第二节 参数方程
第二节 参数方程
(1)求直线 l 的普通方程和曲线 C 的直角坐标方程；
(2)当|AB|＝|OP|时，求 a 的值．
返回
解析： (1)将直线 l 的参数方程化为普通方程，得 3 x＋y－a＝0.
由 ρ＝4cos θ，得ρ2＝4ρcos θ，
从而 x2＋y2＝4x，即曲线 C 的直角坐标方程为 x2－4x＋y2＝0.
π 数 t＝ 3 ，点 O 为原点，则直线 OM 的斜率为 3 .( )
答案： (1)√ (2)√ (3)×
返回
2．在平面直角坐标系 xOy 中，若直线 l：xy＝＝tt，－a (t 为参数)过椭圆 C：
x＝3cos y＝2sin
φ， φ
(φ 为参数)的右顶点，求常数 a 的值．
解析： 直线 l 的普通方程为 x－y－a＝0，
返回
解析： (1)因为曲线 C1 的参数方程为
x＝－2＋cos α y＝2＋sin α
(α 为参数)，
所以曲线 C1 的普通方程为(x＋2)2＋(y－2)2＝1.
又曲线 C2 的极坐标方程为 ρ(sin θ－ 3 cos θ)＝1，x＝ρcos θ，y＝ρsin
θ，
所以曲线 C2 的直角坐标方程为 3 x－y＋1＝0.
8cos θ 1－cos2θ .
(1)写出直线 l 的参数方程和曲线 C 的直角坐标方程； (2)若 α＝π4 ，直线 l 与曲线 C 交于 A，B 两点，求△AOB 的面积．
返回
解析： (1)由题知直线 l 的参数方程为
x＝1＋t cosα， y＝tsin α
(t 为参数).
∵ρ＝18－cocsosθ2θ ，∴ρsin2θ＝8cos θ，
返回
(2)设 P(－2＋cos α，2＋sin α)，则点 P 到直线 C2 的距离 d＝
第二节参数方程-高考状元之路
第二节 参数方程预习设计 基础备考知识梳理1．参数方程的概念一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上 的坐标x ，y 都是某个变数t 的函数：⎩⎨⎧==).(),(t g y t f x并且对于t 的每一个允许值，由方程组所确定的点M(x ，y)都在 ，那么方程叫做这条曲线的参数方程，t 叫做参变数，简称 相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做2．直线的参数方程过定点),(000y x p 且倾斜角为α的直线的参数方程为 （t 为参数），则参数t 的几何意义是3．圆的参数方程圆心为(a ，b)，半径为r ，以圆心为顶点且与x 轴同向的射线，按逆时针方向旋转到圆上一点所在半径成的角α为参数的圆的参数方程为 ).2,0[πα∈4．椭圆的参数方程以椭圆的离心角θ为参数，椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的参数方程为 ).2,0[πθ∈典题热身1．已知直线l 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=--=t y t x 222,221（t 为参数），则直线l 的斜率为( )1.A 1.-B 22.c 22.-D 答案：B2．过点M(2，1)作曲线θθθ,sin 4cos 4:⎩⎨⎧==y x c 为参数）的弦，使M 为弦的中点，则此弦所在直线的方程为( ))2(211--=-⋅x y A )2(21--=-⋅x y B)1(212--=-⋅x y C )1(22--=-⋅x y D答案：B3．圆),0()(222>=+-r r y r x 点M 在圆上，O 为原点，以ϕ=∠MOx 为参数，那么圆的参数方程为 ( )⎩⎨⎧==ϕϕsin ,cos .r y r x A ⎩⎨⎧=+=ϕϕsin ),cos 1(.r y r x B ⎩⎨⎧+==)sin 1(,cos .ϕϕr y r x c ⎩⎨⎧=+=ϕϕ2sin ),2cos 1(.r y r x D 答案：D4．直线t ty t x (531,541⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=为参数）被曲线)4(2πθρ+∞=s 所截的弦长为 答案：57 课堂设计 方法备考题型一 直线的参数方程及应用【例1】已知直线l 经过点A(l ，2)，倾斜角为⋅3π (1)求直线l 的参数方程;(2)求直线l 和圆922=+y x 的两个交点到点A 的距离之积．题型二 圆的参数方程及应用【例2】已知P(x ，y)是圆0222=-+y y x 上的动点． (1)求y x +2的取值范围．(2)若0≥++c y x 恒成立，求实数C 的取值范围．题型三 椭圆的参数方程及应用【例3】如图所示，已知点M 是椭圆)0(12222>>=+b a by a x 上在第一象限的点，A(a ，O)和B(O ，b)是椭圆的两个顶点，O 为原点，求四边形MAOB 的面积的最大值．题型四 参数方程与极坐标的综合问题【例4】（2011．课标全国卷）在直角坐标系xOy 中，曲线1c 的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧+==.sin 22(,cos 2αααy x 为参数)M 是C ，上的动点，P 点满足P OM OP ,2=点的轨迹为曲线⋅2c(1)求α的方程；(2)在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线3πθ=与1c 的异于极点的交点为A ，与2C的异于极点的交点为B ，求︱AB ︱．随堂反馈1．若直线,(221:1t t k y tx l ⎩⎨⎧+=-=为参数）与直线s xy s x l .(21:2⎩⎨⎧-==为参数）垂直，则=k 答案：-12．设直线1l 的参数方程为t t y t x (31,1⎩⎨⎧+=+=为参数），直线2l 的方程为;43+=x y 则1l 与2l 间的距离为 答案：51033．已知曲线t ty t x c (sin 3,cos 4:1⎩⎨⎧+=+-=为参数），θθθ(3,cos 8:2⎪⎩⎪⎨⎧==si y x c 为参数）． (1)化21,c c 的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；(2)若1c 上的点P 对应的参数为Q t ,2π=为2c 上的动点，求PQ 中点M 到直线t ty t x c (2,23:3⎪⎩⎪⎨⎧+-=+=为参数）距离的最小值．4．（2011．江苏高考）在平面直角坐标系xOy 中，求过椭圆ϕϕϕ(sin 3cos 5⎩⎨⎧==y x 为参数）的右焦点，且与直线⎩⎨⎧-=-=ty t x 3,24（t 为参数）平行的直线的普通方程． 高效作业 技能备考1．(2010．陕西赢毒)已知圆C 的参数方程为ααα(,sin 1cos ⎩⎨⎧+==y x 为参数），以原点为摄点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为,1sin =θρ则直线l 与圆C 的交点的直角坐标为 答案：（-1，1），(1，1)2．（2011．沈阳市质检）已知直线l 的参数方程为：t t y t x (3,2⎩⎨⎧=+=为参数），曲线C 的极坐标方程为：.122=∞θρs(1)求曲线C 的普通方程；(2)求直线l 被曲线C 截得的弦长．3．(2010．课标全国卷)已知直线t t y t x c (sin ,cos 1:1⎪⎩⎪⎨⎧=+=αα为参数），圆θθθ(sin ,cos :2⎩⎨⎧==y x C 为参数）． (1)当3πα=时，求1C 与2C 的交点坐标；(2)过坐标原点0作1C 的垂线，垂足为A ，P 为OA 的中点，当α变化时，求P 点轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．4．（2010．辽宁高考）已知P 为半圆θθθ(sin ,cos :⎪⎩⎪⎨⎧==y x C 为参数，)0πθ≤≤上的点，点A 的坐标为(1，O)，0为坐标原点，点M 在射线OP 上，线段OM 与C 的弧AP 的长度均为⋅3π (1)以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求点M 的极坐标； (2)求直线AM 的参数方程．5．(2010．福建高考)在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为t ty t x (225,223⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=为参数）．在极坐标系（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原1点0为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，圆C 的方程为.sin 52θρ= (1)求圆C 的直角坐标方程；(2)设圆C 与直线l 交于点A ，B ．若点P 的坐标为),5,3(求.||||PB PA +6．已知直线t ty tx (13431364⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=为参数）与圆422=+y x 交于A 、B 两点，求此两点到点C(4，3)的距离之积以及线段AB 的长．7．（2011．福建高考）在直角坐标系xOy 中，直线l 的方程为,04=+-y x 曲线C 的参数方程为ααα(sin ,cos 3⎩⎨⎧==y x 为参数）． (1)已知在极坐标系（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点0为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，点P 的极坐标为),2,4(π判断点P 与直线l 的位置关系；(2)设点Q 是曲线C 上的一个动点，求它到直线l 的距离的最小值，8．已知直线l 的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧=+=t t y t x (sin ,cos 2αα为参数，α为倾斜角，且),2πα=/且与曲线1121622=+y x交于A 、B 两点．(1)写出直线l 的一般程及直线l 通过的定点P 的坐标； (2)求||||PB PA ⋅的最大值．9．(2011．辽宁高考)在平面直角坐标系xOy 中，曲线1c 的参数方程为ϕϕϕ(sin cos ⎩⎨⎧==y x 为参数），曲线2C 的参数方程为ϕϕϕ,0(,sin cos >>⎩⎨⎧==b a b y a x 为参数）．在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线21:c c l 、与αθ=各有一个交点，当0=α时，这两个交点间的距离为2，当2πα=时，这两个交点重合．(1)分别说明21c c 、是什么曲线，并求出a 与b 的值； (2)设当4πα=时，l 与21c c 、的交点分别为⋅11B A 、当=α4π-时，l 与21,C C 的交点分别为,,22B A求四边形1221B B A A 的面积，。
第十二章 坐标系与参数方程[选修4-4]第二节 参数方程
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距离是________．
解析：直线方程可化为 x－y＋1＝0，圆的方程可化为(x －1)2＋y2＝1.由点到直线的距离公式可得，圆心 C(1,0)到 |2| 直线 l 的距离为 2 2＝ 2. 1 ＋－1
答案： 2
x＝1＋3t， 5．(2012· 湖南十二校联考)若直线的参数方程为 y＝2－ 3t
解析：由 y＝t－1，得 t＝y＋1，代入 x＝3t＋2，得 x ＝3y＋5， 即 x－3y－5＝0.
答案：x－3y－5＝0
x＝5cos θ， 2．(教材习题改编)曲线 y＝3sin θ
(θ 为参数)的左焦点
的坐标是________．
x2 y2 解析：化为普通方程为 ＋ ＝1，故左焦点为(－4,0)． 25 9
x＝2t＋2a， y＝－t
(t 为参数)，曲线
x＝2cos θ， C2： y＝2＋2sin θ
(θ 为
参数)．若曲线 C1，C2 有公共点，则实数 a 的取值范围 是________．
解析：将曲线 C1，C2 的参数方程化为普通方程， 得 C1：x＋2y－2a＝0，C2：x2＋(y－2)2＝4. 因为曲线 C1 与 C2 有公共点， |4－2a| 所以圆心到直线的距离 ≤2， 5 解得 2－ 5≤a≤2＋ 5.
[自主解答] ＝16.
由圆C的参数方程可得其标准方程为x2＋y2
π 因为直线l过点P(2,2)，倾斜角α＝ ，所以直线l的参数 3 π x＝2＋tcos3， 方程为 y＝2＋tsinπ， 3 1 x＝2＋2t， 即 y＝2＋ 3t 2
(t为参数)．
1 x＝2＋2t， 把直线l的参数方程 y＝2＋ 3t 2
去参数；
(2)利用三角恒等式消去参数； (3)根据参数方程本身的结构特征，选用一些灵活的方 法从整体上消去参数． 2．将参数方程化为普通方程时，要注意防止变量x和y
高中数学精品课件：第二节 参数方程
当 a＜－4 时，d 的最大值为－a1＋7 1.
由题设得－a＋1＝ 17
17，解得 a＝－16.综上，a＝8 或 a＝－16.
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[解题师说] 1．方法要熟 (1)解决直线与圆、圆锥曲线的参数方程的应用问题时， 一般是先化为普通方程，再根据直线与圆、圆锥曲线的位置关 系来解决问题． (2)对于形如xy＝＝yx00＋＋batt， (t 为参数)的参数方程，当 a2＋ b2≠1 时，应先化为标准形式后才能利用 t 的几何意义解题．
解析：由xy＝＝35scions
φ， φ
(φ 为参数)得，2x52＋y92＝1，
当 AB⊥x 轴时，|AB|有最小值．
所以|AB|min＝2×95＝158. 答案：158
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3．曲线
C
的参数方程为xy＝＝csoins
θ， 2θ＋1
(θ 为参数)，则曲线 C 的普
通方程为____________．
解析：由xy＝＝csoins
θ， 2θ＋1
(θ 为参数)消去参数 θ，得 y＝2－2x2(－
1≤x≤1)．
答案：y＝2－2x2(－1≤x≤1)
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4．在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为
x＝1＋12t，
y＝
3 2t
(t为参数)，椭圆C的方程为x2＋y42＝1，设直线
l与椭圆C相交于A，B两点，则线段AB的长为___________．
第二 节
参数方程
课前·双基落实
知识回扣，小题热身，基稳才能楼高
课堂·考点突破
练透基点，研通难点，备考不留死角
课后·三维演练
分层训练，梯度设计，及时查漏补缺
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课 前 双基落实
知识回扣，小题热身，基稳才能楼高
高考数学总复习 第2节 参数方程课件 新人教A版选修44
数的关系 y＝g(t)
x＝ft ，那么 y＝gt 就是曲线的参数方程．
第五页，共70页。
在参数方程与普通(pǔtōng)方程的互化中，x，y的取值范围必 须保持一致．
第六页，共70页。
三、常见曲线的参数方程的一般形式
1．直线的参数方程
经过点 P0(x0，y0)，倾斜角为 α 的直线的参数方程为
x＝ x0＋tcos α y＝ y0＋tsin α
第十四页，共70页。
2．若 P(2，－1)为圆xy＝＝15＋sin5θcos θ， (θ 为参数且 0≤θ
＜2π)的弦的中点，则该弦所在的直线方程为( )
A．x－y－3＝0
B．x＋2y＝0
C．x＋y－1＝0
D．2x－y－5＝0
第十五页，共70页。
解析：由xy＝ ＝15＋sin5θc，os θ 消去参数 θ，得(x－1)2＋y2＝25， ∴圆心 C(1,0)，∴kCP＝－1. ∴弦所在的直线的斜率为 1. ∴弦所在的直线方程为 y－(－1)＝1·(x－2)， 即 x－y－3＝0，故选 A.
第二十页，共70页。
解析：曲线
C1：xy＝＝34＋＋csions
θ θ
(θ 为参数)的直角坐标方
程为(x－3)2＋(y－4)2＝1，可知曲线 C1 是以(3,4)为圆心，1 为半径的圆；曲线 C2：ρ＝1 的直角坐标方程是 x2＋y2＝1， 故 C2 是以原点为圆心，1 为半径的圆．由题意知|AB|的最小 值即为分别在两个圆上的两点 A，B 间的最短距离．由条件
① ②
①2＋②2 得 x2＋(y－1)2＝1，
即所求普通方程为 x2＋(y－1)2＝1，
答案(dáàn)：x2＋(y－1)2＝1
第二十六页，共70页。
第十三章 第二节 参数方程
＋bt＋c＝0有两个不同的实根t1，t2，把参数t1，t2代入l的
参数方程，即可求得l与C的两个交点M1、M2的坐标；另外，
由参数t的几何意义，可知弦长|M1M2|＝|t1－t2|＝
已知直线l经过点A(1,2)，倾斜角为 (1)求直线l的参数方程； (2)求直线l和圆x2＋y2＝9的两个交点到点A的距离之积．
过点P(－3,0)且倾斜角为30°的直线方程为 联立方程组 消去y得，
－2x－7＝0，
21 x1 x2 . x1 x2 3, 2 AB 1 k 2 x1 x2
1．化参数方程为普通方程 消去参数方程中的参数，就可把参数方程化为普通方 程，消去参数的常用方法有：①代入消去法；②加减消 去法；③乘除消去法；④三角恒等式消去法．
＋21＝0，
因此A，B两点到C的距离之积为21，
主要是通过互化解决与圆锥曲线上动点有关的问题如 最值、范围等，即参数思想．
已知圆 线
(θ为参数)的圆心F是抛物
的焦点，过焦点F的直线交抛物线于A、B两
点，求AF· FB的取值范围．
根据条件写出过焦点F的直线的参数方程，利用
有界性可求AF· FB的范围.
几种常见曲线的参数方程
1.直线 经过点P0(x0，y0)，倾斜角为φ的直线的参数方程是
其中t是参数，|t|表示直线上的动点P(x，y)与点P0(x0， y0)之间的距离.t表示有向线段P0P的数量.
2.圆
以O′(a，b)为圆心，r为半径的圆的参数方程是
其中φ是参数. 当圆心在(0,0)时，方程为
x2－4xy＋4y2＋x－2y－1＝0.
1．分别在下列两种情况下，把参数方程 化为普通方程： (1)θ为参数，t为常数； (2)t为参数，θ为常数．
第二节参数方程
备考指南 基础梳理 典例研习 考点演练
【例 4】 已知点 Q 在椭圆6x42＋y92＝1 上运动，点 P(－4,4)，求 PQ 中点 M 到直线 C：
x＝3＋2t，
y＝－2＋t
(t 为参数)距离的最小值．
解：设 Q(8cos θ，3sin θ)， 由 P(－4,4)知中点 M(－2＋4cos θ，2＋32sin θ)，
(x－1)2＋(y－2)2＝4. 圆心(1,2)到直线 y＝x 的距离为 22， 由半径 R＝2 知弦长为 2 4－12＝ 14.
答案： 14
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备考指南 基础梳理 典例研习 考点演练
涉及参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方 程和直角坐标方程后求解．
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备考指南 基础梳理 典例研习 考点演练
直线 C 的普通方程为 x－2y－7＝0.
故
M
到直线的距离为
d＝
5 5 |4co135 5|(其中 tan φ＝34)，
故当 5cos(θ＋φ)＝ 5时，d 有最小值8 5 5， 此时 cos(θ＋φ)＝1， 所以 cos θ＝45，sin θ＝－35.
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备考指南 基础梳理 典例研习 考点演练
(1) 过 定 点 P0(x0 ， y0) ， 倾 斜 角 为 α 的 直 线 参 数 方 程 的 标 准 式 为
x＝x0＋tcos α，
y＝y0＋tsin α
(t 为参数)，t 的几何意义是直线上的点 P 到点 P0(x0，y0)的数量，即 t＝|PP0|
思路点拨：参数方程通过消去参数化为普通方程．对于(1)直接消去参数 k 有困难，可 通过两式相除，先降低 k 的次数，再运用代入法消去 k；对于(2)可运用恒等式(sin θ＋cos θ)2 ＝1＋sin 2θ 消去 θ；对于(3)可运用恒等式(11－＋tt22)2＋(1＋2tt2)2＝1 消去 t.
第二节 参数方程 (高中数学精品课件PPT)
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[小题查验基础]
一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)
(1)参数方程xy＝＝gftt， 中的 x，y 都是参数 t 的函数.
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3.在平面直角坐标系中，若曲线 C 的参数方程为
x＝2＋ 22t，
y＝1＋
2 2t
x－y－1＝0 (t 为参数)，则其普通方程为____________.
解析：依题意，消去参数可得 x－2＝y－1，即 x－y－1＝0.
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4.已知两曲线的参数方程分别为yx＝＝sin5cθos θ， (0≤θ＜π)和
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2.参数方程和普通方程的互化
(1)参数方程化普通方程：利用两个方程相加、减、乘、除或
者代入法消去参数. (2)普通方程化参数方程：如果 x＝f(t)，把它代入普通方程，求
出另一个变数与参数的关系 y＝g(t)，则得曲线的参数方程
x＝ft， y＝gt.
参数方程与普通方程互化的注意点 (1)在参数方程与普通方程的互化中，一定要注意变量的范围以及转 化的等价性. (2)普通方程化为参数方程，参数方程的形式不唯一，即如果选用的 参数不同，那么所求得的曲线的参数方程的形式也不同.
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5.曲线
C
的参数方程为xy＝＝csions
θ， 2θ＋1
(θ 为参数)，则曲线 C
的普通方程为__y_＝__2_－__2_x_2_(－__1_≤__x_≤__1_)_.
解析：由xy＝＝csions
θ， 2θ＋1
(θ 为参数)消去参数 θ，
得 y＝2－2x2(－1≤x≤1).
第二节参数方程
太 阳 书
业
故选D.
有 限
答案：D
公
司
菜 单 隐藏
2014 · 新课标高考总复习 · 数学（文）
抓主干
双基知
x＝2cos θ，
能优化
2．椭圆y＝5sin θ (θ 为参数)的离心率为( )
研考向
要点知
识探究 悟真题
2 A.5
4 B.25
透析解
题策略 提素能
21 C. 5
21 D.25
高效题
组训练
解析：由椭圆的参数方程可知 a＝5，b＝2.
山
故 c＝ 52－22＝ 21，
东 金
故椭圆的离心率 e＝ac＝ 521，故选 C.
太 阳 书
业
答案：C
有 限
公
司
菜 单 隐藏
2014 · 新课标高考总复习 · 数学（文）
抓主干
双基知
能优化
3．(2013年上海奉贤区模拟)已知点P(3，m)在以点F为焦点的抛物
研考向
要点知 识探究
悟真题
线 xy＝ ＝44tt2，(t为参数)上，则|PF|＝(
菜 单 隐藏
2014 · 新课标高考总复习 · 数学（文）
抓主干 双基知 能优化
研考向 要点知 识探究
x＝1＋2t， 1．(课本习题改编)若直线的参数方程为y＝2－3t (t 为参数)，则
悟真题
透析解 题策略
直线的斜率为(
)
提素能 高效题 组训练
2 A.3
B．－23
3 C.2
D．－32
山 东 金
解析：∵yx－ －21＝－23t t＝－32， ∴tan α＝－32，
2014 · 新课标高考总复习 · 数学（文）
高考数学(理)总复习讲义： 参数方程
第二节参数方程1.曲线的参数方程在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x ，y 都是某个变数t 的函数⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f (t )，y ＝g (t )，并且对于t 的每一个允许值，由这个方程组所确定的点M (x ，y )都在这条曲线上，那么这个方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x ，y 的变数t 叫做参变数，简称参数.相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程F (x ，y )＝0叫做普通方程. 2.参数方程和普通方程的互化(1)参数方程化普通方程：利用两个方程相加、减、乘、除或者代入法消去参数. (2)普通方程化参数方程：如果x ＝f (t )，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y ＝g (t )，则得曲线的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f (t )，y ＝g (t ).参数方程与普通方程互化的注意点(1)在参数方程与普通方程的互化中，一定要注意变量的范围以及转化的等价性. (2)普通方程化为参数方程，参数方程的形式不唯一，即如果选用的参数不同，那么所求得的曲线的参数方程的形式也不同.3.直线、圆与椭圆的普通方程和参数方程轨迹 普通方程 参数方程直线y －y 0＝tan α(x －x 0)⎝⎛⎭⎫α≠π2，点斜式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数) 圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2 ⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝a ＋r cos θ，y ＝b ＋r sin θ(θ为参数) 椭圆 x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0) ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ(φ为参数) [熟记常用结论]经过点P (x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数).若A ，B 为直线l 上的两点，其对应的参数分别为t 1，t 2，线段AB 的中点为M ，点M 所对应的参数为t 0，则以下结论在解题中经常用到：(1)t 0＝t 1＋t 22； (2)|PM |＝|t 0|＝⎪⎪⎪⎪t 1＋t 22； (3)|AB |＝|t 2－t 1|； (4)|PA |·|PB |＝|t 1·t 2|.[小题查验基础]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f (t )，y ＝g (t )中的x ，y 都是参数t 的函数.( )(2)过M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α⎝⎛⎭⎫α≠π2的直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数).参数t 的几何意义表示：直线l 上以定点M 0为起点，任一点M (x ，y )为终点的有向线段M 0M 的数量.( )(3)方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝1＋2sin θ(θ为参数)表示以点(0,1)为圆心，以2为半径的圆.( )(4)已知椭圆的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos t ，y ＝4sin t (t 为参数)，点M 在椭圆上，对应参数t ＝π3，点O为原点，则直线OM 的斜率为 3.( )答案：(1)√ (2)√ (3)√ (4)× 二、选填题1.曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋cos θ，y ＝2＋sin θ(θ为参数)的对称中心( )A.在直线y ＝2x 上B.在直线y ＝－2x 上C.在直线y ＝x －1上D.在直线y ＝x ＋1上解析：选B 由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1＋cos θ，y ＝2＋sin θ，得⎩⎪⎨⎪⎧cos θ＝x ＋1，sin θ＝y －2.所以(x ＋1)2＋(y －2)2＝1.曲线是以(－1,2)为圆心，1为半径的圆，所以对称中心为(－1,2)，在直线y ＝－2x 上.2.若直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t ，y ＝1－4t (t 为参数)与曲线C ：⎩⎨⎧x ＝5cos θ，y ＝m ＋5sin θ(θ为参数)相切，则实数m 的值为( )A.－4或6B.－6或4C.－1或9D.－9或1解析：选A 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t ，y ＝1－4t (t 为参数)，得直线l ：2x ＋y －1＝0，由⎩⎨⎧x ＝5cos θ，y ＝m ＋5sin θ(θ为参数)，得曲线C ：x 2＋(y －m )2＝5，因为直线l 与曲线C 相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即|m －1|22＋12＝5，解得m ＝－4或m ＝6.故选A.3.在平面直角坐标系中，若曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋22t ，y ＝1＋22t (t 为参数)，则其普通方程为____________.解析：依题意，消去参数可得x －2＝y －1，即x －y －1＝0. 答案：x －y －1＝04.已知两曲线的参数方程分别为⎩⎨⎧x ＝5cos θ，y ＝sin θ(0≤θ＜π)和⎩⎪⎨⎪⎧x ＝54t 2，y ＝t(t ∈R )，则它们的交点坐标为________.解析：消去参数θ得普通方程为x 25＋y 2＝1(0≤y ≤1)，表示椭圆的一部分.消去参数t 得普通方程为y 2＝45x ，表示抛物线，联立两方程，可知两曲线有一个交点，解得交点坐标为⎝⎛⎭⎫1，255.答案：⎝⎛⎭⎫1，255 5.曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin θ，y ＝cos 2θ＋1(θ为参数)，则曲线C 的普通方程为____________.解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin θ，y ＝cos 2θ＋1(θ为参数)消去参数θ，得y ＝2－2x 2(－1≤x ≤1).答案：y ＝2－2x 2(－1≤x ≤1)考点一 参数方程与普通方程的互化 [基础自学过关][题组练透]1.已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝a －2t ，y ＝－4t (t 为参数)，圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数).(1)求直线l 和圆C 的普通方程；(2)若直线l 与圆C 有公共点，求实数a 的取值范围. 解：(1)直线l 的普通方程为2x －y －2a ＝0， 圆C 的普通方程为x 2＋y 2＝16. (2)因为直线l 与圆C 有公共点，故圆C 的圆心到直线l 的距离d ＝|－2a |5≤4，解得－25≤a ≤2 5.即实数a 的取值范围为[－25，2 5 ].2.在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－8＋t ，y ＝t2(t 为参数)，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2s 2，y ＝22s(s 为参数)，设P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 的距离的最小值.解：直线l 的普通方程为x －2y ＋8＝0. 因为点P 在曲线C 上，设P (2s 2,22s )， 从而点P 到直线l 的距离d ＝|2s 2－42s ＋8|12＋(－2)2＝2(s －2)2＋45，当s ＝2时，d min ＝455. 因此当点P 的坐标为(4,4)时，曲线C 上的点P 到直线l 的距离取到最小值455.[名师微点]将参数方程化为普通方程消参的3种方法(1)利用解方程的技巧求出参数的表达式，然后代入消去参数. (2)利用三角恒等式消去参数.(3)根据参数方程本身的结构特征，灵活的选用一些方法从整体上消去参数.[提醒] 将参数方程化为普通方程时，要注意防止变量x 和y 取值范围的扩大或缩小，必须根据参数的取值范围，确定函数f (t )和g (t )的值域，即x 和y 的取值范围.考点二 参数方程的应用 [师生共研过关][典例精析](2018·全国卷Ⅲ)在平面直角坐标系xOy 中，⊙O 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，过点(0，－2)且倾斜角为α的直线l 与⊙O 交于A ，B 两点.(1)求α的取值范围；(2)求AB 中点P 的轨迹的参数方程. [解] (1)⊙O 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝1. 当α＝π2时，l 与⊙O 交于两点.当α≠π2时，记tan α＝k ，则l 的方程为y ＝kx － 2.l 与⊙O 交于两点需满足21＋k 2＜1， 解得k ＜－1或k ＞1， 即α∈⎝⎛⎭⎫π2，3π4或α∈⎝⎛⎭⎫π4，π2. 综上，α的取值范围是⎝⎛⎭⎫π4，3π4.(2)l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t cos α，y ＝－2＋t sin α⎝⎛⎭⎫t 为参数，π4＜α＜3π4.设A ，B ，P 对应的参数分别为t A ，t B ，t P ，则t P ＝t A ＋t B2，且t A ，t B 满足t 2－22t sin α＋1＝0.于是t A ＋t B ＝22sin α，t P ＝2sin α.又点P 的坐标(x ，y )满足⎩⎨⎧x ＝t P cos α，y ＝－2＋t P sin α，所以点P 的轨迹的参数方程是⎩⎨⎧x ＝22sin 2α，y ＝－22－22cos 2α⎝⎛⎭⎫α为参数，π4＜α＜3π4.[解题技法]一般地，如果题目中涉及圆、椭圆上的动点或求最值范围问题时可考虑用参数方程，设曲线上点的坐标，将问题转化为三角恒等变换问题解决，使解题过程简单明了.[过关训练]已知曲线C ：x 24＋y 29＝1，直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝2－2t (t 为参数).(1)写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；(2)过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求|PA |的最大值与最小值.解：(1)曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数).直线l 的普通方程为2x ＋y －6＝0.(2)曲线C 上任意一点P (2cos θ，3sin θ)到l 的距离为 d ＝55|4cos θ＋3sin θ－6|. 则|PA |＝d sin 30°＝255|5sin(θ＋α)－6|，其中α为锐角，且tan α＝43.当sin(θ＋α)＝－1时，|PA |取得最大值，最大值为2255.当sin(θ＋α)＝1时，|PA |取得最小值，最小值为255.考点三 参数方程与极坐标方程的综合应用 [师生共研过关][典例精析](2019·柳州模拟)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos α，y ＝2sin α(α为参数)，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线D 的极坐标方程为ρ＝4sin ⎝⎛⎭⎫θ－π6. (1)求曲线C 的极坐标方程以及曲线D 的直角坐标方程；(2)若过点A ⎝⎛⎭⎫22，π4(极坐标)且倾斜角为π3的直线l 与曲线C 交于M ，N 两点，弦MN 的中点为P ，求|AP ||AM |·|AN |的值.[解] (1)由题意可得曲线C 的普通方程为x 29＋y 24＝1，将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入曲线C 的普通方程可得，曲线C 的极坐标方程为ρ2cos 2θ9＋ρ2sin 2 θ4＝1，即ρ2＝364＋5sin 2θ.因为曲线D 的极坐标方程为ρ＝4sin ⎝⎛⎭⎫θ－π6， 所以ρ2＝4ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π6＝4ρ⎝⎛⎭⎫32sin θ－12cos θ， 又ρ2＝x 2＋y 2，x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ， 所以x 2＋y 2＝23y －2x ，所以曲线C 的极坐标方程为ρ2＝364＋5sin 2θ，曲线D 的直角坐标方程为x 2＋y 2＋2x －23y ＝0.(2)由点A ⎝⎛⎭⎫22，π4，得⎩⎨⎧x ＝22cos π4＝2，y ＝22sin π4＝2，所以A (2,2).因为直线l 过点A (2,2)且倾斜角为π3，所以直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋t cos π3，y ＝2＋t sin π3(t 为参数)，代入x 29＋y 24＝1可得，314t 2＋(8＋183)t ＋16＝0， 设M ，N 对应的参数分别为t 1，t 2， 则t 1＋t 2＝－32＋72331，t 1t 2＝6431，所以|AP ||AM |·|AN |＝⎪⎪⎪⎪t 1＋t 22|t 1t 2|＝4＋9316.[解题技法]参数方程与极坐标方程综合问题的解题策略(1)涉及参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解.当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程.(2)数形结合的应用，即充分利用参数方程中参数的几何意义，或者利用ρ和θ的几何意义，直接求解，能达到化繁为简的解题目的.[过关训练](2018·合肥质检)在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为ρ＝22cos ⎝⎛⎭⎫π4－θ. (1)求曲线C 的直角坐标方程；(2)已知直线l 过点 P (1,0)且与曲线C 交于A ，B 两点，若|PA |＋|PB |＝5，求直线l 的倾斜角α.解：(1)由ρ＝22cos ⎝⎛⎭⎫π4－θ＝2(cos θ＋sin θ)⇒ρ2＝2(ρcos θ＋ρsin θ)⇒x 2＋y 2＝2x ＋2y ⇒(x －1)2＋(y －1)2＝2，故曲线C 的直角坐标方程为(x －1)2＋(y －1)2＝2.(2)由条件可设直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)，代入圆的方程，有t 2－2t sin α－1＝0，设点A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝2sin α， t 1t 2＝－1，|PA |＋|PB |＝|AB |＝|t 1－t 2|＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝4sin 2α＋4＝5，解得sin α＝12或sin α＝－12(舍去)，故α＝π6或5π6.[课时跟踪检测]1.设直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋t cos α，y ＝4＋t sin α(t 为参数，α为倾斜角)，圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2cos θ，y ＝－1＋2sin θ(θ为参数). (1)若直线l 经过圆C 的圆心，求直线l 的斜率；(2)若直线l 与圆C 交于两个不同的点，求直线l 的斜率的取值范围. 解：(1)由已知得直线l 经过的定点是P (3,4)，而圆C 的圆心是C (1，－1)， 所以，当直线l 经过圆C 的圆心时，直线l 的斜率k ＝52.(2)由圆C 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2cos θ，y ＝－1＋2sin θ(θ为参数)，得圆C 的圆心是C (1，－1)，半径为2.由直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋t cos α，y ＝4＋t sin α(t 为参数，α为倾斜角)，得直线l 的普通方程为y －4＝k (x －3)(斜率存在)， 即kx －y ＋4－3k ＝0.当直线l 与圆C 交于两个不同的点时，圆心到直线的距离小于圆的半径， 即|5－2k |k 2＋1＜2，解得k ＞2120.即直线l 的斜率的取值范围为⎝⎛⎭⎫2120，＋∞. 2.(2018·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数)，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos α，y ＝2＋t sin α(t 为参数).(1)求C 和l 的直角坐标方程；(2)若曲线C 截直线l 所得线段的中点坐标为(1,2)，求l 的斜率.解：(1)曲线C 的直角坐标方程为x 24＋y 216＝1.当cos α≠0时，l 的直角坐标方程为y ＝tanα·x ＋2－tan α；当cos α＝0时，l 的直角坐标方程为x ＝1.(2)将l 的参数方程代入C 的直角坐标方程，整理得关于t 的方程(1＋3cos 2α)t 2＋4(2cos α＋sin α)t －8＝0.①因为曲线C 截直线l 所得线段的中点(1,2)在C 内， 所以①有两个解，设为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝0. 又由①得t 1＋t 2＝－4(2cos α＋sin α)1＋3cos 2α，故2cos α＋sin α＝0，于是直线l 的斜率k ＝tan α＝－2.3.(2019·沈阳模拟)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－2＋22t ，y ＝22t(t为参数).以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ＝2a cos θ(a ＞0).(1)求曲线C 的直角坐标方程，直线l 的普通方程；(2)设直线l 与曲线C 交于M ，N 两点，点P (－2,0)，若|PM |，|MN |，|PN |成等比数列，求实数a 的值.解：(1)由ρsin 2θ＝2a cos θ(a ＞0)两边同乘以ρ得， 曲线C 的直角坐标方程为y 2＝2ax (a ＞0).由直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－2＋22t ，y ＝22t(t 为参数)，消去t ，得直线l 的普通方程为x －y ＋2＝0.(2)将⎩⎨⎧x ＝－2＋22t ，y ＝22t代入y 2＝2ax ，得t 2－22at ＋8a ＝0，由Δ＞0得a ＞4，设M ，N 对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝22a ，t 1t 2＝8a ， ∵|PM |，|MN |，|PN |成等比数列，∴|t 1－t 2|2＝|t 1t 2|，∴(22a )2－4×8a ＝8a ，∴a ＝5.4.(2019·青岛调研)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos α，y ＝sin α(α为参数).以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝2 2. (1)写出C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程；(2)设点P 在C 1上，点Q 在C 2上，求|P Q |的最小值及此时P 的直角坐标. 解：(1)C 1的普通方程为x 23＋y 2＝1，C 2的直角坐标方程为x ＋y －4＝0.(2)由题意，可设点P 的直角坐标为(3cos α，sin α).因为C 2是直线，所以|P Q |的最小值即为P 到C 2的距离d (α)的最小值，d (α)＝|3cos α＋sin α－4|2＝2⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3－2. 当且仅当α＝2k π＋π6(k ∈Z)时，d (α)取得最小值，最小值为2，此时P 的直角坐标为⎝⎛⎭⎫32，12. 5.(2018·辽宁五校联合体模拟)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos α，y ＝sin α(α为参数).在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2的极坐标方程为ρcos 2θ＝sin θ.(1)求C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程；(2)若射线l ：y ＝kx (x ≥0)分别交C 1，C 2于A ，B 两点(A ，B 异于原点)，当k ∈(1，3]时，求|OA |·|OB |的取值范围.解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos α，y ＝sin α，可得(x －1)2＋y 2＝cos 2α＋sin 2α＝1，即C 1的普通方程为(x －1)2＋y 2＝1.方程ρcos 2θ＝sin θ可化为ρ2cos 2θ＝ρsin θ (*)，将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入(*)式，可得x 2＝y ， 所以C 2的直角坐标方程为x 2＝y . (2)因为A ，B 异于原点，所以联立⎩⎪⎨⎪⎧(x －1)2＋y 2＝1，y ＝kx ，可得A ⎝⎛⎭⎫2k 2＋1，2k k 2＋1；联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，y ＝x 2，可得B (k ，k 2). 故|OA |·|OB |＝1＋k 2·2k 2＋1·1＋k 2·|k |＝2|k |.又k ∈(1，3]，所以|OA |·|OB |∈(2,23].6.(2019·惠州调研)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2－35t ，y ＝－2＋45t (t 为参数).以坐标原点为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρcos θ＝tan θ.(1)求曲线C 1的普通方程与曲线C 2的直角坐标方程；(2)若C 1与C 2交于A ，B 两点，点P 的极坐标为⎝⎛⎭⎫22，－π4，求1|PA |＋1|PB |的值. 解：(1)由曲线C 1的参数方程消去参数t 可得，曲线C 1的普通方程为4x ＋3y －2＝0. 由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ可得，曲线C 2的直角坐标方程为y ＝x 2.(2)由点P 的极坐标为⎝⎛⎭⎫22，－π4，可得点P 的直角坐标为(2，－2)，∴点P 在曲线C 1上.将曲线C 1的参数方程⎩⎨⎧x ＝2－35t ，y ＝－2＋45t (t 为参数)代入y ＝x 2，得9t 2－80t ＋150＝0，设t 1，t 2是点A ，B 对应的参数， 则t 1＋t 2＝809，t 1t 2＝503＞0.∴1|PA |＋1|PB |＝|PA |＋|PB ||PA |·|PB |＝|t 1＋t 2||t 1t 2|＝815. 7.在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，点A 的极坐标为⎝⎛⎭⎫2，π4，直线l 的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝a ，且l 过点A ，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos α，y ＝3sin α(α为参数).(1)求曲线C 1上的点到直线l 的距离的最大值；(2)过点B (－1,1)且与直线l 平行的直线l 1与曲线C 1交于M ，N 两点，求|BM |·|BN |的值. 解：(1)由直线l 过点A ，得2cos ⎝⎛⎭⎫π4－π4＝a ，故a ＝2，则易得直线l 的直角坐标方程为x ＋y －2＝0.由点到直线的距离公式，得曲线C 1上的点到直线l 的距离d ＝|2cos α＋3sin α－2|2＝|7sin (α＋φ)－2|2，⎝⎛⎭⎫其中tan φ＝233，∴d max ＝7＋22＝14＋222.即曲线C 1上的点到直线l 的距离的最大值为14＋222. (2)由(1)知直线l 的倾斜角为3π4， 则直线l 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－1＋t cos 3π4，y ＝1＋t sin 3π4(t 为参数).易知曲线C 1的普通方程为x 24＋y 23＝1.把直线l 1的参数方程代入曲线C 1的普通方程， 得72t 2＋72t －5＝0， 设M ，N 对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1t 2＝－107， 根据参数t 的几何意义可知|BM |·|BN |＝|t 1t 2|＝107. 8.(2019·郑州模拟)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3－32t ，y ＝m ＋12t (t为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为ρ＝8cos ⎝⎛⎭⎫θ－π6，直线l 与圆C 交于A ，B 两点. (1)若OA ⊥OB ，求直线l 的普通方程；(2)设P (3，1)是直线l 上的点，若|AB |＝λ|PC |，求λ的值.解：(1)消去参数t ，得直线l 的普通方程为x ＋3y ＝3＋3m ，将圆C 的极坐标方程ρ＝8cos ⎝⎛⎭⎫θ－π6的两边同时乘ρ， 得ρ2＝43ρcos θ＋4ρsin θ，则圆C 的直角坐标方程为(x －23)2＋(y －2)2＝16，所以圆C 的圆心C (23，2)，半径为4，且经过原点O ，数形结合得，若OA ⊥OB ，则直线l 经过圆心C ，即23＋3×2＝3＋3m ，解得m ＝3， 即直线l 的普通方程为x ＋3y －43＝0. (2)由P (3，1)是直线l 上的点，得m ＝1，此时直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3－32t ，y ＝1＋12t (t 为参数)，代入到圆C 的方程(x －23)2＋(y －2)2＝16中，得t 2＋2t －12＝0，设A ，B 两点对应的参数分别为t 1，t 2， 则t 1＋t 2＝－2，t 1t 2＝－12，所以|AB |＝|t 1－t 2|＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝4＋48＝213， 又|PC |＝2，|AB |＝λ|PC |，所以λ＝13.。
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参数方程
结束
3．如图，以过原点的直线的
倾斜角 θ 为
参数，求圆 x2＋y2－x＝0 的参数方程．
1 1 解：圆的半径为 ，记圆心为 C2，0，连接 CP， 2
1 1 则∠PCx＝2θ，故 xP＝ ＋ cos 2θ＝cos2θ， 2 2 1 yP＝ sin 2θ＝sin θcos θ(θ 为参数)． 2
(t
x＝3cos α， 为参数)与曲线 y＝3sin α
(α 为参数)的交点个数．
消去参数 t 得直线 x＋y－1＝0；
消去参数 α，得圆 x2＋y2＝9．
2 ＜3． 2 因此直线与圆相交，故直线与曲线有 2 个交点． 又圆心(0,0)到直线 x＋y－1＝0 的距离 d＝
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| 3cos α＋sin α－4| π d(α)＝ ＝ 2sinα＋3 －2． 2
π 当且仅当 α＝2kπ＋ (k∈Z)时，d(α)取得最小值，最小值为 2， 6 此时 P
3 1 的直角坐标为2，2．
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2 x＝cos θ， 所以圆的参数方程为 y＝sin θcos
θ
(θ 为参数)．
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参数方程
结束
[谨记通法] 参数方程化为普通方程，主要用“消元法”消参， 常用代入法、加减消元法、利用三角恒等式消元等．在 参数方程化为普通方程时，要注意保持同解变形．
答案：x－y－1＝0
(t 为参数)
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参数方程
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2．椭圆 C
x＝5cos φ， 的参数方程为 y＝3sin φ
(φ 为参数)，过左焦
点 F1 的直线 l 与 C 相交于 A，B，则|AB|min＝________．
x＝5cos φ， M0(x0，y0)，半径为 r 的圆的参数方程为
x＝x0＋rcos θ， (θ 为参数) y＝y0＋rsin θ __________________________ ． x＝acos φ， x2 y2 y＝bsin φ (3)椭圆 2＋ 2＝1(a＞b＞0)的参数方程为__________
参数方程
x＝t， l： y＝t－a
结束
2．在平面直角坐标系 xOy 中，若直线
x＝3cos φ， C： y＝2sin φ
(t 为参数)过
椭圆
(φ 为参数)的右顶点，求常数 a 的值．
解：直线 l 的普通方程为 x－y－a＝0， x2 y2 椭圆 C 的普通方程为 ＋ ＝1， 9 4 ∴椭圆 C 的右顶点坐标为(3,0)，若直线 l 过(3,0)， 则 3－a＝0，∴a＝3．
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参数方程
结束
(2)把直线 l 的参数方程代入圆 C 的直角坐标方程，得
3－ 2 2 2 2 t ＋ t ＝5，即 t2－3 2t＋4＝0． 2 2
由于 Δ＝(3 2)2－4×4＝2＞0， 故可设 t1， t2 是上述方程的两实 数根， 所以 t1＋t2＝3 2． 又直线 l 过点 P(3， 5)，A，B 两点对应的参数分别为 t1，t2， 所以|PA|＋|PB|＝|t1|＋|t2|＝t1＋t2＝3 2．
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参数方程
x＝ft， _________ 曲线 C 上 ，那么方程 y＝gt x＝ft， 那么方程 y＝gt
结束
叫做这条曲线的参数方程，
叫做这条曲线的参数方程，变数 t 叫做参
参数 ．相对于参数方程而言，直接给出点的坐标 变数，简称_____ 普通方程 ． 间关系的方程叫做_________
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参数方程
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[由题悟法] (1)解决与圆、圆锥曲线的参数方程有关的综合问题时，要注 意普通方程与参数方程的互化公式，主要是通过互化解决与圆、 圆锥曲线上动点有关的问题，如最值、范围等． (2)根据直线的参数方程的标准式中 t 的几何意义，有如下常 用结论： 过定点 M0 的直线与圆锥曲线相交，交点为 M1，M2，所对应 的参数分别为 t1，t2． ①弦长 l＝|t1－t2|； ②弦 M1M2 的中点⇒t1＋t2＝0； ③|M0M1||M0M2|＝|t1t2|．
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[小题纠偏]
1．曲线 C
x＝sin θ， 的参数方程为 y＝cos 2θ－1
(θ 为参数)，则曲线 C 的
普通方程为________．
x＝sin θ， 解析：由 y＝cos 2θ－1
(θ 为参数)消去参数 θ 得 y＝－2x2
＝1，设直线 l 与椭圆 C 相交于 A，B 两点，则线段 AB 的长为____________．
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参数方程
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1 x＝1＋2t， 解析：将直线 l 的参数方程 y＝ 3t 2 3 2 t 2 2 1 y 2 2 1 ＋ t 代入 x ＋ ＝1，得 2 ＋ 4 ＝1， 4 16 即 7t ＋16t＝0，解得 t1＝0，t2＝－ ， 7
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考点三
极坐标、参数方程的综合应用
[典例引领] (2017· 郑州质检)平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C：(x－1)2＋ π y ＝1．直线 l 经过点 P(m,0)，且倾斜角为 ，以 O 为极点，x 6
2
轴正半轴为极轴，建立极坐标系． (1)写出曲线 C 的极坐标方程与直线 l 的参数方程； (2)若直线 l 与曲线 C 相交于 A，B 两点，且|PA|· |PB|＝1，求 实数 m 的值．
x2 y2 (φ 为参数)得， ＋ ＝1， 25 9
9 18 当 AB⊥x 轴时， |AB|有最小值． ∴|AB|min＝2× ＝ ． 5 5
18 答案： 5
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参数方程
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1．在参数方程与普通方程的互化中，必须使 x，y 的取值范围 保持一致．否则不等价． 2．直线的参数方程中，参数 t 的系数的平方和为 1 时，t 才有 几何意义且其几何意义为： |t|是直线上任一点 M(x， y)到 M0(x0，y0)的距离，即|M0M|＝|t|．
为极轴的极坐标系中，圆 C 的方程为 ρ＝2 5sin θ． (1)写出直线 l 的普通方程和圆 C 的直角坐标方程； (2)若点 P 坐标为(3， 5)， 圆 C 与直线 l 交于 A， B 两点， 求|PA| ＋|PB|的值．
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参数方程
2．直线、圆、椭圆的参数方程 (1)过点 M(x0，y0)，倾斜角为 α 的直线 l 的参数方程为
x＝x0＋tcos α， (t 为参数) y＝y0＋tsin α _________________________ ．
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解：(1)直线 l 的普通方程为 x－y＋3＝0， ∵ρ2＝4ρsin θ－2ρcos θ， ∴曲线 C 的直角坐标方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝5．
x＝ 2t， 2 (2)将直线 l 的参数方程 2 y＝3＋ t 2
a
b
(φ 为参数) ． __________
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[小题体验]
x＝2＋ 2t， 2 1．在平面直角坐标系中，曲线 C： 2 y＝1＋ t 2 的普通方程为________．
解析：依题意，消去参数可得 x－2＝y－1，即 x－y－1＝0．
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参数方程
结束
x2 2 解：(1)C1 的普通方程为 ＋y ＝1． 3 C2 的直角坐标方程为 x＋y－4＝0．
(2)由题意，可设点 P 的直角坐标为( 3cos α，sin α)． 因为 C2 是直线， 所以|PQ|的最小值即为 P 到 C2 距离 d(α)的最小值，
2
16 所以|AB|＝|t1－t2|＝ ． 7
16 答案： 7
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参数方程
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考点一
参数方程和普通方程的互化
[题组练透]
x＝2＋t， 1．求直线 y＝－1－t
x＝2＋t， 解：将 y＝－1－t x＝3cos α， 将 y＝3sin α
结束
x＝3－ 2t， 2 解： (1)由 2 y＝ 5＋ t 2 －3－ 5＝0．
得直线 l 的普通方程为 x＋y
又由 ρ＝2 5sin θ 得圆 C 的直角坐标方程为 x2＋y2－ 2 5y＝0，即 x2＋(y－ 5)2＝5．
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