华东师大版八年级上125因式分解
最新华东师大版数学八年级上12.5《因式分解》课件
一、复习回顾
1、什么叫因式分解？我们已经学过哪种因式分解方法？
2、什么叫公因式？提公因式时，确定公因式的两个条件 是什么？
3、因式分解与整式乘法之间有何关系？
4、填空： a² -b² (1) （a＋b)(a－b)= _________ a² +2ab+b² (2) （a＋b)²= __________ a² -2ab+b² (3) (a－b)²= ___________
变式二：把下列各式分解因式. （1）(a+b+c)2-(a-b+c)2 （3）169x2-121(x-2y)2 （2）16(a-b)2-9(a+b)2
解：（1） = = =
(a+b+c)2-(a-b+c)2 [(a+b+c)+(a-b+c)] [(a+b+c)-(a-b+c)] (2a+2c)2b 4b(a+c)
= [(x + p )+(x + q)] [(x + p) - ( x + q)] (x+p)² -(x+q)² ↓ ↓ ↓ a² - b² = ( a ↓ + b) ↓ ( a ↓ – b)
= (2x+p+q) (p-q) 归纳:公式中的a、b不仅可以代表单项式，也可以代表多项 式，只要符合平方差公式的形式，就可以应用公式法进行 因式分解。
②、9m² -4n²
、（x+p)² -(x+q)²
解： ① x² -16=x² -4² =(x+4)(x-4) = (a+b) (a-b) a² - b² - (2n)²=(3m+2n)(3m-2n) ② 9m² - 4n²= (3m)²
125 因式分解-2021-2022学年八年级数学上册同步教学辅导讲义(华师大版)
12.5因式分解基础知识1、（1）因式分解（分解因式）：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。
（2）因式分解和整式乘法的关系：因式分解和整式乘法是整式恒等变形的正、逆过程，整式乘法的结果是整式（单项式或多项式），因式分解的结果是乘积式（“单乘多”或“多乘多”）。
2、（1）公因式：一个多项式每一项都含有的相同的因式叫做这个多项式的公因式。
（2）确定公因式的方法：公因式的系数应取各项系数的绝对值的最大公约数；字母取各项都有的相同字母，其指数取次数最低的。
3、（1）提公因式法：一般地，如果多项式的各项有公因式可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。
提出多项式的公因式以后，另一个因式的确定方法是：用原来的多项式除以公因式所得的商就是另一个因式。
如果多项式的第一项的系数是负的，一般要提出“-”号，使括号内的第一项的系数是正的，在提出“-”号时，多项式的各项都要变号。
4、运用公式法：如果把乘法公式反过来，就可以用来把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做运用公式法。
（1）平方差公式：两数平方差，等于这两数的和乘以这两数的差，字母表达式：22ba-=(a+b)(a-b)。
具备什么特征的两项式能用平方差公式分解因式：①系数是完全平方数；②字母指数是偶数；③两项符号相反(即两项一正号一负号)。
用平方差公式分解因式的关键：把每一项写成平方的形式，并能正确地判断出a，b分别等于什么。
（2）完全平方公式：两个数的平方和，加上(或者减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或者差)的平方。
字母表达式：a2±2ab+b2=（a±b）2。
具备什么特征的三项式能用完全平方公式分解因式：①它是一个三项式；②其中有两项是某两数的平方和（这两项同号）；③另一项是这两数积的正二倍或负二倍；④具备以上三方面的特点以后，就等于这两数和(或者差)的平方。
华东师大版八年级上册 12.5.8 因式分解的应用 课件(共30张PPT)
因式分解的概念
一般地，把一个多项式化成几个整式的积 的形式，叫做因式分解.
因式分解的思路
首项系数变为正
一准备 各项分解因式
相反因式变相同
(三）由项数思考能否再分解
1.二项：只能分解a2-b2
(二）提公因式
2.三项：只能分解a2±2ab+b2 或能找到“十字”的二次三项式
3.四项及以上：只能分组分解后还能分解的多项式
a2 -2ab+b2-c2的正负
解:
a2 -2ab+b2-c2
=(a-b)2 -c2
=(a-b+c)(a-b-c)
∵ a、b、c为三角形的三边
∴ a+c ﹥b a﹤b+c
∴ a-b+c﹥0 a-b-c ﹤0 即：(a-b+c)(a-b-c) ﹤0 因此 a2 -2ab+b2-c2小于零，是负数。
解：2n+4-2n=2n(2４-1)=2n(16-1)=15×2n =15×2×2n-1=30×2n-1.
∵n为正整数时，2n-1为整数， ∴2n+4-2n能被30整除.
计算:
（ 2 ） 4 x 2 9 3 2 x
解: 原式 2 x 3 2 x 3 2 x 3
2x3
2x3
例2. 2 a 4 b 3 a 6 b a 2 4 b 2
(四）若无法分解，则采用非常1.每个因式是否最简 2.每个因式还能分解吗？
3.各因式的排列规范吗？ 4.用乘法检验是否恒等
1.将下列各式因式分解:
(1)n4 n3 n3(n 1)
提取公因式法
(2)ax2 bx x(axb)
(3) x 2 9 (x3)(x3)
华东师大版数学八年级上册12.5.2 因式分解-运用两数和的平方进行因式分解课件
复习
1、下列是完全平方式的是( D )
A x2 2xy y 2 B 4a2 4ab 2b2 C mn2 2mn 1 D a2b2 10ab 25
导入
2.填空：
(1)m2 ( ±4mn ) 4n2 ( m±2n )2
(3) 4a2b 24ab 36b
(2)x2 y 2 y2 x y3
(4)5x(4 y 5x) 4 y2
公式法分解因式：
两数的平方和加上(或减去)这两个 数的积的2倍，等于这两数的和(或差)的 平方。
因式分解两数和(差)的平方公式：
a2±2ab+b2=(a±b)2
例1 因式分解：
(1) x2 6x 9
(2)4a2 12ab 9b2
(3)a2 a 1 4
(5) m2 8m 16
(4)m2 2mn n2
x2+2x+1+y2-6y+9=0
(x+1)2+(y-3)2=0
∴x+1=0 y-3=0
x
y
1 3
x 1 1
y3 3
练习:已知x y 2, xy 2，求x2 y2 6xy的值。
小结
因式分解的步骤： 一提
二套
(两项考虑平方差公式，三项考虑完全平方公式)
三化简
作业
(1)2x2 4x 2
(6)(a b)2 10(a b) 25
先将原式改写为两个平方项和一个2倍项的形式， 确定首项和尾项
巩固练习
1.下列因式分解中，正确的是( D )
A m2 2mn n2 (m n)2 B m2 mn n2 (m n)2
华师大版八年级(上)数学 12.5 因式分解方法(2)讲义
因式分解方法（2）____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________1.能熟练的运用多种方法分解因式；2.掌握十字交叉相乘的方法分解因式.1.二次三项式（1）多项式，称为字母x的二次三项式，其中称为二次项，为一次项，为常数项．例如：和都是关于x的二次三项式．（2）在多项式中，如果把看作常数，就是关于的二次三项式；如果把看作常数，就是关于的二次三项式．（3）在多项式中，看作一个整体，即，就是关于的二次三项式．同样，多项式，把看作一个整体，就是关于的二次三项式．2.十字相乘法的依据和具体内容(1)对于二次项系数为1的二次三项式方法的特征是“拆常数项，凑一次项”当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，因式的符号与一次项系数的符号相同；当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同．(2)对于二次项系数不是1的二次三项式它的特征是“拆两头，凑中间”当二次项系数为负数时，先提出负号，使二次项系数为正数，然后再看常数项；常数项为正数时，应分解为两同号因数，它们的符号与一次项系数的符号相同；常数项为负数时，应将它分解为两异号因数，使十字连线上两数之积绝对值较大的一组与一次项系数的符号相同注意：用十字相乘法分解因式，还要注意避免以下两种错误出现：一是没有认真地验证交叉相乘的两个积的和是否等于一次项系数；二是由十字相乘写出的因式漏写字母．参考答案：1.(1) ax2,bx,c(2)8y2,x,x2,y(3)2(ab)2-7ab+3,ab,(x+y), (x+y)1.利用十字相乘法分解因式【例1】分解因式：【解析】将y看作常数，转化为关于x的二次三项式，常数项可分为(－2y)(－3y)，而(－2y)＋(－3y)＝(－5y)恰为一次项系数．【答案】解：练习1.；【解析】常数项－15可分为3 ×(－5)，且3＋(－5)＝－2恰为一次项系数【答案】；练习2.__________．【答案】(x＋5)(x－2)2.二次项系数不为1的十字相乘【例2】把下列各式分解因式：（1）；（2）．【解析】我们要把多项式分解成形如的形式，这里，而．另外，二次项系数不等于1的二次三项式应用十字相乘法分解时，二次项系数的分解和常数项的分解随机性较大，往往要试验多次，这是用十字相乘法分解的难点，要适当增加练习，积累经验，才能提高速度和准确性．【答案】解：（1）；（2）．练习3. (x－3)(__________)．【答案】2x＋1练习4.【答案】(a+2b)（5a-3b）练习5．【答案】（6x+1）（x-1）练习6.【答案】（2y-1）（5y-1）3.把其中一个量看成一个整体【例3】分解因式：【解析】把看作一整体，从而转化为关于的二次三项式；注意，要深刻理解换元的思想，这可以帮助我们及时、准确地发现多项式中究竟把哪一个看成整体，才能构成二次三项式，以顺利地进行分解．同时要注意已分解的两个因式是否能继续分解，如能分解，要分解到不能再分解为止．【答案】解：＝(x＋1)(x－1)(x＋3)(x－3)．练习7.【答案】原式练习8. 分解因式：．【答案】解：∵5＝1×5，－10＝5×(－2)，5×5＋1×(－2)＝23．∴原式＝(ab＋5y)(5ab－2y)．练习9. ；【答案】原式4. 换元法分解因式【例4】分解因式：．【解析】把看作一个变量，利用换元法解之．【答案】解：设，则原式＝(y－3)(y－24)＋90＝(y－18)(y－9)注意：本题中将视为一个整体大大简化了解题过程，体现了换元法化简求解的良好效果．此外，一步，我们用了“十字相乘法”进行分解．练习10．分解因式．【解析】方法1：依次按三项，两项，一项分为三组，转化为关于(x－y)的二次三项式．方法2：把字母y看作是常数，转化为关于x的二次三项式．【答案】解法1：解法2：＝(x－y－6)(x－y＋1)．练习11．．【答案】解：练习12.；【解析】提取公因式(x＋y)后，原式可转化为关于(x＋y)的二次三项式；【答案】解：＝(x＋y)[(x＋y)－1][7(x＋y)＋2]＝(x＋y)(x＋y－1)(7x＋7y＋2)．5.重新分组分解因式【例5】分解因式：ca(c－a)＋bc(b－c)＋ab(a－b)．【解析】先将前面的两个括号展开，再将展开的部分重新分组．【答案】解：ca(c－a)＋bc(b－c)＋ab(a－b)＝(a－b)(c－a)(c－b)．练习13．；【答案】原式练习14. 分解因式：(x2+3x+2)(4x2+8x+3)-90．【解析】先将两个括号内的多项式分解因式，然后再重新组合．【答案】解：原式=(x+1)(x+2)(2x+1)(2x+3)-90=[(x+1)(2x+3)][(x+2)(2x+1)]-90=(2x2+5x+3)(2x2+5x+2)-90．令y=2x2+5x+2，则原式=y(y+1)-90=y2+y-90=(y+10)(y-9)=(2x2+5x+12)(2x2+5x-7)=(2x2+5x+12)(2x+7)(x-1)．6.因式分解的综合题【例6】．【解析】仔细观察式子，把这个式子变形为（x2+xy+y2）（x2+xy+y2+y2）-12y4，再把式子乘开，把x2+xy+y2看成一个整体即可因式分解。
《12.5因式分解》作业设计方案-初中数学华东师大版12八年级上册
《因式分解》作业设计方案（第一课时）一、作业目标本次作业设计的目标是让学生通过《因式分解》的学习和练习，能够理解因式分解的概念和基本方法，掌握因式分解的常用技巧，并能够运用所学知识解决简单的实际问题。
同时，通过作业的完成，培养学生的逻辑思维能力和数学运算能力。
二、作业内容本课时的作业内容主要围绕因式分解的基础知识和基本方法展开。
1. 基础练习：要求学生掌握因式分解的基本概念，包括因式分解的定义、因式分解的必要性等。
通过填空题、选择题等形式进行练习。
2. 技巧训练：通过例题讲解，让学生掌握因式分解的常用技巧，如十字相乘法、分组分解法等。
要求学生完成一定数量的练习题，巩固所学知识。
3. 实际应用：设计一些实际问题，让学生运用所学知识进行因式分解，并解决实际问题。
例如，通过因式分解求多项式的值等。
三、作业要求1. 按时完成：学生需在规定时间内独立完成作业，不得抄袭他人答案。
2. 准确无误：学生在完成作业时，应保证答案的准确性和完整性，不得出现明显的计算错误或逻辑错误。
3. 规范书写：学生在答题时，应按照规定的格式和要求进行书写，字迹要清晰、整齐，符号要规范。
4. 思考反思：学生在完成作业后，应对自己的答案进行思考和反思，找出自己的不足之处，以便在后续学习中加以改进。
四、作业评价教师将对学生的作业进行认真批改和评价。
评价标准主要包括以下几个方面：1. 正确性：评价学生答案的正确性，看是否符合题目要求和数学原理。
2. 完整性：评价学生答案的完整性，看是否包含了所有必要的步骤和计算过程。
3. 规范性：评价学生书写的规范性，看是否符合规定的格式和要求。
4. 进步性：评价学生在本次作业中的进步情况，看是否有明显的提高和改进。
五、作业反馈教师将根据学生的作业情况，进行有针对性的作业反馈。
具体包括以下几个方面：1. 对学生的正确答案进行肯定和表扬，鼓励学生继续努力。
2. 对学生的错误答案进行纠正和指导，帮助学生找出错误原因并加以改正。
华东师大版八年级数学12.5.1因式分解提公因式法(共26张PPT)
2
定系数
x
2 定指数
定字母
所以，公因式是 2 x 2
2x26x32x212x23x
2x2(13x)
2
X2+
6
x3
=
22XFra bibliotek(1+3
X)
如果一个多项式的各项含有公因式，那么 就可以把这个公因式提出来，从而将多项式 化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的 方法叫做提公因式法。
例1 将下列各式分解因式：
例3
把 8 a 3 b2 –12ab 3 c + ab分解因式.
解：8 a3b2 –12ab3c + ab
= ab·8a2b - ab·12b2 c +ab·1 = ab(8a2b - 12b2c)
错误
当多项式的某一项和 公因式相同时，提公因
式后剩余的项是1。
8 a3b2 –12ab3c + ab = ab(8a2b - 12b2c+1)
（1） 3a2-9ab
解：原式 =3a•a-3a•3b =3a(a-3b)
用提公因式法分解因式的步骤：
第一步. 找出公因式； 第二步. 提取公因式 ； 第三步. 将多项式化成两个因式乘积的形式。
例2 把 9x2–6xy+3xz 分解因式.
解： 9x2 – 6 x y + 3x z = 3x·3x - 3x·2y + 3x·z = 3x (3x-2y+z)
把公因式提出来，多项式ma+mb+mc 就可以 分解成两个因式m和(a+b+c)的乘积。像这种 因式分解的方法，叫做提取公因式法。
议一议
8a3b2－12ab3c 的公因式是什么？
12.5 因式分解 华东师大版数学八年级上册课件2
找一找：下列各多项式的公因式是什么？
(1) 3x + 6y 3 (3) a2 - a3 a2 (5) - 6x2y - 8xy2 -2xy
(2) ab - 2ac a (4) 9m2n - 6mn 3mn
例题精讲
例2 把下列各式分解因式：
(1) 8a3b2 + 12ab3c； (2) 2a(b + c) - 3(b + c).
小明的解法有误吗？ 因式分解：12x2y + 18xy2.
解：原式 = 3xy(4x + 6y).
公因式没有提尽， 还可以提出公因 式2
错误
正确解：原式 = 6xy(2x + 3y). 注意：公因式要提尽.
小亮的解法有误吗？
当多项式的某一项和公
因式分解：3x2 - 6xy + x.
解：原式 = x(3x - 6y).
ห้องสมุดไป่ตู้
因式分解之基本方法 — 提公因式法
这个多项式有什么特点？
pa + pb + pc
相同因式 p
多项式中各项都含有 的相同因式，叫做这 个多项式的公因式.
例题精讲 例1
如何确定一个多项式的公因式？
找 3 x 2 – 6 xy 的公因式. 所以公因式是 3x
3
系数： 最大公约数
x 字母：
1
指数： 相同字母的
因式分解
把下列多项式写成乘积的形式
(1) ma + mb + mc = ( m )( a + b + c )
(2) x2 - 1 = ( x + 1 )( x - 1 ) (3) a2 + 2ab + b2 = ( a + b )2
华东师大版八年级数学12.5.1因式分解提公因式法
05
提公因式法的练习题
基础练习题
题目1
将多项式$2x^2 + 4 + 2abc$进行提 公因式。
题目3
将多项式$4x^3 - 6x^2 + 2x$进行提公因式。
进阶练习题
题目4
将多项式$2x^3y + 4x^2y^2 - 6xy^3$进 行提公因式。
因式分解
$(a + b - 1)(a - b + 1)$
$a^4 - a^2 + 1$
提取公因式
$a^4 - a^2 + 1 = a^4 - a^2 + a^2 - a + a + 1 = a^2(a^2 - 1) + (a + 1)(a - 1)$
因式分解
$(a^2 + a + 1)(a^2 - a + 1)$
题目5
将多项式$5a^2b + 3a^3 - 7ab^2$进行提 公因式。
题目6
将多项式$4x^4 - 6x^3 + 2x^2$进行提公 因式。
高阶练习题
题目8
将多项式$4x^5 - 6x^4 + 2x^3$进行提公 因式。
题目7
将多项式$3a^4b^2 + 5a^3b^3 a^2b^4$进行提公因式。
3
数学建模
在数学建模中，提公因式法可以帮助我们化简复 杂的数学表达式，从而更好地理解和分析问题。
提公因式法的重要性
简化计算
01
提公因式法能够简化复杂的数学表达式，减少计算量，提高计
算效率。
培养逻辑思维
02
通过学习和运用提公因式法，可以培养我们的逻辑思维能力和
华师大版八级数学上册课件：12.5 因式分解 (共17张PPT)
公因式 一个多项式中的每一项都含有的相同的 因式，称之为公因式(common factor).
提公因式法 一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把 这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积 的形式，这种因式分解的方法叫做提公因式法.如 ma+mb+mc=m(a+b+c)
公式法 将乘法公式反过来应用，就可以把某些 多项式分解因式，这种分解因式的方法，叫 做公式法.
因式分解
平方差公式法
初中数学
整式乘法 a²- b² = (a+b)· (a-b)
因式分解
平方差公式
初中数学
平方差公式
（1）公式：
（2）语言： 两个数的平方差，等于这两个数的和与这 两个数的差的积。这个公式就是平方差公式.
初中数学
说说平方差公式的特点 a2−b2= (a+b)(a−b) ①左边 两个数的平方差；只有两项 相同项 ②右边 两数的和与差的积 相反项 形象地表示为
初中数学
比一比
(1)m(a b c)
(2)(a b)(a b)
(3)(a b)
2
整式乘法都是把 整式的积化为多 项式的形式 因式分解都是把 多项式化为几个 整式的积的形式
1).ma+mb+mc= m•( a+b+c) 2).a2-b2=( a+b)(a-b) 3).a2+2ab+b2=(a+b)2
初中数学
因式分解（公式法）
两数的和乘以它们的差
a b (a b)(a b)
2 2
两数和的平方
a 2ab b (a b)
2 2 2