2020年高考数学真题汇编12 统计 理( 解析版)
2020年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标Ⅱ)附答案
2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ）题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合，则（）A. B.C. D.2.若为第四象限角，则（）A. B. C. D.3.在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压，为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作．已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单1600份的概率为0.05，志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者（）A. 10名B. 18名C. 24名D. 32名4.北京天坛的圆丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板（称为天心石），环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板（不含天心石）( )A. 3699块B. 3474块C. 3402块D. 3339块5.若过点的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线的距离为( )A. B. C. D.6.数列中，，，若，则（）A. 2B. 3C. 4D. 57.右图是一个多面体的三视图，这个多面体某条棱的一个断点在正视图中对应的点为，在俯视图中对应的点为，则该端点在侧视图中对应的点为( )A.B.C.D.8.设为坐标原点，直线与双曲线的两条渐近线分别交于两点，若的面积为8，则的焦距的最小值为( )A. 4B. 8C. 16D. 329.设函数，则( )A. 是偶函数，且在单调递增B. 是奇函数，且在单调递减C. 是偶函数，且在单调递增D. 是奇函数，且在单调递减10.已知是面积为的等边三角形，且其顶点都在球的表面上，若球的表面积为，则球到平面的距离为（）A. B. C. D.11. 11.若，则（）A. B. C. D.12.0-1周期序列在通信技术中有着重要应用，若序列满足，且存在正整数，使得成立，则称其为0-1周期序列，并称满足的最小正整数为这个序列的周期．对于周期为的0-1序列，是描述其性质的重要指标．下列周期为5的0-1序列中，满足的序列是( )A. 11010…B. 11011…C. 10001…D. 11001…二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知单位向量的夹角为45°，与垂直，则_______．14. 4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有______种．15.设复数满足，则______．16.设有下列四个命题：：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内．：过空间中任意三点有且仅有一个平面．：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行．：若直线平面，直线平面，则．则下述命题中所有真命题的序号是________．①②③④三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.中，．（1）求；（2）若，求周长的最大值．18.某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加．为调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的200个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区，调查得到样本数据，其中和分别表示第个样区的植物覆盖面积（单位：公顷）和这种野生动物的数量，并计算得，，，，．（1）求该地区这种野生动物数量的估计值（这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数）；（2）求样本的相关系数（精确到0.01）；（3）根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大，为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由．附：相关系数，．19.已知椭圆:的右焦点与抛物线的焦点重合，的中心与的的顶点重合．过且与轴垂直的直线交于，两点，交于，两点，且．（1）求的离心率；（2）设是与的公共点，若，求与的标准方程．20.如图，已知三棱柱的底面是正三角形，侧面是矩形，，分别为，的中点，为上一点，过和的平面交于，交于．（1）证明：，且平面；（2）设为△的中心，若，且，求直线与平面所成角的正弦值．21.已知函数．（1）讨论在区间的单调性；（2）证明：；（3）设，证明：．22.已知曲线，的参数方程分别为：（为参数），：（为参数）．（1）将，的参数方程化为普通方程；（2）以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系．设，的交点为，求圆心在极轴上，且经过极点和的圆的极坐标方程．23.已知函数．（1）当时，求不等式的解集；（2）若，求的取值范围．答案和解析1.【答案】A【解析】【分析】本题考查集合的运算，属基础题.先求出，再求补集.【解答】解：，故选A.2.【答案】D【解析】【分析】本题考查三角函数在各象限的正负，属于基础题.根据所给角是第四象限角，写出角的范围，求出的范围，进而可判断出三角函数值的正负.【解答】解：∴是第三象限或第四象限角或终边在y轴的非正半轴上，故选D.3.【答案】B【解析】【分析】本题考查对概率的理解，通过条件容易得出第二天需配送的总订单数，进而可求出所需至少人数.【解答】解：因为公司可以完成配货1200份订单，则至少需要志愿者为名.故选B.4.【答案】C【解析】【分析】本题考查等差数列前n项和的性质，属于中档题.由成等差数列，可得每一层的环数，通过等差数列前n项和公式可求得三层扇形石板的总数.【解答】解：设每一层有n环，由题可知从内到外每环之间构成等差数列，公差，，由等差数列性质知成等差数列，且，则，得，则三层共有扇形面石板为故选C.5.【答案】B【解析】【分析】本题考查直线与圆的位置关系及点到直线的距离计算，属基础题.由圆与坐标轴相切，可得圆心坐标及半径，再用点到直线的距离公式求解即可.【解答】解：设圆心为，则半径为，圆过点，则，解得或，所以圆心坐标为，圆心到直线的距离都是故选B.6.【答案】C【解析】【分析】本题考查等比数列的判定及等比数列前n项求和，属基础题.取m=1，知数列是等比数列，再由等比数列前n项和公式可求出k的值.【解答】解：取，则，又，所以，所以是等比数列，则，所以，得故选C.7.【答案】A【解析】【分析】本题三视图，考查空间想象能力，属基础题.由三视图，通过还原几何体，观察可知对应点.【解答】解：该几何体是两个长方体拼接而成，如图所示，显然选A.8.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查双曲线的几何性质及双曲线的渐近线，属于中档题.【解答】解：双曲线C的两条渐近线分别为,由于直线x=a与双曲线的两条渐近线分别交于D、E两点，则易得到,则, ,即,所以焦距.故选B.9.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查函数的奇偶性、单调性，属于中档题.【解答】解：函数,则为奇函数，时，,单调递增；时，，单调递减.故选D.10.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查点到平面的距离求法，属于中档题.【解答】解：设△ABC的外接圆圆心为,设,圆的半径为r,球O的半径为R,△ABC的边长为a,则，可得,于是，由题意知，球O的表面积为，则,由,求得，即O到平面ABC的距离为1.故选C.11.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查对数函数与指数函数，考查函数的单调性，属于较难题.【解答】解：，设,则，所以函数在R上单调递增，因为，所以,则，.故选A.12.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查新定义类型的问题，属于较难题.【解答】解：对于A选项，，，不满足，排除；对于B选项，，不满足，排除；对于C选项，，，，，满足；对于D选项，，不满足，排除；故选C.13.【答案】【解析】【分析】本题主要考查平面向量的运算以及向量间的垂直关系，属于基础题.【解答】解：由单位向量的夹角为，与垂直，所以，则.故答案为.14.【答案】36【解析】【分析】本题考查计数原理，属于基础题．【解答】解：由题意可得不同的安排方法有：．答案：36．15.【答案】【解析】【分析】本题考查复数的运算及复数的模，属于基础题．【解答】解：在复平面内，用向量方法求解，原问题即等价于平面向量满足，，求，由，可得，故．故答案为．16.【答案】①③④【解析】【分析】本题考查含逻辑联结词的命题真假的判断以及立体几何相关知识，属于中档题．【解答】解：对于：可设与，所得平面为若与相交，则交点A必在平面内.同理与的交点B在平面内，故直线AB在平面内，即在平面内，故为真命题．对于过空间中任意三点，若三点共线，可形成无数个平面，故为假命题．对于空间中两条直线的位置关系有平行，相交，异面，故为假命题．对于若，则m垂直于平面内的所有直线，故，故为真命题．综上可知，为真命题，为真命题，为真命题．故答案为①③④．17.【答案】解：在中，设内角A，B，C的对边分别为a，b，c，因为，由正弦定理得，，即，由余弦定理得，，因为，所以．由知，，因为，即，由余弦定理得，，所以，由基本不等式可得，所以所以当且仅当时取得等号，所以周长的最大值为．【解析】本题主要考查利用正余弦定理解三角形的问题，属于中档题．直接利用正余弦定理即可求解；利用余弦定理与基本不等式即可求解．18.【答案】解：(1)由题可知，每个样区这种野生动物数量的平均数为，所以该地区这种野生动物数量的估计值为(2)根据公式得(3)为了提高样本的代表性，选用分层抽样法更加合理，因为分层抽样可以按照规定的比例从不同的地块间随机抽样，其代表性较好，抽样误差更小。
2020年高考数学·高考真题-分类汇编-第12讲-解三角形精选全文完整版
精选全文完整版专题四 三角函数与解三角形第十二讲 解三角形2020年1.（2020•北京卷）在ABC 中，11a b +=，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为己知，求： （Ⅰ）a 的值：（Ⅱ）sin C 和ABC 的面积．条件①：17,cos 7c A ==-；条件②：19cos ,cos 816A B ==．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．【答案】选择条件①（Ⅰ）8（Ⅱ）sin C =, S =选择条件②（Ⅰ）6（Ⅱ）sin C =, S =.2.（2020•全国2卷）ABC 中，sin 2A －sin 2B －sin 2C =sin B sin C. （1）求A ；（2）若BC =3，求ABC 周长的最大值.【答案】（1）23π；（2）3+3.（2020•全国3卷）在△ABC 中，cos C =23，AC =4，BC =3，则cos B =（ ） A.19B.13C. 12 D. 23【答案】A4.（2020•江苏卷）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知3,2,45a c B ===︒．（1）求sin C 的值；（2）在边BC 上取一点D ，使得4cos 5ADC ∠=-，求tan DAC ∠的值．【答案】（1）5sin C =（2）2tan 11DAC ∠=.5.（2020•新全国1山东）在①3ac =sin 3c A =，③3=c b 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由． 问题：是否存在ABC ，它的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且sin 3sin A B ，6C π=，________?注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】详见解析6.（2020•天津卷）在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ．已知22,5,13a b c === （Ⅰ）求角C 的大小； （Ⅱ）求sin A 的值； （Ⅲ）求sin 24A π⎛⎫+⎪⎝⎭的值． 【答案】（Ⅰ）4Cπ；（Ⅱ）13sin 13A =；（Ⅲ）172sin 2426A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭.7.（2020•浙江卷）在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2sin b A =．（I ）求角B ；（II ）求cos A +cos B +cos C 的取值范围．【答案】（I ）3B π=；（II ）13,22⎛⎤⎥ ⎝⎦2016-2019年1.(2019全国Ⅰ理17)ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，设22(sin sin )sin sin sin B C A B C -=-．（1）求A ；（2）若22a b c +=，求sin C ．2.（2019全国Ⅱ理15）ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .若π6,2,3b ac B ===，则ABC △的面积为__________.3.（2019全国Ⅲ理18）△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知sin sin 2A Ca b A +=． （1）求B ；（2）若△ABC 为锐角三角形，且c =1，求△ABC 面积的取值范围．4.（2019江苏12）如图，在ABC △中，D 是BC 的中点，E 在边AB 上，BE =2EA ，AD 与CE 交于点O .若6AB AC AO EC ⋅=⋅，则ABAC的值是 .5.（2019江苏15）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ． （1）若a =3c ，b 2，cos B =23，求c 的值； （2）若sin cos 2A B a b =，求sin()2B π+的值． 6.（2019浙江14）在ABC △中，90ABC ∠=︒，4AB =，3BC =，点D 在线段AC 上，若45BDC ∠=︒，则BD =____，cos ABD ∠=________.7.（2019北京15）在ABC △中，a =3，b -c =2 ，1cos 2B =- ．（Ⅰ）求b ,c 的值； （Ⅱ）求sin(B -C ) 的值.8.（2019天津理15）在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知2b c a +=，3sin 4sin c B a C =.（Ⅰ）求cos B 的值； （Ⅱ）求sin 26B π⎛⎫+⎪⎝⎭的值.9．(2018全国卷Ⅱ)在△ABC 中，cos2=C 1=BC ，5=AC ，则=ABA ．BCD ．10．(2018全国卷Ⅲ)ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若ABC ∆的面积为2224a b c +-，则C = A ．2π B ．3π C ．4π D ．6π 11．（2017山东）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若ABC ∆为锐角三角形，且满足sin (12cos )2sin cos cos sin B C A C A C +=+，则下列等式成立的是A ．2a b =B ．2b a =C ．2A B =D ．2B A = 12.（2016年天津）在ABC ∆中，若AB BC =3，120C ∠= ，则AC =A ．1B ．2C ．3D ．413．（2016年全国III ）在ABC △中，π4B，BC 边上的高等于13BC ,则cos AA B C ．1010 D ．3101014．(2018江苏)在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，120ABC ∠=︒，ABC ∠的平分线交AC 于点D ，且1BD =，则4a c +的最小值为 ．15．(2018浙江)在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若a =2b =，60A =，则sin B =___________，c =___________．16．（2017浙江）已知ABC ∆,4AB AC ==,2BC =． 点D 为AB 延长线上一点,2BD =,连结CD ,则BDC ∆的面积是___________，cos BDC ∠=__________．17．（2017浙江）我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率π，理论上能把π的值计算到任意精度。
2020年全国统一高考数学理科试卷(附答案解析)
依圆的知识可知，四点 四点共圆，且 ，所以 ，而 ，
A. 2B. 3C. 6D. 9
【答案】C
【解析】
【分析】
利用抛物线的定义建立方程即可得到答案.
【详解】设抛物线的焦点为F，由抛物线的定义知 ，即 ，解得 .
故选：C.
【点晴】本题主要考查利用抛物线的定义计算焦半径，考查学生转化与化归思想，是一道容易题.
5.某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x（单位：°C）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据 得到下面的散点图：
【答案】C
【解析】
【分析】
求得 展开式的通项公式为 （ 且 ），即可求得 与 展开式的乘积为 或 形式，对 分别赋值为3，1即可求得 的系数，问题得解.
【详解】 展开式的通项公式为 （ 且 ）
所以 与 展开式的乘积可表示为：
或
在 中，令 ，可得： ，该项中 的系数为 ，
在 中，令 ，可得： ，该项中 的系数为
由此散点图，在10°C至40°C之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据散点图的分布可选择合适的函数模型.
【详解】由散点图分布可知，散点图分布在一个对数函数的图象附近，
因此，最适合作为发芽率 和温度 的回归方程类型的是 .
【点睛】本题考查利用导数求解函图象的切线方程，考查计算能力，属于基础题
7.设函数 在 的图像大致如下图，则f(x)的最小正周期为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
历年(2020-2023)全国高考数学真题分类(计数原理)汇编(附答案)
历年(2020‐2023)全国高考数学真题分类(计数原理)汇编【2023年真题】1. （2023·新课标I 卷 第13题）某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有_______种(用数字作答).2. （2023·新课标II 卷 第3题）某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400和200名学生，则不同的抽样结果共有 A. 4515400200C C ⋅种B. 2040400200C C ⋅种C. 3030400200C C ⋅种D. 4020400200C C ⋅种【2022年真题】3.（2022·新高考I 卷 第13题）8(1)y x y x-+的展开式中26x y 的系数为__________(用数字作答).4.（2022·新高考II 卷 第5题）甲乙丙丁戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻的不同排列方式有( ) A. 12种B. 24种C. 36种D. 48种【2020年真题】5.（2020·新高考I 卷 第3题）6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有( ) A. 120种B. 90种C. 60种D. 30种6.（2020·新高考II 卷 第6题）要安排3名学生到2个乡村做志愿者，每名学生只能选择去一个村，每个村里至少有一名志愿者，则不同的安排方法共有( ) A. 2种 B. 3种C. 6种D. 8种参考答案1. （2023·新课标I 卷 第13题）解：当从这8门课中选修2门课时，共有1144.16C C =； 当从这8门课中选修3门课时，共有12214444..48C C C C +=；综上，共有64种． 2. （2023·新课标II 卷 第3题）解：结合题意初中部和高中部所占的比例为2:1，抽取初中部40人，高中部20人，故不同的抽样结果为4020400200C C ⋅ 种，故选.D3.（2022·新高考I 卷 第13题）解：因为8()x y +展开式的通项818r r r r T C x y -+=，令5r =，则35x y 的系数为5856C =；令6r =，则26x y 的系数为6828C =，所以26x y 的系数为562828.-+=- 4.（2022·新高考II 卷 第5题）解：先利用捆绑法排乙丙丁成四人，再用插空法选甲的位置，则有23123224A A C =种. 5.（2020·新高考I 卷 第3题）解：可以按照先选1名志愿者去甲场馆，再选择2名志愿者去乙场馆，剩下3名安排到丙场馆，安排方法有123653C C C 60.=故选：.C6.（2020·新高考II 卷 第6题）解：要安排3名学生到2个乡村做志愿者，每名学生只能选择去一个村，每个村里至少有一名志愿者，则不同的安排方法共有：212312 6.C C A =故选：.C。
2020学年普通高等学校招生全国统一考试(新课标Ⅰ)数学理及答案解析
2020年普通高等学校招生全国统一考试(新课标Ⅰ)数学理一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设121-=++iz i i ，则|z|=( )A.0B.12C.1解析：利用复数的代数形式的混合运算化简后，然后求解复数的摸.()()()211222111--=+=+=-+=++-i i z i i i i i i i i ，则|z|=1. 答案：C2.已知集合A={x|x 2-x-2＞0}，则C R A=( ) A.{x|-1＜x ＜2} B.{x|-1≤x ≤2}C.{x|x ＜-1}∪{x|x ＞2}D.{x|x ≤-1}∪{x|x ≥2}解析：通过求解不等式，得到集合A ，然后求解补集即可.集合A={x|x 2-x-2＞0}， 可得A={x|x ＜-1或x ＞2}， 则：C R A={x|-1≤x ≤2}. 答案：B3.某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番.为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：则下面结论中不正确的是( )A.新农村建设后，种植收入减少B.新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C.新农村建设后，养殖收入增加了一倍D.新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半解析：设建设前经济收入为a，建设后经济收入为2a.通过选项逐一分析新农村建设前后，经济收入情况，利用数据推出结果.设建设前经济收入为a，建设后经济收入为2a.A项，种植收入37×2a-60%a=14%a＞0，故建设后，种植收入增加，故A项错误.B项，建设后，其他收入为5%×2a=10%a，建设前，其他收入为4%a，故10%a÷4%a=2.5＞2，故B项正确.C项，建设后，养殖收入为30%×2a=60%a，建设前，养殖收入为30%a，故60%a÷30%a=2，故C项正确.D项，建设后，养殖收入与第三产业收入总和为(30%+28%)×2a=58%×2a，经济收入为2a，故(58%×2a)÷2a=58%＞50%，故D项正确.因为是选择不正确的一项.答案：A4.记S n为等差数列{a n}的前n项和.若3S3=S2+S4，a1=2，则a5=( )A.-12B.-10C.10D.12解析：利用等差数列的通项公式和前n项和公式列出方程，能求出a5的值.∵S n为等差数列{a n}的前n项和.若3S3=S2+S4，a1=2，∴3×(3a1+322⨯d)=a1+a1+d+4a1+432⨯d，把a 1=2，代入得d=-3 ∴a 5=2+4×(-3)=-10. 答案：B5.设函数f(x)=x 3+(a-1)x 2+ax.若f(x)为奇函数，则曲线y=f(x)在点(0，0)处的切线方程为( ) A.y=-2x B.y=-x C.y=2x D.y=x解析：利用函数的奇偶性求出a ，求出函数的导数，求出切线的向量然后求解切线方程.函数f(x)=x 3+(a-1)x 2+ax ，若f(x)为奇函数，可得a=1，所以函数f(x)=x 3+x ，可得f ′(x)=3x 2+1， 曲线y=f(x)在点(0，0)处的切线的斜率为：1， 则曲线y=f(x)在点(0，0)处的切线方程为：y=x. 答案：D6.在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =( )A.3144-AB ACB.1344-AB ACC.3144+AB ACD.1344+AB AC解析：运用向量的加减运算和向量中点的表示，计算可得所求向量.在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，()1113122244=-=-=-⨯+=-EB AB AE AB AD AB AB AC AB AC .答案：A7.某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图.圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为( )A.217B.25C.3D.2解析：判断三视图对应的几何体的形状，利用侧面展开图，转化求解即可.由题意可知几何体是圆柱，底面周长16，高为：2，直观图以及侧面展开图如图：圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短222425+=答案：B8.设抛物线C ：y2=4x的焦点为F，过点(-2，0)且斜率为23的直线与C交于M，N两点，则=FM FN( )A.5B.6C.7D.8解析：求出抛物线的焦点坐标，直线方程，求出M、N的坐标，然后求解向量的数量积即可.抛物线C：y2=4x的焦点为F(1，0)，过点(-2，0)且斜率为23的直线为：3y=2x+4，联立直线与抛物线C：y2=4x，消去x可得：y2-6y+8=0，解得y1=2，y2=4，不妨M(1，2)，N(4，4)，∴FM=(0，2)，FN=(3，4).则FM FN=(0，2)·(3，4)=0×3+2×4=8. 答案：D9.已知函数f(x)=ln0⎧≤⎨⎩，，＞xe xx x，g(x)=f(x)+x+a.若g(x)存在2个零点，则a的取值范围是( )A.[-1，0)B.[0，+∞)C.[-1，+∞)D.[1，+∞)解析：由g(x)=0得f(x)=-x-a，作出函数f(x)和y=-x-a的图象如图：当直线y=-x-a的截距-a≤1，即a≥-1时，两个函数的图象都有2个交点，即函数g(x)存在2个零点，故实数a的取值范围是[-1，+∞).答案：C10.如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形.此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB，AC.△ABC的三边所围成的区域记为I，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ.在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为p1，p2，p3，则( )A.p1=p2B.p1=p3D.p 1=p 2+p 3解析：如图：设BC=2r 1，AB=2r 2，AC=2r 3，∴r 12=r 22+r 32，∴S Ⅰ=12×4r 2r 3=2r 2r 3，S Ⅲ=12×πr 12-2r 2r 3，S Ⅱ=12×πr 32+12×πr 22-S Ⅲ=12×πr 32+12×πr 22-12×πr 12+2r 2r 3=2r 2r 3，∴S Ⅰ=S Ⅱ， ∴P 1=P 2. 答案：A11.已知双曲线C ：2213-=x y ，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M ，N.若△OMN 为直角三角形，则|MN|=( )A.32B.3D.4解析：求出双曲线的渐近线方程，求出直线方程，求出MN 的坐标，然后求解|MN|.双曲线C ：2213-=x y 的渐近线方程为：y=±3x ，渐近线的夹角为：60°，不妨设过F(2，0)的直线为：(x-2)，则：)2⎧=⎪⎨⎪=-⎩y x y x，解得322⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩x y ，即M(32，2-)，)23⎧=⎪⎨⎪=-⎩y x y x，解得3=⎧⎪⎨=⎪⎩x y N(3)，则3==MN .12.已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为( )A.33 4B.233C.324D.3解析：利用正方体棱的关系，判断平面α所成的角都相等的位置，然后求解α截此正方体所得截面面积的最大值.正方体的所有棱中，实际上是3组平行的棱，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，如图所示：正六边形平行的平面，并且正六边形时，α截此正方体所得截面面积的最大，此时正六边形的边长2，α截此正方体所得截面最大值为：2323362⎛=⎝⎭.答案：A二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若x，y满足约束条件22010--≤⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩x yx yy，则z=3x+2y的最大值为 .解析：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=3x+2y得3122=-+y x z，平移直线3122=-+y x z，由图象知当直线3122=-+y x z经过点A(2，0)时，直线的截距最大，此时z最大，最大值为z=3×2=6.答案：614.记S n为数列{a n}的前n项和.若S n=2a n+1，则S6= .解析：先根据数列的递推公式可得{a n}是以-1为首项，以2为公比的等比数列，再根据求和公式计算即可.S n为数列{a n}的前n项和，S n=2a n+1，①当n=1时，a1=2a1+1，解得a1=-1，当n≥2时，S n-1=2a n-1+1，②，由①-②可得a n=2a n-2a n-1，∴a n=2a n-1，∴{a n}是以-1为首项，以2为公比的等比数列，∴()661126312-⨯-==--S.答案：-6315.从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有种.(用数字填写答案)解析：方法一：直接法，分类即可求出.1女2男，有122412=C C，2女1男，有21244=C C，根据分类计数原理可得，共有12+4=16种.方法二：间接法，先求出没有限制的种数，再排除全是男生的种数.336420416=-=C C 种.答案：1616.已知函数f(x)=2sinx+sin2x ，则f(x)的最小值是 . 解析：由题意可得T=2π是f(x)=2sinx+sin2x 的一个周期， 故只需考虑f(x)=2sinx+sin2x 在[0，2π)上的值域， 先来求该函数在[0，2π)上的极值点，求导数可得f ′(x)=2cosx+2cos2x=2cosx+2(2cos 2x-1)=2(2cosx-1)(cosx+1)，令f ′(x)=0可解得cosx=12或cosx=-1，可得此时x=3π，π或53π；∴y=2sinx+sin2x 的最小值只能在点x=3π，π或53π和边界点x=0中取到，计算可得f(3π)=，f(π)=0，f(53π)=，f(0)=0，∴函数的最小值为.答案：2-三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. (一)必考题：每题12分，共60分.17.在平面四边形ABCD 中，∠ADC=90°，∠A=45°，AB=2，BD=5.(1)求cos ∠ADB.解析：(1)由正弦定理得25sin sin 45=∠︒ADB ，求出sin ∠ADB=5，由此能求出cos ∠ADB.答案：(1)如图所示：∵∠ADC=90°，∠A=45°，AB=2，BD=5，∴由正弦定理得：25sin sin45=∠︒ADB，即25sin sin45=∠︒ADB，∴2sin45si52n5︒∠==ADB，∵AB＜BD，∴∠ADB＜∠A，∴2223 cos15⎛⎫⎪⎪∠⎭-⎝==ADB.(2)若2BC.解析：(2)由∠ADC=90°，得cos∠BDC=sin∠ADB=25，再由2，利用余弦定理能求出BC.答案：(2)∵∠ADC=90°，∴cos∠BDC=sin∠ADB=2 5，∵2，∴222cos2582222555 =+-⨯⨯⨯∠=+-⨯⨯⨯= BC BD DC BD DC BDC.18.如图，四边形ABCD为正方形，E，F分别为AD，BC的中点，以DF为折痕把△DFC折起，使点C到达点P的位置，且PF⊥BF.(1)证明：平面PEF⊥平面ABFD.解析：(1)利用正方形的性质可得BF垂直于面PEF，然后利用平面与平面垂直的判断定理证明即可.答案：(1)证明：由题意，点E、F分别是AD、BC的中点，则AE=12AD，BF=12BC，由于四边形ABCD为正方形，所以EF⊥BC.由于PF⊥BF，EF∩PF=F，则BF⊥平面PEF.又因为BF 平面ABFD，所以：平面PEF⊥平面ABFD.(2)求DP与平面ABFD所成角的正弦值.解析：(2)利用等体积法可求出点P到面ABCD的距离，进而求出线面角. 答案：(2)在平面DEF中，过P作PH⊥EF于点H，联结DH，由于EF为面ABCD和面PEF的交线，PH⊥EF，则PH⊥面ABFD，故PH⊥DH.在三棱锥P-DEF中，可以利用等体积法求PH，因为DE∥BF且PF⊥BF，所以PF⊥DE，又因为△PDF≌△CDF，所以∠FPD=∠FCD=90°，所以PF⊥PD，由于DE∩PD=D，则PF⊥平面PDE，故V F-PDE=13PF·S△PDE，因为BF∥DA且BF⊥面PEF，所以DA ⊥面PEF ， 所以DE ⊥EP.设正方形边长为2a ，则PD=2a ，DE=a 在△PDE 中，a ，所以S △PDE=a 2， 故V F-PDE=a 3，又因为S △DEF =12a ·2a=a 2，所以223-==F PDE V PH a a ，所以在△PHD中，sin 4∠==PH PDH PD ，即∠PDH 为DP 与平面ABFD所成角的正弦值为：.19.设椭圆C ：2212+=x y 的右焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于A ，B 两点，点M 的坐标为(2，0).(1)当l 与x 轴垂直时，求直线AM 的方程.解析：(1)先得到F 的坐标，再求出点A 的方程，根据两点式可得直线方程. 答案：， ∴F(1，0)，∵l 与x 轴垂直， ∴x=1，由22112=⎧⎪⎨+=⎪⎩x x y，解得21=⎧⎪⎨=⎪⎩x y或21=⎧⎪⎨=-⎪⎩x y ， ∴A(1，2)或(1，2-)，∴直线AM的方程为2+=-y x2=y x .(2)设O 为坐标原点，证明：∠OMA=∠OMB.解析：(2)分三种情况讨论，根据直线斜率的问题，以及韦达定理，即可证明. 答案：(2)证明：当l 与x 轴重合时，∠OMA=∠OMB=0°，当l 与x 轴垂直时，OM 为AB 的垂直平分线，∴∠OMA=∠OMB ， 当l 与x 轴不重合也不垂直时，设l 的方程为y=k(x-1)，k ≠0， A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则x 1x 2，直线MA ，MB 的斜率之和为k MA ，k MB 之和为121222+=+--MA MB y y k k x x ，由y 1=kx 1-k ，y 2=kx 2-k 得()()12121223422-++=--MA MB kx x kx x k k k x x ，将y=k(x-1)代入2212+=x y 可得(2k 2+1)x 2-4k 2x+2k 2-2=0， ∴2122421+=+k x x k ，21222221-=+k x x k ， ∴2kx 1x 2-3k(x 1+x 2)+4k=2121+k (4k 2-4k-12k 2+8k 2+4k)=0从而k MA +k MB =0，故MA ，MB 的倾斜角互补， ∴∠OMA=∠OMB ， 综上∠OMA=∠OMB.20.某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品.检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验.设每件产品为不合格品的概率都为p(0＜p ＜1)，且各件产品是否为不合格品相互独立.(1)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p)，求f(p)的最大值点p 0. 解析：(1)求出()()1822201=-f p C p p ，则()()()()()18171722220202118121110⎡'=---⎤⎣=-⎦-f p C p p p p C p p p ，利用导数性质能求出f(p)的最大值点p 0=0.1.答案：(1)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p)，则()()1822201=-f p C p p，∴()()()()()18171722220202118121110⎡'=---⎤⎣=-⎦-f p C p p p p C p p p，令f′(p)=0，得p=0.1，当p∈(0，0.1)时，f′(p)＞0，当p∈(0.1，1)时，f′(p)＜0，∴f(p)的最大值点p0=0.1.(2)现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以(1)中确定的p0作为p的值.已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用.(i)若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X，求EX. (ⅱ)以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？解析：(2)(i)由p=0.1，令Y表示余下的180件产品中的不合格品数，依题意知Y～B(180，0.1)，再由X=20×2+25Y，即X=40+25Y，能求出EX.(ii)如果对余下的产品作检验，由这一箱产品所需要的检验费为400元，EX=490＞400，从而应该对余下的产品进行检验.答案：(2)(i)由(1)知p=0.1，令Y表示余下的180件产品中的不合格品数，依题意知Y～B(180，0.1)，X=20×2+25Y，即X=40+25Y，∴EX=E(40+25Y)=40+25EY=40+25×180×0.1=490.(ii)如果对余下的产品作检验，由这一箱产品所需要的检验费为400元，∵EX=490＞400，∴应该对余下的产品进行检验.21.已知函数()1ln=-+f x x a xx.(1)讨论f(x)的单调性.解析：(1)求出函数的定义域和导数，利用函数单调性和导数之间的关系进行求解即可. 答案：(1)函数的定义域为(0，+∞)，函数的导数()222111-+'=--+=-a x axf xx x x，设g(x)=x2-ax+1，当a≤0时，g(x)＞0恒成立，即f′(x)＜0恒成立，此时函数f(x)在(0，+∞)上是减函数，当a＞0时，判别式△=a2-4，①当0＜a≤2时，△≤0，即g(x)＞0，即f′(x)＜0恒成立，此时函数f(x)在(0，+∞)上是减函数，②当a＞2时，x，f′(x)，f(x)的变化如下表：综上当a ≤2时，f(x)在(0，+∞)上是减函数，当a ＞2时，在(0，24--a a )，和(24+-a a ，+∞)上是减函数， 则(24--a a ，24+-a a )上是增函数.(2)若f(x)存在两个极值点x 1，x 2，证明：()()12122---＜f x f x a x x .解析：(2)将不等式进行等价转化，构造新函数，研究函数的单调性和最值即可得到结论.答案：(2)由(1)知a ＞2，0＜x 1＜1＜x 2，x 1x 2=1，则()()()()()()12211221121211ln ln 2ln ln ⎛⎫-=-++-=-+- ⎪⎝⎭f x f x x x a x x x x a x x x x ， 则()()()12121122ln ln 22---=-+--＜f x f x a x x a x x x x ，则问题转为证明2211ln ln --x x x x ＜1即可，即证明lnx 1-lnx 2＞x 1-x 2，即证2lnx 1＞x 1-11x 在(0，1)上恒成立，设h(x)=2lnx-x+1x ，(0＜x ＜1)，其中h(1)=0，求导得()()222221212110--+'=--=-=-＜x x x h x x x x x ，则h(x)在(0，1)上单调递减，∴h(x)＞h(1)，即2lnx-x+1x ＞0，故2lnx＞x-1 x，则()()12122---＜f x f xax x成立.(二)选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程](10分)22.在直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为y=k|x|+2.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2+2ρcosθ-3=0.(1)求C2的直角坐标方程.解析：(1)直接利用转换关系，把参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进行转化.答案：(1)曲线C2的极坐标方程为ρ2+2ρcosθ-3=0.转换为直角坐标方程为：x2+y2+2x-3=0，转换为标准式为：(x+1)2+y2=4.(2)若C1与C2有且仅有三个公共点，求C1的方程.解析：(2)利用直线在坐标系中的位置，再利用点到直线的距离公式的应用求出结果.答案：(2)由于曲线C1的方程为y=k|x|+2，则：该直线关于y轴对称，且恒过定点(0，2). 由于该直线与曲线C2的极坐标有且仅有三个公共点.所以：必有一直线相切，一直线相交.则：圆心到直线y=kx+2的距离等于半径2.2=，解得：k=43-或0，(0舍去)故C1的方程为：y=43-|x|+2.[选修4-5：不等式选讲](10分)23.已知f(x)=|x+1|-|ax-1|.(1)当a=1时，求不等式f(x)＞1的解集.解析：(1)去绝对值，化为分段函数，即可求出不等式的解集.答案：(1)当a=1时，f(x)=|x+1|-|x-1|=21211 21⎧⎪-≤≤⎨⎪--⎩，＞，，＜xx xx，由f(x)＞1，∴2111⎧⎨-≤≤⎩＞xx或211⎧⎨⎩＞＞x，解得x＞1 2，故不等式f(x)＞1的解集为(12，+∞).(2)若x∈(0，1)时不等式f(x)＞x成立，求a的取值范围.解析：(2)当x∈(0，1)时不等式f(x)＞x成立，转化为即|ax-1|＜1，即0＜ax＜2，转化为a＜2x，且a＞0，即可求出a的范围.答案：(2)当x∈(0，1)时不等式f(x)＞x成立，∴|x+1|-|ax-1|-x＞0，即x+1-|ax-1|-x＞0，即|ax-1|＜1，∴-1＜ax-1＜1，∴0＜ax＜2，∵x∈(0，1)，∴a＞0，∴0＜x＜2 a，∴a＜2 x，∵2x＞2，∴0＜a≤2，故a的取值范围为(0，2].。
2020年全国卷数学(理科)高考试题及答案
2020年全国卷数学(理科)高考试题及答案2020年普通高等学校招生全国统一考试-理科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若 $z=1+i$，则 $z^2-2z=$A。
0B。
1C。
2D。
22.设集合 $A=\{x|x^2-4\leq 0\}$，$B=\{x|x^2+ax\leq 0\}$，且 $AB=\{x|-2\leq x\leq 1\}$，则 $a=$A。
$-4$B。
$-2$C。
2D。
43.埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为A。
$\frac{5-\sqrt{5}}{4}$B。
$\frac{5+\sqrt{5}}{4}$C。
$\frac{5-\sqrt{5}}{2}$D。
$\frac{5+\sqrt{5}}{2}$4.已知 $A$ 为抛物线 $C:y^2=2px(p>0)$ 上一点，点$A$ 到 $C$ 的焦点的距离为 $12$，到 $y$ 轴的距离为 $9$，则 $p=$A。
2B。
3C。
6D。
95.某校一个课外研究小组为研究某作物种子的发芽率$y$ 和温度 $x$（单位：℃）的关系，在 $20$ 个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据 $(x_i,y_i)(i=1,2.20)$ 得到下面的散点图：由此散点图，在 $10℃$ 至 $40℃$ 之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率 $y$ 和温度 $x$ 的回归方程类型的是A。
$y=a+bx$B。
$y=a+bx^2$C。
$y=a+be^x$D。
$y=a+b\ln x$6.函数 $f(x)=x^4-2x^3$ 的图像在点 $(1,f(1))$ 处的切线方程为A。
$y=-2x-1$B。
$y=-2x+1$C。
$y=2x-3$D。
2020年普通高等学校招生全国统一考试(新课标Ⅰ卷)联考 理科数学+答案+全解全析
D． 2 2
13． (x + 2 y −1)5 的展开式中 x2 y2 的系数为___________.
14．若
sin(α
+
π )
6
=
−
1 3
,α
∈ (0, π)
，则
sin(2α
+
π )
3
=
___________.
15．已知双曲线 E
：
x2 a2
−
y2
= 1(a
>
0)
的左、右焦点分别为 F1, F2
a,b
=
A． 2 5 5
B． − 2 5 5
C． − 5 5
D． 5 5
9．已知[x] 表示不超过
x
的最大整数，数列{an} 满足
an
=
[
(−1)
n −1 ] 2
n
2
，则数列{an} 的前
6030
C． 3660
理科数学 第 2 页（共 13 页）
D． −3660
10．将函数 f (x) =
如图所示，正方形 ABCD 所在平面与梯形 ABMN 所在平面垂直，MB∥AN， NA = AB = 2 ， BM = 4 ，
CN = 2 3 .
（1）证明：平面 DMN ⊥ 平面 BCN ； （2）求二面角 C − MN − D 的余弦值.
19．（本小题满分 12 分）
已知椭圆
x2 C： a2
+
y2 b2
不迟到的概率的范围； （2）在这 10 天中任取 2 天，记该学生早上从家出发到教室所花时间的差的绝对值为 Y ，求 Y 的分布列 和数学期望. 附：若随机变量 X 服从正态分布 N (µ,σ 2 ) ，则 P(µ − σ < X < µ + σ ) = 0.6826 ，P(µ − 2σ < X < µ + 2σ ) = 0.9544 ， P(µ − 3σ < X < µ + 3σ ) = 0.9974 . 21．（本小题满分 12 分） 已知函数 f (x) = cos(x −1) + x(1 − ln x) . （1）设 g(x) = f ′(x) ，求证： g(x) < 1 ；
2020年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题精品解析(山东卷)
2020年高考山东卷理数试题解析（精编版）本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共4页.满分150分.考试用时120分钟.考试结束后，将将本试卷和答题卡一并交回. 注意事项：1.答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号县区和科类填 写在答题卡和试卷规定的位置上.2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.答案卸载试卷上无效.3. 第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应 的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能 使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效.4.填空题直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 参考公式：如果事件,A B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+.第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的（1）【2020高考山东，理1】已知集合{}2430A x x x =-+<，{}24B x x =<<,则A B =I （ ）（A ）（1，3） （B ）（1，4） （C ）（2，3） （D ）（2，4） 【答案】C【解析】因为{}{}243013A x x x x x =-+<=<<， 所以{}{}{}132423A B x x x x x x =<<<<=<<I I .故选：C.【考点定位】1、一元二次不等式；2、集合的运算.【名师点睛】本题考查集合的概念与运算，利用解一元二次不等式的解法化简集合并求两集合的交集，本题属基础题，要求学生最基本的算运求解能力. （2）【2020高考山东，理2】若复数z 满足1zi i=-，其中i 为虚数为单位，则z =（ ）（A ）1i - （B ）1i + （C ）1i -- （D ）1i -+ 【答案】A【考点定位】复数的概念与运算.【名师点睛】本题考查复数的概念和运算，采用复数的乘法和共轭复数的概念进行化简求解. 本题属于基础题，注意运算的准确性.（3）【2020高考山东，理3】要得到函数sin 43y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象，只需要将函数sin 4y x =的图象（ ） （A ）向左平移12π个单位 （B ）向右平移12π个单位（C ）向左平移3π个单位 （D ）向右平移3π个单位 【答案】B【考点定位】三角函数的图象变换.【名师点睛】本题考查了三角函数的图象，重点考查学生对三角函数图象变换规律的理解与掌握，能否正确处理先周期变换后相位变换这种情况下图象的平移问题，反映学生对所学知识理解的深度.（4）【2020高考山东，理4】已知菱形ABCD 的边长为a ，60ABC ∠=o,则BD CD ⋅=u u u r u u u r（ ）（A ）232a - （B ）234a - （C ） 234a （D ） 232a【答案】D【考点定位】平面向量的线性运算与数量积.【名师点睛】本题考查了平面向量的基础知识，重点考查学生对平面向量的线性运算和数量积的理解与掌握，属基础题，要注意结合图形的性质，灵活运用向量的运算解决问题. （5）【2020高考山东，理5】不等式152x x ---<的解集是（ ）（A ）（-，4） （B ）（-，1）（C ）（1，4） （D ）（1，5） 【答案】A【考点定位】含绝对值的不等式的解法.【名师点睛】本题考查了含绝对值的不等式的解法，重点考查学生利用绝对值的意义将含绝对值的不等式转化为不含绝对值的不等式（组）从而求解的能力，本题属中档题.（6）【2020高考山东，理6】已知,x y 满足约束条件020x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，若z ax y =+的最大值为4，则a = （ ）（A ）3 （B ）2 （C ）-2 （D ）-3 【答案】B【解析】不等式组020x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩在直角坐标系中所表示的平面区域如下图中的阴影部分所示，若z ax y =+的最大值为4，则最优解可能为1,1x y == 或2,0x y == ，经检验，2,0x y ==是最优解，此时2a = ；1,1x y ==不是最优解.故选B. 【考点定位】简单的线性规划问题.【名师点睛】本题考查了简单的线性规划问题，通过确定参数a 的值，考查学生对线性规划的方法理解的深度以及应用的灵活性，意在考查学生利用线性规划的知识分析解决问题的能力. （7）【2020高考山东，理7】在梯形ABCD 中，2ABC π∠=，//,222AD BC BC AD AB === .将梯形ABCD 绕AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（ ） （A ）23π （B ）43π （C ）53π（D ）2π 【答案】C【考点定位】1、空间几何体的结构特征；2、空间几何体的体积.【名师点睛】本题考查了空间几何体的结构特征及空间几何体的体积的计算，重点考查了圆柱、圆锥的结构特征和体积的计算，体现了对学生空间想象能力以及基本运算能力的考查，此题属中档题.（8）【2020高考山东，理8】已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布()20,3N ，从中随机取一件，其长度误差落在区间（3,6）内的概率为（ ） （附：若随机变量ξ服从正态分布()2,Nμσ ，则()68.26%P μσξμσ-<<+= ，()2295.44%P μσξμσ-<<+=。
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2020高考真题分类汇编：统计
1.【2020高考真题上海理17】设443211010≤<<<≤x x x x ，5
510=x ，随机变量1ξ取值
5
4321x x x x x 、、、、的概率均为
2
.0，随机变量
2
ξ取值
222221
554433221x x x x x x x x x x +++++、、、、的概率也均为2.0，若记21ξξD D 、分别为21ξξ、的方差，则（ ）
A ．21ξξD D >
B ．21ξξD D =
C ．21ξξ
D D < D ．1ξD 与2ξD 的大小关系与4321x x x x 、、、的取值有关
【答案】A
【解析】由题意可知21ξξE E =，又由题意可知，1ξ的波动性较大，从而有21ξξD D >. 注意：本题也可利用特殊值法。
2.【2020高考真题陕西理6】从甲乙两个城市分别随机抽取16台自动售货机，对其销售额进行统计，统计数据用茎叶图表示（如图所示），设甲乙两组数据的平均数分别为x 甲，x 乙，中位数分别为m 甲，m 乙，则（ ） A. x x <甲乙，m 甲>m 乙 B. x x <甲乙，m 甲<m 乙 C. x x >甲乙，m 甲>m 乙 D. x x >甲乙，m 甲<m 乙 【答案】B.
【解析】根据平均数的概念易计算出乙甲x x <，又2022218=+=
甲m ，292
31
27=+=乙m 故选B.
3.【2020高考真题山东理4】采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1,2，…，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9.抽到的32人中，编号落入区间[]1,450的人做问卷A ，编号落入区间[]451,750的人做问卷B ，其余的人做问卷C .则抽到的人中，做问卷B 的人数为
（A ）7 （B ） 9 （C ） 10 （D ）15 【答案】C
【解析】从960中用系统抽样抽取32人，则每30人抽取一人，因为第一组号码为9，则第二组为39，公差为30.所以通项为2130)1(309-=-+=n n a n ，由7502130451≤-≤n ，即30
21
25302215
≤≤n ，所以25,17,16 =n ，共有1011625=+-人，选C. 4.【2020高考真题江西理9】样本（12,,,n x x x ）的平均数为x ，样本（12,,
m y y y ）的平
均数为()y x y ≠，若样本（12,,,n x x x ，12,,m y y y ）的平均数(1)z ax a y =+-，其中
1
02
α<<
，则n,m 的大小关系为 A ．n m < B ．n m > C ．n m = D ．不能确定 【答案】A
【解析】由题意知样本),,,(11m n y y x x 的平均数为y n
m m
x n m n n m y m x n z +++=++=，
又y x z )1(αα-+=，即n m m n m n +=-+=
αα1,。
因为210<<α，所以2
1
0<+<n m n ，
即n m n +<2，所以m n <，选A.
5.【2020高考真题湖南理4】设某大学的女生体重y （单位：kg ）与身高x （单位：cm ）具有线性相关关系，根据一组样本数据（x i ，y i ）（i=1，2，…，n ），用最小二乘法建立的回归方程为y =0.85x-85.71，则下列结论中不正确的是 A.y 与x 具有正的线性相关关系 B.回归直线过样本点的中心（x ，y ）
C.若该大学某女生身高增加1cm ，则其体重约增加0.85kg
D.若该大学某女生身高为170cm ，则可断定其体重比为58.79kg 【答案】D
【解析】由回归方程为y =0.85x-85.71知y 随x 的增大而增大，所以y 与x 具有正的线性相
关关系，由最小二乘法建立的回归方程得过程知ˆ()y
bx a bx y bx a y bx =+=+-=-，所以回归直线过样本点的中心（x ，y ），利用回归方程可以预测估计总体，所以D 不正确. 【点评】本题组要考查两个变量间的相关性、最小二乘法及正相关、负相关的概念，并且是
找不正确的答案，易错.
6.【2020高考真题安徽理5】甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条形统计图如图所示，则
()A 甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数
()B 甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数 ()C 甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差 ()D 甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差
【答案】C
【命题立意】本题考查统计学中的数字特征与统计图。
【解析】11
(45678)6,(5369)655x x =
++++==⨯++=乙甲， 甲的成绩的方差为221(2212)25⨯+⨯=，乙的成绩的方差为22
1(1331) 2.45
⨯+⨯=．
7.【2020高考真题天津理9】某地区有小学150所，中学75所，大学25所. 现采用分层抽
样的方法从这些学校中抽取30所学校对学生进行视力调查，应从小学中抽取_________所学校，中学中抽取________所学校. 【答案】18，9
【解析】共有学校2502575150=++所，抽取30所，所以从小学抽取18150250
30
=⨯所，从中学抽取
975250
30
=⨯所。
8.【2020高考江苏2】（5分）某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为334::，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二年级抽取 ▲ 名学生． 【答案】15。
【考点】分层抽样。
【解析】分层抽样又称分类抽样或类型抽样。
将总体划分为若干个同质层，再在各层内随机抽样或机械抽样，分层抽样的特点是将科学分组法与抽样法结合在一起，分组减小了各抽样层变异性的影响，抽样保证了所抽取的样本具有足够的代表性。
因此，由
3
50=15334
⨯
++知应从高二年级抽取15名学生。
9.【2020高考真题辽宁理19】(本小题满分12分)
电视传媒公司为了了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查。
下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图；
将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”。
(Ⅰ)根据已知条件完成下面的22⨯列联表，并据此资料你是否认为“体育迷”与性别 有关？
(Ⅱ)将上述调查所得到的频率视为概率。
现在从该地区大量电视观众中，采用随机抽 样方法每次抽取1名观众，抽取3次，记被抽取的3名观众中的“体育迷”人数为X 。
若每次抽取的结果是相互独立的，求X 的分布列，期望()E X 和方差()D X 。
附：22
112212211212
(),
n n n n n n n n n χ++++-=
【答案】
【点评】本题主要考查统计中的频率分布直方图、独立性检验、离散型随机变量的分布列，期望()E X 和方差()D X ，考查分析解决问题的能力、运算求解能力，难度适中。
准确读取频率分布直方图中的数据是解题的关键。