3.2.3直线的一般式方程教案
3.2.2直线的两点式方程 3.2.3直线的一般式方程 教案(人教A版必修2)
3.2.2直线的两点式方程3.2.3直线的一般式方程●三维目标1．知识与技能(1)掌握直线方程的两点式的形式特点及适用条件．(2)了解直线方程截距式的形式特点及适用条件．(3)明确直线方程一般式的形式特点，会把直线方程的一般式同直线方程的其他形式互化．2．过程与方法(1) 让学生在应用旧知识的探究过程中获得到新的结论，并通过新旧知识的比较、分析、应用获得新知识的特点．(2)通过探究直线与二元一次方程的关系，让学生积极、主动地参与观察、分析、归纳，进而得出直线的一般式方程，培养学生勇于探究的精神和学会用分类讨论的数学思想方法解决问题．3．情感、态度与价值观(1)认识事物之间的普遍联系与相互转化．(2)培养学生用联系的观点看问题．●重点难点重点：直线方程的两点式、一般式．难点：两点式的适用条件及直线方程一般式的形式特征．重难点突破：以具体案例“求过两点的直线方程”为切入点，通过学生解答，发现知识之间的联系，然后通过观察、思考和互相交流，归纳出直线方程的两点式的形式．针对其适用条件，教学时可引导学生从两点式的形式给予突破；从直线方程的点斜式、斜截式、两点式、截距式的形式出发，采用由特殊到一般的方式，通过学生观察、师生交流，寻其共性，得出直线方程一般式的形式特征，最后通过典例训练，熟练掌握直线方程的各种形式，突出重点的同时化解难点．●教学建议本节知识是上一节知识的拓展和补充，旨在培养学生多角度探求直线方程的求法．鉴于本节知识的特点，对于直线方程的两点式的教学，可引导学生由“点斜式方程”出发，探究“过两点的直线方程”求法，整个过程遵循由浅及深、由特殊到一般的认知规律，使学生在已有的知识基础上获得新结论，达到温故知新的目的．对于直线方程的截距式，教学时只需明确以下两点：(1)它是两点式的特殊情形；(2)讲清截距的几何含义和截距式方程的特征及适用条件．对于直线方程的一般式，教学时，可采取“分析法”“讨论法”“归纳法”与多媒体相结合进行教学，增强动感和直观性．在整个教学过程中，引导学生观察、分析、概括、归纳，使学生思维紧紧围绕“一般式的形式特征与直线点斜式方程的互化”层层展开，体现知识的相互交融性，同时为下一节研究直线的交点坐标及距离公式做好铺垫．●教学流程创设问题情境，引出问题：过两定点的直线方程，如何求解？⇒通过引导学生回忆直线的点斜式方程，探究得出直线的两点式方程，明确其适用条件.⇒通过引导学生回答所提问题理解直线方程的一般式与二元一次方程的关系.⇒通过例1及其互动探究，使学生掌握直线的两点式方程的求法.⇒通过例2及其变式训练，使学生掌握直线的截距式方程的求法.⇒1．利用点斜式解答如下问题：(1)已知直线l 经过两点P 1(1,2)，P 2(3,5)，求直线l 的方程；(2)已知两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，其中x 1≠x 2，y 1≠y 2，求通过这两点的直线方程． 【提示】 (1)y －2＝32(x －1)．(2)y －y 1＝y 2－y 1x 2－x 1(x －x 1)．2．过点(3,0)和(0,6)的直线能用x 3＋y6＝1表示吗？【提示】 能．直线方程的两点式和截距式若点12112212的中点，则⎩⎨⎧x ＝x 1＋x 22，y ＝y 1＋y 22.我们已经学习了直线的点斜式y －y 0＝k (x－x 0)，直线的斜截式y ＝kx ＋b ，直线的两点式y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1，直线的截距式x a ＋y b ＝1，并且掌握了它们的适用条件．1．上述方程的四种形式都能用Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为零)来表示吗？ 【提示】 能．2．关于x ，y 的二元一次方程Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为0)一定表示直线吗？ 【提示】 一定． 直线的一般式方程(1)定义：关于x ，y 的二元一次方程Ax ＋By ＋C ＝0(其中A ，B 不同时为0)叫做直线的一般式方程，简称一般式．(2)斜率：直线Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为0)，当B ≠0时，其斜率是－AB ，在y 轴上的截距是－CB.当B ＝0时，这条直线垂直于x 轴，不存在斜率.三角形的三个顶点是A (－1,0)，B (3，－1)，C (1,3)，求三角形三边所在直线的方程．【思路探究】 由两点式直接求出三角形三边所在的直线的方程． 【自主解答】 由两点式，直线AB 所在直线方程为： y －(－1)0－(－1)＝x －3－1－3，即x ＋4y ＋1＝0.同理，直线BC 所在直线方程为： y －3－1－3＝x －13－1，即2x ＋y －5＝0. 直线AC 所在直线方程为： y －30－3＝x －1－1－1，即3x －2y ＋3＝0.1．已知直线上的两点坐标时，通常用两点式求直线方程．2．利用两点式求直线方程的前提是x 1≠x 2，y 1≠y 2，切忌不注意坐标间的关系盲目套用公式．在题设条件不变的情况下，求AB 中点与点C 连线的方程． 【解】 设AB 边中点为D (x ，y )，则⎩⎨⎧x ＝－1＋32＝1，y ＝0＋(－1)2＝－12，C ，D 两点横坐标相同，所以直线CD 的方程为x ＝1.l 的方程． 【思路探究】 思路一：利用直线的截距式方程求解，需分截距“为零”和“不为零”两类分别求解；思路二：利用直线方程的点斜式求解．【自主解答】 法一 设直线l 在两坐标轴上的截距均为a . ①若a ＝0，则直线l 过原点，此时l 的方程为2x ＋3y ＝0； ②若a ≠0，则l 的方程可设为x a ＋ya ＝1，因为直线l 过点(3，－2)，知3a ＋－2a ＝1，即a ＝1， 所以直线l 的方程为x ＋y ＝1， 即x ＋y －1＝0.综上可知，直线l 的方程为x ＋y －1＝0或2x ＋3y ＝0.法二 由题意可知，直线l 的斜率存在且不为0，设其斜率为k ，则可得直线的方程为y ＋2＝k (x －3)．令x ＝0，得y ＝－2－3k . 令y ＝0，得x ＝2k＋3.由题意－2－3k ＝2k ＋3，解得k ＝－1或k ＝－23.所以直线l 的方程为y ＋2＝－(x －3)或y ＋2＝－23(x －3)，即x ＋y －1＝0或2x ＋3y ＝0.1．如果题目中出现直线在两坐标轴上的“截距相等”“截距互为相反数”“在一坐标轴上的截距是另一坐标轴上截距的m 倍(m >0)”等条件时，若采用截距式求直线方程，则一定要注意考虑“零截距”的情况．2．应用截距式方程处理截距相等问题的一般思路：已知直线l 过点(1,1)且在y 轴上的截距是在x 轴上的截距的2倍，求直线l 的方程． 【解】 由条件知直线l 的斜率存在且不为0，可设直线l 的方程为y －1＝k (x －1)，则由条件知1－k ＝2(1－1k)，解得k ＝1或k ＝－2.故l 的方程为y ＝x 或y ＝－2x ＋3.(1)斜率是3，且经过点A (5,3)； (2)过点B (－3,0)，且垂直于x 轴； (3)斜率为4，在y 轴上的截距为－2； (4)在y 轴上的截距为3，且平行于x 轴； (5)经过A (－1,5)，B (2，－1)两点；(6)在x ，y 轴上的截距分别是－3，－1.【思路探究】 根据条件，选择恰当的直线方程的形式，最后化成一般式方程． 【自主解答】 (1)由点斜式方程得y －3＝3(x －5)， 整理得3x －y ＋3－53＝0. (2)x ＝－3，即x ＋3＝0. (3)y ＝4x －2，即4x －y －2＝0. (4)y ＝3，即y －3＝0.(5)由两点式方程得y －5－1－5＝x －(－1)2－(－1)，整理得2x ＋y －3＝0. (6)由截距式方程得x －3＋y－1＝1， 整理得x ＋3y ＋3＝0.直线方程的五种形式的比较：若直线Ax ＋By ＋C ＝0(不经过原点)不经过第三象限，则AB ________0，BC ________0. 【解析】 如图所示，若直线l 不经过第三象限，则斜率k <0且在y 轴上的截距大于零，∴B ≠0.由Ax ＋By ＋C ＝0， 得y ＝－A B x －CB .∴k ＝－A B <0，b ＝－CB >0.故AB >0且BC <0. 【答案】><利用坐标法解决实际问题(12分)如图3－2－1所示，某房地产公司要在荒地ABCDE 上划出一块长方形土地(不改变方向)建造一图3－2－1幢8层的公寓，如何设计才能使公寓占地面积最大？并求出最大面积．(精确到1 m 2) 【思路点拨】 本题考查坐标法的应用和二次函数的最值，关键是确定长方形中在AB 上的顶点的位置，可建立坐标系，运用直线的知识求解．【规范解答】 建立如图所示的坐标系，则B (30,0)，A (0,20)，∴由直线的截距式方程得到线段AB 的方程为： x 30＋y20＝1(0≤x ≤30).3分 设长方形中在AB 上的顶点为P ，点P 的坐标为(x ，y )， 则有y ＝20－23x (0≤x ≤30).4分∴公寓的占地面积为： S ＝(100－x )·(80－y ) ＝(100－x )·(80－20＋23x )＝－23x 2＋203x ＋6 000(0≤x ≤30).8分∴当x ＝5，y ＝503时，S 取最大值，最大值为S ＝－23×52＋203×5＋6 000≈6 017(m 2).10分即当点P 的坐标为(5，503)时，公寓占地面积最大，最大面积约为6 017 m 2.12分本题是用坐标法解决生活问题，点P 的位置由两个条件确定，一是A ，P ，B 三点共线，二是矩形的面积最大．借助三点共线寻求x 与y 的关系，然后利用二次函数知识探求最大值是处理这类问题常用的方法．1．当直线没有斜率(x 1＝x 2)或斜率为0(y 1＝y 2)时，不能用两点式y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1求它的方程，此时直线的方程分别是x ＝x 1和y ＝y 1，而它们都适合(x 2－x 1)(y －y 1)＝(y 2－y 1)(x －x 1)，即两点式的整式形式，因此过任意两点的直线的方程都可以写成(x 2－x 1)(y －y 1)＝(y 2－y 1)(x －x 1)的形式．2．直线的截距式是两点式的一个特殊情形，用它来画直线以及判断直线经过的象限或求直线与坐标轴围成的三角形的面积比较方便．注意直线过原点或与坐标轴平行时，没有截距式方程，但直线过原点时两截距存在且同时等于零．3．直线方程的一般式同二元一次方程Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为零)之间是一一对应关系，因此研究直线的几何性质完全可以应用方程的观点来研究，这实际上也是解析几何的思想所在——用方程的思想来研究几何问题.1．过P 1(2,0)，P 2(0,3)两点的直线方程是( ) A.x 3＋y 2＝0 B.x 2＋y3＝0C.x 2＋y 3＝1D.x 2－y 3＝1 【解析】 由截距式，得所求直线的方程为x 2＋y3＝1.【答案】 C2．下列语句中正确的是( )A ．经过定点P (x 0，y 0)的直线都可以用方程y －y 0＝k (x －x 0)表示B ．经过任意两个不同点P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)的直线都可以用方程(y －y 1)(x 2－x 1)＝(x －x 1)(y 2－y 1)表示C ．不经过原点的直线都可以用方程x a ＋yb ＝1表示D ．经过定点的直线都可以用y ＝kx ＋b 表示【解析】 A 不正确，该方程无法表示x ＝x 0这条直线；C 不正确，该方程无法表示与坐标轴平行的直线；D 不正确，该方程无法表示与x 轴垂直的直线，B 正确．【答案】 B3．直线方程2x ＋3y ＋1＝0化为斜截式为________；化为截距式为________． 【解析】 直线方程2x ＋3y ＋1＝0化为斜截式为y ＝－23x －13.化为截距式为x －12＋y－13＝1.【答案】 y ＝－23x －13x－12＋y－13＝1 4．已知在△ABC 中，A ，B 的坐标分别为(－1,2)，(4,3)，AC 的中点M 在y 轴上，BC 的中点N 在x 轴上．(1)求点C 的坐标； (2)求直线MN 的方程．【解】 (1)设点C (m ，n )，AC 中点M 在y 轴上，BC 的中点N 在x 轴上，由中点坐标公式得⎩⎨⎧m －12＝0，n ＋32＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝－3，∴C 点的坐标为(1，－3)．(2)由(1)知：点M 、N 的坐标分别为M (0，－12)、N (52，0)，由直线方程的截距式得直线MN 的方程是x 52＋y－12＝1，即2x －10y －5＝0.一、选择题1．直线3x ＋y ＋6＝0的斜率为k ，在y 轴上的截距为b ，则( ) A ．k ＝3，b ＝6 B ．k ＝－3，b ＝－6 C ．k ＝－3，b ＝6 D ．k ＝3，b ＝－6 【解析】 化为斜截式，得y ＝－3x －6， ∴k ＝－3，b ＝－6，故选B. 【答案】 B2．直线x 3＋y4＝1化成一般式方程为( )A ．y ＝－43x ＋4B ．y ＝－43(x －3)C ．4x ＋3y －12＝0D ．4x ＋3y ＝12【解析】 直线x 3＋y4＝1化成一般式方程为4x ＋3y －12＝0.【答案】 C3．(2013·周口高一检测)已知点A (1,2)，B (3,1)，则线段AB 的垂直平分线的方程是( ) A ．4x ＋2y ＝5 B ．4x －2y ＝5 C ．x ＋2y ＝5 D ．x －2y ＝5【解析】 ∵A (1,2)，B (3,1)，∴线段AB 的中点坐标为(2，32)．又k AB ＝1－23－1＝－12，故线段AB 的垂直平分线方程为y －32＝2(x －2)，即4x －2y ＝5.【答案】 B4．(2013·威海高一检测)若直线ax ＋by ＋c ＝0经过第一、二、三象限，则( ) A ．ab >0，bc >0 B ．ab >0，bc <0 C ．ab <0，bc >0 D ．ab <0，bc <0【解析】 把直线ax ＋by ＋c ＝0化成斜截式得 y ＝－a b x －c b ，由题意可知⎩⎨⎧－ab >0，－cb >0，即ab <0且bc <0.【答案】 D5．(2013·德化高一检测)过点A (4,1)且在两坐标轴上截距相等的直线方程是( ) A ．x ＋y ＝5 B ．x －y ＝5C ．x ＋y ＝5或x －4y ＝0D ．x －y ＝5或x ＋4y ＝0【解析】 当直线过点(0,0)时，直线方程为y ＝14x ，即x －4y ＝0，当直线不过点(0,0)时，可设为x a ＋ya ＝1，把(4,1)代入，可解得a ＝5，∴直线方程为x ＋y ＝5.综上可知直线方程为x＋y ＝5或x －4y ＝0.【答案】 C 二、填空题6．斜率为2，且经过点A (1,3)的直线的一般式方程为________． 【解析】 由点斜式得，所求直线方程为y －3＝2(x －1)， 整理得2x －y ＋1＝0. 【答案】 2x －y ＋1＝07．(2012·绵阳高一检测)直线y ＝23x －2与两坐标轴围成的三角形的面积是________．【解析】 令x ＝0，得y ＝－2；令y ＝0，得x ＝3.故直线y ＝23x －2与两坐标轴围成的三角形的面积是12×3×2＝3.【答案】 38．在下列各种情况下，直线Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为零)的系数A ，B ，C 之间各有什么关系：(1)直线与x 轴平行时：________； (2)直线与y 轴平行时：________； (3)直线过原点时：________； (4)直线过点(1，－1)时：________.【解析】 ∵A ，B 不同时为零，故当A ＝0且B ≠0时(1)成立；当B ＝0且A ≠0时(2)成立；当C ＝0时(3)成立；当A －B ＋C ＝0时(4)成立．【答案】 (1)A ＝0且B ≠0 (2)B ＝0且A ≠0 (3)C ＝0且A ，B 不同时为0 (4)A －B ＋C ＝0三、解答题9．已知直线与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点且线段AB 的中点为P (4,1)，求直线l 的方程．【解】 由题意可设A (x,0)，B (0，y )，由中点坐标公式可得⎩⎨⎧x ＋02＝4，0＋y2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8，y ＝2，∴A (8,0)，B (0,2)，由直线方程的截距式得l 方程为x 8＋y2＝1，即x ＋4y －8＝0.10．设直线l ：(m 2－2m －3)x ＋(2m 2＋m －1)y －2m ＋6＝0(m ≠－1)，根据下列条件分别确定m 的值：(1)直线l 在x 轴上的截距为－3； (2)直线l 的斜率为1.【解】 (1)令y ＝0得x ＝2m －6m 2－2m －3(m 2－2m －3≠0)，由题知，2m －6m 2－2m －3＝－3，解得m ＝3(舍)，m ＝－53.(2)∵直线l 的斜率为k ＝－m 2－2m －32m 2＋m －1，∴－m 2－2m －32m 2＋m －1＝1，解得m ＝43.11．设直线l 的方程为(a ＋1)x ＋y ＋2－a ＝0(a ∈R )． (1)若直线l 在两坐标轴上的截距相等，求直线l 的方程； (2)若直线l 不经过第二象限，求实数a 的取值范围．【解】 (1)当直线过原点时，该直线在x 轴和y 轴上的截距都为零，则当a ＝2时满足条件，此时方程为3x ＋y ＝0.当a ＝－1时，直线为平行于x 轴的直线，在x 轴上无截距，不合题意．当a ≠－1且a ≠2时，由a －2a ＋1＝a －2，得a ＝0，则当a ＝0时，直线在x 轴、y 轴上的截距都为－2，此时方程为x ＋y ＋2＝0.综上所述，当a ＝2或a ＝0时，直线l 在两坐标轴上的截距相等，此时方程为3x ＋y ＝0或x ＋y ＋2＝0.(2)将直线l 的方程转化为y ＝－(a ＋1)x ＋a －2，则⎩⎪⎨⎪⎧ －(a ＋1)>0，a －2≤0，或⎩⎪⎨⎪⎧－(a ＋1)＝0，a －2≤0.解得a ≤－1.故a 的取值范围为(－∞，－1].求过点(4，－3)且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线l 的方程．【思路探究】 要求直线方程，可结合题中的截距的绝对值相等来求，或求出直线的斜率获得直线方程．【自主解答】 法一 设直线在x 轴、y 轴上的截距分别为a ，b . ①当a ≠0，b ≠0时，设l 的方程为x a ＋yb ＝1.∵点(4，－3)在直线上，∴4a ＋－3b ＝1，若a ＝b ，则a ＝b ＝1，直线方程为x ＋y ＝1.若a ＝－b ，则a ＝7，b ＝－7，此时直线的方程为x －y ＝7. ②当a ＝b ＝0时，直线过原点，且过点(4，－3)， ∴直线的方程为3x ＋4y ＝0.综上知，所求直线方程为x ＋y －1＝0或x －y －7＝0或3x ＋4y ＝0. 法二 设直线l 的方程为y ＋3＝k (x －4)， 令x ＝0，得y ＝－4k －3；令y ＝0，得x ＝4k ＋3k .又∵直线在两坐标轴上的截距的绝对值相等， ∴|－4k －3|＝|4k ＋3k |，解得k ＝1或k ＝－1或k ＝－34.∴所求的直线方程为x －y －7＝0或x ＋y －1＝0或3x ＋4y ＝0.1．由于直线的截距式方程不能表示过原点的直线，因此法一首先考虑过原点的特殊情况，截距为0的直线很容易被遗忘，应引起重视．2．求直线在坐标轴上的截距的方法是：令x ＝0，所得y 值是在y 轴上的截距，令y ＝0，所得x 值是在x 轴上的截距．求过点A (4,2)，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线l 的方程．【解】 当直线过原点时，它在x 轴、y 轴上的截距都是0，满足题意．此时，直线的斜率为12，所以直线方程为x －2y ＝0.当直线不过原点时，由题意可设直线方程为x a ＋y b ＝1，过点A ，∴4a ＋2b ＝1.①∵直线在两坐标轴上的截距的绝对值相等，所以 |a |＝|b |.②由①②联立方程组，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝6，b ＝6或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－2，∴所求直线的方程为x 6＋y 6＝1或x 2＋y－2＝1，化简即得直线l 的方程为x ＋y ＝6或x －y ＝2.综上，直线方程为x －2y ＝0或x ＋y －6＝0或x －y －2＝0.。
学案4：3.2.2 直线的两点式方程~3.2.3 直线的一般式方程
3.2.2 直线的两点式方程~3.2.3 直线的一般式方程1．会根据条件写出直线的两点式方程和截距式方程．(重点)2．了解二元一次方程与直线的对应关系，掌握直线的一般形式．(重点、难点) 3．能根据所给条件求直线方程，并能在几种形式间相互转化．(难点、易混点) 基础·初探教材整理1 直线方程的两点式和截距式，1.一条直线不与坐标轴平行或重合，则它的方程( ) A ．可以写成两点式或截距式 B ．可以写成两点式或斜截式或点斜式 C ．可以写成点斜式或截距式D ．可以写成两点式或截距式或斜截式或点斜式 教材整理2 线段的中点坐标公式若点P 1，P 2的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，设P (x ，y )是线段P 1P 2的中点，则⎩⎨⎧x ＝x 1＋x 22，y ＝y 1＋y22.预习自测2.已知A (1,2)及AB 的中点(2,3)，则B 点的坐标是________． 教材整理3 直线的一般式方程1．定义：关于x ，y 的二元一次方程 (其中A ，B 不同时为0)叫做直线的一般式方程，简称一般式．2．斜率：直线Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为0)，当B ≠0时，其斜率是－AB ，在y 轴上的截距是－CB .当B ＝0时，这条直线垂直于x 轴，不存在斜率．预习自测3.直线3x －2y ＝4的截距式方程是( ) A.3x 4－y2＝1 B.x 13－y 12＝4 C.3x 4－y－2＝1 D.x 43＋y－2＝1 合作学习类型1 直线的两点式方程例1 在△ABC 中，A (－3,2)，B (5，－4)，C (0，－2)， (1)求BC 所在直线的方程；(2)求BC 边上的中线所在直线的方程． 名师指导求直线的两点式方程的策略以及注意点(1)当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方程的适用条件：两点的连线不平行于坐标轴，若满足，则考虑用两点式求方程．(2)由于减法的顺序性，一般用两点式求直线方程时常会将字母或数字的顺序错位而导致错误．在记忆和使用两点式方程时，必须注意坐标的对应关系． 跟踪训练1．(1)若直线l 经过点A (2，－1)，B (2,7)，则直线l 的方程为________； (2)若点P (3，m )在过点A (2，－1)，B (－3,4)的直线上，则m ＝________. 类型2 直线的截距式方程例2 求过点(4，－3)且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线l 的方程. 名师指导用截距式方程解决问题的优点及注意事项1．由截距式方程可直接确定直线与x轴和y轴的交点的坐标，因此用截距式画直线比较方便．2．在解决与截距有关或直线与坐标轴围成的三角形面积、周长等问题时，经常使用截距式．3．但当直线与坐标轴平行时，有一个截距不存在；当直线通过原点时，两个截距均为零．在这两种情况下都不能用截距式，故解决问题过程中要注意分类讨论．跟踪训练2．求过定点P(2,3)且在两坐标轴上的截距相等的直线l的方程．探究共研型探究点直线一般式方程的应用探究1已知直线l过点(2,0)，(0,3)，能否写出直线l的方程的五种形式？探究2直线的一般式方程与其他形式比较，有什么优点？探究3当A＝0，或B＝0，或C＝0时，方程Ax＋By＋C＝0分别表示什么样的直线？例3(1)已知直线l1：2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线l2：mx＋3y－2＝0平行，求m的值；(2)当a为何值时，直线l1：(a＋2)x＋(1－a)y－1＝0与直线l2：(a－1)x＋(2a＋3)y＋2＝0互相垂直？名师指导1.利用一般式解决直线平行与垂直问题的策略直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，直线l2∶A2x＋B2y＋C2＝0，①若l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0(或A1C2－A2C1≠0).②若l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0.2.与已知直线平行(垂直)的直线方程的求法①与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线方程可设为Ax＋By＋m＝0，(m≠C).②与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线方程可设为Bx－Ay＋m＝0.)跟踪训练3．已知两直线方程l1：mx＋2y＋8＝0和l2：x＋my＋3＝0，当m为何值时：(1)两直线互相平行？(2)两直线互相垂直？课堂检测1．过点A(3,0)和B(2,1)的直线方程为()A．x＋y－3＝0B．x－y－3＝0C．x＋y＋3＝0D．x－y＋3＝02．经过P(4,0)，Q(0，－3)两点的直线方程是()A．x4＋y3＝1 B．x3＋y4＝1C．x4－y3＝1 D．x3－y4＝13．过点A(－1,3)且平行于直线x－2y＋3＝0的直线方程为________.4．在平面直角坐标系xOy中，若直线l1：x－2y－1＝0和直线l2：2x－ay－a＝0平行，则常数a的值为__________．5．求过点A(4,2)且在两坐标轴上截距之和为12的直线l的方程．参考答案预习自测1.【答案】B【解析】由于直线不与坐标轴平行或重合，所以直线的斜率存在，且直线上任意两点的横坐标及纵坐标都不相同，所以直线能写成两点式或斜截式或点斜式．由于直线在坐标轴上的截距有可能为0，所以直线不一定能写成截距式，故选B. 预习自测2. 【答案】 (3,4)【解析】 设B (x ，y )，则⎩⎨⎧1＋x2＝2，2＋y2＝3，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＝4，即B (3,4)． 教材整理3 直线的一般式方程 1． Ax ＋By ＋C ＝0 预习自测 3. 【答案】 D【解析】 将3x －2y ＝4化为x 43＋y－2＝1即得．合作学习类型1 直线的两点式方程例1 【解析】 (1)由两点式直接求BC 所在直线的方程； (2)先求出BC 的中点，再由两点式求直线方程．解：(1)∵BC 边过两点B (5，－4)，C (0，－2)，∴由两点式得y －(－4)(－2)－(－4)＝x －50－5，即2x ＋5y ＋10＝0.故BC 所在直线的方程为2x ＋5y ＋10＝0. (2)设BC 的中点为M (x 0，y 0)， 则x 0＝5＋02＝52，y 0＝(－4)＋(－2)2＝－3.∴M ⎝⎛⎭⎫52，－3， 又BC 边上的中线经过点A (－3,2)． ∴由两点式得y －2－3－2＝x －(－3)52－(－3)，即10x ＋11y ＋8＝0.故BC 边上的中线所在直线的方程为10x ＋11y ＋8＝0. 跟踪训练1．【答案】 (1)x ＝2 (2)－2【解析】 (1)由于点A 与点B 的横坐标相等，所以直线l 没有两点式方程，所求的直线方程为x ＝2.(2)由两点式方程得，过A ，B 两点的直线方程为y －(－1)4－(－1)＝x －2－3－2，即x ＋y －1＝0.又点P (3，m )在直线AB 上，所以3＋m －1＝0，得m ＝－2. 类型2 直线的截距式方程例2 【解析】 解此题可以利用两种方法，法一：利用截距式，分三种情况，截距相等不为零，截距互为相反数不为零，截距均为零，法二：利用点斜式，然后利用截距的绝对值相等求斜率．解：法一 设直线在x 轴、y 轴上的截距分别为a ，b . ①当a ≠0，b ≠0时，设l 的方程为x a ＋yb ＝1.∵点(4，－3)在直线上，∴4a ＋－3b ＝1，若a ＝b ，则a ＝b ＝1，直线方程为x ＋y ＝1.若a ＝－b ，则a ＝7，b ＝－7，此时直线的方程为x －y ＝7. ②当a ＝b ＝0时，直线过原点，且过点(4，－3)， ∴直线的方程为3x ＋4y ＝0.综上知，所求直线方程为x ＋y －1＝0或x －y －7＝0或3x ＋4y ＝0. 法二 设直线l 的方程为y ＋3＝k (x －4)， 令x ＝0，得y ＝－4k －3；令y ＝0，得x ＝4k ＋3k .又∵直线在两坐标轴上的截距的绝对值相等， ∴|－4k －3|＝⎪⎪⎪⎪4k ＋3k ，解得k ＝1或k ＝－1或k ＝－34.∴所求的直线方程为x －y －7＝0或x ＋y －1＝0或3x ＋4y ＝0. 跟踪训练2．解：设直线的两截距都是a ，则有①当a ＝0时，直线为y ＝kx ，将P (2,3)代入得k ＝32，∴l ：3x －2y ＝0；②当a ≠0时，直线设为x a ＋ya ＝1，即x ＋y ＝a ，把P (2,3)代入得a ＝5，∴l ：x ＋y ＝5. ∴直线l 的方程为3x －2y ＝0或x ＋y －5＝0.探究共研型探究点 直线一般式方程的应用探究1 【答案】 能．直线l 的斜率k ＝3－00－2＝－32，点斜式方程y －0＝－32(x －2)；斜截式方程y ＝－32x ＋3；两点式方程y －03－0＝x －20－2；截距式方程x 2＋y3＝1，一般式方程3x ＋2y －6＝0.探究2 【答案】 坐标平面内的任何一条直线，都可以用一般式表示，而其他形式都有一定的局限性．探究3 【答案】 (1)若A ＝0，则y ＝－CB ，表示与y 轴垂直的一条直线．(2)若B ＝0，则x ＝－CA ，表示与x 轴垂直的一条直线．(3)若C ＝0，则Ax ＋By ＝0，表示过原点的一条直线．例3 【解析】 解答本题可以从两直线的位置关系与斜率的对应关系入手，也可以根据斜率关系求出参数值后，代入验证． 解：(1)法一：由l 1：2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0， l 2：mx ＋3y －2＝0知：①当m ＝0时，显然l 1与l 2不平行． ②当m ≠0时，l 1∥l 2，需2m ＝m ＋13≠4－2.解得m ＝2或m ＝－3，∴m 的值为2或－3. 法二：令2×3＝m (m ＋1)， 解得m ＝－3或m ＝2.当m ＝－3时，l 1：x －y ＋2＝0，l 2：3x －3y ＋2＝0， 显然l 1与l 2不重合，∴l 1∥l 2.同理当m ＝2时，l 1：2x ＋3y ＋4＝0，l 2：2x ＋3y －2＝0， 显然l 1与l 2不重合，∴l 1∥l 2. ∴m 的值为2或－3.(2)法一：由题意知，直线l 1⊥l 2.①若1－a ＝0，即a ＝1时，直线l 1：3x －1＝0与直线l 2：5y ＋2＝0显然垂直． ②若2a ＋3＝0，即a ＝－32时，直线l 1：x ＋5y －2＝0与直线l 2：5y －4＝0不垂直．③若1－a ≠0，且2a ＋3≠0，则直线l 1，l 2的斜率k 1，k 2都存在，k 1＝－a ＋21－a ，k 2＝－a －12a ＋3.当l 1⊥l 2时，k 1·k 2＝－1，即⎝ ⎛⎭⎪⎫－a ＋21－a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－a －12a ＋3＝－1，∴a ＝－1.综上可知，当a ＝1或a ＝－1时，直线l 1⊥l 2. 法二：由题意知直线l 1⊥l 2. ∴(a ＋2)(a －1)＋(1－a )(2a ＋3)＝0， 解得a ＝±1，将a ＝±1代入方程，均满足题意． 故当a ＝1或a ＝－1时，直线l 1⊥l 2. 跟踪训练3． 解：(1)当m ＝0时，l 1与l 2显然不平行． 当m ≠0时，l 1的斜率k 1＝－m2，在y 轴上的截距b 1＝－4，l 2的斜率k 2＝－1m ，在y 轴上的截距b 2＝－3m .∵l 1∥l 2，∴k 1＝k 2，且b 1≠b 2. 课堂检测 1．【答案】 A【解析】 由两点式方程得y －01－0＝x －32－3，整理得x ＋y －3＝0. 2．【答案】 C【解析】 因为由点坐标知直线在x 轴，y 轴上截距分别为4，－3， 所以直线方程为x 4＋y－3＝1.3．【答案】 x －2y ＋7＝0【解析】 由题意可设所求直线方程为x －2y ＋m ＝0， 将点A (－1,3)代入，可得m ＝7， 所以所求直线的方程为x －2y ＋7＝0. 4．【答案】 4【解析】 由于l 1∥l 2，所以1×(－a )－(－2)×2＝0且－2×(－a )－(－a )×(－1)≠0，得a ＝4. 5．解：设直线l 的方程为x a ＋yb ＝1，由题意⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b ＝1，a ＋b ＝12.∴4b ＋2a ＝ab ，即4(12－a )＋2a ＝a (12－a )， ∴a 2－14a ＋48＝0，解得a ＝6或a ＝8.因此⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝6，b ＝6，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝8，b ＝4.∴所求直线l 的方程为x ＋y －6＝0或x ＋2y －8＝0.。
人教版数学必修二3.2.3《直线的一般方程》表格教案
【三】例题解析例1：已知直线经过点()4,6-A ，斜率为34-，求直线的点斜式和一般式方程。
变式训练：由下列条件，写出直线的方程，并把它化成一般式：（1）在y 轴上的截距为2，斜率是1-；（2）经过点()2,3-A 并与直线01243=--y x 垂直。
讲解例题，学生自行完成变式训练。
根据条件选择合适的直线方程形式表示直线，再写成一般式。
特别注意，变式训练（2）有两种方法，若有直接设出方程3x -4y +m =0的须号召大家鼓掌表扬！例2：把直线l 的一般方程x -2y +6=0化成斜截式，求出直线l 的斜率以及它在x 轴与y 轴上的截距，并画出图形．变式训练：求直线l :2x -5y -10=0与坐标轴围成的三角形的面积.设计意图：例1是从“数”的方面加深了对一般式的认识，例2则从“形”的方面来进一步认识一般式，于是数与形就有了和谐的结合。
这里还要注意提醒学生：画出一条直线的基本步骤是：画平面直角坐标系，找直线上不同的2点（方法任选，如赋值法等），连接这2点并延长。
【画、找、连】【四】探究与升华我们通过直线的点斜式可以看出直线上的一点和它的斜率，通过截距式可以看出直线在x ,y 轴上的截距，但是这些直线方程的特殊形式都不能表示平面直角坐标系内任意一条直线。
而可以表示平面直角坐标系内的任意一条直线的一般式的系数A ,B ,C 与直线的位置和特征有什么联系呢？探究1.在方程Ax +By +C =0(A ,B 不同时为0)中，（1）当A =0，B ≠0，C ≠0时，方程表示的直线与y 轴 ；（2）当A 、B 不同时为0，C =0时，方程表示的直线必过 。
探究2：在方程Ax +By +C =0(A ,B 不同时为0)中，A ，B ，C 为何值时，方程表示的直线：（1）平行于轴；（2）与两坐标轴都相交。
练习：1.已知直线l :Ax +By +C =0的图象如图所示，则（ ）A.若C >0，则A >0，B >0B.若C >0，则A <0，B >0C.若C <0，则A >0，B <0D.若C <0，则A >0，B >02.设点()00,y x P 在直线Ax +By +C =0。
2019-2020年高中数学《3.2.3直线的一般式方程》学案 新人教A版必修2
2019-2020年高中数学《3.2.3直线的一般式方程》学案 新人教A 版必修2一．学习目标：根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的一般式，体会一般式与直线其它方程形式之间的关系.二．重点、难点：重点：难点：三．知识要点：1. 一般式（general form ）：，注意A 、B 不同时为0. 直线一般式方程化为斜截式方程，表示斜率为，y 轴上截距为的直线.2 与直线平行的直线，可设所求方程为；与直线垂直的直线，可设所求方程为. 过点的直线可写为.经过点，且平行于直线l 的直线方程是；经过点，且垂直于直线l 的直线方程是.3. 已知直线的方程分别是：（不同时为0），（不同时为0），则两条直线的位置关系可以如下判别：（1）； （2）1212211221//0,0l l A B A B AC A B ⇔-=-≠；（3）与重合122112210,0A B A B AC A B ⇔-=-=； （4）与相交.如果时，则；与重合；与相交.四．自主探究例题精讲：【例1】已知直线：，：，问m 为何值时：（1）； （2）.解：（1）时，，则，解得m ＝0.（2）时，, 解得m ＝1.【例2】（1）求经过点且与直线平行的直线方程；（2）求经过点且与直线垂直的直线方程.解：（1）由题意得所求平行直线方程，化为一般式.（2） 由题意得所求垂直直线方程，化为一般式.【例3】已知直线l 的方程为3x+4y －12=0，求与直线l 平行且过点（－1，3）的直线的方程．分析：由两直线平行，所以斜率相等且为，再由点斜式求出所求直线的方程.解：直线l:3x+4y －12=0的斜率为，∵ 所求直线与已知直线平行， ∴所求直线的斜率为，又由于所求直线过点（－1，3），所以，所求直线的方程为：，即.点评：根据两条直线平行或垂直的关系，得到斜率之间的关系，从而由已知直线的斜率及点斜式求出所求直线的方程. 此题也可根据直线方程的一种形式而直接写出方程，即，再化简而得.【例4】直线方程的系数A 、B 、C 分别满足什么关系时，这条直线分别有以下性质?（1）与两条坐标轴都相交；（2）只与x 轴相交；（3）只与y 轴相交；（4）是x 轴所在直线；（5）是y 轴所在直线.分析：由直线性质，考察相应图形，从斜率、截距等角度，分析系数的特征.解：（1）当A ≠0，B ≠0，直线与两条坐标轴都相交.（2）当A ≠0，B=0时，直线只与x 轴相交.（3）当A ＝0，B ≠0时，直线只与y 轴相交.（4）当A ＝0，B ≠0，C ＝0，直线是x 轴所在直线.（5）当A ≠0，B ＝0，C ＝0时，直线是y 轴所在直线.点评：结合图形的几何性质，转化为方程形式所满足的代数形式. 对于直线的一般式方程，需要特别注意以上几种特殊位置时的方程形式.五．目标检测（一）基础达标1．如果直线的倾斜角为，则有关系式（）.A. B. C. D. 以上均不可能2．若，则直线必经过一个定点是（）.A. B. C. D.3．直线与两坐标轴围成的面积是（）.A． B． C． D．4．（xx京皖春）直线（）x+y=3和直线x+（）y=2的位置关系是（）.A. 相交不垂直B. 垂直C. 平行D. 重合5．已知直线mx+ny+1=0平行于直线4x+3y+5=0，且在y轴上的截距为，则m，n的值分别为（）.A. 4和3B. －4和3C. －4和－3D. 4和－36．若直线x+ay+2=0和2x+3y+1=0互相垂直，则a= .7．过两点（5，7）和（1，3）的直线一般式方程为；若点（，12）在此直线上，则＝．（二）能力提高8．根据下列各条件写出直线的方程，并且化成一般式：（1）斜率是－，经过点A（8，－2）；（2）经过点B(4，2)，平行于轴；（3）在轴和轴上的截距分别是,－3；（4）经过两点（3，－2）、（5，－4）.9．已知直线的方程分别是：（不同时为0），（不同时为0），且. 求证.（三）探究创新10．已知直线，，求m的值，使得：（1）l1和l2相交；（2）l1⊥l2；（3）l1//l2；（4）l1和l2重合.2019-2020年高中数学《3.2.4互斥事件》教案新人教版必修3【教学目标】1、用集合的观点理解互斥与对立事件；2、注意一题多解，和方法的灵活性。
21-22版：3.2.3 直线的一般式方程(创新设计)
28
课前预习
课堂互动
课堂反馈
@《创新设计》
2.直线的一般式方程的结构特征 (1)方程是关于x，y的二元一次方程. (2)方程中等号的左侧自左向右一般按x，y，常数的先后顺序排列. (3)x的系数一般不为分数和负数. (4)虽然一般式直线方程有三个系数，但只需两个独立的条件即可求得直线的方程. 特别提醒 在利用直线方程的四种特殊式时，一定要注意其适用的前提条件.
规律方法 已知含参数的直线的一般式方程求参数的值或范围的步骤
@《创新设计》
13
课前预习
课堂互动
课堂反馈
@《创新设计》
【训练2】 已知方程(2m2＋m－3)x＋(m2－m)y＝4m－1表示直线.当m＝____________ 时，直线的倾斜角为45°；当m＝____________时，直线在x轴上的截距为1.
22
课前预习
课堂互动
@《创新设计》 课堂反馈
@《创新设计》
课堂达标
1.若方程Ax＋By＋C＝0表示直线，则A，B应满足的条件为( )
A.A≠0
B.B≠0
C.A·B≠0
D.A2＋B2≠0
解析 方程Ax＋By＋C＝0表示直线的条件为A，B不能同时为0，即A2＋B2≠0. 答案 D
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课前预习
课堂互动
课堂反馈
@《创新设计》
法二 (1)由 l′与 l 平行，可设 l′的方程为 3x＋4y＋m＝0(m≠－12).将点(－1，3) 代入上式得 m＝－9. ∴所求直线的方程为 3x＋4y－9＝0. (2)由 l′与 l 垂直，可设 l′的方程为 4x－3y＋n＝0. 将(－1，3)代入上式得 n＝13. ∴所求直线的方程为 4x－3y＋13＝0.
3.2.3 直线的一般式方程(教案)
3.2.3直线的一般式方程教学目标1.掌握直线的一般式方程.2.理解关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)都表示直线.3.会进行直线方程的五种形式之间的转化.【教学重点】直线方程的一般式及各种形式的互化.【教学难点】在直角坐标系中直线方程与关于x和y的一次方程的对应关系，关键是直线方程【教学方法】启发式、讲练结合【教学过程】㈠复习提问：①直线方程有几种形式？③每一个关于x,y的二元一次方程Ax+By+C=0(A,B不同时为0）都表示一条直线吗？㈡新课探讨：①任何一条直线的方程都是关于ｘ，ｙ的二元一次方程；②任何关于x，y的一次方程Ax+By+c=0（A，B不同时为零）的图象是一条直线；定义：我们把x，y的一元二次方程Ax+By+C=0（其中A,B不同时为0）叫做直线方程的一般式.注：一般式适用于任何一条直线.对于直线方程的一般式，一般作如下约定：x的系数为正，x,y的系数及常数项一般不出现分数，一般按含x 项，含y 项、常数项顺序排列.探究： 在方程Ax+By+C=0中，A ，B ，C 为何值时，方程表示的直线为：①平行于x 轴； ②平行于y 轴； ③与x 轴重合 ； ④与y 轴重合.（三）例题讲解：例1：已知直线经过点A （6，- 4），斜率为 – 4/3，求直线的点斜式、一般式和截距式方程。
巩固训练1：若直线l 在x 轴上的截距-4时，倾斜角的余弦值是-3/5，则直线l 的点斜式方程线l 的斜截式方程是；直线l 的一般式方程是__4x+3y+16=0_________例2：把直线L 的方程x –2y+6= 0化成斜截式，求出直线L 的斜率和它在x 轴与y 轴上的截距，并画图。
巩固训练2：设直线l 的方程为Ax+By+c=0（A ，B 不同时为零），根据下列各位置特征，写出A ，B ，C 应满足的关系：直线l 过原点:___C=0_________；直线l 过点(1,1):____A+B+C=0 _______；直线l 平行于 轴:_A=0,B=0,C=0___；直线l 平行于轴:__A=0,B=0,C=0_______巩固训练31、若直线（2m2-5m -3)x -(m2-9)y+4=0的倾斜角为450，则m 的值是 （ ）（A ）3 （B ） 2 （C ）-2 （D ）2与32、若直线(m+2)x+(2-m)y=2m 在x 轴上的截距为3，则m 的值是__________例4：利用直线方程的一般式，求过点（0，3）并且与坐标轴围 成三角形面积是6的直线方程。
3.2.3 直线的一般式方程
1234
当堂检测
1.已知直线2x+ay+b=0在x轴、y轴上的截距分别为-1,2,则a,b的值 分别为( )
A.-1,2 B.-2,2
C.2,-2 D.-2,-2 解析:令 x=0,则 y=-������������=2;令 y=0,则 x=-���2���=-1,得 b=2,a=-1,故选 A. 答案:A
故当a=1或a=-1时,直线l1⊥l2.
探究一
探究二
思想方法
课堂篇 探究学习
反思感悟由直线的一般式方程解决平行与垂直问题
直线l1:A1x+B1y+C1=0,直线l2:A2x+B2y+C2=0. (1)l1∥l2⇔A1B2-A2B1=0,且B1C2-B2C1≠0(或A1C2-A2C1≠0). (2)l1⊥l2⇔A1A2+B1B2=0.
课堂篇 探究学习
探究一
探究二
思想方法
解法一 由题设 l 的方程可化为 y=-34x+3,
∴l 的斜率为-34. (1)∵直线 l'与 l 平行,∴l'的斜率为-34. 又∵直线 l'过(-1,3),由点斜式知方程为 y-3=-34(x+1),即 3x+4y-9=0. (2)由 l'与 l 垂直,∴l'的斜率为4,
当堂检测
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2.两直线ax-by-1=0(ab≠0)与bx-ay-1=0(ab≠0)的图象可能是图中的 哪一个( )
解析:当
a<0,b>0
时,直线
ax-by=1
高中数学必修二 3.2.3 直线的一般式方程
=
1.
重难点突破
12
由于直线方程的斜截式和截距式是唯一的,而两点式和点斜式不 唯一,因此,通常情况下,一般式不化为两点式和点斜式.
注意:在直线方程的几种形式中,任何形式的方程都可以化成一 般式方程,化为一般式方程以后原方程的限制条件就消失了;其他 形式的方程互化时,限制条件也可能发生变化;一般式方程化为其 他形式的方程时,要注意限制条件,它们有如下的转化关系:
������
������
一般式化截距式的步骤:
(1)把常数项移到方程右边,得 Ax+By=-C;
(2)当
C≠0
时,方程两边同除以-C,得
������������ -������
+
������������ -������
=
1;
(3)化为截距式
������ -������������
+
������ -������������
①当 B≠0 时,则− ������ = ������(斜率), − ������ = ������(������轴上的截距);
������
������
②当
B=0�
=
������(������轴上的截距),
此时斜率不存在.
知识梳理
知识拓展1.当AB>0时,k<0,倾斜角α为钝角;当AB<0时,k>0,倾斜角α 为锐角;当A=0,B≠0时,k=0,倾斜角α=0°;当B=0,A≠0时,k不存在,倾 斜角α=90°.
方法二:由两点式方程得 ������-0 = ������-1 , 即x+3y-1=0.
1-0 -2-1
精选例题
题型一 题型二 题型三 题型四
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张喜林制
3. 2.3 直线的一般式方程
【教学目标】
（1）明确直线方程一般式的形式特征；
（2）会把直线方程的一般式化为斜截式，进而求斜率和截距； （3）会把直线方程的点斜式、两点式化为一般式。
【教学重难点】
重点：直线方程的一般式。
难点：对直线方程一般式的理解与应用。
【教学过程】
（一）情景导入、展示目标。
1.直线方程有几种形式？指明它们的条件及应用范围.
点斜式：已知直线上一点P1（x1，y1）的坐标，和直线的斜率k ，则直线的方程是
斜截式：已知直线的斜率k ，和直线在y 轴上的截距b 则直线方程是
两点式：已知直线上两点P1（x1，y1），P2（x2，y2
截距式：已知直线在X 轴Y 轴上的截距为a ，b ，
则直线的方程是
2.直线的方程都可以写成关于,x y 的二元一次方程吗？反过来，二元一次方程都表示直线？
提示：讨论直线的斜率是否存在。
直线l 经过点P 0（x 0，y 0），斜率为k ，则直线的方程为：)(00x x k y y -=-① 当直线l 的倾斜角为90°时，直线的方程为x －x 0＝0 ②
(二)预习检查、总结疑惑
任意一个二元一次方程：Ax ＋By ＋C ＝0（A ，B 不同时为0）是否表示一条直线？ 当B ≠0时，上述方程可变形为：B
C x B A y --= 它表示过点（0，B C -
）斜率为B
A
-的直线。
)(11x x k y y -=-b kx y +=1
21121x x x
x y y y y --=--1=+b
y a x
当B ＝0时，是一条平行于y 轴的直线。
由上述可知，关于x ，y 的二元一次方程，它表示一条直线。
我们把关于x ，y 的二元一次方程Ax ＋By ＋C ＝0（A ，B 不同时为0）叫做直线的一般式方程，简称一般式（general form ）。
（三）合作探究、精讲点拨。
探究一：方程Ax ＋By ＋C ＝0中，A ，B ，C 为何值时，方程表示直线：（1）平行于x 轴；（2）平行于y 轴；（3）与x 轴重合；（4）与y 轴重合。
探究二：直线与二元一次方程具有什么样的关系？
答: 直线与二元一次方程是一对多的对应,同一条直线对应的多个二元一次方程是同解方程
探究三：直线方程的一般式与其他几种形式的直线方程相比，它有什么优点？
直线的一般式方程能够表示平面上的所有直线，而点斜式、斜截式、两点式方程，都不能表示与x 轴垂直的直线。
例1.已知直线经过点(6,4),斜率为4
3
,求直线的点斜式和一般式方程. 分析：直接用点斜式写出，然后化简。
解：所求的直线方程为： y ＋4＝－
3
4
（x －6），化为一般式： 4x ＋3y －12＝0。
点评：对刚学的知识进行检验。
变式：
求经过A （3，-2）B （5，-4）的直线方程，化为一般式。
例2、把直线l 的一般式方程x －2y ＋6＝0化成斜截式，求出直线l 的斜率以及它 在x 轴与y 轴上的截距，并画出图形。
分析：对式子变形，考察对截距的理解。
解：将直线l 的一般式方程化成斜截式： y ＝
2
1
x ＋3 因此，直线的斜率为k ＝
2
1
，它在y 轴上的截距为3。
在直线方程x －2y ＋6＝0中，令y ＝0，得
x＝－6
过两点可以画一条直线，就是直线l 的图形。
直线与x轴、y轴的交点分别为A（－6,0），B（0,3）
直线在x轴上的截距为－6。
点评：考察对截距的理解，对式子进行变形，然后描点连续。
变式：已知直线l 经过点（－２，２）且与两坐标轴围成单位面积的三角形，求该直线的方程。
㈣反馈测试
导学案当堂检测
㈤总结反思、共同提高
【板书设计】
一．直线的一般式方程
定义
形式
二.探究问题
三、例题
例1
变式1
例2
变式爬黑板
【作业布置】
导学案课后练习与提高
2
C
AB
3.2.3 直线的一般式方程
课前预习学案
一、预习目标
通过预习同学们知道直线的方程都可以写成关于,x y的二元一次方程吗？反过来，二元一次方程都表示直线？
二、预习内容
1.直线方程有几种形式？指明它们的条件及应用范围.
2.直线的方程都可以写成关于,x y的二元一次方程吗？反过来，二元一次方程都表示直线？
提示：讨论直线的斜率是否存在。
3.任意一个二元一次方程：Ax＋By＋C＝0（A，B不同时为0）是否表示一条直线？
疑惑点疑惑内容
课内探究学案
一、学习目标：
（1）明确直线方程一般式的形式特征；
（2）会把直线方程的一般式化为斜截式，进而求斜率和截距；
（3）会把直线方程的点斜式、两点式化为一般式。
学习重点：直线方程的一般式。
学习难点：对直线方程一般式的理解与应用。
二、学习过程
探究一：方程Ax＋By＋C＝0中，A，B，C为何值时，方程表示直线：（1）平行于x轴；
（2）平行于y轴；（3）与x轴重合；（4）与y轴重合。
探究二：直线与二元一次方程具有什么样的关系？
答:
探究三：直线方程的一般式与其他几种形式的直线方程相比，它有什么优点？
例1.已知直线经过点(6,4),斜率为
4
3
,求直线的点斜式和一般式方程.
分析：直接用点斜式写出，然后化简。
解
变式：
求经过A（3，-2）B（5，-4）的直线方程，化为一般式。
例2、把直线l的一般式方程x－2y＋6＝0化成斜截式，求出直线l的斜率以及它
在x轴与y轴上的截距，并画出图形。
分析：对式子变形，考察对截距的理解。
变式：已知直线l经过点（－２，２）且与两坐标轴围成单位面积的三角形，求该直线的方程。
反思总结
二元一次方程的每一组解都可以看与平面直角坐标系中一个点的坐标，这个方程的全体解组的集合，就是坐标满足二元一次方程的体点的集合，这些点的集合组成了一条直线。
平面直角坐标系就是把方程和曲线连起的桥梁。
我们已经学习了直线的一般式方程，那么，直线方程之间的区别与联系是什么？关键是理解方程和直线之间的关系。
当堂检测
1、若直线（2m2-5m-3)x-(m2-9)y+4=0的倾斜角为45度，则m 的值是 （ ） （A ）3 （B ） 2 （C ）-2 （D ）2与3
2、若直线(m+2)x+(2-m)y=2m 在x 轴上的截距为3，则m 的值是________
答案B -6
课后练习与提高
1.若直线0=++C By Ax 通过第二、三、四象限，则系数A 、B 、C 满足条件（ A ） (A)AB<0 C<0 (B)AC<0,BC>0 (C)C=0,AB<0 (D)A=0,BC<0
2. 直线Ax+By+C=0通过第一、二、三象限，则（C ） (A) A ·B>0,A ·C>0 (B) A ·B>0,A ·C<0 (C) A ·B<0,A ·C>0 (D) A ·B<0,A ·C<0
3. 设A 、B 是x 轴上的两点，点P 的横坐标为2，且│PA │=│PB │，若直线PA 的方程为x-y+1=0，则直线PB 的方程是(C ) A.2y-x-4=0 B.2x-y -1=0 C.x+y-5=0 D.2x+y-7=0
4.若直线l 在x 轴上的截距-4时，倾斜角的余弦值是-3/5， 则直线l 的点斜式方程是___________
直线l 的斜截式方程是___________
直线l 的一般式方程是___________
5.已知直线l 1：x-a y-1=0和l 2:a 2x+y+2=0，若l 1⊥l 2，求a 的值.
6.直线062
=++y m x 与直线023)2(=++-m my x m 没有公共点，
求实数m 的值。
34
3
4
3
26
22---m m m。