新形势下水库调度决策单调性与动态规划算法改进
四种优化方法在水库优化调度中的运用
四种优化方法在水库优化调度中的运用田昆河海大学水利水电工程学院，南京（210098）E-mail ：ambitious1984@摘 要：本文用动态规划法、增量动态规划法、逐步优化算法和遗传算法四种优化算法，编写Visual Basic 程序，建立模型，研究单一水库的优化调度问题。
通过实例计算，对四种方法进行比较分析，结果正名逐步优化法和遗传算法收敛速度快，且能达到全局最优解。
关键词：水库调度；动态规划；增量；遗传算法本文以整个调度期内发电量最大作为优化的目标函数，建立单一水库确定性模型，用动态规划、离散微分动态规划、逐步优化算法和遗传算法四种方法分别编写Visual Basic 程序，对同一实例进行计算，通过结果比较，表明逐步优化法(POA)和遗传算法(GA)收敛快，且能得到全局最优解，计算效果较好。
1. 动态规划（DP ）动态规划是解决多阶段决策过程最优化的一种最优化方法。
它把比较复杂的问题划分成若干阶段，通过逐段求解，最终获得全局最优解。
本次计算中，调度期取一年，按月份划分调度时段，以调度时段 t (t =1,2,…..T )作为阶段变量，库容t V 作为状态变量，各时段发电用水量t Q 作为决策变量，对应于一个阶段效应t N (t Q ,t V )，引入罚函数，所以顺时序确定性动态规划模型为[1]：[]∑=∂−−T t t t E EF W E 1)(max σ （1）递推方程： {)(),(max )(11−−+=t t t t t t t V N V Q N V N （2）考虑以下约束条件：s.t ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=≤≤≤≤≤≤−=∆−+T t N N N Z Z Z Q Q Q V V t Q S t t t t t t t t t t t t t ,......2,1)(max,min ,max ,min ,max ,min ,1 （3）上式中t S 为t 时段水库的天然来水，t Q 为t 时段水库的发电流量；min ,t Z ，max ,t Z 分别为t 时段的水库水位下限和水位上限；min ,t Q ，max ,t Q 分别为水轮机的最小和最大过水约束；min ,t N ，max ,t N 分别为t 时段水轮机的最小技术出力和最大预想出力。
水库调度优化方法研究
水库调度优化方法研究摘要：水库调度对于有效利用水资源，保障水电供应具有重要意义。
本论文基于水库调度优化方法的研究，旨在提出一种能够实现水库优化调度的有效算法，并通过实验案例分析和结果讨论评估其效果。
首先，文中综述了水库调度方法的发展历程，并概述了目前存在的问题和挑战。
其次，构建了水库调度模型，并对传统的优化算法进行了应用和评估。
然后，还尝试了基于智能算法和数据驱动的水库调度优化，并探索了新兴技术在水库调度中的应用。
最后，通过实验案例分析和结果的讨论与解释，验证了所提出方法的有效性和可行性。
本研究为水库调度优化提供了有益的参考和指导，为水资源的合理利用和水电供应的可持续发展提供了理论和实践支持。
关键词：水库调度优化；水资源利用；水电供应一、引言水库是一种重要的水利工程，广泛应用于水资源调控，洪水防治和水电能源等领域。
水库调度是指合理安排水库蓄水和释放水量的过程，旨在实现对水资源的高效利用和保障水电供应的稳定性。
然而，由于气候变化，人口增长和经济发展等因素的影响，水库调度面临着日益复杂的挑战。
因此，研究水库调度优化方法具有重要的现实意义和理论价值。
本研究的目的是探索和提出一种有效的水库调度优化方法，以满足不同需求下的水资源管理和水电供应要求。
通过建立合理的调度模型和采用适用的优化算法，可以实现水库调度的最优化，进而提高水资源的利用效率和水电供应的稳定性。
此外，通过对现有研究成果的综述和分析，可以为水库调度优化领域的进一步研究提供参考和借鉴。
二、水库调度方法的发展历程水库调度方法的发展历程可以追溯到20世纪初。
以下是关于水库调度方法发展的简要概述，经验法阶段（20世纪初-1950年代）在早期，水库调度主要依靠经验法，基于经验规则和专家知识进行决策。
这种方法的缺点是依赖于个人经验，不适应现代化管理和复杂化的系统需求。
数学规划方法阶段（1960年代-1980年代）随着计算机和数学优化技术的发展，数学规划方法被引入水库调度中。
水库联合调度优化算法研究
水库联合调度优化算法研究在现代水资源管理中，水库调度优化算法对于保障水资源的合理利用和保护有着至关重要的作用。
随着科技水平不断提升，各种优化算法层出不穷，但是如何在实际生产中运用科技，发挥其最大潜力，仍然是一个难题。
近年来，水库联合调度优化算法得到了越来越多人的关注。
水库联合调度是指多个水库之间通过某种方式协调调度，达到更加合理的水资源利用目的的过程。
在此过程中，如果运用优化算法，可以更加科学的进行调度，充分利用水资源，同时实现供水、防洪等多种目标。
那么，什么是水库联合调度优化算法？其作用又有哪些？水库联合调度优化算法是指以数学和计算机理论为基础，通过对多个水库之间的节水量、供水量、蓄水量等进行优化计算，并且尽可能达到各种调度目标的过程。
相较于传统规则调度方案，水库联合调度优化算法在实际调度中可发挥以下优点：1. 提高资源利用率。
水库联合调度优化算法可以在最小限度内消耗最少的水资源，提高水资源利用率。
2. 提高供水合理性。
联合调度算法在寻求合理供水方案时，会考虑多个水库的存储水量、季节变化、水源引来等因素，确保各地供水质量稳定。
3. 提高灌溉效益。
对于耕地灌溉，水库联合调度的灌溉方案可以基于不同土壤类型、作物类型、地形地貌、降雨情况、温度湿度等条件制定，提高了灌溉效益。
4. 提高防洪能力。
在面对洪灾时，联合调度算法可以及时实现水库泄洪，减轻洪灾危害。
同时泄洪的方案也是移植于历史水文数据的，保证了缺乏数据时的可行性。
在当今形势下，随着水资源枯竭、气候变化等问题，水库联合调度优化算法不仅有着广泛的应用前景，也面临着一些挑战。
首先是算法的可靠性问题。
调度算法是由复杂的数学模型而来，算法的繁琐和复杂导致了许多算法出乎人们的意料。
因此，在设计算法的时候，必须严格检验过程和数据，以保证算法的可靠性。
其次是算法的灵活性问题。
如何根据不同的地理环境，制定不同的联合调度方案，达到针对性调度，加大灵活性，是这类算法亟待解决的问题。
求解水库优化调度问题的动态规划-遗传算法
求解水库优化调度问题的动态规划-遗传算法
刘攀;郭生练;雒征;刘心愿
【期刊名称】《武汉大学学报：工学版》
【年(卷),期】2007(40)5
【摘要】综合动态规划和遗传算法的优点,基于贝尔曼最优化原理将水库优化调度按阶段划分为若干多目标决策子问题,各子问题采用混合编码的多目标遗传算法求解,从而提出了一种求解水库优化调度问题的动态规划-遗传算法.该算法不仅在时间上通过划分阶段降维,而且采用遗传算法克服离散状态空间组合所产生的维数灾问题.从理论上论证了动态规划-遗传算法的全局收敛性,分析得出该算法的效率一般高于遗传算法;并经数值试验表明:在计算时段数较多时,动态规划-遗传算法显著优于遗传算法.因此,提出的动态规划-遗传算法为求解水库优化调度问题提供了新的思路与途径.
【总页数】6页(P1-6)
【关键词】水库调度;遗传算法;最优化原理;动态规划-遗传算法
【作者】刘攀;郭生练;雒征;刘心愿
【作者单位】武汉大学水资源与水电工程科学国家重点实验室
【正文语种】中文
【中图分类】TV697.1
【相关文献】
1.双倍体遗传算法求解龙溪河梯级电站长期优化调度问题 [J], 张建;马光文;杨东方;过夏明;王立明
2.求解一般车辆优化调度问题的一种改进遗传算法 [J], 张翠军;刘坤起;刘永军
3.一种基于遗传算法求解车间调度问题的优化方法 [J], 常建娥;何燕
4.改进遗传算法求解同类并行机优化调度问题 [J], 柳丹丹; 龚祝平; 邱磊
5.一种求解两机成组作业流水车间优化调度问题的遗传算法 [J], 王秀利;吴惕华因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
动态规划_粒子群算法在水库优化调度中的应用
计算机应用 Journal o f Computer A pp lications
V o.l 30 N o . 6 June 2010
动态规划 粒子群算法在水库优化调度中的应用
李顺新, 杜 辉
Abstract : R eservo ir op ti m a l schedu ling is a typica l mu lti constra ined , dynam ic , non linea r opti m ization proble m. T o so lve this proble m, a D ynam ic Progra mm ing P article Sw ar m O pti m ization ( DP P SO ) algor ithm w as used to so lv ing . T his a lgor ithm used the opti m a l D yna m ic Progra mm ing ( DP ) princ ip le to convert the reservo ir opti m a l scheduling prob le m to m ultistage decision m ak ing sub proble m s; the so lu tion o f each sub prob le m was go t by particle sw ar m opti m iza tion a lgo rithm. The num er ica l experi m ents sho w that w ith m ore ti m e in ca lculation, the reliab ility o f the DP PSO is superior to the genera l DP a lgor ithm, and the calcu lation ti m e of D P PSO is less than DP G enetic A lgor ithm (DP GA ). K ey words : reservo ir operation; P artic le Swarm O pti m ization ( PSO ) a lgor ithm; D ynam ic P rog ramm ing (DP ) 水库优化调度属于动态多 维的非线性函数优化问题。寻 找优化方法 , 既要考虑到 计算时 间 , 又 要兼顾 计算精 度 , 因 此 是具有十分重要的学术意义和 实用价值的科研课题。如何解 决优化调度问题 , 关键在于 选择能 够兼顾 计算精 度与计 算时 间的模型。 国 内外 学 者曾 采 用了 逐 步 分 解算 法、 动态 规 划 ( Dyna m ic P rogra mm ing , DP ) 算法以及遗传算法等。这些算法 或多或少具有一定的局限性。如动态规 划是水库调度中应用 最广泛的方法 , 它对优化问题从时间上进行降维 , 但避免不了 状态空间的 维数 灾难 问题 [ 1] 。遗 传算 法可 在一 定程 度上 克 服维数灾难 , 但编程实现比较复杂 , 需耗 用相当长的计算时间 作为代价 [ 2] 。许多学者 致力于 粒子群 算法 [ 3- 5] 的研 究 , 并 将 其应用在水库 优化 调度中 , 取 得了 明显的 效果。 文献 [ 6] 提 出 的 动 态 规 划 粒 子群 ( Dyna m ic P rogra mm ing Particle Sw ar m O pti m ization, DP PSO ) 算法能够较好地解决这个问题 , 但是该 算法容易陷入局部最 优解。文 献 [ 7] 中通 过阈值 能够较 好地 选择最优解。本文 在文 献 [ 5] 的 基础上 , 利 用动 态规 划的 贝 尔曼最优原理 , 在兼顾计算复杂度和计算精确度上 , 将问题化 为多阶段多目标子问 题 , 理 论上克 服了该 算法在 计算后 期陷 入局部最优的缺陷 , 为水库优化调度提供了新的方法和途径。 其中 : N i = 表示第 i 时段的出力 , F 表示整个时段的总出力。 1 . 2 主要约 束条件 1 ) 水量平衡约束。 V t+ 1 = Vt + ( QR t - QD t - QCH t ) t ( 2) 其中 : Vt+ 1 为水库第 t+ 1 时段的蓄水库容 , V t 为第 t 时段的蓄 水库容 , QR t、 QD t 和 Q CH t 分别为 水库的 入库流 量、 总发电 引 用流量和弃水流量。 2 ) 电站出力约束。 in ax Nm N t Nm t t 其中 : N 、 N 许出力。
基于改进逐步优化算法的水库防洪优化调度
水库防洪调度是一个多目标、多属性、多阶段的复 杂决 策 过 程， 具 有 不 确 定 性、 实 时 性、 动 态 性 等 ห้องสมุดไป่ตู้ 点［１］ 。 常规调度通常运用半经验、半理论的方法，根 据工程防洪能力、防护对象重要程度、入库洪水变化规 律、水库级别等采用不同的调度方式［２］ ，虽然直观且 简单易行，但也有无法发挥水库最大效益以及难以解 决复杂水库群防洪调度问题的不足。 优化调度中传统 的求解方法是动态规划及其改进算法［３］ ，但动态规划 在变量个数增加时，实际计算会遇到“ 维数障碍”，使 得计算量过大，且动态规划要求状态变量满足无后效 性，当遇到洪水演算时，便不能运用此算法。
等［６］ 把分段试算法优选出的结果作为初始解代入求 解，以减 少 初 始 解 对 最 终 结 果 造 成 的 影 响； 乔 睿 至 等［７］ 对 ＰＯＡ 引入惩罚函数，对优化调度模型求解，提 高了算法的搜索效率和收敛性能；张诚等［８］ 提出了基 于逐步差分和变阶段优化改进策略的变阶段逐步优化 算法，相较于传统 ＰＯＡ 具有更强的全局搜索能力。 目 前诸多改进算法在遇到高维复杂问题时，其计算效率 难以保证，并且针对水库防洪优化调度方面的研究尚 少。 鉴于此，本研究从 ＰＯＡ 陷入局部最优的原因着 手，基于水量平衡，提出一种分段补偿的改进方法，并 运用到实际水库防洪优化调度中。
考虑到动态规划的缺点，Ｈ． Ｒ． Ｈｏｗｓｏｎ 等于 １９７４ 年提出一种逐步优化算法（ 简称 ＰＯＡ） ［４］ ，将多时段问 题转为多个两时段问题，逐段寻优，反复循环，直到达 到收敛条件为止。 ＰＯＡ 有计算效率高、易于编程且存 贮空间小、模型相对固定等优点，经常用于水库优化调 度中。 但在解决实际调度问题时，ＰＯＡ 常常受限于初 始解而无法收敛到全局最优。 方红远等［５］ 分析认为， 当决策目标函数不满足呈严格凸性且有一阶连续偏导 数时，会出现结果收敛于局部最优的情况。 对此，一些 学者分 析 并 提 出 了 相 应 的 改 进 方 法， 例 如： 秦 旭 宝
水库优化调度综述
水库优化调度综述作者：王奕徐鑫来源：《卷宗》2018年第23期摘要：水电站的优化调度是一个组合优化问题，其最优解是具有实用价值的研究方向，求解方法非常重要。
解决水库优化调度问题的关键在于两个方面：一是如何建立水库优化调度数学模型；二是如何选择优化方法求解该数学模型。
到目前为止，优化调度的方法有很多，但也存在一些问题。
本文引用几个文献来分析最优调度方法。
关键字：水库；优化；优缺点1 国内外研究进展水库群调度涉及多个目标，主要包括防洪、发电、灌溉用水、工业和住宅供水、环境保护、水质改善、旅游、导航等。
目前国内外水库群优化调度研究取得了很大进展。
水库优化运行研究的国内外专家学者主要包括：优化模型、优化求解方法模型、单库、多库、水库泵站联合优化调度等。
1.1 模型建立不同的水资源配置系统有不同的决策变量、目标函数、约束条件。
（1）单水库缺水调度在文献[1]中，作者以乌鲁瓦提水库为例，建立了以各时段水库供水量为决策变量的数学模型。
目标函数：乌鲁瓦提水库调度是一个多目标问题，具体有防洪发电、生态治理、排沙灌溉这几个目标。
根据调度原则，将防洪、排沙、生态治理作为基本约束条件，首先满足这几三个条件，把灌溉量的最多以及发电量的最大看作是模型的目标函数。
约束条件：A.水库调度水量平衡约束；B.灌溉供水流量约束；C.生态供水约束；D.水位约束；E.防洪约束；F.水电站出力约束。
（2）多水库缺水调度梯级电站综合运行，包括蓄水能力、水文补偿效益和电力补偿效益。
在给定的控制期间，文献[2]的长期优化调度模型的目标函数是在控制期间保证输出的最大发电量。
目标函数：A.水量平衡约束；B.库容限制约束；C.水库出库流量限制；D.边界条件。
1.2 求解方法水库优化调度有很多方法，通过研究萤火虫算法，我们可以了解萤火虫算法（FA）在全局最优解的收敛速度和全局最优解的方差方面的表现优越。
将蚁群算法运用到多库系统中，结果表明，该算法可以有效的处理离三和连续的组合决策变量。
基于动态规划法的水库优化调度研究
基于动态规划法的水库优化调度研究
杨丹阳;黄亚滨;邬述飞
【期刊名称】《水利科技与经济》
【年(卷),期】2024(30)4
【摘要】水库的调度优化受到许多因素的影响,需从全局的角度出发,对水库系统进行优化。
为了提高水库的发电效率,建立水库的动态规划模型,并对调度方案进行优化。
结果显示,优化调度方案在丰水年对发电量的提升效果较为明显,常规调度方案与优化调度方案之间的年均发电量差值为288×10^(4)kW·h;优化调度方案对平水年的发电量提升效果次之,两种方案之间的年均发电量差值为209×10^(4)kW·h;优化调度方案对枯水年的发电量提升较不显著,二者间的年均发电量差值仅为
23×10^(4)kW·h。
研究表明,在丰水年,采用动态规划模型得出的优化调度方案的实施效果较好,而在枯水年,采用优化调度方案对发电量的提升效果较不明显。
当流量较大时,水头损失增长量较小,为了提高发电效率,可提高尾水位高度,以达到增大流量及发电量同时控制水头损失的目的。
【总页数】5页(P14-17)
【作者】杨丹阳;黄亚滨;邬述飞
【作者单位】恩施州水文水资源勘测局
【正文语种】中文
【中图分类】TV697
【相关文献】
1.逐次逼近动态规划法在水库优化调度中的应用
2.用动态规划法对水库进行优化调度
3.水库确定性优化调度动态规划法通用算法及软件开发研究：算法
4.水库确定性优化调度动态规划法通用算法及软件开发研究：软件
5.基于动态规划法的水库发电调度研究
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水库调度模型的改进与应用研究
水库调度模型的改进与应用研究水库调度模型是为了实现水资源合理利用和水库调度管理的有效工具。
在实际的水资源管理中，水库调度决策对于确保水库的安全运行和满足不同水文条件下的供水需求至关重要。
因此，对水库调度模型进行改进和应用研究具有重要的意义。
首先，水库调度模型的改进是为了解决传统模型存在的一些问题。
传统的水库调度模型主要基于经验和定性判断，缺乏科学性和准确性。
在实际操作中，这些模型往往无法适应不同的水文情况和需求变化，导致水库调度决策不够灵活和高效。
因此，改进水库调度模型的科学性和准确性成为当前研究的重点。
一种常见的改进水库调度模型的方法是利用数学建模和仿真模拟。
数学建模可以将水文过程和水库调度决策转化为数学方程，通过求解这些方程来确定最优的水库调度策略。
仿真模拟则可以模拟不同的水文条件和水库调度策略，评估其效果和可行性。
这种方法可以利用大量的历史水文数据和水库运行数据，提高水库调度模型的准确性和可操作性。
另一种常用的改进水库调度模型的方法是利用统计分析和数据挖掘技术。
统计分析可以通过对历史水文和水库运行数据的分析，找出它们之间的关系和规律，从而预测未来的水文条件和水库运行情况。
数据挖掘技术可以通过对大量数据的挖掘和分析，发现隐藏在数据中的有用信息和规律。
这些方法的应用可以提高水库调度模型的预测能力和决策支持能力。
除了改进水库调度模型的方法，还需要在实际应用中不断优化和改进。
对于长期水库调度，可以采用分段调度的方法，将整个水文过程分为若干时间段进行调度。
对于短期水库调度，应该考虑多种因素，如供水需求、水文状况、水库容量等，并结合实际情况制定相应的调度策略。
同时，还需要将水库调度模型与其他水资源管理模型进行集成和优化，构建一个完整的水资源管理系统。
在实际应用中，改进水库调度模型可以有效支持水库的安全运行和供水管理。
通过合理利用水库调度模型，可以在满足供水需求的前提下，最大限度地提高水库的水资源利用效率。
水库调度优化模型的应用研究
水库调度优化模型的应用研究水库调度是水资源管理中的重要环节，其目的是在满足各种用水需求的同时，最大限度地发挥水库的综合效益，如防洪、发电、灌溉、供水等。
随着社会经济的发展和水资源供需矛盾的加剧，传统的水库调度方法已经难以满足实际需求，因此，研究和应用水库调度优化模型具有重要的现实意义。
一、水库调度优化模型的概述水库调度优化模型是基于数学规划理论和方法，结合水库的水文特性、工程特性以及用水需求等因素，建立的用于求解水库最优调度策略的数学模型。
常见的水库调度优化模型包括线性规划模型、非线性规划模型、动态规划模型等。
线性规划模型是最简单的一种，它将水库调度问题转化为线性目标函数和线性约束条件的优化问题。
非线性规划模型则能够更好地处理水库调度中的非线性关系，但求解难度较大。
动态规划模型适用于多阶段决策问题，能够有效地处理水库调度中的时间序列特性，但存在“维数灾”问题，即随着决策变量和阶段数的增加，计算量呈指数增长。
二、水库调度优化模型的建立建立水库调度优化模型需要明确以下几个方面：1、目标函数目标函数是衡量水库调度方案优劣的指标，通常包括经济效益最大化、社会效益最大化、环境效益最大化等。
例如，在发电调度中，目标函数可以是发电量最大化；在供水调度中，目标函数可以是满足供水需求的可靠性最高。
2、约束条件约束条件包括水库的水量平衡约束、水位约束、出库流量约束、用水需求约束等。
水量平衡约束是指水库的入库流量、出库流量和蓄水量之间的关系；水位约束是为了保证水库的安全运行；出库流量约束则是根据下游河道的承受能力和水利工程的运行要求确定的；用水需求约束是指满足各用水部门的水量和水质要求。
3、决策变量决策变量是水库调度中需要优化的变量，如水库的出库流量、蓄水水位等。
4、模型参数模型参数包括水库的特征参数（如库容曲线、泄流曲线等）、水文参数（如降雨、径流等）以及用水需求参数等。
这些参数的准确性直接影响模型的精度和可靠性。
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新形势下水库调度决策单调性与动态规划算法改进
新形势下水库在灌溉、供水等调度中，水库的经济效益呈现出不同的特征。
随着供水量的增加，“边际效用递减”为水库经济效益的主要特征。
为了获得两阶段水库调度中本时段泄水量、下一时段余留水量与最初水库蓄水量间的单调增加关系，本文主要采用“边际效应递减”的假设进行分析。
根据这一单调关系，进一步推广到多阶段水库调度过程中，最终提出动态规划算法的改进，主要包括邻域搜索算法和搜索域缩减算法。
在新形势下水库供水调度研究案例中，两种动态规划的改进算法能够明显地缩短规划计算时间。
标签：水库调度决策；边际效用递减；单调性；动态规划改进算法
1、研究背景
我国是一个水资源相当匮乏的国家，水资源的分布在时空上也不同，呈現出汛多枯少，南多北少的特点。
以至于在各地出现水资源的利用率不足，浪费现象严重的现象。
水库的修建在一定程度上改变了这种现象，并能减少洪涝灾害，有效地利用水资源。
同时，水库调度的重要性也显现了出来，水库调度即对水库的控制运用，通过合理的调度控制，应用有效的调度决策，达到兴利效益的一种技术措施。
通过对水库调度的改进，可以提升水库的水资源利用效率。
2、边际效用递减与调度决策单调性
水库调度问题采用动态规划算法进行求解的基本思路是多阶段水库优化调度问题，主要考虑到它可以简化为一系列两阶段优化问题，并且这些优化问题有递归方程相互联系。
为了更清晰的研究，我们将动态规划的递归方程用相应的变量予以表示，其中，Ft（）表示为时段T至t的最大累计效用函数，ft（）表示时段t的水库效用函数；将st看作水库调度状态变量，相应的动态规划的递归方程用以下公式表示：
其中：表示在时段t初的水库蓄水量（也即时段t-1末的水库蓄水量）；表示在时段t内的进入水库的入水量；表示在时段t内水库的泄水量。
相应地，用水量平衡方程可以表示、与剩余留水量之间的关系：
水库效用函数的凹凸性不同，决定了优化模型的不同性质。
其中，当ft（）表现为凹函数时，在公式（2）所表示的两阶段优化模型呈现凹性和单调性两个重要性质，对于凹性，即最大累积效用函数Ft（）也表现为凹函数，对于单调性，发生在时段t内的最优泄水量以及在时段t+1的最优余留水量都与时段t出的水库蓄水量呈现出单调非减关系。
其中，可以根据定理1推出其凹凸性，根据定理1和定理2推导出单调性。
定理1：设定两个凹函数即和，定义为
则称为凹函数。
定理2：设定两个凹函数即和，定义为
则和x呈现单调增加的关系。
根据定理2可以说明，在总资源x增加的情况下，若想取得最大值，即分配方案达到最优，必须保证分配给和的资源量都将得到增加。
在水库的调度中，可将公式（3）中的看作为x（式5），对于公式（2）中的假设其为凹函数，又由定理1中知也为凹函数，再考虑定理2可得，在水库优化调度中，本时段的用水量和下一时段的余留水量将随着水库蓄水量的增加而逐渐增加。
对于效用函数为线性函数和严格凹函数的情况都可以应用于定理1中，在定理2推导得出结论的过程中，由于忽略了水库调度中库容量以及下泄水量的约束条件，因此考虑两个约束条件，即：（1）在以及都不起约束作用的情况下，增加，相应的本时段的用水量和下一时段的余留水量也随之增大；（2）在和其中任意一个起约束作用时，增加不能改变其对应的决策变量，但是另一个决策变量将会增长；（3）当这两个约束都起作用时，模型（2）将会随着的增加而没有可行解。
3、基于调度决策单调性的动态规划算法改进
3.1 动态规划算法及其改进。
通过对定理1和定理2的阐述，即可以确定在水库调度过程中，时段初的水库蓄水量与发生在时段初的最优下泄水量、时段末的最优余留水量存在的单调关系。
相应的在供应链管理中，为了提高优化算法的效率，常将这样的单调关系应用于缩减搜索域算法中；但在水库的调度当中，优化解的单调性并没有被考虑在动态规划的算法中。
因此我们做出以下假设，将分离为个取值，被分离为个取值，我们需要对剩余留水量的个离散值进行比较选取其中最大的，进而确定出每个离散值所对应的最大累积效用函数，如图1（a）所示。
当单时段效用函数表现为凹函数时，利用单调性条件，可以将动态规划进行简化，即将以经得到的优化解信息设计出两种策略进而的得到简化动态规划的计算。
策略1，仅基于时段t初水库蓄水量与时段t+1最优余留水量间的单调关系，若满足s1<p＜s2且已知对应s1，s2的最优余留水量分别为q，q’，相应的p的最优余留水量属于[q，q’]（对应于图2（a）所示；策略2，以时段t时刻初水库蓄水量与时段t+1最优余留水量、时段t内最优泄水量之间的单调关系为基础，当p对应的为q时，同时要考虑到所满足的时段t+1最优余留水量、时段t内最优泄水量的单调条件，对应的最优留水量q’应满足于最小值为q，最大值为（如图2（b）所示）。
3.2 在考虑策略1为基础的情况下设计搜索域缩减算法，具体如图3所示：第一步，通过将时段t水库蓄水量离散成个取值，且取值的间隔相等，然后将其进行从小到大依次排序，由1到进行标记，同时离散时刻t+1时段的书库蓄水量为个取值，其间隔等于，并由1到进行依次排序标记；第二步，使q=1，q’=，
该设定在初始阶段进行；第三步，考虑剩余在q和q’间的最小最大离散值，并在其中搜索出最优余留水量，然后用其更新q和q’；第四步，重复进行第三步，当个的离散值被搜索到后即可终止。
如图2（a）所示，根据单调性原理，可以清晰的理解其提高动态规划算法的计算效率，即在第三步的反复计算中，搜索范围随着q的增加以及q’的减小而逐渐缩小，最终提升其计算效率，进而改进动态规划算法。
3.3 在考虑策略2为基础的情况下设计邻域搜索算法，具体如图4所示：第一步，令k=1，即的最小值，然后在q=[1，]范围内进行搜索，找出最优值；第二步，令k=k+1，将q=、进行比较，找出最优值并更新；第三步，将第二步反复进行，直到k=时结束。
将图1和图2进行对比，假设n==，并在动态规划中将公式计算次，以便确定出的值，对应于动态规划算法的计算量，搜索域缩减法的计算量是其的一半，即n+（n-1）+…+1=，邻域搜索域算法大约是动态规划算法的3/n，即为n+2（n-1）=3n-2。
4、结语
在求解水库调度问题时，引入动态规划算法简化问题，其主要原理是将多阶段调度决策简化处理为一系列的两阶段决策，再由递归方程进行相互联系，从而又将两阶段决策联系组成为多阶段决策。
本文在求解水库调度边际效用递减问题时，正是以两阶段优化为主要框架进行讨论，进而确定时段初水库蓄水量与最优泄水量、最优余流水量之间的单调关系，以此为基础提出了邻域搜索算法和搜索域缩减算法来改进动态规划算法。
在实际供水调度研究案例中，利用这两种算法均可以搜索最终得到优化解，在减少计算时间的作用上显著提高。
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