高中数学竞赛资料数论部分
初等数论简介
绪言：在各种数学竞赛中大量出现数论题，题目的内容几乎涉及到初等数论的所有专题。 1． 请看下面的例子：
（1） 证明：对于同样的整数x 和y ，表达式23y 和95y 能同时被整除。(1894年首届匈牙利 数学竞赛第
一题)
（2） ①设n Z ∈，证明213
1n
-是168的倍数。
②具有什么性质的自然数n ，能使123n ++++能整除123n ???？（1956年上海首届数学竞
赛第一题） （3） 证明：3
231
122
n n n +
+-对于任何正整数n 都是整数，且用3除时余2。
（1956年北京、天津市首届数学竞赛第一题）
（4） 证明：对任何自然数n ，分数214
143
n n ++不可约简。（1956年首届国际数学奥林匹克竞赛第一题）
（5） 令(,,
,)a b g 和[,,
,]a b g 分别表示正整数,,,a b g 的最大公因数和最小公倍数，试证：
[][][][]()()()()
2
2
,,,,,,,,,,a b c a b c a b b c c a a b b c c a =??（1972年美国首届奥林匹克数学竞赛第一题）
这些例子说明历来数论题在命题者心目中首当其冲。 2.再看以下统计数字：
（1）世界上历史最悠久的匈牙利数学竞赛，从1894~1974年的222个试题中，数论题有41题，占18.5%。 （2）世界上规模最大、规格最高的（国际数学奥林匹克竞赛）的前20届120道试题中有数论13题，占10.8% 。
这说明：数论题在命题者心目中总是占有一定的分量。如果将有一定“数论味”的计数型题目统计在内，那么比例还会高很多。
3.请看近年来国内外重大竞赛中出现的数论题：
(1)方程3
2
3
652x x x y y ++=-+的整数解(,)x y 的个数是（ ）
A 、 0
B 、1
C 、3
D 、无穷多
（2007全国初中联赛5）
（2）已知,a b 都是正整数，试问关于x 的方程()2
1
02
x abx a b -++=是否有两个整数解？ 如果有，请把它们求出来；如果没有，请给出证明。
（2007全国初中联赛12）
（3）①是否存在正整数,m n ，使得(2)(1)m m n n +=+？
②设(3)k k ≥是给定的正整数，是否存在正整数,m n ，使得()(1)m m k n n +=+？ （2007全国初中联赛14） （4）关于,x y 的方程2
2
229x xy y ++=的整数解(,)x y 得组数为（ ） A 、2 B 、3 C 、4 D 、无穷多
（2009全国初中联赛5） （5）已知12345,,,,a a a a a 是满足条件123459a a a a a ++++=的五个不同的整数，若b 是
关于x 的方程()()()()12345()2009x a x a x a x a x a -----=的整数根，则b 的值为 （2009全国初中联赛8）
（6）已知正整数a 满足3192191a +，且2009a <，求满足条件的所有可能的正整数a 的和。 （2009全国初中联赛12） （7）n 个正整数12,,
,n a a a 满足如下条件：1212009n a a a =<<<=；且12,,,n a a a 中任意1n -个
不同的数的算术平均数都是正数，求n 的最大值。
（2009全国初中联赛14） (8)在一列数123,,,x x x …中，已知11x =，且当2k ≥时，11214()44k k k k x x ---????
=+--?
???????
（取整符号[]a 表示不超过实数a 的最大整数，例如[][]2.62,0.20==）则2010x 等于（ ） A 、 1 B 、 2 C 、 3 D 、 4 （2010全国初中联赛4） （9）求满足2
2
282p p m m ++=-的所有素数P 和正整数m 。
（2010全国初中联赛13）
（10）从1,2,,2010…这2010个正整数中，最多可以取出多少个数，使得所取出的数中任意三个数之和都能被33整除？ （2010全国初中联赛14）
（11）设四位数abcd 满足3
3
3
3
110a b c d c d ++++=+，则这样的四位数的个数为 （2011全国初中联赛10）
（12）已知关于x 的一元二次方程2
0x cx a ++=的两个整数根恰好比方程2
0x ax b ++=的两个根都大
1，求的值
（2011全国初中联赛11）
（13）若从1,2,3,,n …中任取5个两两互素的不同的整数12345,,,,a a a a a 其中总有一个整数是素数，求n 的最大值。
（2011全国初中联赛13） （14）把能表示成两个正整数平方差的这种正整数，从小到大排成一列：
12,,n a a a …，例如221213a =-=，222325a =-=，……那么2007a =
（2007福建省高一数学竞赛12）
（15）求最小的正整数n ，使得集合{1,2,3,,2007}…的每一个n 元子集中都有2个元素（可以相同），它们的和是2的幂。
（2007福建省高一数学竞赛14） （16）两条直角边长分别是整数a 和b(其中b<1000)，斜边长是1的直角三角形有（ ） A 、20个 B 、21个 C 、22个 D 、43个
（2008福建省高一数学竞赛5）
（17）设x 、y 为非负整数，使得2x y +是5的倍数，x y +是3的倍数，且299x y +≥，则75x y +的最小值为
（2008福建省高一数学竞赛11） （18）正整数1212a a a ≤≤≤…中，若任意三个都不能成为三角形的三边长，则12
1
a a 的最小值是 （2008福建省高一数学竞赛12）
（19）设{1,2,3,,}S n =…（n 为正整数），若S 得任意含有100个元素的子集中必定有两个数的差能被25整除，求n 的最大值。 （2008福建省高一数学竞赛17）
（20）设[]x 是不超过x 的最大整数，则123500
3333log log log log ????????++++????????…=
（2009福建省高一数学竞赛11）
（21）已知集合M 是集合{1,2,3,,2009}S =…的含有m 个元素的子集，且对集合M 的任意三个元素均有不能整除z ，求m 的最大值。
（2009福建省高一数学竞赛17）
（22）已知为正整数，且1c b a >>>，1
11()()()a b c c a b
---为整数，则
（2011福建省高一数学竞赛12） （23）正整数500n ≤，具有如下性质：从集合{1,2,,500}…中任取一个元素m ，则m 整除n 的概率是1100
，则n 的最大值是
（2008福建省预赛12） （24）设()f x 施周期函数，T 和1是()f x 的周期且01T <<，证明：
（1）若T 为有理数，则存在素数P ，使
1
p
是()f x 的周期； （2）若T 为无理数，则存在各项均为无理数的数列{}n a 满足10n m a a >>>，（1,2, …）且每个n a 都是
()f x 的周期 （2008全国高中联赛加试二）
（25）方程[]
9
2
x x
=
的实数解事 （其中[]x 表示不超过x 的最大整数） （2009福建初赛9）
（26）设}
1,1,2,,2010i x i ∈
=…，令123420092010S x x x x x x =++…
（1）S 能否等于2010？证明你的结论； （2）S 能取到多少个不同的整数值？
（2009福建初赛14）
（27）设,k l 是给定的两个正整数，证明：有无穷多个正整数m k ≥，使得k
m C 与l 互素。 （2009全国高中联赛加试三）
（28）已知集合{
}23
0123777
A x x a a a a ==+?+?+?，其中{}0,1,2,3,4,5,6i
a ∈，0,1,2,3i =，且
30a ≠，若正整数,m n A ∈，且2010,m n m n +=>，则符合条件的正整数m 有 个。
（2010福建预赛6）
（29）将方程[]3
34x x -?=的实数解从小到大排列得12,,k x x x …，则3333123k x x x x +++…的值为
（2010福建预赛8）
（30）设k 是给定的正整数，12
r k =+
，记(1)()(1)
()()[],()(())l l f r f r r r f r f f
r -===，2l ≥。证明：存在正整数m ，使得()
()m f r 为一个整数。这里，[]x 表示不小于实数x 的最小整数。
（2010全国高中联赛加试二）
（31）已知正整数满足条件(14)(14)(14)xyz x y z =---，且28x y z ++<，则2
2
2
x y z ++的最大值为 （2011福建预赛7）
（32）证明：对任意整数4,n ≥存在一个n 次多项式1
110()n n n f x x a x a x a --=+++…具有如下性质：
（1）011,,,n a a a -…均为正整数；
（2）对任意正整数m ，及任意(2)k k ≥个互不相同的正整数12,,,k r r r …均有12()()()()k f m f r f r f r ≠… （2011全国高中联赛加试二）
（33）证明：存在无穷多个正整数n ，使得2
1n +有一个大于2n +
（2008第49届.3）
（34）设n 是一个正整数，12,,(2)k a a a k ≥…是集合{}1,,n …中互不相同的整数，使得对于1,,1i k =-…都有n 整除1(1)i i a a +-。
证明：n 不整除1(1)k a a - （2009第50届.1）
本资料主要介绍中学代数课程里未能深入谈到的整数的性质及其应用，初等数论的解题过程通常不涉及很多的基础知识，重要的是机智和灵活。本资料除打上“*”的是少数内容外，初二年以上的学生均可学习掌握。
为叙述方便，本资料中的字母均表示整数。交有Z ，N*，Z*分别表示整数集，正整数集和非零整数集。
整数的概念、分类、自然数两种理论（基数理论，序数理论）
基数用于表示“多少”：将所有有限集分类，使所含元素个数一样多的集合成为同一类，对每一类用一个记号来表示它们（这一类的集合）所含元素个数一样多这个共同特征。这个记号就是一个自然数。
公理化的方法：对已有的知识进行深入的分析，选择其中一些基本关系作为不定义的概念，一些基本
性质作为不加证明的公理，建立起公理系统。然后由所建立的公理系统出发，应用形式逻辑的方法，来给出其它有关概念的定义，并证明各种命题。
序数表示“第几”*（定理）如果非空集合N*中的某些元素之间有一个基本关系“直接后继”（元素a 的直接后继记为a ’），且N*满足以下条件： 1．*
*
1,N a N ?∈?∈，必有1a '≠ 2．()**,a b a b a N b N ''=?=∈∈ 3．(
)
**,a b a b a N b N ''=?=∈∈ 4．N*的子集M 若具有下面的性质
))*1,i M ii a M a M M N '∈∈?∈=则
定理1 带余除法
设a Z ∈，*
b Z ∈则有且只有一对整数q 与r ，使得a bq r =+其中0 定义1、定理1中的q 与r 分别称a 除以b 的不完全商与最小非负余数，简称商和余数。 定义2、定理1中的0r =时（即a bq =时）就称a 为b 的倍数，b 是a 的约数（或因数）a 能被b 整除， b 整除a ，记作b a 性质1、① 0是任何数的倍数（0除外）； ② 1±是任何数的约束； ③ * a Z a a ∈?； ④ b a b a b a b a ?-???-????； ⑤ 0b a b a a ?? ?≤?≠??； ⑥ b a a b a b ???=±??? ； ⑦ * b a bc ac c Z ????∈??； ⑧ b a b ac c Z ?? ??∈??； ⑨ a b a c b c ??????； ⑩ 1 1,2,3, ,i n i i i i b a k Z b k a i n =? ? ∈???=? ∑ 公式1、1 221()()n n n n n n x y x y x x y xy y -----=-++++ *()n N ∈ 公式2、1 221()()n n n n n n x y x y x x y xy y -----=+-+ +- （n 是正偶数） 公式3、1 221()()n n n n n n x y x y x x y xy y ----+=+-+-+ （n 是正奇数） （以上三个公式中的,x y 可以是任意实数） 例1、设99 99b =（31位数）9999a =(1984位数)，求证b a 。 例2、设a c ab cd -+求证a c ad bc -+。 定义3、能被2整除的数称偶数，不能被2整除的数称奇数。 性质2、用“0”代表偶数，“1”代表奇数，则有 ① 0+0=0,0+1=1，1+0=1,1+1=0 ②0?0=0,0?1=0,1?0=0,1?1=1 ③奇数个奇数的和还是奇数 ④任意个奇数之积是奇数 *例3、设,p q 都是正奇数，且2p q =+，求证q p p q q p ++ 注意：奇偶分类在处理很多问题时有用。求末位数问题： 令()G a 表示a 的末位数，则有 性质3、①[]()()()G a b G G a G b +=+ ②[]()()()G a b G G a G b ?=? ③()()m m G a G G a ??=?? ④任一自然数的正整数次幂的末位数有周期变化的规律。 例4、 求1988 17 的末位数 例5、 ①设,n R 为自然数，求证4()()R n n G a G a +=； ②设n 为自然数，求证44 ()()n G a G a = 例6、67 67(67)G 性质4、①设b 为奇数，c 为偶数，则()()c b G a G a = ②设b 为偶数，c 为奇数（1c >）则4()()c b G a G a = ③设b 为偶数， c 为偶数，则4()()c b G a G a = ④设b 为奇数， c 为奇数，（1c >）则()()c b b G a G a = 例7、求19 19 19 (22)n G 个 *例8、求2 11 1213 a =的末两位数。 例9、设1237,,,a a a a 是1,2,3, ,7这七个自然数的任何一种次序的排列， 求证：1237(1)(2)(3) (7)a a a a ----总是一个偶数。 例10、某班有49位同学，坐成七行七列，每个座位的前、后、左、右的座位叫做它的“邻座”，要让这49位同学中的每一位都换到他邻座上去，问这种调换座的方案能否实现？ 作为本节内容的结束，请注意以下两个重要的命题： ① 在(2)m m ≥个相邻整数中，有且只有一个数能被m 整除。 ② 若整数1g >，则任一正整数a 能够唯一表示为1 110n n n n a a g a g a g a --=++ ++ 这里,0i a Z n ∈≥，且0<,0,1,2,3,,i a g i n ≤= 习题： 1. 用票面为3分和5分的邮票可以支付任何n （整数7n >）分的邮资。 2. 把十个数码0，1,2,3,4……，9任意两两搭配，组成没有重复数码的5个两位数，求证这样5个两位数 的和是9的倍数。 3. 设10,10p a b p c d --，求证：p ad bc - 4. 设a 是奇数，求证：281a - 5. 证明：各位数码全是1的数中，有且只有一个是平方数。 6. 证明：前n 个自然数和的个位数码不能是2,4,7,9 7. 设a Z ∈，求证(1)(2)(3)1a a a a ++++时奇数的平方。 8. 设10n a k =?，n 为自然数，k 是非负整数，求证：(1)(3)(7)(9)a a a a ++++的末三位数是189。 9. 证明：整数a 能够表示成两个整数平方和的充要条件是2a 也具有相同性质。 10. 设整数,,,,x a b c d 互不相等，且()()()()4x a x b x c x d ----=，求证4x a b c d =+++ 11. 设2n ，求证4216411n n ++。 12. 设32*()55 51()n n n f n n N =+++∈，证明：当且仅当4n 时，13()f n 。 13. 已知0n ≥，求证：3321n n + 14. 证明：在任意n 个整数中，总可以找到(1)k k n ≤≤个整数，使它们的和是n 的倍数。 15. 能否把1,1,2,2,3,3, ,1986,1986这些数排成一行，使得两个1之间夹着一个数，两个2之间夹着两 个数，……，两个1986之间夹着1986个数？请证明你的结论 （首届全国数学冬令营竞赛试题五） 16. 设正整数d 不等于2,5,13，证明集合{}2,5,13,d 中可以找到两个不同元素,a b 使1ab -不是完全平方 数 （第27届） 定义1、若,1,2, ,,2i d a i n n =≥就称d 是这几个数的公因数； 定义2、(2)n n ≥个不全为零的整数i a 的公因数中的最大数叫做这几个整数的最大公因数，记 12(,,)n a a a 性质一：12(,,)1n a a a ≥ 定义3、若12(,, )1n a a a =，则称12,, n a a a 互素（互质） 定义4、若,1,2,,,2i a m i n n =≥，则称m 是i a 的公倍数； 定义5、非零整数的一切正的公倍数中的最小正数叫最小公倍数，记[]12,,n a a a 定理1、若,,a b c 不全为零，且a bq c =+则(,)(,)a b b c = 性质二：1212(,,,)(,,)n n a a a a a a = 定理2、若 (,)c a c a b c b ?? ???? 定理3、若整数,a b 不全为零，则存在整数,x y 使得(,)ax by a b += 性质三：* m N ∈，(,)(,)ma mb m a b = 性质四：若(,)1a c =，则(,)(,)ab c b c = 定理4、若,a k b k ，则[],a b k 定理5、若,a b 是同号整数，则[](),,a b a b ab = 例1、 形如221(0)n n F n =+≥的数称费尔马数，求证(,)1i j F F =，这里,i j 都是非负整数，且i j ≠ 例2、 设* * ,,a N b N ∈∈且a b ≠，证明(21,21)1(,)1a b a b --=?= 例3、 已知(,)1a b =，求证(,)1ab a b += 例4、 设()f x 使非零整系数多项式，()()6263f f ，，求证()66f 例5、 求证[](,,)(,)a b a b a b += 例6、 设*m N ∈，证明：当且仅当[],m a b =时，,1m m a b ?? = ?? ? 例7、 已知12,, ,n a a a 是两两互素的正整数，求证：[]12123 ,,,n n a a a a a a a = 例8、 求证平方数的正因数有奇数个，非平方数的正因数有偶数个。 例9、 有一百盏电灯，排成一行，自左向右，编号1,2,3, ,99,100。每灯由一拉线开关控制，最 初灯全关着。另有一百个学生顺次走过，第k 个学生把凡是编号为k 的倍数的电灯开关拉一下， (1,2,3, ,100)k =问：100个学生全部过去之后，有哪几个编号的灯还亮着？ 习题： 1、设k a 表示各位数码都是1的k （k N ∈）位数，求证： (,)1m n a a =的充要条件是(,)1m n =，这里*,m n N ∈，且m n ≠ 2、设00ax by +是形如ax by +（,a b 不全为0）的数中最小正数。 求证：（1）00ax by ax by ++； （2）00(,)ax by a b += 3、设(,)1x y =，求证(,)12x y x y +-=或 4、设(,),(,)a b d a b d '''==，求证(,,,)aa ba ab bb dd '''''= 5、已知：,a b 为非零自然数，n N ∈ 求证：（1）(,)(,)n n n a b a b =；（2）[,][,]n n n a b a b = 6、设* a Z ∈，证明：数列,2,3, ,a a a na 中n 的倍数共有(,)n a 个。 7、设a Z ∈，求证6(1)(21)a a a ++ 8、已知：126n x x x ++ +，求证3 33126n x x x ++ + 9、设n 是奇数，,n a b n a b +-，求证(,)n a b 10、设(,10)1a =，证明：各位数码全是1的数中有a 的倍数 11、求证(,,)((,),)a b c a b c = 本节的定义、定理、性质较为繁杂，为便于记忆，整理成以下图式： 自然数集的进一步分类：素数、合数、1 定义 如果大于1的整数p 恰有两个正因数1与P ，就说P 是素数，如果正整数N*有多于两个的正因数，就说N*是合数。 例1：证明：对任给的正整数N*，总可找到N*个相邻的合数。 定理一：任一整数N*的最小因数P （P>1）是素数（N*>1） 定理二：素数有无限多个。 定理三：若N*是合数，P （P>1）是N*的最小正因数，则p ≤ 以上的例子和定理分别刻画了素数的某些分布特征和判断素数的方法。 定理四：若,1,2,3, ,i a Z i n ∈=，P 是素数，12n p a a a 则P 整除某个i a 定理五：（唯一分解定理）每个大于1的整数，都可唯一地分解成素因数（不计因数的顺序）的积。 推论：任一大于1的整数a 可以唯一分解成12 12 k k a p p p αα α=这里i p 是相异的素数，i α是正整数。有 时为了表述方便，允许0i α=，上式称为a 的标准分解式。 例2、设21()m m N +∈是素数，求证：m 是2的非负整数次幂。 定理六：若,a b 得标准分解式为12 12n n a p p p αα α=，12 12n n b p p p βββ=， 则12 12(,)n r r r n a b p p p =?，12 12[,]n n a b p p p δδδ=?。 这里min(,)i i i r αβ=，max(,)i i i δαβ= ，1,2,,i n =、 例3、求证[,,](,,)a b c ab bc ca abc = 定理七：若a 的标准分解式为1 2 12 n n a p p p ααα=，则a 的一切正因数的个数1 ()(1)n i i a τα==+∏，a 的 一切正因数的和为11 1 ()1i n i i i p a p ασ+=-=-∏。 例4、证明形如41()n n N -∈的素数有无限个。 哥德巴赫于1742年在和欧拉的通信中提出的猜想： 1． 每个大于5的偶数都是两个奇素数之和 2． 每个大于8的奇数都是三个奇素数之和 1973年5月《中国科学》杂志刊出陈景润研究G 氐猜想的结果： “任一充分大的偶数是一个素数和另一个素数的和，后者或为素数，或仅另两个素数的乘积。” 此定理被简称为“1+2”当然离“1+1”还有一段距离，不过这已经是当今最优成果了。 习题： 1、 设p 是异于3的奇素数，求证2241p - 2、 设,p q 是素数，且5p q >>，求证44240p q - 3、 设整数,,a b c 都大于1，证明[(,),(,)]([,],)a c b c a b c = 4、 求证：2 2 [,,](,)(,)(,)(,,)[,][,][,]a b c a b b c c a a b c a b b c c a = 5、 设,a n 都是大于1，1n a -是素数，求证：2a =，且n 是素数 6、 从1到100这100个自然数中，任意选出51个数，求证其中至少有两个数，它们中的一个是另一个的 倍数。 7、 设,,(,)1a b N a b ∈=，证明(,)()();()()()a b a b ab a b τττσσσ== 8、 证明：形如32n +的素数有无限多个。 9、 设2n >，证明：在n 与!n 之间至少有一个素数。