太阳影子定位
简述日晷的原理
简述日晷的原理
日晷，又称阳晷，是一种古老的定位时间的简单仪器，由中国古代的发明家概括出来，可明确定位方位和日期。
日晷的原理就是太阳的日光照射下的一个弧形环形板上的一个景物的影子的运动，使用其影子的运动来测量时间、方位、天气等。
日晷的工作原理非常简单，使用一个圆形或半圆形的盘，边上有一个针，针可以指向向南方，然后放置在太阳照射下，其影子则会被日晷所投射到上面的标尺上，太阳的影子随着时间的变化而变化，而影子的运行速度也不一样的，根据这一原理就可以推算出当前的时间。
一些复杂的日晷中有一个不锈钢针針，当人们调置好它以后，不管是几何多少天，它都可以指示准确的时间，因此也被称为“帝国角”。
日晷曾被广泛应用于太阳升起和落山的计算，以及定位日期、方位、地质数据等，在中国古代，日晷也被用于各种重要实验、考试和仪式等活动，日晷与中国文化息息相关。
传统的日晷由一个表面锋利的金属板来投射影子，但现代日晷可以由陶瓷、玻璃等不同材料制成，其原理和古代的都是一样，只需要两个物体（一个太阳和一个日晷），而不需要使用任何电池或外部源即可实现时间测定的功能。
可以说，阳晷是历史上最简单而又最古老的时间定位仪器。
2015国赛A题
2015高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目（请先阅读“全国大学生数学建模竞赛论文格式规范”）
A题太阳影子定位
如何确定视频的拍摄地点和拍摄日期是视频数据分析的重要方面，太阳影子定位技术就是通过分析视频中物体的太阳影子变化，确定视频拍摄的地点和日期的一种方法。
1.建立影子长度变化的数学模型，分析影子长度关于各个参数的变化规律，并应用你们建立的模型画出2015年10月22日北京时间9:00-15:00之间天安门广场（北纬39度54分26秒,东经116度23分29秒）3米高的直杆的太阳影子长度的变化曲线。
2.根据某固定直杆在水平地面上的太阳影子顶点坐标数据，建立数学模型确定直杆所处的地点。
将你们的模型应用于附件1的影子顶点坐标数据，给出若干个可能的地点。
3. 根据某固定直杆在水平地面上的太阳影子顶点坐标数据，建立数学模型确定直杆所处的地点和日期。
将你们的模型分别应用于附件2和附件3的影子顶点坐标数据，给出若干个可能的地点与日期。
4．附件4为一根直杆在太阳下的影子变化的视频，并且已通过某种方式估计出直杆的高度为2米。
请建立确定视频拍摄地点的数学模型，并应用你们的模型给出若干个可能的拍摄地点。
如果拍摄日期未知，你能否根据视频确定出拍摄地点与日期？。
太阳影子定位模型2015
7
5.2.2 问题求解
以赤道和零度经线的交点为原点， 纬线为 轴， 经线为 轴， 正东和正北分别为 轴和 轴的正方向，建立直角坐标系 O 。 将附件一中日期（4月18日）代入（1.5 ）可得太阳高度角关 于经纬度和时间的函数：
h , , t Arc sin 0.977777 cos 15 (t 20) cos 0.209647 sin
太阳直射光线的单位方向向量为 m 0,cos ,sin ， 为太阳赤纬。 杆的单位方向向量 h cos sin , cos cos ,sin ， 为观测点纬度， 为观测 当前时刻时角。
故太阳高度角 h 满足
cos h h m 2
为观测地纬度。
而在一天内，太阳高度角随时刻而变化，地方时为正午12点时太阳高度最高，其他 时刻太阳高度角 h 随太阳直射点所在经度与观测点经度之差 （即时角 ） 而变化。 因此， 太阳高度角由赤纬、时角、观测地纬度共同决定，下面求它们的函数关系。 以地球球心为原点，极轴为 z 轴，太阳直射经线在 yOz 平面内，建立空间直角坐标 系 Oxyz 。
(2.1)
用Mathematica软件通过（2.1）式可以得到太阳高度角在全球范围内关于时间变化 的动态图，截取14:42分和20:42分时太阳高度角在全球范围内的分布，可得图1 和图 2 。
2
(1.6)
5.1.3 模型检验
问题一中给出北京天安门广场直杆的一些数据：
纬度 经度 日期 N 2015 年 10 月 22 日 北京时间 t 9:00-15:00 杆长 h 3米
395426 N
1162329 E
2015太阳影子定位模型
基于变步长搜索和分层次搜索的太阳影子定位技术摘要本文主要研究如何利用太阳影子变化规律以实现位置确定。
用影响影子长度的多种参数建立数学模型，进而对各参数如何影响影子长度，各参数之间的关系进行确定，从而绘制影子长度变化曲线，并且可以根据影子顶点坐标数据反向确定直杆的位置及数据采集日期。
而对于问题一中直杆的影子长度的变化曲线求解问题，本文建立了由太阳赤纬，太阳高度角，固定直杆的高度，以及观测日的时刻这些参数所构建的数学模型，得到了在直杆高度，观测地点已知的情况下，影长在确定时间内变化的图像，呈现一个近似抛物线型非对称的变化图。
并在后面与实际情况进行对比，论证了其余参数对于直杆的影长的变化影响的合理性。
对于问题二中已知数据采集日期求解直杆所处的地点问题，本文根据不同地点在两个时刻的直杆影长之比存在差异这一现象，将相邻时刻的影长作比，并利用最小二乘法定义匹配指标，提出了变步长搜索的方法，这样保证模型准确性的基础上，降低了算法的时间复杂度。
最后求解得到的直杆可能所处的地点（108.52°E, 19.19°N)，该点位于海南岛。
然后应用此模型代入问题一中的影长数据，进行了验证，相对误差极小，说明模型的准确度比较高。
然后又对影长数据进行了白噪声干扰，最后与真实结果的均方误差0.01的数量级上，所以模型的抗干扰性还是比较强的。
问题三中要求同时估计数据采集日期和地点。
本文在模型二的基础上提出了分层次搜索算法，首先进行粗略匹配，排除完全不可能的日期，而后进行精细的搜索，提高搜索精度，筛选出可能的采集日期和地点。
最后利用此模型找到附件2可能的地点为（78.9705°E, 40.0043°N）。
该点位于新疆境内；同时，利用附件3中的数据，对采集日期和地点进行了估计，最终找到了两个可能地方，分别是（113.65°E, 32.3043°N）位于河南境内，与（106.15°E, 32.9227°N）位于陕西境内。
太阳影子定位的多目标优化模型
2.1 影子长度变化规律的分析 建立影子长度变化的数学模型，分析影子长度关于各个参数的变化规律，并
在给定地理位置、区时时间段、直杆高度的情况下绘制出直杆的太阳影子长度的 变化曲线。本题中因变量为影子的长度，自变量为所处地理位置的经纬度、所观 测的日期、时间段。考虑通过查找文献资料，找出影子长度与每个参数间的关系， 通过机理分析来确定其与这些参数之间的定量解析式，依据关系式来进一步分析 影子长度关于参数变化的普遍规律。
5.1.1 影子长度的计算 计算影子的长度首先需计算太阳高度角的大小。太阳高度角是指太阳光的入
射方向和地平面之间的夹角，其随着地方时和太阳的赤纬的变化而变化。由于赤
纬值的日变化很小，一年内任何一天的赤纬角（用 表示）计算公式 [1] 为：
sin 0.39795 cos[0.98563 (N 173)] 式中，N 为日数，自每年 1 月 1 日开始计算。 太阳高度角（用 h 表示）计算公式 [1] ：
4. 题目中所给附件 4 为一根直杆在太阳下的影子变化的视频，并且已通过 某种方式估计出直杆的高度为 2 米。建立确定视频拍摄地点的数学模型，并应用 所建立的模型给出若干个可能的拍摄地点。
若拍摄日期未知，根据视频确定出拍摄地点与日期。
二、问题分析
太阳影子定位技术是对视频数据分析的一种有效方法。通过对视频进行图像 处理，可得出各个时刻直杆的太阳影子顶点坐标。难点在于通过所得出的坐标数 据找出视频拍摄的地点和日期。需要我们建立在地球不同地点（经纬度）、不同 日期时刻下，描述物体影子长度变化规律的数学模型，进而基于所建模型给出视 频拍摄日期和可能的地点。
太阳影子定位模型2015
L sin η l = tan Ω
(3)
tan η = tan hs sin Ω
(4)
反解出影长 l，即有
L tan Ω l = sin arctan (tan hs sin Ω)
(5)
3
可知，影长 l 是一个依赖于杆长 L, 经度 θ, 纬度 φ, 日期 D, 地方时 t 的函数 l = l(t; L, θ, φ, D), 其中 t 为自变量，L, θ, φ, D 均为参数, 因此利用此模型，在已知杆长、经纬度、日期、具体时间的情况 下，可以计算得出相应的影子长度。
对影长求关于纬度的偏导数，会发现得到的结果很复杂，但通过图像，可以很容易的发现这是一 个先减后增的函数。在正午时最低点应为太阳直射点所在纬度，但在非正午时会向太阳直射点所在 半球移动，直到移动到极点。这是由于地球是一个球体，因此影长应是以太阳直射点为圆心以圆周的 模式向周围增加，而这种模式并不是按照纬线圈进行。
3. 在第二问模型的基础上，在反向求解出直杆所在位置的同时，也求解出可能的时间，并利用附件 二、附件三的数据进行验证；
4. 通过分析附件四的视频，确定附件四可能的拍摄地点，同时讨论所给的拍摄时间能否省去。
第一个问题需要建立影子长度的模型，这一模型应当是一个依赖于杆长 L, 经度 θ, 纬度 φ, 日期 D, 地方时 t 的函数 l = l(t; L, θ, φ, D). 因此第一问相当于已知参数 L, θ, φ, D，求 l 关于 t 的具体的 函数表达式，并作出给定参数值的函数图像。
2
小，影响可以忽略。同时，地面不平坦或不水平均会使得问题的复杂程度极大程度地提高，为了简化 研究的对象，假设直杆所在地附近的地面是水平且平坦的。 假设 2 直杆可视为细杆，其直径可以忽略。
《太阳和影子》 知识清单
《太阳和影子》知识清单一、太阳和影子的基本概念太阳是我们太阳系的中心天体，它通过核聚变反应不断释放出巨大的能量，包括光和热。
这些光线照射到地球上的物体时，由于物体阻挡了光线的传播，就会在物体的背面形成影子。
影子是一种光学现象，它是由于物体挡住了光线的传播路径，导致光线无法到达某些区域而形成的黑暗区域。
影子的形状和大小取决于光源（太阳）的位置、物体的形状和位置。
二、太阳位置对影子的影响1、早晨和傍晚在早晨和傍晚，太阳的位置较低，光线与地面的夹角较小。
此时物体的影子会比较长，而且影子的方向通常指向西方（早晨）或东方（傍晚）。
2、中午中午时分，太阳处于较高的位置，光线几乎垂直照射地面。
物体的影子会变得很短，甚至在某些情况下难以察觉。
此时影子的方向大致指向正北或正南，具体取决于所在的地理位置和季节。
3、季节变化由于地球绕太阳公转的轨道是椭圆形的，并且地轴存在倾斜角度，所以在不同的季节，太阳的高度和角度会有所不同。
在北半球的夏季，太阳高度较高，影子相对较短；而在冬季，太阳高度较低，影子则较长。
三、物体形状对影子的影响1、简单几何形状对于简单的几何形状，如圆形、方形和三角形，它们的影子形状通常与物体本身相似，但会根据光线的角度和方向发生一定的变形。
例如，一个直立的圆形物体在水平光线的照射下，影子会是一个椭圆形；而当光线从上方斜射时，影子可能会变成一个拉长的椭圆形或者不规则的形状。
2、复杂物体对于复杂的物体，其影子的形状则更加多样和不规则。
物体的突出部分、凹陷部分以及不同的表面朝向都会影响影子的形状和细节。
例如，一棵大树的影子会包括树干、树枝和树叶的投影，形成一个复杂的、不规则的形状。
四、影子的用途1、测量时间在古代，人们利用太阳和影子的关系来测量时间。
日晷就是一种基于这个原理制作的计时工具，通过观察影子在刻度盘上的位置来确定时间。
2、艺术和设计影子在艺术和设计中也常常被运用，以创造出独特的视觉效果和氛围。
例如，在摄影中，巧妙地利用影子可以增强画面的层次感和立体感；在建筑设计中，通过控制建筑物的形状和朝向，可以利用影子来调节室内的光照和温度。
2015建模A题太阳影子定位
A题太阳影子定位一，摘要（宋体小四号，简明扼要的详细叙述，字数不可以超过一页，不要译成英文）本文针对太阳影子定位技术，通过太阳与地球相对运动的规律，建立杆长、影长、经纬度、时间、日期的关系，建立模型。
综合分析了不同地点，不同的时间，不同的季节时影子长度的形成规律及变化趋势，运用了软件进行分析，得出不同地区影子变化的模型。
最后将具体情况运用到建立的模型中，对实际问题进行可行性分析，根据条件的改变完善对模型的应用和实用性检验。
第一问中，我们通过两种太阳高度角的表示方法建立等式关系，根据控制变量法，分析出影子长度分别与经、纬度、杆长、时间、日期的关系。
然后，根据时差计算关系，当时间在9:00-15:00时，天安门广场的时间，并应用建立的模型。
第二问中，首先根据影子坐标求出影子的长度，拟合时间与影子长度的函数，找出影子长度的最低的点，从而根据时间求出当地经度，由于误差的存在，我们将经度、杆长、纬度给定一定围，根据第一问公式进行搜索，从而确定可能的地点。
关键字：（宋体小四号）真太阳时平太阳时赤纬角太阳高度角熵值法二，问题提出如何确定视频的拍摄地点和拍摄日期是视频数据分析的重要方面，太阳影子定位技术就是通过分析视频中物体的太阳影子变化，确定视频拍摄的地点和日期的一种方法。
1.建立影子长度变化的数学模型，分析影子长度关于各个参数的变化规律，并应用你们建立的模型画出2015年10月22日时间9:00-15:00之间天安门广场（北纬39度54分26秒,东经116度23分29秒）3米高的直杆的太阳影子长度的变化曲线。
2.根据某固定直杆在水平地面上的太阳影子顶点坐标数据，建立数学模型确定直杆所处的地点。
将你们的模型应用于附件1的影子顶点坐标数据，给出若干个可能的地点。
3. 根据某固定直杆在水平地面上的太阳影子顶点坐标数据，建立数学模型确定直杆所处的地点和日期。
将你们的模型分别应用于附件2和附件3的影子顶点坐标数据，给出若干个可能的地点与日期。
基于Tracker的太阳影子定位技术
基于Tracker的太阳影子定位技术摘要：该文介绍了一种定位技术，该技术用Tracker 视频追踪软件对视频中不动杆的太阳影子末端位置进行追踪，采集一段时间范围中影子的长度随时间变化的数据，结合地理学（太阳赤纬、太阳高度、太阳方位角等）知识，利用最小二乘法、非线性仿真，通过MATLAB_R2015b软件建立数学模型，对太阳影子变化进行了系统的分析和研究，实现了输入一段时间内影子长度和对应的时刻，就能准确输出拍摄该视频的具体日期和准确地理位置的功能。
关键词：太阳影子定位视频追踪经纬度中图分类号：O21 文献标识码：A 文章编号：1674-098X （2015）12（c）-0027-04The Sun Shadow Positioning Technology Based on Tracker Song Yunxuan Yang Hong（Beijing Information Science and Technology University，Beijing，100192，China）Abstract：This paper introduces a location technique this technique uses a video tracking software called Tracker which can track the terminal position of the immobile perch’s sun shadow in the video. Beside it collectsthe data about how thelength of shadow changes with the time-varying during a certain period time，combining with geography （sun declination，the altitude of the sun，the sun azimuth，etc.）knowledge. Also it uses the least square method and establishes the mathematical model by MATLAB_R2015b software to do a systematic analysis of the sun shadow’s changing. Finally，it realizes a function which can output the specific date and location of shooting video if you input the length of shadow ad the corresponding moment over a period time.Key Words：The sun shadow position；Video tracking；The latitude and longitude目前，自主导航技术发展如火如荼，而准确的目标定位技术是自主导航的前提以及必要保障。
影子定位问题数学建模
影子定位问题的数学建模通常涉及以下步骤：
1.建立坐标系：首先，需要确定一个合适的坐标系。
这通常是一个二维坐标系，其中x
轴和y轴分别代表地面上的两个方向。
原点可以选择为某个固定的参考点。
2.确定太阳位置：太阳的位置是影子形成的关键因素。
需要知道太阳的高度角和方位角。
高度角是太阳光线与地面之间的角度，方位角是太阳光线在地面上的投影与某一参考方向（如正北）之间的角度。
3.建立物体模型：将需要定位的物体（如直杆）简化为几何形状，如线段或矩形。
需要知
道物体的尺寸和在坐标系中的位置。
4.计算影子长度和位置：根据太阳的位置和物体的模型，可以计算出影子在地面上的长度
和位置。
影子的长度通常与物体的高度和太阳的高度角有关，影子的位置则与物体的位置和太阳的方位角有关。
5.建立数学方程：根据以上信息，可以建立一个或多个数学方程来描述影子的长度和位置。
这些方程通常涉及三角函数、几何关系和代数运算。
6.求解方程：通过求解这些方程，可以确定物体的位置。
这可能需要使用数值方法（如迭
代法）或解析方法（如直接求解法）。
7.验证和优化模型：最后，需要验证模型的准确性和可靠性。
可以使用实际数据或模拟数
据来测试模型，并根据需要进行调整和优化。
请注意，影子定位问题的数学建模可能因具体应用场景和需求而有所不同。
上述步骤提供了一个一般的框架，但可能需要根据实际情况进行调整和扩展。
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太阳影子定位
摘要
太阳影子定位技术就是通过分析物体的太阳影子，来确定物体所在的时间和位置。
本文通过分析各因素之间的关系，采用的方法，对问题一、问题二、问题三分别给出了解答及方案。
对于问题一，
对于问题二，
对于问题三，
最后，对于论文的优缺点做出了评价，还给出了客观的改进建议。
关键词
一．问题重述
二．问题分析
1.3问题三的分析
三．模型建设
1.假设题目中所给的数据全都真实可靠
四．符号说明
五．模型的建立与解决
5.1 问题一：
1.模型的准备
2模型的建立
3模型的求解
5.2 问题二：
1.模型的准备
2.模型的建立
（1）直角坐标系的转换
原直角坐标系：根据附件1给出的一系列点的坐标，用Matlab 软件编写程序， 输入附件1中给定的点，得到偏转角度θ。
新直角坐标系：根据原直角坐标系得到的角度θ,以此角度θ为旋转角度，建立 起新的坐标系。
公式1：
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛y x cos θsin θsin θcos θy1x1 公式1中，θ为旋转角度，x,y 分别为原直角坐标系中的横、纵坐标，x1,y1分别是新直角坐标系的横、纵坐标。
用此公式即可完成坐标系的转换。
（2）根据给定量，算出纬度。
已知量：日期n,时间点t,坐标x,y.
公式2：1x tanA 1y ︒=
公式2中，x1,y1分别是新直角坐标系中的横，纵坐标。
A 为太阳方位角。
根据公式1中所得到的新坐标系中的点，即可求出太阳方位角A.
公式3：
︒+=)365）n π(2842（sin 23.45δ
公式4：12)15(t Ω-=
根据公式3，已知日期n ，即可求得δ。
根据公式4，已知时间点t,即可求得Ω。
公式5：cosh sin Ω
cos δsinA ︒= 根据公式5，已知δ，Ω，A ，即可求出h 。
公式6：cos Ωcos δcos φ＋sin δsin φsinh ︒︒︒=
根据公式6，已知δ，Ω，h ，即可求出φ。
（3）根据时差，求得经度。
假设正午12点时，影子最短。
用附件1给的北京时间和当地影子坐标，运用Matlab软件，拟合出当地影长与时间的变化曲线，得出他们之间的函数关系。
用给定的影长即可根据函数关系，求出当地的时间。
再由附件1，得出影长对应的北京时间。
求出当地时间和北京时间的时间差。
根据每小时经度差15度，即可求出当地与北京的经度差。
再根据东加西减的原则，已知北京的经度，即可求出当地的经度。
3.模型的求解
5.3 问题三：
1.模型的准备
2.模型的建立
3.模型的求解
六．模型的评价及改进
6.1模型的评价
6.11问题一模型的评价
6.12问题二模型的评价
6.13问题三模型的评价
6.2模型的改进
6.21问题一模型的改进方法
6.22问题二模型的改进方法
6.23问题三模型的改进方法
七．参考文献
八．附录。