数学建模太阳影子定位
数学建模2021a题
数学建模2021a题
2021年数学建模竞赛A题《太阳影子定位》答案如下：
1. 建立影子长度变化的数学模型
根据日出和日落时间，确定太阳的高度角变化范围，再根据影子的长度变化，得到太阳高度角与影子长度之间的关系。
利用这个模型，可以预测任何给定时间点的影子长度。
2. 建立基于深度学习的模型
使用深度学习技术，建立一个能够预测影子长度的模型。
该模型可以处理大量的历史数据，并使用这些数据来训练模型，使其能够准确预测未来的影子长度。
3. 建立基于时间序列分析的模型
利用时间序列分析技术，建立一个能够预测影子长度的模型。
该模型可以处理时间序列数据，并使用这些数据来训练模型，使其能够准确预测未来的影子长度。
4. 建立基于神经网络的模型
利用神经网络技术，建立一个能够预测影子长度的模型。
该模型可以处理非线性数据，并使用历史数据来训练模型，使其能够准确预测未来的影子长度。
5. 综合以上三种方法
结合深度学习、时间序列分析和神经网络技术，建立一个综合性的模型。
该模型可以处理大量的历史数据，并使用这些数据来训练模型，使其能够准确预测未来的影子长度。
以上答案仅供参考，如有疑问，建议咨询专业人士。
太阳影子定位
太阳影子定位摘要太阳影子定位技术是通过分析视频中物体的太阳影子变化，通过数学方法确定视频拍摄的地点和日期的一种方法。
具有极高的实际价值。
本文在通过数学建模实现太阳影子定位的过程中，对题目提出的问题做出了如下分析：针对问题一：首先利用题中已知的日期求出太阳赤纬0.1896δ=-，并和当地纬度395436ϕ'''= 一起代入太阳高度角计算公式，最后通过影长与太阳高度角之间的相关关系建立影长变化模型，给出影长变化曲线。
针对问题二：利用MATLAB 对影长变化数据进行非线性回归分析确定当地与北京的时差32.6n t mi ∆=，求出当地经度为东经1081235''' 。
接着在纬度的变化范围内以0.1ϕ∆=对纬度进行枚举，拟合求出杆长参数集合}{1,2i i n l = 和经度参数集合}{1,2i i n γ= 。
将所拟合出的结果i l 和i γ与0l 和0γ进行比较，筛选出最佳的枚举结果，最终确定坐标：(191730,1081235)'''''' 东经北纬或(01040,1081235)'''''' 东经南纬。
针对问题三：利用SPSS 通过序列二次编程和Levenbery-Marquarat 两种方法对数据进行非线性回归分析，取他们之中标准误最小的的一组作为结果，即附件2的地点和日期为(295430,1055344)'''''' 北纬东经，2015.04.04或者2015.09.08；附件3的地点和日期为(373510,1055344)'''''' 北纬东经，2015.03.09或者2015.10.04。
针对问题四：利用Photoshop 对视频进行广角镜头修正和影长数据的提取。
数模优秀论文
数模优秀论文篇一：2015年全国大学生数学建模比赛A题一等奖论文太阳影子定位问题摘要目前，如何确定视频的拍摄地点和拍摄日期是计算机视觉的热点研究问题，是视频数据分析的重要方面，有重要的研究意义。
本文通过建立数学模型，给出了通过分析视频中物体的太阳影子变化，确定视频拍摄的地点和日期的方法。
对于问题一，建立空间三维直角坐标系和球面坐标系对直杆投影和地球进行数学抽象，引入地方时、北京时间、太阳赤纬、杆长、太阳高度角等五个参数，建立了太阳光下物体影子的长度变化综合模型。
求解过程中，利用问题所给的数据，得到太阳赤纬等变量，将太阳赤纬等参量代入模型，求得了北京地区的9:00至15:00的影子长度变化曲线，当12：09时，影子长度最短；并分析出影长随这些参数的变化规律，利用控制变量法思想，总结了五个参数与影子长度的关系。
最后进行模型检验，将该模型运用于东京、西藏两地，得到了这两座城市的影长变化规律曲线，发现变化规律符合实际两地实际情况。
对于问题二，为了消除不同直角坐标系带来的影响，将实际坐标转换为二次曲线的极坐标，建立了极坐标下基于多层优化搜索算法的空间匹配优化模型。
求解时，先将未知点的直角坐标系的点转换为极坐标，然后了多层优化搜索算法，通过多次不同精度的搜索，最后得出实际观测点的经纬度为东经E115?北纬N25?。
同时对模型进行验证，实地测量了现居住地的某个时间段的值，通过模型二来求解出现居住地的经纬度，分析了误差产生的原因：大气层的折射和拟合误差。
对于问题三，将极坐标转换后的基本模型转换为优化模型，建立了基于遗传算法的时空匹配优化模型。
将目标函数作为个体的适应度函数，将经度纬度及日期作为待求解变量，用遗传算法进行求解，得到可能的经度纬度及其日期：北纬20度，东经114度，5月21日；北纬20度，东经114度，7月24日；东经94.5度，北纬33.8度，6月19日。
最后，将遗传算法与多层优化搜索算法进行对比分析，得出遗传算法的求解效率和求解精度均优于多层次搜索算法。
太阳影子定位数学建模
然后我们运用控制变量找出影子长度和各个参数的变化规律。我们控制三个不变, 通过改变其中一个变量通过 matlab 做散点图分别得出其和影子长度之间的关系。有实 际情况可知不论在任何时间地点影子的长度是随着杆的长度的增加而增加的。 我们控制某个杆在一个位置不变，取固定的时间，每天都在十二点时。影子的长度 在一年时间内随天数的变化的图像，也就是影长随赤纬角的变化图像。
4
图 2 影长随赤纬度变化的曲线图 横坐标代表时间天数，纵坐标代表影长。有图像 2 我们可得知随着月份的变化影子 的长度从一年之初开始先变长后变短。在第 180 天左右最短，这个时间段在夏至左右符 合实际。因此影长随赤纬度变化先增加后减少。 控制杆所在位置不变，在某一年的某一天的影子的长度从 7 点到 17 点的的变化图 像如下
关键词：初等函数模型 MATLAB
拟合
逐步分析法
1
一、问题重述 想要知道一个视频的拍摄地点和日期， 可以通过对视频中数据的分析然后运用太阳 影子定位技术，根据视频中物体影子的变化来确定。由此可以来解决下列问题。 1、分析物体影子长度和其他变量的关系，建立模型。并应用建立的模型画出 2015 年 10 月 22 日北京时间 9:00-15:00 之间天安门广场（北纬 39 度 54 分 26 秒,东经 116 度 23 分 29 秒）3 米高的直杆的太阳影子长度的变化曲线。 2、根据固定直杆在太阳下的影子的具体数据，建立数学模型，分析附件一中数据 确定其大概所处位置。 3、根据固定直杆在太阳下的影子的具体数据，建立数学模型，分析附件二三中数 据确定其大概所处位置和日期。 4、已知杆的长度，根据视频中杆的影子变化，建立数学模型，找出若干个可能的 拍摄地点。 二、问题分析 问题一 由题意可知若要建立影子长度变化的模型， 我们先做出物体在太阳下影子的轨迹线 形成图，有图像分析出影子长度的变化规律与太阳高度角的大小相关，然后我们通过查 阅相关资料得出太阳高度角的计算公式，可以发现该角度与当地纬度、赤纬度，和时角 有关。建立了影子长度与各变量之间的函数关系模型，然后运用控制变量法找出影子长 度关于各个参数的变化规律，绘制了相关图像并进行了分析。然后运用建立的模型求出 天安门广场 3 米高直杆的太阳影子长度的变化曲线。 问题二 根据题意和附件中的数据我们若要找出附件一中直杆在太阳照射下影子数据的采 样地点，首先就要想到确定其大概的经纬度。若要算出经度，我们根据附件一中给出的 数据运用勾股定理可计算出给出的各个时间点的影子的长度，然后我们运用拟合找到影 子最短的时间点，该时间点就是当地时间相当于北京中午 12：00 的实际时间。算出时 间差，进而求出当地的经度。 针对纬度的求解，我们选择了建立初等函数模型[1]，由问题一得出的函数关系式 易判断关系式中多了一个未知变量杆高，在已知条件的前提下，无法求出其纬度值，所 以不能引用问题一中建立的函数模型。 由附件一中的数据可知不同的时刻对应不同的影 长在横纵方向的分量， 易求出其太阳方位角， 而太阳方位角的公式中不含多余未知变量， 运用 matlab 进行编程，然后把已知条件（也就是杆影在不同时刻的一组数据）代入这 两个公式联立求解得出纬度的一系列数据，求其纬度的平均值作为该采样地点的纬度 值，进而分析出准确的地点。 问题三 我们通过分析附件的数据可看出， 可以运用和问题二求经度相同的方法通过二次拟 合其影长可以得到最短影子的时间，然后通过与北京时间的差，得到该地的实际经度。 我们通过具体的分析带入计算，发现赤纬角对纬度的影响较少，我们忽略其影响。我们
太阳影子定位数学建模
太阳影子定位摘要本文针对太阳影子的定位进行分析，利用视频的拍摄地与拍摄日期等数据进行分析，来研究在视频中直杆的影子变化规律，问题中有要求利用坐标位置让我们得到拍摄的地理位置和拍摄日期，所以可以进行逆向思维，从中分析出要求得问题。
对于问题一，根据题设条件，首先根据所学的地理知识，了解影响物体影子发生变化的相关因素，然后通过查询相关文献、杂志等，确定各个因素之间的关系，建立物体影子长度变化数学模型，然后利用MATLAB，得到因素之间的关系，即物体影子的长度与太阳高度角、太阳赤纬角、太阳时角以及直杆所处的位置有关。
最后根据题中所给的天安门广场的具体例子，应用此数学模型，便可以得到所求的位置和时间的物体影子变化曲线。
对于问题二，首先根据问题一中所建立的数学模型，假设水平地面上物体影子的顶点坐标，然后根据关键词：太阳高度角太阳赤纬度太阳时角MATLAB一、问题重述一段视频，我们可以从中得到很多信息。
对于如何确定视频的拍摄地点和时间，我们就可以通过分析视频的相关数据得到。
太阳影子定位技术就是其中的一种方法。
问题一要求我们分析关于影子长度变化的参数有哪些，以及它们的变化规律，并建立数学模型。
应用建立的模型，得出位于天安门广场（北纬39度54分26秒,东经116度23分29秒）在2015年10月22日北京时间9:00-15:00之间，树立的一根3米高的直杆的太阳影子长度的变化曲线。
经过分析我们可以得到，杆的影子与太阳高度角有关，即可以用时差、真太阳时、太阳赤纬角以及太阳时角来表示太阳影子的长。
问题二要求我们在水平地面上，固定某直杆，建立坐标，根据它在太阳下影子的顶点坐标，然后建立数学模型，得到直杆所在的位置。
可以根据问题一的模型进行逆向思维，去求直杆的位置，再利用太阳方向角，并依靠附件1中的直杆影子顶点坐标，通过所建的数学模型，求出很多个可能的地点。
问题三和问题二的前提一样，建立数学模型之后，我们要应用它得到直杆所处的具体位置和时间。
太阳影子定位问题(数学建模 )
针对问题二，附件 1 给出了 2015 年 4 月 18 日时，某个固定直杆在水平地面上的太 阳影子的顶点坐标数据，但规定的 ������轴方向和������轴方向未知。可将顶点坐标数据转化为 影长������，从而经问题二转化为问题一的逆向求解，由于未知参量较多，先通过引入影长 比������������消除杆高ℎ未知的影响，再采用最小二乘法拟合的方法【2】求解即可。
图 2 直杆投影的几何模型
由图可知，直杆的长度ℎ与其太阳影子������的长度之间有如下关系：
������ = ℎ cot ������ 联系以上各关系式可以得到如下的有关影子长度变化的数学模型：
������ = ℎ cot ������
sin ������ = sin ������������ sin ������ + cos ������������ cos ������ cos ������
2.根据某个固定直杆在水平地面上的太阳影子的顶点坐标数据来建立数学模型，用 以确定其所处的地点。再将附件 1 的影子顶点坐标数据代入该模型，求解出所有可能的 地点。
3.根据某个固定直杆在水平地面上的太阳影子的顶点坐标数据来建立数学模型，用 以确定其所处的地点和日期。将附件 2 和附件 3 的影子顶点坐标数据带入模型，一次 性给出若干个可能的地点与日期。
高教社杯全国大学生数学建模竞赛A题太阳影子定位
高教社杯全国大学生数学建模竞赛A题太阳影子定位IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】摘要通过太阳影子定位技术可以确定视频的拍摄地点和时间，为拍摄出更好的视频，掌握太阳影子的变化规律就变得尤为重要。
本文主要综合运用了地理学、几何学、统计学、数学分析和高等代数等知识，并利用MATLAB,SPSS和mathematica等计算机软件，通过建立数学模型来研究影子长度的变化特征,进一步确定视频的拍摄地点和时间。
针对问题一，首先我们通过分析影子长度的影响因素得到与影子长度的关系（见表达式六）整理计算之后，就得到了影子长度的数学模型。
然后我们通过分析他们之间的关系，再利用MATLAB编程，得到了影子长度关于各个参数的变化规律（见图3到图7）。
其次根据我们建立的模型，利用MATLAB编程画出了给定时间天安门广场3米高的直杆的太阳影子长度的变化曲线（见图8），然后在考虑折射率的情况下又画了一条变化曲线（见图9），最后进行了误差分析（见图10）。
针对问题二，我们采用了测试分析法（数据分析法和计算机仿真相结合），通过分析各个参量之间的关系，先以影长l为目标做回归，用模型一的模型，通过SPSS进行拟合得到多组数据，再用MATLAB进行检验得到符合的两组经纬度。
然后我们又以太阳方位角K为目标做回归,得到模型（见表达式12），其计算方法与影长l做回归目标时一样。
我们分步做了两次拟合，先用MATLAB拟合出经度，再N E和杆长做回归模型（见表达式14）最后得到经纬度(18.74,109.35)=。
综上可知，肯定有一地点是在海南，还有一个地点可能在云南。
1.993L m针对问题三，我们用问题二中的多项式回归，得到回归模型（见表达式17和20）=，得到天数利用附件二得到的经纬度为(32.83N,110.25E)和杆长L 3.03m=，得到天n=。
利用附件三得到的经纬度为(39.19N,79.5E)和杆长L 1.962m 307n数=140针对问题四，首先运用MATLAB软件，根据画面灰度，运用MATLAB软件，把视频转化成二值图，求得影子端点的像素坐标，然后根据相似原理，把像素坐标转化成水平面上的坐标（消去了视角的影响），进而求得影子的长度。
2021全国赛数学建模
2021全国赛数学建模a题太阳影子定位如何确定视频的拍摄地点和拍摄日期是视频数据分析的重要方面，太阳影子定位技术就是通过分析视频中物体的太阳影子变化，确定视频拍摄的地点和日期的一种方法。
1.创建影子长度变化的数学模型，分析影子长度关于各个参数的变化规律，并应用领域你们创建的模型图画出来2021年10月22日北京时间9:00-15:00之间天安门广场（北纬39度54分后26秒,东经116度23分后29秒）3米低的直杆的太阳影子长度的变化曲线。
2.根据某固定直杆在水平地面上的太阳影子顶点坐标数据，建立数学模型确定直杆所处的地点。
将你们的模型应用于附件1的影子顶点坐标数据，给出若干个可能的地点。
3.根据某紧固直杆在水平地面上的太阳影子顶点座标数据，创建数学模型确认直杆所处的地点和日期。
将你们的模型分别应用于附件2和附件3的影子顶点座标数据，得出若干个可能将的地点与日期。
4．附件4为一根直杆在太阳下的影子变化的视频，并且已通过某种方式估算出来直杆的高度为2米。
恳请创建确认视频摄制地点的数学模型，并应用领域你们的模型得出若干个可能将的摄制地点。
如果摄制日期未明，你若想根据视频确认出来摄制地点与日期？b题“互联网+”时代的出租车资源配置出租车就是市民乘车的关键交通工具之一，“坐车容易”就是人们高度关注的一个社会热点问题。
随着“互联网+”时代的到来，存有多家公司充分利用安远动互联网建立了打车软件服务平台，实现了乘客与出租车司机之间的信息互通，同时推出了多种出租车的补贴方案。
请你们搜集相关数据，建立数学模型研究如下问题：(1)先行创建合理的指标，并分析相同时空出租车资源的“供需相匹配”程度。
(2)分析各公司的出租车补贴方案是否对“缓解打车难”有帮助？(3)如果要创建一个新的打车软件服务平台，你们将设计什么样的补贴方案，并论证其合理性。
c题月上柳梢头“月上柳梢头，人约黄昏后”是北宋学者欧阳修的名句，写的是与佳人相约的情景。
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西安邮电大学
(理学院)
数学建模报告
题目：太阳影子定位问题
班级：信息工程1403班
学号： 03144079
姓名：侯思航
成绩：
2016年6月30日
一、摘要
本文针对太阳影子定位技术，通过太阳与地球相对运动的规律，建立杆长、影长、经纬度、时间、日期的关系，建立模型。
综合分析了不同地点，不同的时间，不同的季节时影子长度的形成规律及变化趋势，运用了软件进行分析，得出不同地区影子变化的模型。
最后将具体情况运用到建立的模型中，对实际问题进行可行性分析，根据条件的改变完善对模型的应用和实用性检验。
第一问中，我们通过两种太阳高度角的表示方法建立等式关系，根据控制变量法，分析出影子长度分别与经、纬度、杆长、时间、日期的关系。
然后，根据时差计算关系，当北京时间在9:00-15:00时，天安门广场的时间，并应用建立的模型。
第二问中，首先根据影子坐标求出影子的长度，拟合北京时间与影子长度的函数，找出影子长度的最低的点，从而根据时间求出当地经度，由于误差的存在，我们将经度、杆长、纬度给定一定范围，根据第一问公式进行搜索，从而确定可能的地点。
关键字：（宋体小四号）真太阳时平太阳时赤纬角太阳高度角熵值法
二、问题提出
如何确定视频的拍摄地点和拍摄日期是视频数据分析的重要方面，太阳影子定位技术就是通过分析视频中物体的太阳影子变化，确定视频拍摄的地点和日期的一种方法。
1.建立影子长度变化的数学模型，分析影子长度关于各个参数的变化规律，并应用你们建立的模型画出2015年10月22日北京时间9:00-15:00之间天安门广场（北纬39度54分26秒,东经116度23分29秒）3米高的直杆的太阳影子长度的变化曲线。
2.根据某固定直杆在水平地面上的太阳影子顶点坐标数据，建立数学模型确定直杆所处的地点。
将你们的模型应用于附件1的影子顶点坐标数据，给出若干个可能的地点。
3. 根据某固定直杆在水平地面上的太阳影子顶点坐标数据，建立数学模型确定直杆所处的地点和日期。
将你们的模型分别应用于附件2和附件3的影子顶点坐标数据，给出若干个可能的地点与日期。
4．附件4为一根直杆在太阳下的影子变化的视频，并且已通过某种方式估计出直杆的高度为2米。
请建立确定视频拍摄地点的数学模型，并应用你们的模型给出若干个可能的拍摄地点。
三、问题分析
第一问：根据物体在太阳光照射下将产生影子的自然现象,研究物体影子的形成原理, 通过分析太阳光线照射物体的角度的日变化和年变化，引起物体影子的长度和朝向有规律地变化来建立数学模型。
利用Matlab软件绘出影子长短随时间变化的图像。
将问题中所给参数带入，解决问题。
由于太阳光线照射物体的角度的日变化和年变化，引起物体影子的长度和朝向有规律地变化。
第二问：通过对附件所给的影子坐标的数据，求出影子的长度，然后通过第一问的相关公式，对影长和时间的关系进行拟合，得到一个二次方程，得出影长的最低值，从而可知正午时间，再算出经度。
四、建模过程
第一问
1．模型假设
（1）：假设单一光源（太阳光）照射
（2）：直杆严格垂直于水平地面
（3）：被照射直杆的形状不会影响影子的长度
（4）：将整个天空视为一个天体圆
（5）：不考虑大气折射
（6）：问题中给出的数据可靠
2．定义符号说明
符号含义符号含义
偏磁角（赤纬角） e 时差
:太阳高度角入射角
经度纬度
t 北京时间 A 太阳方位角
N 自1月1日算起的第几天 L 影子长度
时角 :H 杆长3．模型建立：以杆影在阳光下产生影子端点移动的轨迹，代替太阳运行轨迹。
运用相对运动原理，将地球自转及绕太阳公转的运动简化为地球不动，太阳绕地球转动。
（1）计算磁偏角（赤纬角）全年之中，每一天太阳和地球的运转与天体圆赤道之间所形
成的夹角，也就是所谓的磁偏角都不同，会在+23.45与-23.45之间变化，其计算公式为：=23.45sin[2(28+4N) ]/365 (1)
（2）由北京时间计算当地时间：按太阳运行位置，世界采取了时差制度并且遵循此制度，
各国时间历法都以此制度为基础。
按太阳运行位置，划分时区，每个时区相差15（每个
时区相差1个小时）。
当地时间s的计算公式：
S=t-(120-R)/ 60*15 (2)
当所得值为负数时，加上24小时。
（3）计算时角因为地球自转一周约为24小时，所以，太阳每小时大约自东向西移动15
（即360/24 ），故时角w的计算公式为：w=15(12-s) (3) w为正表示偏东，w为负表示偏西。
注意：计算中将其划为弧度制。
（4）计算太阳高度角太阳高度角简称太阳高度(其实是角度)。
太阳高度是决定地球表面
获得太阳热能数量的最重要的因素，它在数值上等于太阳在地球地平坐标系中的地平高度。
太阳高度角的计算公式为：=arc nsin(sincoscoscosarcw) (4)
（5）利用太阳高度角、杆长及影长列出函数式
如图所示，由立竿见影的测量方式，得出影长L公式为：L=H/tan P
4，模型求解：
由有几何学原理，已知tan p在0<p</2 时为递增函数，故太阳高度越小，影子越长。
影子有时比物体长，有时比物体短。
太阳高度为45度时影子和物体一样长。
由一天中太阳位置的变化规律得出，早晚影子最长，中午最短，早上到中午影子慢慢变短，中午到晚上影子慢慢又变长。
相似的，我们可以得出，早晚太阳高度最小，中午最大，早上到中午太阳高度慢慢变大，中午到晚上太阳高度慢慢又变小。
（2）关于北京影长问题的探索
利用Matlab绘出影子的变化规律图。
第一问需要求解的题目中给出一下参数： :
N：自1月1日算起的第295天。
t：北京时间 9:00-15:00。
：东经116度23分29秒。
：北纬39度54分26秒。
H 3米。
注意：计算中将经、纬度划弧度制。
将参数带入Matlab中，绘出影子长度变化曲线，如二所示：
第二问
1.模型假设：假设附件1所给顶点坐标数据符合事实
2.定义符号说明：
A：方位角
：高度角
：赤纬角
：物体所在地理纬度
：当地时间
N：从1月1日起距当地日期的天数
n：表示24小时制的时间数
t：太阳某位置的方位时间
：时角
L0：影子的长度
(x.y)：影子顶点坐标
3,模型建立：
因为竹竿相对太阳的位置所对应于地球上所在点的相对位置, 由该点的地理纬度、日期和时间3个因素来决定。
一般通过地平坐标系及赤道坐标系来同时表示太阳的位置, 也就是以太阳高度角方位角A 及赤纬角、时角来表示。
赤纬角是指地球赤道平面与太阳和地球中心的连线之间的夹角，高度角指太阳光的入射方向和地平面之间的夹角, 可知高度角的范围是000~90，方位角指经过球心O。
与太阳位置点在地平圈上投影点的直线与地平圈正南向OS所夹的角。
定义方位角坐标以正南向S点为起始00逆时针方向为负, 分180顺时针方向为正, 亦分0180;正北向N点为正负180。
因此根据太阳位置的变化可以绘制出坐标网图, 在坐标网图中用同心圆来代表太阳高度圈, 用圆周上的刻度角来表示太阳的方位角(自南向西为正值, 自南向东为负值)。
故通过竿影轨迹点的坐标可求出影长，然后通过拟合影长相关计算公式如下：
影长公式
根据韦达定理得：
五、模型评价与改进
第一问中，我们所用的F检验没有T检验合适，但是结果偏差不大第二问中，topsis 法灵活简便，操作方便。
并用熵值法确定权重，具有合理性，但是缺少相应的模型检验。
第四问中，通过经验设定综合指标进行求解，简化了相应的数学模型，只是缺少对综合指标设立的检验，依据性不强。
六、参考文献
[1] Topsis综合评价法2012年9月8日
[2]数学建模成绩的评价与预测，2012年9月8日
[3]陈光亭裘哲勇《数学建模》高等教育出版社 2010年2月
[4]王宏洲《数学建模优秀论文》清华大学出版社 2011年9月
（注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!）。