人教新课标版数学高一 人教数学必修2 直线的一般式方程
高中数学 第三章 直线与方程 3.2.3 直线的一般式方程课件 新人教A版必修2
②若 B=0,则 x=- C ,表示与 x 轴垂直的一条直线. A
③若 C=0,则 Ax+By=0,表示过原点的一条直线.
2.在什么条件下,一般式方程可以转化为斜截式、点斜式或截距式方程?
提示:①若 B≠0,则直线的一般式方程可化为斜截式、点斜式,即
y=-
A B
x-
C B
与
y-
C B
即 x+3y+3=0.
题后反思 根据已知条件求直线方程的策略: 在求直线方程时,设一般式方程并不简单,常用的还是根据给定条件选用 四种特殊形式之一求方程再化为一般式方程,一般选用规律为: (1)已知直线的斜率和直线上点的坐标时,选用点斜式;(2)已知直线的斜 率和在y轴上的截距时,选用斜截式;(3)已知直线上两点坐标时,选用两 点式.(4)已知直线在x轴,y轴上的截距时,选用截距式.
解:(1)由直线方程的点斜式得 y-3= 3 (x-5),即 3 x-y-5 3 +3=0. (2)由斜截式得直线方程为 y=4x-2,即 4x-y-2=0.
(3)由两点式得 y 5 = x 1 ,即 2x+y-3=0. 1 5 2 1
(4)由截距式得直线方程为 x + y =1. 3 1
解:法一 (1)由 l1:2x+(m+1)y+4=0, l2:mx+3y-2=0 知: ①当 m=0 时,显然 l1 与 l2 不平行.
②当 m≠0 时,l1∥l2,需 2 = m 1 ≠ 4 . m 3 2
解得 m=2 或 m=-3,所以 m 的值为 2 或-3.
(2)由题意知,直线 l1⊥l2. ①若 1-a=0,即 a=1 时,直线 l1:3x-1=0 与直线 l2:5y+2=0 显然垂直.
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课时提升卷(二十一)直线的一般式方程（45分钟 100分）一、选择题(每小题6分,共30分)1.将方程3x-2y+1=0化成斜截式方程为( )A.y=x+B.y=x+C.y=x+1D.y=x+12.若(m2-1)x+(m2-4m+3)y+1=0表示直线,则m的取值范围是( )A.m=1B.m≠1C.m≠±1D.m≠33.下列说法中不正确的是( )A.两直线的斜率存在时,它们垂直的等价条件是其斜率之积为-1B.如果方程Ax+By+C=0表示的直线是y轴,那么系数A,B,C满足A≠0,B=C=0C.Ax+By+C=0和2Ax+2By+C+1=0表示两条平行直线的等价条件是A2+B2≠0且C≠1D.(x-y+5)+k(4x-5y-1)=0表示经过直线x-y+5=0与4x-5y-1=0的交点的所有直线4.(2013·宿州高一检测)直线l1:ax-y+b=0,l2:bx+y-a=0(ab≠0)的图象只可能是( )5.已知直线经过A(a,0),B(0,b)和C(1,3)三个点,且a,b均为正整数,则此直线方程为( )A.3x+y-6=0B.x+y-4=0C.x+y-4=0或3x+y-6=0D.无法确定二、填空题(每小题8分,共24分)6.(2013·临沂高一检测)直线3x-2y+6=0的斜率和在y轴上的截距分别是.7.已知直线l的倾斜角为60°,在y轴上的截距为-4,则直线l的点斜式方程为;截距式方程为;斜截式方程为;一般式方程为.8.直线(2-m)x+my+3=0与直线x-my-3=0垂直,则m为.三、解答题(9题,10题14分,11题18分)9.设直线l的方程为(a+1)x+y+2-a=0(a∈R).(1)若l在两坐标轴上的截距相等,求l的方程.(2)若l不经过第二象限,求实数a的取值范围.10.(2013·哈尔滨高一检测)求平行于直线2x-y+3=0,且与两坐标轴围成的直角三角形面积为9的直线方程.11.(能力挑战题)求证:不论m取什么实数,直线(2m-1)x-(m+3)y-(m-11)=0恒过定点,并求此定点坐标.答案解析1.【解析】选B.由3x-2y+1=0可得:3x+1=2y,即y=x+.2.【解析】选 B.由题意m2-1和m2-4m+3不同时为0,得即所以m≠1.3.【解析】选D.A,B正确,C利用直线平行的等价条件可知也正确,D 中k取任意值都不能表示直线4x-5y-1=0,故D错误.4.【解析】选B.排除法:选项A中,直线l1的斜率大于0,在y轴上的截距小于0,所以a>0,b<0,故l2的斜率为-b>0,但图中l2的斜率小于0,故A不正确,同理排除C,D,故选B.5.【解题指南】先由A,B两点写出直线的截距式方程,由于点C也在该直线上,代入可得a,b的关系,利用a,b均为正整数,求得a,b的值. 【解析】选C.由直线经过A(a,0),B(0,b)知方程为+=1,又过点C(1,3),所以+=1,因为a,b均为正整数,所以a=>0,所以b>3,b=>0,所以a>1.由整除性可知a-1=3或a-1=1,所以或所以直线方程为x+y-4=0或3x+y-6=0.6.【解析】将直线方程化为斜截式得y=x+3,所以斜率为,在y轴上的截距为3.答案:,37.【解析】点斜式方程:y+4=(x-0),截距式方程:+=1,斜截式方程:y=x-4,一般式方程:x-y-4=0.答案:y+4=(x-0) +=1 y=x-4x-y-4=08.【解析】由题意,(2-m)+m(-m)=0,解得m=-2或m=1.答案:-2或19.【解析】(1)当直线过原点时,该直线在x轴和y轴上的截距为零,所以2-a=0,所以a=2,方程为3x+y=0;当直线不过原点时,a≠2,由=a-2,得a=0,方程为x+y+2=0,故所求的方程为3x+y=0或x+y+2=0.(2)将l的方程化为y=-(a+1)x+a-2,欲使l不经过第二象限,当且仅当-(a+1)≥0且a-2≤0,解得a≤-1,故所求a的取值范围为a≤-1. 10.【解析】设所求的直线方程为2x-y+c=0,令y=0,x=-,令x=0,y=c,所以|(-)·c|=9,c=±6,故所求直线方程为2x-y±6=0.11.【解析】令m=得y=3;令m=-3得x=2.两直线交点为(2,3),将点(2,3)代入原直线方程,得(2m-1)×2-(m+3)×3-(m-11)=0恒成立,因此,直线过定点(2,3).【一题多解】将方程化为(x+3y-11)-(2x-y-1)m=0,因为m为任意实数,上式都成立,故当时,上式恒成立,解得即定点(2,3)恒满足原直线方程,因此,直线过定点(2,3).【拓展提升】证明直线过定点问题的方法(1)证明直线过定点问题,先用特殊值找到一定点,再证明其坐标始终满足直线方程.(2)也可以利用恒成立问题,得到方程组,解方程组即可.关闭Word文档返回原板块。
人教版高一数学必修二：3.2.3直线的一般式方程.pptx
x 2 y 4 (x y 2) 0
代（2，1）入方程，得：
2 2 4 (2 1 2) 0
4
所以直线的方程为：
3x+2y+4=0
例2:求过两直线x-2y+4=0和x+y-2=0的交 点， 且满足下列条件的直线L的方程。 (1)过点(2,1) (2)和直解线（32）x-：4y将+（51=）0中垂所直设。的方程变为：
2、设A、B是x轴上的两点，点P的横坐标为2，且 │PA│=│PB│，若直线PA的方程为x-y+1=0，则 直线PB的方程是() A.2y-x-4=0B.2x-y-1=0 C.x+y-5=0D.2x+y-7=0
例3、设直线l的方程为 （m2-2m-3）x+（2m2+m-1）y=2m-6，根据下列 条件确定m的值： （1）l在X轴上的截距是-3； （2）斜率是-1.
例题分析
例2、把直线l的方程x–2y+6=0化成斜截式，求
出直线l的斜率和它在x轴与y轴上的截距，并画
图.
y
. B
.
A
O
x
一般式方程
l1 : A1x B1 y C1 0
l2 : A2 x B2 y C2 0
l1 // l2
A1 B1
A2 B2
C1 C2
即：l1 // l2 A1B2 A2B1且A1C2 A2C1
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3.2.3直线的一般式方程
所有的直线都可以用二元一次方程表示 所有二元一次方程都表示直线
Ax By C 0
（其中A，B不同时为0） 一般式
例题分析
人教新课标版数学高一必修2课件直线的一般式方程
3.2.3 直线的一般式方程
学习目标
1.掌握直线的一般式方程； 2.理解关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)都 表示直线； 3.会进行直线方程的五种形式之间的转化.
我们共学习了哪几种直线方程的形式?
y y0 k (x x0 )
1 23 4
解析答案
课堂小结
1.根据两直线的一般式方程判定两直线平行的方法 (1)判定斜率是否存在，若存在，化成斜截式后，则k1＝k2且b1≠b2；若都 不存在，则还要判定不重合. (2)可直接采用如下方法： 一般地，设直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0. l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0，且B1C2－B2C1≠0，或A1C2－A2C1≠0. 这种判定方法避开了斜率存在和不存在两种情况的讨论，可以减小因考 虑不周而造成失误的可能性.
答案
问题3 当B≠0时，方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)表示怎样的直
线？B＝0呢？ 答案 当 B≠0 时，由 Ax＋By＋C＝0 得，y＝－BA x－CB， 所以该方程表示斜率为－BA， 在 y 轴上截距为－CB的直线； 当 B＝0 时，A≠0，由 Ax＋By＋C＝0 得 x＝－CA， 所以该方程表示一条垂直于x轴的直线．
点斜式
y kx b
斜截式
y y1 x x1 y2 y1 x2 x1
两点式
x y 1 ab
截距式
自主学习
知识点一 直线的一般式方程
形式 条件
Ax＋By＋C＝0 A，B 不同时为0
答案
知识点二 直线的一般式与点斜式、斜截式、两点式、截距式的关系
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数学必修二直线方程知识点
数学必修二直线方程知识点
1. 直线的一般方程：一般地，直线的一般方程可表示为Ax + By + C = 0，其中A、B
和C为实数且A和B不同时为0。
2. 斜率截距方程：斜率截距方程是直线的另一种常用表示方法，可表示为y = mx + b，其中m为直线的斜率，b为直线与y轴的截距。
3. 斜率公式：直线的斜率可通过两点的坐标（x1, y1）和（x2, y2）计算，斜率m = (y2 - y1)/(x2 - x1)。
4. 点斜式方程：点斜式方程是直线的一种特殊表示方法，可表示为y - y1 = m(x - x1)，其中(x1, y1)为直线上的一点，m为直线的斜率。
5. 两直线的关系：两条直线可以相交、平行或重合。
两条直线平行的条件是它们的斜
率相等，两条直线重合的条件是它们的斜率相等且有一个公共点。
6. 垂直平分线：两条直线相互垂直的条件是它们的斜率的乘积为-1。
7. 两点间的距离公式：可以使用两点的坐标（x1, y1）和（x2, y2）来计算两点间的距离d = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2)。
8. 角的平分线：直线和另一条直线的夹角的平分线将夹角分成两个相等的角。
9. 线段的中点：直线的中点是指直线上且离两个端点等距离的点。
10. 线段的延长线：直线上的延长线是指直线上的一条线段，其中一端点在直线上，另一端点在直线的外部。
这些是数学必修二中关于直线方程的一些重要知识点。
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直线的一般式方程及综合【学习目标】1．掌握直线的一般式方程；2．能将直线的点斜式、两点式等方程化为直线的一般式方程，并理解这些直线的不同形式的方程在表示直线时的异同之处；3．能利用直线的一般式方程解决有关问题.【要点梳理】要点一：直线方程的一般式关于x和y的一次方程都表示一条直线．我们把方程写为Ax+By+C=0，这个方程(其中A、B不全为零)叫做直线方程的一般式．要点诠释：1．A、B不全为零才能表示一条直线，若A、B全为零则不能表示一条直线.当B≠0时，方程可变形为A Cy xB B=--，它表示过点0,CB⎛⎫-⎪⎝⎭，斜率为AB-的直线．当B=0，A≠0时，方程可变形为Ax+C=0，即CxA=-，它表示一条与x轴垂直的直线．由上可知，关于x、y的二元一次方程，它都表示一条直线．2．在平面直角坐标系中，一个关于x、y的二元一次方程对应着唯一的一条直线，反过来，一条直线可以对应着无数个关于x、y的一次方程（如斜率为2，在y轴上的截距为1的直线，其方程可以是2x―y+1=0，也可以是1122x y-+=，还可以是4x―2y+2=0等．）要点二：直线方程的不同形式间的关系直线方程的五种形式的比较如下表：要点诠释：在直线方程的各种形式中，点斜式与斜截式是两种常用的直线方程形式，要注意在这两种形式中都要求直线存在斜率，两点式是点斜式的特例，其限制条件更多（x 1≠x 2，y 1≠y 2），应用时若采用(y 2―y 1)(x ―x 1)―(x 2―x 1)(y ―y 1)=0的形式，即可消除局限性．截距式是两点式的特例，在使用截距式时，首先要判断是否满足“直线在两坐标轴上的截距存在且不为零”这一条件．直线方程的一般式包含了平面上的所有直线形式．一般式常化为斜截式与截距式．若一般式化为点斜式，两点式，由于取点不同，得到的方程也不同．要点三：直线方程的综合应用1．已知所求曲线是直线时，用待定系数法求．2．根据题目所给条件，选择适当的直线方程的形式，求出直线方程．对于两直线的平行与垂直，直线方程的形式不同，考虑的方向也不同．（1）从斜截式考虑已知直线111:b x k y l +=,222:b x k y l +=,12121212//()l l k k b b αα⇒=⇒=≠；12121211221tan cot 12l l k k k k παααα⊥⇒-=⇒=-⇒=-⇒=- 于是与直线y kx b =+平行的直线可以设为1y kx b =+；垂直的直线可以设为21y x b k=-+． （2）从一般式考虑：11112222:0,:0l A x B y C l A x B y C ++=++=1212120l l A A B B ⊥⇔+=121221//0l l A B A B ⇔-=且12210A C A C -≠或12210B C B C -≠，记忆式（111222A B C A B C =≠） 1l 与2l 重合，12210A B A B -=，12210A C A C -=，12210B C B C -=于是与直线0Ax By C ++=平行的直线可以设为0Ax By D ++=；垂直的直线可以设为0Bx Ay D -+=.【典型例题】类型一：直线的一般式方程例1．根据下列条件分别写出直线方程，并化成一般式：（1A （5，3）；（2）过点B （―3，0），且垂直于x 轴；（3）斜率为4，在y 轴上的截距为―2；（4）在y 轴上的截距为3，且平行于x 轴；（5）经过C （―1，5），D （2，―1）两点；（6）在x ，y 轴上的截距分别是―3，―1．【答案】（130y -+-=（2）x+3=0（3）4x ―y ―2=0（4）4x ―y ―2=0（5）2x+y ―3=0（6）x+3y+3=0【解析】 （1）由点斜式方程得35)y x -=-30y -+-=．（2）x=―3，即x+3=0．（3）y=4x ―2，即4x ―y ―2=0．（4）y=3，即y ―3=0．（5）由两点式方程得5(1)152(1)y x ---=----，整理得2x+y ―3=0． （6）由截距式方程得131x y +=--，整理得x+3y+3=0． 【总结升华】本题主要是让学生体会直线方程的各种形式，以及各种形式向一般式的转化，对于直线方程的一般式，一般作如下约定：x 的系数为正，x ，y 的系数及常数项一般不出现分数，一般按含x 项、y 项、常数项顺序排列．求直线方程的题目，无特别要求时，结果写成直线方程的一般式．举一反三：【变式1】已知直线l 经过点A （―5，6）和点B （―4，8），求直线的一般式方程和截距式方程，并画图．【答案】2x －y+16=0 1816x y +=- 【解析】 所求直线的一般式方程为2x －y+16=0，截距式方程为1816x y +=-．图形如右图所示． 【高清课堂：直线的一般式 381507 例4】例2．ABC ∆的一个顶点为(1,4)A --，B ∠、C ∠ 的平分线在直线10y +=和10x y ++=上，求直线BC 的方程.【答案】230x y +-=【解析】由角平分线的性质知，角平分线上的任意一点到角两边的距离相等，所以可得A 点关于B ∠的平分线的对称点'A 在BC 上，B 点关于C ∠的平分线的对称点'B 也在BC 上．写出直线''A B 的方程，即为直线BC 的方程.例3．已知直线1:310l ax y ++=，2:(2)0l x a y a +-+=，求满足下列条件的a 的值．（1）12//l l ；（2）12l l ⊥．【思路点拨】利用直线平行和垂直的条件去求解。
人教版 新课标 高中数学 2019-2020 必修二第三章 3.2.3 直线的一般式方程(共12张
22
2
直线的方程
例 3.一 束 光 线 从 点 A(8,3)发 出 ,经 x轴 反 射 到 y轴 ,
又 被 y轴 反 射 后 经 过 B(2,2)， 求 光 线 被 y轴 反 射
后 光 线 所 在 的 直 线 方 程
y
B’
B
A
o
x
A’
直线的方程
1.若 ac0,b, c0 ax 则b直 y线c不过0 第 三象限。
直线的一般式方程
复习回顾 思考: 这四种直线方程有什么共同点?
方程名称 已知条件 直线方程
局限性
点斜式 斜截式 两点式 截距式
点与斜率 斜率与截距
两点
两截距
yy0k(xx0)
ykxb
yy1 xx1 y2 y1 x2 x1
垂直于 x 轴直线
垂直于 x 轴直线 垂直于坐
标轴直线
x y 1 ab
练1:方 m 程x(m2m)y10表 示 一,条 直
则 实m的 数取 值 范 _m_≠_围 0 _._是 __
直线的方程 例1若 . 直l经 线过A点 (6,4),斜 率为 4,求l的 斜 截
3 式 方 程 和 一 般 式 在方 两 程 坐 及 标 轴 上. 的
练1求 . 满足下列条件 的的 一直 般线 式.方程
B
B
(2)当B0时, x C A
表示垂x直 轴于 的直 . 线
直线的方程
直线的一般式方程
A xB yC0 (A, B不 同 时 为 0)
注： 1.一般式对于所有的直线都适用;
2.一般式中的顺序x在前，y在中，常 数项在后，通常A为正数;
3.直线方程的最终结果均要化成斜截式 或一般式.
人教新课标版数学高一人教A版必修2教案 直线的一般式方程
3.2.3直线的一般式方程
课型：新授课
教学目标：
1、知识与技能
（1）明确直线方程一般式的形式特征；
（2）会把直线方程的一般式化为斜截式，进而求斜率和截距；
（3）会把直线方程的点斜式、两点式化为一般式。
2、过程与方法:学会用分类讨论的思想方法解决问题。
3、情态与价值观
（1）认识事物之间的普遍联系与相互转化；（2）用联系的观点看问题。
教学重点：直线方程的一般式。
教学难点：对直线方程一般式的理解与应用
教学过程：
归纳小结：
（1）请学生写出直线方程常见的几种形式，并说明它们之间的关系。
（2）比较各种直线方程的形式特点和适用范围。
（3）求直线方程应具有多少个条件？
（4）学习本节用到了哪些数学思想方法？
作业布置：第101页习题3.2第10,11题
课后记:。
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1．直线3x ＋y ＋6＝0的斜率为k ，在y 轴上的截距为b ，则( )
A ．k ＝3，b ＝6
B ．k ＝－3，b ＝－6
C ．k ＝－3，b ＝6
D ．k ＝3，b ＝－6
解析：选B.化为斜截式，得y ＝－3x －6，
∴k ＝－3，b ＝－6，故选B.
2．若直线l 的一般式方程为2x －y ＋1＝0，则直线l 不经过( )
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
解析：选D.直线方程变为y ＝2x ＋1，直线经过第一、二、三象限．
3．已知m ≠0，则过点(1，－1)的直线ax ＋3my ＋2a ＝0的斜率是( )
A.13
B ．－13
C ．－3
D ．3
解析：选B.把点(1，－1)代入方程ax ＋3my ＋2a ＝0得a ＝m ，∴直线方程为mx ＋3my ＋2m ＝0.
∵m ≠0，∴其斜率为－13
，故选B. 4．(2013·芜湖高一测评)直线ax ＋by ＋c ＝0的倾斜角为135°，则a 、b 满足( )
A ．a ＋b ＝1
B ．a －b ＝1
C ．a ＋b ＝0
D ．a －b ＝0
解析：选D.当直线的倾斜角为135°时，直线的斜率为－1，将直线方程化为y ＝－a b x －c b
，则其斜率k ＝－a b
＝－1，所以a －b ＝0，故选D. 5．点M (x 0，y 0)是直线Ax ＋By ＋C ＝0上的点，则直线方程可表示为( )
A ．A (x －x 0)＋
B (y －y 0)＝0
B ．A (x －x 0)－B (y －y 0)＝0
C ．B (x －x 0)＋A (y －y 0)＝0
D ．B (x －x 0)－A (y －y 0)＝0
解析：选A.∵M (x 0，y 0)在直线Ax ＋By ＋C ＝0上，∴Ax 0＋By 0＋C ＝0，∴C ＝－Ax 0－By 0，
代入方程Ax ＋By ＋C ＝0得Ax －Ax 0＋By －By 0＝0，即A (x －x 0)＋B (y －y 0)＝0.
6．过点A (－1,3)且平行于直线x －2y ＋3＝0的直线方程为________________． 解析：由题意可设所求直线方程为x －2y ＋m ＝0，
将点A (－1,3)代入可得m ＝7，
所以所求直线的方程为x －2y ＋7＝0.
答案：x －2y ＋7＝0
7．若直线(2t －3)x ＋y ＋6＝0不经过第一象限，则t 的取值范围为________． 解析：方程可化为y ＝(3－2t )x －6，
∵直线不经过第一象限，
∴3－2t ≤0，得t ≥32
. 答案：⎣⎡⎭
⎫32，＋∞ 8．(2013·银川高一检测)直线(2m 2－5m ＋2)x －(m 2－4)y ＋5m ＝0的倾斜角是45°，则实数m 的值为________．
解析：由已知⎩⎪⎨⎪⎧ 2m 2－5m ＋2m 2－4＝1，m 2－4≠0.∴m ＝3.
答案：3
9．已知直线l 1为x 2－2y 3
＝1，求过点(1,2)并且纵截距与直线l 1的纵截距相等的直线l 的方程．
解：∵l 1的方程可化为x 2＋y －32
＝1， ∴直线l 1的纵截距为－32
. 设直线l 的方程为x a ＋y －32
＝1，即x a －2y 3＝1. 并且直线l 过点(1,2)，所以1a －2×23＝1，解得a ＝37
. 因此直线l 的方程为7x 3－2y 3
＝1，即7x －2y －3＝0. 10．已知两直线方程l 1：mx ＋2y ＋8＝0和l 2：x ＋my ＋3＝0，当m 为何值时：(1)两直
线互相平行？
(2)两直线互相垂直？
解：(1)当m ＝0时，l 1与l 2显然不平行．
当m ≠0时，l 1的斜率k 1＝－m 2
，在y 轴上的截距b 1＝－4， l 2的斜率k 2＝－1m ，在y 轴上的截距b 2＝－3m
. ∵l 1∥l 2，∴k 1＝k 2，且b 1≠b 2，
即－m 2＝－1m ，且－4≠－3m
， ∴m ＝±2.
综上可知，当m ＝±2时，两直线互相平行．
(2)当m ＝0时，l 1显然与l 2垂直．
当m ≠0时，l 1的斜率为k 1＝－m 2
， l 2的斜率为k 2＝－1m
. ∵l 1⊥l 2，∴－m 2·(－1m
)＝－1，此时无解． 综上可知，当m ＝0时，两直线垂直．。