Banach空间中非线性算子不动点的收敛性定理
15 巴拿赫不动点定理
1.5 Banach 不动点定理及应用巴拿赫不动点定理(Banach Fixed Point Theorem )，又称为压缩映射定理或压缩映射原理，它是用泛函分析方法统一处理许多关于解的存在性和唯一性问题(如微分方程、代数方程组、积分方程等)的一个重要定理．许多方程求解问题往往可以转化为求某映射的不动点，而压缩映射原理描述了映射不动点的存在性和唯一性的充分条件，并提供了一个迭代程序，按此程序逐次逼近可求不动点的近似值和误差，这是代数方程，微分方程，积分方程，泛函方程以及计算数学中的一个很重要的方法．1.5.1 Banach 不动点定理及推论定义 1.5.1 不动点(Fixed points)设X 是一个非空集合，:A X X →为映射，如果存在x X ∗∈满足()A x x ∗∗=，则称x ∗为映射A 的不动点．例如(1)从R 到R 上的映射2:f x x →有两个不动点，即0x =和1x =．(2)从2R 到2R 上的映射:(,)(,)f x y y x →有无穷多个不动点，即直线y x =上的所有点均是不动点．设f 是空间X 到自身的映射，方程()0f x =的求解可转化为求映射:()T x f x x α→+的不动点，其中常数0α≠(显然当Tx x ∗∗=时，即()f x x x α∗∗∗+=，可得()0f x ∗=)．关于不动点的定理，最简单而又最广泛应用的是著名的压缩映射原理．定义 1.5.2 压缩映射(Contraction mapping)设X 是一个度量空间，:A X X →为映射，如果存在常数(0,1)α∈，对于任何,x y X ∈，有(,)(,)d Ax Ay d x y α≤则称A 为X 上的压缩映射．称常数α为压缩系数．显然压缩映射是连续映射．下面的压缩映射原理是由Banach 于1922年给出的，也称为Banach 不动点定理．定理 1.5.1 Banach 不动点定理(压缩映射原理Contraction mapping principle )设X 是完备的度量空间，:A X X →是压缩映射，则A 在X 中具有唯一的不动点，即存在唯一的x ∗，使得()x A x ∗∗=．证明 任取0x X ∈，构造点列{}n x ：10()x A x =，21()x A x =，32()x A x =，43()x A x =，…，1()n n x A x −=，…．下面证明 (1)证{}n x 为基本列；(2)证n x x ∗→，()x A x ∗∗=；(3)证x ∗的唯一性．(1)证{}n x 为基本列．因为A 是压缩映射，所以不妨设(,)(,)d Ax Ay d x y α≤，其中(0,1)α∈，记100(,)d x x c =，于是有2110100(,)(,)(,)d x x d Ax Ax d x x c αα=≤≤； 23221210(,)(,)(,)d x x d Ax Ax d x x c αα=≤≤；34332320(,)(,)(,)d x x d Ax Ax d x x c αα=≤≤；…… ……1112120(,)(,)(,)n n n n n n n d x x d Ax Ax d x x c αα−−−−−−=≤≤．因此对于正整数k 有1121(,)(,)(,)(,)n n k n n n n n k n k d x x d x x d x x d x x +++++−+≤+++L110()n n n k c ααα++−≤+++L0(1)1n k c ααα−=−01nc αα≤−0→ (n →∞) 故{}n x 为基本列．(2)证n x x ∗→，()x A x ∗∗=．因为X 是完备的度量空间，所以基本列{}n x 收敛，不妨设n x x ∗→(n →∞)；又知压缩映射是连续映射以及1()n n x A x −=，于是lim n n x x ∗→∞=1lim ()n n A x −→∞=1(lim )n n A x −→∞=Ax ∗=．(3)证x ∗的唯一性．若存在1x X ∗∈且11()x A x ∗∗=，那么111(,)(,)(,)d x x d Ax Ax d x x α∗∗∗∗∗∗=≤于是1(1)(,)0d x x α∗∗−≤，从而1(,)0d x x ∗∗≤，即1x x ∗∗=．□注1 Banach 不动点定理给出了在完备度量空间X 中求解不动点的迭代法，即1x X ∀∈，由1n n x Ax +=(1,2,n =L )获得不动点n x x ∗→．第n 次迭代后的近似解n x 与不动点x ∗的误差估计：根据上述定理证明的第二部分知0(,)1nn n k d x x c αα+≤−，于是令k →∞有01000(,)(,)(,)111n n nn d x x c d x x d Ax x αααααα∗≤==−−−．即00(,)(,)1nn d x x d Ax x αα∗≤−．注 2 Banach 不动点定理中的两个条件压缩性和空间的完备性都是十分重要的．例如当(,)(,)d Ax Ay d x y <时，未必存在不动点．设:A →R R ，()arctan 2A x x x π=+−，那么,x y ∀∈R ，有(,)d Ax Ay Ax Ay =−(arctan )(arctan )22x x y y ππ=+−−+−(arctan arctan )x y x y =−−−2()1x yx y ξ−=−−+(由Lagrange 中值定理知存在(,)x y ξ∈或(,)y x ξ∈) 22()1x y ξξ=−+(,)x y d x y <−=．但是，当Ax x =时，方程arctan 2x π=无解，因此映射A 在R 中没有不动点．Lagrange 中值定理：如果函数()f x 在闭区间[,]a b 连续，在开区间(,)a b 内可导，那么在(,)a b 内至少存在一点ξ(a b ξ<<)，使得()()()()'f b f a f b a ξ−=−．推论 1.5.1 设X 是完备的度量空间，映射:A X X →是闭球0(,)B x r 上的压缩映射，并且00(,)(1)d Ax x r α≤−，其中(0,1)α∈是压缩系数，那么A 在0,)B x r 中具有唯一的不动点．证明 显然0,)B x r 是完备度量空间X 的闭子集，所以0,)B x r 是完备的子空间．0,)x B x r ∀∈，有0(,)d x x r ≤，于是0000(,)(,)(,)d Ax x d Ax Ax d Ax x ≤+0(,)(1)d x x r αα≤+−(1)r r αα≤+−r ≤即0(,)Ax B x r ∈．可见A 是完备度量空间0(,)B x r 到0,)B x r 上的压缩映射，因此A 在0,)B x r 中具有唯一的不动点．□设映射:A X X →，记n nA AA A =64748L ，那么映射:n A X X →．推论 1.5.2 设X 是完备的度量空间，映射:A X X →，如果存在常数(0,1)α∈和正整数n ，使得,x y X ∀∈有(,)(,)n n d A x A y d x y α≤那么A 在X 中存在唯一的不动点．证明 显然n A 是压缩映射，所以n A 在X 中存在唯一的不动点x ∗，即n x A x ∗∗=．于是1()()n n n A Ax A x A A x Ax ∗+∗∗∗===可得Ax ∗也是n A 的不动点，由不动点的唯一性知：Ax x ∗∗=．同时易得2A x x ∗∗=，3A x x ∗∗=，…，n A x x ∗∗=下面证明x ∗的唯一性．设存在1x X ∗∈且11()x A x ∗∗=，得112A x x ∗∗=，113A x x ∗∗=，…，11n A x x ∗∗=，那么11(,)(,)d x x d Ax Ax ∗∗∗∗==K 1(,)n n d A x A x ∗∗=1(,)d x x α∗∗≤于是1(1)(,)0d x x α∗∗−≤，从而1(,)0d x x ∗∗≤，即1x x ∗∗=．□1.5.2 Banach 不动点定理的应用◇ 求方程的近似解定理 1.5.2 设:f →R R 是可微函数，且()1'f x α≤<，则方程()f x x =具有唯一解．证明 根据Lagrange 中值定理知存在(,)x y ξ∈，使得()()()()'f x f y f x y x y ξα−=−≤−，因此f 是完备度量空间R 上的压缩映射，于是由压缩映射原理知，()f x x =具有唯一解．例 1.5.1 求方程510x x +−=的根．解 显然函数5()1g x x x =+−的导函数为4()510'g x x =+>，即g 单调递增，且115()0232g =−<，(1)1g =，所以原方程只有一个根而且在(0.5,1)内．原方程可写为 51x x −=由于51x −不是一个压缩映射，即54(1)5'x x −=在(0.5,1)内并不小于1．将上式改造为5(1)x x λλ−=，即为5(1)(1)x x x λλ−+−=，于是当(0.5,1)x ∈及(0,1)λ∈时有54[(1)(1)]15'x x x λλλλ−+−=−−1λ<−．令14λ=，531()(1)44f x x x =+−，那么在(0.5,1)上()f x 满足 3()14'f x << 于是得()f x 是(0.5,1)上的压缩映射，取00.75x =，由迭代1()n n x f x +=可得10.7521x =，20.7533x =，30.7540x =，40.7544x =， 50.7546x =，60.7547x =，70.7548x =，80.7548x =，…．若取8x 作为不动点x ∗的近似解，其误差为80.750.75210.750.000810.75nx x ∗−≤−=−．□◇ 解线性代数方程组定理 1.5.3 设1111n n nn a a A a a ⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠L M M L ，1nn x x x ⎛⎞⎜⎟=∈⎜⎟⎜⎟⎝⎠M R ，1n n b b b ⎛⎞⎜⎟=∈⎜⎟⎜⎟⎝⎠M R ，若对每个1i n ≤≤，矩阵A 满足11n ij j a =<∑，即11max 1nij i nj a α≤≤==<∑，则线性方程组Ax b x +=具有唯一解x ∗．证明 在n R 上定义距离1(,)max{i i i nd x y x y ≤≤=−，其中T 12(,,,)n n x x x x =∈L R ，T 12(,,,)n n y y y y =∈L R ，易验证(,)n d R 是完备的度量空间．令映射:(,)(,)n n T d d →R R 为Tx Ax b =+．记T 12(,,,)n Tx u u u u ==L ，T 12(,,,)n Ty v v v v ==L ，于是11111n i j j n n ni j n j a x b u u u a x b ==⎛⎞+⎜⎟⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟==⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠+⎜⎟⎝⎠∑∑M M ，11111n i j j nn ni j n j a y b v v v a y b ==⎛⎞+⎜⎟⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟==⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠+⎜⎟⎝⎠∑∑M M ． 因此1(,)max{}i i i nd Tx Ty u v ≤≤=−11max{()}nij j j i nj a x y ≤≤==−∑111max{}max{}nij j j i ni nj a x y ≤≤≤≤=≤⋅−∑(,)d x y α=由11max 1nij i nj a α≤≤==<∑可知T 是压缩映射，从而存在唯一的不动点x ∗，即线性方程组Ax b x +=具有唯一解x ∗，且可根据迭代1n n x Ax b +=+求得方程的近似解．□◇ 证明隐函数存在定理定理 1.5.4 设二元函数(,)F x y 在区域{(,),}x y a x b y ≤≤−∞<<+∞上连续，关于y 的偏导数存在，且满足条件0(,)'y m F x y M <≤≤，其中m ，M 是正常数，则存在连续函数()y f x =，[,]x a b ∈满足：[,]x a b ∀∈，(,())0F x f x =．证明 在完备度量空间[,]C a b 中定义映射T ：()[,]x C a b φ∀∈，1()()()(,())T x x F x x Mφφφ=−． 由于(,)F x y 是连续函数，所以[,]T C a b φ∈，即:[,][,]T C a b C a b →．下面证T 是压缩映射．设,[,]C a b φϕ∈，根据微分中值定理得，存在(0,1)θ∈，使得11()(,())()(,())T T x F x x x F x x M Mφϕφφϕϕ−=−−+ 1()()[(,())(,())]x x F x x F x x Mφϕϕφ=−+− 1()()[(,()(()())](()()'y x x F x x x x x x Mφϕφθϕφϕφ=−++−− (1)()()mx x Mφϕ≤−−． 记1mMα=−，显然01α<<，于是有T T φϕαφϕ−≤−，因此 [,](,)max ()()()()x a b d T T T x T x φϕφϕ∈=−[,]max ()()x a b x x αφϕ∈≤−(,)d αφϕ=因此T 是压缩映射，由压缩映射原理知存在唯一的()[,]f x C a b ∈，使得()()()Tf x f x =即(,())0F x f x =，[,]x a b ∈．□◇ 在微分方程方面的应用设(,)f t x 在矩形区域00{(,),}D t x t t a x x b =−≤−≤连续，那么存在0M >使得(,)t x D ∀∈有(,)f t x M ≤，进一步假定(,)f t x 关于变量x 满足李普希兹(Lipshitz)条件：存在常数K ，12(,),(,)t x t x D ∀∈有1212(,)(,)f t x f t x K x x −≤−，那么有微分方程为00d (,)d ()xf x t tx t x ⎧=⎪⎨⎪=⎩ (2.4) 定理 1.5.5 (皮卡德Picard 定理)满足上述条件的微分方程(2.4)在区间00[,]t t ββ−+上有唯一解，其中1min{,,}2b a M Kβ=． 证明 设00[,]J t t ββ=−+，则J 上的连续函数组成的空间()C J 是完备的度量空间，显然()C J 的子集0{(),()}E x x C J x t x M β=∈−≤是闭集，于是E 也是完备的度量空间．通过积分可将微分方程(2.4)写成积分方程00()(,())d tt x t x f x τττ=+∫．()x t E ∀∈定义：00()()(,())d tt Tx t x f x τττ=+∫，下面验证Tx E ∈．由于(,)f t x 在在矩形区域00{(,),}D t x t t a x x b =−≤−≤连续，所以()()Tx t 在00[,]J t t ββ=−+上连续， 00()()Tx t x =，以及00()()(,())d tt Tx t x f x τττ−=∫(,())d tt f x τττ≤∫0M t t ≤−M β≤，于是Tx E ∈，即T 映射为:T E E →．再证T 是压缩映射．根据李普希兹条件得1212()()()()(,())d (,())d ttt t Tx t Tx t f x f x ττττττ−=−∫∫012max Jt t K x x τ∈≤−−12(,)Kd x x β≤又由β的定义知12K αβ=≤，于是1212(,)(,)d Tx Tx Kd x x β≤，即T 是压缩映射．因此T 在E 中存在唯一的不动点x ∗，即存在00[,]J t t ββ=−+上的连续函数x ∗，满足积分方程0()(,())d tt x t x f x λτττ=+∫，两边微分可得x ∗是微分方程(2.4)的唯一解，并且x ∗是迭代序列012,,,,,n x x x x L L 的极限，其中010()(,())d tn n t x t x f x τττ+=+∫．□◇ 在积分方程方面的应用设(,)K t τ在矩形区域{(,),}D t a t b ττ=≤≤连续，()[,]f x C a b ∈，且[,]t a b ∀∈有(,)d baK t M ττ≤<+∞∫，那么费雷德霍姆(Fredholm)积分方程为()()(,)()d ba x t f t K t x λτττ=+∫． (2.5)定理 1.5.6 对于任意的()[,]f x C a b ∈，当1Mλ<时，Fredholm 积分方程(2.5)有唯一连续解()x t ∗，并且函数()x t ∗是迭代序列012,,,,,n x x x x L L 的极限，其迭代过程为1()()(,)()d bn n a x t f t K t x λτττ+=+∫．证明 设()()()(,)()d bn aTx t f t K t x λτττ=+∫，由(,)K t τ的连续性知，T 是从[,]C a b 到[,]C a b 上的映射:[,][,]T C a b C a b →．(),()[,]x t y t C a b ∀∈有(,)max{()()()()a t bd Tx Ty Tx t Ty t ≤≤=−max{(,)()d (,)()d }b baaa t bK t x K t y λτττλτττ≤≤=−∫∫max{(,)[()()]d }baa t bK t x y λττττ≤≤=−∫max{(,)()()d }baa t bK t x y λττττ≤≤≤−∫max{()()}a bM x y τλττ≤≤≤−(,)Md x y λ=由于1M λ<，即T 是压缩映射，根据压缩映射原理知T 在[,]C a b 上存在唯一的不动点()x t ∗，即为Fredholm 积分方程的唯一连续解，且函数()x t ∗是迭代序列012,,,,,n x x x x L L 的极限，其迭代过程为1()()(,)()d bn n ax t f t K t x λτττ+=+∫．□◇ 牛顿迭代法的证明牛顿迭代法（Newton's method ）又称为牛顿-拉夫逊方法（Newton-Raphson method ），它是牛顿在 17世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法．多数方程不存在求根公式，因此求精确根非常困难，甚至不可能，从而寻找方程的近似根就显得特别重要．牛顿迭代法是求方程根的重要方法之一，而且其最大优点是在方程的单根*()0f x =附近具有平方收敛，该法还可以用来求方程的重根、复根，另外该方法广泛用于计算机编程中．定理 1.5.6 设f 是定义在[,]a b 上的二次连续可微的实值函数，*x 是f 在(,)a b 内的单重零点，那么当初值0x 充分靠近存*x 时，由关系式1()n n x g x +=，()()()n n n 'n f x g x x f x =−所定义的迭代序列收敛于*x ．证明 因为*()0f x =，依据中值定理可得***1()()()()'f x f x f x f x x k x x ξ=−=−≤−．由于*x 是f 的单重零点，所以存在*x 的某闭邻域*1()(,)U x a b ⊂，使得*1()x U x ∀∈，()0f x ≠，而且()"f x 连续．于是2()[()]"'f x f x 在*1()U x 上有界2k ，所以*1()x U x ∀∈，有 2*21222[()]()()()()()1()[()][()]'""'''f x f x f x f x f x g x k f x k k x x f x f x −=−=≤≤−． 显然当*1212x x k k −<时，1()2'g x <．令**2121(){}2U x x x x k k =−<以及***12()()()U x U x U x =I ，于是()g x 在邻域*()U x 内为压缩映射，根据压缩映射原理可知命题成立．□。
banach空间中的积分算子不动点定理及其应用
banach空间中的积分算子不动点定理及其应用下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
文档下载后可定制修改，请根据实际需要进行调整和使用，谢谢!本店铺为大家提供各种类型的实用资料，如教育随笔、日记赏析、句子摘抄、古诗大全、经典美文、话题作文、工作总结、词语解析、文案摘录、其他资料等等，想了解不同资料格式和写法，敬请关注!Download tips: This document is carefully compiled by this editor. I hope that after you download it, it can help you solve practical problems. The document can be customized and modified after downloading, please adjust and use it according to actual needs, thank you! In addition, this shop provides you with various types of practical materials, such as educational essays, diary appreciation, sentence excerpts, ancient poems, classic articles, topic composition, work summary, word parsing, copy excerpts, other materials and so on, want to know different data formats and writing methods, please pay attention!在数学领域中，Banach空间是一种非常重要的空间概念，它是一个完备的赋范空间。
序Banach空间中非线性映射的不动点定理
２０ Ｓｉ ｅｈ Ｅ ｇ ｇ ０ ７ ｃ．Ｔ ｃ． ｎｎ ．
。
爨论 文 甏
《
数 学
序 Ｂ ｎ ｃ 问 中非 线 性 ａ ａｈ空 映 射 的不 动 点定 理
邹 玉梅
（ 山东科技 大学信息科学 与工程学院 ， 青岛 ２６ １ ） ６ ５０
摘
要
在 更 广 泛 的条 件 下 给 出 了序 Ｂ ｎｃ ａａｈ空 间上 非 线 性 映 射 的 不 动 点定 理 ， 广 了现 有 文 献 中的 一 些 主 要 结 果 。 推
维普资讯
第 ７卷
第１ ９期
２０ ０ ７年 １ ０月
科
学
技
术
与
工
程
＠
Ｖｏ ． Ｎｏ １ Ｏｃ ．２ ７ １７ ．９ ｔ ００
１７ —８ ９ ２ ０ ） ９４ ０ —４ ６ １ １１ （ ０７ １— ８ １０
Ｓ ｉ ｎ ｅ Ｔ ｃ ｎ ｌ ｇ ｎ ｎ ｉ ｅ ｒｎ ｃ ｅ ｃ ｅ ｈ ｏ ｏ ｙ ａ ｄ Ｅ ｇｎ ｅ ｉ ｇ
ｒＨ） ［ ， １ ］（ ＋ ） （ ≤ｒ （ ＋Ｔ ） ｒ ≤ ｒ （ ＋Ｔ ） ］ ｒ Ｔ ）＋ （ ） ＜１ ［， ， ［ （ ｒ ］ 。
对任给 ｒＨ） ＜ ， ｉ （ ＜ １ 由ｌ ｌ ｍｌ
知存在 ｎ ， 。使得
＝ （ ＜ １ 可 ｒＨ） ＜ ，
（ ） 中 ： — Ｅ是 线 性 正算 子 满 足 ７ ＝ Ｔ ， １式 Ｅ ’
锥 ， 规 常数是 Ⅳ； 映射 ： —Ｅ连续 且满 足 ： 正 设 Ｅ （ｉ） 在 线 性 正算 子 ： —Ｅ， 足 ， 是 存 Ｅ 满 ＋
可逆 的 ， ， （ ＋Ｔ ） ≥ ∈Ｐ， 使 得 对 任 意 的 Ｍ 且 ，
banach空间的四个基本定理
banach空间的四个基本定理
巴拿赫空间是函数空间中一个重要的概念，并且有四个基本定理与之相关。
这四个定理被称为巴拿赫空间的基本定理，它们分别是完备性定理、闭图像定理、开映射定理和逆定理。
1. 完备性定理：巴拿赫空间是一个完备的度量空间。
也就是说，任何一个柯西序列（Cauchy sequence）在巴拿赫空间中都有一个极限点。
这个定理保证了巴拿赫空间的内部结构是完整的，没有任何缺陷。
2. 闭图像定理：巴拿赫空间中的有界线性算子的图像是一个闭集。
这个定理说明了有界线性算子在巴拿赫空间中的性质，它保证了算子的连续性和稳定性。
3. 开映射定理：巴拿赫空间中的有界线性算子的图像是一个开集。
这个定理保证了有界线性算子在巴拿赫空间中的映射性质，即保持开集的映射。
4. 逆定理：巴拿赫空间中的有界线性算子的逆算子也是有界的。
这个定理保证了有界线性算子在巴拿赫空间中的可逆性，即存在一个有界逆算子。
这四个基本定理是巴拿赫空间理论的基础，它们描述了巴拿赫空间的
一些重要性质。
这些定理不仅在函数空间中有广泛的应用，还在数学分析的其他领域中起到了重要的作用。
它们为我们研究函数空间中的问题提供了有力的工具和方法。
Banach空间中复合算子的不动点定理
第17卷第2期数学研究与评论V o l .17N o .21997年5月JOU RNAL O F M A TH E M A T I CAL R ESEA RCH AND EXPO S IT I ONM ay 1997Banach 空间中复合算子的不动点定理Ξ李 凤 友(天津师范大学数学系,300074)摘 要 本文给出Banach 空间中集值与单位增算子的不动点定理,它推广了文[1]—[4]中相应的结果.关键词 Banach 空间,集值复合增算子,弱上半闭,拟弱紧集,不动点.分类号 AM S (1991)47H 10 CCL O 177.91定义1[1] 设X 是具有半序结构的H au sdo rff 拓扑空间.若对于X 中任意两个网{x Α Α∈+},{y Α Α∈+},x Α→Σx ,y Α→Σy 且x Α≤y Α,ΠΑ∈+,就有x ≤y ,则称X 是一个半序拓扑空间.注 文中x Α→Σx 表按X 中拓扑Σ网收敛于x .定义2 设E 是Banach 空间,P 是E 中锥,E 中半序由P 导出,D <E .若对于D 中网{x Α Α∈+},x Α→w x ,且x Α≤x ,ΠΑ∈+,蕴含x ∈D ,则称D 为X 中弱上半闭集.定义3 设E 是B anach 空间,P 是E 中锥,D <E .若对于D 中每一可数全序子集{x n },都存在子列{x n k }<{x n },使得x n k →w x ∈E ,则称D 是E 中拟弱紧集.定义4 设E 是Banach 空间,P 是E 中锥,D <E .若对于D 的每一全序子集N ,都存在N 的至多可数子集{x n }在N 中弱稠(即对于任一x ∈N ,存在{x n k }<{x n },使得x n k →w x ),则称D 是E 中拟弱可分集.注 文中x n →wx 表{x n }弱收敛于x .定义5[2] 设X 是半序集,D <X ,A :D →2D 是集值算子.若Πx ,y ∈D ,x ≤y 及u ∈A y ,都存在v ∈A y ,使得u ≤v ,则称A 是一个集值增算子.引理1 设E 是Banach 空间,P 是E 中锥,E 中半序由P 导出,则E 按弱拓扑是一半序拓扑空间.定理1 设X 是半序集,Y 是Banach 空间,P 是Y 中锥.D <X 非空,B :D →Y 是增算子,C :BD →2B D 是集值增算子,T :B D →D 是增算子且B D 是Y 中弱上半闭集,令A =T CB .若i ) B D 是Y 中拟弱可分的拟弱紧集;ii ) Πx ∈D ,B A (x )是Y 中弱序列紧集;iii ) ϖx 0∈D 及u 0∈A x 0,使得B x 0≤B u 0,则A 在D 中有不动点.Ξ1994年2月18日收到.1996年6月6日收到修改稿.在单值映射下可得下面定理定理2 设X是半序集,Y是Banach空间,P是Y中锥,D是X中非空子集,B:D→Y是增算子,C:B D→D是增算子且B D是Y中弱上半闭集.令A=CB.若i) B D是Y中拟弱可分的拟弱紧集;ii) ϖx0∈D,使得x0≤A x0,则A在D中有不动点.推论 设X是半序集,D=[u0,v0]是X中序区间,Y是Banach空间,B:D→Y是增算子,C:[B u0,B v0]→X,A=CB.若i) u0≤A u0,A v0≤v0;ii) B D是Y中拟可分的拟紧集,则A在D中有不动点.注 定理1和定理2是文[1]-[4]在Banach空间中相应定理的推广.参 考 文 献[1] 孙经先,非连续的增算子的不动点定理及其含间断项的非线性方程的应用,数学学报,31:1(1988),101-107.[2] 孙经先,增算子的不动点和广义不动点,数学学报,32:4(1989),457-463.[3] Sun J ingx ian and Sun Yong,S o m e f ix ed p oin t theore m s of increasing op era tors,A pp l.A nal.23(1986),23-27.[4] 郭大钧,非线性泛函分析,山东科技出版社,1985.Som e F ixed Po i n t Theorem s for Com positeOperators i n Banach SpacesL i F engy ou(D ep t.of M ath.,T ianjin N o rm al U niversity)AbstractIn th is p ap er,w e give som e fixed po in t theo rem s fo r m u lti2valued and single valued in2 creasing op erato rs in B anach sp aces,w h ich generalizes the co rresponding resu lts of[1]-[4].Keywords B anach sp ace,m u lti2valued com po site increasing op erato r,w eak ly upp er2sem i2 clo sed set,quasi2w eak ly com p act,set fixed po in t.。
任意Banach空间中的非线性Lipschitz强伪压缩算子不动点的迭代逼近
用强伪 压缩 映射 迭代 方法 逼近不 动点 和求方 程 （ ）和（ ）的解 已被广 泛 研 究 ４ ５
证 明 了下列 定 理 ：
个 映 射 称 为 增 生 的 ， 对 每 个 ， ∈ 若 Ｙ （） ２
。 ［ ］中 ， 者 文 ４ 作
Ｄ（ ）有 —Ｙ ∈Ｊ —ｙ ， 得 ， （ ） ／ ｝
如果 ｆ 是恒 等算子 ， 由不等式 （ ）一（ ） 出 ： １ ３得 是 后一强伪 压缩 的 当且 仅 当 （ 一 是 后一强增生 的 ， ， ）
即 Ｖ Ｙ∈ Ｄ（ ）有 不等式 成立 ， Ｔ ｌ —Ｙｌ ｌ ｌ≤ ｌ —Ｙ＋ｒ （ 一 —ｋ） 一（ ｌ ［， １ ，一
文 章 编 号 ：０６一 ４ ４ ２０ ） １— ０ ５— ３ １０ ｏ６ （０ ８ ０ ０ ２ ０
任 意 Ｂ ｎｃ 间 中的非 线 性 Ｌｐｃｉ 强伪 压 缩算 子 ａａｈ空 ｉｓｈｔ ｚ
不 动 点 的 迭 代 逼 近
刘俊先 ， 马建珍
（ 台学 院 数 学 系 ， 北 邢 台 ０ ４０ ） 邢 河 ５０ １
维普资讯
第３ ２卷第 １ 期
２０ ０ ８年 ２月
南昌大学学报 （ 理科版）
Ｊｕｎｌ ｆ ａｃ ａｇＵ ｉ ｒ ｔ（ ａｕａ Ｓｉ ｃ ） ｏｒａ ｎｈｎ ｎｖ ｓｙ Ｎ ｔｒｌ ｃ ｎｅ ｏＮ ｅｉ ｅ
Ｖｏ ． ２ Ｎｏ． １３ １ Ｆｅ ２ Ｏ８ ｂ． ０
（ｉ） ＜ Ｃ ０ ＜１ ／≥ ０ ， ＂ ｔ
映射 称 为 ｋ一强 增生 的 ， 若对 每个 ， Ｙ∈ Ｕ，
有 — ）∈Ｊ ｘ—ｙ 和 ｋ＞０ （ Ｙ （ ） 实数 ， 使得 （ ｘ— ， —Ｙ ）≥ ｋｌ —Ｙｌ Ｕ （ ） ｌ ｌ （） ３ 等价地 ， 有不 等式成 立
第5讲 巴拿赫不动点定理
An x∗ = x∗
下面证明
x∗
的唯一性．设存在
x∗ 1
∈X
且
x∗ 1
=
A(
x∗ 1
)
，得
A2
x∗ 1
=
x∗ 1
，A3
x∗ 1
=
x∗ 1
，…，An
x∗ 1
=
x∗ 1
，
那么
d
(
x∗
,
x∗ 1
)
=
d ( Ax∗ , Ax1∗ )
=…
=
d
(
An
x∗
,
An
x∗ 1
)
≤
α
d
(
x∗ 1
,
x
∗
)
于是
(1
−
α
)d
(
4
44
f ' (x) < 3 < 1 4
于是得 f (x) 是 (0.5,1) 上的压缩映射，取 x0 = 0.75 ，由迭代 xn+1 = f (xn ) 可得 x1 = 0.7521 ， x2 = 0.7533 ， x3 = 0.7540 ， x4 = 0.7544 ，
x5 = 0.7546 ， x6 = 0.7547 ， x7 = 0.7548 ， x8 = 0.7548 ，…．
d (xn
,
xn−1 )
=
d
( Axn−1,
Axn−2
)
≤
α
d (xn−1,
xn − 2
)
≤
α
c n−1 0
．
因此对于正整数 k 有
第 1-5-1页
西安电子科技大学理学院 杨有龙
锥b-banach空间上非扩张映射的不动点定理
锥b-banach空间上非扩张映射的不动点定理不动点定理：1、Banach空间上的非扩张映射：Banach空间是定义域与值域都为实数的函数f，它满足：(1) 存在常数c≥0，使得f所有输出的距离都不超过c个数量级；(2) f在定义域中有界；(3) f有叉和一致的微分；(4) f是连续的。
2、不动点定理：设K是一个Banach空间，f为K上的非扩张映射，x*是K上的一个点，若当x既不到x*身上，也不超过x*身上时，都有f(x)=x，则称x*为f在K上的不动点。
若K上存在不动点，则此不动点为f在K上的全局不动点，而K上的任意其他点都不会是K上不动点。
3、不动点定理的证明：设K为一个Banach空间，f为K上的一个非扩张映射。
首先，假设K上存在不动点x*，由于f是非扩张映射，所以f(x)与x的距离不超过c个数量级，其中c是f的一个常数。
假设存在K上的点x，使得它在x*身上或者超过x*身上，则由前面式知，此时f(x)的距离至少与x*的距离是c个数量级的，也就是说，此时f(x)和x*不可能再相等，即x*不可能是K上的不动点。
所以，如果K上存在不动点x*，那么x*即是K上的全局不动点。
4、不动点定理的应用：不动点定理是拓扑学中一个非常重要的定理，在数学、物理和工程等各个领域都有其重要应用领域。
例如，在物理学中，由于粒子或者其他物体系统的自发运动可能会进入到稳定的不动点，而这时候用不动点定理去研究物体的运动可以模拟物理场景的运动规律，从而达到事半功倍的效果；在工程学中，控制理论中也有不动点定理的应用，用于模拟各种系统的稳态行为；在经济学中，由于经济系统也可能像物理和工程系统一样进入到稳定的不动点，因此可以用不动点模型去分析经济行为的可能性和规律性，从而便于经济的决策制定。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
Banach空间中非线性算子不动点的收敛性定理非线性算子理论和不动点理论是非线性泛函分析的重要组成部分,尤其是非线性算子方程解的迭代逼近问题已成为非线性泛函分析领域近年来研究的活跃话题.本文对渐近拟-φ-非扩张映射,非扩张半群和严格伪压缩映射的不动点问题进行了深入研究,建立了更有效的迭代过程来逼近相关映射的不动点,所得的结果改进和推广了许多作者的结果.全文主要分为五个章节：第一章为绪论,介绍了研究的背景以及本文的主要工作.第二章在Banach空间介绍了关于逼近一族渐近拟-φ-非扩张映射的不动点和平衡问题的解的公共元的迭代算法.第三章在自反的,严格凸的且一致光滑的Banach空间中讨论了关于非扩张半群的隐式迭代算法和显式迭代算法的收敛性问题.第四章在q-一致光滑的Banach空间中讨论了严格伪压缩映射的公共不动点的迭代算法问题.第五章对本文进行了总结.。