1.1 1.2 1.3平移、旋转、反射、位似
初等数学研究 几何部分 第三章 初等几何变换
链接
设G 是一个非空集合，在G存在一种运算·，有
⑴ 封闭性；——广群（代数系统） 半群 ⑵ 结合律； ⑶ 单位元；
单胚
⑷ 逆元（非单位元的元素都有逆元）。
则称 G关于·是一个群。
例如① 正ABC变为自身的变换集合记为G．
第一类：旋转对称．令
A
f0
A
B
f1
B
B C
C
A
⑤ 关于同一旋转中心的两次旋转的乘积是一个旋转；
⑥ 旋转变换的逆变换是旋转变换；
⑦ 同一个旋转中心的所有旋转变换构成一个群，称为
旋转群．旋转群是合同变换群的子群。
例2 设 P 为正ABC内一点，PC 3，PA 4，PB 5 ，
求 ABC的边长． 解 如图3-2-4所示，令 BCP R(C,60o) ACP， 则BCP ≌ ACP， ∴ PC PC ，3 PA PB ，5 B
链接
⑴
⑵ 图3-2-1
第一类合同变换 （真正合同） （定向相同）
（运动群）
第二类合同变换 （镜像合同） （定向相反） （不构成群）
二、合同变换的特例——平移、旋转、反射
1．平移
⑴ 定义
定义6 平面到其自身的变换，如果对于每一个点P 以
及对应点
P，都有
uuur PP
a（其中a
为给定的已知向量），
那么这个变换叫做平面上的平移变换，简称平移，记
⑵ 表述：令 P R(O, ) P或令图形 F R(O, )图形 F，则
图形 F 图形F．
特别地，当 时为点反射。
⑶ 性质
① 旋转变换下，两点间距离保持不变；
② 角度是旋转变化下的不变量；
③ 旋转把任意图形变换成与它真正合同的图形；
位似的教案设计范文
位似的教案设计范文第一章：位似概念的引入1.1 教学目标：了解位似的定义和基本性质，能够识别和运用位似图形。
1.2 教学内容：1.2.1 位似图形的定义：两个图形如果可以通过一个缩放因子（大于1或小于1）和相似的变换（平移、旋转）相互转换，这两个图形就是位似的。
1.2.2 位似图形的性质：位似的图形具有相似的形状和大小，但位置和方向可能不同。
1.3 教学方法：采用讲授法和互动讨论法，通过具体的图形例子引导学生理解和掌握位似的概念。
1.4 教学步骤：1.4.1 引入位似的概念：通过展示两个相似的图形，让学生观察它们之间的关系。
1.4.2 讲解位似图形的定义：详细解释位似图形的定义和性质。
1.4.3 互动讨论：学生分组讨论，找出更多的位似图形例子，并解释它们之间的位似关系。
1.4.4 练习题：学生完成一些相关的练习题，巩固对位似概念的理解。
第二章：位似图形的画法2.1 教学目标：学会如何画出位似图形，能够运用位似性质进行图形的变换。
2.2 教学内容：2.2.1 位似图形的画法：通过缩放和变换的方法画出位似图形。
2.2.2 位似变换的性质：位似变换保持图形的形状和大小，但改变位置和方向。
2.3 教学方法：采用讲解法和实践操作法，通过具体的例子引导学生学会画出位似图形。
2.4 教学步骤：2.4.1 讲解位似图形的画法：通过讲解和示范，引导学生学会如何画出位似图形。
2.4.2 实践操作：学生自己尝试画出一些位似图形，并运用位似性质进行图形的变换。
2.4.3 互动讨论：学生分组讨论，分享自己的作品和方法，互相学习和交流。
2.4.4 练习题：学生完成一些相关的练习题，巩固对位似图形的画法。
第三章：位似图形的应用3.1 教学目标：能够运用位似性质解决实际问题，提高空间想象能力和解决问题的能力。
3.2 教学内容：3.2.1 位似图形的应用：通过位似性质解决实际问题，如放大或缩小图形，寻找相似图形等。
3.2.2 位似图形的意义：位似图形在实际中的应用，如设计、建筑、艺术等领域。
人教版初三数学下册中考知识点梳理：第24讲平移、对称、旋转与位似
第七单元图形与变换第24讲平移、对称、旋转与位似中考数学模拟试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．如图，在△ABC中，分别以点A和点C为圆心，大于12AC长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN分别交BC，AC于点D，E，若AE=3cm，△ABD的周长为13cm，则△ABC的周长为（）A．16cm B．19cm C．22cm D．25cm【答案】B【解析】根据作法可知MN是AC的垂直平分线，利用垂直平分线的性质进行求解即可得答案.【详解】解：根据作法可知MN是AC的垂直平分线，∴DE垂直平分线段AC，∴DA=DC，AE=EC=6cm，∵AB+AD+BD=13cm，∴AB+BD+DC=13cm，∴△ABC的周长=AB+BD+BC+AC=13+6=19cm，故选B．【点睛】本题考查作图-基本作图，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握线段的垂直平分线的性质．2．如图，小明为了测量河宽AB，先在BA延长线上取一点D，再在同岸取一点C，测得∠CAD=60°，∠BCA=30°，AC=15 m，那么河AB宽为（）A．15 m B．53m C．103m D．123m【答案】A【解析】过C作CE⊥AB，Rt△ACE中，∵∠CAD=60°，AC=15m，∴∠ACE=30°，AE=12AC=12×15=7.5m，CE=AC•cos30°=15×32=1532，∵∠BAC=30°，∠ACE=30°，∴∠BCE=60°，∴BE=CE•tan60°=1532×3=22.5m，∴AB=BE﹣AE=22.5﹣7.5=15m，故选A．【点睛】本题考查的知识点是解直角三角形的应用，关键是构建直角三角形，解直角三角形求出答案．3．如图，AB是⊙O的直径，D，E是半圆上任意两点，连接AD，DE，AE与BD相交于点C，要使△ADC 与△BDA相似，可以添加一个条件．下列添加的条件中错误的是( )A．∠ACD＝∠DAB B．AD＝DE C．AD·AB＝CD·BD D．AD2＝BD·CD【答案】D【解析】解：∵∠ADC=∠ADB，∠ACD=∠DAB，∴△ADC∽△BDA，故A选项正确；∵AD=DE，∴AD DE，∴∠DAE=∠B，∴△ADC∽△BDA，∴故B选项正确；∵AD2=BD•CD，∴AD：BD=CD：AD，∴△ADC∽△BDA，故C选项正确；∵CD•AB=AC•BD，∴CD：AC=BD：AB，但∠ACD=∠ABD不是对应夹角，故D选项错误，故选：D．考点：1．圆周角定理2．相似三角形的判定4．把不等式组的解集表示在数轴上，下列选项正确的是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由（1）得x＞-1，由（2）得x≤1，所以-1＜x≤1．故选B．5．下列计算正确的是（）A．（a+2）（a﹣2）＝a2﹣2 B．（a+1）（a﹣2）＝a2+a﹣2 C．（a+b）2＝a2+b2D．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2【答案】D【解析】A、原式=a2﹣4，不符合题意；B、原式=a2﹣a﹣2，不符合题意；C、原式=a2+b2+2ab，不符合题意；D、原式=a2﹣2ab+b2，符合题意，故选D6．如图，以两条直线l1，l2的交点坐标为解的方程组是( )A．121x yx y-=⎧⎨-=⎩B．121x yx y-=-⎧⎨-=-⎩C．121x yx y-=-⎧⎨-=⎩D．121x yx y-=⎧⎨-=-⎩【答案】C【解析】两条直线的交点坐标应该是联立两个一次函数解析式所组成的方程组的解．因此本题需先根据两直线经过的点的坐标，用待定系数法求出两直线的解析式．然后联立两函数的解析式可得出所求的方程组．【详解】直线l1经过（2，3）、（0，-1），易知其函数解析式为y=2x-1；直线l2经过（2，3）、（0，1），易知其函数解析式为y=x+1；因此以两条直线l1，l2的交点坐标为解的方程组是：1 21 x yx y-=-⎧⎨-=⎩．故选C．【点睛】本题主要考查了函数解析式与图象的关系，满足解析式的点就在函数的图象上，在函数的图象上的点，就一定满足函数解析式．函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解．7．将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放，第1个图形有4个小圆，第2个图形有8个小圆，第3个图形有14个小圆，…，依次规律，第7个图形的小圆个数是()A．56 B．58 C．63 D．72【答案】B【解析】试题分析：第一个图形的小圆数量=1×2+2=4；第二个图形的小圆数量=2×3+2=8；第三个图形的小圆数量=3×4+2=14；则第n个图形的小圆数量=n(n+1)+2个，则第七个图形的小圆数量=7×8+2=58个. 考点：规律题8．计算6m3÷(－3m2)的结果是()A．－3m B．－2m C．2m D．3m【答案】B【解析】根据单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式计算，然后选取答案即可．【详解】6m3÷（﹣3m2）=[6÷（﹣3）]（m3÷m2）=﹣2m．故选B.9．如图，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点A在x轴正半轴上，OC是△OAB的中线，点B、C在反比例函数y=2x（x＞0）的图象上，则△OAB的面积等于（）A．2 B．3 C． 4 D．6 【答案】B【解析】作BD⊥x轴于D，CE⊥x轴于E，∴BD∥CE，∴CE AE AC BD AD AB==，∵OC是△OAB的中线，∴12 CE AE ACBD AD AB===，设CE=x，则BD=2x，∴C的横坐标为2x，B的横坐标为1x，∴OD=1x，OE=2x，∴DE=OE-OD=2x﹣1x=1x，∴AE=DE=1x，∴OA=OE+AE=213x x x +=，∴S△OAB=12OA•BD=12×32xx⨯=1．故选B.点睛：本题是反比例函数与几何的综合题，熟知反比例函数的图象上点的特征和相似三角形的判定和性质是解题的关键.10．三个等边三角形的摆放位置如图，若∠3＝60°，则∠1＋∠2的度数为（）A．90°B．120°C．270°D．360°【答案】B【解析】先根据图中是三个等边三角形可知三角形各内角等于60°，用∠1，∠2，∠3表示出△ABC各角的度数，再根据三角形内角和定理即可得出结论．【详解】∵图中是三个等边三角形，∠3=60°，∴∠ABC=180°-60°-60°=60°，∠ACB=180°-60°-∠2=120°-∠2，∠BAC=180°-60°-∠1=120°-∠1，∵∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°，∴60°+（120°-∠2）+（120°-∠1）=180°，∴∠1+∠2=120°．故选B.【点睛】考查的是等边三角形的性质，熟知等边三角形各内角均等于60°是解答此题的关键．二、填空题（本题包括8个小题）11．如图，四边形ABCD中，E，F，G，H分别是边AB、BC、CD、DA的中点．若四边形EFGH为菱形，则对角线AC、BD应满足条件_____．【答案】AC=BD．【解析】试题分析：添加的条件应为：AC=BD，把AC=BD作为已知条件，根据三角形的中位线定理可得，HG平行且等于AC的一半，EF平行且等于AC的一半，根据等量代换和平行于同一条直线的两直线平行，得到HG和EF平行且相等，所以EFGH为平行四边形，又EH等于BD的一半且AC=BD，所以得到所证四边形的邻边EH与HG相等，所以四边形EFGH为菱形．试题解析：添加的条件应为：AC=BD．证明：∵E，F，G，H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，∴在△ADC中，HG为△ADC的中位线，所以HG∥AC且HG=12AC；同理EF∥AC且EF=12AC，同理可得EH=12 BD，则HG∥EF且HG=EF，∴四边形EFGH为平行四边形，又AC=BD，所以EF=EH，∴四边形EFGH为菱形．考点：1．菱形的性质；2．三角形中位线定理．12．一个扇形的弧长是83π，它的面积是163π，这个扇形的圆心角度数是_____．【答案】120°【解析】设扇形的半径为r，圆心角为n°．利用扇形面积公式求出r，再利用弧长公式求出圆心角即可．【详解】设扇形的半径为r，圆心角为n°．由题意：1816··233rππ=,∴r＝4，∴2416 3603 nππ=∴n＝120，故答案为120°【点睛】本题考查扇形的面积的计算，弧长公式等知识，解题的关键是掌握基本知识.13．如图，点A，B，C在⊙O上，∠OBC=18°，则∠A=_______________________．【答案】72°．【解析】解：∵OB=OC，∠OBC=18°，∴∠BCO=∠OBC=18°，∴∠BOC=180°﹣2∠OBC=180°﹣2×18°=144°，∴∠A=12∠BOC=12×144°=72°．故答案为72°．【点睛】本题考查圆周角定理，掌握同弧所对的圆周角是圆心角的一半是本题的解题关键．14．已知关于x，y的二元一次方程组2321x y kx y+=⎧⎨+=-⎩的解互为相反数，则k的值是_________．【答案】－1【解析】∵关于x，y的二元一次方程组23{+2=1①②+=-x y kx y的解互为相反数，∴x=-y③，把③代入②得：-y+2y=-1，解得y=-1，所以x=1，把x=1，y=-1代入①得2-3=k，即k=-1.故答案为-115．分解因式：3ax2﹣3ay2＝_____．【答案】3a（x＋y）（x－y）【解析】解：3ax2-3ay2=3a（x2-y2）=3a（x+y）（x-y）．【点睛】本题考查提公因式法与公式法的综合运用．16．《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，在“勾股”章中有这样一个问题：“今有邑方二百步，各中开门，出东门十五步有木，问：出南门几步而见木？”用今天的话说，大意是：如图，DEFG是一座边长为200步（“步”是古代的长度单位）的正方形小城，东门H位于GD的中点，南门K位于ED的中点，出东门15步的A处有一树木，求出南门多少步恰好看到位于A处的树木（即点D在直线AC上）？请你计算KC的长为__________步．【答案】2000 3【解析】分析：由正方形的性质得到∠EDG=90°，从而∠KDC+∠HDA=90°，再由∠C+∠KDC=90°，得到∠C=∠HDA，即有△CKD∽△DHA，由相似三角形的性质得到CK：KD=HD：HA，求解即可得到结论．详解：∵DEFG是正方形，∴∠EDG=90°，∴∠KDC+∠HDA=90°．∵∠C+∠KDC=90°，∴∠C=∠HDA．∵∠CKD=∠DHA=90°，∴△CKD∽△DHA，∴CK：KD=HD：HA，∴CK：100=100：15，解得：CK=20003．故答案为：20003．点睛：本题考查了相似三角形的应用．解题的关键是证明△CKD∽△DHA．17．如图，已知⊙P的半径为2，圆心P在抛物线y＝12x2﹣1上运动，当⊙P与x轴相切时，圆心P的坐标为_____．【答案】6161）【解析】根据直线和圆相切，则圆心到直线的距离等于圆的半径，得点P的纵坐标是1或-1．将P的纵坐标代入函数解析式，求P点坐标即可【详解】根据直线和圆相切，则圆心到直线的距离等于圆的半径，得点P的纵坐标是1或-1．当y=1时，12x1-1=1，解得x=±6当y=-1时，12x1-1=-1，方程无解故P点的坐标为（62，）或（-62，）【点睛】此题注意应考虑两种情况．熟悉直线和圆的位置关系应满足的数量关系是解题的关键．18．若a，b互为相反数，则a2﹣b2=_____．【答案】1【解析】直接利用平方差公式分解因式进而结合相反数的定义分析得出答案．【详解】∵a，b互为相反数，∴a+b=1，∴a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）=1，故答案为1．【点睛】本题考查了公式法分解因式以及相反数的定义，正确分解因式是解题关键．三、解答题（本题包括8个小题）19．如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为12m的住房墙，另外三边用25m长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m宽的门，所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍面积为80m2？【答案】10，1．【解析】试题分析：可以设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为m，可以得出平行于墙的一边的长为m，由题意得出方程求出边长的值．试题解析：设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为m，可以得出平行于墙的一边的长为m，由题意得化简，得，解得：当时，（舍去），当时，，答：所围矩形猪舍的长为10m、宽为1m．考点：一元二次方程的应用题．20．先化简22442x x x x -+-÷(x-4x),然后从-5<x<5的范围内选取一个合适的正整数作为x 的值代入求值. 【答案】当x=－1时，原式=1=11+2-； 当x=1时，原式=11=1+23【解析】先将括号外的分式进行因式分解，再把括号内的分式通分，然后按照分式的除法法则，将除法转化为乘法进行计算．【详解】原式=22(2)4(2)x x x x x--÷- =()2(2)•(2)2(2)x x x x x x --+- =12x + ∵-5＜x ＜5，且x 为整数，∴若使分式有意义，x 只能取-1和1当x=1时，原式=13．或：当x=-1时，原式=1 21．如图，在△ABC 中，AB=AC ，点D ，E 在BC 边上，AD AE =．求证：BD CE =．【答案】见解析【解析】试题分析：证明△ABE ≌△ACD 即可.试题解析：法1：∵AB=AC,∴∠B=∠C,∵AD=CE,∴∠ADE=∠AED,∴△ABE ≌△ACD,∴BE=CD ,∴BD=CE,法2：如图，作AF ⊥BC 于F,∵AB=AC,∴BF=CF,∵AD=AE,∴DF=EF,∴BF －DF=CF －EF,即BD=CE.22．如果a 2+2a-1=0，求代数式24()2a a a a -⋅-的值. 【答案】1【解析】221a a +=2224422a a a a a a a a -⎛⎫-⋅= ⎪--⎝⎭=()()()()2222222a a a a a a a a a +-=+=+-=1. 故答案为1.23．某汽车厂计划半年内每月生产汽车20辆，由于另有任务，每月上班人数不一定相等，实每月生产量与计划量相比情况如下表（增加为正，减少为负）生产量最多的一天比生产量最少的一天多生产多少辆？半年内总生产量是多少？比计划多了还是少了，增加或减少多少？【答案】（1）生产量最多的一天比生产量最少的一天多生产9辆；（2）半年内总生产量是121辆．比计划多了1辆.【解析】（1）由表格可知，四月生产最多为：20+4=24；六月最少为：20-5=15，两者相减即可求解； （2）把每月的生产量加起来即可，然后与计划相比较.【详解】（1）+4－（－5）=9（辆）答：生产量最多的一天比生产量最少的一天多生产9辆.（2）20×6+［+3+(－2)+(－1)+(+4)+(+2)+(－5)］=120+(+1)=121（辆），因为121＞120 121-120=1（辆）答：半年内总生产量是121辆．比计划多了1辆.【点睛】此题主要考查正负数在实际生活中的应用，所以学生在学这一部分时一定要联系实际，此题主要考查有理数的加减运算法则．24．某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售价x （元）与产品的日销售量y （件）之间的关系如表：x/元… 15 20 25 … y/件 … 25 20 15 …已知日销售量y 是销售价x 的一次函数．求日销售量y （件）与每件产品的销售价x （元）之间的函数表达式；当每件产品的销售价定为35元时，此时每日的销售利润是多少元？【答案】（1）40y x =-+；（2）此时每天利润为125元．【解析】试题分析：（1） 根据题意用待定系数法即可得解；（2）把x=35代入（1）中的解析式，得到销量，然后再乘以每件的利润即可得.试题解析：（1）设y kx b =+，将15x =，25y =和20x =，20y =代入，得：25152020k b k b =+⎧⎨=+⎩，解得：140k b =-⎧⎨=⎩， ∴40y x =-+；（2）将35x =代入（1）中函数表达式得：35405y =-+=，∴利润()35105125=-⨯=（元），答：此时每天利润为125元．25．现在，某商场进行促销活动，出售一种优惠购物卡（注：此卡只作为购物优惠凭证不能顶替货款），花300元买这种卡后，凭卡可在这家商场按标价的8折购物．顾客购买多少元金额的商品时，买卡与不买卡花钱相等？在什么情况下购物合算？小张要买一台标价为3500元的冰箱，如何购买合算？小张能节省多少元钱？小张按合算的方案，把这台冰箱买下，如果某商场还能盈利25%，这台冰箱的进价是多少元？【答案】（1）当顾客消费等于1500元时买卡与不买卡花钱相等；当顾客消费大于1500元时买卡合算；（2）小张买卡合算，能节省400元钱；（3）这台冰箱的进价是2480元．【解析】（1）设顾客购买x 元金额的商品时，买卡与不买卡花钱相等，根据花300元买这种卡后，凭卡可在这家商场按标价的8折购物，列出方程，解方程即可；根据x 的值说明在什么情况下购物合算 （2）根据（1）中所求即可得出怎样购买合算，以及节省的钱数；（3）设进价为y 元，根据售价-进价=利润，则可得出方程即可．【详解】解：设顾客购买x 元金额的商品时，买卡与不买卡花钱相等．根据题意，得300+0.8x ＝x ，解得x ＝1500，所以当顾客消费等于1500元时，买卡与不买卡花钱相等；当顾客消费少于1500元时，300+0.8x >x 不买卡合算；当顾客消费大于1500元时，300+0.8x <x 买卡合算；（2）小张买卡合算，3500﹣（300+3500×0.8）＝400，所以，小张能节省400元钱；（3）设进价为y 元，根据题意，得（300+3500×0.8）﹣y ＝25%y ， 解得 y ＝2480答：这台冰箱的进价是2480元．【点睛】此题主要考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 26．为满足市场需求，某超市在五月初五“端午节”来临前夕，购进一种品牌粽子，每盒进价是40元．超市规定每盒售价不得少于45元．根据以往销售经验发现；当售价定为每盒45元时，每天可以卖出700盒，每盒售价每提高1元，每天要少卖出20盒．试求出每天的销售量y （盒）与每盒售价x （元）之间的函数关系式；当每盒售价定为多少元时，每天销售的利润P （元）最大？最大利润是多少？为稳定物价，有关管理部门限定：这种粽子的每盒售价不得高于58元．如果超市想要每天获得不低于6000元的利润，那么超市每天至少销售粽子多少盒？【答案】（1）y=﹣20x+1600；（2）当每盒售价定为60元时，每天销售的利润P （元）最大，最大利润是8000元；（3）超市每天至少销售粽子440盒．【解析】试题分析：（1）根据“当售价定为每盒45元时，每天可以卖出700盒，每盒售价每提高1元，每天要少卖出20盒”即可得出每天的销售量y （盒）与每盒售价x （元）之间的函数关系式；（2）根据利润=1盒粽子所获得的利润×销售量列式整理，再根据二次函数的最值问题解答；（3）先由（2）中所求得的P 与x 的函数关系式，根据这种粽子的每盒售价不得高于58元，且每天销售粽子的利润不低于6000元，求出x 的取值范围，再根据（1）中所求得的销售量y （盒）与每盒售价x （元）之间的函数关系式即可求解．试题解析：（1）由题意得，y =70020(45)x --=201600x -+；（2）P=(40)(201600)x x --+=220240064000x x -+-=220(60)8000x --+，∵x≥45，a=﹣20＜0，∴当x=60时，P 最大值=8000元，即当每盒售价定为60元时，每天销售的利润P （元）最大，最大利润是8000元；（3）由题意，得220(60)8000x --+=6000，解得150x =，270x =，∵抛物线P=220(60)8000x --+的开口向下，∴当50≤x≤70时，每天销售粽子的利润不低于6000元的利润，又∵x≤58，∴50≤x≤58，∵在201600y x =-+中，20k =-＜0，∴y 随x 的增大而减小，∴当x=58时，y 最小值=﹣20×58+1600=440，即超市每天至少销售粽子440盒．考点：二次函数的应用．中考数学模拟试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．如图，在△ABC 中，AC ⊥BC ，∠ABC=30°，点D 是CB 延长线上的一点，且BD=BA ，则tan ∠DAC 的值为（ ）A ．2+3B ．23C ．3+3D ．33【答案】A 【解析】设AC=a ，由特殊角的三角函数值分别表示出BC 、AB 的长度，进而得出BD 、CD 的长度，由公式求出tan ∠DAC 的值即可.【详解】设AC=a ，则BC=30AC tan ︒=3a ，AB=30AC sin ︒=2a ， ∴BD=BA=2a ，∴CD=（2+3）a ，∴tan ∠DAC=2+3.故选A.【点睛】本题主要考查特殊角的三角函数值.2．如图，比例规是一种画图工具，它由长度相等的两脚AC 和BD 交叉构成，利用它可以把线段按一定的比例伸长或缩短．如果把比例规的两脚合上，使螺丝钉固定在刻度3的地方（即同时使OA=3OC ，OB=3OD ），然后张开两脚，使A ，B 两个尖端分别在线段a 的两个端点上，当CD=1.8cm 时，则AB 的长为（ ）A ．7.2 cmB ．5.4 cmC ．3.6 cmD ．0.6 cm【答案】B 【解析】由已知可证△ABO ∽CDO,故CD OC AB OA = ,即1.813AB =. 【详解】由已知可得，△ABO ∽CDO,所以，CD OC AB OA= ,所以，1.813 AB=，所以，AB=5.4故选B【点睛】本题考核知识点：相似三角形. 解题关键点：熟记相似三角形的判定和性质.3．如图所示，在长为8cm，宽为6cm的矩形中，截去一个矩形（图中阴影部分），如果剩下的矩形与原矩形相似，那么剩下矩形的面积是（）A．28cm2B．27cm2C．21cm2D．20cm2【答案】B【解析】根据题意，剩下矩形与原矩形相似，利用相似形的对应边的比相等可得．【详解】解：依题意，在矩形ABDC中截取矩形ABFE，则矩形ABDC∽矩形FDCE，则AB BD DF DC=设DF=xcm，得到：68 = x6解得：x=4.5，则剩下的矩形面积是：4.5×6=17cm1．【点睛】本题就是考查相似形的对应边的比相等，分清矩形的对应边是解决本题的关键．4．如右图,⊿ABC内接于⊙O，若∠OAB=28°则∠C的大小为（）A．62°B．56°C．60°D．28°【答案】A【解析】连接OB ．在△OAB 中，OA=OB （⊙O 的半径），∴∠OAB=∠OBA （等边对等角）；又∵∠OAB=28°，∴∠OBA=28°；∴∠AOB=180°-2×28°=124°；而∠C=12∠AOB （同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半）， ∴∠C=62°；故选A5．如图，若a ＜0，b ＞0，c ＜0，则抛物线y=ax 2+bx+c 的大致图象为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】由抛物线的开口方向判断a 的符号，由抛物线与y 轴的交点判断c 的符号，然后根据对称轴及抛物线与x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【详解】∵a ＜0，∴抛物线的开口方向向下，故第三个选项错误；∵c ＜0，∴抛物线与y 轴的交点为在y 轴的负半轴上，故第一个选项错误；∵a ＜0、b ＞0，对称轴为x=2b a＞0， ∴对称轴在y 轴右侧，故第四个选项错误．故选B ．6．在刚刚结束的中考英语听力、口语测试中，某班口语成绩情况如图所示，则下列说法正确的是（ ）A．中位数是9 B．众数为16 C．平均分为7.78 D．方差为2【答案】A【解析】根据中位数，众数，平均数，方差等知识即可判断；【详解】观察图象可知，共有50个学生，从低到高排列后，中位数是25位与26位的平均数，即为1．故选A．【点睛】本题考查中位数，众数，平均数，方差的定义，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．7．如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A,B,C都在格点上，则∠ABC的正切值是（）A．12B．2 C．55D．255【答案】A【解析】分析：连接AC，根据勾股定理求出AC、BC、AB的长，根据勾股定理的逆定理得到△ABC是直角三角形，根据正切的定义计算即可．详解：连接AC，由网格特点和勾股定理可知，2,22,10AB BC==AC2+AB2=10，BC2=10，∴AC2+AB2=BC2，∴△ABC是直角三角形，∴tan∠ABC=21222ACAB==.点睛：考查的是锐角三角函数的定义、勾股定理及其逆定理的应用，熟记锐角三角函数的定义、掌握如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形是解题的关键．8．如图直线y＝mx与双曲线y=kx交于点A、B，过A作AM⊥x轴于M点，连接BM，若S△AMB＝2，则k的值是()A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】此题可根据反比例函数图象的对称性得到A、B两点关于原点对称，再由S△ABM=1S△AOM并结合反比例函数系数k的几何意义得到k的值．【详解】根据双曲线的对称性可得：OA=OB,则S△ABM＝1S△AOM＝1，S△AOM＝12|k|＝1，则k＝±1．又由于反比例函数图象位于一三象限，k＞0，所以k＝1．故选B．【点睛】本题主要考查了反比例函数y＝kx中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|，是经常考查的一个知识点．9．在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯55次，则参加酒会的人数为（）A．9人B．10人C．11人D．12人【答案】C【解析】设参加酒会的人数为x人，根据每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯55次，列出一元二次方程，解之即可得出答案.【详解】设参加酒会的人数为x人，依题可得：12x（x-1）=55，化简得：x2-x-110=0，解得：x1=11，x2=-10（舍去），故答案为C.【点睛】考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题中的等量关系列出方程.10．如图，AB是⊙O的直径，D，E是半圆上任意两点，连接AD，DE，AE与BD相交于点C，要使△ADC 与△BDA相似，可以添加一个条件．下列添加的条件中错误的是( )A．∠ACD＝∠DAB B．AD＝DE C．AD·AB＝CD·BD D．AD2＝BD·CD 【答案】D【解析】解：∵∠ADC=∠ADB，∠ACD=∠DAB，∴△ADC∽△BDA，故A选项正确；∵AD=DE，∴AD DE，∴∠DAE=∠B，∴△ADC∽△BDA，∴故B选项正确；∵AD2=BD•CD，∴AD：BD=CD：AD，∴△ADC∽△BDA，故C选项正确；∵CD•AB=AC•BD，∴CD：AC=BD：AB，但∠ACD=∠ABD不是对应夹角，故D选项错误，故选：D．考点：1．圆周角定理2．相似三角形的判定二、填空题（本题包括8个小题）11．从﹣2，﹣1，2这三个数中任取两个不同的数相乘，积为正数的概率是_____．【答案】1 3【解析】首先根据题意列出表格，然后由表格即可求得所有等可能的结果与积为正数的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．【详解】列表如下：﹣2 ﹣1 2﹣2 2 ﹣4﹣1 2 ﹣22 ﹣4 ﹣2由表可知，共有6种等可能结果，其中积为正数的有2种结果，所以积为正数的概率为13，故答案为13． 【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率＝所求情况数与总情况数之比．12．因式分解：x 2﹣3x+（x ﹣3）=_____． 【答案】 (x-3)(x+1)；【解析】根据因式分解的概念和步骤，可先把原式化简，然后用十字相乘分解，即原式=x 2﹣3x+x ﹣3 =x 2﹣2x ﹣3=（x ﹣3）（x+1）；或先把前两项提公因式，然后再把x-3看做整体提公因式：原式=x （x ﹣3）+（x ﹣3）=（x ﹣3）（x+1）. 故答案为（x ﹣3）（x+1）．点睛：此题主要考查了因式分解，关键是明确因式分解是把一个多项式化为几个因式积的形式.再利用因式分解的一般步骤：一提（公因式）、二套（平方差公式()()22a b a b a b -=+-，完全平方公式()2222a ab b a b ±+=±）、三检查（彻底分解），进行分解因式即可.13．若x 2+kx+81是完全平方式，则k 的值应是________． 【答案】±1 【解析】试题分析：利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出k 的值． 解：∵x 2+kx+81是完全平方式， ∴k=±1． 故答案为±1． 考点：完全平方式．14．如图，在正方形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，E 为BC 上一点，5CE =，F 为DE 的中点．若CEF ∆的周长为18，则OF 的长为________．【答案】72【解析】先根据直角三角形的性质求出DE 的长，再由勾股定理得出CD 的长，进而可得出BE 的长，由三角形中位线定理即可得出结论． 【详解】解：∵四边形ABCD 是正方形， ∴BO DO =，BC CD =，90BCD ︒∠=．在Rt DCE ∆中，F 为DE 的中点， ∴12CF DE EF DF ===． ∵CEF ∆的周长为18，5CE =， ∴18513CF EF +=-=， ∴13DE DF EF =+=．在Rt DCE ∆中，根据勾股定理，得2213512DC =-=， ∴12BC =， ∴1257BE =-=．在BDE ∆中，∵BO DO =，F 为DE 的中点， 又∵OF 为BDE ∆的中位线，∴1722OF BE ==． 故答案为：72.【点睛】本题考查的是正方形的性质，涉及到直角三角形的性质、三角形中位线定理等知识，难度适中． 15．已知23-是一元二次方程240x x c -+=的一个根，则方程的另一个根是________． 【答案】23+【解析】通过观察原方程可知，常数项是一未知数，而一次项系数为常数，因此可用两根之和公式进行计算，将2-3代入计算即可． 【详解】设方程的另一根为x 1，又∵x=2-3，由根与系数关系，得x 1+2-3=4，解得x 1=2+3． 故答案为：23+ 【点睛】解决此类题目时要认真审题，确定好各系数的数值与正负，然后适当选择一个根与系数的关系式求解． 16．如图，AB=AC ，要使△ABE ≌△ACD ，应添加的条件是 （添加一个条件即可）．【答案】AE=AD （答案不唯一）．【解析】要使△ABE ≌△ACD ，已知AB=AC ，∠A=∠A ，则可以添加AE=AD ，利用SAS 来判定其全等；或添加∠B=∠C ，利用ASA 来判定其全等；或添加∠AEB=∠ADC ，利用AAS 来判定其全等．等（答案不唯一）．17．如图，用圆心角为120°，半径为6cm的扇形纸片卷成一个圆锥形无底纸帽，则这个纸帽的高是_____cm．【答案】42【解析】先求出扇形弧长，再求出圆锥的底面半径，再根据勾股定理即可出圆锥的高.【详解】圆心角为120°，半径为6cm的扇形的弧长为1206180π⨯=4πcm∴圆锥的底面半径为2，故圆锥的高为2262-=42cm【点睛】此题主要考查圆的弧长及圆锥的底面半径，解题的关键是熟知圆的相关公式.18．如图，DA⊥CE于点A，CD∥AB，∠1=30°，则∠D=_____．【答案】60°【解析】先根据垂直的定义，得出∠BAD=60°，再根据平行线的性质，即可得出∠D的度数．【详解】∵DA⊥CE，∴∠DAE=90°，∵∠1=30°，∴∠BAD=60°，又∵AB∥CD，∴∠D=∠BAD=60°，故答案为60°．【点睛】本题主要考查了平行线的性质以及垂线的定义，解题时注意：两直线平行，内错角相等．三、解答题（本题包括8个小题）19．已知2是关于x的方程x2﹣2mx+3m＝0的一个根，且这个方程的两个根恰好是等腰△ABC的两条边长，则△ABC的周长为_____．【答案】11【解析】将x=2代入方程找出关于m的一元一次方程，解一元一次方程即可得出m的值，将m的值代入原方程解方程找出方程的解，再根据等腰三角形的性质结合三角形的三边关系即可得出三角形的三条边，根据三角形的周长公式即可得出结论． 【详解】将x=2代入方程，得：1﹣1m+3m=0， 解得：m=1．当m=1时，原方程为x 2﹣8x+12=（x ﹣2）（x ﹣6）=0， 解得：x 1=2，x 2=6， ∵2+2=1＜6，∴此等腰三角形的三边为6、6、2， ∴此等腰三角形的周长C=6+6+2=11． 【点睛】考点：根与系数的关系；一元二次方程的解；等腰三角形的性质20．计算:2344(1)11x x x x x ++-+÷++. 【答案】22x x -+ 【解析】括号内先进行通分，进行分式的加减法运算，然后再与括号外的分式进行分式乘除法运算即可.【详解】原式=()22311112x x x x x ⎛⎫-+-⨯ ⎪+++⎝⎭ =()()()2x 22112x x x x +-+⨯++=22x x -+. 【点睛】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握有关分式的运算法则是解题的关键. 21．如图，在平面直角坐标系中，直线y 1=2x ﹣2与双曲线y 2=kx交于A 、C 两点，AB ⊥OA 交x 轴于点B ，且OA=AB ．求双曲线的解析式；求点C 的坐标，并直接写出y 1＜y 2时x 的取值范围．【答案】（1）24y x=；（1）C （﹣1，﹣4），x 的取值范围是x ＜﹣1或0＜x ＜1． 【解析】（1）作高线AC ，根据等腰直角三角形的性质和点A 的坐标的特点得：x=1x ﹣1，可得A 的坐标，从而得双曲线的解析式；（1）联立一次函数和反比例函数解析式得方程组，解方程组可得点C 的坐标，根据图象可得结。
几何形的旋转反射与平移
几何形的旋转反射与平移几何形的旋转、反射与平移是数学中常见的几何变换方式。
通过这些变换，可以改变图形的位置、角度和方向，从而创造出各种不同的几何形。
本文将从旋转、反射和平移三个方面探讨几何形的变换特性，展示它们的应用及相关的数学原理。
一、旋转变换旋转变换是指围绕某个中心点旋转图形的操作。
旋转变换通过改变角度，使得图形绕中心点旋转一周或某一角度。
旋转变换可以按照顺时针或逆时针方向进行，旋转的角度可以是任意值。
旋转变换的数学原理基于坐标系的旋转公式。
对于平面上的点P(x, y)，以原点O为中心点，逆时针旋转θ角度后的新坐标为P'(x', y')，则旋转公式如下：x' = x * cosθ - y * sinθy' = x * sinθ + y * cosθ通过旋转变换，可以产生各种规则的几何形状，如正多边形、圆等。
旋转变换也常用于设计和计算机图形学等领域，用于创建绚丽的图形效果。
二、反射变换反射变换是指将图形围绕某个轴线进行对称操作，即将图形镜像翻转。
反射变换可以分为水平反射和垂直反射两种情况，分别以水平轴和垂直轴为对称轴进行反射。
反射变换的数学原理与对称性相关。
对于平面上的点P(x, y)，以水平轴为对称轴进行水平反射后的新坐标为P'(x, -y)，以垂直轴为对称轴进行垂直反射后的新坐标为P'(-x, y)。
反射变换常用于镜像对称的设计和构造问题，如设计平面图案、制作对称的艺术品等。
反射变换也可以用于解决实际问题，如建筑设计中的对称性考虑等。
三、平移变换平移变换是指将图形沿着横轴和纵轴进行平行移动的操作。
平移变换通过改变图形的位置，将图形移动到另一个位置上，而不改变其形状和大小。
平移变换的数学原理是将图形的每个点都沿着横坐标和纵坐标方向移动同一个距离。
对于平面上的点P(x, y)，平移变换后的新坐标为P'(x+a, y+b)，其中(a, b)为平移的距离。
几何图形的平移、旋转、对称
几何图形的平移、旋转、对称1.1 平移的定义：在平面内，将一个图形上的所有点都按照某个方向作相同距离的移动，这样的图形运动叫作图形的平移。
1.2 平移的性质：1.2.1 平移不改变图形的形状和大小。
1.2.2 平移的对应点连成的线段平行且相等。
1.2.3 平移的对应线段平行且相等。
1.2.4 平移的对应角相等。
1.3 平移的应用：1.3.1 求一个图形的平移规律。
1.3.2 利用平移解决实际问题，如设计图案、排列组合等。
2.1 旋转的定义：在平面内，将一个图形绕一点按某个方向转动一个角度，这样的图形运动叫作图形的旋转。
2.2 旋转的性质：2.2.1 旋转不改变图形的形状和大小。
2.2.2 旋转的对应点与旋转中心的连线的夹角相等。
2.2.3 旋转的对应线段平行且相等。
2.2.4 旋转的对应角相等。
2.3 旋转的应用：2.3.1 求一个图形的旋转规律。
2.3.2 利用旋转解决实际问题，如设计图案、排列组合等。
3.1 对称的定义：在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。
3.2 对称的性质：3.2.1 对称图形的大小和形状不变。
3.2.2 对称图形的对应点关于对称轴对称。
3.2.3 对称图形的对应线段平行且相等。
3.2.4 对称图形的对应角相等。
3.3 对称的应用：3.3.1 判断一个图形是否为对称图形。
3.3.2 找出对称图形的对称轴。
3.3.3 利用对称解决实际问题，如设计图案、排列组合等。
四、平移、旋转、对称的关系4.1 平移和旋转都是图形的运动，它们都不改变图形的形状和大小。
4.2 对称是一种特殊的图形变换，它使图形沿某条直线折叠后两旁的部分完全重合。
4.3 平移和旋转可以看作是对称的特殊情况，平移是对称轴为无穷远的旋转，旋转是对称轴为有限距离的平移。
五、实际应用5.1 在建筑设计中，利用平移、旋转和对称可以创造出各种美丽的图案。
人教版中考数学一轮复习--平移、旋转与位似(精品课件)
解：∵线段AD由线段AB绕点A按逆时针方向旋转90°得到， ∴∠DAB＝90°，AD＝AB＝10，∴∠ABD＝45°. ∵△EFG由△ABC沿CB方向平移得到， ∴AB∥EF，∴∠BDF＝∠ABD＝45°.
(2)求CG的长． 解：由平移的性质，得AE∥CG，AB∥EF，
∴∠DEA＝∠DFC＝∠ABC，∠ADE＋∠DAB＝180°.
A．3 B．4 C．6 D．9
4．一个正方形AOBC各顶点的坐标分别为A(0，3)，O(0，0)，
B(3，0)，C(3，3)．若以原点O为位似中心，将这个正方 形的边长缩小为原来的 1 ，则新正方形的中心的坐标为
2 _34_，__34__或__－ ___34_，__－__34_ _．
5．【2021福州质检8分】如图，等边三角形ABC中，D为 AB边上一点(点D不与点A、B重合)，连接CD，将CD平 移到BE(其中点B和点C对应)，连接AE.将△BCD绕着点 B逆时针旋转至△BAF，连接DF.
∴△ADE≌△CFD(AAS)， ∴AE＝CD，∴CD＝BF.
考点2 图形的旋转 要点知识 性质：(1)对应点到旋转中心的距离相等； (2)每对对应点与旋转中心所连线段的夹角都等于旋转角； (3)旋转前后的图形全等．
福建6年中考聚焦[6年2考]
1．【2017福建4分】如图，网格纸上正方形小格的边长为1， 图中线段AB和点P绕着同一个点做相同的旋转，分别 得到线段A′B′和点P′，则证明：如图，连接AE， ∵线段EF是由线段AB平移得到的， ∴EF∥AB，EF＝AB，∴四边形ABFE是平行四边形， ∴AE∥BC，AE＝BF，∴∠DAE＝∠BCA＝90°， ∴∠DAE＝∠FCD＝90°. ∵△EFD是等腰直角三角形，∴DE＝DF.
图形变换：平移 旋转 对称 位似
图形变换：平移旋转对称位似初中阶段，我们学习了五种图形变换：平移变换、轴对称变换、中心对称变换、旋转变换、位似变换。
这些变换都不改变图形的形状，只是改变了其位置。
其中前四种变换还不改变图形的大小。
下面，让我们逐一回顾与归纳。
▲一、平移1、平移的定义：在平面内，将一个图形沿某一方向移动一定的距离，这样的图形变换称为平移。
（提示：决定平移的两个要素：平移方向和平移距离。
）2、平移的性质：（1）平移前后，对应线段平行（或共线）且相等；（2）平移前后，对应点所连线段平行（或共线）且相等；（3）平移前后的图形是全等形。
（提示：平移的性质也是平移作图的依据。
）3、用坐标表示平移：在平面直角坐标系中，将点（x，y）向右或向左平移a（a>0）个单位，可以得到对应点（x＋a，y）或（x－a，y）；向上或向下平移b（b>0）个单位，可以得到对应点（x，y＋b）或（x，y－b）。
▲二、轴对称变换1、轴对称图形：（1）定义：把一个图形沿一条直线对折，如果直线两旁的部分能够完全重合，那么就称这个图形为轴对称图形，这条直线就是它的对称轴。
（提示：对称轴是一条直线，而不是射线或线段，对称轴不一定只有一条。
）（2）性质：①轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；②轴对称图形对称轴两旁的图形是全等形。
2、轴对称：（1）定义：把一个图形沿一条直线翻折，如果它能与另一个图形重合，那么这两个图形关于这条直线（成轴）对称，这条直线就是它们的对称轴，两个图形中的对应点叫做对称点。
（2）性质：①关于某直线对称的两个图形是全等形；②如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；③两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，则交点必在对称轴上。
（3）判定：①根据定义（提示：成轴对称的两个图形必全等，但全等的两个图形不一定对称）；②如果两个图形对应点的连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称。
认识简单的几何变换平移旋转与反射
认识简单的几何变换平移旋转与反射几何变换是几何学中重要的概念，是指将一个点、一组点或图形按照一定规则进行改变位置或形状的方法。
在几何变换中，平移、旋转和反射是最基本且常见的三种变换形式。
本文将介绍这几种几何变换，并探讨它们的性质与应用。
一、平移变换平移变换是指将一个点、一组点或图形沿着平行于给定方向的线段移动相同的距离。
在平移变换中，所有移动之后的点、线段或图形与原来的点、线段或图形相互平行且距离相等。
以平行四边形ABCD为例，若将其平移向右移动3个单位，即将每个点沿着平行于CD的方向移动3个单位，那么平移后的平行四边形为A'B'C'D'。
在这个过程中，平行四边形的边和角度都保持不变。
平移变换的性质和应用广泛。
在几何学和计算机图形学中，平移变换常用于绘制平移后的图形。
二、旋转变换旋转变换是指将一个点、一组点或图形围绕某一点进行旋转。
在旋转变换中，旋转后的图形与原来的图形形状相同，但位置和方向发生变化。
以直线段AB为例，若以点O为旋转中心，将线段AB逆时针旋转90度，那么旋转后的线段为AB'。
旋转变换的主要性质是角度保持不变。
当我们应用旋转变换时，必须指定旋转中心和旋转角度。
旋转变换在几何学、物理学和计算机图形学中都有重要的应用。
三、反射变换反射变换又称为镜像变换，是指将一个点、一组点或图形沿着一条直线对称翻转。
在反射变换中，对称轴是变换的中心轴，反射后的图形与原来的图形完全对称。
以点A为例，若将点A关于直线l进行反射变换，那么反射后的点为A'。
A'与A关于直线l对称，即A关于l的对称点。
反射变换具有对称性质，对于任意点或图形，其反射图形与原图形相似。
反射变换在几何学中广泛应用，也是镜子和光学器件原理的基础。
总结：几何变换中的平移、旋转和反射是常见且重要的几何变换形式。
平移变换是将图形整体移动，保持形状和大小不变；旋转变换是围绕某一点旋转图形；反射变换则是沿着一条直线对称翻转图形。
1.1.1 平移、旋转、反射、相似与位似 同步课件(北师大版选修4-1)(1)
旋转角，对应点到旋转中心的距离相等．
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(3)简单的旋转作图 旋转作图关键有两点：①旋转方向，②旋转角度．主要分四步：
边、转、截、连．旋转就像把每个特征点与旋转中心用线连住的
风筝，每个点转的角度是相同的，每个点与旋转中心的距离是不 会改变的，即对应点与旋转中心距离相等．
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答案：(1)C (2)D
点评： 这类题目属于简单题、基础题，只要熟记定义和特征即 可．
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2．如下图，在由边长为1的小正方形组成的方格纸中，有两个全
等的三角形，即△A1B1C1和△A2B2C2.
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(1) 请你指出在方格纸内如何运用平移、旋转变换，将△ A1B1C1 重 合到△A2B2C2上． (2) 在方格纸中将△ A1B1C1 经过怎样的变换后可以与△ A2B2C2 成中 心对称图形？画出变换后的三角形并标出对称中心．
AC∶A1C1＝________.
答案：2∶1
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要点阐释 一、平移、旋转、反射
1．平移的定义与规律
(1)定义：在平面内将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这 样的图形运动称为平移． 关键：平移不改变图形的形状和大小，也不会改变图形的方 向．
(2)平移的规律：经过平移，对应线段、对应角分别相等，对应
关于 为 L对称 ，这种图形的变化过程称为 反射变换 ，直线L称
反射轴 ．
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3．把一个图形按一定比例放大或缩小，这种图形的变化过程称 为 相似变换 为 位似变换 ．
4．把一个图形变为它的位似图形，这种图形的变化过程称 ．
2012年北师大数学选修4-1：第1章1.1 1.2 1.3 知能优化训练
[学生用书P 7～P 9]1．下列说法正确的是( )A ．位似的图形不一定为相似图形B ．一个图形在平移、旋转过程中形状和大小均发生变化C ．位似图形不一定能找到位似中心D ．平移、旋转、反射的相同点：平移、旋转、反射都不改变图形的形状和大小，对应线段相等，对应角相等 答案：D2．如图所示的两个图形是经位似变换得到的，则下面结论错误的是( )A ．∠A ＝∠A 1 B.AB A 1B 1＝BCB 1C 1C ．∠A ＋∠C ＝∠A 1＋∠C 1 D.AB A 1B 1＝B 1C 1BC解析：选D.两个位似图形，对应角相等，A 、C 正确；对应边成比例，B 正确，D 错误． 3．下列关于图形的平移说法正确的是( )A ．图形由甲位置变换到乙位置，可先向右移5个单位，再向下移1个单位B ．图形由甲位置变换到乙位置，可先向右移5个单位，再向下移2个单位C ．图形由甲位置变换到乙位置，可先向下移2个单位，再向右移4个单位D ．图形由甲位置变换到乙位置，可先向下移2个单位，再向右移5个单位 答案：C4．在下面的方格图中，将△ABC 先向右平移四个单位得到△A 1B 1C 1，再将△A 1B 1C 1绕点A 1逆时针旋转90°得到△A 1B 2C 2，请依次作出△A 1B 1C 1和△A 1B 2C 2.解：如图：5．在反射、旋转和平移变换中，一个图形有可能改变的是()A．形状B．角的大小C．位置D．对应角答案：C6．在△ABC中，AB＝2BC，点D、点E分别为AB、AC的中点，连接DE，将△ADE绕点E旋转180°得到△CFE.则下列说法不正确的是()A．EF＝DE B．CF＝ADC．CF∥BD D．四边形BCFD是矩形解析：选D.由已知条件只能得到四边形BCFD为平行四边形．7．在△ABC中，AB＝BC＝2，∠ABC＝120°，将△ABC绕点B顺时针旋转角α(0°＜α＜90°)得△A1BC1，A1B交AC于点E，A1C1分别交AC、BC于D、F两点．猜想，在旋转过程中，线段EA1与FC的数量关系为()A．EA1＝2FC B．EA1＞2FCC．EA1＜FC D．EA1＝FC解析：选D.由△BA1F≌△BCE知BF＝BE，又∵BA1＝BC，∴EA1＝FC.8．如图，O为正六边形ABCDEF的中心，则下列图形不可由△OBC旋转得到的是()A．△OEF B．△OFAC．△OGD D．△OCD答案：C9．一个边长为2的正方形，绕一顶点旋转360°形成的封闭图形的面积为()A．8 B．16C．2π D．8π解析：选C.形成的封闭图形为一个半径为22的圆，所以面积为π(22)2＝8π.10.如图所示，把三角形△ABC绕着点C顺时针旋转35°，得到△A′B′C，A′B′交AC于点D，若AC⊥A′B′，则∠BAC的度数是________．解析：由题意知，∠A′CD＝35°，则∠DA′C＝90°－35°＝55°，∴∠BAC＝∠DA′C＝55°. 答案：55°11.P是正△ABC内的一点，若将△P AB绕点A逆时针旋转到△P′AC，则∠P AP′的度数为________．解析：由旋转的性质知△PAB≌△P′AC，故∠PAB＝∠P′AC，而∠CAP＋∠PAB＝∠CAP ＋∠P′AC，所以∠PAP′＝∠CAB＝60°.答案：60°12.△DEF是△ABC向右平移一段距离后得到的图形，则线段AD与BF有怎样的数量关系？并说明理由．解：AD＝BF.理由是：由平移性质可得AB＝DF，AB－DB＝DF－DB，即AD＝BF.13．在小正方形组成的15×15的网格中，四边形ABCD和四边形A′B′C′D′的位置如图所示．(1)现把四边形ABCD绕D点按顺时针方向旋转90°，画出相应的图形A1B1C1D1；(2)若四边形ABCD平移后，与四边形A′B′C′D′成轴对称，写出满足要求的一种平移方法，并画出平移后的图形A2B2C2D2.解：(1)A′B′C′D′成轴对称．。
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安边中学高二年级下学期数学学科导学稿执笔人：王广青总第课时
备课组长签字：包级领导签字：学生：上课时间周
课题：1.1 1.2 1.3平移、旋转、反射、位似
【学习目标】
1.理解平移、旋转、反射、相似与位似的概念。
2. 能通过图形的这些变换感受图形变化的不变性。
3. 能分析出给出的图形是通过哪种变换得到的。
【重点】对平移、旋转、反射、相似与位似的概念的理解
【难点】相似与位似的区别
【教学过程】
一、自主预习
（一）平移
1.概念：如果一个图形沿某个方向平移一定的距离，这样的图形运动称为。
图形的平移过程称为。
2.性质：
①平移不改变图形的形状和大小(即平移前后的两个图形全等).
②对应线段平行且相等,对应角相等.
③经过平移,两个对应点所连的线段平行且相等.
3.平移两要点:
平移的①方向,②距离
（二）旋转：
1.概念：如果一个图形绕某一个定点沿某一个方向转动一个角度,这样的图形运动称为。
这个定点称为，转动的角度称为，图形的旋转过程称为。
2.性质：
①旋转不改变图形的形状和大小(即旋转前后的两个图形全等).
②任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角彼此相等(都是旋转角).
③经过旋转,对应点到旋转中心的距离相等.
3.旋转三要点:
旋转①中心,②方向,③角度
（三）反射
1.概念：一个图形F绕一条直线l翻转180 得到另外一个图形F'，则F与F'关于l对称，这种图形的变化过程称为，
直线l称为。
反射变换也称为轴对称变换。
2.性质：对应线段的长度不变、对应角的大小不变，但图形的位置发生了改变
（四）相似与位似
1.概念：
①，这种图形的变化过程称为相似变换
②如果两个图形不仅是相似图形,而且每组对应点所在的直线都经过同一个点,对应边互相平行（或共线），那么这样的两个图形叫做位似图形,这个点叫做位似中心,这时的相似比又称为位似比.
③，这种图形的变化过程称为位似变换。
位似变换是一种特殊的
2.位似图形性质
位似图形的任意一对对应点与位似中心在同一直线上，它们到位似中心的距离之比等与相似比。
通过位似变换，形状不变，对应角的大小不变，但位置发生变化
二、检测训练
1A ．如图，在这四个图案中都是某种衣物的洗涤说明，请指出不是利用图形的平移、旋转和反射（轴对称）设计的是（）
A B C D
三、作业布置：
【板书设计】
【课后反思】。