太阳影子定位

太阳影子定位
摘要
太阳影子定位技术就是通过分析物体的太阳影子长度变化，来确定物体所在的时间和地理位置。

本文通过分析有关太阳影子各因素之间的关系，采用几何关系和MATLAB编程等方法，对所给问题分别给出了数学模型及处理方案。

针对问题一，确立影长变化模型。

首先以经度、纬度、日期、时间、杆长为参数分析影长的变化规律，通过中间变量太阳高度角、赤纬角、时角确立影长变化模型。

其次利用影长变化模型，运用MATLAB进行编程，求解出天安门在9:00-15:00影长变化曲线类似一条凹抛物线，其中最短影长出现时刻为多少分，影长为多少m。

一、问题重述
1.1问题背景
如何确定视频的拍摄地点和拍摄日期是视频数据分析的重要方面，太阳影子定位技术就是通过分析视频中物体的太阳影子变化，确定视频拍摄的地点和日期的一种方法。

1.2问题提出
问题一：建立影子长度变化与各个参数关系的数学模型，并应用所建模型画出2015年10月22日北京时间9:00-15:00之间天安门广场（北纬39度54分26秒,东经116度23分29秒）3米高的直杆的太阳影子长度的变化曲线。

问题二：根据某固定直杆在水平地面上的太阳影子顶点坐标数据，建立数学模型确定直杆所处的地点，据此确定所给影子顶点坐标数据的若干个可能的地点。

问题三：在前一问的基础上进一步确定影子顶点坐标与日期的变化关系，建立模型并确定所给影子顶点坐标数据的若干个可能的地点与日期。

二、问题分析
这属于竿影日照数学问题，把竿顶影子端点坐标移动轨迹，
2.1问题一的分析
针对问题一首先为了建立影子长度变化的数学模型，应先确定影响影子长度变化的因素，拟选取直杆所在经度、纬度、日期、时刻及杆长为参数建立数学模型。

由于题设中未直接给出关于影长与五个参数的数据，所以拟通过中间量描述影长与上述五个参数之间的关系。

查阅相关资料得到可以太阳高度角、太阳赤纬角、太阳时角及太阳方位角四个中间参量作为转换分析中间变量，再根据四个中间变量得到影长与 5 个参数的函数关系式，即影长长度变化的数学模型。

最后将天安门广场的 5 个参数带入影长变化模型，可得到杆影的变化曲线，分析影子长度关于各个参数的变化规律。

2.2问题二的分析
针对问题二以直杆的太阳影子顶点为坐标数据建立数学模型，并应用于附件
1 的影子顶点坐标数据求解直杆位置。

可视为已知影长坐标、日期和时刻，求影长所在的地点的问题。

首先应根据影长坐标计算实际太阳影长，本文拟将附件 1
中的影长、时刻及日期代入问题一中的影长变化函数中，可得到含有 21 个方程的方程组。

其次，该问题是一个非线性规划求解最小值问题，根据最小二乘法的思路，本文可建立影长差值平方和最小为单目标的最优化模型对附件1进行求解，其中约束条件可考虑经纬度的范围。

最后通过穷举搜索，得到直杆所在的地点。

2.3问题三的分析
三、模型假设
1．本模型对应于以24h为周期的时间标尺；
2．假设地球为一个球体；
3．假设太阳运行的方位角严格保持正向增加或负向减小的变化趋势，且连续变化，不存在跳跃；
4．忽略海拔、天气、大气折射等因素对测量和计算造成的影响；
5．假设阳光照射到地球上时为平行光；
6．假设同一天之内不考虑直射点的纬度变化。

四、名词定义与符号说明
4.1名词定义
1．太阳高度角：是指某地太阳光线与通过该地和地心相连的地表切线的夹角；2．太阳方位角：是指太阳光线在地平面上的投影与当地经线的夹角；
3．赤纬角：是指地球赤道平面与太阳和地球中心的连线之间的夹角；
4．太阳时角：日面中心的时角，即从观测点天球子午圈沿天赤道量至太阳所在时圈的角距离。

4.2符号说明
符号解释单位
h太阳高度角度
δ赤纬角度
ω太阳时角度
A
太阳方位角 度 T 真太阳时
小时 t 平太阳时
小时 ϕ 纬度
度 γ 经度
度 z 杆长
米 l 影长
米 L ∆
理论影长与实际影长差值 米
五、 模型的建立与求解
5.1问题一的求解
5.1.1模型准备
太阳高度角h ：太阳光的入射方向和地平面之间的夹角。

sin sin sin cos cos cos h ϕδϕδω=+ （1-1）
太阳赤纬角δ：地球赤道平面与太阳和地球中心的连线之间的夹角。

2(284)23.45sin 365
n πδ+=（n 为日期序号）（1-2） 太阳时角ω：从观测点天球子午圈沿天赤道量至太阳所在时圈的角距离。

15(12)T ω=⨯- （1-3）
其中 T:真太阳时，太阳连续两次经过上中天的时间间隔，即当地时间。

t ：平太阳时，平时参考的国家地区报时时间，如北京时间。

真太阳时是以当地太阳位于正南向的瞬时为正午。

由于太阳与地球之间的距离和相对位置随时间在变化，以及地球赤道与其绕太阳运行的轨道的处平面的不一致，因而真太阳时与钟表指示的时间（平太阳时）之间总会有所差异，它们的差值即为时差。

最大时差可达16min 。

一年中只有4次时差为零。

计算太阳位置时应采用真太阳时。

太阳方位角：太阳光线在地平面上的投影与当地经线的夹角，以目标物正北方向为0.
cos sin cos A h
δω=
（1-4） 5.1.2模型建立 依据题意，在竿长已知的情况下，若已知太阳高度角，根据三角关系即可得到影子长度。

根据竿影日照原理，可以得到竿长、影长以及太阳高度角的关系式
tan z h l
= （1-5） 由式1-1可知，要求太阳高度角，首先需求得太阳赤纬角δ和太阳时角ω，因此，通过联立公式1-1、1-2与1-3，可得太阳高度角的方程：
arcsin(sin sin cos cos cos )h ϕδϕδω=+ （1-6）
进而可求得tan ℎ的值，根据式1-5可得影长：
tan z l h =
根据以上条件，可得数学模型为：
{
15(12)T ω=⨯-2(284)23.45sin 365n πδ+=arcsin(sin sin cos cos cos )h ϕδϕδω=+tan z
l h
=
5.1.3模型检验与求解
5.2问题二的求解
问题二可视为已知影长坐标、日期和时刻，求影长所在的地点的问题。

为了计算太阳影长，可先假设所在地的经纬度坐标，并连同附件1中的日期和时刻代入问题一中的影长变化函数，得到理论影长i l ；其次，建立非线性优化模型对附件1进行求解，其中约束条件可考虑经纬度的范围；最后通过穷举搜索，得到直杆所在的地点。

5.2.1确立目标函数
应用最小二乘原理，目标函数应保证各组理论影长与实际影长之差的平方和
最小：
21
201min ()i i i l l l ==-∑
5.2.2确定约束条件
规定西经为负，东经为正，则经度的范围：-180180γ︒≤≤︒
规定北纬为正，南纬为负，则纬度的范围：-9090ϕ︒≤≤︒
综上所述，关于经纬度的非线性优化模型为：
21
201min ()i i i L l l =∆=-∑
{ -180180γ︒≤≤︒ -9090ϕ︒≤≤
︒
0i l =(,,,,)
i l l t h ϕδω=
5.2.3模型的求解
针对非线性规划问题，用Frank-Wolfe 算法转换为线性规划问题是较快的逼近最优值的方法，但考虑到本问题约束条件也有较多非线性的，因此F-W 算法不再适用或收敛性较慢，同时，为了避免求二阶偏导的算法复杂性，本题考虑用拟牛顿迭代法进行求解
拟牛顿法的基本条件：
设目标函数的Hessian 矩阵为H ，逆矩阵为1H - ，用A 表示Hessian 的近似矩阵，用D 表示H −1的近似矩阵，则有：
1,A H D H -≈≈ 将目标函数在第k+1次迭代处做二阶泰勒展开：
21111111()()()()()()()2
T k k k k k k f x f x f x x x x x f x x x ++++++≈+-+-∇- 两边同时求梯度∇，得到：
111()()()k k k f x f x H x x +++∇≈∇+-
令k x x =，且()k k g f x =∇，有：
11!()k k k k g g H x x +++-≈-
令11,k k k k k k S x x y g g ++=-=-，则上式可近似变换成：
111,k k k k k k y H S S H y -++≈≈
将Hessian 矩阵及其逆矩阵用A 及D 来近似代替，得：
11,k k k k k k y A S S D y ++==
算法步骤：
Step1：确定初始解(,,)h ϕγ ，以及0,0D I k ==，停止条件ε Step2：确定搜索方向k k d D g =-
Step3：利用1arg min (),,k k k k k k k k L x d S d x x S λλλ+=∆+==+ Step4：若1k g ε+<，迭代停止，否则111,k k k k k k y g g D S y -++=-= Step5：令k=k+1,转到Step2.
5.2.4求解结果
六、 模型评价
七、 参考文献
附录。