函数奇偶性练习题(内含答案)
函数奇偶性练习（内含答案）
一、选择题
1．已知函数f （x ）＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）是偶函数，那么g （x ）＝ax 3＋bx 2＋cx （ ）
A ．奇函数
B ．偶函数
C ．既奇又偶函数
D ．非奇非偶函数
2．已知函数f （x ）＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 是偶函数，且其定义域为［a －1，2a ］，则（ ）
A ．3
1=a ，b ＝0 B ．a ＝－1，b ＝0 C ．a ＝1，b ＝0 D ．a ＝3，b ＝0 3．已知f （x ）是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f （x ）＝x 2－2x ，则f （x ）在R 上的表达式是（ ）
A ．y ＝x （x －2）
B ．y ＝x （｜x ｜－1）
C ．y ＝｜x ｜（x －2）
D ．y ＝x （｜x ｜－2）
4．已知f （x ）＝x 5＋ax 3＋bx －8，且f （－2）＝10，那么f （2）等于（ ）
A ．－26
B ．－18
C ．－10
D ．10
5．函数1111)(22+++-++=x x x x x f 是（ ）
A ．偶函数
B ．奇函数
C ．非奇非偶函数
D ．既是奇函数又是偶函数
6．若)(x ?，g （x ）都是奇函数，2)()(++=x bg a x f ?在（0，＋∞）上有最大值5，
则f （x ）在（－∞，0）上有（ ）
A ．最小值－5
B ．最大值－5
C ．最小值－1
D ．最大值－3
二、填空题
7．函数212
2)(x
x x f ---=的奇偶性为________（填奇函数或偶函数） ． 8．若y ＝（m －1）x 2＋2mx ＋3是偶函数，则m ＝_________．
9．已知f （x ）是偶函数，g （x ）是奇函数，若11
)()(-=+x x g x f ，则f （x ）的解析式为_______．
10．已知函数f （x ）为偶函数，且其图象与x 轴有四个交点，则方程f （x ）＝0的所有实根之和为________．
三、解答题
11．设定义在［－2，2］上的偶函数f （x ）在区间［0，2］上单调递减，若f （1－m ）＜f （m ），求实数m 的取值范围．
12．已知函数f（x）满足f（x＋y）＋f（x－y）＝2f（x）·f（y）（x∈R，y∈R），且f（0）≠0，
试证f（x）是偶函数．
13.已知函数f（x）是奇函数，且当x＞0时，f（x）＝x3＋2x2—1，求f（x）在R上的表达式．
14.f（x）是定义在（－∞，－5］ ［5，＋∞）上的奇函数，且f（x）在［5，＋∞）上单调递减，试判断f（x）在（－∞，－5］上的单调性，并用定义给予证明．
15.设函数y＝f（x）（x∈R且x≠0）对任意非零实数x1、x2满足f（x1·x2）＝f（x1）＋f（x2），
求证f（x）是偶函数．
函数的奇偶性练习参考答案
1． 解析：f （x ）＝ax 2
＋bx ＋c 为偶函数，x x =)(?为奇函数， ∴g （x ）＝ax 3＋bx 2
＋cx ＝f （x ）·)(x ?满足奇函数的条件． 答案：A 2．解析：由f （x ）＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 为偶函数，得b ＝0．
又定义域为［a －1，2a ］，∴a －1＝2a ，∴31=
a ．故选A ． 3．解析：由x ≥0时，f （x ）＝x 2－2x ，f （x ）为奇函数，
∴当x ＜0时，f （x ）＝－f （－x ）＝－（x 2＋2x ）＝－x 2
－2x ＝x （－x －2）． ∴,,)0()0()
2()2()(<≥---=???x x x x x x x f 即f （x ）＝x （|x |－2） 答案：D
4．解析：f （x ）＋8＝x 5＋ax 3＋bx 为奇函数，
f （－2）＋8＝18，∴f （2）＋8＝－18，∴f （2）＝－26． 答案：A
5．解析：此题直接证明较烦，可用等价形式f （－x ）＋f （x ）＝0． 答案：B
6．解析：)(x ?、g （x ）为奇函数，∴)()(2)(x bg x a x f +=-?为奇函数．
又f （x ）在（0，＋∞）上有最大值5， ∴f （x ）－2有最大值3．
∴f （x ）－2在（－∞，0）上有最小值－3， ∴f （x ）在（－∞，0）上有最小值－1． 答案：C
7．答案：奇函数
8．答案：0解析：因为函数y ＝（m －1）x 2＋2mx ＋3为偶函数，
∴f （－x ）＝f （x ），即（m －1）（－x ）2＋2m （－x ）＋3＝（m —1）x 2＋2mx ＋3，整理，得m ＝0．
9．解析：由f （x ）是偶函数，g （x ）是奇函数，
可得11)()(--=-x x g x f ，联立11)()(-=+x x g x f ，∴1
1)1111(21)(2-=----=x x x x f ． 答案：11
)(2-=x x f 10．答案：0 11．答案：2
1 13．解析：本题主要是培养学生理解概念的能力． f （x ）＝x 3＋2x 2 －1．因f （x ）为奇函数，∴f （0）＝0． 当x ＜0时，－x ＞0，f （－x ）＝（－x ）3＋2（－x ）2－1＝－x 3＋2x 2－1， ∴f （x ）＝x 3－2x 2 ＋1． 因此，. )0()0()0(120 12)(,,2323 <=>+--+=?????x x x x x x x x f 点评：本题主要考查学生对奇函数概念的理解及应用能力． 14．解析：任取x 1＜x 2≤－5，则－x 1＞－x 2≥－5． 因f （x ）在［5，＋∞］上单调递减，所以f （－x 1）＜f （－x 2）?f （x 1）＜－f （x 2）?f （x 1）＞f （x 2），即单调减函数． 点评：此题要注意灵活运用函数奇偶性和单调性，并及时转化． 15．解析：由x 1，x 2∈R 且不为0的任意性，令x 1＝x 2＝1代入可证， f （1）＝2f （1），∴f （1）＝0． 又令x 1＝x 2＝－1， ∴f ［－1×（－1）］＝2f （1）＝0， ∴（－1）＝0．又令x 1＝－1，x 2＝x ， ∴f （－x ）＝f （－1）＋f （x ）＝0＋f （x ）＝f （x ），即f （x ）为偶函数． 点评：抽象函数要注意变量的赋值，特别要注意一些特殊值，如，x 1＝x 2＝1，x 1＝x 2＝－1或x 1＝x 2＝0等，然后再结合具体题目要求构造出适合结论特征的式子即可．