第二章信号检测与估计理论(1)
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信号检测与估计理论
平方检测算法是一种简单而有效的信 号检测算法，它通过比较输入信号的 平方和与阈值来判断是否存在信号。
信号估计理论
02
信号估计的基本概念
信号估计
利用观测数据对未知信号或系统状态进行推断或预测 的过程。
信号估计的目的
通过对信号的处理和分析，提取有用的信息，并对未 知量进行估计和预测。
信号估计的应用
在通信、雷达、声呐、图像处理、语音识别等领域有 广泛应用。
阈值设置
03
在信号检测中，阈值是一个关键参数，用于区分信号和噪声。
通过调整阈值，可以控制错误判断的概率。
信号检测的算法
最大后验概率算法
最大后验概率算法是一种常用的信号 检测算法，它基于贝叶斯决策准则， 通过计算后验概率来判断是否存在信 号。
平方检测算法
多重假设检验算法
多重假设检验算法是一种处理多个假 设的信号检测算法，它通过比较不同 假设下的似然比来确定最佳假设。
医学影像信号处理
X光影像处理
通过对X光影像进行去噪、增强、分割等处理，可以提取出 病变组织和器官的形态特征，为医生提供诊断依据。
MRI影像处理
磁共振成像（MRI）是一种无创的医学影像技术，通过对MRI 影像进行三维重建、分割、特征提取等技术处理，可以更准确
地诊断疾病。
超声影像处理
超声影像是一种实时、无创的医学影像技术，通过对超声影像 进行实时采集、动态分析、目标检测等技术处理，可以为临床
03
估计的精度和效率。
深度学习在信号检测与估计中的应用
01
深度学习是人工智能领域的一种重要技术，在信号检
测与估计中信号进行高效的特征
提取和分类，提高信号检测的准确性和稳定性。
信号检测与估计理论(复习题解)
H1)
s2 1k
s1k s0k
k 1
k 1
第3章 信号状态的统计检测理论 例题解答
Var(l |1H1) Var(l | H
)
E
N
k 1
nk
s1k
N k 1
nk
s0k
2
N
2
2
s n
1k
k1
N
s2 0k k 1
信号检测与估计理论
内容提要 例题解答
第1章 信号检测与估计概论 信号的随机性及其统计处理方法。
内容提要
第1章 信号检测与估计概论
略
例题解答
第2章 信号检测与估计理论的基础知识 内容提要
一. 离散随机信号
1. 概率密度函数p(x)及特性： 非负,全域积分等于1,落入[a,b]间的概率。
2. 统计平均量：均值,方差。
解：似然函数为
p(x
|
H0
)
1
2
2 n
N
2
exp
N
k 1
( xk
s0k
2
2 n
)2
p(x
|
H1)
1
2
2 n
N
2
exp
N
k 1
(xk s1k
2
2 n
)2
第3章 信号状态的统计检测理论 例题解答
其中,观测噪声n服从对称三角分布,如图3.1(a)所示。
若似然比检测门限 1,求最佳判决式,图示判决域,计算P(H1 | H0 )。
信号检测与估计理论(复习题解)-精选文档
a ba 0 图 2. 1 (b)
ab y
2 b y x
2 2 y 4 x
第2章 信号检测与估计理论的基础知识 例题解答
例 2 . 3 设连续随机信号 x ( t ) a cos( t ), 其振幅 a 和频率 已知 相位 在 [ , ) 范围内均匀分布。分析 该信号的广义平稳 并求其自 差函数 。 解 ： 分析该信号是否满足广 义平稳的条件。 信号的均值 ( t ) E a cos( t ) a cos( t ) p ( ) d x
2 1 ( y b ) / 2 1 x p ( y ) exp 2 2 2 2 2 x x 1 2
2 1 y ( 2 b ) x exp 2 2 8 8 x x 1 2
二. 离散随机信号矢量
1. 概率密度函数描述 。 2. 统计平均量：均值矢量 , 协方差, 协方差矩阵。 3. 各分量之间的互不相关 性和相互统计独立性及 关系。 4. 高斯离散随机信号矢量 的概率密度函数及特 点： x ~ N ( μ , C ), 互不相关等价于相互统 计独立 , 独立同分布 x x
E ( x b ) b
y
2 y
2 2 22 E ( y b ) E ( x b b ) E ( x 0 ) a / 6
第2章 信号检测与估计理论的基础知识 例题解答
当 a b 2 a 时, p ( y ) 的函数曲线如图 2 . 1 (b)所示 。 p ( x) p( y ) 1/ a 1/ a
第 1章
信号检测与估计概论
信号检测与估计 第二章 匹配滤波
jt1
代表一个雷达回波信号,α及τ 是未知的参量或随机变量
S 1 ( ) a S ( ) e
j ( t1 )
j
caS ( )e
aH ( )e
j t1 ( t0 )
t1与to在输入信号结束后可以任选，如果取t1 = to+τ
H 1 ( ) a H ( )
2 j ( t t0 )
j t
d d
j arg H ( ) arg S ( ) t
e
d
arg H ( )
补偿了输入信号的
arg S ( )
§2.3
匹配滤波器
滤波器内部和外部产生的随机噪声(可等效为系统输入端 的噪声), 其功率谱宽度往往大于系统的通频带。
H ( ) Gn ( ) d
2
S ( )
2
Gn ( )d来自A ( ) H ） G n ( ) e （
j t 0
cB ( ) c
*
S ( )
*
G n ( )
H ） c （
S ( )
*
G n ( )
e
j t 0
输出波形
最大输出信噪比
*
G n ( )
e
j t 0
arg H ( ) arg S ( ) t 0
第一项与信号相频特性反相 第二项与频率成线性关系
s0 (t ) 1 2 1 2 1 2
H ）（）e （ S H ）（） （ S e S ( ) Gn ( )
取t0=(L-1)T+τ，令
H 1 ） cS1 ( )e （
代表一个雷达回波信号,α及τ 是未知的参量或随机变量
S 1 ( ) a S ( ) e
j ( t1 )
j
caS ( )e
aH ( )e
j t1 ( t0 )
t1与to在输入信号结束后可以任选，如果取t1 = to+τ
H 1 ( ) a H ( )
2 j ( t t0 )
j t
d d
j arg H ( ) arg S ( ) t
e
d
arg H ( )
补偿了输入信号的
arg S ( )
§2.3
匹配滤波器
滤波器内部和外部产生的随机噪声(可等效为系统输入端 的噪声), 其功率谱宽度往往大于系统的通频带。
H ( ) Gn ( ) d
2
S ( )
2
Gn ( )d来自A ( ) H ） G n ( ) e （
j t 0
cB ( ) c
*
S ( )
*
G n ( )
H ） c （
S ( )
*
G n ( )
e
j t 0
输出波形
最大输出信噪比
*
G n ( )
e
j t 0
arg H ( ) arg S ( ) t 0
第一项与信号相频特性反相 第二项与频率成线性关系
s0 (t ) 1 2 1 2 1 2
H ）（）e （ S H ）（） （ S e S ( ) Gn ( )
取t0=(L-1)T+τ，令
H 1 ） cS1 ( )e （
第二章信号检测与估计理论1
lim
n
F
(
xn
)
F
(
x0
)
所以F(x-0)=
lim
n
F
(
xn
)
F
(x)
可以看出分布函数的三个基本性质,正好对应概率的三个基本性质.
2019/9/4
10
2 概率密度函数(pdf)
设连续随机变量x( )的分布函数为F(x),如果F(x)对x的一阶导数存
在，即
（p x）=
dF(x) dx
8
2 .2.2 随机变量的概率密度函数(pdf)
1分布函数(CDF)
在F中，组成事件{x( ) x}的元素随x的不同取值而变化，
因此，{x( ) x}的概率P{x( ) x}取决于x的值，用F(x)表示
F(x)=P{x( ) x}, x
称为随机变量x( )的分布函数，其具有以下性质
2019/9/4
33
若固定 的值改变 的值，由于最大值为 f () 1 ，
2
可知当 越小时，f () 越大，f (x) 的图形越尖陡；当 越大时， f () 越小， f (x) 的图形越低平。因而， X 落在 附近的概率 随 的增大而减小。故称 为 f (x) 的形状参数（图2-9）。
a
,
a
xb
(a b)
0, 其它
则称x服从区间[ a, b ]上的均匀分布，记作： x ～ U(a, b)
2019/9/4
22
分布函数为:
0,
F (x)
x b
a a
,
1,
p(x)≥0,
信号检测与估计理论
•信源
n~
图3.1 二元信号统计检测理论模型
信源
H0 : 信源输出为0， x(t) s0(t) n(t) H1：信源输出为1， x(t) s1(t) n(t)
信源的输出称为假设
•概率转移机构
n~
图3.1 二元信号统计检测理论模型
作用:概率转移机构的作用是在信源输出的一个假 设为真的基础之上,把噪声干扰背景中的假设 Hj( j=0,1)为真的信号，按照一定的概率关系映射 到观测空间中.
二元信数字通信系统 0 s0(t)=sin(0t) 0 t T 1 s1(t)=sin(1t) 0 t T
n~
图1.3 二进制数字通信系统原理框图
n~
图1.4 连续相位移频键控信号 (CPFM)
在[0,T],加性噪声为n(t),接收到信号x(t),
x(t) s0 (t) n(t), 0 t T x(t) s1(t) n(t), 0 t T
➢ 实际上不知道发射的是s0还是s1,因此，需要合理检测 准则，进行判断获得信号。
➢ 在某些情况下在对信号转台作出判断之后，还需要对 信号的参数进行估计，如振幅、相位、频率等;
➢ 如有必要，需要进一步恢复出信号的波形或者图形。
3.2.1 二元信号统计检测的信号模型
n~
图3.1 二元信号统计检测理论模型
所以, R1域中的积分可以表示为
这样平均代价C的分析式最后表示为
现在根据以上平均代价C的分析表示式,来 求使平均代价最小的贝叶斯准则的判决表示式.
3.3.3 最佳判决式 平均代价的分析表示式中,第一项、第二
项是固定代价，不影响 C 的极小化；
第三项是与 PH j ，cij，判决域 R0有关的可变项。当PH j
《信号检测与估计》第二章习题解答
E[x]
=
0
，
R(t, t
+τ
)
=
R(τ
)
=
a2 2
cos ω0τ
即数学期望与时间无关，自相关函数仅与时间间隔有关，故 X (t) 为广义平稳随机过程
2.7 设有状态连续，时间离散的随机过程 X (t) = sin(2πAt)，式中， t 只能取正整数，即 t = 1,2,3,L ，
A 为在区间 (0,1) 上均匀分布的随机变量，试讨论 X (t)的平稳性。
cos
t2
+
1 9
sin
t2
cos t1
=
1 9
+
1 9
sin
t1
+
1 9
cos
t1
+
1 9
sin
t2
+
1 9
cos t2
+
1 9
cos(t1
-
t2
)+
1 9
sin(t1
+
t2
)
2.4 随机过程 X (t)为 X (t) = A cosω0t + B sin ω0t
[ ] [ ] 式中，ω0 是常数，A 和 B 是两个相互独立的高斯随机变量，而且 E[A] = E[B] = 0 ，E A2 = E B2 = σ 2 。
1 ↔ e−aτ u(τ )
jω + a
所以
RX (τ ) = ⎜⎜⎝⎛
1 e− 3
3τ −
1e 3
3τ + 1 e− 22
2τ − 1 e 22
2τ ⎟⎟⎠⎞u(τ )
平均功率
信号检测与估计理论
x~N (μx,Cx),互不相关等 计价 独 , 独 于 立 立 相同 互分 统布 概率密度函数 。
第2章 信号检测与估计理论的基础知识 内容提要
三. 离散随机信号的函数
1.一维雅可比特变别换是, 简单线性 的函 变数 。 换时 2. N维雅可比变换。
四. 连续随机信号
1任 .tk 时 意刻采 x (tk) 样 (x k ； tk)所 k ( 1 ,2 , 得 ,N )的 样 概 本 率 函数描述。
平均似然 广 比 义 检 似 验 然 ,比-检 皮验 尔和 逊奈 检曼 验的基
和方法。
第3章 信号状态的统计检测理论 例题解答
例3.1 设二元信号检测的模信型号为
H 0： x1n H1： x2n
其中 观,测n噪 服声 从对称三 如3 角 图 .1(a)分 所布 。 示,
若似然 1 ,求 比最 检 图 佳 测 示 判 门 计 判 P ( 决 H 限 算 1|H 0 决 )。 式域
也相互统计独立。
七. 信号模型及统计特性
确知信号 (未和 )知 参随 量机 ； 信 随号 机参量信性 号描 的述 统
第2章 信号检测与估计理论的基础知识 例题解答
例 2.1设离散x随 服机 从信 对号 称 其 三 概 角 率 分 密 布 度 , 函
p(x)
11|x| a a2
axa (a0)
0
其他
第3章 信号状态的统计检测理论 内容提要
一.信号状态统计检测 的理 基论 本概念
信号状态观 的测 假信 设号 , 的数 概合 ,率理 密判 判 度决 决 函,结果 与判决概最 率佳 , 判决的概 。念
二.二元信号状态统计 的检 三测 个准则
贝叶斯最 检小 测平 准均 则准 错 , 奈 则 误 曼 , 皮 概尔 率逊 检 测准则的概 检 念 验 、 判 似 决 然 为 式 比 最 、简 化判 简决 能 式
第2章 信号检测与估计理论的基础知识 内容提要
三. 离散随机信号的函数
1.一维雅可比特变别换是, 简单线性 的函 变数 。 换时 2. N维雅可比变换。
四. 连续随机信号
1任 .tk 时 意刻采 x (tk) 样 (x k ； tk)所 k ( 1 ,2 , 得 ,N )的 样 概 本 率 函数描述。
平均似然 广 比 义 检 似 验 然 ,比-检 皮验 尔和 逊奈 检曼 验的基
和方法。
第3章 信号状态的统计检测理论 例题解答
例3.1 设二元信号检测的模信型号为
H 0： x1n H1： x2n
其中 观,测n噪 服声 从对称三 如3 角 图 .1(a)分 所布 。 示,
若似然 1 ,求 比最 检 图 佳 测 示 判 门 计 判 P ( 决 H 限 算 1|H 0 决 )。 式域
也相互统计独立。
七. 信号模型及统计特性
确知信号 (未和 )知 参随 量机 ； 信 随号 机参量信性 号描 的述 统
第2章 信号检测与估计理论的基础知识 例题解答
例 2.1设离散x随 服机 从信 对号 称 其 三 概 角 率 分 密 布 度 , 函
p(x)
11|x| a a2
axa (a0)
0
其他
第3章 信号状态的统计检测理论 内容提要
一.信号状态统计检测 的理 基论 本概念
信号状态观 的测 假信 设号 , 的数 概合 ,率理 密判 判 度决 决 函,结果 与判决概最 率佳 , 判决的概 。念
二.二元信号状态统计 的检 三测 个准则
贝叶斯最 检小 测平 准均 则准 错 , 奈 则 误 曼 , 皮 概尔 率逊 检 测准则的概 检 念 验 、 判 似 决 然 为 式 比 最 、简 化判 简决 能 式
信号检测与估计知识点总结
第二章 检测理论1．二元检测：① 感兴趣的信号在观测样本中受噪声干扰，根据接收到的测量值样本判决信号的有无。
② 感兴趣的信号只有两种可能的取值，根据观测样本判决是哪一个。
2．二元检测的数学模型：感兴趣的信号s ，有两种可能状态：s0、s1。
在接收信号的观测样本y 中受到噪声n 的污染，根据测量值y 作出判决：是否存在信号s ，或者处于哪个状态。
即：y(t)=si(t)+n(t) i=0,1假设：H 0：对应s0状态或无信号，H 1：对应s1状态或有信号。
检测：根据y 及某些先验知识，判断哪个假设成立。
3. 基本概念与术语✧ 先验概率：不依赖于测量值或观测样本的条件下，某事件（假设）发生或 成立的概率。
p(H 0),p(H 1)。
✧ 后验概率：在已掌握观测样本或测量值y 的前提下，某事件（假设）发生或成立的概率。
p(H 0/y),p(H 1/y) 。
✧ 似然函数：在某假设H0或H1成立的条件下，观测样本y 出现的概率。
✧ 似然比：✧ 虚警概率 ：无判定为有；✧ 漏报概率 ：有判定为无；✧ （正确）检测概率 ：有判定为有。
✧ 平均风险： 4.1 最大后验概率准则（MAP ）在二元检测的情况下，有两种可能状态：s0、s1，根据测量值y 作出判决：是否存在信号s ，或者处于哪个状态。
即： y(t)=si(t)+n(t) i=0,1假设：H 0：对应s0状态或无信号，H 1：对应s1状态或有信号。
)|()|()(01H y p H y p y L =f P m P d P )(][)(][111110101010100000H P C P C P H P C P C P r ∙++∙+=如果 成立，判定为H0成立；否则 成立，判定为H1成立。
利用贝叶斯定理： 可以得到： 如果 成立，判定为H0成立； 如果 成立，判定为H1成立；定义似然比为：得到判决准则： 如果 成立，判定为H0成立； 如果 成立，判定为H1成立；这就是最大后验准则。
信号检测与估计理论(复习题解)
优缺点
最大似然估计法具有一致性和渐近无偏性等优点，但在小样本情况下可能存在偏差。此外，该方 法对模型的假设较为敏感，不同的模型假设可能导致不同的估计结果。
最小二乘法
01
原理
最小二乘法是一种基于误差平方和最小的参数估计方法， 它通过最小化预测值与观测值之间的误差平方和来估计模 型参数。
02 03
步骤
首先，构建包含未知参数的预测模型；然后，根据观测数 据计算预测值与观测值之间的误差平方和；接着，对误差 平方和求导并令其为零，得到参数的估计值；最后，通过 求解方程组得到参数的最小二乘估计值。
优缺点
最小二乘法具有计算简单、易于实现等优点，但在处理非 线性问题时可能效果不佳。此外，该方法对异常值和噪声 较为敏感，可能导致估计结果的偏差。
01
小波变换基本原理
小波变换是一种时频分析方法，通过伸缩和平移等运算对信号进行多尺
度细化分析，能够同时提供信号的时域和频域信息。
02
小波变换在信号去噪中的应用
小波变换具有良好的时频局部化特性，可以用于信号的去噪处理。通过
对小波系数进行阈值处理等操作，可以有效去除信号中的噪声成分。
03
小波变换在信号特征提取中的应用
3. 观察相关函数的峰值，判断是否超过预设门限。
实现步骤
2. 将待检测信号与本地参考信号进行相关运算。
优缺点：相关接收法不需要严格的信号同步，但要求参 考信号与待检测信号具有较高的相关性，且容易受到多 径效应和干扰的影响。
能量检测法
原理：能量检测法通过计算接收信号的能量来判断信号 是否存在。在噪声功率已知的情况下，可以通过比较接 收信号的能量与预设门限来判断信号是否存在。 1. 计算接收信号的能量。
经典参数估计方法
最大似然估计法具有一致性和渐近无偏性等优点，但在小样本情况下可能存在偏差。此外，该方 法对模型的假设较为敏感，不同的模型假设可能导致不同的估计结果。
最小二乘法
01
原理
最小二乘法是一种基于误差平方和最小的参数估计方法， 它通过最小化预测值与观测值之间的误差平方和来估计模 型参数。
02 03
步骤
首先，构建包含未知参数的预测模型；然后，根据观测数 据计算预测值与观测值之间的误差平方和；接着，对误差 平方和求导并令其为零，得到参数的估计值；最后，通过 求解方程组得到参数的最小二乘估计值。
优缺点
最小二乘法具有计算简单、易于实现等优点，但在处理非 线性问题时可能效果不佳。此外，该方法对异常值和噪声 较为敏感，可能导致估计结果的偏差。
01
小波变换基本原理
小波变换是一种时频分析方法，通过伸缩和平移等运算对信号进行多尺
度细化分析，能够同时提供信号的时域和频域信息。
02
小波变换在信号去噪中的应用
小波变换具有良好的时频局部化特性，可以用于信号的去噪处理。通过
对小波系数进行阈值处理等操作，可以有效去除信号中的噪声成分。
03
小波变换在信号特征提取中的应用
3. 观察相关函数的峰值，判断是否超过预设门限。
实现步骤
2. 将待检测信号与本地参考信号进行相关运算。
优缺点：相关接收法不需要严格的信号同步，但要求参 考信号与待检测信号具有较高的相关性，且容易受到多 径效应和干扰的影响。
能量检测法
原理：能量检测法通过计算接收信号的能量来判断信号 是否存在。在噪声功率已知的情况下，可以通过比较接 收信号的能量与预设门限来判断信号是否存在。 1. 计算接收信号的能量。
经典参数估计方法
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x x
2013-10-30 19
分布函数左连续的证明教材p9
(2) F ( x)是左连续函数，即F(x-0)＝F ( x)；
证明:因为已经证明了F(x)的单调性,即若x1 <x2 , 则F(x1 ) F ( x2 )
n 因此, 只须证明对于一单调上升的数列x0 x1 x2 ... xn x
2013-10-30 16
c 对于随机事件A，如果满足如下三条，则称P（A）为概率
（1）P( A) 0, 对一切A F； (2) P（）＝1； (3) 若事件A i F , i 1, 2,...，且两两互不相容，则P（ Ai）= PAi
i=1 i=1
2013-10-30
为概率空间， 为样本空间，F为事件域，P为概率。
a 样本空间表示随机试验所有出现的可能结果，其中试验的某一个结 果称为样本点，样本空间中的某个子集称为事件。
b 设是样本空间，F是由的一些子集构成的集合，如果满足以下三条
（i） F ; (ii ) 若事件A F，则A F (iii) 若事件A n F，n=1,2...,则 A n F或者 A n F
X (1 )
R
因此，它必然满足以下两个条件 （i ) 对x, 集合{x( ) x}是（，F，P）一个事件，并 有确定的P{x( ) x} （ii） 事件{x( ) }和{x( ) }的概率等于0；
2013-10-30
P{x( ) }＝0
P{x( ) }＝0
2013-10-30
11
③ 贝叶斯公式(Bayes)
U * P(Girl) * P(Pants|Girl) / [U * P(Boy) * P(Pants|Boy) + U * P(Girl) * P(Pants|Girl)] 。
容易发现这里校园内人的总数是无关的，可以消去。于是得到
P(Girl|Pants) = P(Girl) * P(Pants|Girl) / [P(Boy) * P(Pants|Boy) + P(Girl) * P(Pants|Girl)]
T
x(t ) s (t； ) n(t )， t T 0
[1 2 ... M ]
是随机信号，但是其统计特性都非常有规律，因此
选择用概率论，数理统计、随机过程等工具来描述.
2013-10-30 15
2.1 随机变量、随机矢量及其统计描述
2.2.1 随机变量的基本概念
1 概率空间：在科尔莫戈罗夫的概率公理化结构中，称 ，F，P） （
而并不能直接看到袋子里面实际的情况。
2013-10-30
8
③ 贝叶斯公式(Bayes)
1. 算出各种不同猜测的可能性大小。
2. 算出最靠谱的猜测是什么。
第一个就是计算特定猜测的后验概率，对于连
续的猜测空间则是计算猜测的概率密度函数。
第二个则是所谓的模型比较，模型比较如果不
考虑先验概率的话就是最大似然方法。
（很不幸的是你高度近似，你只看得见他（她）穿的是 否长裤，而无法确定他（她）的性别），你能够推断出 他（她）是男生的概率是多大吗？这里假设求是女生的 概率，即穿长裤的女生。
2013-10-30 10
③ 贝叶斯公式(Bayes)
问题进一步简化： 你在校园里面随机游走，遇到了 N 个穿长 裤的人（仍然假设你无法直接观察到他们的性 别），问这 N 个人里面有多少个女生多少个男 生。
2013-10-30 1927年，狄拉克，
光阴迅逝
28岁（氢原子理论） 31岁（相波） 24岁（不确定关系） 25岁（不相容原理） 36岁（薛定谔方程） 25岁 23岁（电子自旋） 25岁（量子统计） 25岁（相对论量子力学）
风华难驻
转瞬即过而立年 空悲切
25 狄拉克（Paul Dirac 1902-1984 ）
18
2.2.2 随机变量的概率密度函数(pdf) 1分布函数(CDF)
在F中，组成事件{x( ) x}的元素随x的不同取值而变化， 因此， ( ) x}的概率P{x( ) x}取决于x的值，用F(x)表示 {x F(x)=P{x( ) x}, x 称为随机变量x( )的分布函数，其具有以下性质 （1）F(x)是单调不减的函数，即若x1 <x2 , 则F(x1 ) F ( x2 ) (2) F ( x)是左连续函数，即F(x－0)＝F ( x)； (3) F ( x)满足如下关系：F() lim F ( x) 0; F() lim F ( x) 1
事件相乘同 时发生
P( ABC ) P( A) P( B | A) P(C | AB)
②
全概率公式，设Bi是完备不相容事件,Bi 是样本空间的一个分割
完备： Bi 为必然事件（一定发生）
i
2013-10-30
不相容：Bi B j ，不可能同时发生
6
A Bi A
i
P( A) P( A | Bi ) P(Bi )
随机变量的矩—中心矩
2013-10-30
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2 随机变量的矩
原点矩和中心距之间的关系
2013-10-30
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引理1 设随机变量 X 具有数学期望 E(x) = μ, 方差 D(x) = σ 2 , 则对于任意正数 ε, 不等式 σ P{ x - μ < ε } 1 - 2 ε 成立 .
2013-10-30
13
③ 贝叶斯公式(Bayes)
若事件A只能与两两互不相容的事件Bi之一发生
P Bi | A
P A | Bj P Bj
j
P A | Bi P Bi
分母 P A
证明：P Bi | A
P Bi , A P( A)
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③ 贝叶斯公式(Bayes)
一所学校里面有 60% 的男生，40% 的女生。男生总是穿
长裤，女生则一半穿长裤一半穿裙子。有了这些信息之 后我们可以容易地计算“随机选取一个学生，他（她） 穿长裤的概率和穿裙子的概率是多大”，这个就是前面 说的“正向概率”的计算。
然而，假设你走在校园中，迎面走来一个穿长裤的学生
该粒子在区域G出现的概率。
21
普朗克 M德布罗意
卢瑟福 金斯 昂内斯
最 明 亮 的 一 颗 星
索末菲
朗之万
能斯特
1911年10月30日第 2013-10-30 一次索尔维会议
洛伦兹
维恩、居里夫人、庞加莱
22
1927年第五次索尔维会议 2013-10-30
23
玻尔与爱因斯坦的论战：1927年第五次索尔维会议
2013-10-30 3
曾经的考试题
2013-10-30
4
第一章模型
1 信号的随机性及其统计处理方法
x t = st + n t
或
x t s t ； n t θ
统计处理方法，主要体现在如下三个方面： 统计描述随机信号：概率密度函数，统计平均量，功率谱密度等；
2.2.3 随机变量的统计平均量
实际上,有时候获得（x） p dF ( x) 比较困难. dx
1 随机变量的均值
设连续随机变量x( )的pdf 为p( x), 则其统计均值定义为 E[ x( )] x
xp( x)dx
E[ax( ) b] a x b
随机变量函数的均值
n
可以看出分布函数的三个基本性质,正好对应概率的三个基本性质.
2013-10-30 20
2 概率密度函数(pdf)
设连续随机变量x( )的分布函数为F( x), 如果F( x)对x的一阶导数存 在，即 dF(x) （x）= p dx (1) F（x）= p(z)dz
x
(2) 对所有x, p( x) 0, x (3)
p(x)dx 1
x2 x1
(4) 随机变量在区间(x1 ,x2 )的概率P{x1 x ( ) x2 } p(x)dx 在量子力学中，粒子在某个区域G的出现是通过概率来描述的，若 以 表示粒子的波函数，则 即为密度函数， dxdydz就表示
2 2
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埃 仑 费 斯 特 德 拜 布 拉 格
薛 定 谔康 普 顿 狄 拉 克
海 泡 森 德 布 利 伯 罗 意 玻 恩
布 里 渊 玻 尔
普 郎 克
居 里 夫 人
洛 伦 兹
爱 因 斯 坦
郎 之 万
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1905年，爱因斯坦， 26岁（光量子理论） 1913年，玻尔， 1923年，德布罗意， 1925年，海森伯， 1925年，泡利， 1925年，薛定谔， 1925年，乌仑贝克 古兹密特， 1926年，费米，
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2 随机变量
设（，F，P）,x( )、 , 是定义在上的单值实函数，对x R,集合 {x( ) x} F , 则称x( )为概率空间（，F，P）上的一个随机变量。 定义域为： 值域为：R
1
2
3
4
X : R
X (3 ) X (4 )
X (2 )
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2 随机变量的矩
数学期望、方差、协方差(混合中心矩)等都是随机变量
的最常用的数字特征，它们都是某种矩，矩是最广泛使用的
一种数字特征，在概率论和数理统计中占有重要地位。最常 用的矩有两种：原点矩和中心矩。
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2 随机变量的矩—原点矩
0阶原点矩，1阶原点矩，2阶原点矩称之为均方值
x t 是待处理的随机信号。
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分布函数左连续的证明教材p9
(2) F ( x)是左连续函数，即F(x-0)＝F ( x)；
证明:因为已经证明了F(x)的单调性,即若x1 <x2 , 则F(x1 ) F ( x2 )
n 因此, 只须证明对于一单调上升的数列x0 x1 x2 ... xn x
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c 对于随机事件A，如果满足如下三条，则称P（A）为概率
（1）P( A) 0, 对一切A F； (2) P（）＝1； (3) 若事件A i F , i 1, 2,...，且两两互不相容，则P（ Ai）= PAi
i=1 i=1
2013-10-30
为概率空间， 为样本空间，F为事件域，P为概率。
a 样本空间表示随机试验所有出现的可能结果，其中试验的某一个结 果称为样本点，样本空间中的某个子集称为事件。
b 设是样本空间，F是由的一些子集构成的集合，如果满足以下三条
（i） F ; (ii ) 若事件A F，则A F (iii) 若事件A n F，n=1,2...,则 A n F或者 A n F
X (1 )
R
因此，它必然满足以下两个条件 （i ) 对x, 集合{x( ) x}是（，F，P）一个事件，并 有确定的P{x( ) x} （ii） 事件{x( ) }和{x( ) }的概率等于0；
2013-10-30
P{x( ) }＝0
P{x( ) }＝0
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③ 贝叶斯公式(Bayes)
U * P(Girl) * P(Pants|Girl) / [U * P(Boy) * P(Pants|Boy) + U * P(Girl) * P(Pants|Girl)] 。
容易发现这里校园内人的总数是无关的，可以消去。于是得到
P(Girl|Pants) = P(Girl) * P(Pants|Girl) / [P(Boy) * P(Pants|Boy) + P(Girl) * P(Pants|Girl)]
T
x(t ) s (t； ) n(t )， t T 0
[1 2 ... M ]
是随机信号，但是其统计特性都非常有规律，因此
选择用概率论，数理统计、随机过程等工具来描述.
2013-10-30 15
2.1 随机变量、随机矢量及其统计描述
2.2.1 随机变量的基本概念
1 概率空间：在科尔莫戈罗夫的概率公理化结构中，称 ，F，P） （
而并不能直接看到袋子里面实际的情况。
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③ 贝叶斯公式(Bayes)
1. 算出各种不同猜测的可能性大小。
2. 算出最靠谱的猜测是什么。
第一个就是计算特定猜测的后验概率，对于连
续的猜测空间则是计算猜测的概率密度函数。
第二个则是所谓的模型比较，模型比较如果不
考虑先验概率的话就是最大似然方法。
（很不幸的是你高度近似，你只看得见他（她）穿的是 否长裤，而无法确定他（她）的性别），你能够推断出 他（她）是男生的概率是多大吗？这里假设求是女生的 概率，即穿长裤的女生。
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③ 贝叶斯公式(Bayes)
问题进一步简化： 你在校园里面随机游走，遇到了 N 个穿长 裤的人（仍然假设你无法直接观察到他们的性 别），问这 N 个人里面有多少个女生多少个男 生。
2013-10-30 1927年，狄拉克，
光阴迅逝
28岁（氢原子理论） 31岁（相波） 24岁（不确定关系） 25岁（不相容原理） 36岁（薛定谔方程） 25岁 23岁（电子自旋） 25岁（量子统计） 25岁（相对论量子力学）
风华难驻
转瞬即过而立年 空悲切
25 狄拉克（Paul Dirac 1902-1984 ）
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2.2.2 随机变量的概率密度函数(pdf) 1分布函数(CDF)
在F中，组成事件{x( ) x}的元素随x的不同取值而变化， 因此， ( ) x}的概率P{x( ) x}取决于x的值，用F(x)表示 {x F(x)=P{x( ) x}, x 称为随机变量x( )的分布函数，其具有以下性质 （1）F(x)是单调不减的函数，即若x1 <x2 , 则F(x1 ) F ( x2 ) (2) F ( x)是左连续函数，即F(x－0)＝F ( x)； (3) F ( x)满足如下关系：F() lim F ( x) 0; F() lim F ( x) 1
事件相乘同 时发生
P( ABC ) P( A) P( B | A) P(C | AB)
②
全概率公式，设Bi是完备不相容事件,Bi 是样本空间的一个分割
完备： Bi 为必然事件（一定发生）
i
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不相容：Bi B j ，不可能同时发生
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A Bi A
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P( A) P( A | Bi ) P(Bi )
随机变量的矩—中心矩
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2 随机变量的矩
原点矩和中心距之间的关系
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引理1 设随机变量 X 具有数学期望 E(x) = μ, 方差 D(x) = σ 2 , 则对于任意正数 ε, 不等式 σ P{ x - μ < ε } 1 - 2 ε 成立 .
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③ 贝叶斯公式(Bayes)
若事件A只能与两两互不相容的事件Bi之一发生
P Bi | A
P A | Bj P Bj
j
P A | Bi P Bi
分母 P A
证明：P Bi | A
P Bi , A P( A)
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③ 贝叶斯公式(Bayes)
一所学校里面有 60% 的男生，40% 的女生。男生总是穿
长裤，女生则一半穿长裤一半穿裙子。有了这些信息之 后我们可以容易地计算“随机选取一个学生，他（她） 穿长裤的概率和穿裙子的概率是多大”，这个就是前面 说的“正向概率”的计算。
然而，假设你走在校园中，迎面走来一个穿长裤的学生
该粒子在区域G出现的概率。
21
普朗克 M德布罗意
卢瑟福 金斯 昂内斯
最 明 亮 的 一 颗 星
索末菲
朗之万
能斯特
1911年10月30日第 2013-10-30 一次索尔维会议
洛伦兹
维恩、居里夫人、庞加莱
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1927年第五次索尔维会议 2013-10-30
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玻尔与爱因斯坦的论战：1927年第五次索尔维会议
2013-10-30 3
曾经的考试题
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第一章模型
1 信号的随机性及其统计处理方法
x t = st + n t
或
x t s t ； n t θ
统计处理方法，主要体现在如下三个方面： 统计描述随机信号：概率密度函数，统计平均量，功率谱密度等；
2.2.3 随机变量的统计平均量
实际上,有时候获得（x） p dF ( x) 比较困难. dx
1 随机变量的均值
设连续随机变量x( )的pdf 为p( x), 则其统计均值定义为 E[ x( )] x
xp( x)dx
E[ax( ) b] a x b
随机变量函数的均值
n
可以看出分布函数的三个基本性质,正好对应概率的三个基本性质.
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2 概率密度函数(pdf)
设连续随机变量x( )的分布函数为F( x), 如果F( x)对x的一阶导数存 在，即 dF(x) （x）= p dx (1) F（x）= p(z)dz
x
(2) 对所有x, p( x) 0, x (3)
p(x)dx 1
x2 x1
(4) 随机变量在区间(x1 ,x2 )的概率P{x1 x ( ) x2 } p(x)dx 在量子力学中，粒子在某个区域G的出现是通过概率来描述的，若 以 表示粒子的波函数，则 即为密度函数， dxdydz就表示
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埃 仑 费 斯 特 德 拜 布 拉 格
薛 定 谔康 普 顿 狄 拉 克
海 泡 森 德 布 利 伯 罗 意 玻 恩
布 里 渊 玻 尔
普 郎 克
居 里 夫 人
洛 伦 兹
爱 因 斯 坦
郎 之 万
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1905年，爱因斯坦， 26岁（光量子理论） 1913年，玻尔， 1923年，德布罗意， 1925年，海森伯， 1925年，泡利， 1925年，薛定谔， 1925年，乌仑贝克 古兹密特， 1926年，费米，
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2 随机变量
设（，F，P）,x( )、 , 是定义在上的单值实函数，对x R,集合 {x( ) x} F , 则称x( )为概率空间（，F，P）上的一个随机变量。 定义域为： 值域为：R
1
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X : R
X (3 ) X (4 )
X (2 )
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2 随机变量的矩
数学期望、方差、协方差(混合中心矩)等都是随机变量
的最常用的数字特征，它们都是某种矩，矩是最广泛使用的
一种数字特征，在概率论和数理统计中占有重要地位。最常 用的矩有两种：原点矩和中心矩。
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2 随机变量的矩—原点矩
0阶原点矩，1阶原点矩，2阶原点矩称之为均方值
x t 是待处理的随机信号。