直线的两点式方程教案(定稿)
直线的两点式方程教案
直线的两点式方程教案一、知识点概述在平面直角坐标系中，直线可以用不同的方程式来表示，其中最常见的是点斜式和一般式。
而直线的两点式方程则是另一种常见的表示方式，它可以通过给定直线上的两个点来确定直线的方程式。
直线的两点式方程的基本形式为：y−y1 x−x1=y2−y1 x2−x1其中(x1,y1)和(x2,y2)分别为直线上的两个点。
二、教学目标1.理解直线的两点式方程的概念和基本形式；2.掌握如何根据给定的两个点确定直线的两点式方程；3.能够应用直线的两点式方程解决实际问题。
三、教学重点1.直线的两点式方程的概念和基本形式；2.如何根据给定的两个点确定直线的两点式方程。
四、教学难点如何应用直线的两点式方程解决实际问题。
五、教学过程1. 导入教师可以通过引入实际问题，如两个城市之间的距离、两个物体之间的运动轨迹等，来引出直线的两点式方程的概念和应用。
2. 讲解1.直线的两点式方程的概念和基本形式直线的两点式方程是通过直线上的两个点来确定直线的方程式。
其基本形式为：y−y1 x−x1=y2−y1 x2−x1其中(x1,y1)和(x2,y2)分别为直线上的两个点。
2.如何根据给定的两个点确定直线的两点式方程以两个点(1,2)和(3,4)为例，我们可以按照以下步骤确定直线的两点式方程：–计算斜率k：k=y2−y1x2−x1=4−23−1=1–选择其中一个点，代入斜率和基本形式中，解出截距b：y−2x−1=1⇒y=x−1因此，直线的两点式方程为y=x−1。
3. 练习让学生自行计算以下两个点的直线的两点式方程：1.(2,3)和(4,5)2.(−1,0)和(3,4)4. 应用让学生应用直线的两点式方程解决以下实际问题：1.两个城市之间的距离为500公里，汽车以每小时80公里的速度行驶，问需要多长时间才能到达目的地？2.一个物体从(0,0)出发，以每秒2米的速度向上运动，问5秒后它的位置坐标是多少？5. 总结教师可以让学生总结直线的两点式方程的概念和基本形式，以及如何根据给定的两个点确定直线的两点式方程。
直线方程两点式教案
直线方程两点式教案教案标题：直线方程两点式教案教学目标：1. 理解直线方程的两点式表示法；2. 能够根据给定的两点，确定直线的方程；3. 能够利用直线方程两点式解决与直线相关的问题。
教学准备：1. 教师准备：教师需要准备黑板、粉笔或白板、马克笔等教学工具；2. 学生准备：学生需要准备纸和笔。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 引入直线方程的概念，简要介绍直线方程的两点式表示法，并与一般式和斜截式进行对比。
二、讲解直线方程的两点式表示法（15分钟）1. 通过示例，详细讲解直线方程的两点式表示法的定义和推导过程；2. 强调两点式表示法的优点，即可以直接通过给定的两点确定直线方程，无需进行其他转换。
三、练习与讨论（20分钟）1. 教师提供一些简单的两点式直线方程问题，让学生尝试解答，并进行讨论；2. 学生根据给定的两点，确定直线方程，并求解与直线相关的问题。
四、拓展与应用（15分钟）1. 提供一些较为复杂的两点式直线方程问题，让学生进行拓展与应用；2. 学生根据实际问题，确定直线方程，并解决与直线相关的实际问题。
五、总结与评价（5分钟）1. 总结直线方程的两点式表示法的要点和应用；2. 对学生在课堂上的表现进行评价。
教学延伸：1. 学生可以通过使用计算机软件或在线工具，进一步练习和巩固直线方程的两点式表示法；2. 学生可以尝试寻找更多与直线方程相关的实际问题，并进行解答。
教学反思：本节课通过讲解直线方程的两点式表示法，引导学生理解和掌握该表示法的定义、推导过程和应用方法。
通过练习和讨论，学生能够熟练运用两点式表示法确定直线方程，并解决与直线相关的问题。
在教学过程中，可以适当增加一些拓展与应用的内容，提高学生的思维能力和问题解决能力。
同时，教师要及时给予学生反馈和指导，帮助他们克服困难，提高学习效果。
直线的两点式方程优秀教案
直线的两点式方程优秀教案直线的两点式方程一、教学目标1．掌握直线方程的两点式和截距式以及求法；2．理解直线方程点斜式、斜截式、两点式和截距式四种形式之间的联系和转化；3．通过直线方程多种形式的学习，让学生体会对统一的辩证唯物主义观点．二、教学重点：直线方程两点式的推导和应用；教学难点：直线方程的几种形式之间的等价转化．三、教学用具：投影仪或多媒体四、教学过程：（一）导入新课（教师活动）复习旧知，组织板演，并作小结．［复习］直线方程的点斜式及推导过程．（提问）［练习］应用直线方程的点斜式，求经过下列两点的直线方程：（1）)3,6(),1,2(-B A（2）)0,5(),5,0(B A（3）)0,0(),5,4(B A --（4）),(),,(2211y x B y x A （其中21x x ≠）．（学生活动）其他同学笔答．［归纳］已知直线上两点求直线方程时，首先利用直线的斜率公式求出斜率k ，然后利用点斜式写出直线方程．其中第（4）小题的直线方程为：),(112121x x x x y y y y ---=- 这时可向学生提出：这个答案对我们有什么启示？能否将过两点的直线方程公式化？以此揭示、板书课题．设计意图：本环节从学生利用上节课学过的直线方程的点斜式，求过两已知点的直线方程出发，让学生“悟”出学习两点式的必要，同时也“悟”出两点式的推导方法，以此导入新课，目的在于为学生既加深学过知识的理解，又为学习新知识奠定良好的基础．（二）新课讲授【尝试探求，建立新知】（教师活动）组织探讨，并作分析．【探讨两点式】［问题1］由)(112121x x x x y y y y ---=-可以推导出121121x x x x y y y y --=--，这两者表示直线的范围是否相同？［分析］不同，后者21y y ≠，即不能表示倾斜角是0°的直线，显然后者范围缩小了，但后者这个方程的形式比较对称和美观，体现了数学美，同时也便于记忆及应用．所以采用后者作为公式，由于这个方程是由直线上两点确定的，可以把这种直线方程取一个什么名字？（让学生作合情分析）由此得出：当2121,y y x x ≠≠时，经过点),(),,(222111y x P y x P 的直线方程可以写成：由于这个方程是由直线上两点确定的，所以叫做直线方程的两点式．［问题2］哪些直线不能用此公式表示？（倾斜角是0°或90°的直线不能用两点式公式表示）［问题3］若要包含倾斜角是0°或90°的直线，应把两点式变成什么形式？（应变为))(())((121121y y x x x x y y --=--的形式））［问题4］我们推导两点式是通过点斜式推导出来的，还有没有其它的途径来进行推导？［分析］还可以利用同一直线上任何两点确定的斜率相等进行推导．设),(y x P 是直线l 上不同于),(),,(222111y x P y x P 的任意一点，由211P P PP k k =即得当21y y ≠时，,121211x x y y x x y y --=--即.121121x x x x y y y y --=-- 所以，公式中的)(),(2211y x y x 、、对一条具体直线而言，可以用直线上任意两个不同的点代替．［练习］求过下列两点的直线的两点式方程，再化成斜截式方程：（1）)3,0(),1,2(-B A（2）)0,0(),5,4(B A --（3）)0,5(),5,0(B A（4）)0,0()0,(),0,(≠≠b a b B a A 设计意图：为更好地揭示直线方程的两点式公式的内涵，加深学生对公式的理解，本环节通过创设不同角度的四个问题，供学生思考、分析，让学生体会数学的“对称美”，同时又培养了学生严密的逻辑思维能力，渗透了分类讨论的数学思想．另外，通过学生完成练习，既巩固两点式的应用，又较自然地引导出下一环节讲解的“截距式”．【推出截距式】在练习（4）中，得到过点),0(),0,(b B a A 的直线方程为b x ab y +-=，将其变形成为：若直线与x 轴交于点（a ，0），定义a 为直线在x 轴上的截距，则以上直线方程是由直线在x 轴和y 轴上的截距确定的，所以叫做直线方程的截距式．用截距式画直线比较方便，因为可以直接确定直线与x 轴和y 轴的交点的坐标．［问题1］截距式中，a ，b 表示截距，是不是表示直线与坐标轴的两个交点到原点的距离？（答：不是，应是直线与坐标轴交点的横坐标和纵坐标，故a ，b 取值为任何非零实数，而不仅仅为正数．）［问题2］有没有截距式不能表示的直线？（答：有，当直线在x 轴或y 轴上的截距为零的时候．截距式不能表示过原点以及与坐标轴平行的直线．故使用截距式表示直线方程时，应注意单独考虑这几种情形，分类讨论，防止遗漏．）［练习］2．说出下列直线的方程，并画出图形：（1）倾斜角为45°，在y 轴上的截距为0；（2）在工轴上的截距是－5，在y 轴上的截距是6；（3）在工轴上的截距是－3，与y 轴平行；（4）在y 轴上的截距是4，与x 轴平行。
2.2.2直线的两点式方程教学设计
2.2.2 直线的两点式方程教学设计一、教学目标1.理解直线的两点式方程的概念和意义；2.能够根据给定的两个点确定直线的两点式方程；3.掌握直线的两点式方程与线性函数的关系。
二、教学准备1.教师准备：课件、黑板、粉笔；2.学生准备：纸笔、直尺。
三、教学过程Step 1：引入教师通过示意图引入直线的两点式方程的概念，引导学生思考通过两个已知点来确定一条直线的方式。
提问学生：在平面直角坐标系中，如何用两个点来表示一条直线？Step 2：概念解释教师简要介绍直线的两点式方程的定义和表示方法。
直线的两点式方程是通过直线上的两个点P(x₁, y₁)和Q(x₂, y₂)来表示直线的方程。
可表示为：(x - x₁)(y₂ - y₁) = (y - y₁)(x₂ - x₁)其中，P(x₁, y₁)和Q(x₂, y₂)为直线上两个已知点，(x, y)为直线上任意一点的坐标。
Step 3：计算实例教师给出一个直线的两点坐标示例，并分步骤进行计算和演示。
比如，直线上两点坐标分别为P(2, 5)和Q(4, 9)。
教师先计算上式左边的乘积，再计算右边的乘积，最后得出直线的两点式方程为：(x - 2)(9 - 5) = (y - 5)(4 - 2)简化得出：2x - 4y + 2 = 0解释清楚每一步的计算过程和原理，引导学生逐步理解直线的两点式方程的推导过程。
Step 4：练习演练教师在黑板上给出几道直线的两点式方程计算题目，要求学生自行计算并填写答案。
提供足够的练习时间后，教师进行答案批改和讲解，对学生的错误进行指导和订正。
Step 5：小组合作将学生分为小组，要求每个小组自行找出两个点并计算出对应的直线的两点式方程。
鼓励学生之间进行讨论和合作，互相解答问题。
每个小组选择一个代表进行展示，教师对答案进行点评和讲解。
Step 6：拓展应用教师从日常生活中选取几个实际应用场景，引导学生根据给定的两个点，求出对应的直线的两点式方程，并解释该方程在这个场景中的意义和应用。
直线的两点式方程教案详案
直线的两点式方程教案详案一、教学目标1.理解直线的两点式方程的含义和基本形式；2.掌握利用直线上两点确定直线方程的方法；3.能够灵活运用两点式方程解决与直线相关的问题。
二、教学准备1.教师准备：–教学课件或板书工具；–直线模型或实物示范。
2.学生准备：–笔、纸、尺等基础学习工具。
三、教学过程1. 导入与引入通过示范直线模型或实物，并提问引导学生思考：•直线是什么？你见过哪些直线？•直线有什么特点？进一步引出直线的两点式方程的概念和作用。
2. 直线的两点式方程的定义解释直线的两点式方程的定义：•直线的两点式方程是用直线上的两个点的坐标表示直线的方程。
•一个直线的两点式方程唯一确定这条直线。
3. 直线的两点式方程的基本形式介绍直线的两点式方程的基本形式：$y - y_1 = \\frac{{y_2 - y_1}}{{x_2 - x_1}}(x - x_1)$解释各项符号的含义，如P1(x1,y1)和P2(x2,y2)分别为直线上的两个已知点。
4. 求直线的两点式方程的步骤•步骤1：已知直线上两个点的坐标，记为P1(x1,y1)和P2(x2,y2)；•步骤2：根据基本形式，代入已知点的坐标，得到直线的两点式方程；•步骤3：化简方程得到最简形式。
示范解题过程，让学生理解如何利用已知点求直线的两点式方程。
5. 实例练习提供若干道例题，让学生独立或小组合作完成，并进行讲解。
例题1：已知直线上两个点P1(2,3)和P2(−1,4)，求该直线的两点式方程。
例题2：已知直线上两个点P1(−3,1)和P2(5,−2)，求该直线的两点式方程。
例题3：已知直线上两个点P1(0,2)和P2(2,0)，求该直线的两点式方程。
6. 拓展应用让学生利用直线的两点式方程解决与直线相关的问题，如求直线与坐标轴的交点、直线在平面直角坐标系中的图像等。
7. 总结与评价回顾直线的两点式方程的概念和求解步骤，让学生自己总结和梳理。
评价学生的学习情况，鼓励解答问题，纠正错误。
直线的两点式方程教学设计
直线的两点式方程教学设计引言直线是数学中的重要概念，在几何学和代数学中都有广泛的应用。
其中，直线的两点式方程是描述直线的一种常用方式。
本文将介绍一个针对中学生设计的直线的两点式方程的教学设计。
目标与重点本教学设计的目标是让学生掌握直线的两点式方程的概念和计算方法。
重点包括：理解直线的两点式方程的含义，学会通过给定的两点计算直线的方程，能够绘制直线的图形。
教学过程步骤1：引入概念首先，老师可以通过提问的方式引入直线的概念，例如：“你们在生活中见过什么是直线？”学生可以回答道在地上的公路、笔直的杆子等。
然后，老师可以给出直线的定义：“直线是由无限多个点连成的，这些点之间没有弯曲和转折的路径。
”接下来，老师可以解释直线的两点式方程的概念：“直线的两点式方程是通过给定的两个点来唯一确定一条直线。
”步骤2：示例分析接着，老师可以通过一个示例来演示如何根据给定的两点计算直线的两点式方程。
示例可以选取两个坐标值整数较小的点，例如(1, 2)和(2, 3)。
老师可以解释如下：“我们通过两点(1, 2)和(2, 3)来计算直线的方程。
”然后，老师可以引导学生一步步进行计算和推导，最终得出直线的两点式方程的表达式。
步骤3：练习与训练在学生理解了直线的两点式方程的计算方法后，老师可以给学生一些练习题进行巩固和训练。
练习题可以包括给定两个点，要求计算直线的方程；或者给定直线的方程，要求找出两个点等。
通过解答这些练习题，学生可以加深对直线的两点式方程的理解和掌握。
步骤4：应用拓展在学生掌握了直线的两点式方程的基本概念和计算方法后，老师可以引导学生思考一些应用问题，例如：“如何根据直线的方程确定直线的斜率？”或者“如何根据两点的坐标确定直线的长度？”这些问题可以帮助学生将所学的知识应用到实际问题中去，提高他们的思维能力和问题解决能力。
步骤5：总结回顾在教学结束前，老师可以对整节课的内容进行总结回顾。
可以引导学生回答以下问题：“直线的两点式方程是什么？”、“如何根据给定的两点计算直线的两点式方程？”等等。
《直线的两点式方程》教案
《直线的两点式方程》教案教学目标1.知识与技能(1)理解直线方程的点斜式、斜截式的形式特点和适用范围； (2)能正确利用直线的点斜式、斜截式公式求直线方程； (3)体会直线的斜截式方程与一次函数的关系. 2.过程与方法在已知直角坐标系内确定一条直线的几何要素——直线上的两点的基础上，通过师生探讨，得出直线的两点式方程.3.情感态度与价值观(1)通过直线的点斜式方程向斜截式方程的过渡训练学生由一般到特殊的处理问题方法；通过直线的方程特征观察直线的位置特征，培养学生的数形结合能力．(2)让学生体会直线的斜截式方程与一次函数的关系，进一步培养学生数形结合的思想，渗透数学中普遍存在相互联系、相互转化等观点，使学生能用联系的观点看问题.教学重难点1.重点：直线的点斜式方程和斜截式方程的推导和应用.2.难点：能根据实际情况选择正确的直线方程，理解“截距”与“距离”的区别.教学设计一、温故知新1、直线的点斜式方程，过点000(,)P x y ，斜率为k 的直线方程为00()y y k x x -=-.2、已知直线上两点的斜率公式：111(,)p x y ，222(,)p x y ，12()x x ≠，过12,p p 的直线的斜率2121-=-y y k x x .二、探究新知1．探究：直线的两点式方程 问题一：利用点斜式解答如下问题：(1)已知直线l 经过两点12(1,2),(3,5)P P ，求直线l 的方程.(2)已知两点111222(,),(,)P x y P x y 其中1212(,)x x y y ≠≠，求通过这两点的直线方程. 设计意图：遵循由浅及深，由特殊到一般的认知规律。
使学生在已有的知识基础上获得新结论，达到温故知新的目的.问题1：问题(1)、(2)中直线的斜率分别是多少？ 设计意图：让学生明确研究思路，从直线的斜率入手问题2：应用点斜式方程00()y y k x x -=-求问题(1)、(2)的直线方程分别是什么？ 设计意图：让学生应用老知识解决新问题根据已知两点的坐标，先判断是否存在斜率，然后求出直线的斜率，从而可求出直线方程：(1)32(1)2y x -=- (2)211121()y y y y x x x x --=--归纳：经过两点111222(,),(,)P x y P x y 其中1212(,)x x y y ≠≠的直线方程为1112122121(,)y y x x x x y y y y x x --=≠≠--称该方程为直线的两点式方程设计意图：引出直线的两点式方程.问题二：若点111222(,),(,)P x y P x y 中有12x x =，或12y y =，此时这两点的直线方程是什么？设计意图：明确两点式的适用范围，会表示已知的两点不满足两点式时的直线方程. 说明：当12x x =时，直线与x 轴垂直，所以直线方程为：1x x =；当12y y =时，直线与y 轴垂直，直线方程为：1y y =应用1例1：课本P 96例3变式训练：已知菱形的两条对角线长分别为8和6，并且分别位于x 轴和y 轴上，求菱形各边所在直线的方程.答案：1,1,1,143434343x y x y x y x y-+=--=-=+= 设计意图：使学生学会用两点式求直线方程；理解截距式源于两点式，是两点式的特殊情形.练习：已知△ABC 的三个顶点为A (2，8)B (-4，0)，C (6，0). 求:(1)直线BC 的方程；(2)经过点B 且将△ABC 的面积平分的直线方程. 解：（1）∵A （2，8），B （-4，0）， 由斜率公式求得直线AB 的斜率k=804243-=+． （2）设BC 边上的中点为M ，则由B （-4，0），C （6，0），可得M （1，0），∴BC 边上的中线AM 的方程为018022Y X --=--． 即8x-y-8=0．2．探究：直线的截距式方程问题3：已知直线l 与x 轴的交点为A (a ，0)，与y 轴的交点为B (0，b )，其中0,0a b ≠≠，求直线l 的方程.设计意图：引入截距式方程，让学生懂得截距式方程源于两点式方程，是两点式方程的一种特殊情形.归纳：与x 轴的交点为A (a ，0)，与y 轴的交点为B (0，b )，其中0,0a b ≠≠的直线l 方程为：1x ya b+= 追问1：直线在x 轴上的截距是多少？在y 轴上的截距是多少？ 设计意图：深入理解和掌握截距式方程的结构特点追问2：截距式方程能否表示过原点的直线和与坐标轴平行的直线？ 设计意图：明确截距式方程的使用范围. 应用2例2：课本P 96例4练习：求过点1(2,3)P ，且在两坐标轴上截距相等的直线方程. 答案：320,50x y x y -=+-=. 五、课堂小结：1.经过两点111222(,),(,)P x y P x y (其中1x x ≠，12y y ≠)的直线l 的方程为_______________________.2.若111222(,),(,)P x y P x y (其中1212,x x y y =≠)的直线l 的方程为__________________.3.若111222(,),(,)P x y P x y (其中1212,y y x x =≠)的直线l 的方程为___________________.4.若直线l 与x 轴的交点为(,0)A a ，与y 轴的交点为(0,)B b (其中0≠a ，0≠b )，则直线l 的方程为__________________________________.5.两点式与截距式方程不能表示__________________________的直线.6.若111222(,),(,)P x y P x y ，则P 1，P 2的中点P 的坐标为_______________________.7.直线方程的各种形式总结为如下表格：P97 练习。
直线的两点式方程教学设计
教学设计 课程基本信息学科数学 年级 高二 学期 秋季 课题 2.2.2直线的两点式方程教学目标1.经历用两点坐标计算直线斜率，并套用直线点斜式方程得到直线的两点式方程的过程，知道直线的两点式方程是点斜式方程的变式，发展学生的直观想象及逻辑推理核心素养.2.能准确的写出直线的两点式方程，能通过对两点的特殊化，得到直线的截距式方程，能完成直线两点式方程与截距式方程的相互转化，发展学生的逻辑推理及数学运算核心素养.3.对两点式及截距式的适用条件有清晰的认识，能够从直线方程的代数特征解读出直线的几何特(定点、截距等)，进一步体会坐标法.教学内容教学重点：直线的两点式方程、截距式方程.教学难点：1. 两点式、截距式的适用范围.2. 截距与距离的区别.教学过程一、复习回顾过点00()P x y ，,斜率为k 的直线l 的点斜式方程为00()y y k x x -=-．过点(0,b ),斜率为k 的直线l 的点斜式方程为y kx b =+.斜率不存在时直线l 的方程为0 二、新知探究利用点斜式解决如下问题：问题1：已知直线l 上的两点A(2,1)和B(5,2).(1)求直线l 的斜率；(2)求直线l 的方程.问题2：我们知道“两点确定一条直线”，这条直线的方程可以由这两个点的坐标来表示.如果已知直线l 经过两点111(,)P x y ,211(,)Px y ,你能根据所学知识与方法，求出由这两点坐标确定的直线方程吗？结论：(1)把过任意两个不同的点111(,)P x y ,211(,)Px y 的直线方程 =0①称为直线的两点式方程，简称两点式;(2)两点式方程可以表示平面内每一条直线.教师追问：方程①是否还有其他形式?()1121212121,y y x x x x y y y y x x --=≠≠--③ 师生共同讨论：21=x x 或21=y y 时怎么办？④ 师生共同讨论：时怎么办？问题3：如果已知直线l 上的两点分别落在x 轴、y 轴上，即已知点(,0)A a ,(0,)B b ，其中0,0a b ≠≠，你能求出的直线l 方程吗？结论：(1)直线与x 轴的交点的横坐标是,叫做直线在x 轴上的截距,是直线在y 轴上的截距;(2)方程1x y a b +=是由直线在x 轴和y 轴的截距确定,所以叫做直线的截距式方程,简称截距式;(3)截距式方程是两点式的特殊情形.问题4：你能否选择适当的方法,求出过点和B(0,2)的直线的方程?例题 如图，已知三角形的三个顶点为A(-3,2), B(5,-4), C(0,-2),(1)求BC 边所在直线的方程；(2)求BC 边上的中线所在直线的方程四、课堂小结你能说说本节课收获了哪些知识,体会了哪些数学思想和方法吗？五、作业布置1.满足下列条件的直线的方程:(1)经过A(5,-2),B(-3,6);(2)经过点(2,3),且在两坐标轴上的截距相等.2.已知平行四边形ABCD 中三个顶点的坐标为A(0,0),B(3,0),C(5,3),求它的对角线AC,BD 所在直线的方程.3.探究直线方程的其他形式.。
直线的两点式方程-高中数学获奖教案
2.2.2直线的两点式方程(人教A 版普通高中教科书数学选择性必修第一册第二章)一、教学目标1．探索并掌握直线的两点式方程；2．根据直线位置的不同几何要素，确定直线方程的不同形式．二、教学重难点重点：直线的两点式和截距式方程．难点：直线的两点式方程的建立．三、教学过程1．直线的两点式方程的建立1.1温故知新，引发思考我们知道确定直线位置的基本几何要素有两类：（1）直线上一点和方向（斜率）；（2）两点确定一条直线．我们已经探索了过点，斜率为的直线的点斜式方程为． 特例：直线的斜截式方程．问题1：（1）已知直线经过两点，（其中，），因为两点确定一条直线，所以直线是唯一确定的．即是说，对于直线上的任意一点，它的坐标与点，的坐标之间具有唯一确定的关系．这一关系是什么？【预设答案】方案一：用点，的坐标可以唯一确定直线的方程，点的坐标是方程的解；方案二：由点与点，三点中任意两点确定的直线的斜率相等．【设计意图】通过方案一可以引导学生理解“直线上任意点的坐标都是直线方程的解”，从而领悟到“表示直线上任意点的坐标满足的关系，也就是确定直线的方程”．方案二可以直线建立点的坐标满足的关系式，两种方案中斜率均处于核心地位．1.2尝试探究，建立方程00()P x y ，k l 00()y y k x x -=-l y kx b =+l 111()P x y ，222()P x y ，12x x ≠12y y ≠l l ()P x y ，1P 2P 1P 2P l P P 1P 2P PP探究活动：以小组为单位在方案一和方案二中选取一种方案探究点的坐标与点，的坐标之间的关系，然后以组为单位汇报探究的过程和分享探究成果．【活动预设】让学生自主设计探究思路，规划探究步骤，经历数学探究过程，规范探究成果，从而积累数学活动经验．【设计意图】不同的方案将得到不果的探究成果，根据所得关系式的不同，进而引导学生思考，如何统一结论，规范探究成果．问题2：如何用统一的形式表示所得结果，谈谈你的想法？【活动预设】（1）从得到的关系式的形式上，分析其异同点；（2）化异为同，使得结果的结构特点更明确，形式更美．【设计意图】引导学生对所得成果，进一步分析，找出其区别与联系，并在此基础上进行优化，积累数学活动经验．问题3：在探究过程中，你认为关键步骤是什么，谈谈你的体会？【活动预设】引导学生发现两种方案中，斜率均处于核心地位．斜率公式是联系直线上任意点与两已知点桥梁，是化“两点”为“一点和方向”的关键，体会所得直线方程与点斜式方程的关系．【设计意图】引导学生体会斜率在建立直线方程的过程中处于核心地位，以斜率公式为桥梁，将问题“两点确定一条直线”转化为“一点和斜率唯一确定一条直线”，体会直线的两点式方程是点斜式方程的一个“变式”或推论．课堂新授：已知直线经过两点，，其中，．则直线的方程为 ． 我们把它叫做直线的两点式方程，简称两点式（two-point form ）．问题4：请分析直线的两点式方程的结构特点、适用条件，以及它与直线的点斜式方程的关系．【预设答案】（1）直线方程的结构特点：○1运算：两边均是分式形式；○2数量：左边均是纵坐标（），右边均是横坐标（）；○3下标：上下、左右下标序号一致；○4两边分子之比P 1P 2P l 111()P x y ，222()P x y ，12x x ≠12y y ≠112121y y x x y y x x --=--y x与分母之比相等，且都等于直线的斜率．所以直线的两点式方程具有结构美、对称美、有序美、运算美等特点．（2）适用条件，由，的条件，可知当直线与坐标轴不垂直（或平行）时，才可以写出直线的两点式方程．（3）直线的两点式方程可以看作是直线的点斜式方程的“变式”或推论．【设计意图】引导学生认识直线的两点式方程的本质与结构特点，了解它与直线的点斜式方程之间的关系，发现感受数学之美．1.3操作确认，创新应用问题5：直线方程的斜截式是点斜式的特例，类比探索直线的两点式方程的特例，并对你的结果进行优化和评析．【预设答案】当直线的两点是它分别与轴，轴的交点时，两点式可改写成更简洁美观的形式（截距式）．【设计意图】引导学生根据已有活动经验，利用特殊化的方法，类比斜截式的探索过程，自主探索直线的斜截式方程，对方程进行结构优化，并对方程结构特点进行评析，感受方程之美．培养学生的探索意识和创新精神，提升数学学科核心素养．课堂新授：已知直线与轴的交点为，与轴的交点为，其中，．则直线的方程为 ． 我们把它叫做直线的截距式方程，简称截距式（intercept form ）．其中是直线在轴上的截距，类似的叫做直线在轴上的截距．1.4典型例题，灵活应用例4 已知的三个顶点，，，求边所在直线的方程，以及这条边上的中线所在直线的方程．【思路分析】（1）直接写出所在直线的两点式方程，然后化简；（2）先确定边中点的坐标，然后写出中线所在直线的两点式方程，化简．【追问】你是否还有其他方案求解？12x x ≠12y y ≠x y l x (0)A a ，y (0)B b ，0a ≠0b ≠1x y a b+=b y a x ABC △(50)A -，(33)B -，(02)C ，BC AM BC BC M AMBC AM 【预设答案】先求斜率，再写出所在直线的斜截式方程，中线所在直线的点斜式方程，然后化简．【设计意图】例4主要是两点式方程的综合应用．既需要根据两点的坐标建立两点式方程，也需要确定线段中点坐标，由边的中点与对应顶点坐标建立三角形中线的方程．引导学生理解和感受用坐标和方程量化点和直线，从而把图形的几何特征转化为代数表达．AC变式若求边所在直线的方程，你能设计几种不同的方案？【预设答案】（1）斜截式；（2）两点式；（3）截距式．【设计意图】引导学生理解根据确定直线的几何要素不同可以建立不同形式的直线方程，但这些方程形异而质同，从而为进一步学习直线方程的一般式做铺垫．1.5反思总结，理解升华思考：直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式方程，各有什么几何意义？它们本质是什么？它们之间存在怎样的联系？谈谈你的理解和认识．【预设答案】（1）直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式方程，都具有明确的几何意义，都涉及确定直线位置的两个基本要素：两点或一点与斜率；（2）它们形式不同，但本质一致，都是对直线（几何图形）的定量（代数）刻画，并且在对直线的定量刻画中，斜率均处于核心地位；（3）点斜式方程是所有形式方程的基础，其他所有形式的方程都是点斜式方程在一定条件下的变式或推论；（4）所有不同形式的直线方程都有不同的适用条件，且都不能刻画斜率不存在的直线．【设计意图】梳理直线方程的不同形式，理解其区别与内在联系，认识到所有这些形式的方程在刻画直线时的局限性，从而为进一步学习直线的一般式方程做好必要的铺垫；在此基础上加深学生对直线方程本质的理解，初步加深对解析法研究几何问题的认识．1.5课堂练习，自我检测教材P64 练习四、课后作业教材P67 习题2.2 第1、4、9题。
直线的两点式方程教学设计
课题名称：数学选择性必修第1册第2章2.2.2直线的两点式方程教学方法：“一体二化三导四学”教学模式和自主学习模式.（一体二化三导四学：以学生为主体，教学内容问题化，教学活动探究化，引导，指导，督导，自主学习，探究学习，合作学习，体验学习）教学目标：1.了解“直线的两点式方程”的推导过程；；2.会根据题目所给条件求直线的两点式方程；3.体会数形结合，分类讨论, 特殊到一般等数学思想.教学重点、难点：教学重点： 1.直线的两点式方程；教学难点：会根据题目所给条件求直线的两点式方程.教学过程【教学过程与设计】整个教学过程是由问题链驱动的，共分为五个环节：创设情境启迪思维深入探究获得新知课堂实练巩固提高变式训练提炼方法小结反思【教学程序与设计意图】（一）知识回顾——启迪思维问题一：我们知道：已知一点和倾斜程度（斜率）可以确定唯一一条直线.已知两点也可确定唯一一条直线.例如已知直线上的两点求直线的方程.已知直线上不同两点，如何确定这条直线方程呢？【设计意图】复习引入，既回顾所学的知识，又为新的知识埋下伏笔。
抓住了学生的注意力，把学生的思维引到直线的方程上来，进入第二环节.（二）深入探究——获得新知新知讲解：问题2：已知直线上的两点求直线的方程.本题的实质是求过平面直角坐标系中横坐标不相同的两点的直线方程.那么这种方法可以推广到任意两点吗？已知两点P1(x1，y1)、P2(x2，y2)，直线l的方程如何表示？此式适用条件：直线与两坐标轴不平行且不重合. 即当直线没有斜率或斜率为0时,不能用上式求它们的方程.（三）课堂实练——巩固提高I．直接应用内化新知例1：已知两点A(a，0)，B(0，b)，其中ab≠0，求直线的方程.直线l与x轴的交点(a，0)的横坐标称为直线l在x轴上的截距，此时直线在y轴上的截距为b.方程称为直线的截距式方程.【设计意图】这一环节首先让学生自主思考，然后小组合作交流探究，学生根据已有的知识探究新的知识获得成功的体验感的同时，又培养学生严谨的求学态度。
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《3.2.2直线的两点式方程》教案
教学目标：
1、掌握直线的两点式方程（直线方程的两点式）形式特点及适用范围；
2、会灵活运用直线的两点式方程（直线方程的两点式）解答相关问题. 教学重点：直线方程的两点式的推导及运用其解答相关问题. 教学难点：运用直线方程的截距式解决有关问题. 教学方法：讲授法、练习法. 教学过程： 一、情景再现
1.提问
前面我们已经学习了直线的哪几种方程形式？ 点斜式方程： 斜截式方程： 特殊情况下： 2.小练习 问题1:
过点(2,-3)，斜率是1的直线方程为 ； 问题2:
已知直线l 经过两点P1(1,2),P2(3,5),求直线l 方程. 设计意图：
让学生熟练掌握使用点斜式的两个条件，使学生熟练掌握运用两点的坐标和直线的点斜式方程解题的能力. 二、新知探究
思考1、已知两点()112,P x x ，()222,P x y 其中()1212,x x y y ≠≠，求通过这两点的直线方程.
解：1、当21x x ≠时，直线斜率存在，且斜率21
21
y y k x x -=-，所以根据直线的点斜式方
程()00y y k x x -=-得：
()()21
11121
y y y y k x x x x x x --=-=
--
即
设计意图：
教师引导学生：根据已有的知识，要求直线方程，应知道什么条件？能不能把问题转化为已经解决的问题呢？在此基础上，学生根据已知两点的坐标，先判断是否存在斜率，然后求出直线的斜率，可求出直线方程，从而引出直线的两点式方程.
公式特点：
思考2：已知任一直线中的两点坐标，是否可以用两点式写出该直线方程呢？
思考3：若点P1 （ x1 , y1 ），P2（ x2 , y2）中有x1 ＝x2 ,或y1= y2,此时过这两点的直线方程是什么？
2、当12x x =时，直线斜率不存在，此时直线垂直于x 轴，且过定点()1,0x ，所以直线的方程为1x x =.
注：
（1）、当12y y ≠时，方程可以写成
()11
12122121
,y y x x x x y y y y x x --=≠≠--，由于这个直线
方程由两点确定，所以我们把它叫直线的两点式方程，简称两点式（two-point form ）.
（2）、()112,P x x ，()222,P x y 中有12x x =，此时这两点的直线方程是什么？ 当21
x x =时，直线与x 轴垂直，所以直线方程为：12x x x ==.
（3）、()112,P x x ，()222,P x y 中有1
2y y =，此时这两点的直线方程是什么？ 当12y y =时，直线与y 轴垂直，直线方程为：12y y y ==.
例1.已知直线l 经过两点P1（2,2），P2(6,-2),求直线的方程。
解：根据直线的两点式方程
()11
12122121
,y y x x x x y y y y x x --=≠≠--得直线l 的方程为：
22
2262
y x --=
---， 即： 40x y +-=.
练习1:已知三角形的顶点是A(-5,0),B(3,-3),C(0,2). （1）求AB 边所在直线的方程. （2）求AC 边所在直线的方程.
（3）若BC 边上中点记为Ｍ，求中线ＡＭ所在直线的方程。
例2 已知直线l 与x 轴的交点为A(a,0)，与y 轴的交点为B(0,b)，其中a ≠0,b ≠0，求直线l 的方程.
解：根据直线的点斜式方程()00y y k x x -=-得，直线l 的方程为：
()0y b k x kx -=-=，即y kx b =+.
归纳：与x 轴的交点为A(a,0)，与y 轴的交点为B(0,b)，其中0,0a b ≠≠的直线l 方程为：
1x y
a b
+=
思考4：a, b 表示截距，是不是表示直线与坐标轴的两个交点到原点的距离？ 思考5：直线的截距式方程能表示任意一条直线吗？
设计意图：
教师引导学生：根据已有的知识，要求直线方程，应知道什么条件？能不能把问题转化为已经解决的问题呢？在此基础上，学生根据已知两点的坐标，先判断是否存在斜率，然后求出直线的斜率，可求出直线方程，从而引出直线的截距式方程。
三、课堂检测
1. 过点(3,2),且在两坐标轴上的截距之和为10的直线方程.
2.求过点(3,2),且在两坐标轴上的截距相等的直线方程.
3.根据下列条件,求直线的方程,并画出图形： ⑴倾斜角为45˚,在y 轴上的截距为0；
⑵在x 轴上的截距为-5,在y 轴上的截距为6； ⑶在x 轴上截距是-3,与y 轴平行； ⑷在y 轴上的截距是4,与x 轴平行.
4.思维拓展
b表示.
kx 可以用y D.经过定点的直线都1表示;
b
y a x 都可以用方程C.不经过原点的直线)表示;y )(y x (x )x )(x y 都可以用方程(y )的点的直线y ,(x P ),y ,(x P B.经过任意两个不同)表示;
x k(x y 方程y )的直线都可以用y ,(x A.经过定点P ) 题是(下列四个命题中的真命12112122211100000+==+--=---=-
四、课堂小结
1.本节课你收获了什么？
2.直线的两点式方程是什么？ 直线的截距式方程是什么
五、课后作业 1.完成本课学案 2.课本P100
A 组第1题（在作业本上） 六、板书设计
3.2.2直线的两点式方程
1.两点式
例1
2.截距式例2
七、备课反思
本节课通过直线的点斜式方程()00y y k x x -=-推导出了直线的两点式方程
11
12122121
(,)y y x x x x y y y y x x --=≠≠--，教师引导学生根据已有的知识，未知问题转化为已经
解决的问题呢来处理，从而获得新知识。
进而总结出直线的两点式方程，使学生充分理解了运用已有知识解决实际问题的方法.能否灵活运用、综合运用直线的两点式方程解答相关问题是教学工作的重点和难点.整体设计上有一定梯度，能充分照顾了全体学生。
在课堂上，教师要充分调动学生学习氛围，严格把控课堂时间，充分发挥课堂效率。