人教版高中数学必修二《第八章 立体几何初步》单元导学案

人教版高中数学必修二《第八章立体几何初步》单元导学案

8.1 基本几何图形

第1课时棱柱、棱锥、棱台

【学习目标】

1.能根据几何结构特征对空间物体进行分类；

2.从实物中概括出棱柱、棱锥、棱台的几何结构特征；

3.会用语言概述棱柱、棱锥、棱台的结构特征；

4.会表示有关几何体以及棱柱、棱锥、棱台的分类。

【教学重点】：让学生感受大量空间实物及模型、概括出棱柱、棱锥、棱台的结构特征；

【教学难点】：棱柱、棱锥、棱台的结构特征的概括。

【知识梳理】

1.空间几何体

名称定义

空间几何体在我们周围存在着各种各样的物体，它们都占据着空间的一部分.如果只考虑这些物体的和，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的空间图形就叫做空间几何体

多面体由若干个围成的几何体叫做多面体.围成多面体的各个多边形叫做多面体的面；两个面的叫做多面体的棱；棱与棱的叫做多面体的顶点

旋转体一条平面曲线(包括直线)绕它所在平面内的一条定旋转所形成的叫做旋转面，封闭的旋转面围成的叫做旋转体，

这条定直线叫做旋转体的轴

2.多面体

定义图形及表示相关概念特殊情形

有两个面互相，其余各面都是，并且相邻两个四边形的公共底面(底)：两个互

相的面

侧面：其余各面

直棱柱：侧棱

于底面的棱

柱

记作：棱锥 S －ABCD

记作：棱台

ABCD －A ′B ′C ′D

′

【学习过程】 一、探索新知

观察1:观察生活的具体实物，你能抽象出它们的空间图形吗？

空间几何体的定义:

如果我们只考虑这些物体的形状和大小，而不考虑其它因素，那么由这些物体抽象出来的空间图形就叫做空间几何体．

思考1：如图，下面这些图片中的物体具有怎样的形状？在日常生活中，我们把这些物体的形状叫做什么？如何描述它们的形状？

1.多面体：由若干个围成的几何体叫做多面体。围成多面体的各个多边形叫做多面体的 ,两个面的叫做多面体的棱,棱与棱的公共点叫做多面体的。

面ABE，面BAF，棱AE，棱EC，顶点E，顶点C

2.旋转体：由一条平面曲线（包括直线）绕它所在的平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫做旋转面,封闭的旋转面围成的几何体叫做旋转体,这条叫做旋转体的轴。

思考2：观察下面的长方体，它的每个面是什么样多边形？不同的面之间有什么位置关系？

（一）棱柱

1.棱柱定义：一般地，有两个面互相，其余各面都是，并且每相邻两个四边形的公共边都互相，由这些面围成的多面体叫做棱柱.

为了研究方便，我们把棱柱中两个互相平行的面叫做棱柱的底面，它们是全等的多边形；其余各面叫做棱柱的侧面，它们都是平行四边形；相邻侧面的叫做棱柱的侧棱，侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点.你能指出下面棱柱的底面、侧面、侧棱、顶点吗？

2棱柱的表示法：用平行的两底面多边形的字母表示棱柱,如：棱柱ABCDE-

A 1B

1

C

1

D

1

E

1

3.（1）棱柱的分类1：棱柱的底面可以是三角形、四边形、五边形、……

我们把这样的棱柱分别叫做、、、……

（2）棱柱的分类2：一般地，把垂直于底面的棱柱叫做直棱柱，侧棱于底面的棱柱叫做斜棱柱，底面是的直棱柱叫做正棱柱。底面是平行四边形的四棱柱也叫平行六面体。

练习：说出下列那些图是直棱柱、斜棱柱、正棱柱、平行六面体？

4.棱柱的性质：

（1）侧棱都互相，各侧面都是平行四边形；直棱柱的每条侧棱及每个侧面都于底面。

（2）两个底面及平行于底面的截面是的多边形，且对应边互相；

（3）过不相邻的两条侧棱的截面（即对角面）是；

练习：下列命题中正确的是（）

A、有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱。

B、有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱。

C、有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱。

D、有两个相邻侧面垂直与底面的棱柱是直棱柱。

二）棱锥

思考3：上图中的物体具有什么样的共同的结构特征？

1.棱锥的定义：

有一个面是多边形，其余各面都是有一个的三角形，由这些面围成的多面体叫做棱锥。这个叫做棱锥的底面；有的各个三角形面

叫做棱锥的侧面；相邻侧面的叫做棱锥的侧棱；各侧面的公共叫做棱锥的顶点。

2.棱锥的表示方法：用表示顶点和底面的字母表示，如四棱锥S-ABCD。

3.棱锥的分类：

按底面多边形的边数，可以分为三棱锥、四棱锥、五棱锥、…… 其中三棱锥又叫，底面是，并且顶点与底面中心的连线于底面的棱锥叫做正棱锥。

练习：下面几何体是棱锥吗？

（三）棱台

1.棱台的概念：

用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，之间那部分多面体叫做棱台。原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面。

思考4：请你仿照棱锥中侧面、侧棱、顶点的定义，给出棱台侧面、侧棱、顶点的定义，并在棱台中标出。

2.棱台的表示法：棱台用表示上、下底面各顶点的字母来表示：如

棱台ABCDE-A

1B

1

C

1

D

1

E

1

。

3.棱台的分类：由三棱锥、四棱锥、五棱锥…截得的棱台，分别叫做三棱台，四棱台，五棱台…

练习：判断:下列几何体是不是棱台,为什么?

思考5.棱台的结构特征是什么？

例1.将下列各类几何体之间的关系用Venn图表示出来：多面体，长方体，棱柱，棱锥，棱台，直棱柱，四面体，平行六面体

【达标检测】

1．判断正误

(1)棱柱的侧面都是平行四边形．( )

(2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体叫棱锥．( )

(3)用一平面去截棱锥底面和截面之间的部分叫棱台．( )

2．有一个多面体，共有四个面围成，每一个面都是三角形，则这个几何体为( )

A．四棱柱B．四棱锥

C．三棱柱D．三棱锥

3．下列图形经过折叠可以围成一个棱柱的是( )

A B C D

4．一个棱柱至少有个面，顶点最少的一个棱台有条侧棱．5．画一个三棱台，再把它分成：

(1)一个三棱柱和另一个多面体；

(2)三个三棱锥，并用字母表示．

参考答案：

思考 1.纸箱、金字塔、茶叶盒、水晶萤石、储物箱等物体围成它们的面都是平面图形，并且都是平面多边形；纸杯、腰鼓、奶粉罐、篮球和足球、铅锤围成它们的面不全是平面图形，有些面是曲面。

思考 2.它的每个面是平行四边形，不同的面之间位置关系有平行、相交，相对面平行。

（一）练习：直棱柱：（1）、（3）斜棱柱：（2）、（4）

正棱柱：（2）平行六面体（4）

4.（1）平行且相等垂直（2）全等平行平行四边形

练习：D

（二）思考3：一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形。

练习：不是，各侧面没有公共点。

（三）练习：（1）不是，侧棱不交于一点；（2）不是，没有两面平行；

思考5.①各侧棱的延长线相交于一点；②截面平行于原棱锥的底面。

例1.如图所示

达标检测

1.【答案】(1)√(2)×(3)×

2.【答案】D

【解析】根据棱锥的定义可知该几何体是三棱锥．故选D。

3.【答案】D

【解析】A，B，C中底面多边形的边数与侧面数不相等．故选D。

4.【答案】5 3

【解析】面最少的棱柱是三棱柱，它有5个面；顶点最少的一个棱台是三棱台，它有3条侧棱．

5.【解析】画三棱台一定要利用三棱锥．

(1)如图①所示，三棱柱是棱柱A′B′C′­AB″C″，另一个多面体是B′C′CBB″C″.

(2)如图②所示，三个三棱锥分别是A′­ABC，

B′­A′BC，C′­A′B′C.

8.1 基本几何图形

第2课时圆柱、圆锥、圆台、球

【学习目标】

1.了解圆柱、圆锥、圆台、球的定义．

2．掌握圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征．

3．认识简单组合体的结构特征，了解简单组合体的两种基本构成形式．【教学重点】：圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征，简单组合体的结构特征；【教学难点】：简单组合体的结构特征，简单组合体的两种基本构成形式．【知识梳理】

1．圆柱的结构特征

2.圆锥的结构特征

3.圆台的结构特征

4．球的结构特征

5．简单组合体的定义：．

【学习过程】

一、探索新知

思考1：一个矩形绕着一条边所在直线旋转一周，可得什么图形？

1.圆柱定义：以矩形的为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱．

在圆柱的形成中，叫做圆柱的轴，垂直于的边旋转而成的圆面叫做圆柱的底面，平行于的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面，无论旋转到什么位置，轴的边都叫做圆柱侧面的母线.

圆柱的表示：用表示它的的字母表示。如：O

O

圆柱。

思考2：一个直角三角形绕着一条直角边所在直线旋转一周，可得什么图形？

2.圆锥定义：以直角三角形的一条所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的几何体叫做圆锥．

思考3：请你仿照圆柱中轴、底面、侧面、母线的定义，给出圆锥的轴、底面、侧面、母线的定义，并在图中标出。

圆锥的表示：用表示它的的字母表示，圆柱SO。

3.圆台定义：用一个于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与之间的部分是圆台.

思考4.在圆台中标出圆台的轴、底面、侧面、母线。

探究：圆柱可以由矩形旋转的到，圆锥可以由直角三角形旋转的得到。圆台是否可以由平面图形旋转得到？如果可以，由什么平面图形旋转得到？如何旋转？

思考5.半圆绕着它的直径旋转一周得到什么图形？

4.球的定义：半圆以它的所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做球面，围成的旋转体叫做球体，简称球．半圆的叫做球的球心，连

接和球面上任意一点的线段叫做球的半径，连接球面上两点并且经过的线段叫做叫做球的直径。

球用表示的字母表示：如：球O。

例1.给出下列命题：

①圆柱的母线与它的轴可以不平行；

②圆锥的顶点、圆锥底面圆周上任意一点及底面圆的圆心三点的连线都可以构成直角三角形；

③在圆台的上、下两底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；

④圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的．

其中正确的是( )

A．①②B．②③C．①③D．②④

5.简单几何体的分类：

探究：棱柱、棱锥与棱台都是多面体，它们在结构上有哪些相同点和不同点？当底面发生变化时，它们能否互相转化？圆柱、圆锥、圆台呢？

6.简单组合体：现实世界中的物体表示的几何体，除柱体、椎体、台体和球等简单几何体外，还有大量的几何体是由简单几何体组合而成的，这些几何体称作简单组合体。

思考6：请你说说下图中各几何体是由哪些简单几何体组合而成的。

例2.如图，以直角梯形ABCD的下底AB所在直线为轴，其余

三边旋转一周形成的面围成一个几何体，说出这个几何体的结构

特征。

【达标检测】

1．判断正误

(1)直角三角形绕一边所在直线旋转得到的旋转体是圆锥．( )

(2)夹在圆柱的两个平行平面之间的几何体是圆柱．( )

(3)圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台．( )

(4)半圆绕其直径所在直线旋转一周形成球．( )

2．圆柱的母线长为10，则其高等于( )

A．5 B．10

C．20 D．不确定

3．下面几何体的截面一定是圆面的是( )

A．圆台B．球C．圆柱D．棱柱

4．指出如图①②所示的图形是由哪些简单几何体构成的．

①②

参考答案：

思考 3.在圆锥的形成中，旋转轴叫做圆锥的轴，垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆锥的底面，直角三角形的斜边旋转而成的曲面叫做圆锥的侧面，无论旋转到什么位置，直角三角形的斜边都叫做圆锥侧面的母线.

思考4

.

探究：可以由直角梯形绕直角腰旋转一周得到。（答案不唯一）

例1.【答案】D

【解析】由圆柱、圆锥、圆台的定义及母线的性质可知②④正确，①③错误．5.

探究：

思考6：(1)中物体是两个圆台、两个圆柱拼接而成。

(2)中物体是圆台、球拼接而成。

(3)中物体是正方体截去一个三棱锥。

(4)中物体是长方体截去两个长方体。

例2.几何体如图所示，其中AB

DE ，垂足为E。这个几何体是由圆柱BE

和圆锥AE组合而成的，其中圆柱BE的底面分别是圆B和圆E，侧面是由梯形的上底CD和下底AB旋转形成的；圆锥AE底面是圆E，侧面是由梯形的边AD绕轴AB旋转而成的。

达标检测

1.【答案】(1)×(2)×(3)×(4)×

2.【答案】B

【解析】圆柱的母线长和高相等．故选B。

3.【答案】B

【解析】截面可以从各个不同的部位截取，截得的截面都是圆面的几何体只有球．故选B。

4.【解析】分割原图，使它的每一部分都是简单几何体．图①是由一个三棱柱和一个四棱柱拼接而成的简单组合体．

图②是由一个圆锥和一个四棱柱拼接而成的简单组合体．

8.2 立体图形的直观图

【学习目标】

1.了解“斜二测画法”的概念并掌握斜二测画法的步骤．

2．会用斜二测画法画出一些简单平面图形和立体图形的直观图．

【教学重点】：斜二测画法的步骤；

【教学难点】：会用斜二测画法画出一些简单平面图形和立体图形的直观图。

【知识梳理】

1．斜二测画法

我们常用斜二测画法画空间图形及水平放置的平面图形的直观图．斜二测画法是一种特殊的画法．

2．空间几何体直观图的画法

(1)与平面图形的直观图相比，只是多画一个与x轴、y轴都垂直的轴，直观图中与之对应的是轴；

(2)平面表示水平平面，平面和表示竖直平面；

(3)已知图形中平行于z轴(或在z轴上)的线段，在其直观图中和都不变．

(4)成图：去掉辅助线，将被遮挡的部分改为．

【学习过程】

一、探索新知

思考：如图，矩形窗户在阳光照射下留在地面上的影子是什么形状？眺望远处成块的农田，矩形的农田在我们眼里又是什么形状？

1.斜二测画法。利用平行投影，人们获得的画直观图的方法是斜二测画法。

用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤：

练习：用斜二测画法画水平放置的正方形的直观图．

例1.用斜二测画法画水平放置的六边形的直观图。

规则：

（1）在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴,两轴相交于点O.画直观图时,把它们画成对应的x'轴和y'轴,两轴相交于O',且使 ,它

们确定的平面表示水平面；

（2）已知图形中平行于x轴、y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x'轴或y'轴的线段；

（3）已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持长度不变；平行于y 轴的线段，长度为原来的一半。

结论：画直观图时，除多边形外，还会遇到画圆的直观图的问题，生活经验告诉我们，水平放置的圆看起来象椭圆，因此一般用椭圆作为圆的直观图，画图时，常用如图椭圆模板。

练习：

用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，下列结论是否正确。

(1) 相等的线段在直观图中仍然相等。（）

(2) 平行的线段在直观图中仍然平行。（）

(3)一个角的直观图仍然是一个角。（）

(4) 相等的角在直观图中仍然相等。（）

例2.已知长方体的长,宽,高分别是3cm,2cm,1.5cm，用斜二测画法画出它的直观图。

例3.已知圆柱的底面半径为1cm.侧面母线长3cm，画出它的直观图。

结论：圆锥的直观图，一般先画圆锥的底面，再借助于圆锥的轴确定圆锥的顶点，最后画出两侧的两条母线。画球的直观图，一般需要画出球的轮廓线，它是一个圆，同时还经常画出经过球心得截面圆，它们的直观图是椭圆，用以衬托

球的立体性。

例4.某简单组合体由上下两部分组成，下部是一个圆柱，上部是一个圆锥，圆锥的底面与圆柱的上底面重合。画出这个组合体的直观图。

【达标检测】

1.判断正误

用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图.

(1)原来相交的仍相交. ( )

(2)原来垂直的仍垂直. ( )

(3)原来平行的仍平行. ( )

(4)原来共点的仍共点. ( )

2．利用斜二测画法画出边长为3 cm的正方形的直观图，正确的是( )

A B C D

3．如图，平行四边形O′P′Q′R′是四边形OPQR的直观图，若O′P′＝3，O′R′＝1，则原四边形OPQR的周长为．

4．画出水平放置的四边形OBCD(如图所示)的直观图．

参考答案：

思考：平行四边形

1.

练习：解：①以正方形的中心为原点，平行与边的直线为x轴,y轴建立如图所示的坐标系；

②建立y

∠=45°的坐标系

o

x'''

③平行于x、y轴的线段在斜二测坐标系中仍平行于x’、y’轴，但横向长度不变，纵向长度减半

例1.解：（1）在六边形ABCDEF中，取AD所在的直线为x轴，对称轴MN所在直线为y轴，两轴交于点O。画相应的x'轴和y'轴，两轴相交于点o'，使o

∠y

x

45︒

='''

.