第三章 土中应力和地基应力分

第三章土中应力和地基应力分布讲授内容：土中一点的应力状态和应力平衡方程，饱和土的有效压力和孔隙水压力，在简单压力条件下地基中应力分布，基底的接触应力，刚性基础基底压力简化算法，弹性半无限体内的应力分布。

自学内容：部分饱和土的孔隙压力、有效压力及孔隙压力系数。

重点：有效压力和孔隙水压力概念，饱和土有效压力和孔隙水压力计算，弹性半无限体内自重应力和附加应力的计算及其分布规律。

难点：在渗透条件下，土的有效压力和孔隙水压力计算及弹性半无限体内的应力分布计算。

突破1．通过两个试验现象，启发同学们得出饱和土的有效压力和孔隙水压力的概念，从而导出太沙基有效应力原理。

2．结合室内实验及现场测试结果，讲解基底接触压力的分布规律。

3．通过垂直集中荷载在弹性半无限体内应力分布的解析解，经过积分导出线状荷载的应力分布，再经过一次积分导出带状荷载的应力分布；通过垂直集中荷载的解析解经过二重积分导出局部面积荷载的应力分布。

通过思考题，启发同学们找出矩形均布荷载作用下，弹性半无限体内应力分布规律。

作业量：3-1，3-3，3-4，3-6，3-8。

教学要求1．了解土中一点的应力状态和应力平衡方程；2．了解部分饱和土的孔隙压力、有效压力及孔隙压力系数；3．掌握饱和土的有效压力原理；4．掌握自重应力的计算；5．掌握弹性半无限体内带状荷载和局部面积荷载在土中的应力分布计算及分布规律。

§3.1 土中一点的应力状态和应力平衡方程讲清楚几种应力状态，从微分单元体的静力平衡条件出发，推导土中一点的应力平衡方程，注意土力学中应力符号的规定与材料力学的不同．．．．．．．．．．．．．．．。

为了计算土体的变形和稳定，必须研究土中各点的应力状态和应力分布。

土体中的应力，就其产生的原因主要有两种：由于土体的本身重量而引起的自重应力(self-weight stress ，geostatic stress))和由外荷载引起的附加应力(additional stress ，superimposed stress)。

一 应力(stress)—应变(strain)关系的假定土体中的应力分布，主要取决于应力—应变关系特性。

真实的应力—应变关系非常复杂，为简化计算，假定土体为均质、各向同性的半无限线弹性体(semi-infinite elastic body ），其应力应变关系为：图3.1 土的应力—应变关系二 地基中的几种应力状态计算地基应力时，将地基当作半无限空间弹性体。

1. 三维应力状态z图 3.2 地基中的三维应力状态矩阵形式表达为：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=zz zy zx yz yy yx xz xy xx ij στττστττσσ每一点的应力状态都可用9个应力分量（独立的有6个） 2 二维应变状态(平面应变问题)例如：如路堤，沿线路方向应力变化很小，应变可视为0，大坝或挡土墙也属这类问题 。

εy =0，由于对称性，0==yz yx ττ矩阵形式表达为：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=zz zx yy xz xxij στστσσ00003 侧限应力状态侧向应变为零，即0==y x εε，地基在自重作用下的应力状态即属此应力状态，任何对称面都是对称面，0===zx yz xy τττ 矩阵形式表达为：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=zz yy xxij σσσσ000000由0==y x εε的边界条件可知0==yy xx σσ，并与z σ成正比。

三 土力学中应力符号的规定表示一点应力状态的最佳工具——摩尔应力圆土力学中应力符号的规定：法向应力以压为正，剪应力逆时针为正。

注意与材料力学规定的不同。

．．．．．．．．．．．．．图3.3 关于应力符号的规定四 应力连续方程（1）三维应力连续方程 在x 轴方向0=∂∂+∂∂+∂∂z y x xzxy x ττσ 在y 轴方向0=∂∂+∂∂+∂∂zyxxyz y xy τστ在z 轴方向γσττ=∂∂+∂∂+∂∂zy x zzy xz上式适用于任何静止的，仅在z 方向存在体积力的连续介质材料。

（2）二维应力连续方程当应力在y 轴方向的变化为零时，变为平面问题。

在x 轴方向 0=∂∂+∂∂z x xzx τσ在z 轴方向 γστ=∂∂+∂∂zx zxz注意：土中应力产生，不仅来自外荷载和土自重，也与土中渗透有关。

§3.2 饱和土的有效压力和孔隙水压力讲解时，通过下面两个试验现象，启发同学们得出饱和土的有效压力和孔隙水压力的概念，从而导出太沙基有效应力原理，以往同学们对本节的概念不理解，注意概念讲解清楚。

计算渗透力时，应围绕饱和土有效应力原理方程进行阐述。

一 太沙基(K.Terzaghi)有效应力原理(principle of effective stress) 观察下面两个试验现象图3.4 有效应力和孔隙水压力图A 压力作用下孔隙水上，砂层不产生压缩，图B 压力作用在土骨架上，应力通过土骨架传递下去，砂层产生压缩变形。

1 几个概念（1）有效应力(effectives stress)：凡使骨架产生变形的力，称为有效应力σ′。

（2）孔隙水压力(pore water pressure)：孔隙水所承担压力称为孔隙水压力或孔隙压力，也称为中性压力，用u 表示。

2 饱和土有效应力原理表达式u +='σσ（1），此时u 为超孔隙水压力(excess pore water pressure)：由外力引起的附加孔隙水压力 (．注意与孔隙水压力的区别．．．．．．．．．．．)．。

σσ===u t ,0,0'（2）u u t +=>>>'',,0,0σσσσ（3），此现象称为消散。

0,,'==∞→u t σσ在一般情况下，饱和土体所受总应力由孔隙水和土骨架承担，即总应力等于孔隙水压力和有效压力。

当总压力σ不变，u 的减小就意味着σ′的增加，反之亦然。

如饱和粘土在地下水面以下，孔隙水压力乃为地下水面以下水柱压力。

由外力引起的附加孔隙水压力，称为超静水压力。

还有一种作用在骨架单位体积上的力，它也能使骨架变形，这是一种体力，一般称为有效力。

如地下水面上的容重γ，地下水面以下的浮容重γ′ =γsat - γw 。

二 渗透力(seepage force)① 无渗流时的有效压力和孔隙水压力的计算和分布图3.5 无渗流时的有效压力和孔隙水压力 图3.6 渗流时（向下）的有效压力和孔隙水压力见图3.5② a: 总应力21h h sat w z γγσ+=孔隙水压力)(21h h u w +=γ 有效应力2''h u z γσσ=−=③ 有渗流时的有效压力和孔隙水压力的计算和分布1渗透力向下 见图3.6④ a: 总应力21h h sat w z γγσ+=孔隙水压力)(21h h h u w −+=γ 有效应力)'('2w z i h u γγσσ+=−= 体积力w i γ亦为有效力，一般称为渗透力。

2 渗透力向上图3.7 有渗流时（向上）的有效压力和孔隙水压见图3.7⑤ a: 总应力21h h sat w z γγσ+=孔隙水压力)(21h h h u w ++=γ 有效应力)'('2w z i h u γγσσ−=−=因此水在土中渗流时也能产生有效力，即渗透力，其值为w i γ，它的作用方向与孔隙水的流向一致。

从以上可知，在渗透力作用下，有效压力大小决定于水力梯度i 和渗流方向。

当渗流方向与有效力的方向相反时即（2-18），i 增加，有效应力减小，当i 增达到某一临界值时，0'=−w i γγ， 即有效应力为0，这时土颗粒处于失重状态，发生所谓“管涌”或“流砂”现象。

在基础排水时，往往造成灾难性的事故，所以必须控制 ，c i i <wc i γγ'=。

§ 3.3部分饱和土的孔隙压力及有效压力（自学） § 3.4 孔隙压力系数（自学）1．隙压力系数B在天然土地面上施加垂直荷载时，地基土中将引起垂直有效压力和超静水水压力，这个孔隙压力增量，可以通过总应力增量乘上相应的系数来表达。

三个主应力σ1、σ2、σ3下的孔隙压力为：u 0∆u 3 = B ⋅∆σ3 对于饱和土：B ≈1 部分饱和土 B < 1 2. 孔隙压力系数A若假设土骨架为弹性介质且不压缩，则∆u 1 = 31B ⋅∆σ1 ，但土骨架并非弹性介质，写成一般情况：∆u 1 = ⋅A B ⋅∆σ1对于完全饱和土B=1，则上式变为：∆u 1 = A ⋅∆σ1§ 3.5 在简单受力条件下地基中应力分布自重应力计算是个重点，同学们对有毛细水作用的自重应力计算经常弄错，讲解时对此重点介绍，通过例3-1的讲解，加深对本节内容的理解。

一、垂直总应力z σ简单受力条件：⑥ 假定地基土的界面为一伸展到无限远的水平面； ②土层为各向同性的弹性介质。

因土体中任一垂直截面都为对称面，故任何垂直截面上的应力均为零，即τxy =τxz =τyz =0。

所以σx 、σy 、σz 均为主应力。

把上述条件代入应力连续方程得：γσ=∂∂zz因为q 是均布荷载，而且土质均匀，所以σz 与x 、y 无关，上述偏微分方程改写为：∫∫⋅=zqz dz d zγσσq z z +=γσ可见z σ随深度z 呈梯形分布。

二、垂直自重有效压力z q 1. 不考虑地表荷载z q z .γ=式中γ—有效容重，对于粗颗粒土（粗、中砂、砾石等）在地下水面以上γ为土的天然容重，若在地下水位以下则取浮容重'γ。

2．土层中有毛细水时如果在地下水面以上具有毛细水高度，这个高度的水柱重量是通过水膜张力传递到骨架上，形成有效压力，所以毛细水高度产生的水柱重力为有效压力。

对于颗粒较细的砂类土，如粉砂、细砂或粉质粘土，孔隙中的自由水会产生强烈的毛细作用，毛细水上升到一定高度，则c h 总压力分布为：⎩⎨⎧>−+≤=)( )()( h z h z h h z z sat z γγγσ孔隙水压力： )( )(h z h h z u c w w ≥−−=γγ有效压力分布为：⎩⎨⎧≥+−+<=)( )(')( h z h h z h h z z q cw z γγγγ土层中毛细水位的上升，将会提高土层的自重压力。

这对于支挡结构土压力或土坡稳定等会带来不利的影响。

图3.8 毛细作用下的有效压力分布3．不透水的粘性土对于不透水的粘性土，由于土中缺乏自由水，土粒不受浮力作用，计算有效压力时，可直接采用饱和容重sat γ。

z q sat z z .γσ==4. 各种情况的计算： z q （1）均匀土层 z q z .γ= （2）成层土 =∑z q =⋅ni i i l 1γ（3）地面水存在且土层透水 =z q h h h h w sat ni i i n i i i ⋅−+⋅=⋅+⋅∑∑==)('11γγγγγ（4）有毛细水时 =z q ')(1γγγ⋅−+⋅+⋅∑∑=i c w ni i i h z h h例题：3-1题。