1齐次平衡法求解非线性方程-李士岗
非线性方程的求解方法
非线性方程的求解方法一、引言在数学领域中，非线性方程是指未知量与其对自身的各次幂、指数以及任意函数相乘或相加得到的方程。
求解非线性方程是数学中一个重要而又具有挑战性的问题。
本文将介绍几种常见的非线性方程求解方法。
二、牛顿迭代法牛顿迭代法是一种经典的非线性方程求解方法，它利用方程的切线逼近根的位置。
设f(x)为非线性方程，在初始点x0附近取切线方程y=f'(x0)(x-x0)+f(x0)，令切线方程的值为0，则可得到切线方程的解为x1=x0-f(x0)/f'(x0)。
重复这个过程直到满足精确度要求或迭代次数达到指定次数。
三、二分法二分法是一种简单而又直观的非线性方程求解方法。
它利用了连续函数的中间值定理，即若f(a)和f(b)异号，则方程f(x)=0在[a, b]之间必有根。
根据中值定理，我们可以取中点c=(a+b)/2，然后比较f(a)和f(c)的符号，若同号，则根必然在右半区间，否则在左半区间。
重复这个过程直到满足精确度要求或迭代次数达到指定次数。
四、割线法割线法是一种基于切线逼近的非线性方程求解方法，它与牛顿迭代法相似。
由于牛顿迭代法需要求解导数，而割线法不需要。
设f(x)为非线性方程，在两个初始点x0和x1附近取一条直线，该直线通过点(x0,f(x0))和(x1, f(x1))，它的方程为y=f(x0)+(f(x1)-f(x0))/(x1-x0)*(x-x0)，令直线方程的值为0，则可得到直线方程的解为x2 = x1 - (f(x1)*(x1-x0))/(f(x1)-f(x0))重复这个过程直到满足精确度要求或迭代次数达到指定次数。
五、试位法试位法是一种迭代逼近的非线性方程求解方法。
它利用了函数值的变化率来逼近根的位置。
设f(x)为非线性方程，选取两个初始点x0和x1，然后计算f(x0)和f(x1)的乘积，如果结果为正，则根位于另一侧，否则根位于另一侧。
然后再选取一个新的点作为下一个迭代点，直到满足精确度要求或迭代次数达到指定次数。
数理方程 齐次边界条件下非齐次方程定解问题求解
常数变易得非齐次特解为：
y u( x) y1 ( x) v( x) y2 ( x)
将其两端求导数得：
vy2 vy2 y uy1 uy1
令： 得：
uy1 vy2 0
vy2 y uy1
将其代入原方程并注意到y1与y2是齐次解得：
14
1 0.5 n 0 0.5 1 2 1.5 t 1 0.5 0 0 0.2 0.4 x 0.6 0.8 1
分析：定解问题可以看成两端固定弦的强迫振动 问题。振动是由强迫力与初始扰动引起的合成振 动，于是，可设问题的解为：
u( x, t ) V ( x, t ) W ( x, t )
3
1 0.5 n 0 0.5 1 2 1.5 t 1 0.5 0 0 0.2 0.4 x 0.6 0.8 1
其中，V(x,t)表示初始状态引起的弦振动位移，而W(x,t) 表示强迫振动引起的弦振动位移。
固有函数为：Xn(x) 2、令一般解为：
W ( x, t ) Tn (t ) X n ( x)
17
1 0.5 n 0 0.5 1 2 1.5 t 1 0.5 0 0 0.2 0.4 x 0.6 0.8 1
3、将一般解代入泛定方程和初始条件，并把自 由项和初始函数按固有函数系展开后通过比较系 数得到Tn(t)的微分方程；
**
4
1 0.5 n 0 0.5 1 2 1.5 t 1 0.5 0 0 0.2 0.4 x 0.6 0.8 1
齐次化原理回顾
齐次化原理1(推广)
2 t 2 L , (0 x l , t ) x 0 0, x l 0 t 0, t f , x t
齐次平衡原则及其应用
齐次平衡原则及其应用
王明亮;李志斌
【期刊名称】《兰州大学学报（自然科学版）》
【年(卷),期】1999(000)003
【摘要】叙述齐次平衡原则及其在非线性数学物理中的应用：根据该原则可导出一大类非线性ＰＤＥ的非线性变换，并借之得到方程的精确解；利用计算机的符号计算系数获得许多非线性ＰＤＥ的弧立皮解；对一些非线性方程的边值－初值问题也可得到其精确解的表达式。
【总页数】1页(P8)
【作者】王明亮;李志斌
【作者单位】兰州大学数学系;计算机科学系
【正文语种】中文
【中图分类】O175.29
【相关文献】
1.激发应用兴趣,增强应用意识,培养应用能力——中职物理教学应用能力培养的实践与思考 [J], 邱永华
2.简化齐次平衡原则与新 Hamiltonian振幅方程的孤波解 [J], 李向正;郝祥晖
3.简化齐次平衡原则与Chen-Lee-Liu方程的精确解 [J], 郝祥晖;李向正
4.简化齐次平衡原则与Gerdjikov-Ivanov方程的精确解 [J], 李向正;郝祥晖
5.齐次平衡原则与BTs [J], 王明亮;白雪
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简化齐次平衡原则与Chen-Lee-Liu方程的精确解
１
，
日＞ ０ 。
（ ２ ｏ ）
郝 祥 晖 ， 李 向正
（ １ ． 济源职业技术学院 基础部 ， 河南 济源 ４ ５ ９ ０ ０ ０ ； ２ ． 河 南科技大学 数学－ ９统计学院， 河南 洛 阳４ ７ １ ０ ２ ３ ）
摘
要 ：简化 了齐 次平衡 原 则 ， 并 用此 方 法 求解 了 Ｃ ｈ ｅ ｎ—Ｌ ｅ ｅ—Ｌ ｉ ｕ方 程 ， 得 到 了该 方 程 的钟 状 孤
） ＝ 一 ÷ 。 （
将（ ５ ） 式代 入 （ ３ ） 式 得
（ ５ ）
深入 研究 ， 显然 具有重 要 意义 。然而 ， 齐次平 衡方 法是 可 以简化 的 。本 文将对 齐次 平衡原 则进 行简
将（ ５ ） 式代入 （ ４ ） 式， 司使 （ ４） 式 自动成 立 。
化以及变形 ， 并以Ｃ ｈ ｅ ｎ — Ｌ ｅ ｅ — Ｌ ｉ ｕ 方程
鲤
项 的系数 为零 ， 解 关 于 Ａ， Ｂ， 和 ∞ 的万程组 得
Ａ＝ ， １
一
［ ３ ４ 一 ８ Ａ ３ ｎ ｖ ＋ ４ Ａ ｔ ， ＋ １ ６ Ａ ∞ ＋
（一８ Ａ 。 ＋８ Ａ 曰 ＋３ ２ Ａ Ｂ ｏ） ｔ ｆ＋（ ４ Ａ ２ ＋１ ６ Ａ ｏ） ｔ
其 中 Ａ， Ｂ是 待定 常数 。
基金项 目： 国家 自然科学基金项 目（ １ ０ ８ ７ １ １ ２ ９ ） 作者简介 ： 郝祥 晖（ １ ９ ７ １ 一） ， 女， 河南济源人 ， 济源职业技术学院基础部副教授 ， 研究方 向为非线性数学物理方程。
４
郝祥晖， 李向正： 简化齐次平衡原则与 Ｃ ｈ ｅ ｎ — Ｌ ｅ ｅ — Ｌ ｉ ｕ 猩 将（ ９ ） 式 代入 方程 （ ８ ） ， 得
齐次平衡法与burgers-huxley方程的精确解
齐次平衡法与 burgers-huxley 方程的精确解齐次平衡法（Homotopy Perturbation Method，简称HPM）是一种用于求解非线性微分方程的近似解析方法。
它通过引入一个人工参数h，将原方程转化为一个线性的辅助方程，然后通过迭代的方式逐步逼近原方程的精确解。
下面我们将使用齐次平衡法来求解Burgers-Huxley 方程的精确解。
Burgers-Huxley 方程是一种耦合的非线性偏微分方程，描述了神经传导速度和离子通道的动力学。
它可以写成如下形式：∂u/∂t - ∂²u/∂x² = ν∂²u/∂x² + μu - u² - φ(u) = 0其中，u 是未知函数，t 和x 分别表示时间和空间变量，ν和μ是常数，φ(u)是非线性函数。
为了使用齐次平衡法求解这个方程，我们引入一个人工参数h，并构造如下形式的辅助方程：L(u) = ∂u/∂t - ∂²u/∂x² - h(ν∂²u/∂x² + μu - u² - φ(u)) = 0当h=0 时，辅助方程变为线性方程，易求得其精确解。
然后，我们通过迭代的方式逐渐增加h 的值，逼近原方程的解。
假设u 的近似解可以表示为级数形式：u(x,t) = ∑[n=0,∞] (h^n u_n(x,t))将近似解代入辅助方程，对h 的各阶项进行收集，并使得对应项系数为零，即可求得每一阶的解。
首先，我们将近似解代入辅助方程，得到：L(u)= ∂(∑[n=0,∞] (h^n u_n))/∂t- ∂²(∑[n=0,∞] (h^n u_n))/∂x²- h(ν∂²(∑[n=0,∞] (h^n u_n))/∂x² + μ(∑[n=0,∞] (h^n u_n)) - (∑[n=0,∞] (h^n u_n))^2 - φ(∑[n=0,∞] (h^n u_n))) = 0接下来，我们对方程进行整理，并将各阶项系数置零。
齐次平衡法、
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范恩贵
（复旦大学数学研究所， 上海 ! ） " " # $ $ （ 年 月 日收到） % & & & % ! % %
扩充齐次平衡法的应用范围， 用于寻找非线性数学物理方程的 ’ 其结果分别等同于 ( ) * + , .变换和相似约化， （/4 ）法及 9 （9 并从理论上进一步说明三种方法之间的密切联 / 0 1 2 2 3 4 5 6 7 8 3 9 5 8 0 : 5 + 0 9 + 5 8 * 2 7 3 ; 8 , 2 * 5 + ;）法结果， 系<
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因此 - 可展开为" 的级数形式
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非线性方程的求解和分析
非线性方程的求解和分析近年来，随着科技的飞速发展，各个领域中越来越多的问题需要用到求解非线性方程的方法。
这些非线性方程指的是方程中包含有一个或多个未知数的嵌套函数的方程。
解非线性方程是现代数学、物理和工程等领域中获得解析解的一个重要问题。
本文将讨论非线性方程的求解和分析方法。
一、牛顿迭代法牛顿迭代法是一种求解非线性方程的基本方法。
它的原理是利用函数的导数逼近函数的根。
其算法如下:(1) 选一个初始值 $x_0$(2) 迭代公式: $x_{n+1} = x_n-\dfrac{f(x_n)}{f'(x_n)}$其中，$f(x)$ 为非线性方程， $f'(x)$ 表示 $f(x)$ 在 $x$ 处的导数。
(3) 若 $|f(x_{n+1})|<\epsilon$（$\epsilon$ 为给定的精度），则停止计算，$x_{n+1}$ 为 $f(x)=0$ 的一个近似解。
否则，令$n=n+1$，返回第（2）步进行迭代。
值得注意的是，在实际计算中，可能存在导数 $f'(x_n)$ 为零，或者非线性函数的导数求解过于复杂的情况。
对于这些问题，可以使用牛顿迭代法的改进方法来解决。
二、牛顿-拉夫逊法牛顿-拉夫逊法是一种解决在牛顿迭代法中遇到的问题的改良方法之一。
它通过在公式中引入一个阻尼系数 $\lambda$ 来避免除以零和产生振荡。
公式如下：$x_{n+1}=x_n-\dfrac{f(x_n)}{f'(x_n)+\lambda f''(x_n)}$其中，$f''(x)$ 表示 $f(x)$ 的二阶导数。
通过引入阻尼系数，可以避免迭代过程中 $f'(x)$ 零点附近的振荡，并且当 $f'(x)$ 接近零时，阻尼系数会变得更大，以减小振荡的影响。
三、拟牛顿法拟牛顿法（Quasi-Newton Method）是一种利用 Broyden-Fletcher-Goldfarb-Shanno（BFGS）公式来近似牛顿法中的 Hessian 矩阵的方法。
非线性方程的求解方法
非线性方程的求解方法非线性方程是数学中的基本概念，对于许多科学领域而言，非线性方程的求解具有重要的意义。
然而，与线性方程相比，非线性方程的求解方法较为复杂，因此需要掌握一些有效的解法。
本文将介绍几种非线性方程的求解方法。
一、牛顿迭代法牛顿迭代法也叫牛顿-拉夫逊迭代法，是一种求解非线性方程的有效方法。
该方法的基本思路是，选择一个初始值，通过迭代计算不断逼近非线性方程的根。
牛顿迭代法的公式为：$$x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$$其中，$f(x)$表示非线性方程，$f'(x)$表示$ f(x) $的一阶导数。
牛顿迭代法的优点在于速度快，迭代次数少，但其局限性在于收敛性受初始点选取的影响较大。
二、割线法割线法（Secant method）也是一种求解非线性方程的有效方法。
与牛顿迭代法不同，割线法使用的是两个初始值，并根据两点间的连线与$ x $轴的交点来作为新的近似根。
割线法的公式为：$$x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)(x_n-x_{n-1})}{f(x_n)-f(x_{n-1})}$$割线法的优势是不需要求解导数，但其缺点在于需要两次迭代才能得到下一个近似根，因此计算量较大。
三、二分法二分法（Bisection method）是求解非线性方程的另一种有效方法。
该方法的基本思路是找到非线性方程的一个区间，使函数值在该区间内的符号相反，然后通过逐步缩小区间，在区间内不断逼近非线性方程的根。
二分法的公式为：$$x_{n+1}=\frac{x_n+x_{n-1}}{2}$$其中，$x_n$和$x_{n-1}$是区间的端点。
二分法的优点在于收敛性稳定，但其缺点在于迭代次数较多，因此计算量也较大。
四、弦截法弦截法（Regula Falsi method）也是一种求解非线性方程的有效方法。
它和二分法类似，都是通过缩小根所在的区间来逼近根。
不同之处在于，弦截法不是以区间中点为迭代点，而是以区间两个端点之间的连线与$ x $轴的交点为迭代点。
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齐次平衡法求解非线性方程李士岗（包头师范学院数学科学学院）摘 要：本文概述了齐次平衡原则的基本思想和步骤，并应用于非线性数学物理方程的求解。
这是一种解题方法的创新及应用，以KdV 方程为例，验证齐次平衡原则并借之获得KdV 方程的周期解，并且还可获得孤子解和其它形式的解。
关键词：齐次平衡原则；非线性变换；非线性偏微分方程；KdV 方程；周期解。
一、引言40多年来，非线性数学物理方程研究领域颇具特色成就之一是发现并构造了非线性偏微分方程精确解(特别是孤立波解)的各种精巧方法。
如反散射方法、双线性算子方法、cklund aB 变换(BT)等。
近年来提出并发展起来的齐次平衡方法[1-4]，实际上是求非线性偏微分方程精确解的一种指导原则，可事先判定某类非线性偏微分方程是否有一定形式的精确解存在，如果回答是肯定的，则可按一定步骤求出它来。
因而齐次平衡原则具有直接、简洁、步骤分明的特点；再者，还适用于用计算机符号计算系统进行计算，且得到的是精确的结果。
本文基本内容安排如下：概述齐次平衡原则的主要思想与步骤；简述用齐次平衡原则导出非线性偏微分方程的非线性变换及精确解。
二、齐次平衡原则[9]我们概述一下齐次平衡原则的基本思想和步骤，为简单起见，仅以一个未知函数，两个自变量的情形为例来阐明，对若干个未知函数及多个自变量的方程组的情形，可类似地表述。
给定一个非线性偏微分方程0),,,,,,(= tt xt xx t x u u u u u u P （1）这里P 一般是关于u 对x ，t 的偏导数或混合导数的高阶导数表达式。
一个函数),(t x ϕϕ=称为是方程（1）的拟解，如果存在单变元的函数)(ϕf f =，使)(ϕf 关于x 和t 的一些偏导数的适当的线性组合，即+∂∂∂=+nm n m t x )(f )t ,x (u ϕ （2）关于x 和t 的低于m+n 阶偏导数的适当的线性组合，或者将（2）改写为：+=+n t m x )n m ()(f )t ,x (u ϕϕϕ （3）的各种偏导数为变元的低于m+n 次的一个多项式（不管)(ϕf 及其导数）， 精确地满足（1）、（2）及（3）中的非负整数m,n,单变元函数)(ϕf f =以及函数),(t x ϕϕ=都是特定的，将（3）代入（1）后，可通过下述步骤确定它们。
首先，使最高阶偏导数项中包含的),(t x ϕ的偏导数的最高幂次和非线性项中包含的关于),(t x ϕ的偏导数的最高幂次相等，来决定非负整数m 及n 是否存在（若发生m 及n 中有负数或分数的情形，可通过未知函数的变换，将原方程化为新未知函数方程，使相应的m ，n 为非负的，其针对不同方程有不同的变换）。
其次，集合),(t x ϕ的偏导数的最高幂次的全部项，使其系数为零，而得)(ϕf 满足的常微分方程，解之可得)(ϕf f =，一般是对数函数。
第三，将)(ϕf 的各阶导数的非线性项，用)(ϕf 的较高阶的导数来代替，再将)(ϕf 的各阶导数项分别合并在一起，并令其系数为零，而得),(t x ϕϕ=的各次齐次型的一般是过定的偏微分方程组，可适当选择（2）中线性组合之系数，使过定的偏微分方程组有解。
最后，若前三步的解答使肯定的，将这些结果代入（3），经过一些计算就可得到（1）的精确解。
对许多非线性数学物理方程（组），上述步骤的解答使肯定的，故齐次平衡原则有一定的普适性。
此外，也可用其它方式叙述齐次平衡原则，其叙述方式依赖于对方程（1）的解的相应的先验假设形式，这里不再赘述。
三、非线性变换与周期解[9]用齐次平衡原则可导出相当广泛的一大类非线性偏微分方程的非线性变换，借助这种变换，可得非线性偏微分方程的各种形式的精确解。
这方面的主要结果可在[1-9]中找到。
这类方程包括著名的Burgers 方程(含高阶情形，多维情形以及方程组的情形)，KdV 方程[7]（含mKdV ，高阶KdV ，多维情形以及耦合KdV 方程组的情形），Benjamin-Bona-Mahony 方程,Kuramoto-Sivashinsky 方程,粒子物理的4ϕ方程，Chaffea-Infante 反应扩散方程,Fisher 方程（含各种广义Fisher 方程）,水波的Boussinesq 方程组及其各种变形等，至少有及十种之多[5-6]。
现以KdV 方程为例，验证齐次平衡原则并借之获得KdV 方程的各种精确解，以便于对齐次平衡原则的具体应用有个清楚的了解。
例1：对KdV 方程[9]：06=++xxx x t u uu u （4）为使非线性项x uu 6与最高次导数项xxx u 部分平衡，设+=+∂∂∂=++n t m x n m n m n m w w f t x w f t x u )()(),(由此容易算出：+=+++n t m x n m x w w f u 1)1(+=+++n t m x n m xxx w w f u 3)3(+=++++n t m x n m n m x w w ff uu 212)1()( 在上式中要求：m+3=2m+1,n=2n ⇒m=2,n=0,于是（4）具有如下形式的解：xx x w f w f u '+''=2 （5）其中)(w f f =,),(t x w w =为待定函数。
xxt t xx xt x t x t w f w w f w w f w w f u '+''+''+'''=22xxx xx x x x w f w w f w f u '+''+'''=33xxxx xxx x xx xx x x xx w f w w f w f w w f w f u '+''+''+'''+=436224)4(xxxxx xxxx x xxx xx xx x xxx x xx x x xxx w f w w f w w f w w f w w f w w f w f u '+''+''+'''+'''++=510151010223)4(5)5( xxx xx xx x xx x xxx x xx x x x w w f f w w f f w w f f w w f f w w f f w f f uu ''+'''+''''+'''+''''+'''''=2323533 将（5）及上述等式代入（4），可得：xx x x xxx x t w w f f f f w f f f u uu u 2)4(25)5()10618()6(6+''''+''++'''''=++)1015186(22222xxx x xx x xx x xxx x t x w w f w w f w w f f w w f f w w f '''+'''+'''+'''+'''+)51062(2xxxx x xxx xx xxx xx t xx xt x w w f w w f w w f w w f w w f ''+''+'+''+''+0)(='++f w w xxxxx xxt （6）令 06)5(=+'''''f f f （7）可设： w c f ln = ∴w cf 1='，21w c f -=''，312w c f ='''，4)4(16w c f -=，5)5(124wc f = ∴012412)1(6532=+⋅-⋅wc w c w c 即：552124112w c w c =⇒c=2 ∴w f ln 2= （8） 进而可得如下关系： )4(231f f -=''，)4(32f f f -=''''，f f f '''-='''，f f ''-='2 （9） 利用（7）和（9），（6）可简化为：f )w w 3w w 4w w (u uu 6u 2xx x xxx 2x t 2x xxx x t '''-+=++0)()522(='++''+-++f w w f w w w w w w w w xxxxx xxt xxxx x xxx xx t xx xt x令f f f '''''',,的系数为零，欲使这些条件成立，只须),(t x w 满足0342=-+xx xxx x t x w w w w w （10）0=+xxxxx xxt w w （11）由于齐次方程具有余弦形式的解，依齐次平衡法，可假设（10）、（11）具有如下形式解：)cos(1),(rt kx t x w ++= （12）其中k ，r 为待定常数。
)sin(rt kx k w x +-=， )cos(2rt kx k w xx +-=，)sin(2rt kx r k w xxt +=，)sin(3rt kx k w xxx +=，)cos(4rt kx k w xxxx +=，)sin(5rt kx k w xxxxx +-=代入（10）、（11）可得：∴0=k 或3k r =或πp rt kx =+ )(Z p ∈①当0=k 时，rt t x w cos 1),(+= ∴02)2()(22=-='=''=w w w w w w w f u xxx x x x x②当3k r =时，)cos(1),(3t k kx t x w ++=∴)cos(122)2()(3222t k kx k w w w w w w w f u x xx x x x x ++-=-='=''=，)(R k ∈ ③当πp rt kx =+ )(Z p ∈时，1),(=t x w∴0=u例2：对KdV 方程[8]：0=-+xxx x t u uu u β（13） 为使非线性项x uu 与最高次导数项xxx u β部分平衡，设+=+∂∂∂=++n t m x n m n m n m w w f t x w f t x u )()(),(由此容易算出：+=+++nt m x n m x w w f u 1)1(+=+++nt m x n m xxx w w f u 3)3(+=++++nt m x n m n m x w w f f uu 212)1()(在上式中要求m+3=2m+1,n=2n ⇒m=2,n=0,于是（13）具有如下形式的解：xx x w f w f u '+''=2（14）其中)(w f f =,),(t x w w =为待定函数。