高中数学人教B版(2019)选择性必修第一册第一章 1.2.5空间中的距离(1)教学设计
教学设计
11111111,-4,3,5,
9060,.
ABCD A B C D AB AD AA BAD BAA DAA AC ===∠=∠=∠=例1：已知平行六面体中，求的长
11AC AB AD AA =++解：
()
2
2
112
2
2
1
11
12
2
2
=+2+2285
435243cos90245cos60235cos6085
=++++⋅⋅+⋅==+++⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=AC AB AD AA AB AD AA AB AD AB AA AD AA AC
4,3,,,.
ABCD AB AD AC ABC ADC B D ==例2.已知在矩形中,沿对角线折叠使平面与平面垂直,求点之间的距离
()
22
2
222
,,,3412
5,55
997,525552D B DE AC E BF AC F ADC ABC DE BF AC DE BF AD AE CF EF AC DB DE EF FB DB DE EF FB DE EF FB DE EF ⊥⊥⊥⊥⨯========-⨯=
=++=++=+++⋅解法一
过点和点分别作于点于点因为平面平面所以则由已知条件可知+22337337
,.255
DE FB EF FB
B D ⋅+⋅=
故间距离2
2
,,,,,,,,127
,,55
121270,0,,,,055512712,,55512712555D DE AC E B BF AC F E FB EP E EP EC ED x y z DE BF EF D B DB DB ⊥⊥==
=⎛
⎫⎛⎫ ⎪ ⎪
⎝
⎭⎝⎭⎛⎫=- ⎪
⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭解法二:如图，过点作于点过点作于点过点作的平行线以为坐标原点所在直线为轴轴轴建立空间直角坐标系.由解法一，所以2
3375337
,.5
B D =
故间距离
11111112-2,1,3,ABCD A B C D AB AD AA A BC ===例：在长方体中，求点到直线的距离.
()()
2
1,2,339=
A H λλλ=--⋅-()
()2
21=+2+33=10A B BC H λλλλ+--H -=
11
1
2
2
11=
=
13BH BA BC BH BC H A B BH ⋅=-=上的射影向量为
(
)11111111111111111111,..=13=5101,507
0,sin 5077710sin 5105010710.10
A B A C A BC A H BC H A B A C BC cosC C C A H A C C A BC π∆⊥==∈=
=⋅=⋅
==
解法四：连结在中作于由已知得，，由余弦定理所以即点到直线的距离为
2m
总结
一.空间中两个图形之间的距离
二.空间中两点之间的距离;点到直线的距离
三.用向量方法解决空间中两点之间和点到直线的距离问题
5s
作业
课本58页练习B 1, 2。
人教B版高中数学选择性必修第一册精品课件 第一章 空间向量与立体几何 本章总结提升
又 =
.
0,2, 2
, =( 3,3,-z),AF⊥PB,所以 ·=0,即
z=2 3(舍去 z=-2 3),
则=(0,0,2 3),所以||=2 3.
2
6- 2 =0,解得
(2)由(1)知=(- 3,3,0),=( 3,3,0), =(0,2, 3).设平面 FAD 的法向量为
学运算和直观想象素养.
【例 1】如图所示,在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中,设1 =a, =b, =c,
M,N,P 分别是 AA1,BC,C1D1 的中点,试用 a,b,c 分别表示以下各向量:
(1);(2)1 ;(3) + 1 .
解 (1) =
1
1 + 1 1 + 1 =a+c+2b.
π
,F为PC的中点,AF⊥PB.
3
(1)求PA的长;
(2)求二面角B-AF-D的正弦值.
解 (1)如图,连接BD交AC于O.因为BC=CD,所以△BCD为等腰三角形.
又 AC 平分∠BCD,所以 AC⊥BD.以 O 为坐标原点,, , 的方向分别为
x 轴、y 轴、z 轴的正方向,建立空间直角坐标系 Oxyz,则
量运算就可以较容易地解决问题.
这三种空间角的求解方法很多,学习中应以向量法为主,侧重渗透向量坐标
法这一特色.
变式训练3如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,B1C和C1D与底面所成的角分
别为60°和45°,则异面直线B1C和C1D所成角的余弦值为
6
4
.
解析 利用空间直角坐标系转化为求向量1 与1 的夹角,建立如图所示的
得
令 y1=1,得 n1=(0,1,-2).
高中数学人教A版(2019)选择性必修第一册第一章——1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系B
答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。
２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读题，结合平时课堂上所学的知识，解答难题；一定要镇定，不能因此慌了手脚，影响下面的答题；６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。
亲爱的小朋友，你们好!经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。
相信你是最棒的！高中数学人教A 版（2019）选择性必修第一册第一章——1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系B未命名一、单选题1．若平面α，β的法向量分别为1,1,32a æö=-ç÷èør ，()1,2,6b =--r，则下列结论中正确的是（ ）A ．//a b B ．α，β相交但不垂直C ．a b^D ．//a b 或α，β重合2．在三棱柱111ABC A B C -中，()0,2,3AB =-uuu r，()3AC =--uuu r ，132AA æö=ç÷èøuuur ，则该三棱柱的高为（ ）A ．94B ．32C ．2D ．43．已知()2,2,1AB =uuu r，()4,5,3AC =uuu r ，则平面ABC 的一个单位法向量为（ ）A ．122(,,)333---B ．122(,,333--C ．122(,,)333-D ．122(,,)3334．已知点P 是平行四边形ABCD 所在的平面外一点，如果()2,1,4AB =--uuu r，(4,2,0)AD =uuu r ，(1,2,1)AP =--uuu r .对于结论：①||6AD =uuu r ；②AP AD ^；③AP uuu r是平面ABCD 的法向量；④AP//BD uuu r uuu r.其中正确的是（ ）A ．②④B ．②③C ．①③D ．①②5．如图，在长方体11112222A B C D A B C D -中，12111122A A A B B C ==，A ，B ，C 分别是12A A ，12B B ，12C C 的中点，记直线2D C 与1AD 所成的角为a ，平面22A BCD 与平面11ABC D 所成二面角为b ，则（ ）A ．cos cos a b =B ．sin sin a b =C ．cos cos t a b>D ．sin sin a b<6．如图一副直角三角板，现将两三角板拼成直二面角，得到四面体ABCD ，则下列叙述正确的是（ ）①平面BCD 的法向量与平面ACD 的法向量垂直；②异面直线BC 与AD 所成的角为60°；③四面体ABCD 有外接球；④直线DC 与平面ABC 所成的角为30°.A ．②④B ．③C ．③④D ．①②③④二、多选题7．已知ν为直线l 的方向向量，1n ,2n 分别为平面α，β的法向量（α，β不重合），那么下列选项中，正确的是（ ）A ．12////n n a b ÛB ．12n n a b ^Û^C ．1////n l n aÛD ．1//n l n a^Û8．如图，已知在长方体1111ABCD A B C D -中，3AB =，4=AD ，15AA =，点E 为1CC 上的一个动点，平面1BED 与棱1AA 交于点F ，则下列说法正确的是（ ）A ．四棱锥11B BED F -的体积为20B ．存在唯一的点E ，使截面四边形1BED F的周长取得最小值C ．当点E 为1CC 的中点时，在直线AD 上存在点G，使得CG D ．存在唯一一点E ，使得1B D ^平面1BED ，且3CE =三、填空题9．已知平面,ABC (1,2,3),(4,5,6)AB AC ==uuu r uuu r ，写出平面ABC 的一个法向量n =r ______．10．若直线l 的方向向量为()1,0,3e =r ，平面a 的法向量22,0,3n æö=-ç÷èør，则直线l 与平面a的位置关系是___________________．11．在正方体1111ABCD A B C D -中，点M 、N 分别在1AB 、1BC 上，且113AM AB =，113BN BC =，则下列结论：①1AA MN ^；②11//A C MN ；③//MN 平面1111D C B A ；④11B D MN ^，其中，正确命题是________.12．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 为线段1D B 上的动点，,M N 分别为棱,BC AB 的中点，若//DP 平面1B MN ，则11D PD B=_______．四、解答题13．如图，已知在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N，P分别是AD1，BD，B1C的中点，利用向量法证明：（1）MN∥平面CC1D1D；（2）平面MNP∥平面CC1D1D．14．如图，已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，用向量方法证明：（1）E，F，G，H四点共面;（2）BD//平面EFGH．-中，底面ABCD是正方形，侧面PAD^底面ABCD，15P ABCD且PA PD AD==，若E、F分别为PC、BD的中点.求证：EF平面PAD；（1）//（2）EF^平面PDC.（用向量方法证明）16．已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱CC1上的动点．（1）求证：A1E⊥BD；（2）若平面A1BD⊥平面EBD，试确定E点的位置．参考答案：1．D【分析】根据题意，结合面面位置关系的向量证明，即可求解.【详解】根据题意，易知12a b =-rr ，故平面α，β的法向量共线，因此//a b 或α，β重合．故选：D.2．B【分析】设平面ABC 的法向量为()n x y z =r ，，，根据向量的坐标运算求出n r，利用空间向量法求出点1A 到平面ABC 的距离.【详解】设平面ABC 的法向量为()n x y z =r ，，，则00n AB n AC ì×=í×=îuuu v v uuu v v所以2030z z =ìïí--=ïî，令2z =，则x =3y =，所以以(2)n =r，是平面ABC 的一个法向量．点1A 到平面ABC 的距离132||AA n d n ×==uuur rr ，故该三棱柱的高为32．故选：B 3．B【分析】设平面ABC 的法向量为()n x y z =r ，，，进而得()1,2,2n =-r，再根据n n±rr 为单位向量即可得答案.【详解】设平面ABC 的法向量为()n x y z =r，，，则有220,4530,x y z x y z ++=ìí++=î取1x =，则2,2y z =-=.所以()1,2,2n =-r．因为3n =r ，所以平面ABC 的一个单位法向量可以是122(,,)333--.故选：B【点睛】本题考查平面的法向量的求法，考查运算求解能力，解题得关键在于掌握单位向量nn±r r 的表示形式,是中档题.4．B【分析】求出||AD =uuu r 判断①不正确；根据 0AP AD ×=uuu r uuu r判断②正确；由AP AB ^，AP AD ^判断③正确；假设存在l 使得l =uuu r uuu r AP BD ，由122314ll l -=ìï=íï-=î无解，判断④不正确.【详解】由(2AB =uuu r，1-，4)-，(4AD =uuu r，2，0)，(1AP =-uuu r，2，1)-，知：在①中，||6AD ==¹uuu r，故①不正确；在②中，4400AP AD ×=-++=uuu r uuu r ，\^uuu r uuu rAP AD ，AP AD \^，故②正确；在③中，2240AP AB ×=--+=uuu r uuu r ， AP AB \^，又因为AP AD ^，AB AD A Ç=，知APuuu r是平面ABCD 的法向量，故③正确；在④中，(2BD AD AB =-=uuu r uuu r uuu r ，3，4)，假设存在l 使得l =uuu r uuu r AP BD ，则122314l l l -=ìï=íï-=î，无解，故④不正确；综上可得：②③正确．故选：B ．【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间向量垂直、向量平行等基础知识，考查了平面的法向量以及空间向量的模，考查推理能力与计算能力，属于基础题．5．B【分析】根据异面直线所成角定义可知11B AD Ð即为a ，由正三角形知60a =°，可证2AB ，1B C 分别为平面22A BCD 和平面11ABC D 的垂线，视作平面法向量，利用其夹角可得二面角b ，即可求解.【详解】连接111,AB B D ,如图，在长方体内知12//AB D C ,所以11B AD Ð为异面直线2D C 与1AD 所成的角为a ，易知11AB D V 为等边三角形，所以60a °=，因为22A D ^平面22ABB A ,2AB Ì平面22ABB A ，所以22A D ^2AB 又22AB A B ^，2222A D A B A =I 所以2AB ^平面22A BCD ，同理可得1B C ^平面11ABC D ，则2AB ®，1B C ®可分别视为平面22A BCD ，平面11ABC D 的一个法向量，又因为在长方体内易知21//AD B C ，而2260D AB Ð=°故2AB ®与1B C ®的夹角为60°，所以60b °=或120b °=，即sin sin a b =，故选：B【点睛】求解二面角的常见方法有定义法、垂面法、投影面积法、空间向量法等，其中空间向量法是利用二面角与两平面法向量夹角的关系，通过求向量夹角来达到求二面角的目的．6．C【分析】①由题设四面体相关侧面的关系即可判断正误；②过D 、C 作BC 、BD 的平行线且交于F ，连接AF ，则ADF Ð就是异面直线BC 与AD 的夹角，设1BD =求相关边的长度，再应用余弦定理求cos ADF Ð；③由四面体的性质即可知正误；④由面面垂直确定DC 与平面ABC 所成的角是DCB Ð，即知线面角的大小.【详解】①平面BCD 的法向量与平面ABC 的法向量垂直，而与平面ACD 的法向量不垂直，故错误；②过D 作BC 的平行线，过C 作BD 的平行线，两平行线交于点F ，联结AF ，则ADF Ð就是异面直线BC 与AD 的夹角，过A 作AE BC ^，联结ED 、EF ，若1BD =，则2,BD BC AB AC ====，由BD BC ^，面BDC Ç面ABC BC =，面BDC ^面ABC ，BD Ì面BDC ，∴BD ^面ABC ，AB Ì面ABC ，则BD ^AB FC ^AC ，∴AD AF ==DF =cos ADF Ð③由于所有的四面体都有外接球，故正确；④因为BD ^平面ABC ，所以DC 与平面ABC 所成的角是30DCB Ð=°，正确.故选：C 7．AB【解析】法向量垂直于平面，根据两法向量的位置关系分别进行判断即可.【详解】A 选项，平面α，β不重合，所以平面α，β的法向量平行等价于平面α，β平行，正确；B 选项，平面α，β不重合，所以平面α，β的法向量垂直等价于平面α，β垂直，正确；C 选项，直线的方向向量平行于平面的法向量等价于直线垂直于平面，错误；D 选项，直线的方向向量垂直于平面的法向量等价于直线平行于平面或直线在平面内，错误.故选：AB【点睛】此题考查空间向量在立体几何中的应用，注意线属于面的特殊情况，属于较易题目.8．ABC【分析】利用锥体的体积公式可判断A 选项的正误；将长方体的侧面11D DCC 和11B BCC 沿棱1CC 展开到同一平面，可判断B 选项的正误；利用勾股定理求出DG 的长，可判断C 选项的正误；利用空间向量法可判断D 选项的正误.【详解】长方体1111ABCD A B C D -中，3AB =，4=AD ，15AA =，对于A ，111111B BED F E BB D F BB D V V V ---=+，11//CC BB Q ，1CC Ë平面11BB D ，1BB Ì平面11BB D ，故1//CC 平面11BB D ，所以E 到平面11BB D 的距离等于1C 到平面1BB 的距离，设点1C 到平面1BB 的距离为d ，过点1C 在平面1111D C B A 内作111C P B D ^，如图1所示，1BB ^Q 平面1111D C B A ，1C P Ì平面1111D C B A ，则11C P BB ^，1111BB B D B =Q I ，1C P \^平面11BB D ，且1111111431255B C C D C P B D ×´===，故111111111255103325E BB D BB D V S C P -=×=´´´´=△，同理可得1110F BB D V -=，所以11111120B BED F E BB D F BB D V V V ---=+=，A 对；对于B 选项，因为平面11//AA D D 平面11BB C C ，平面1BED I 平面111AA D D D F =，平面1BED I 平面11BB C C BE =，所以，1//BE D F ，同理可得1//BF D E ，故四边形1BED F 为平行四边形，则四边形1BED F 的周长为()12BE D E +，将长方体的侧面11D DCC 和11B BCC 沿棱1CC 展开到同一平面内，如图2所示，则1D E EB +的最小值为展开面中1D B 的长度，此时E 点为1D B 与1CC 的交点，1BD =所以四边形1BED F 的周长的最小值为B 对；对于C ，AD CD ^Q ，即CD DG ^，所以，CG ===解得8DG =，C 对；对于D 选项，以点D 为坐标原点，DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如图1所示的空间直角坐标系D xyz -，则()0,0,0D 、()14,3,5B 、()4,3,0B 、()10,0,5D ，设()0,3,E z ，则()14,3,5DB =uuuu r ，()14,3,5BD =--uuuu r ，()4,0,BE z =-uuu r ，因为1BD ^平面1BED ，则1111692501650B D BD B D BE z ì×=--+=ïí×=-+=ïîuuuu v uuuu v uuuu v uuu v ，解得165z =，即165CE =，D 错.故选：ABC.9．(1,-2,1)（答案不唯一）【分析】设出法向量，利用数量积为0列出方程组，求出一个法向量即可.【详解】设法向量为(),,n x y z =r ，则有2304560n AB x y z n AC x y z ì×=++=í×=++=îuuu v v uuu v v ，令1x =得：2,1y z =-=，所以()1,2,1n =-r 故答案为：(1,-2,1)10．l a Ì或//l a【分析】由空间向量数量积的坐标表示可得0e n ×=r r ，再由线面位置关系即可求解.【详解】因为直线l 的方向向量为()1,0,3e =r ，平面a 的法向量22,0,3n æö=-ç÷èør ，所以22100303e n ×=-´+´+´=r r ，所以e n ^r r ，所以l a Ì或//l a ，故答案为：l a Ì或//l a .11．①③【分析】以点A 为坐标原点，AB 、AD 、1AA 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可判断各选项的正误.【详解】以点A 为坐标原点，AB 、AD 、1AA 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为3，则()0,0,0A 、()10,0,3A 、()13,0,3B 、()13,3,3C 、()10,3,3D 、()1,0,1M 、()3,1,1N .对于①，()10,0,3AA =uuur ，()2,1,0MN =uuuu r ，所以，10201300AA MN ×=´+´+´=uuur uuuu r ，1AA MN \^，①正确；对于②，()113,3,0A C =uuuu r ，所以，11AC uuuu r 与MN uuuu r 不共线，②错误；对于③，平面1111D C B A 的一个法向量为()10,0,3AA =uuur ，且1AA MN ^uuur uuuu r ，MN ËQ 平面1111D C B A ，所以，//MN 平面1111D C B A ，③正确；对于④，()113,3,0B D =-uuuur ，211323200B D MN ×=-´+´+¹uuuur uuuu r ，所以，11B D 与MN 不垂直，④错误.故答案为：①③.【点睛】方法点睛：常见的线面平行的证明方法有：（1）通过面面平行得到线面平行；（2）通过线线平行得到线面平行，在证明线线平行中，经常用到中位线定理或平行四边形的性质；（3）空间向量法：证明直线的方向向量与平面的法向量垂直，然后说明直线不在平面内.12．15【分析】以D 为原点，1DA DC DD uuu r uuu r uuuu r 、、分别为x 、y 、z 轴正方向建立空间直角坐标系，设正方体1111ABCD A B C D -边长为2,用向量法求解.【详解】如图所示,以D 为原点，1DA DC DD uuu r uuu r uuuu r 、、分别为x 、y 、z 轴正方向建立空间直角坐标系.设正方体1111ABCD A B C D -边长为2,可得()()()()110,0,0,0,0,2,2,2,02,2,2D D B B ()()1,2,0,2,1,0,M N 设11D P D Bl =，可得112,2,2(),D P D B l l l l ==-uuuu r uuuu r 可得2,2,22,()P l l l -,可得()2,2,22DP l l l =-uuu r .设平面1B MN 的一个法向量(),,n x y x =r ，则有11·0·0B M n B N n ì=ïí=ïîuuuuv v uuuu v v ，即2020x z y z --=ìí--=î不妨令x =-2，则()2,2,1n =--r .因为//DP 平面1B MN ，所以()()2,2,222,2,144220DP n l l l l l l =---=--+-=uuu r r g g ，解得：1=5l ，即1115D P D B =.故答案为：15.13．（1）证明见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）建立空间直角坐标系，设出相关点的坐标，求出直线的方向向量和平面的法向量，利用直线的方向向量和平面的法向量的数量积为0进行证明；（2）证明两个平面有相同的一个法向量即可..【详解】（1）证明：以D 为坐标原点，DA uuu r ，DC uuur ，1DD uuuu r 的方向分别为x ，y ，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则A (2，0，0)，C (0，2，0)，D (0，0，0)，M (1，0，1)，N (1，1，0)，P (1，2，1).由正方体的性质，知AD ⊥平面CC 1D 1D ，所以DA uuu r ＝(2，0，0)为平面CC 1D 1D 的一个法向量.由于MN uuuu r ＝(0，1，－1)，则·MN DA uuuu r uuu r ＝0×2＋1×0＋(－1)×0＝0，所以MN uuuu r ⊥DA uuu r .又MN ⊄平面CC 1D 1D ，所以MN ∥平面CC 1D 1D.（2）证明：因为DA uuu r ＝(2，0，0)为平面CC 1D 1D 的一个法向量，由于MP uuu r ＝(0，2，0)，MN uuuu r ＝(0，1，－1)，则·0·0MP DA MN DA ì=ïí=ïîuuu r uuu r uuuu r uuu r ，即DA uuu r ＝(2，0，0)也是平面MNP 的一个法向量，所以平面MNP ∥平面CC 1D 1D.14．（1）证明见解析；（2）证明见解析．【分析】（1）由共面向量定理得证.（2）用线面平行的判定定理证明.【详解】证明：（1）如图所示，连接BG ，则EG u u u r =EB uuu r +BG uuu r =EB uuu r +12(BC uuu r +BD uuu r )=EB uuu r +BF uuu r +EH uuu r =EF uuu r +EH uuu r ，由共面向量定理知，E ，F ，G ，H 四点共面．（2）因为EH uuu r =AH uuur -A E uuu r =12AD uuu r -12AB uuu r =12(AD uuu r -AB uuu r )=12BD uuu r ，且E ，H ，B ，D 四点不共线，所以EH ∥BD ．又EH ⊂平面EFGH ，BD ⊄平面EFGH ，所以BD ∥平面EFGH ．15．（1）证明见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）通过计算得到EF =uuu r 1122PD DA +uuu r uuu r ，由此证得向量,,EF PD DA uuu r uuu r uuu r 共面，从而证得//EF 平面PAD .（2）通过计算得到0,0EF PD EF CD ×=×=uuu r uuu r uuu r uuu r ，由此证得,EF PD EF CD ^^，从而证得EF ^平面PDC .【详解】（1）依题意E 、F 分别为PC 、BD 的中点，所以1111()()2222EF PF PE PD PB PC PD PB PC =-=+-=+-uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r 11112222PD CB PD DA =+=+uuu r uuu r uuu r uuu r ，所以向量,,EF PD DA uuu r uuu r uuu r 共面，又EF Ë平面,,PAD DA PD Ì平面PAD ，所以//EF 平面PAD .（2）因为侧面PAD ^底面ABCD ，侧面PAD I 底面ABCD AD =，底面ABCD 是正方形，所以CD ^平面,PAD CD PA ^.设1AD =，则2222()2AD PD PA PD PA PD PA =-=+-×uuu r uuu r uu u r uuu r uu u r uuu r uu u r ，即111222PD PA =+-×uuu r uu u r ，所以0PD PA ×=uuu r uu u r ，所以111()0,()0222EF PD PD DA PD PA PD EF CD PD DA CD ×=+×=×=×=+×=uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uu u r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r ，所以,EF PD EF CD ^^，由,PD CD Ì平面,PCD PD CD D Ç=，可得EF ^平面PCD .【点睛】用向量方法证明线面平行或垂直，理论依据是线面平行的判定定理和线面垂直的判定定理.16．（1）证明见解析；（2）E 为CC 1的中点.【分析】以D 为原点，DA 、DC 、DD 1为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系.（1）计算10A E BD ®®×=即可证明；（2）求出面A 1BD 与面EBD 的法向量，根据法向量垂直计算即可．【详解】以D 为坐标原点，以DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，如图，设正方体的棱长为a ，则A (a ，0，0)，B (a ，a ，0)，C (0，a ，0)，A 1(a ，0，a )，C 1(0，a ，a )．设E (0，a ，e )(0≤e ≤a )．（1）1A E ®＝(－a ，a ，e －a )，BD ®＝(－a ，－a ，0)，1A E BD ®®×Q ＝a 2－a 2＋(e －a )·0＝0，∴1A E BD ®®^，即A 1E ⊥BD ；（2）设平面A 1BD ，平面EBD 的法向量分别为1n ®＝(x 1，y 1，z 1)，2n ®＝(x 2，y 2，z 2)．∵DB ®＝(a ，a ，0)，1DA ®＝(a ，0，a )，DE ®＝(0，a ，e )∴10n DB ®®×=， 110n DA ®®×=， 20n DB ®®×=，10n DE ®®×=.∴11110,0,ax ay ax az +=ìí+=î, 22220,0.ax ay ay ez +=ìí+=î取x 1＝x 2＝1，得1n ®＝(1，－1，－1)，2n ®＝(1，－1，a e )．由平面A 1BD ⊥平面EBD 得1n ®⊥2n ®.∴2－a e＝0，即e ＝2a .∴当E 为CC 1的中点时，平面A 1BD ⊥平面EBD.。
1.2.5空间中的距离课件-【新教材】人教B版（2019）高中数学选择性必修一
长度。
D
B
C
显然，空间中任意两个图形之间的距离也具有类似的 性质，此距离要小于等于两个端点分别在这两个图形 上的线段长。
空间中两点之间的距离
空间中两点之间的距离指的仍是这两个点连线的线段长， 因为向量的长度表示的是向量的始点与终点之间的距离， 所以可通过向量来求空间中两点之间的距离。
例1：如图所示，已知ABCD-A'B'C'D'是平行六面体，AD=3,AB=4,AA' 5,
β
•A n
A'
B
BA n d
n
z
例4；在正方体ABCD A1B1C1D1中， E, M , N分别为A1B1, AD, CC1的中点，
D1
判断直线AC与平面EMN的关系。
如果平行，求AC与平面
A1
E
EMN之间的距离；
如果不平行，说明理由。
D O
M A
C1
B1 N C
F B
(2)
感谢聆听！
1.2.5 空间中的距离
“距离”在生活中随处可见，例如，我们常说某两地 之间的距离是多少，汽车的刹距离是多少，等等。数学中 的“距离”概念是从生活中的具体问题中抽象出来的，要 求具有准确的定义，以避免歧异。到目前为止，你学过哪 些平面内的“距离”？这些“距离”的定义有什么共同点？ 由此你能得到空间中任意两个图形之间的距离具有的性质 吗？
两点间的所有连线中，线段最短，连接两点间的线段 的长度称为两点间的距离；
从直线外一点到这条直线所作的线段中，垂线段最短， 它的长度称为这个点到直线的距离；
两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的 距离，称为这两条平行线之间的距离。
人教B版高中数学选择性必修第一册精品课件 第1章 空间向量与立体几何 空间中的点、直线与空间向量
∴E(a,x,0),F(a-x,a,0).
∴1 =(-x,a,-a),1 =(a,x-a,-a).
∵1 ·1 =(-x,a,-a)·(a,x-a,-a)=-ax+ax-a2+a2=0,
∴1 ⊥ 1 ,即 A1F⊥C1E.
不利用向量的坐标运算能否证明A1F⊥C1E?试证明.
若l∥m,则(
)
A.x1=x2,y1=y2,z1=z2
B.x1=kx2,y1=py2,z1=qz2,k,p,q∈R
C.x1x2+y1y2+z1z2=0
D.x1=λx2,y1=λy2,z1=λz2,λ∈R
答案:D
探究二
利用空间向量证明线线垂直问题
【例2】 在棱长为a的正方体OABC-O1A1B1C1中,E,F分别是棱AB,BC上的动
由1 = 1 ,得 A1(√3,1,√3).
∵1 =(-√3,1,-√3),1 =(√3,-1,-√3),
一、位置向量
1.如果 为已知,那么点P是不是可以确定的?若点A已定呢?
提示:否.点P是确定的.
2.一般地,如果在空间中指定一点O,那么空间中任意一点P的位置,都可以
由向量 唯一确定,此时, 通常称为点P的位置向量.特别地,空间直角
坐标系中的任意一点都由它的位置向量唯一确定,从而也就由它的坐标唯
为
.
答案:0° 45°
90°
;A1B1与BC所成角的大小
;
【思考辨析】
判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)在空间直角坐标系Oxyz中,任意一点P都由它的位置向量 唯一确定.
( √ )
空间中的点、直线与空间向量(同步课件)高二数学同步精品课堂(人教B版2019选择性必修第一册)
=
所以<，>= ，所以直线AE与BC所成角的大小
3
1
，
2
A
x
B
尝试与发现
设OA
，2分别是空间中直线l
1，l2的方向向量，
e , OB e , OC e
1
2
3
(1)如果l1与l2异面，那么与2可能平行吗？
(2)如果与2不平行，那么l1与l2一定异面吗？
四、异面直线与空间向量
直线BD1与直线CE不平行.
证明：以D为原点，的方向分别为x轴、y轴、z轴正
z
方向，正方体的棱长为单位长度，建立如图所示的
D1
空间直角坐标系，则
1
A1
B(1,1,0)，D1(0,0,1)，C(0,1,0)，E(0, ,1),
所以1 = (−1, −1,1)， =
0
又因为
−1
−
1
2
2
1
(0, − , 1)
人教B版选择性必修第一册
第1章
空间向量
1.2.1 空间中的点、直线与空间向量
主讲：
尝试与发现
在空间中，如何用向量表示一个点的位置？
一、点的位置向量
1.基点：在空间中我们取定点O作为基点.
2.向量表示：空间中任意一点P的位置可以用来表示.
P
3.点的位置向量：为点P的位置向量.
空间直角坐标系中的任意一点都由它的位置向
2
≠ ，所以1与不平行，
−1
所以直线BD1与直线CE不平行
E
C1
B1
D
C
y
A
x
B
尝试与发现
设OA
，2分别是空间中直线l
【高中数学】第1章 1.2.5 空间中的距离【新教材】人教B版(2019)高中数学选择性必修第一册
1.2.5空间中的距离学习目标核心素养1．掌握向量长度计算公式．(重点)2．会用向量方法求两点间的距离、点到平面的距离、直线到平面的距离和面到面的距离．(重点、难点) 通过学习空间距离的求解，提升逻辑推理、数学运算素养．“距离”在生活中随处可见，其概念是从生活中的具体问题中抽象出来的.义务教育阶段已经学过点与点之间的距离，那么在空间中两个图形之间的距离又是怎样呢？1．空间中两点之间的距离空间中两点之间的距离指的是这两个点连线的线段长．思考1：在空间中怎样求两点之间的距离？[提示]利用向量法转化为求向量的模．2．点到直线的距离给定空间中一条直线l及l外一点A，因为l与A能确定一个平面，所以过A 可以作直线l的一条垂线段，垂线段的长称为点A到直线l的距离．3．点到平面的距离(1)给定空间中一个平面α及α外一点A，过A可以作平面α的一条垂线段，垂线段的长称为点A到平面α的距离．提醒：点到平面的距离是这个点与平面内点的最短连线的长度．(2)一般地，若A是平面α外一点，B是平面α内一点，n是平面α的一个法向量，则点A到平面α的距离为d＝|BA→·n| |n|．提醒：若点A是平面α内一点，则约定A到平面α的距离为0．4．相互平行的直线与平面之间、相互平行的平面与平面之间的距离(1)当直线与平面平行时，直线上任意一点到平面的距离称为这条直线与这个平面之间的距离，如果直线l 与平面α平行，n 是平面α的一个法向量，A 、B 分别是l 上和α内的点，则直线l 与平面α之间的距离为d ＝|BA →·n ||n |．(2)当平面与平面平行时，一个平面内任意一点到另一个平面的距离称为这两个平行平面之间的距离．如果平面α与平面β平行，n 是平面β的一个法向量，A 和B 分别是平面α和平面β内的点，则平面α和平面β之间的距离为d ＝|BA →·n ||n |．思考2：线面距、面面距与点面距有什么关系？ 提示：1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)可以用|AB →|＝|AB →|2＝AB →·AB →，求空间两点A 、B 的距离．( )(2)设n 是平面α的法向量，A 是平面α内一点，AB 是平面α的一条斜线，则点B 到α的距离为d ＝|AB →·n ||n |．( )(3)若直线l 与平面α平行，直线l 上任意一点与平面α内任意一点的距离就是直线l 与平面α的距离．( )[答案] (1)√ (2)√ (3)× [提示] (1)√ (2)√(3)× 直线上任意一点到平面α的垂线段的长度．2．设A (3,3,1)，B (1,0,5)，C (0,1,0)，则AB 的中点M 到点C 的距离|CM |等于( )A ．534B ．532C ．532D ．132C [∵M 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，32，3，∴|MC |＝(2－0)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32－12＋(3－0)2＝532．]3．在四面体P -ABC 中，P A ，PB ，PC 两两垂直，M 是平面ABC 内一点，且点M 到其他三个平面的距离分别是2,3,6，则点M 到顶点P 的距离是( )A ．7B ．8C ．9D ．10A [以P 为坐标原点，P A →，PB →，PC →的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系(图略)，由题意，得|MP |＝22＋32＋62＝7．]4．已知平面α的一个法向量n ＝(1,0,1)，点A (－1,1,0)在α内，则平面外点P (－1,1,1)到平面α的距离为________．22 [AP →＝(0,0,1)，n ＝(1,0,1)，d ＝|AP →·n ||n |＝12＝22．]空间两点间的距离【例1】 ABCD ，ABEF 互相垂直，点M 在AC 上移动，点N 在BF 上移动，若CM ＝BN ＝a (0<a <2)．(1)求MN 的长；(2)a 为何值时，MN 的长最小？[思路探究] 建立空间直角坐标系，写出点的坐标，利用两点间距离公式求解．[解] (1)建立如图所示的空间直角坐标系，则A (1,0,0)，F (1,1,0)， C (0,0,1)．因为CM ＝BN ＝a (0<a <2)，且四边形ABCD ，ABEF 为正方形， 所以M ⎝ ⎛⎭⎪⎫22a ，0，1－22a ，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫22a ，22a ，0，所以MN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22a ，22a －1，所以|MN →|＝a 2－2a ＋1(0<a <2)． (2)由(1)知MN ＝⎝⎛⎭⎪⎫a －222＋12，所以，当a ＝22时，MN ＝22．即当a ＝22时，MN 的长最小，最小值为22．计算两点间的距离的两种方法(1)利用|a |2＝a·a ，通过向量运算求|a |，如求A ，B 两点间的距离，一般用|AB →|＝|AB →|2＝AB →·AB →求解．(2)用坐标法求向量的长度(或两点间距离)，此法适用于求解的图形适宜建立空间直角坐标系时．[跟进训练]1．如图所示，在120°的二面角αAB -β中，AC ⊂α，BD ⊂β且AC ⊥AB ，BD ⊥AB ，垂足分别为A ，B ，已知AC ＝AB ＝BD ＝6，试求线段CD 的长．[解] ∵AC ⊥AB ，BD ⊥AB ， ∴CA →·AB →＝0，BD →·AB →＝0，又∵二面角α-AB -β的平面角为120°， ∴〈CA →，BD →〉＝60°，∴|CD |2＝|CD →|2＝(CA →＋AB →＋BD →)2＝CA →2＋AB →2＋BD →2＋2(CA →·AB →＋CA →·BD →＋BD →·AB →) ＝3×62＋2×62×cos 60°＝144， ∴CD ＝12．点到直线的距离[探究问题1．如何理解与认识点到直线的距离？[提示] 点到直线的距离，即点到直线的垂线段的长度，由于直线与直线外一点确定一个平面，所以空间点到直线的距离问题可转化为空间某一个平面内点到直线的距离问题．(1)点在直线上时，点到直线的距离为0．(2)点在直线外时，点到直线的距离即为此点与过此点向直线作垂线的垂足间的距离．即点到直线的距离可转化为两点间的距离．2．如何用向量法求点到直线的距离？[提示] 设出点在直线上的射影，利用垂直关系求出射影的坐标转化为求向量的模．【例2】 已知直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AA 1＝1，AB ＝4，BC ＝3，∠ABC ＝90°，求点B 到直线A 1C 1的距离．[思路探究] 建立空间直角坐标系，利用向量法求解． [解] 以B 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系．则A 1(4,0,1)，C 1(0,3,1)， 所以A 1C 1→＝(－4,3,0)．设E 满足A 1E →＝λA 1C 1→，且BE ⊥A 1C 1，则BE →＝BA 1→＋A 1E →＝(4,0,1)＋λ(－4,3,0)＝(4－4λ，3λ，1)，又BE →⊥A 1C 1→， ∴(4－4λ，3λ，1)·(－4,3,0)＝0，∴λ＝1625． ∴BE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4－4×1625，3×1625，1，∴|BE →|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫36252＋⎝ ⎛⎭⎪⎫48252＋12＝135，∴B 到直线A 1C 1的距离为135．1．(变问法)条件不变，试求B 到AC 1的距离．[解] 建系如本例解法AC 1→＝(－4,3,1)，设M 满足AM →＝λAC 1→且BM →·AC 1→＝0，则BM →＝BA →＋AM →＝(4,0,0)＋λ(－4,3,1)＝(4－4λ，3λ，λ)．又BM →·AC 1→＝0，∴(4－4λ，3λ，λ)·(－4,3,1)＝0， ∴λ＝813，∴BM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4－8×413，8×313，813＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2013，2413，813， ∴|BM →|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫20132＋⎝ ⎛⎭⎪⎫24132＋⎝ ⎛⎭⎪⎫8132＝46513， ∴B 到AC 1的距离为46513．2．(变条件)若将本例中的条件改为“正三棱柱ABC -A 1B 1C 1且所有棱长均为2”，如何求B 到A 1C 1的距离．[解] 以B 为原点，分别以BA ，过B 垂直于BA 的直线，BB 1为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则B (0,0,0)，A 1(2,0,2)，C 1(1，3，2)，BA 1→＝(2,0,2)所以A 1C 1的方向向量A 1C 1→＝(－1，3，0)，而BC 1→＝(1，3，2)， 设E 满足A 1E →＝λA 1C 1→且BE ⊥A 1C 1，BE →＝BA 1→＋A 1E →＝(2,0,2)＋λ(－1，3，0)＝(2－λ，3λ，2)， 又BE →⊥A 1C 1→∴(2－λ，3λ，2)·(－1，3，0)＝0， ∴λ－2＋3λ＝0，∴λ＝12，∴BE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32，2．∴|BE →|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋22＝7， ∴B 到A 1C 1的距离为7．求点M 到直线AB 的距离的方法与步骤(1)建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标，在已知直线AB 上取一点E ，点E 满足两个条件：①AE →＝λAB →，②ME ⊥AB ．(2)利用(1)中的两个等量关系求出λ的值，进而求出点E 的坐标，求出向量|ME →|的模即为M 点到AB 的距离．点到平面的距离【例3】 如图所示，已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，求点A 到平面A 1BD 的距离．[思路探究] 本题可以利用等体积法求解，也可以通过建系利用向量法求解．[解] 法一：设点A 到平面A 1BD 的距离为h ，则 VB -AA 1D ＝13×a ×12×a ×a ＝16a 3， VA -A 1BD ＝13×h ×34×(2a )2＝36a 2h ， ∵VA -A 1BD ＝VB -AA 1D ，∴h ＝33a ，∴点A 到平面A 1BD 的距离为33a ．法二：如图所示，建立空间直角坐标系B 1 xyz ，则A 1(a,0,0)，A (a,0，a )，D (a ，a ，a )，B (0,0，a )，则BD →＝(a ，a,0)，A 1D →＝(0，a ，a )，AB →＝(－a,0,0)． 设平面A 1BD 的一个法向量n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·BD →＝0，n ·A 1D →＝0，即⎩⎨⎧ ax ＋ay ＝0，ay ＋az ＝0，∴⎩⎨⎧x ＋y ＝0，y ＋z ＝0. 令y ＝－1，则x ＝z ＝1， ∴n ＝(1，－1,1)．∴AB →·n ＝(－a,0,0)·(1，－1,1)＝－a ．∴点A 到平面A 1BD 的距离d ＝|AB →·n ||n |＝|－a |3＝33a ．用向量法求点面距的方法与步骤(1)建坐标系：结合图形的特点建立恰当的空间直角坐标系； (2)求向量：在坐标系中求出点到平面内任一点对应的向量AB →；(3)求法向量：设出平面的法向量，利用向量垂直的条件转化为求解方程组，求出法向量n ；(4)得答案：代入公式d ＝|AB →·n ||n |求得答案．提醒：用向量法求点到平面的距离的关键是确定平面的法向量．[跟进训练]2．如图所示，已知△ABC 是以∠B 为直角的直角三角形，SA ⊥平面ABC ，SA ＝BC ＝2，AB ＝4，M ，N ，D 分别是SC ，AB ，BC 的中点，求点A 到平面SND 的距离．[解] 建立如图所示的空间直角坐标系，则N (0,2,0)，S (0,0,2)，D (－1,4,0)，∴NS →＝(0，－2,2)，SD →＝(－1,4，－2)． 设平面SND 的法向量为n ＝(x ，y,1)． ∴n ·NS →＝0，n ·SD →＝0，∴⎩⎨⎧－2y ＋2＝0，－x ＋4y －2＝0， ∴⎩⎨⎧x ＝2，y ＝1.∴n ＝(2,1,1)，∵AS →＝(0,0,2)．∴点A 到平面SND 的距离为|n ·AS →||n |＝26＝63．线面平行、平行平面间的距离【例∥CD ，∠ABC ＝∠ADB ＝90°，CD ＝1，BC ＝2，DF ＝1．(1)求证：BE ∥平面DCF ； (2)求点B 到平面DCF 的距离．[解] (1)证明：由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧AE ∥DF ，AB ∥DC ，AE ∩AB ＝A ，DF ∩DC ＝D ，AE ，AB ⊂平面ABE ，DF ，DC ⊂平面DFC⇒平面ABE ∥平面DFC ，∵BE ⊂平面ABE ，∴BE ∥平面DCF ． (2)如图，以D 为原点，建立空间直角坐标系．∵AB ∥CD ，∠ABC ＝∠ADB ＝90°，则△ADB ∽△BCD ⇒AD BC ＝DB CD ， ∵CD ＝1，BC ＝2．∴BD ＝5，∴AD ＝25，AB ＝5，∴F (0,0,1)，D (0,0,0)，A (25，0,0)，B (0，5，0)，C ⎝⎛⎭⎪⎫－25，15，0，BF →＝(0，－5，1)，CF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫25，－15，1，DC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－25，15，0． 设平面DCF 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧ n ·DC →＝0，n ·CF →＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 25x －15y ＋z ＝0，－25x ＋15y ＝0.令x ＝1，y ＝2，z ＝0．∴n ＝()1，2，0.d ＝|BF →·n ||n |＝2．∴B 到平面DCF 的距离为2．求直线与平面间的距离，往往转化为点到平面的距离求解，且这个点要适当选取，以求解最为简单为准则，求直线到平面的距离的题目不多，因直线到平面的距离可以用点到平面的距离求解，但在求点到平面的距离时有时用直线到平面的距离进行过渡.[跟进训练]3．正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，求平面A 1BD 与平面B 1CD 1间的距离．[解] 以D 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则A 1(1,0,1)，B (1,1,0)，D 1(0,0,1)，A 1B →＝(0,1，－1)，A 1D →＝(－1,0，－1)，A 1D 1→＝(－1,0,0)．设平面A 1BD 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧ n ·A 1B →＝0，n ·A 1D →＝0⇒⎩⎨⎧y －z ＝0，－x －z ＝0. 令z ＝1，得y ＝1，x ＝－1，∴n ＝(－1,1,1)．∴点D 1到平面A 1BD 的距离d ＝|A 1D 1→·n ||n |＝13＝33． ∵平面A 1BD 与平面B 1CD 1间的距离等于点D 1到平面A 1BD 的距离，∴平面A 1BD 与平面B 1CD 1间的距离为33．1．空间中各种距离一般都可以转化为点点距、点线距、点面距，其中点点距、点线距最终都可用空间向量的模来求解，而点面距则可由平面的法向量来求解．2．要熟练地掌握平面法向量的求法，其基本方法是待定系数法，还要学会单位法向量的求法．1．已知平面α的一个法向量n ＝(－2，－2,1)，点A (－1,3,0)在α内，则P (－2,1,4)到α的距离为( )A ．10B ．3C ．83D ．103D [AP →＝(－1，－2,4)，d ＝|AP →·n ||n |＝103．]2．已知平面α的一个法向量n ＝(－2，－2,1)，点A (x,3,0)在平面α内，则点P (－2,1,4)到平面α的距离为103，则x ＝( )A ．－1B ．－11C ．－1或－11D ．－21C [P A →＝(x ＋2,2，－4)，而d ＝|P A →·n ||n |＝103，即|－2(x ＋2)－4－4|4＋4＋1＝103，解得x ＝－1或－11．]3．若正四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的底面边长为1，AB 1与底面ABCD 成60°角，则A 1C 1到底面ABCD 的距离为( )A ．33B ．1C ．2D ． 3D [如图，A 1C 1∥平面ABCD ，所以A 1C 1到平面ABCD 的距离等于点A 1到平面ABCD 的距离，由AB 1与平面ABCD 所成的角是60°，AB ＝1．∴BB 1＝3．即点A 1到平面ABCD 的距离为3．]4．在Rt △ABC 中，∠C ＝30°，∠B ＝90°．D 是BC 边的中点，AC ＝2，DE ⊥平面ABC ，DE ＝1，则点E 到斜边AC 的距离是________．194[作DH ⊥AC 于点H ，连接EH (图略)．因为DE ⊥平面ABC ，所以DE ⊥AC ，因为DE ∩DH ＝D ，所以AC ⊥平面DEH ，所以EH ⊥AC ，所以EH 即为所求距离．由∠B ＝90°，∠C ＝30°，AC ＝2，得BC ＝3．因为D 是BC 边上的中点，所以DH ＝12CD ＝14BC ＝34．又DE ＝1，所以EH ＝DE 2＋DH 2＝194．]5．三棱柱A 1B 1C 1-ABC 是各条棱长均为a 的正三棱柱，D 是侧棱CC 1的中点．(1)求证：平面AB 1D ⊥平面ABB 1A 1；(2)求点C 到平面AB 1D 的距离．[解] 如图所示，以B 为原点，过点B 与BC 垂直的直线为x 轴，BC 所在直线为y 轴，BB 1所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系，则A ⎝ ⎛⎭⎪⎫32a ，a 2，0，A 1⎝ ⎛⎭⎪⎫32a ，a 2，a ，B 1(0，0，a )，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a ，a 2，C (0，a,0)．(1)证明：取AB 1中点M ，则M ⎝ ⎛⎭⎪⎫34a ，a 4，a 2． ∴DM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34a ，－34a ，0， AA 1→＝(0,0，a )，AB 1→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32a ，－a 2，a ． ∴DM →·AA 1→＝0，DM →·AB 1→＝0．∴DM ⊥AA 1，DM ⊥AB 1，又AA 1∩AB 1＝A ，∴DM ⊥平面ABB 1A ，又DM ⊂平面AB 1D ，∴平面AB 1D ⊥平面ABB 1A 1． (2)由(1)知A 1B ⊥DM ． ∵A 1B →·AB 1→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32a ，－a 2，－a · ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32a ，－a 2，a ＝34a 2＋a 24－a 2＝0， ∴A 1B ⊥AB 1，∴A 1B ⊥平面AB 1D ．∴A 1B →是平面AB 1D 的一个法向量，故点C 到平面AB 1D 的距离为d ＝|AC →·A 1B →||A 1B →|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫－32a ，a 2，0·⎝ ⎛⎭⎪⎫－32a ，－a 2，－a 2a＝24a ．高考数学：试卷答题攻略一、“六先六后”，因人因卷制宜。
高中数学人教A版(2019)选择性必修第一册第一章——1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题B含答案
答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。
２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读题，结合平时课堂上所学的知识，解答难题；一定要镇定，不能因此慌了手脚，影响下面的答题；６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。
亲爱的小朋友，你们好!经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。
相信你是最棒的！高中数学人教A 版（2019）选择性必修第一册第一章——1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题B未命名一、单选题1．若平面a 的法向量为n r ，直线l 的方向向量为a r，直线l 与平面a 的夹角为q ，则下列关系式成立的是A ．cos n an a q ×=×r r r rB ．cos n an aq ×=×r r r r C ．sin n an aq ×=×r r r rD ．sin n an aq ×=×r r r r 2．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点E 在棱1AA 上，13AE A E =，点G 是棱CD 的中点，点F 满足114BF BB =uuu r uuur，则直线EF 与直线1D G 所成角的余弦值为（ ）A ．35B ．45CD3．如图，在三棱锥P ABC -中，已知12PA PB AC ===2AB BC ==，平面PAB ^平面ABC ，则异面直线PC 与AB 所成角的余弦值为（ ）ABCD4．已知()1,1,1a ®=，()()0,,101b y y ®=££，则®的最大值为（ ）A B C D 5．如图，已知正方体ABCD A B C D ¢¢¢¢-的棱长为4，E 为棱AB 的中点，点P 在侧面CC D D ¢¢上运动，当平面B EP ¢与平面ABCD ，平面CC D D ¢¢所成的角相等时，D P ¢的最小值为（ ）A B C ．D 6．在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑A BCD -中，AB ^平面BCD ，BC CD ^，且AB BC CD ==，M 为AD 的中点，则异面直线BM 与CD 夹角的余弦值为（ ）A B C D 二、多选题7．如图，ABC V 和DBC △所在平面垂直，且AB BC BD ==，120CBA DBC =Ð=а，则（ ）A ．直线AD 与直线BC 所成角的大小为90°B ．直线AB 与直线CDC ．直线AD 与平面BCD 所成角的大小为45°D ．直线AD 与平面BCD 所成角的大小为60°8．如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，以顶点A 为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中不正确的是（ ）A ．1AC =B ．BD ^平面1ACC C ．向量1B C uuur 与1AA uuur的夹角是60°D ．直线1BD 与AC 三、填空题9．已知AB 和CD 是异面直线，()2,1,3AB =-uuu r ，()1,3,2CD =-uuu r，则AB 和CD 所成角的大小为______．10．如图，在棱长为4的正方体1111ABCD A B C D -中，M 是棱1A A 上的动点，N 是棱BC 的中点.当平面1D MN 与底面ABCD 所成的锐二面角最小时，1A M =___________.11．正三棱锥的一个侧面与底面的面积之比为2:3，则这个三棱锥的侧面和底面所成二面角的大小为________．12．若直线a 的方向向量为a r，平面α，β的法向量分别为,n m r u r ，则下列命题为真命题的序号是____.（1）若a r ⊥n r，则直线a ∥平面α；（2）若a r ∥n r，则直线a ⊥平面α；（3）若1cos ,2a n =r r ，则直线a 与平面α所成角的大小为π6；（4）若1cos ,2m n =u r r ，则平面α，β的夹角为π3.四、解答题13．如果12,n n r r分别是平面12,a a 的一个法向量，设1a 与2a 所成角的大小为q ，写出cos q 与12cos ,n n <>ur uu r之间的关系.14．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为线段11A B 的中点，F 为线段AB 的中点.（1）求点B 到直线1AC 的距离；（2）求直线FC 到平面1AEC 的距离.15．如图，已知三棱柱111ABC A B C -，平面11AA C C ^平面ABC ,90ABC Ð=°，1130,,,BAC A A A C AC E F Ð=°==分别是11,AC A B 的中点.（1）证明：EF BC ^；（2）求直线EF 与平面1A BC 所成角的余弦值.16．如图，在四棱锥P ABCD -中，PB ^底面ABCD ，底面ABCD 为梯形，//AD BC ，AD AB ^，且3,1PB AB AD BC ====．（1）若点F为PD上一点且13PF PD=，证明：//CF平面PAB；（2）求直线PA与平面BPD所成角的正弦值．参考答案：1．D【分析】根据线面角的正弦值的计算公式，判断出正确选项.【详解】由于直线l 与平面a 的夹角为q ，其中0q p £<，所以sin 0q ³，所以sin cos n a n a n aq ×=×=×r r r rr r .故选：D【点睛】本小题主要考查线面角的正弦值的向量求法，属于基础题.2．B【分析】根据题意，建立空间直角坐标系，利用坐标法求解即可.【详解】解：如图，以D 为坐标原点，分别以DA ，DC ，1DD 所在的直线为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，则32,0,2E æöç÷èø，12,2,2F æöç÷èø，()10,0,2D ，()0,1,0G ，所以()0,2,1EF =-u u u r，()10,1,2D G =-uuuu r ，由题知4cos ,5EF =uuu r ，所以直线EF 与直线1D G 所成角的余弦值为45故选：B3．A【分析】取AB 的中点为D ，连接PD ，证明PD ^平面ABC ，AB BC ^，然后建立空间直角坐标系，利用向量求解即可.【详解】取AB 的中点为D ，连接PD 因为PA PB =，所以PD AB ^，因为平面PAB ^平面ABC ，平面PAB Ç平面ABC AB =，PD Ì平面PAB 所以PD ^平面ABC因为12PA PB AC ===2AB BC ==所以AB BC^如图建立空间直角坐标系，则()()()()0,0,0,0,2,0,0,1,1,2,0,0B A P C 所以()()0,2,0,2,1,1AB PC =-=--uuu r uuu r所以异面直线PC 与AB=故选：A 4．D【分析】构造正方体1111ABCD A B C D -，设正方体的棱长为1，()11,1,1OB a ®®==,点E 在线段11D C 上移动.当E 在1C 位置时，cos ,a b ®®最大，利用向量的夹角公式即得解.【详解】利用作图法，构造正方体1111ABCD A B C D -，设正方体的棱长为1，如图所示.则()11,1,1OB a ®®==，()0,,1b OE y ®®==，且点E 在线段11D C 上移动.当E 在1C 位置时，,a b ®®最小，即®最大，则cos ,a ®=为最大值.故选：D 5．B【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量即可求解.【详解】如图，建立空间直角坐标系B xyz -，则(0,0,4)B ¢,()(2,0,0),2,0,4E B E ¢=-uuur. 设(,4,)(0P x z x ££4,04),z ££ 则(2,4,).EP x z =-uuu r易知平面ABCD 和平面CC D D ¢¢的一个法向量分别为12(0,0,1),(0,1,0)n n ==ur uu r.设平面B EP ¢的法向量为3(,,)n a b c =u u r ，则 3300n B E n EP ì×=ïí×¢=ïîu u v uuuv u u v uuu v 即 240,(2)40,a c x ab zc -=ìí-++=î取1c =，可得2,42,4a x zb =ìïí--=ïî所以 3422,,14x z n --æö=ç÷èøu u r 为平面B EP ¢的一个法向量.由题意,平面B EP ¢与平面ABCD ，平面CC D D ¢¢所成的角相等，所以1323cos ,cos ,n n n n =Þu u r uu r r u u r u .1323|||||24|4n n n n x z ×=×Þ+-=Þur u u r uu r u u r280x z +-=或20.x z +=在平面CC D D ¢¢上，直线280x z +-=过点()4,4,0D 和C D ¢¢的中点()2,4,4，在平面CC D D ¢¢上，直线20x z +=只过点()0,4,0，即点C ，取G 为C D ¢¢的中点,连接GD ，则点P 在DG 上运动或点P 在点C 处，由等面积法可得D P ¢=故选：B.【点睛】对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.6．C【解析】画出四面体A BCD-，建立坐标系，利用向量法求异面直线所成角的余弦值即可.【详解】四面体A BCD-是由正方体的四个顶点构成的，如下图所示建立如下图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2(0,0,0),(2,0,0),(2,2,0),(1,1,1)B C D M(1,1,1),(0,2,0)BM CD==uuuu r uuurcos,||BM CDBM CDBM CD×áñ===×uuuu r uuu ruuuu r uuu ruuuu r uuu r因为异面直线夹角的范围为0,2pæùçúèû，所以异面直线BM与CD故选：C【点睛】本题主要考查了利用向量法求异面直线夹角的余弦值，属于中档题. 7．ABC【分析】建立适当的空间直角坐标系，再求线线角和线面角即可.【详解】以B为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系B xyz-，设2AB =，则(0,A -，()0,2,0C ，)1,0D -，所以AD =uuu r ，()0,2,0BC =u u u r ，(0,1,AB =uuu r ，)3,0CD =-uuu r .因为0AD BC ×=uuu r uuu r ，所以AD BC ^，即直线AD 90°，A 正确..因为cos ,AB uuu r uuu所以直线AB 与直线CD B 正确..设AD 与平面BCD 所成的角为q ，因为()0,0,1n =r 是平面BCD 的一个法向量，所以sin cos q =uuu 45q =°，即直线AD 与平面BCD 所成角的大小为45°，C 正确，D 错.故选：ABC.8．AC【分析】根据题意，利用空间向量的线性运算和数量积运算，对选项中的命题分析，判断正误即可．【详解】解：对于111:A AC AB BC CC AB AD AA =++=++uuuu r uuu r uuu r uuuu r uuu r uuu r uuur ，\22221111222AC AB AD AA AB AD AD AA AD AA =+++×+×+×uuuu r uuu r uuu r uuur uuu r uuu r uuu r uuur uuu r uuur363636266cos60266cos60266cos60216=+++´´´°+´´´°+´´´°=，所以1||AC ==A 错误；对于:B 11()()AC BD AB AD AA AD AB ×=++×-uuuu r uuu r uuu r uuu r uuur uuu r uuu r22110AB AD AB AD AB AD AA AD AA AB =×-+×+×--×=uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuur uuu r uuur uuu r ，所以10AC DB ×=uuuu r uuu r ，即1AC DB ^，2222()()0AC BD AB AD AD AB AD AB AD AB ×=+×-==--=uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r ，所以0AC BD ×=uuu r uuu r ，即AC BD ^，因为1AC AC A Ç=，1,AC AC Ì平面1ACC ，所以BD ^平面1ACC ，选项B 正确；对于C ：向量1B C uuur 与1BB uuur 的夹角是18060120°-°=°，所以向量1B C uuur 与1AA uuur 的夹角也是120°，选项C 错误；对于11:D BD AD AA AB =+-uuuu r uuu r uuur uuu r ，AC AB AD=+uuu r uuu r uuu r 所以()2222211111222BD AD AA AB AD AA AB AD AA AD AB AA AB =+-=+++×-×-×uuuu r uuu r uuur uuu r uuu r uuur uuu r uuu r uuur uuu r uuu r uuur uuu r，1||BD \=uuuu r同理，可得||AC =uuu rQ 11()()18183636181836AC BD AD AA AB AB AD ×=+-×+=+-++-=uuu r uuuu r uuu r uuur uuu r uuu r uuu r ，所以111cos ||||AC BD BD AC AC BD ×<×>=×uuu r uuuu r uuu r uuuuuu r ，所以选项D 正确．故选：AC ．9．60°##3p【分析】根据向量数量积求出AB uuu r 与CD uuu r 夹角的余弦，再根据异面直线所成夹角的范围即可求出角．【详解】1cos ,2AB CD AB CD AB CD×===-×uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r ，∵异面直线夹角范围是(0,90ùûo o ，∴AB 和CD 所成角的大小为60°．故答案为：60°．10．85【分析】建立空间直角坐标系，分别得到平面1D MN 、平面ABCD 的法向量，然后按照公式计算进行判断即可.【详解】如图设()()4,0,04M a a ££，()()12,4,0,0,0,4N D ()()12,4,,2,4,4MN a D N =--=-uuuu r uuuu r 设平面1D MN 的一个法向量为(),,n x y z =r ()()14240042440048a z x x y az n MN x y z n D N a zy ì-=ïì-+-=×=ìïïÞÞííí+-=×=+ïîîï=ïîuuuu v v uuuu v v 令8z =，82,4x a y a =-=+，则()82,4,8n a a =-+r 平面ABCD 的法向量的一个法向量为()10,0,1n =ur 设平面1D MN 与底面ABCD 所成的锐二面角为q所以cos =当2412105a ==时，cos q 有最大，则q 有最小，所以185A M =故答案为：8511．60°【分析】由题意作出正三棱锥S ABC -，设O 为底面ABC V 的中心，过S 作SE AB ^交AB 于点E ,连接EO ，可得SEO Ð为侧面和底面所成二面角的平面角，由条件23SAB ABC S S =V V ，得出2SEOE =，从而得出答案.【详解】如图在正三棱锥S ABC -中，设O 为底面ABC V的中心，连接SO ,则SO ^平面ABC .过S 作SE AB ^交AB 于点E ,连接EO则SO AB ^,又SE AB ^，且SE SO S Ç=,所以AB ^平面SEO则OE AB ^,所以SEO Ð为侧面和底面所成二面角的平面角.在正三角形ABC V 中，O 为中心，3++32ABC OBC OAB OAC OAB S S S S S AB OE ===V V V V V 由条件有122332SAB ABC AB SE S S AB OE ×==×V V ，可得2SE OE =在直角三角形SOE 中，1cos 2EOSEO ES Ð==所以60SEO Ð=°故答案为：60°【点睛】本题考查三棱锥的线面关系，正三棱锥的侧面面积与底面积的关系，考查二面角，属于中档题.12．(2)(3)(4)【分析】根据直线的方向向量与平面的法向量之间的关系，逐一判断线面，面面的关系即可得出结论.【详解】若a r ⊥n r ，则直线a 与平面α平行或在平面α内，所以(1)是假命题；若a r ∥n r ，则a r 也是平面α的法向量，所以直线a ⊥平面α，所以(2)是真命题；直线与平面所成角的正弦值等于直线的方向向量与平面的法向量所成角余弦值的绝对值，所以(3)是真命题；两个平面的夹角与它们的法向量所成的不大于90°的角相等，所以(4)是真命题.故答案为：(2)(3)(4).13．12cos cos ,n n q =-<>ur uu r 或12cos cos ,n n q =<>ur uu r 或12cos cos ,0n n q =<>=ur uu r 【分析】分析两个平面所成角为钝二面角、锐二面角、直二面角三种情况.【详解】当两个平面12,a a 所成角为钝二面角，此时12cos cos ,n n q =-<>ur uu r ，当两个平面12,a a 所成角为锐二面角，此时12cos cos ,n n q =<>ur uu r ，当二面角的平面角为直角时，12cos cos ,0n n q =<>=ur uu r 14．（1；（2【分析】（1）以1D 为原点，11111D A D C D D ，，所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，取a AB =r uuu r ，11AC u AC =uuuu r r uuuu r ，根据空间向量点到直线距离公式，可得点点B 到直线1AC 的距离；（2）易证//FC 平面1AEC ，则点F 到平面1AEC 的距离为直线FC 到平面1AEC 的距离，求出平面1AEC 的一个法向量，再求出(0)1,,02AF =uuu r ，根据点到面的距离公式，可得直线FC 到平面1AEC 的距离．【详解】以1D 为原点，11111D A D C D D ，，所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则1111,0,11,1101,10)10101,,12()()()2(A B C C E F æöæöç÷ç÷èøèø,,,，,,,,,,,，所以(0,1,0)AB =uuu r ，1(1,1,1)AC =--uuuu r ，)10,,12(AE -=uuu r ， 11111,,01,,0,,02)2(),(),2(0EC FC AF =--==uuuu r uuu r uuu r .（1）取(0,1,0)a AB ==r uuu r，)111,1,1AC u AC ==--uuuu r r uuuu r，则21,a a u =×=r r r 所以，点B 到直线1AC==. （2）因为111,,02FC EC æö==-ç÷èøuuu r uuuu r ，所以1//FC EC，所以//FC 平面1AEC .所以点F 到平面1AEC 的距离为直线FC 到平面1AEC 的距离.设平面1AEC 的法向量为(,,)n x y z =r ，则100n AE n EC ì×=ïí×=ïîuuu v v uuuu v v 所以102102y z x y ì-=ïïíï-+=ïî所以2x z y z=ìí=î取1z =，则1,2x y ==.所以，(1,2,1)n =r 是平面1AEC 的一个法向量.又因为(0)1,,02AF =uuu r ，所以点F 到平面1AEC.即直线FC 到平面1AEC15．（1）证明见解析；（2）35.【分析】(1)由题意首先证得线面垂直，然后利用线面垂直的定义即可证得线线垂直；(2)建立空间直角坐标系，分别求得直线的方向向量和平面的法向量，然后结合线面角的正弦值和同角三角函数基本关系可得线面角的余弦值.【详解】(1)如图所示，连结11,A E B E ，等边1AA C △中，AE EC =，则1A E AC ^，平面ABC ⊥平面11A ACC ，且平面ABC ∩平面11A ACC AC =，由面面垂直的性质定理可得：1A E ^平面ABC ，故1A E BC ^，由三棱柱的性质可知11A B AB ∥，而AB BC ^，故11A B BC ^，且1111A B A E A =I ，由线面垂直的判定定理可得：BC ^平面11A B E ，结合EF ⊆平面11A B E ，故EF BC ^.(2)在底面ABC 内作EH ⊥AC ，以点E 为坐标原点，EH ,EC ,1EA 方向分别为x ,y ,z 轴正方向建立空间直角坐标系E xyz -.设1EH =，则AE EC ==11AA CA ==3BC AB ==，据此可得：()()()130,,,0,0,3,2A B A C æöç÷ç÷èø，由11AB A B =uuu r uuuu r 可得点1B的坐标为132B æöç÷èø，利用中点坐标公式可得：34F æöç÷èø，由于()0,0,0E ，故直线EF的方向向量为：34EF æö=ç÷èøuuu r 设平面1A BC 的法向量为(),,m x y z =u r ，则：()()133,,30223,,02m A B x y z x z m BC x y z y uuuv v uuu v v ìæö×=×=+=ïç÷ç÷ïèøíæöï×=×=-=ç÷ïç÷èøî，据此可得平面1A BC的一个法向量为()m =u r，34EF æö=ç÷èøuuur此时4cos ,5EF =uuu r u ，设直线EF 与平面1A BC 所成角为q ，则43sin cos ,,cos 55EF m q q ===uuu r u r .【点睛】本题考查了立体几何中的线线垂直的判定和线面角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.16．（1）证明见解析（2）12【分析】（1）作//FH AD ，根据比例关系可知1HF =，从而可证得四边形HFCB 为平行四边形，进而得到//CF BH ，由线面平行判定定理可证得结论；（2）根据垂直关系可以B 为坐标原点建立空间直角坐标系，利用线面角的向量求法可求得结果.【详解】（1）作//FH AD 交PA 于H ，连接BH13PF PD =Q 113HF AD \==又//AD BC 且1BC = //HF BC \且HF BC=\四边形HFCB 为平行四边形 //CF BH\BH ÌQ 平面PAB ，CF Ë平面PAB //CF \平面PAB（2）PB ^Q 平面ABCD ，BC Ì平面ABCD PB BC\^又AD AB ^，//AD BC AB BC\^则可以B为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系：则()0,0,0B ，()0,0,3P ，()3,3,0D ，()0,3,0A ()3,3,3PD \=-uuu r ，()0,3,3PA =-uuu r ，()3,3,0BD =uuu r 设平面PBD 的法向量(),,n x y z ®=则3330330n PD x y z n BD x y ì×=+-=í×=+=îuuu v r uuu v r ，令1x =，则1y =-，0z = ()1,1,0n ®\=-设直线PA 与平面BPD 所成角为q1sin |cos ,2PA n q ®®\=<=【点睛】关键点点睛：线面平行的判定，关键要利用三角形中位线，平行四边形寻求直线与直线的平行关系，利用线面平行的判定定理求解，属于中档题.。
高中数学(人教B版)选择性必修一：空间中的距离【精品课件】
因此我们将 DE , EF , FB 作为空间向量的一组基底，将 DB
表示成这三个基向量的线性组合,利用基向量的运算求解.
解法二:由解法一直线DE , EF , BF 两两互相垂直,
过点E 作EP //FB ,以E为坐标原点, EP, EC , ED所在
x
2
12
7
12
DB
5
5
5
故B, D 间距离
337
.
5
C
A
F
E
P
337
5
B
y
总结：
解法二是通过建立空间直角坐标系,
利用向量的坐标运算求解.
解法三：在解法一添加辅助线的基础上，连结BE.
由已知可得DE BE.
由前面的分析DE BF
过点M 作直线ON的垂线,垂足为H , 则OH 就是a在b上的投影向量.
a
o
M
M
M
a
a
b
H
N
o
b
b
H
N
H
o
N
求点到平面的距离的向量方法
向量的投影
设 a与b的夹角为 , 我们考察数量 = a cos 和 OH 的关系.
π
当
π
2
时, 0;
M
M
当 0, 时, 0;
空间中的距离（1）
一、空间中两个图形之间的距离
二、空间中两点之间的距离;点到直线的距离
三、用向量方法解决空间中两点之间和点到直线的
人教B版高中数学选择性必修第一册精品课件 第一章 空间向量与立体几何 空间向量的坐标与空间直角坐标系
D.在xOz平面内
解析 ∵点A的横坐标为0,∴点A(0,-2,3)在yOz平面内.故选C.
知识点3
空间直角坐标系中两点之间的距离公式及中点坐标
设A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2)为空间直角坐标系中的两点,则
=(x1,y1,z1),=(x2,y2,z2),所以 = − =(x2,y2,z2)-(x1,y1,z1)
(1)一般地,如果空间向量的基底{e1,e2,e3}中,e1,e2,e3都是单位向量,而且这三
个向量两两垂直,就称这组基底为单位正交基底;在单位正交基底下向量的
分解称为向量的单位正交分解,而且,如果p=xe1+ye2+ze3,则称有序实数组
(x,y,z)为向量p的坐标,记作p=(x,y,z),其中x,y,z都称为p的坐标分量
轴,z轴,建立空间直角坐标系Cxyz.
(1)依题意得B(0,1,0),N(1,0,1),
∴| |= (1-0)2 + (0-1)2 + (1-0)2 = 3,∴线段 BN 的长为 3.
4.已知向量a=(1,-2,-1),b=(3,m,-1),若a⊥b,则m=
解析 ∵a⊥b,
∴a·b=3-2m+1=0,∴m=2.
.
1
.
2
2
.
知识点2
空间直角坐标系
为了刻画空间中点的位置,按照如下方式建立空间直角坐标系:在空间中任
意选定一点O作为坐标原点,选择合适的平面先建立平面直角坐标系xOy,
然后过O作一条与xOy平面 垂直 的数轴z轴.这样建立的空间直角坐标
量的坐标,把向量坐标化,再利用向量的坐标运算求解夹角和距离问题.
变式训练3如图,在直三棱柱(侧棱垂直于底面的棱柱)ABC-A1B1C1
人教B版高中同步学案数学选择性必修第一册精品课件 第一章 1.2.5 空间中的距离
几何问题.
过关自诊
1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)
(1)直线l∥平面α,则直线l到平面α的距离等于直线l上的点到平面α的距
离.( √ )
(2)若平面α∥平面β,则两平面α,β的距离可转化为平面α内某条直线到平面β
的距离,也可转化为平面α内某点到平面β的距离.(
度.( × )
2.若已知点A(1,1,1),B(-3,-3,-3),则线段AB的长为(
A.4√3
B.2√3
C.4√2
D.3√2
答案 A
2
2
2
提示|AB|= (1 + 3) + (1 + 3) + (1 + 3) =4√3.
)
3.已知平面α的一个法向量n=(-2,-2,1),点A(-1,3,0)在α内,则P(-2,1,4)到α的
离,
平面 PEF 的一个法向量为
|·|
所以所求距离为
||
=
1
n=(2,2,3), =(0,2,0),
1
√17
=
√17
17
.
变式训练3
如图,正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都为2,D为CC1的中点.
(1)求证:AB1⊥A1D;
(2)求点C到平面A1BD的距离.
(1)证明如图,取BC的中点O,连接AO.
.
(3)点到平面的距离
一般地,若A是平面α外一点,B是平面α内一点,n是平面α的一个法向量,则点
A到平面α的距离d=
|·|
|| .
过关自诊
1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)