第三章不等式3.2一元二次不等式及其解法教案新人教A版必修5

§ 3.2 一元二次不等式及其解法

【教学目标】

1•知识与技能：理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系，掌握图象法解一元二次不等式的方法；培养数形结合的能力，培养分类讨论的思想方法，培养抽象概括能力和逻辑思维能力；

2•过程与方法：经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程和通过函数图象探究一元二次不等式与相应函数、方程的联系，获得一元二次不等式的解法；

3•情态与价值：激发学习数学的热情，培养勇于探索的精神，勇于创新精神，同时体会事物之间普遍联系的辩证思想。【教学重点】

从实际情境中抽象出一元二次不等式模型；一元二次不等式的解法。

【教学难点】

理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式解集的关系。

【教学过程】

1.课题导入

从实际情境中抽象出一元二次不等式模型：

教材P76互联网的收费问题

教师引导学生分析问题、解决问题，最后得到一元二次不等式模型

2

x —5x :： 0,,,,,,,,,, (1)

2.讲授新课

1)一元二次不等式的定义

象x2 -5x 0这样，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等

式

2)探究一元二次不等式x2 -5x ：：： 0的解集

怎样求不等式(1)的解集呢？

探究：

(1) 二次方程的根与二次函数的零点的关系

容易知道：二次方程的有两个实数根：=0,x2 =5

于是，我们得到：二次方程的根就是二次函数的零点。

(2)观察图象，获得解集

画出二次函数y=x2-5x的图象，如图，观察函数图象，可知:

当x<0，或x>5时，函数图象位于x轴上方，此时，y>0,即X2 - 5x ■ 0 ；当0

所以，不等式x2 -5x <0的解集是fx|0 ：：：x ：：：5?，从而解决了本节开始时提出的问题。

3)探究一般的一元二次不等式的解法

任意的一元二次不等式，总可以化为以下两种形式

ax2bx c 0,(a 0)或ax2bx c ：： 0,(a 0)

一般地，怎样确定一元二次不等式ax2 bx c>0与ax2 bx - c<0的解集呢？

组织讨论：

从上面的例子出发，综合学生的意见，可以归纳出确定一元二次不等式的解集，关键要考虑以下两

占：

八、、♦

(1)抛物线y =ax2 bx c与x轴的相关位置的情况，也就是一元二次方程ax2 bx c=0的根的

情况

⑵ 抛物线y =ax2 - bx - c的开口方向，也就是a的符号

总结讨论结果：

(I)抛物线y =ax2• bx c (a> 0)与x轴的相关位置，分为三种情况，这可以由一元二次方

2 2

程ax bx c=0的判别式尺=b -4ac三种取值情况(△ > 0, △ =0, △ <0)来确定.因此，要分

二种情况讨论

(2) a<0可以转化为a>0

分△ >0, △ =0, △ <0三种情况，得到一元二次不等式ax2 bx c>0与ax2 - bx c<0的解集

元二次不等式ax2 bx c - 0或ax2• bx • c ：：： 0 a = 0的解集:

设相应的一元二次方程ax2■ bx ■ c = 0 a = 0的两根为X2且为- X2，厶二b2 - 4ac，则不等

式的解的各种情况如下表：

让学生独立完成课本第页的表格

例2 （课本第78页）求不等式4x2 - 4x T • 0的解集.

2 1

解：因为厶=0 ,方程4x -4x • 1 = 0的解是x^ x2.

2 所以，原不等式的解集是丿x x^1}

例3 （课本第78页）解不等式—x2• 2x -3 ■ 0 .

解：整理，得x2 -2x • 3 ：：：0.

因为.「：：0,方程x2「2x • 3 = 0无实数解,

2

所以不等式x -2x^0的解集是•-.

从而，原不等式的解集是-.

3.随堂练习

课本第80的练习1（1）、（3）、（5）、（7）

4.课时小结

解一元二次不等式的步骤:

①将二次项系数化为“ +”：A=ax2 bx c>0(或<0)(a>0)

②计算判别式厶，分析不等式的解的情况：

若A A O,则XC X J或〉x2;

i. A >0 时，求根X1

若 A c 0,则％c x < X2. 若A>0,则xHXo的一切实数;

ii.也=0 时，求根X1 = X2= X o，’若A £ 0,贝V X E 収

右A兰0,贝V x = x0.

若A >0,则X E R；

iii.也<0时，方程无解，丿

若A £0,贝収亡嵌

③写出解集.

5.评价设计

课本第80页习题3.2 [A]组第1题