS BS DS =--=-=uu r uu r uu u r ,0,0DS AS DS BS ==u u u r u u r u u u r u u rg g .故,DS AS DS BS ⊥⊥,又AS BS S =I ,所以SD ⊥平面SAB . （步骤2） (Ⅱ)设平面SBC 的法向量(,,)m n p =a ,则,,0,0BS CB BS CB ⊥⊥==u u r u u r u u r u u r g g a a a a .又3(1,(0,2,0)2BS CB =-=uu r uu r ,故30,2220m n p n ⎧-+=⎪⎨⎪=⎩（步骤3） 取2p =得(=a ,又(2,0,0),AB =-u u u rcos ,||||AB AB AB <>==uu u r g uu u r g a a a 故AB 与平面SBC所成的角为. （步骤4）第19题图20.(本小题满分l2分)(注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．)设数列{}n a 满足10a =且111111n na a +-=--.（I ）求{}n a 的通项公式； (Ⅱ)设1,1nn n k n k b b S ===<∑记S 证明：.【测量目标】等差数列的定义及其通项公式，用裂项相消法求和.【考查方式】利用等差数列的定义求数列通项，用裂项相消法求和，进而证明不等式. 【难易程度】较难 【试题解析】 (Ⅰ)由题设111111n na a +-=--,即11na -｛｝是公差为1的等差数列. （步骤1） 又11=11a -,故1=1n n a -.所以11n a n=-()n *∈N （步骤2）(Ⅱ) 由(Ⅰ)得n b===1111n nn k k k S b =====<∑∑ （步骤3）21.(本小题满分l2分)(注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．) 已知O 为坐标原点，F 为椭圆C ：2212y x +=在y 轴正半轴上的焦点，过F且斜率为l 与C 交与A 、B 两点，点P 满足OA OB OP ++=0u u r u u u r u u u r. (I)证明：点P 在C 上；(II)设点P 关于点O 的对称点为Q ，证明：A 、P 、B 、Q 四点在同一圆上.第21题图【测量目标】平面向量在平面几何中等的应用，圆锥曲线的综合应用.【考查方式】 根据给出的椭圆方程和直线方程的关系，利用坐标向量，及四点共圆的性质证明. 【难易程度】中等【试题解析】 (I)(0,1)F ,l的方程为1y =+,代入2212y x +=并化简得2410x --=. （步骤1） 设112233(,),(,),(,)A x y B x y P x y ,则12,44x x ==121212)21,2x x y y x x +=+=++=由题意得312312()()1,2x x x y y y =-+=-=-+=-所以点P 的坐标为(1)2--.经验证点P 的坐标(1)2--满足方程2212y x +=, 故点P 在椭圆C 上 （步骤2）(II)由P (1)2--和题设知，Q (2，PQ 的垂直平分线1l 的方程为2y x =. ①设AB 的中点为M ,则1()42M ,AB 的垂直平分线2l 的方程为124y x =+. ②由①、②得1l 、2l 的交点为1()N -. （步骤3）||8NP ==,21||||AB x x =-=||AM =,||MN ==,||8NA =,故 ||||NP NA =, 又 ||||NP NQ =, ||||NA NB =, 所以 ||||||||NA NP NB NQ ===,由此知A 、P 、B 、Q 四点在以N 为圆心,NA 为半径的圆上. （步骤4）22.(本小题满分l2分)(注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．) (I)设函数2()ln(1)2xf x x x =+-+，证明：当0x >时，()0f x >； (II)从编号1到100的100张卡片中每次随即抽取一张，然后放回，用这种方式连续抽取20次，设抽得的20个号码互不相同的概率为p .证明：19291()10ep << 【测量目标】利用导数解决不等式问题.【考查方式】将导数、概率与不等式结合，利用导数解决问题.【难易程度】较难【试题解析】(I) 22()(1)(2)x f x x x '=++ （步骤1） 当0x >时, ()0f x '>,所以()f x 为增函数,又(0)0f =,因此当0x >时, ()0f x > （步骤2） (II) 20100999881100p ⨯⨯⨯⨯=L . 又222998190,988290,918990,⨯<⨯<⨯<L 所以199()10p <.由(I)知: 当0x ＞时，2ln(1)2x x x +>+ 因此2(1)ln(1)2x x++>. 在上式中,令19x =,则 1019ln 29>,即19210()e 9>. 所以19291()10ep << （步骤3）。
2011年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标版)解析
2011年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标版）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）（2015•泉州模拟）复数的共轭复数是（）B3．（5分）（2014•浙江一模）执行程序框图，如果输入的N是6，那么输出的p是（）4．（5分）（2015•武汉模拟）有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每B5．（5分）（2014秋•安徽月考）已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终﹣6．（5分）（2014•兴庆区校级四模）在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图所示，则相应的侧视图可以为（）B7．（5分）（2012•甘谷县校级模拟）设直线l过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴B8．（5分）（2014•江西校级模拟）的展开式中各项系数的和为2，则B10．（5分）（2011秋•平遥县校级期末）已知与均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题P1：|+|＞1⇔θ∈[0，）；P2：|+|＞1⇔θ∈（，π]；P3：|﹣|＞1⇔θ∈[0，）；P4：|﹣|＞1⇔θ∈（，π]；其中的真命题是（）11．（5分）（2015•丽水一模）设函数f（x）=sin（ωx+φ）+cos（ωx+φ））在（，）单调递减）单调递增）在（，）单调递增12．（5分）（2015•沈阳一模）函数y=的图象与函数y=2sinπx（﹣2≤x≤4）的图象所有二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）（2015•辽宁校级一模）若变量x，y满足约束条件则z=x+2y的最小值为．14．（5分）（2012•靖宇县校级模拟）在平面直角坐标系xOy，椭圆C的中心为原点，焦点F1F2在x轴上，离心率为．过F l的直线交于A，B两点，且△ABF2的周长为16，那么C的方程为．15．（5分）（2014•南通模拟）已知矩形ABCD的顶点都在半径为4的球O的球面上，且AB=6，BC=2，则棱锥O﹣ABCD的体积为．16．（5分）（2014•包头一模）在△ABC中，B=60°，AC=，则AB+2BC的最大值为．三、解答题（共8小题，满分70分）17．（12分）（2014•成都模拟）等比数列{a n}的各项均为正数，且2a1+3a2=1，a32=9a2a6，（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=log3a1+log3a2+…+log3a n，求数列{}的前n项和．18．（12分）（2014•新城区校级模拟）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB=60°，AB=2AD，PD⊥底面ABCD．（Ⅰ）证明：PA⊥BD；（Ⅱ）若PD=AD，求二面角A﹣PB﹣C的余弦值．19．（12分）（2014•凉州区二模）某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于102的产品为优质品，现用两种新配方（分别称为A 配方和B配方）做试验，各生产了100件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果：（Ⅱ）已知用B配方生成的一件产品的利润y（单位：元）与其质量指标值t的关系式为y=（以从用B配方生产的产品中任取一件，其利润记为X（单位：元），求X的分布列及数学期望．试验结果中质量指标值落入各组的频率作为一件产品的质量指标值落入相应组的概率）20．（12分）（2014•瓦房店市校级模拟）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，﹣1），B点在直线y=﹣3上，M点满足∥，=•，M点的轨迹为曲线C．（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）P为C上的动点，l为C在P点处的切线，求O点到l距离的最小值．21．（12分）（2012•靖宇县校级模拟）已知函数f（x）=+，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为x+2y﹣3=0．（Ⅰ）求a、b的值；（Ⅱ）如果当x＞0，且x≠1时，f（x）＞+，求k的取值范围．22．（10分）（2015•鹰潭一模）如图，D，E分别为△ABC的边AB，AC上的点，且不与△ABC 的顶点重合．已知AE的长为m，AC的长为n，AD，AB的长是关于x的方程x2﹣14x+mn=0的两个根．（Ⅰ）证明：C，B，D，E四点共圆；（Ⅱ）若∠A=90°，且m=4，n=6，求C，B，D，E所在圆的半径．23．（2015•西安校级三模）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数）M是C1上的动点，P点满足=2，P点的轨迹为曲线C2（Ⅰ）求C2的方程；（Ⅱ）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ=与C1的异于极点的交点为A，与C2的异于极点的交点为B，求|AB|．24．（2014•芗城区校级模拟）设函数f（x）=|x﹣a|+3x，其中a＞0．（Ⅰ）当a=1时，求不等式f（x）≥3x+2的解集（Ⅱ）若不等式f（x）≤0的解集为{x|x≤﹣1}，求a的值．2011年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标版）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）（2015•泉州模拟）复数的共轭复数是（）B解：复数==i在3．（5分）（2014•浙江一模）执行程序框图，如果输入的N是6，那么输出的p是（）经过第二次循环得到经过第三次循环得到经过第四次循环得经过第五次循环得4．（5分）（2015•武汉模拟）有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每B5．（5分）（2014秋•安徽月考）已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终﹣=，×﹣﹣6．（5分）（2014•兴庆区校级四模）在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图所示，则相应的侧视图可以为（）B7．（5分）（2012•甘谷县校级模拟）设直线l过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴B，焦点，由题设知，：由题设知，8．（5分）（2014•江西校级模拟）的展开式中各项系数的和为2，则=∴展开式中常数项为的系数和B得到两曲线的交点（10．（5分）（2011秋•平遥县校级期末）已知与均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题P1：|+|＞1⇔θ∈[0，）；P2：|+|＞1⇔θ∈（，π]；P3：|﹣|＞1⇔θ∈[0，）；P4：|﹣|＞1⇔θ∈（，π]；其中的真命题是（）解：由，又，|+＞﹣，）11．（5分）（2015•丽水一模）设函数f（x）=sin（ωx+φ）+cos（ωx+φ））在（，）单调递减）单调递增）在（，）单调递增，，得出=，得出=）在（）（，12．（5分）（2015•沈阳一模）函数y=的图象与函数y=2sinπx（﹣2≤x≤4）的图象所有分析：的图象由奇函数的图象向右平移1个单位而得，所以它的图象关于解：函数上是减函数；和二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）（2015•辽宁校级一模）若变量x，y满足约束条件则z=x+2y的最小值为﹣6．﹣x+x+，14．（5分）（2012•靖宇县校级模拟）在平面直角坐标系xOy，椭圆C的中心为原点，焦点F1F2在x轴上，离心率为．过F l的直线交于A，B两点，且△ABF2的周长为16，那么C的方程为+=1．，即=，则cc c=2+=1故答案为：+15．（5分）（2014•南通模拟）已知矩形ABCD的顶点都在半径为4的球O的球面上，且AB=6，BC=2，则棱锥O﹣ABCD的体积为8．解：矩形的对角线的长为：的体积为：=816．（5分）（2014•包头一模）在△ABC中，B=60°，AC=，则AB+2BC的最大值为2．a=三、解答题（共8小题，满分70分）17．（12分）（2014•成都模拟）等比数列{a n}的各项均为正数，且2a1+3a2=1，a32=9a2a6，（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=log3a1+log3a2+…+log3a n，求数列{}的前n项和．倒数即为}．．=++，=﹣）++）﹣）（﹣，}项和为﹣18．（12分）（2014•新城区校级模拟）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB=60°，AB=2AD，PD⊥底面ABCD．（Ⅰ）证明：PA⊥BD；（Ⅱ）若PD=AD，求二面角A﹣PB﹣C的余弦值．的坐标，求出向量BD=，=（﹣1，，0），=（0，，﹣1），=（﹣1，0，0），的法向量为，因此可取（，=，=）﹣的余弦值为：﹣19．（12分）（2014•凉州区二模）某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于102的产品为优质品，现用两种新配方（分别称为A 配方和B配方）做试验，各生产了100件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果：（Ⅱ）已知用B配方生成的一件产品的利润y（单位：元）与其质量指标值t的关系式为y=从用B配方生产的产品中任取一件，其利润记为X（单位：元），求X的分布列及数学期望．（以试验结果中质量指标值落入各组的频率作为一件产品的质量指标值落入相应组的概率）配方生产的产品中优质品的频率为20．（12分）（2014•瓦房店市校级模拟）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，﹣1），B点在直线y=﹣3上，M点满足∥，=•，M点的轨迹为曲线C．（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）P为C上的动点，l为C在P点处的切线，求O点到l距离的最小值．并代入∥，=，==）=0y=﹣x的斜率为xx．又d=21．（12分）（2012•靖宇县校级模拟）已知函数f（x）=+，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为x+2y﹣3=0．（Ⅰ）求a、b的值；（Ⅱ）如果当x＞0，且x≠1时，f（x）＞+，求k的取值范围．的斜率为，故（Ⅱ）由（Ⅰ）知考虑函数（．由，可得，可得）﹣（）＞）＞+，，，可得h22．（10分）（2015•鹰潭一模）如图，D，E分别为△ABC的边AB，AC上的点，且不与△ABC 的顶点重合．已知AE的长为m，AC的长为n，AD，AB的长是关于x的方程x2﹣14x+mn=0的两个根．（Ⅰ）证明：C，B，D，E四点共圆；（Ⅱ）若∠A=90°，且m=4，n=6，求C，B，D，E所在圆的半径．23．（2015•西安校级三模）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数）M是C1上的动点，P点满足=2，P点的轨迹为曲线C2（Ⅰ）求C2的方程；（Ⅱ）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ=与C1的异于极点的交点为A，与C2的异于极点的交点为B，求|AB|．与与（）即与=4sin与=8sin24．（2014•芗城区校级模拟）设函数f（x）=|x﹣a|+3x，其中a＞0．（Ⅰ）当a=1时，求不等式f（x）≥3x+2的解集（Ⅱ）若不等式f（x）≤0的解集为{x|x≤﹣1}，求a的值．{x|x =。
2011年高考全国数学试卷(新课标)-理科(含详解答案)
2011年普通高等学校招生全国统一考试理科数学 第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
(1)复数212ii+-的共轭复数是 （A ）35i - （B ）35i （C ）i - （D ）i解析：212i i+-=(2)(12),5i i i ++=共轭复数为C （2）下列函数中，既是偶函数又在+∞（0，）单调递增的函数是（A ）3y x = (B) 1y x =+ （C ）21y x =-+ (D) 2x y -= 解析:由图像知选B（3）执行右面的程序框图，如果输入的N 是6，那么输出的p 是（A ）120 （B ）720 （C ）1440 （D ）5040解析：框图表示1n n a n a -=⋅，且11a =所求6a =720 选B（4）有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为（A ）13 （B ）12 （C ）23 （D ）34解析;每个同学参加的情形都有3种，故两个同学参加一组的情形有9种，而参加同一组的情形只有3种，所求的概率为p=3193=选A （5）已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线2y x =上，则cos 2θ=解析：由题知tan 2θ=,222222cos sin 1tan 3cos2cos sin 1tan 5θθθθθθθ--===-++选B（A ）45- （B ）35- （C ）35 （D ）45（6）在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如右图所示， 则相应的侧视图可以为解析：条件对应的几何体是由底面棱长为r 的正四棱锥沿底面对角线截出的部分与底面为半径为r 的圆锥沿对称轴截出的部分构成的。
故选D（7）设直线L 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直，L 与C 交于A ,B 两点，AB 为C 的实轴长的2倍，则C 的离心率为（A ）2 （B ）3 （C ）2 （D ）3解析：通径|AB|=222b a a=得2222222b a a c a =⇒-=，选B （8）512a x x x x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为（A ）-40 （B ）-20 （C ）20 （D ）40解析 1.令x=1得a=1.故原式=511()(2)x x x x +-。
2011年全国统一高考数学试卷(理科)(大纲版)(含解析版)
2011年全国统一高考数学试卷（理科）（大纲版）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）复数z=1+i，为z 的共轭复数，则z•﹣z﹣1=（）A．﹣2i B．﹣i C．i D．2i2．（5分）函数y=（x≥0）的反函数为（）A．y=（x∈R）B．y=（x≥0）C．y=4x2（x∈R）D．y=4x2（x≥0）3．（5分）下面四个条件中，使a＞b成立的充分而不必要的条件是（）A．a＞b+1B．a＞b﹣1C．a2＞b2D．a3＞b34．（5分）设S n为等差数列{a n}的前n项和，若a1=1，公差d=2，S k+2﹣S k=24，则k=（）A．8B．7C．6D．55．（5分）设函数f（x）=cosωx（ω＞0），将y=f（x）的图象向右平移个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则ω的最小值等于（）A．B．3C．6D．96．（5分）已知直二面角α﹣l﹣β，点A∈α，AC⊥l，C为垂足，B∈β，BD⊥l，D为垂足，若AB=2，AC=BD=1，则D到平面ABC的距离等于（）A．B．C．D．17．（5分）某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有（）A．4种B．10种C．18种D．20种8．（5分）曲线y=e﹣2x+1在点（0，2）处的切线与直线y=0和y=x围成的三角形的面积为（）A．B．C．D．19．（5分）设f（x）是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f（x）=2x（1﹣x），则=（）A．﹣B．﹣C．D．10．（5分）已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，直线y=2x﹣4与C交于A，B两点，则cos∠AFB=（）A．B．C．D．11．（5分）已知平面α截一球面得圆M，过圆心M且与α成60°二面角的平面β截该球面得圆N，若该球的半径为4，圆M的面积为4π，则圆N的面积为（）A．7πB．9πC．11πD．13π12．（5分）设向量，，满足||=||=1，=﹣，＜﹣，﹣＞=60°，则||的最大值等于（）A．2B．C．D．1二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上.（注意：在试题卷上作答无效）13．（5分）的二项展开式中，x的系数与x9的系数之差为．14．（5分）已知α∈（，π），sinα=，则tan2α=．15．（5分）已知F1、F2分别为双曲线C：的左、右焦点，点A∈C，点M的坐标为（2，0），AM为∠F1AF2的平分线，则|AF2|=．16．（5分）已知E、F分别在正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱BB1、CC1上，且B1E=2EB，CF=2FC1，则面AEF与面ABC所成的二面角的正切值等于．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知A﹣C=，a+c=b，求C．18．（12分）根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3．设各车主购买保险相互独立．（Ⅰ）求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率；（Ⅱ）X表示该地的100位车主中，甲、乙两种保险都不购买的车主数．求X的期望．19．（12分）如图，四棱锥S﹣ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，侧面SAB为等边三角形，AB=BC=2，CD=SD=1．（Ⅰ）证明：SD⊥平面SAB；（Ⅱ）求AB与平面SBC所成的角的大小．20．（12分）设数列{a n}满足a1=0且．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）设，记，证明：S n＜1．21．（12分）已知O为坐标原点，F为椭圆C：在y轴正半轴上的焦点，过F且斜率为﹣的直线l与C交于A、B两点，点P满足．（Ⅰ）证明：点P在C上；（Ⅱ）设点P关于点O的对称点为Q，证明：A、P、B、Q四点在同一圆上．22．（12分）（Ⅰ）设函数，证明：当x＞0时，f（x）＞0．（Ⅱ）从编号1到100的100张卡片中每次随机抽取一张，然后放回，用这种方式连续抽取20次，设抽到的20个号码互不相同的概率为p，证明：．2011年全国统一高考数学试卷（理科）（大纲版）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）复数z=1+i，为z 的共轭复数，则z•﹣z﹣1=（）A．﹣2i B．﹣i C．i D．2i【考点】A5：复数的运算．【专题】11：计算题．【分析】求出复数z的共轭复数，代入表达式，求解即可．【解答】解：=1﹣i，所以=（1+i）（1﹣i）﹣1﹣i﹣1=﹣i故选：B．【点评】本题是基础题，考查复数代数形式的混合运算，考查计算能力，常考题型．2．（5分）函数y=（x≥0）的反函数为（）A．y=（x∈R）B．y=（x≥0）C．y=4x2（x∈R）D．y=4x2（x≥0）【考点】4R：反函数．【专题】11：计算题．【分析】由原函数的解析式解出自变量x的解析式，再把x 和y交换位置，注明反函数的定义域（即原函数的值域）．【解答】解：∵y=（x≥0），∴x=，y≥0，故反函数为y=（x≥0）．故选：B．【点评】本题考查函数与反函数的定义，求反函数的方法和步骤，注意反函数的定义域是原函数的值域．3．（5分）下面四个条件中，使a＞b成立的充分而不必要的条件是（）A．a＞b+1B．a＞b﹣1C．a2＞b2D．a3＞b3【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件．【专题】5L：简易逻辑．【分析】利用不等式的性质得到a＞b+1⇒a＞b；反之，通过举反例判断出a＞b推不出a＞b+1；利用条件的定义判断出选项．【解答】解：a＞b+1⇒a＞b；反之，例如a=2，b=1满足a＞b，但a=b+1即a＞b推不出a＞b+1，故a＞b+1是a＞b成立的充分而不必要的条件．故选：A．【点评】本题考查不等式的性质、考查通过举反例说明某命题不成立是常用方法．4．（5分）设S n为等差数列{a n}的前n项和，若a1=1，公差d=2，S k+2﹣S k=24，则k=（）A．8B．7C．6D．5【考点】85：等差数列的前n项和．【专题】11：计算题．【分析】先由等差数列前n项和公式求得S k+2，S k，将S k+2﹣S k=24转化为关于k的方程求解．【解答】解：根据题意：S k+2=（k+2）2，S k=k2∴S k+2﹣S k=24转化为：（k+2）2﹣k2=24∴k=5故选：D．【点评】本题主要考查等差数列的前n项和公式及其应用，同时还考查了方程思想，属中档题．5．（5分）设函数f（x）=cosωx（ω＞0），将y=f（x）的图象向右平移个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则ω的最小值等于（）A．B．3C．6D．9【考点】HK：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【专题】56：三角函数的求值．【分析】函数图象平移个单位长度后，所得的图象与原图象重合，说明函数平移整数个周期，容易得到结果．【解答】解：f（x）的周期T=，函数图象平移个单位长度后，所得的图象与原图象重合，说明函数平移整数个周期，所以，k∈Z．令k=1，可得ω=6．故选：C．【点评】本题是基础题，考查三角函数的图象的平移，三角函数的周期定义的理解，考查技术能力，常考题型．6．（5分）已知直二面角α﹣l﹣β，点A∈α，AC⊥l，C为垂足，B∈β，BD⊥l，D为垂足，若AB=2，AC=BD=1，则D到平面ABC的距离等于（）A．B．C．D．1【考点】MK：点、线、面间的距离计算．【专题】11：计算题；13：作图题；35：转化思想．【分析】画出图形，由题意通过等体积法，求出三棱锥的体积，然后求出D到平面ABC的距离．【解答】解：由题意画出图形如图：直二面角α﹣l﹣β，点A∈α，AC⊥l，C为垂足，B∈β，BD⊥l，D为垂足，若AB=2，AC=BD=1，则D到平面ABC的距离转化为三棱锥D﹣ABC的高为h，所以AD=，CD=，BC=由V B﹣ACD=V D﹣ABC可知所以，h=故选C．【点评】本题是基础题，考查点到平面的距离，考查转化思想的应用，等体积法是求解点到平面距离的基本方法之一，考查计算能力．7．（5分）某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有（）A．4种B．10种C．18种D．20种【考点】D3：计数原理的应用．【专题】11：计算题．【分析】本题是一个分类计数问题，一是3本集邮册一本画册，让一个人拿一本画册有4种，另一种情况是2本画册2本集邮册，只要选两个人拿画册C42种，根据分类计数原理得到结果．【解答】解：由题意知本题是一个分类计数问题，一是3本集邮册一本画册，从4位朋友选一个有4种，另一种情况是2本画册2本集邮册，只要选两个人拿画册C42=6种，根据分类计数原理知共10种，故选：B．【点评】本题考查分类计数问题，是一个基础题，这种题目可以出现在选择或填空中，也可以出现在解答题目的一部分中．8．（5分）曲线y=e﹣2x+1在点（0，2）处的切线与直线y=0和y=x围成的三角形的面积为（）A．B．C．D．1【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】11：计算题．【分析】根据导数的几何意义求出函数f（x）在x=0处的导数，从而求出切线的斜率，再用点斜式写出切线方程，化成一般式，然后求出与y轴和直线y=x的交点，根据三角形的面积公式求出所求即可．【解答】解：∵y=e﹣2x+1∴y'=（﹣2）e﹣2x∴y'|x=0=（﹣2）e﹣2x|x=0=﹣2∴曲线y=e﹣2x+1在点（0，2）处的切线方程为y﹣2=﹣2（x﹣0）即2x+y﹣2=0令y=0解得x=1，令y=x解得x=y=∴切线与直线y=0和y=x围成的三角形的面积为×1×=故选：A．【点评】本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及两直线垂直的应用等有关问题，属于基础题．9．（5分）设f（x）是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f（x）=2x（1﹣x），则=（）A．﹣B．﹣C．D．【考点】3I：奇函数、偶函数；3Q：函数的周期性．【专题】11：计算题．【分析】由题意得=f（﹣）=﹣f（），代入已知条件进行运算．【解答】解：∵f（x）是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f（x）=2x（1﹣x），∴=f（﹣）=﹣f（）=﹣2×（1﹣）=﹣，故选：A．【点评】本题考查函数的周期性和奇偶性的应用，以及求函数的值．10．（5分）已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，直线y=2x﹣4与C交于A，B两点，则cos∠AFB=（）A．B．C．D．【考点】KH：直线与圆锥曲线的综合．【专题】11：计算题．【分析】根据已知中抛物线C：y2=4x的焦点为F，直线y=2x﹣4与C交于A，B两点，我们可求出点A，B，F的坐标，进而求出向量，的坐标，进而利用求向量夹角余弦值的方法，即可得到答案．【解答】解：∵抛物线C：y2=4x的焦点为F，∴F点的坐标为（1，0）又∵直线y=2x﹣4与C交于A，B两点，则A，B两点坐标分别为（1，﹣2）（4，4），则=（0，﹣2），=（3，4），则cos∠AFB===﹣，故选：D．【点评】本题考查的知识点是直线与圆锥曲线的关系，其中构造向量然后利用向量法处理是解答本题的重要技巧．11．（5分）已知平面α截一球面得圆M，过圆心M且与α成60°二面角的平面β截该球面得圆N，若该球的半径为4，圆M的面积为4π，则圆N的面积为（）A．7πB．9πC．11πD．13π【考点】MJ：二面角的平面角及求法．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】先求出圆M的半径，然后根据勾股定理求出求出OM的长，找出二面角的平面角，从而求出ON的长，最后利用垂径定理即可求出圆N的半径，从而求出面积．【解答】解：∵圆M的面积为4π∴圆M的半径为2根据勾股定理可知OM=∵过圆心M且与α成60°二面角的平面β截该球面得圆N∴∠OMN=30°，在直角三角形OMN中，ON=∴圆N的半径为则圆的面积为13π故选：D．【点评】本题主要考查了二面角的平面角，以及解三角形知识，同时考查空间想象能力，分析问题解决问题的能力，属于基础题．12．（5分）设向量，，满足||=||=1，=﹣，＜﹣，﹣＞=60°，则||的最大值等于（）A．2B．C．D．1【考点】9P：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】利用向量的数量积求出的夹角；利用向量的运算法则作出图；结合图，判断出四点共圆；利用正弦定理求出外接圆的直径，求出最大值．【解答】解：∵，∴的夹角为120°，设，则；=如图所示则∠AOB=120°；∠ACB=60°∴∠AOB+∠ACB=180°∴A，O，B，C四点共圆∵∴∴由三角形的正弦定理得外接圆的直径2R=当OC为直径时，模最大，最大为2故选：A．【点评】本题考查向量的数量积公式、向量的运算法则、四点共圆的判断定理、三角形的正弦定理．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上.（注意：在试题卷上作答无效）13．（5分）的二项展开式中，x的系数与x9的系数之差为0．【考点】DA ：二项式定理．【专题】11：计算题．【分析】利用二项展开式的通项公式求出通项，令x 的指数分别取1，9求出x的系数与x9的系数；求出值．【解答】解：展开式的通项为令得r=2；令得r=18∴x的系数与x9的系数C202，C2018∴x的系数与x9的系数之差为C202﹣C2018=0故答案为：0【点评】本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题．14．（5分）已知α∈（，π），sinα=，则tan2α=﹣．【考点】GG：同角三角函数间的基本关系；GS：二倍角的三角函数．【专题】11：计算题．【分析】利用题目提供的α的范围和正弦值，可求得余弦值从而求得正切值，然后利用二倍角的正切求得tan2α．【解答】解：由α∈（，π），sinα=，得cosα=﹣，tanα==∴tan2α==﹣故答案为：﹣【点评】本题考查了二倍角的正切与同角三角函数间的基本关系，是个基础题．15．（5分）已知F1、F2分别为双曲线C：的左、右焦点，点A∈C，点M的坐标为（2，0），AM为∠F1AF2的平分线，则|AF2|=6．【考点】KC：双曲线的性质．【专题】16：压轴题．【分析】利用双曲线的方程求出双曲线的参数值；利用内角平分线定理得到两条焦半径的关系，再利用双曲线的定义得到两条焦半径的另一条关系，联立求出焦半径．【解答】解：不妨设A在双曲线的右支上∵AM为∠F1AF2的平分线∴=又∵|AF1|﹣|AF2|=2a=6解得|AF2|=6故答案为6【点评】本题考查内角平分线定理；考查双曲线的定义：解有关焦半径问题常用双曲线的定义．16．（5分）已知E、F分别在正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱BB1、CC1上，且B1E=2EB，CF=2FC1，则面AEF与面ABC所成的二面角的正切值等于．【考点】MJ：二面角的平面角及求法．【专题】11：计算题；16：压轴题；31：数形结合．【分析】由题意画出正方体的图形，延长CB、FE交点为S连接AS，过B作BP⊥AS连接PE，所以面AEF与面ABC所成的二面角就是：∠BPE，求出BP与正方体的棱长的关系，然后求出面AEF与面ABC所成的二面角的正切值．【解答】解：由题意画出图形如图：因为E、F分别在正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱BB1、CC1上，且B1E=2EB，CF=2FC1，延长CB、FE交点为S连接AS，过B作BP⊥AS连接PE，所以面AEF与面ABC所成的二面角就是∠BPE，因为B1E=2EB，CF=2FC1，所以BE：CF=1：2所以SB：SC=1：2，设正方体的棱长为：a，所以AS=a，BP=，BE=，在RT△PBE中，tan∠EPB===，故答案为：【点评】本题是基础题，考查二面角的平面角的正切值的求法，解题的关键是能够作出二面角的棱，作出二面角的平面角，考查计算能力，逻辑推理能力．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知A﹣C=，a+c=b，求C．【考点】HU：解三角形．【专题】11：计算题．【分析】由A﹣C等于得到A为钝角，根据诱导公式可知sinA与cosC相等，然后利用正弦定理把a+c=b化简后，把sinA换为cosC，利用特殊角的三角函数值和两角和的正弦函数公式把左边变为一个角的正弦函数，给方程的两边都除以后，根据C和B的范围，得到C+=B或C++B=π，根据A为钝角，所以C++B=π不成立舍去，然后根据三角形的内角和为π，列出关于C的方程，求出方程的解即可得到C的度数．【解答】解：由A﹣C=，得到A为钝角且sinA=cosC，利用正弦定理，a+c=b可变为：sinA+sinC=sinB，即有sinA+sinC=cosC+sinC=sin（C+）=sinB，又A，B，C是△ABC的内角，故C+=B或C++B=π（舍去），所以A+B+C=（C+）+（C+）+C=π，解得C=．【点评】此题考查学生灵活运用诱导公式、特殊角的三角函数值以及两角和的正弦函数公式化简求值，是一道中档题．学生做题时应注意三角形的内角和定理及角度范围的运用．18．（12分）根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3．设各车主购买保险相互独立．（Ⅰ）求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率；（Ⅱ）X表示该地的100位车主中，甲、乙两种保险都不购买的车主数．求X的期望．【考点】C8：相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式；CH：离散型随机变量的期望与方差．【专题】11：计算题．【分析】（Ⅰ）首先求出购买乙种保险的概率，再由独立事件和对立事件的概率求出该车主甲、乙两种保险都不购买的概率，然后求该车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率即可．（Ⅱ）每位车主甲、乙两种保险都不购买的概率均相等，故为独立重复试验，X服从二项分布，由二项分布的知识求概率即可．【解答】解：（Ⅰ）设该车主购买乙种保险的概率为P，则P（1﹣0.5）=0.3，故P=0.6，该车主甲、乙两种保险都不购买的概率为（1﹣0.5）（1﹣0.6）=0.2，由对立事件的概率该车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率1﹣0.2=0.8（Ⅱ）甲、乙两种保险都不购买的概率为0.2，X～B（100，0.2）所以EX=100×0.2=20【点评】本题考查对立事件独立事件的概率、独立重复试验即二项分布的期望等知识，考查利用所学知识分析问题、解决问题的能力．19．（12分）如图，四棱锥S﹣ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，侧面SAB为等边三角形，AB=BC=2，CD=SD=1．（Ⅰ）证明：SD⊥平面SAB；（Ⅱ）求AB与平面SBC所成的角的大小．【考点】LW：直线与平面垂直；MI：直线与平面所成的角．【专题】11：计算题；14：证明题．【分析】（1）利用线面垂直的判定定理，即证明SD垂直于面SAB中两条相交的直线SA，SB；在证明SD与SA，SB的过程中运用勾股定理即可（Ⅱ）求AB与平面SBC所成的角的大小即利用平面SBC的法向量，当为锐角时，所求的角即为它的余角；当为钝角时，所求的角为【解答】（Ⅰ）证明：在直角梯形ABCD中，∵AB∥CD，BC⊥CD，AB=BC=2，CD=1∴AD==∵侧面SAB为等边三角形，AB=2∴SA=2∵SD=1∴AD2=SA2+SD2∴SD⊥SA同理：SD⊥SB∵SA∩SB=S，SA，SB⊂面SAB∴SD⊥平面SAB（Ⅱ）建立如图所示的空间坐标系则A（2，﹣1，0），B（2，1，0），C（0，1，0），作出S在底面上的投影M，则由四棱锥S﹣ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，侧面SAB为等边三角形知，M点一定在x轴上，又AB=BC=2，CD=SD=1．可解得MD=，从而解得SM=，故可得S （，0，）则设平面SBC的一个法向量为则，即取x=0，y=，z=1即平面SBC的一个法向量为=（0，，1）又=（0，2，0）cos＜，＞===∴＜，＞=arccos即AB与平面SBC所成的角的大小为arcsin【点评】本题考查了直线与平面垂直的判定，直线与平面所成的角以及空间向量的基本知识，属于中档题．20．（12分）设数列{a n}满足a1=0且．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）设，记，证明：S n＜1．【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式；8K：数列与不等式的综合．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】（Ⅰ）由是公差为1的等差数列，知，由此能求出{a n}的通项公式．（Ⅱ）由==，能够证明S n＜1．【解答】解：（Ⅰ）是公差为1的等差数列，，∴（n∈N*）．（Ⅱ）==，∴=1﹣＜1．【点评】本题考查数列的性质和应用，解题时要注意裂项求和法的合理运用．21．（12分）已知O为坐标原点，F为椭圆C：在y轴正半轴上的焦点，过F且斜率为﹣的直线l与C交于A、B两点，点P满足．（Ⅰ）证明：点P在C上；（Ⅱ）设点P关于点O的对称点为Q，证明：A、P、B、Q四点在同一圆上．【考点】9S：数量积表示两个向量的夹角；KH：直线与圆锥曲线的综合．【专题】15：综合题；16：压轴题；35：转化思想．【分析】（1）要证明点P在C上，即证明P点的坐标满足椭圆C的方程，根据已知中过F且斜率为﹣的直线l与C交于A、B两点，点P满足，我们求出点P的坐标，代入验证即可．（2）若A、P、B、Q四点在同一圆上，则我们可以先求出任意三点确定的圆的方程，然后将第四点坐标代入验证即可．【解答】证明：（Ⅰ）设A（x1，y1），B（x2，y2）椭圆C：①，则直线AB的方程为：y=﹣x+1 ②联立方程可得4x2﹣2x﹣1=0，则x1+x2=，x1×x2=﹣则y1+y2=﹣（x1+x2）+2=1设P（p1，p2），则有：=（x1，y1），=（x2，y2），=（p1，p2）；∴+=（x1+x2，y1+y2）=（，1）；=（p1，p2）=﹣（+）=（﹣，﹣1）∴p的坐标为（﹣，﹣1）代入①方程成立，所以点P在C上．（Ⅱ）设点P关于点O的对称点为Q，证明：A、P、B、Q四点在同一圆上．设线段AB的中点坐标为（，），即（，），则过线段AB的中点且垂直于AB的直线方程为：y﹣=（x﹣），即y=x+；③∵P关于点O的对称点为Q，故0（0.0）为线段PQ的中点，则过线段PQ的中点且垂直于PQ的直线方程为：y=﹣x④；③④联立方程组，解之得：x=﹣，y=③④的交点就是圆心O1（﹣，），r2=|O1P|2=（﹣﹣（﹣））2+（﹣1﹣）2=故过P Q两点圆的方程为：（x+）2+（y﹣）2=…⑤，把y=﹣x+1 …②代入⑤，有x1+x2=，y1+y2=1∴A，B也是在圆⑤上的．∴A、P、B、Q四点在同一圆上．【点评】本题考查的知识点是直线与圆锥曲线的关系，向量在几何中的应用，其中判断点与曲线关系时，所使用的坐标代入验证法是解答本题的关键．22．（12分）（Ⅰ）设函数，证明：当x＞0时，f（x）＞0．（Ⅱ）从编号1到100的100张卡片中每次随机抽取一张，然后放回，用这种方式连续抽取20次，设抽到的20个号码互不相同的概率为p，证明：．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【专题】14：证明题；16：压轴题．【分析】（Ⅰ）欲证明当x＞0时，f（x）＞0，由于f（0）=0利用函数的单调性，只须证明f（x）在[0，+∞）上是单调增函数即可．先对函数进行求导，根据导函数大于0时原函数单调递减即可得到答案．（Ⅱ）先计算概率P=，再证明＜＜，即证明99×98× (81)（90）19，最后证明＜e﹣2，即证＞e2，即证19ln＞2，即证ln，而这个结论由（1）所得结论可得【解答】（Ⅰ）证明：∵f′（x）=，∴当x＞﹣1，时f′（x）≥0，∴f（x）在（﹣1，+∞）上是单调增函数，∴当x＞0时，f（x）＞f（0）=0．即当x＞0时，f（x）＞0．（Ⅱ）从编号1到100的100张卡片中每次随机抽取一张，然后放回，连续抽取20次，则抽得的20个号码互不相同的概率为P=，要证P＜＜．先证：P=＜，即证＜即证99×98×…×81＜（90）19而99×81=（90+9）×（90﹣9）=902﹣92＜90298×82=（90+8）×（90﹣8）=902﹣82＜902…91×89=（90+1）×（90﹣1）=902﹣12＜902∴99×98×…×81＜（90）19即P＜再证：＜e﹣2，即证＞e2，即证19ln＞2，即证ln＞由（Ⅰ）f（x）=ln（1+x）﹣，当x＞0时，f（x）＞0．令x=，则ln（1+）﹣=ln（1+）﹣＞0，即ln＞综上有：P＜＜【点评】本题主要考查函数单调性的应用、函数的单调性与导数的关系等，考查运算求解能力，函数、导数、不等式证明及等可能事件的概率等知识．通过运用导数知识解决函数、不等式问题，考查了考生综合运用数学知识解决问题的能力．祝福语祝你考试成功!。
2011年高考数学理科试卷(全国1卷)(含答案)(新课标卷卷)
2011年普通高等学校招生全国统一考试理科数学第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
(1)复数212ii +-的共轭复数是（A ）35i - （B ）35i （C ）i - （D ）i（2）下列函数中，既是偶函数哦、又在（0，）单调递增的函数是 （A ）2y x = (B) 1y x =+ （C ）21y x =-+ (D) 2x y -=（3）执行右面的程序框图，如果输入的N 是6，那么输出的p 是 （A ）120 （B ）720 （C ）1440 （D ）5040（4）有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为（A ）13 （B ）12 C ）23 （D ）34（5）已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线2y x =上，则cos2θ=（A ）45- （B ）35- （C ）35 （D ）45（6）在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如右图所示， 则相应的俯视图可以为（7）设直线l 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直，l 与C 交于 A,B 两点，AB 为C 的实轴长的2倍，则C 的离心率为（A ）2 （B ）3 （C ）2 （D ）3（8）512a x x x x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为（A ）-40 （B ）-20 （C ）20 （D ）40 （9）由曲线y x =，直线2y x =-及y 轴所围成的图形的面积为（A ）103 （B ）4 （C ）163（D ）6 （10）已知a 与b 均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题12:10,3P a b πθ⎡⎫+>⇔∈⎪⎢⎣⎭ 22:1,3P a b πθπ⎛⎤+>⇔∈ ⎥⎝⎦3:10,3P a b πθ⎡⎫->⇔∈⎪⎢⎣⎭ 4:1,3P a b πθπ⎛⎤->⇔∈ ⎥⎝⎦其中的真命题是 （A ）14,P P （B ）13,P P （C ）23,P P （D ）24,P P（11）设函数()sin()cos()(0,)2f x x x πωϕωϕωϕ=+++><的最小正周期为π，且()()f x f x -=，则（A ）()f x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减 （B ）()f x 在3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减（C ）()f x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增 （D ）()f x 在3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递增(12)函数11y x =-的图像与函数2sin (24)y x x π=-≤≤的图像所有焦点的横坐标之和等于（A ）2 (B) 4 (C) 6 (D)8第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
2011年普通高等学校招生全国统一考试(全国大纲卷)数学试题 (理科)(解析版)
2011年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(必修+选修II)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
第Ⅰ卷1至2页。
第Ⅱ卷3至4页。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷注意事项：1．答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码。
请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。
2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效。
．．．．．．．．．． 3．第Ⅰ卷共l2小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
一、选择题(1)复数1z i =+，z 为z 的共轭复数，则1zz z --=( ) （A ）2i - （B ）i - （C ）i （D ）2i 【答案】B【命题意图】本题主要考查复数的运算. 【解析】1zz z --=|z|21z --=2-(1+i)-1=i -.(2)函数0)y x =≥的反函数为( )（A ）2()4x y x R =∈ （B ）2(0)4x y x =≥ （C ）24y x =()x R ∈ （D ）24(0)y x x =≥【答案】B【命题意图】本题主要考查反函数的求法.【解析】由原函数反解得24y x =,又原函数的值域为0y ≥,所以函数0)y x =≥的反函数为2(0)4x y x =≥.(3)下面四个条件中，使a b >成立的充分而不必要的条件是( )（A ）1a b +＞ （B ）1a b -＞ （C ）22a b ＞ （D ）33a b ＞ 【答案】A【命题意图】本题主要考查充要条件及不等式的性质.【解析】即寻找命题P ,使P a b ⇒>,且a b >推不出P ,逐项验证知可选A.(4)设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若11a =，公差2d =，224k k S S +-=，则k =( ) （A ）8 （B ）7 （C ）6 （D ）5 【答案】D【命题意图】本题主要考查等差数列的基本公式的应用. 【解析】解法一2(2)(1)(1)[(2)12][12]442422k k k k k k S S k k k +++--=+⨯+⨯-⨯+⨯=+=，解得5k =.解法二:221[1(1)2](12)4424k k k k S S a a k k k +++-=+=++⨯++⨯=+=，解得5k =.(5)设函数()cos (0)f x x ωω=>，将()y f x =的图像向右平移3π个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω的最小值等于 （A ）13（B ）3 （C ）6 （D ）9 【答案】C【命题意图】本题主要考查三角函数的周期性及三角函数图像的平移变换. 【解析】由题意得2()3k k Z ππω⨯=∈,解得6k ω=,又0ω>,令1k =,得min 6ω=.(6)已知直二面角l αβ--,点A α∈，AC l ⊥,C 为垂足,B β∈，BD l ⊥,D 为垂 足．若2,1ABAC BD ===，则D 到平面ABC 的距离等于(A)3(B)3 (C)3【答案】C【命题意图】本题主要考查空间点到平面距离的求法. 【解析】如图,过D 作DE BC ⊥,垂足为E ,因为l αβ--是直二面角AC l ⊥,∴AC ⊥平面β,∴AC DE ⊥,BC DE ⊥,AC BC C =I ,∴DE ⊥平面ABC ,故DE 的长为点D到平面ABC 的距离.在Rt BCD∆中,由等面积法得3BD CD DE BC ⨯===.(7)某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友每位朋友1本，则不同的赠送方法共有(A)4种 (B)10种 (C)18种 (D)20种 【答案】B【命题意图】本题主要考查两个原理与排列组合知识，考察考生分析问题的能力.【解析】分两类:一是取出1本画册,3本集邮册,此时赠送方法有144C =种；二是取出2本画册,2本集邮册，此时赠送方法有246C =种.故赠送方法共有10种.(8)曲线21xy e -=+在点(0,2)处的切线与直线0y =和y x =围成的三角形的面积为(A)13 (B)12 (C)23(D)1 【答案】A【命题意图】本题主要考查利用导数求切线方程和三角形面积公式. 【解析】'22,xy e-=-∴曲线21x y e -=+在点(0,2)处的切线的斜率2,k =-故切线方程是22y x =-+,在直角坐标系中作出示意图得围成的三角形的三个顶点分别为(0,0)、(1,0)、(23,23)，∴三角形的面积是1211233S =⨯⨯=.(9)设()f x 是周期为2的奇函数，当01x ≤≤时，()f x =2(1)x x -,则5(2f -=(A) -12 (B)1 4- (C)14 (D)12【答案】A【命题意图】本题主要考查利用函数的周期性和奇偶性求函数值的方法. 【解析】由()f x 是周期为2的奇函数,利用周期性和奇偶性得:5511111()(2)()(2(1)2222222f f f f -=-+=-=-=-⨯⨯-=-.(10)已知抛物线C ：24y x =的焦点为F ，直线24y x =-与C 交于A ，B 两点．则cos AFB ∠=(A)45(B)35 (C)35- (D)45-【答案】D【命题意图】本题主要考查直线与抛物线的位置关系,余弦定理的应用.【解析】联立2424y x y x ⎧=⎨=-⎩消去y 得2540x x -+=,解得1,4x x ==,不妨设A 点在x 轴的上方,于是A ，B 两点的坐标分别为(4,4),(1,2-),又(1,0)F ,可求得5,2AB AF BF ===.在ABF V 中,由余弦定理2224cos 25AF BF AB AFB AF BF +-∠==-⨯⨯.(11)已知平面α截一球面得圆M ，过圆心M 且与α成060二面角的平面β截该球面得圆N .若该球面的半径为4，圆M 的面积为4π，则圆N 的面积为(A)7π (B)9π (C)11π (D)13π 【答案】D【命题意图】本题主要考查二面角的概念与球的性质.【解析】如图所示,由圆M 的面积为4π知球心O 到圆M的距离OM =在Rt OMN ∆中,30OMN ︒∠=,∴12ON OM ==故圆N的半径r =∴圆N 的面积为213S r ππ==.(12)设向量a r ，b r ，c r 满足||||1a b ==r r ，12a b =-r r g，,60a c b c ︒<-->=r r r r ，则||c r 的最大值等于(A)21 【答案】A圆的条件及数形结合的思想.【解析】如图，设,,AB a AD b AC c ===u u u r r u u u r r u u u r r，则120,60BAD BCD ︒︒∠=∠=，180BAD BCD ︒∠+∠=，∴,,,A B C D 四点共圆，当AC 为圆的直径时，||c r最大，最大值为2.绝密★启用前2011年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(必修+选修II)第Ⅱ卷注意事项：1答题前，考生先在答题卡上用直径0．5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，然后贴好条形码。
2011年高考数学理科试卷(全国1卷)(含答案)(新课标卷卷)
2011年普通高等学校招生全国统一考试理科数学第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
(1)复数212ii+-的共轭复数是（A ）35i - （B ）35i （C ）i - （D ）i （2）下列函数中，既是偶函数哦、又在（0，）单调递增的函数是 （A ）2y x = (B) 1y x =+ （C ）21y x =-+ (D) 2xy -=（3）执行右面的程序框图，如果输入的N 是6，那么输出的p 是 （A ）120 （B ）720 （C ）1440 （D ）5040（4）有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为 （A ）13 （B ）12 （C ）23 （D ）34（5）已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线2y x =上，则cos 2θ= （A ）45-（B ）35- （C ）35 （D ）45（6）在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如右图所示，则相应的俯视图可以为（7）设直线l 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直，l 与C 交于 A,B 两点，AB 为C 的实轴长的2倍，则C 的离心率为（A （B （C ）2 （D ）3（8）512a x x x x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为（A ）-40 （B ）-20 （C ）20 （D ）40（9）由曲线y 2y x =-及y 轴所围成的图形的面积为 （A ）103 （B ）4 （C ）163（D ）6 （10）已知a 与b 均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题12:10,3P a b πθ⎡⎫+>⇔∈⎪⎢⎣⎭ 22:1,3P a b πθπ⎛⎤+>⇔∈ ⎥⎝⎦3:10,3P a b πθ⎡⎫->⇔∈⎪⎢⎣⎭4:1,3P a b πθπ⎛⎤->⇔∈ ⎥⎝⎦ 其中的真命题是（A ）14,P P （B ）13,P P （C ）23,P P （D ）24,P P （11）设函数()sin()cos()(0,)2f x x x πωϕωϕωϕ=+++><的最小正周期为π，且()()f x f x -=，则（A ）()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递减 （B ）()f x 在3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减 （C ）()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增 （D ）()f x 在3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递增 (12)函数11y x =-的图像与函数2sin (24)y x x π=-≤≤的图像所有焦点的横坐标之和等于 （A ）2 (B) 4 (C) 6 (D)8第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。
2011年全国统一高考数学试卷详细解析(新课标卷)(理科)
2011年全国统一高考数学试卷（新课标卷）（理科）答案与评分标准一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1、复数的共轭复数是（）A、B、C、﹣iD、i考点：复数代数形式的混合运算。
专题：计算题。
分析：复数的分子、分母同乘分母的共轭复数，复数化简为a+bi（a，b∈R）的形式，然后求出共轭复数，即可．解答：解：复数===i，它的共轭复数为：﹣i．故选C点评：本题是基础题，考查复数代数形式的混合运算，共轭复数的概念，常考题型．2、下列函数中，既是偶函数又在（0，+∞）单调递增的函数是（）A、y=x3B、y=|x|+1C、y=﹣x2+1D、y=2﹣|x|考点：函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断。
专题：常规题型。
分析：首先由函数的奇偶性排除选项A，然后根据区间（0，+∞）上y=|x|+1=x+1、y=﹣x2+1、y=2﹣|x|=的单调性易于选出正确答案．解答：解：因为y=x3是奇函数，y=|x|+1、y=﹣x2+1、y=2﹣|x|均为偶函数，所以选项A错误；又因为y=﹣x2+1、y=2﹣|x|=在（0，+∞）上均为减函数，只有y=|x|+1在（0，+∞）上为增函数，所以选项C、D错误，只有选项B正确．故选B．点评：本题考查基本函数的奇偶性及单调性．3、执行右面的程序框图，如果输入的N是6，那么输出的p是（）A、120B、720C、1440D、5040考点：程序框图。
专题：图表型。
分析：通过程序框图，按照框图中的要求将几次的循环结果写出，得到输出的结果．解答：解：经过第一次循环得到经过第二次循环得到经过第三次循环得到；经过第四次循环得经过第五次循环得；经过第六次循环得此时执行输出720，故选B点评：本题考查解决程序框图中的循环结构的输出结果问题时，常采用写出几次的结果找规律．4、有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为（）A、B、C、D、考点：古典概型及其概率计算公式。
2011年高考数学真题(全国Ⅱ.理)含详解
绝密★启用前2011年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（必修+选修II ）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。
第I 卷1至2页，第II 卷3至4页。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第I 卷注意事项：1.答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码。
请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。
2.每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
在试题上作答无效．．．．．．．．。
3.第I 卷共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）复数z ＝1+，z 为z 的共轭复数，则z z -z -1＝（A ）-2 （B ）- （C ） （D ）2（2）函数y ＝x ≥0）的反函数为（A ）y ＝24x （x ∈R ） （B ）y ＝24x （x ≥0） （C ）y ＝24x （x ∈R ） （D ）y ＝24x （x ≥0）（3）下面四个条件中，使a >b 成立的充分而不必要的条件是（A ）a >b +1 （B ）a >b -1 （C ）2a >2b （D ）3a >3b（4）设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若11a =，公差d = 2, 224k k S S +-=,则k =(A ) 8 (B) 7 (C) 6 (D) 5(5) 设函数()()cos 0f x x ωω=>，将()y f x =的图像向右平移3π个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω的最小值等于（A ）13 （B ）3 （C ）6 （D ）9 （6）已知直二面角α –ι- β, 点A ∈α ，AC ⊥ ι ,C 为垂足，B ∈β，BD ⊥ ι，D 为垂足，若AB=2，AC=BD=1，则D 到平面ABC 的距离等于（ ）（A ）3（B (C) (D) 1 (7) 某中学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有（ ）（A ）4种 (B) 10种 (C) 18种 (D)20种（8）曲线21x y e -=+在点（0,2）处的切线与直线0y =和y x =围成的三角形的面积为（A ）13 （B ）12 （C ）23 （D ）1（9）设()f x 是周期为2的奇函数，当01x ≤≤时，()f x 2(1)x x =-，则5()2f -= （A ）12- （B ）14- （C ）14 （D ）12（10）已知抛物线C:2y =4x 的焦点为F ，直线y=2x-4与C 交于A,B 两点，则cos(A) 54 (B)53 (C).—53 (D) —54（11）已知平面α截一球面得圆M,过圆心M 且与 成60 二面角的平面β截该球面得N 。