精选《指数函数和对数函数》单元测试模拟考试题(含答案)

2019年高中数学单元测试试题 指数函数和对数函数

（含答案）

学校：__________

第I 卷（选择题）

请点击修改第I 卷的文字说明 一、选择题

1．若点(),a b 在lg y x =图象上，1a ≠，则下列点也在此图象上的是（ ）

（A ）1,b a ??

???

（B ）()10,1a b - （C ）10,1b a ??

+ ??? （D ）)2,(2b a （2011安徽文5）

2．已知函数kx y x y ==与4

1log 的图象有公共点A ，且点A 的横坐标为2，则k （ ） A ．4

1-

B ．

4

1 C ．2

1-

D ．

2

1

（2004全国4文7）

3．若函数)1,0( )(log )(3

≠>-=a a ax x x f a 在区间)0,2

1

(-

内单调递增，则a 的取值范围是( ) A ．)1,4

1[ B ． )1,4

3[

C ．),49(+∞

D ．)4

9,1(（2005天津

理）

4．2

log 的值为【 D 】

A ． C ．12- D ． 1

2

（2009湖南卷文）

5．函数f （x ）与x

x g )2

1()(=的图像关于直线y x =对称，则2

(4)f x x -的单调递增区间

为---------（ ）

A ．（-∞，2）

B ．（0，2）

C ．（2，4）

D ．（2，＋∞）

6．对一切实数x ，若二次函数2

()()f x ax bx c a b =++<的值恒为非负数，则

a b c

M b a

++=

-的最小值是 （ ）

(A) 3 (B)2 (C)

12 (D)13

7．定义在R 上的函数)(x f 既是奇函数，又是周期函数，T 是它的一个正周期.若将方程

0)(=x f 在闭区间][T T ,-上的根的个数记为n ，则n 可能为

A ．0

B ．1

C ．3

D ．5（07安徽）

D ．

8．设［x ］表示不超过x 的最大整数（如［2］=2, ［

54

］=1）,对于给定的n ∈N *

,定义[][](1)(1)

,(1)

(1)x n n n n x C x x x x --+=

--+x ∈[)1,+∞,则当x ∈3,32??

????

时，函数x n C 的值域是( D )

A ．16,283??

?

???

B ．16,563??

??

??

C ．284,

3?

?? ???[)28,56 D ．16284,,2833????

? ??????

第II 卷（非选择题）

请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题

9． 方程223x x -+=的实数解的个数为 .

10．关于x 的不等式kx x x x ≥-++392

2

在]5,1[上恒成立，则实数a 的范围为 ． 11．函数2lg(421)y x x =--的定义域是 ★ . (,3)-∞-∪(7,)+∞ 12．在边长为2的正方形ABCD 的边上有动点M ，从点B 开始，沿折线BCDA 向A 点运动.设M 点运动的距离为x ，ABM ?的面积为S . ⑴求函数S 的解析式、定义域和值域； ⑵求[(3)]f f 的值.

13. ⑴,02,2,24,6,46,x x S x x x ≤≤??

=<≤??-<≤?

定义域为[0,6]，值域是[0,2]；⑵2

13．5lg 20lg )2(lg 2

?+= 14．方程lg lg(3)1x x ++=的解x = .

15．若01,1a b <<<-,则函数()x

f x a b =+的图象不经过第 象限. 16．若函数)1,0)((lo

g ≠>+=a a b x y a 的图象过两点)0,1(-和)1,0(，则a =_____，

b =_____.

17．某摩托车生产企业，上年度生产摩托车的投入成本为1万元/辆，出厂价为1.2万元/辆，销售量为1000辆.本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适度增加投入成本，若每辆车投入成本增加的比例为x (0

(2)为使本年度利润比上年有所增加，问投入成本增加的比例x 应在什么范围内?

18．给出函数1() (4)

()2(1) (4)

x

x f x f x x ??=??+

19．函数)()(32

Z m x x f m

m

∈=-是幂函数，当0>x 时)(x f 是减函数，则m 的值是 ______.

20．计算：()2

151515log 5log 45log 3?+

21．函数x y cos 2

1

-=的定义域为____________.

22．函数()y f x =的图象与函数3log (0)

y x x =>的图象关于直线y x =对称，则()f x =__________。（07全国Ⅰ）

)(3R x x ∈

23．函数1)3(l o g -+=x y a )1,0(≠>a a 且的图象恒过定点A ，若点A 在直线

02=++ny mx 上，其中0>mn ，则

n

m 2

1+的最小值为 ．

24． 函数-1

()=-2x f x a

恒过定点 ▲ 。

25．方程24log (1)log (3)x x -=-的解集为

26．已知幂函数的图象过点(3,3)，则幂函数的表达式是()f x = ．

27．如果函数f (x )＝x 2＋bx ＋c 对任意实数t 都有f (2＋t )＝f (2－t )，那么f (2)，f (1)，f (4)的大小关系是________．

解析：转化为在同一个单调区间上比较大小问题． 由f (2＋t )＝f (2－t )知f (x )的对称轴为x ＝2. ∴f (x )在[2，＋∞)上为单调增函数． f (1)＝f (2×2－1)＝f (3) ∵f (2)

28．设集合{}012A =，，，{}0,2,4B =，则A

B = ．

29．幂函数)(x f 的图象过点()2,4，那么)16(f =_ __

30．已知幂函数)(3

22

Z m x y m m ∈=--的图像与x 轴、y 轴都无公共点，且关于y 轴对

称，则=m

31．方程x x 24lg -=的根(),1x k k ∈+，k Z ∈，则k = ▲ ．

32．幂函数2

221

()(1)m m f x m m x --=--在区间(0,)+∞上是增函数，则实数m 的取值集合

为

33．已知函数21

21

x x y -=+，则其值域为

34．方程lg(2)1x x +=有 ▲ 个不同的实数根．

35． 已知函数??

?>≤+=0

,10

,2)(x nx x kx x f ()k R ∈，若函数()y f x k =+有三个零点，则实数

k 的取值范围是 ▲

36．定义域为

R

的函数()1

,1

11,1x x f x x ?≠?-=??=?

，若关于x 的函数

()(

)()2

1

2h x f x

b

f x =

++

有5个不同的零点12345,,,,x x x x x ，则22222

12345x x x x x ++++等于 15.

37．已知0.2log 0.3a =, 1.2log 0.8b =, 0.5

1.5c =, 则将,,a b c 按从小到大的顺序排列为

▲ ；

三、解答题

38．已知函数f (x )是实数集R 上的奇函数，当x ＞0时，f (x )＝log 2x ＋x －3． (1)求f (－1)的值； (2)求函数f (x )的表达式； (3)求证：方程f (x )＝0在区间(0，＋∞)上有唯一解．

39．提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，在一般情况下，大桥上的车流速度v （单位：千米/小时）是车流密度x （单位：辆/千米）的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米,/小时，研究表明：当20200x ≤≤时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数.

(Ⅰ)当0200x ≤≤时，求函数()v x 的表达式；

(Ⅱ)当车流密度x 为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/

小时）()()f x x v x =可以达到最大，并求出最大值.（精确到1辆/小时）(2011年高考湖北卷理科17)（本小题满分12分）

本小题主要考查函数、最值等基础知识，同时考查运用数学知识解决实际问题的能力.

40．某工厂去年新开发的某产品的年产量为100万只，每只产品的销售价为10元，固定成本为8元．今年，工厂第一次投入100万元的科技成本，并计划以后每年比上一年多投入100万元，预计产量每年递增10万只，投入n 次后，每只产品的固定成本为g (n )＝k n ＋1

（k 为常数，n ∈Z 且n ≥0）．若产品销售价 保持不变，第n 次投入后的年纯利润为

f (n )万元（年纯利润＝年收入－年固定成本－年科技成本）． （1）求k 的值，并求出f (n )的表达式；

（2）问从今年起，第几年纯利润最高？最高纯利润为多少万元？

41．如图，湛江市市区有过市中心O 南北走向的解放路，为了解决南徐新城的交通问题，市政府决定修建两条公路，延伸从市中心O 出发北偏西60方向的健康路至B 点；在市中心正南方解放路上选取A 点，在,A B 间修建徐新路。 （1）如果在A 点看市中心O 和点B 视角的正弦值为3

5

，求在点B 处看市中心O 和点A 视角的余弦值；

（2）如果AOB ?

2，A 点距市中心的距离为3km ，求南徐新路的长度；

（3）如果设计要求市中心O 到南徐新路AB 段的距离为4km ，且南徐新路AB 最短，请你确定两点,A B 的位置。

42．如图4,某市拟在长为16km 的道路OP 的一侧修建一条自行车赛道，赛道的前一部分为曲线OSM ，该曲线段为函数sin (00[08])y A x A x ωω=>>∈，，，的图像，且图像的

南 徐

最高点为(6

)S .赛道的后一段为折线段MNP ，为保证参赛队员的安全，限定120MNP ∠=.

(1)求实数A ω和的值以及M 、P 两点之间的距离；

(2)联结MP ，设NPM y MN NP θ∠==+，，试求出用y θ表示的解析式；

(3)应如何设计，才能使折线段MNP 最长？(本题满分16分)本题共有3个小题，第1小题满分5分，第2小题满分6分，第3小题满分5分．

43．如图所示，某学校的教学楼前有一块矩形空地ABCD ，其长为32米，宽为18米，现要在此空地上种植一块矩形草坪，三边留有人行道，人行道宽度为a 米与b 米均不小于2米，且要求“转角处（图中矩形AEFG ）”的面积为8平方米 （1） 试用a 表示草坪的面积()a S ，并指出a 的取值范围

（2） 如何设计人行道的宽度a 、b ，才能使草坪的面积最大？并求出草坪的最大面

积。 （3） 直接写出（不需要给出演算步骤）草坪面积的最小值及此时a 的值

44．计算：

⑴210232

13(2)(9.6)(3)(1.5)48

-----+； （2）2

11log 522lg 5lg 2lg502+++．

45．已知函数22()(2)(2)x x

f x a a -=-++，x ∈[－1，1]．

⑴求()f x 的最小值；

⑵关于x 的方程()f x 2

2a =有解，求实数a 的取值范围．

46．若函数2

34y x x =--的定义域为[]0,m ，值域为25,44??

-

-????

，则m 的取值范围为？

47．已知2

(31)965f x x x +=-+，求()f x

48．已知()f x 是定义在[1,1]-上的奇函数,若,[1,1]a b ∈-且0a b +≠时,有

()()

0f a f b a b

+>+.

(1)证明:()f x 是在[1,1]-上是增函数;(2)解不等式2

(51)(6)f x f x -<

(3)若(1)1f =,且2

()21f x m am ≤-+对所有[1,1],[1,1]x a ∈-∈-恒成立,求实数m 的取值范围.

49．已知2()ln ,()3f x x x g x x ax ==-+-． (1) 求函数()f x 在[,2](0)t t t +>上的最小值；

(2) 对一切(0,)x ∈+∞，2()()f x g x ≥恒成立，求实数a 的取值范围； (3) 证明: 对一切(0,)x ∈+∞，都有12

ln x x e ex

>-成立．

50．即将开工的上海与周边城市的城际列车铁路线将大大缓解交通的压力，加速城市之间的流通。根据测算，如果一列火车每次拖4节车厢，每天能来回16次；如果每次拖7节车厢，则每天能来回10次。每天来回次数是每次拖挂车厢个数的一次函数，每节车厢一次能载客110人，试问每次应拖挂多少节车厢才能使每天营运人数最多？并求出每天最多的营运人数。(注: 营运人数指火车运送的人数) ．(江苏省南京外国语学校2011年3月高三调研)（本小题满分14分）