2021届高考理科数学复习《平面解析几何》题型汇总
4
A．
9
9
B．
4
2
C．
3
3
D．
2
【答案】A
【解析】由题意知双曲线的渐近线方程为 y 1 x m 0 ，3x 2 y 0 可化为 y 3 x ，则 1 3 ，
m
2
m2
解得 m 4 . 9
故选：A
3．（2020·辽宁大连高三一模（理））已知抛物线 y2 4x 上点 B （在第一象限）到焦点 F 距离为 5，则点 B
x2 a2
y2 b2
1
，得：
y
b2 c
，所以 MN
2b2 c
2 ，所以 b2
c ，所以 b 2 ， c 4 ，
所以 a 2 3 ， C 的渐近线方程为 y 3 x . 3
故选 B
6．（2020·全国高三其他（理））已知抛物线 C : y 2 4x 的焦点为 F ，过点 F 的直线与抛物线 C 相交于 A ，
所以 △OPF 为直角三角形；
ABF 的面积为 8，则 C 的渐近线方程为（ ）
A． y 3x C． y 2x
【答案】B
B． y 3 x 3
D． y 1 x 2
【解析】设双曲线的另一个焦点为 F ' ，由双曲线的对称性，四边形 AFBF ' 是矩形，所以 SABF SAFF ' ，
即
bc
8
，由
x2 y2 c2
an
1
n n 1
nN*
，其前 n 项和
Sn
9 10
，则双曲线
x2 n 1
y2 n
1的渐近线方程为（
）
A． y 2 2 x 3
B． y 3 2 x 4
C． y 3 10 x 10
D． y 10 x 3
【答案】C
【解析】由 an
1
n n 1
1 n
1 n 1 得 Sn
1 1
1 2
1 2
B． 2
C．2
D． 2 2
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如图．设 M (x0 , y0 )( y0 0) ，过 M 作 MN l 于 N ，则
MF
MN
．由条件知
MA MF
2 ，所以
MA MN
2 ，故 NAF 45 ，所以| AN || MN | ，
故 y0 x0 1．又点 M (x0 , y0 )( y0 0) 在抛物线上，所以 y02 4x0 ．
2021届高考理科数学复《平面解析几何》题型汇总
考点 08 平面解析几何
一、单选题
1．（2020·沙坪坝重庆一中高三期末（理））圆 x2 y2 4x 6 y 9 0 的圆心到直线 ax y 1 0 的距离 为 2，则 a （ ）
A． 4 3
由
y0 y02
x0 4 x0
1
，解得
x0 y0
1 2
．从而得
M
(1,
2)
．
∴ SAMF
1 2
AF
y0
1 2 2 2 ．选 C． 2
5．（2020·浙江柯城衢州二中高三其他）已知双曲线 C :
x2 a2
y2 b2
1(a
0,b
0) 的一个焦点为
F
，点
A, B 是 C
的一条渐近线上关于原点对称的两点，以 AB 为直径的圆过 F 且交 C 的左支于 M , N 两点，若 |MN|=2 ，
C
:
x2 a2
y2 b2
1
a 0,b 0
的右顶点和右焦点，以 OF 为直径的圆与一条渐近线的交点为 P（不与原点重
合），若 △OAP 的面积 S△OAP 满足 FP FO 2 2S△OAP ，则双曲线的离心率是（ ）
A． 3
B． 2 3 3
C． 2
D． 2 2
【答案】C
【解析】因为以 OF 为直径的圆与一条渐近线的交点为 P（不与原点重合），
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B 两点，则 AF BF 的最小值为（ ）
A． 10
B． 6
C． 2 2
D．3
【答案】C
【解析】点 F 的坐标为 1, 0 ，设点 A ， B 的坐标分别为 x1, y1 ， x2 , y2 ，直线 AB 的方程为
x
my
1m R
x1 1 x2 1 x1 x2 2 2
x1 x2 2 ．由
2
x1 x2 2 x1x2 2 （当且仅当 x1 x2 1时取等号），所以 AF BF 2+2+2 2 2 8 ，可得
AF BF 的最小值为 2 2 ．
故选：C．
7．（2020·上海市建平中学高三月考）已知数列an 的通项公式为
B． 3 4
C． 2
D．2
【答案】B
【解析】圆的标准方程是 (x 2)2 ( y 3)2 4 ，圆心为 (2, 3) ，
∴ 2a 3 1 2 ，解得 a 3 ．
a2 1
4
故选：B.
2．（2020·银川三沙源上游学校高三二模（理））若双曲线 C ： x2 y2 1的一条渐近线方程为 3x 2 y 0 ， m
1 3
...
1 n
1 n 1
1
1 n 1
n n 1 .
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又 Sn
9 10
即
n n 1
9 10
,故 n
9
,故双曲线 x2 10
y2 9
1渐近线为
y
9 x 3 10 x
10
10
故选：C
8．（2020·河北桃城衡水中学高三其他（理））已知 O 为坐标原点，A，F 分别是双曲线
坐标为（ ）
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2021届高考理科数学复习《平面解析几何》题型汇总
A． 1,1
B． 2,3
C． 4, 4
D． 4, 3
【答案】C
【解析】设 B x0 , y0 , y0 0 ，
因为点 B 到焦点 F 距离为 5 即 BF 5,
根据抛物线定义：
BF
x0
p 2
x0
1
5，
解得： x0 4 ，
代入抛物线方程 y2 4x ，
得 y0 4 即 B 4, 4
故选：C
4．（2020·四川成都石室中学高三开学考试（理））抛物线 C : y 2 4x 的焦点为 F ，其准线 l 与 x 轴交于点 A ，
点M
在抛物线 C 上，当
MA MF
2 时， AMF 的面积为（
）
A．1 【答案】C 【解析】
，联立方程
y2 4x,
x
my
1,
消去
x
后整理为
y2
4my
4
0
，所以
y1
y2
4m
，
y1 y2
4 ， x1
x2
m y1
y2
2
4m 2
2 ， x1x2
y12 y22 16
16 16
1，
AF =x1 1， BF =x2 +1，则
2 AF BF =
x1 1
2
x2 1 x1 x2 2 2
高考数学压轴专题2020-2021备战高考《平面解析几何》知识点总复习附答案解析
【最新】《平面解析几何》专题解析一、选择题1．已知,A B 两点均在焦点为F 的抛物线()220y px p =>上，若4AF BF +=，线段AB 的中点到直线2px =的距离为1，则p 的值为 （ ） A ．1 B ．1或3C ．2D ．2或6【答案】B 【解析】4AF BF +=1212442422p px x x x p x p ⇒+++=⇒+=-⇒=-中 因为线段AB 的中点到直线2px =的距离为1，所以121132px p p -=∴-=⇒=中或 ，选B. 点睛：1.凡涉及抛物线上的点到焦点距离时，一般运用定义转化为到准线距离处理． 2．若00(,)P x y 为抛物线22(0)y px p =>上一点，由定义易得02pPF x =+；若过焦点的弦AB AB 的端点坐标为1122(,),(,)A x y B x y ，则弦长为1212,AB x x p x x =+++可由根与系数的关系整体求出；若遇到其他标准方程，则焦半径或焦点弦长公式可由数形结合的方法类似地得到．2．已知一条抛物线恰好经过等腰梯形ABCD 的四个顶点，其中4AB =，2BC CD AD ===，则该抛物线的焦点到其准线的距离是（ ）AB．2CD．【答案】B 【解析】 【分析】不妨设抛物线标准方程22(0)x py p =>，将条件转化为坐标，代入解出p ，即得结果. 【详解】不妨设抛物线标准方程22(0)x py p =>，可设(1,),(2,C m B m ，则123242(pm p p m =⎧⎪∴==⎨=+⎪⎩B. 【点睛】本题考查抛物线方程及其性质，考查基本分析求解能力，属基本题.3．已知椭圆C ：2212x y +=的右焦点为F ，直线l ：2x =，点∈A l ，线段AF 交椭圆C 于点B ，若3FA FB =u u u v u u u v，则AF u u u v ＝( )A ．2B ．2C ．3D ．3【答案】A 【解析】 【分析】设点()2,A n ，()00,B x y ，易知F (1,0)，根据3FA FB =u u u v u u u v，得043x =，013y n =，根据点B 在椭圆上，求得n=1，进而可求得2AF =u u u v【详解】 根据题意作图：设点()2,A n ，()00,B x y ．由椭圆C ：2212x y += ，知22a =，21b =，21c =，即1c =，所以右焦点F (1,0)．由3FA FB =u u u v u u u v，得()()001,31,n x y =-． 所以()0131x =-，且03n y =. 所以043x =，013y n =. 将x 0，y 0代入2212x y +=，得221411233n ⎛⎫⎛⎫⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.解得21n =， 所以()2212112AF n u u u v =-+=+=故选A【点睛】本题考查了椭圆的简单性质，考查了向量的模的求法，考查了向量在解析几何中的应用；正确表达出各点的坐标是解答本题的关键.4．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>，过其右焦点F 作渐近线的垂线，垂足为B ，交y轴于点C ，交另一条渐近线于点A ，并且满足点C 位于A ，B 之间.已知O 为原点，且53OA a =，则||||FB FC =（ ） A ．45B ．23C ．34D ．13【答案】A 【解析】 【分析】设出直线AB 的方程，联立直线AB 方程和渐近线方程，由此求得,A B 两点的坐标，以及求得C 点的坐标，根据53OA a =列方程，求得,,a b c 的关系，由此求得||||FB FC 的值.【详解】由于双曲线渐近线为b y x a =±，不妨设直线AB 的斜率为ab-，故直线AB 的方程为()a y x c b =--.令0x =，得0,ac C b ⎛⎫ ⎪⎝⎭.由()a y x c bb y x a ⎧=--⎪⎪⎨⎪=⎪⎩解得2,a ab B c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭，.由()a y x c bb y xa ⎧=--⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩解得22222,a c abc A a b a b ⎛⎫- ⎪--⎝⎭，由53OA a =得22222222259a c abc a a b a b ⎛⎫-⎛⎫+= ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，化简得()()2222440a b a b --=，解得12b a =或2b a =.由于C 位于,A B 之间，故12b a =舍去，所以2b a=，即2b a =.故22222222||44||45B C aby FB b b a c ac FC y c a b a a b======++. 故选：A.【点睛】本小题主要考查双曲线的渐近线方程，考查直线和直线相交所得交点坐标的求法，考查双曲线的几何性质，考查运算求解能力，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.5．已知点(,)P x y 是直线240x y -+=上一动点，直线,PA PB 是圆22:20C x y y ++=的两条切线，,A B 为切点，C 为圆心，则四边形PACB 面积的最小值是（ ） A ．2 B 5C ．25D ．4【答案】A 【解析】圆22:20C x y y ++=即22(y 1)1x ++=,表示以C (0,-1)为圆心，以1为半径的圆。
2021年最新高考数学复习-解析几何问题的题型与方法
解析几何问题的题型与方法一、知识整合高考中解析几何试题一般共有4题(2个选择题, 1个填空题, 1个解答题)，共计30分左右，考查的知识点约为20个左右。
其命题一般紧扣课本，突出重点，全面考查。
选择题和填空题考查直线、圆、圆锥曲线、参数方程和极坐标系中的基础知识。
解答题重点考查圆锥曲线中的重要知识点，通过知识的重组与链接，使知识形成网络，着重考查直线与圆锥曲线的位置关系，求解有时还要用到平几的基本知识和向量的基本方法．．．．．．．．．．．．．．．，这一点值得强化。
1.能正确导出由一点和斜率确定的直线的点斜式方程；从直线的点斜式方程出发推导出直线方程的其他形式，斜截式、两点式、截距式；能根据已知条件，熟练地选择恰当的方程形式写出直线的方程，熟练地进行直线方程的不同形式之间的转化，能利用直线的方程来研究与直线有关的问题了.2.能正确画出二元一次不等式（组）表示的平面区域，知道线性规划的意义，知道线性约束条件、线性目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念，能正确地利用图解法解决线性规划问题，并用之解决简单的实际问题，了解线性规划方法在数学方面的应用；会用线性规划方法解决一些实际问题.3．理解“曲线的方程”、“方程的曲线”的意义，了解解析几何的基本思想，掌握求曲线的方程的方法.4．掌握圆的标准方程：222)()(r b y a x =-+-（r ＞0），明确方程中各字母的几何意义，能根据圆心坐标、半径熟练地写出圆的标准方程，能从圆的标准方程中熟练地求出圆心坐标和半径，掌握圆的一般方程：022=++++F Ey Dx y x ，知道该方程表示圆的充要条件并正确地进行一般方程和标准方程的互化，能根据条件，用待定系数法求出圆的方程，理解圆的参数方程cos sin x r y r θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），明确各字母的意义，掌握直线与圆的位置关系的判定方法.5．正确理解椭圆、双曲线和抛物线的定义，明确焦点、焦距的概念；能根据椭圆、双曲线和抛物线的定义推导它们的标准方程；记住椭圆、双曲线和抛物线的各种标准方程；能根据条件，求出椭圆、双曲线和抛物线的标准方程；掌握椭圆、双曲线和抛物线的几何性质：范围、对称性、顶点、离心率、准线（双曲线的渐近线）等，从而能迅速、正确地画出椭圆、双曲线和抛物线；掌握a 、b 、c 、p 、e 之间的关系及相应的几何意义；利用椭圆、双曲线和抛物线的几何性质，确定椭圆、双曲线和抛物线的标准方程，并解决简单问题；理解椭圆、双曲线和抛物线的参数方程，并掌握它的应用；掌握直线与椭圆、双曲线和抛物线位置关系的判定方法.二、近几年高考试题知识点分析2004年高考，各地试题中解析几何内容在全卷的平均分值为27.1分，占18．1％；2001年以来，解析几何内容在全卷的平均分值为29.3分，占19.5％．因此，占全卷近1/5的分值的解析几何内容，值得我们在二轮复习中引起足够的重视．高考试题中对解析几何内容的考查几乎囊括了该部分的所有内容，对直线、线性规划、圆、椭圆、双曲线、抛物线等内容都有涉及．1．选择、填空题1．1 大多数选择、填空题以对基础知识、基本技能的考查为主，难度以容易题和中档题为主（1）对直线、圆的基本概念及性质的考查例1 （04江苏）以点(1，2)为圆心，与直线4x +3y -35=0相切的圆的方程是_________．（2）对圆锥曲线的定义、性质的考查例2（04辽宁）已知点)0,2(1-F 、)0,2(2F ，动点P 满足2||||12=-PF PF . 当点P 的纵坐标是21时，点P 到坐标原点的距离是（A ）26（B ）23 （C ）3 （D ）21．2 部分小题体现一定的能力要求能力，注意到对学生解题方法的考查例3（04天津文）若过定点(1,0)M -且斜率为k 的直线与圆22450x x y ++-=在第一象限内的部分有交点，则k 的取值范围是（A ）0k << （B ）0k <<（C ）0k << （D ）05k <<2．解答题解析几何的解答题主要考查求轨迹方程以及圆锥曲线的性质．以中等难度题为主，通常设置两问，在问题的设置上有一定的梯度，第一问相对比较简单．例4(04江苏）已知椭圆的中心在原点，离心率为12，一个焦点是F （-m,0）(m 是大于0的常数).（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设Q 是椭圆上的一点，且过点F 、Q 的直线l 与y 轴交于点M.若=，求直线l 的斜率． 本题第一问求椭圆的方程，是比较容易的，对大多数同学而言，是应该得分的；而第二问，需要进行分类讨论，则有一定的难度，得分率不高．解：（I ）设所求椭圆方程是).0(12222>>=+b a b y a x 由已知，得 ,21,==a c m c 所以m b m a 3,2==. 故所求的椭圆方程是1342222=+my m x（II ）设Q （Q Q y x ,），直线),0(),(:km M m x k y l 则点+= 当),,0(),0,(,2km M m F -=由于由定比分点坐标公式，得 ,62.139494,)3,32(.31210,32212022222±==+-=++=-=+-=k mm k m m km m Q km km y m m x Q Q 解得所以在椭圆上又点0(2)()2,2,1212Q Q m km MQ QF x m y km +-⨯-=-==-==---当时.于是.0,134422222==+k m m k m m 解得 故直线l 的斜率是0，62±. 例5（04全国文科Ⅰ）设双曲线C ：1:)0(1222=+>=-y x l a y ax 与直线相交于两个不同的点A 、B .（I ）求双曲线C 的离心率e 的取值范围：（II ）设直线l 与y 轴的交点为P ，且5.12PA PB =求a 的值. 解：（I ）由C 与t 相交于两个不同的点，故知方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=-.1,1222y x y a x 有两个不同的实数解.消去y 并整理得 （1－a 2）x 2+2a 2x －2a 2=0. ① .120.0)1(84.012242≠<<⎪⎩⎪⎨⎧>-+≠-a a a a a a 且解得所以双曲线的离心率01,(2,).e a a e e e ==<<≠∴>≠+∞即离心率的取值范围为 （II ）设)1,0(),,(),,(12211P y x B y x A .125).1,(125)1,(,125212211x x y x y x PB PA =-=-∴=由此得 由于x 1，x 2都是方程①的根，且1－a 2≠0，2222222222172522289,.,,121121160170,.13a a a x x x a a a a a =-=--=--->=所以消去得由所以例6（04全国文科Ⅱ）给定抛物线C ：,42x y =F 是C 的焦点，过点F 的直线l 与C 相交于A 、B 两点.（Ⅰ）设l 的斜率为1，求与夹角的大小； （Ⅱ）设]9,4[,∈=λλ若，求l 在y 轴上截距的变化范围. 解：（Ⅰ）C 的焦点为F （1，0），直线l 的斜率为1，所以l 的方程为.1-=x y将1-=x y 代入方程x y 42=，并整理得 .0162=+-x x设),,(),,(2211y x B y x A 则有 .1,62121==+x x x x.31)(2),(),(212121212211-=++-=+=⋅=⋅x x x x y y x x y x y x.41]16)(4[||||21212122222121=+++=+⋅+=x x x x x x y x y x OB OA.41143||||),cos(-=⋅=OB OA 所以与夹角的大小为.41143arccos -π （Ⅱ）由题设λ= 得 ),,1(),1(1122y x y x --=-λ即⎩⎨⎧-=-=-.1212),1(1y y x x λλ 由②得21222y y λ=， ∵ ,4,4222121x y x y == ∴.122x x λ=③联立①、③解得λ=2x ，依题意有.0>λ ∴),2,(),2,(λλλλ-B B 或又F （1，0），得直线l 方程为),1(2)1()1(2)1(--=--=-x y x y λλλλ或当]9,4[∈λ时，l 在方程y 轴上的截距为,1212---λλλλ或由 ,121212-++=-λλλλλ可知12-λλ在[4，9]上是递减的， ∴ ,431234,341243-≤--≤-≤-≤λλλλ直线l 在y 轴上截距的变化范围为].34,43[]43,34[⋃--①②从以上3道题我们不难发现，对解答题而言，椭圆、双曲线、抛物线这三种圆锥曲线都有考查的可能，而且在历年的高考试题中往往是交替出现的，以江苏为例，01年考的是抛物线，02年考的是双曲线，03年考的是求轨迹方程（椭圆），04年考的是椭圆．三、热点分析与2005年高考预测1．重视与向量的综合在04年高考文科12个省市新课程卷中，有6个省市的解析几何大题与向量综合，主要涉及到向量的点乘积（以及用向量的点乘积求夹角）和定比分点等，因此，与向量综合，仍是解析几何的热点问题，预计在05年的高考试题中，这一现状依然会持续下去．例7（02年新课程卷）平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点A （3，1），B （－1，3），若点C 满足OB OA OC βα+=，其中α、β∈R，且α＋β=1，则点C 的轨迹方程为（A ）（x －1）2＋（y －2）2=5（B ）3x ＋2y －11=0 （C ）2x －y =0（D ）x ＋2y －5=0 例8（04辽宁）已知点)0,2(-A 、)0,3(B ，动点2),(x y x P =⋅满足，则点P 的轨迹是（A ）圆 （B ）椭圆 （C ）双曲线 （D ）抛物线 2．考查直线与圆锥曲线的位置关系几率较高在04年的15个省市文科试题（含新、旧课程卷）中，全都“不约而同”地考查了直线和圆锥曲线的位置关系，因此，可以断言，在05年高考试题中，解析几何的解答题考查直线与圆锥曲线的位置关系的概率依然会很大．3．与数列相综合 在04年的高考试题中，上海、湖北、浙江解析几何大题与数列相综合，此外，03年的江苏卷也曾出现过此类试题，所以，在05年的试题中依然会出现类似的问题．例9（04年浙江卷）如图，ΔOBC 的在个顶点坐标分别为（0,0）、（1,0）、（0,2）,设P 为线段BC 的中点,P 2为线段CO 的中点,P 3为线段OP 1的中点,对于每一个正整数n,P n+3为线段P n P n+1的中点,令P n 的坐标为(x n,y n ), .2121++++=n n n n y y y a （Ⅰ）求321,,a a a 及n a ; （Ⅱ）证明;,414*+∈-=N n y y n n （Ⅲ）若记,,444*+∈-=N n y y b nn n 证明{}n b 是等比数列. 解：(Ⅰ)因为43,21,153421=====y y y y y ，所以2321===a a a ，又由题意可知213+++=n n n y y y ， ∴321121++++++=n n n n y y y a =221121++++++n n n n y y y y =,2121n n n n a y y y =++++ ∴{}n a 为常数列.∴.,21*∈==N n a a n (Ⅱ)将等式22121=++++n n n y y y 两边除以2，得,124121=++++n n n y y y又∵2214++++=n n n y y y ，∴.414n n y y -=+ （Ⅲ）∵)41()41(44444841n n n n n y y y y b ---=-=+++-)(41444n n y y --=+,41n b -= 又∵,041431≠-=-=y y b ∴{}n b 是公比为41-的等比数列. 4．与导数相综合近几年的新课程卷也十分注意与导数的综合，如03年的天津文科试题、04年的湖南文理科试题，都分别与向量综合． 例10（04年湖南文理科试题）如图，过抛物线x 2=4y 的对称轴上任一点P （0,m ）(m>0)作直线与抛物线交于A,B 两点，点Q 是点P 关于原点的对称点。
2021届高考数学二轮复习常考题型大通关(全国卷理数)解答题：平面解析几何
2021届高考数学二轮复习常考题型大通关（全国卷理数）解答题：平面解析几何1.在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为22，椭圆C 截直线1y =所得线段的长度为22.（1）求椭圆C 的方程；（2）动直线():0l y kx m m =+≠交椭圆C 于,A B 两点，交Y 轴于点M ，点N 是M 关于O 的对称点，//N 的半径为NO .设D 为AB 的中点，,DE DF 与//N 分别相切于点,,E F 求EDF ∠的最小值.2.已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率为3，且椭圆C 过点32(,)2．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过椭圆C 的右焦点的直线l 与椭圆C 交于A B 、两点，且与圆：222x y +=过点，求2AB EF ⋅的取值范围．3.如图所示12,F F 分别为椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右两个焦点, ,A B 为两个顶点,已知椭圆C 上的点31,2⎛⎫⎪⎝⎭到12,F F 两点的距离之和为4.(1)求椭圆C 的方程(2)过椭圆C 的焦点2F 作AB 的平行线交椭圆于,P Q 两点,求FPQ △的面积4.如图,已知1F ,2F 是双曲线221916x y -=的两个焦点。
(1)若双曲线上一点M 到它的一个焦点的距离等于16,求点M 到另一个焦点的距离; (2)若P 是双曲线左支上的点,且1232PF PF ⋅=,试求12F PF △的面积. 5.已知圆22:8120C x y y +-+=,直线:20l ax y a ++=。
(1).当a 为何值时,直线l 与圆C 相切;(2).当直线l 与圆C 相交于,A B 两点,且22AB =时,求直线l 的方程.6.已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F 和2F ,由(,),(,)M a b N a b -,2F 和1F 这43面积为33. 1.求椭圆的方程;2.过点1F 的直线和椭圆交于,A B 两点,求2F AB △面积的最大值.7.设椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>2，圆22:2O x y +=与x 轴正半轴交于点A ，圆O 在点A 处的切线被椭圆C 截得的弦长为22(1)求椭圆C 的方程.(2)设圆O 上任意一点P 处的切线交椭圆C 于M N ,两点，试判断PM PN ⋅是否为定值？若为定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由8.设O 为坐标原点，动点M 在椭圆22:12x C y +=上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P满足2NP NM =.(1)求点P 的轨迹方程；(2)设点Q 在直线3x =-上，且1OP PQ ⋅=.证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .答案以及解析1.答案：（1）22142x y += （2）π3解析： （12，得()2222a a b =-，由椭圆C 截直线1y =所得线段的长度为22222a a b -=，求得椭圆的方程为22142x y +=； （2）由2224x y y kx m⎧+=⎨=+⎩得222()214240k x kmx m +++=－，确定2222,2121kmm D k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，()()22422241321m k k ND k +++＝，然后求22ND NF的范围，即可得到sin NDF ∠的范围，确定其最小值就可求出EDF ∠的最小值.2，得222)2(a a b =-.又当1y =时，2222b x a a =-，得2222a a b -=，所以24a =，22b =，因此椭圆方程为22142x y +=.（2）设1122(,),(,)A x y B x y .联立方程2224y kx mx y =+⎧⎨+=⎩消去y ，得222()214240k x kmx m ++-=+，由0∆>得2242m k <＋.①且 122421km x x k ++=-，因此122221y my k +=+，所以 222,2121km m D k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，又()0,N m -，所以2222222121km m ND m k k ⎛⎫⎛⎫-++ ⎪⎪++⎝⎭⎝⎭＝，整理得()()22422241321m k k ND k +++＝.因为NF m ＝，所以()()()2222222224318+312121k k ND k NFk k ++==+++.令283t k =+，3t ≥.故21214t k ++=，所以()222161611112NDt NF t t=+=++++.令1y t t =+，所以21'y t t =-.当3t ≥时，0y '>，从而1y t t =+在[3,)+∞上单调递增，因此1103t t +≥，当且仅当3t =时等号成立，此时0k =，所以22134ND NF≤+=，由①得22m -且0m ≠，故12NF ND≥，设2EDF θ∠＝，则1sin 2NF ND θ=≥，所以θ的最小值为π6.从而EDF ∠的最小值为π3，此时直线l 的斜率是0.综上所述：当0k =，(2,0)(0,2)m 时，EDF ∠取到最小值π3.2.答案：(1)由已知可得3c a =，所以2232a b = 所以椭圆的方程为2222132x y b b +=将点32(2代入方程得22b =，所以23a = 所以椭圆C 的标准方程为22132x y +=(2)椭圆的右焦点为(1,0)，若直线l 的斜率不存在,l 方程为1x =， 则2323),(1,(1,1),(1,1)A B E F - 所以,2243163|||4,||||AB EF AB EF ==⋅=若直线l 的斜率存在，设l 方程为(1)y k x =-，设1122(,),(,)A x y B x y 由22132(1)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩得2222(23)6360k x k x k +-+-= 则22121222636,2323k k x x x x k k -+==++ 所以222221222636||(1)()(1)[()4]2323k k AB k x x k k k -=+-=+-⨯++圆心(0,0)到直线l 的距离21d k =+所以222224(2)||4[2]11k k EF k k +=-=++所以222222243(1)4(2)163(2)1633||||213k k k k AB EF k k ++++⋅==++ 241631633)(3]23k =+∈+综上2163||||[,163]AB EF ⋅∈.3.答案：(1)解:由已知24a =∴2?a = 又点3(1,)2P 在椭圆上223()1214b∴+=23b ∴=故椭圆方程为22143x y += (2)由(1)知()()2,0,0,,A B -()(2,0,3A B - 所以3PQ AB k k ==所以P Q 、所在直线方程为)31y x =- 由)2231143y x x y ⎧⎪⎪⎨=-+=⎪⎪⎩得28390,y +-= 设()()1122,,,P x y Q x y 则1212398y y y y +=⋅=- 所以()212121239214448y y y y y y -=+-+⨯ 所以1111211212122222F PQ S F F y y ∆=⋅-=⨯⨯=. 4.答案：(1)双曲线的标准方程为221916x y -=,故3a =,4b =,225c a b =+=由双曲线的定义得1226MF MF a -==,又点M 到其中一个焦点的距离等于16, 设点M 到另一个焦点的距离等于x 则166x -=,解得10x =或22x =. (2)∵2126PF PF a -==,两边平方得222121236PF PF PF PF +-⋅= ∴222121236PF PF PF PF +=⋅+36232100=+⨯=. 在12F PF △中由余弦定理得 22212121212cos 2PF PF F F F PF PF PF +-∠=⋅1210010002PF PF -==⋅∴1290F PF ∠=︒, ∴121211321622F PF S PF PF ∆=⋅=⨯= 5.答案：(1).把圆C :228120x y y +-+=,化为22(4)4x y +-=,得圆心(0,4)C ,半径2r =,再求圆心到直线:20l ax y a ++=的距离d ,24221ad a +==+,解得34a =-.(2).设圆心到直线:20l ax y a ++=的距离d ,则222242d d =-=则24221a a +⇒=+,得 1a =-或7a =-;直线l 的方程为: 20x y -+=或7140x y -+=. 6.答案：1.由已知条件,得3b =且223332a c+=,∴3a c +=.又223a c -=,∴2,1a c ==.∴椭圆的方程为22143x y +=.2.显然,直线的斜率不能为0,设直线的方程为1x my =-,1122(,),(,)A x y B x y .联立方程,得221431x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩,消去x 得, 22(34)690m y my +--=. ∵直线过椭圆内的点,∴无论m 为何值,直线和椭圆总相交. ∴12122269,3434m y y y y m m +==-++. ∴2212121212121()42F AB S F F y y y y y y y y =-=-=+-△ 22222222111124121(34)(1)1339(1)m m m m m m ++===+++++++, 令211t m =+≥,设1()9f t t t =+,易知1(0,)3t ∈时,函数()f t 单调递减, 1(,)3t ∈+∞时,函数()f t 单调递增,∴当211t m =+=,即0m =时, ()f t 取得最小值, min 10()9f t =,此时2F AB S △取得最大值3. 7.答案：(1)设椭圆C 的半焦距为c ，由椭圆C 22知，,2b c a b =，则椭圆C 的方程为222212x y b b+=.易求得点()2,0A，则点(2,2在椭圆C 上，222212b b∴+=，解得23b =，26a ∴=，椭圆C 的方程为22163x y +=. (2)PM PN ⋅为定值2.当过点P 且与圆O 相切的切线斜率不存在时，不妨设切线的方程为2x =)2,0P .由(1)知(2,2M，()2,2N-，2PM PN ∴⋅=.此时(2,2OM =，(2,2ON =-，0OM ON ⋅=，即OM ON ⊥.当过点P 且与圆O 相切的切线斜率存在时，可设切线的方程为y kx m =+，()()1122,,,M x y N x y ，221m k =+()2221m k =+。
2021届高考数学二轮复习常考题型大通关(新高考)选择题：平面解析几何
2021届高考数学二轮复习常考题型大通关（新高考）选择题：平面解析几何1.若直线340x y m ++=与圆222410x y x y +-++=相切，则m =( ) A.5-或15B.5或15-C.21-或1D.1-或212.已知椭圆22:16439x y C +=的左、右焦点分别为12,F F ，点P 在椭圆C 上，若16PF =，则12PF F ∠的余弦值为( )A.310B.710C.25 D.353.已知双曲线2221(0)4x y b b-=>，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于,,,A B C D 四点，四边形ABCD 的面积为2b ，则双曲线的方程为( )A.223144x y -=B.224143x y -= C.22144x y -= D.221412x y -= 4.已知P 是抛物线24y x =上一动点，则点P 到直线:280l x y -+=和y 轴的距离之和的最小值是( ) 551-C.25D.2515.已知点()2,1A -和点B 关于直线:10l x y +-=对称，斜率为k 的直线m 过点A 交l 于点C ，若ABC 的面积为2，则k 的值为( ) A.3或13B.0C.13D.36.已知圆22:2410C x y x y ++-+=，若圆C 上存在弦AB ，满足||23AB =且AB 的中点M 在直线20x y k ++=上，则实数k 的取值范围是( )A.[25,25]-B.[5,5]-C.(5,5)-D.[5,5]7.已知点P 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上的一点，12,F F 分别为椭圆的左、右焦点，已知12120F PF ∠=︒，且122PF PF =，则椭圆的离心率为( )72 C.7978.已知椭圆22182x y +=上一点()2,1A 和该椭圆上两动点,B C ，直线,AB AC 的斜率分别为12,k k ，且120k k +=，则直线BC 的斜率k 满足( )A.12k >或12k <- B.12k =-C.12k =D.k 的值不确定9.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，直线 l 过点1F ，与双曲线的左支交于,A B 两点，若5AB =，且双曲线的实轴长为8，则2ABF 的周长是( ) A.16B.18C.21D.2610.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右顶点为A ，以A 为圆心，b 为半径作圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于,M N 两点.若60MAN ∠=︒，则双曲线C 的离心率为( ) 23323 D.211.过抛物线28x y =的焦点F 的直线交抛物线于,A B 两点，O 为坐标原点，若||1||2AF BF =，则AOB 的面积为( ) A.32 B.122 C.2 D.212.椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的两个焦点为12(,0),(,0),F c F c M -是椭圆上的一点，且满足120F M F M ⋅=，则C 的离心率的取值范围为( )A.2⎛ ⎝⎦B.2⎛ ⎝⎭C.2⎫⎪⎪⎝⎭ D.2⎫⎪⎪⎣⎭13.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线与抛物线22(0)y px p =>的准线分别交于,A B 两点，O 为坐标原点.若双曲线的离心率为2，ABO 的面积为23点坐标为( ) A.1,02⎛⎫⎪⎝⎭B.2⎫⎪⎪⎝⎭C.()1,0D.(2,0)14.已知椭圆2212:1(1)x C y m m +=>与双曲线2222:1(0)x C y n n-=>的焦点重合，若双曲线的顶点是椭圆长轴的两个三等分点，12,C C 的离心率分别为12,e e ，则12e e ⋅=( )A.1B.35C.53515.已知抛物线()220y px p =>的焦点与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点F 重合，且相交于,A B 两点(A 在B 上方)，直线AF 交抛物线于另一点C ，且与双曲线的一条渐近线平行，若12AF FC =，则双曲线的离心率为( ) 232 C.2 D.3答案以及解析1.答案：A解析：222410x y x y +-++=可化为22(1)(2)4x y -++=，则圆的圆心坐标为(1,2)-，半径2r =.22234=+，解得5m =-或15m =.故选A.2.答案：A解析：由椭圆C 的方程可知2264,39a b ==，所以222643925c a b =-=-=，所以12210F F c ==.连接2PF ，由椭圆的定义可知，12216PF PF a +==，因为16PF =，所以21210PF F F ==，所以12PF F 是等腰三角形，11212132cos 10PF PF F F F ∠==.3.答案：D解析：根据圆和双曲线的对称性，可知四边形ABCD 为矩形.双曲线的渐近线方程为2b y x =±，圆的方程为224x y +=.不妨设交点A 在第一象限，由22,42b y x x y =+=得2244A A x y b b ==++，故四边形ABCD 的面积为232424A A bx y b b ==+，解得212b =，故所求的双曲线方程为221412x y -=，故选D.4.答案：D解析：根据题意作出图象如图所示，点P 到直线:280l x y -+=的距离为PA ，点P 到y 轴的距离为1PB -.由抛物线的定义知PB PF =，故点P 到直线l 和y 轴的距离之和为1PF PA +-.观察图象知当,,A P F 三点共线时1PF PA +-取到最小值，此时，PF PA +为焦点(1,0)F 到直线l 255=P 到直线:280l x y -+=和y 轴的距离之和的最小值为251.5.答案：B解析：设点(,)B x y ，则11,22110,22y x x y -⎧=⎪⎪+⎨-+⎪+-=⎪⎩解得0,3x y ==，则(0,3)B ，设直线m 的方程为1(2)y k x -=+，与方程:10l x y +-=联立，解得231,11k k x y k k +=-=++，则231,11k k C k k +⎛⎫- ⎪++⎝⎭.因为直线AB 的方程为3y x =+，且2AB =C 到直线AB 的距离231|3|1122|1|k k k k d k +--+++==+所以12222|1|k ⨯=+，得|1||1|k k -=+，得0k =.故选B. 6.答案：D解析：圆C 的方程可化为22(1)(2)4x y ++-=，因此圆心为(1,2)C -，半径2r =，连接CM ，由于弦AB 满足3AB =，所以22||||12AB CM r ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，因此点M 在以(1,2)C -为圆心、1为半径的圆上.又点M 在直线20x y k ++=上，所以直线20x y k ++=与圆22(1)(2)1x y ++-=15≤，解得55k ≤7.答案：A解析：由椭圆定义可知12||||2PF PF a +=，又1221242,,33a aPF PF PF PF =∴==.在12PF F 中，222121212122cos F F PF PF PF PF F PF =+-⋅⋅∠，即222216416149992c a a a ⎛⎫=+-⨯- ⎪⎝⎭，即22222874,,99c c a a =∴=∴椭圆的离心率7c e a ==.8.答案：C解析：由12(2,1),0A k k +=，设直线1:(2)1AB y k x =-+，直线()()211122:(2)1(2)1,,,,AC y k x k x B x y C x y =-+=--+.已知点A 在椭圆上，联立直线AB 与椭圆方程得，()()22221111141168161640k x k k x k k +--+--=，由根与系数的关系得21112116164241k k x k --⋅=+，即21112188241k k x k --=+，代入直线AB 的方程得21112144141k k y k --+=+，即2211112211882441,4141k k k k B k k ⎛⎫----+ ⎪++⎝⎭.同理可得，2211112211882441,4141k k k k C k k ⎛⎫+--++ ⎪++⎝⎭.则直线BC 的斜率221111222111122111121122114414414141818828821624141k k k k y y k k k k k k k k x x k k k -++--+--++====+-----++，故选C.9.答案：D解析：由双曲线的定义可得，212128,28AF AF a BF BF a -==-==，所以2ABF 的周长为2211||16||2||1626AF BF AB AF BF AB AB ++=+++=+=.故选D. 10.答案：A解析：双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右顶点为(,0)A a ，不妨设圆A 与渐近线0bx ay +=交于,M N 两点.由60MAN ∠=︒，可得A 到渐近线0bx ay +=的距离为3cos30b ︒223a b=+，即3a c =，可得C 的离心率为23e .故选A. 11.答案：C解析：解法一 依题意知直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为2y kx =+.联立方程得28,2,x y y kx ⎧=⎨=+⎩得28160x kx --=，所以16A B x x =-.又||1||2AF BF =，所以2B A x x =-，得22,42A B x x ⎧=-⎪⎨=⎪⎩或22,4 2.A B x x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩从而1||622AOBB A S OF x x =-=.故选C.解法二 由||1,||21121,||||2AF BF AF BF p ⎧=⎪⎪⎨⎪+==⎪⎩解得||3,||6,AF BF =⎧⎨=⎩所以||23,||26,A B AF y BF y =+=⎧⎨=+=⎩由此解得1,4,AB y y =⎧⎨=⎩则22,42A B x x ⎧=-⎪⎨=⎪⎩或22,4 2.A Bx x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩从而1||622AOBB A SOF x x =-=.故选C. 12.答案：D解析：设点()00,M x y ，由120F M F M ⋅=，得()()20000x c x c y +⋅-+=，即22200x y c +=①. 又点M 在椭圆C 上，所以2200221x y a b+=②.由①②联立，结合222a b c -=，得()22222a cb x c-=.易知2200x a ≤≤，则()()222222222,0,a c b c a c b a c ⎧-⎪≥⎪⎨-⎪≤⎪⎩即22222,,c b c b c ≤-≥⎧⎨⎩所以22c b ≥. 又222b a c =-，所以222c a c ≥-，即222c a ≥，得212e ≥. 而01e <<，所以212e ≤<.故选D. 13.答案：D解析：依题意知，双曲线的渐近线方程为0bx ay ±=，抛物线的准线方程为2px =-，代入双曲线渐近线方程得2bp y a =±.由双曲线的离心率为2，212b a ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即3b a =则,A B两点的纵坐标为31,32322ABOpy p S ==⨯=解得22p =所以抛物线的焦点坐标为(2,0).故选D. 14.答案：C解析：由椭圆2212:1(1)x C y m m +=>与双曲线2222:1(0)x C y n n-=>的焦点重合，可得2211m n -=+，即222n m =-①.由双曲线的顶点是椭圆长轴的两个三等分点，可得13n m =②.由①②可得31,22m n ==，则2212221111451111493m n e e m n -+⋅==-+=-+=.故选C.15.答案：D解析：由题意可得,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，直线AC 的斜率b k a =-，设()()1122,,,,A x y C x y ∴直线AC 的方程为2b p y x a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，与抛物线方程联立得2,22,b p y x a y px ⎧⎛⎫=--⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=⎩消去x 整理得2212220,pa pa y y p y y b b +-=∴+=-，2121211,||||,22y y p AF FC y y =-=∴=-，222222222298,9,3c a b a b a e e a a a+∴=∴====∴=，故选D.。
高考数学压轴专题2020-2021备战高考《平面解析几何》知识点总复习含答案解析
【高中数学】数学高考《平面解析几何》复习资料一、选择题1．点为椭圆的一个焦点，若椭圆上存在点使（为坐标原点）为正三角形，则椭圆的离心率为（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】 【分析】为正三角形，点在椭圆上，代入椭圆方程，计算得到.【详解】由题意，可设椭圆的焦点坐标为， 因为为正三角形，则点在椭圆上，代入得，即，得，解得，故选B ． 【点睛】本题考查了椭圆离心率的计算，意在考查学生的计算能力.2．抛物线y 2＝8x 的焦点为F ,设A ,B 是抛物线上的两个动点, 233AF BF +=, 则∠AFB 的最大值为（ ） A ．3π B ．34π C ．56π D ．23π 【答案】D 【解析】 【分析】设|AF |＝m ,|BF |＝n ,再利用基本不等式求解mn 的取值范围,再利用余弦定理求解即可. 【详解】设|AF |＝m ,|BF |＝n , ∵233AF BF +=, 2323AB mn ≥∴213mn AB ≤,在△AFB 中,由余弦定理得22222()2cos 22m n ABm n mn ABAFB mnmn+-+--∠==212213222AB mnmn mn mn mn --=≥=-∴∠AFB 的最大值为23π. 故选：D 【点睛】本题主要考查了抛物线的焦半径运用,同时也考查了解三角形与基本不等式的混合运用,属于中等题型.3．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>，过其右焦点F 作渐近线的垂线，垂足为B ，交y轴于点C ，交另一条渐近线于点A ，并且满足点C 位于A ，B 之间.已知O 为原点，且53OA a =，则||||FB FC =（ ） A ．45B ．23C ．34D ．13【答案】A 【解析】 【分析】设出直线AB 的方程，联立直线AB 方程和渐近线方程，由此求得,A B 两点的坐标，以及求得C 点的坐标，根据53OA a =列方程，求得,,a b c 的关系，由此求得||||FB FC 的值.【详解】由于双曲线渐近线为b y x a =±，不妨设直线AB 的斜率为ab-，故直线AB 的方程为()a y x c b =--.令0x =，得0,ac C b ⎛⎫ ⎪⎝⎭.由()a y x c bb y xa ⎧=--⎪⎪⎨⎪=⎪⎩解得2,a ab B c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭，.由()a y x c bb y xa ⎧=--⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩解得22222,a c abc A a b a b ⎛⎫- ⎪--⎝⎭，由53OA a =得22222222259a c abc a a b a b ⎛⎫-⎛⎫+= ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，化简得()()2222440a b a b --=，解得12b a =或2b a =.由于C 位于,A B 之间，故12b a =舍去，所以2b a=，即2b a =.故22222222||44||45B C aby FB b b a c ac FC y c a b a a b======++. 故选：A.【点睛】本小题主要考查双曲线的渐近线方程，考查直线和直线相交所得交点坐标的求法，考查双曲线的几何性质，考查运算求解能力，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.4．已知双曲线22:1124x y C -=，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为,P Q ．若POQ ∆为直角三角形，则PQ =（ ） A ．2 B ．4C ．6D ．8【答案】C 【解析】 【分析】由题意不妨假设P 点在第一象限、Q 点在第四象限，90OPQ ∠=︒，解三角形即可. 【详解】不妨假设P 点在第一象限、Q 点在第四象限，90OPQ ∠=︒.则易知30POF ∠=︒，4OF =，∴23OP =，在POQ n 中，60POQ ∠=︒，90OPQ ∠=︒，23OP =∴36PQ OP ==. 故选C 【点睛】本题主要考查双曲线的性质，根据双曲线的特征设出P ，Q 位置，以及POQ V 的直角，即可结合条件求解，属于常考题型.5．在矩形ABCD 中，已知3AB =，4=AD ，E 是边BC 上的点，1EC =，EF CD ∥，将平面EFDC 绕EF 旋转90︒后记为平面α，直线AB 绕AE 旋转一周，则旋转过程中直线AB 与平面α相交形成的点的轨迹是（ ）A ．圆B ．双曲线C ．椭圆D ．抛物线【答案】D 【解析】 【分析】利用圆锥被平面截的轨迹特点求解 【详解】由题将平面EFDC 绕EF 旋转90︒后记为平面α，则平面α⊥平面ABEF ,，又直线AB 绕AE 旋转一周，则AB 直线轨迹为以AE 为轴的圆锥，且轴截面为等腰直角三角形，且面AEF 始终与面EFDC 垂直，即圆锥母线AF ⊥平面EFDC 则 则与平面α相交形成的点的轨迹是抛物线 故选：D【点睛】本题考查立体轨迹，考查圆锥的几何特征，考查空间想象能力，是难题6．在平面直角坐标系中，已知双曲线的中心在原点，焦点在轴上，实轴长为8，离心率为，则它的渐近线的方程为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】D 【解析】试题分析：渐近线的方程为，而，因此渐近线的方程为，选D.考点：双曲线渐近线7．若点O 和点F 分别为椭圆22143x y +=的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP FP →→g 的最大值为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】C 【解析】 【分析】设(),P x y ，由数量积的运算及点P 在椭圆上，可把OP FP ⋅u u u r u u u r表示成为x 的二次函数，根据二次函数性质可求出其最大值. 【详解】设(),P x y ，()()1,0,0,0F O -，则()(),,+1,OP x y FP x y ==u u u r u u u r，则22OP FP x x y ⋅=++u u u r u u u r，因为点P 为椭圆上，所以有：22143x y +=即22334y x =-，所以()222223132244x x y x x x FP x OP =++=⋅++-=++u u u r u u u r又因为22x -≤≤，所以当2x =时，OP FP ⋅u u u r u u u r的最大值为6故选：C 【点睛】本题考查了数量积的坐标运算，求二次函数的最大值，属于一般题.8．当点P 在圆221x y +=上变动时，它与定点(3,0)Q 的连结线段PQ 的中点的轨迹方程是（ ）A ．22(3)4x y ++=B ．22(23)41x y -+=C ．22(3)1x y -+=D ．22(23)41x y ++=【答案】B 【解析】 【分析】根据已知条件可设()00,P x y ，线段PQ 的中点为(),M x y ，再利用中点坐标公式可得到0023,2x x y y =-=，再代入圆的方程221x y +=即可得到线段PQ 的中点的轨迹方程.【详解】设()00,P x y ，线段PQ 的中点为(),M x y ，（如图）则00322x x y y +⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩即00232x x y y =-⎧⎨=⎩，Q 点()00,P x y 在圆221x y +=上变动，即22001x y +=()()222321x y ∴-+=即()222341x y -+=故选：B【点睛】本题考查了中点坐标公式，动点轨迹方程求法，属于一般题.9．已知点P 在抛物线24y x =上，那么点P 到点(2,1)Q 的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为（ ） A ．(1,14) B ．1(,1)4-C ．(1,2)D ．(1,2)-【答案】A 【解析】 【分析】 【详解】试题分析：抛物线24y x =焦点为F （1,0），准线为1x =-，作PQ 垂直于准线，垂足为M 根据抛物线定义： ，PQ PF PQ PM +=+，根据三角形两边距离之和大于第三边，直角三角形斜边大于直角边知：PQ PM +的最小值是点Q 到抛物线准线1x =-的距离；所以点P 纵坐标为1，则横坐标为14,即(1,14)，故选A 考点：抛物线的定义及几何性质的运用.10．已知抛物线24x y =的焦点为F ，准线为l ，抛物线的对称轴与准线交于点Q ，P 为抛物线上的动点，PF m PQ =，当m 最小时，点P 恰好在以,F Q 为焦点的椭圆上，则椭圆的离心率为（ ）A ．3-B ．2-CD 1【答案】D 【解析】由已知，(01)(01)F Q ，，，-，过点P 作PM 垂直于准线，则PM PF =．记PQM α∠=，则sin PF PM m PQPQα===，当α最小时，m 有最小值，此时直线PQ与抛物线相切于点P ．设204x P x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，可得(21)P ，±，所以2PQ PF ，==，则2PF PQ a +=，∴1a =，1c =，∴1ce a==，故选D ．11．已知P 是双曲线2221(0)8x y a a -=>上一点，12,F F 为左、右焦点，且19PF =，则“4a =”是“217PF =”的（ ） A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】 【分析】化简得到229PF a =+或292PF a =-，故当4a =时，217PF =或21PF =；当217PF =时，4a =，得到答案.【详解】P 是双曲线2221(0)8x y a a -=>上一点，12,F F 为左、右焦点，且19PF =， 则229PF a =+或292PF a =-，当4a =时，217PF =或21PF =；当217PF =时，4a =. 故“4a =”是“217PF =”的必要不充分条件. 故选：B . 【点睛】本题考查了必要不充分条件，意在考查学生的推断能力.12．已知曲线C 的方程为22121x y m m+=-，现给出下列两个命题：p ：102m <<是曲线C 为双曲线的充要条件，q ：12m > 是曲线C 为椭圆的充要条件，则下列命题中真命题的是（ ）A ．()()p q ⌝∧⌝B ．()p q ⌝∧C ．()p q ∧⌝D ．p q ∧【答案】C 【解析】 【分析】根据充分必要条件及双曲线和椭圆定义，分别判定命题p 与命题q 的真假，进而判断出复合命题的真假． 【详解】若曲线C 为双曲线，则()210m m -< ，可解得102m << 若102m <<，则()210m m -<，所以命题p 为真命题 若曲线C 为椭圆，则12m >且m≠1，所以命题q 为假命题 因而()p q ∧⌝为真命题所以选C 【点睛】本题考查了椭圆与双曲线的标准方程，充分必要条件的判定，属于基础题．13．已知抛物线22(0)y px p =>交双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的渐近线于A ，B 两点（异于坐标原点OAOB ∆的面积为32，则抛物线的焦点为（ ） A ．(2,0) B ．(4,0)C ．(6,0)D ．(8,0)【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得2ba=，设点A 位于第一象限，且(),A m n ，结合图形的对称性列出方程组确定p 的值即可确定焦点坐标. 【详解】2222222215c a b b e a a a+===+=，∴2b a =， 设点A 位于第一象限，且(),A m n ，结合图形的对称性可得：22322nm mn n pm ⎧=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩，解得：8p =，∴抛物线的焦点为()4,0，故选B . 【点睛】本题主要考查圆锥曲线的对称性，双曲线的渐近线，抛物线焦点坐标的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.14．过双曲线22134x y -=的左焦点1F 引圆223x y +=的切线，切点为T ，延长1F T 交双曲线右支于P 点，M 为线段1F P 的中点，O 为坐标原点，则MO MT -=（ ） A ．1 B．2C．1+D ．2【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形的中位线性质，双曲线的定义，及圆的切线性质，即可得到结论． 【详解】由图象可得()1111||MO MT MO MF TF MO MF TF -=--=-+=()()22211112322322PF PF OF OT -+-=⋅-+=-. 故选：B. 【点睛】本题考查圆与双曲线的综合，解题的关键是正确运用双曲线的定义，三角形的中位线性质．15．双曲线定位法是通过测定待定点到至少三个已知点的两个距离差所进行的一种无线电定位.通过船（待定点）接收到三个发射台的电磁波的时间差计算出距离差，两个距离差即可形成两条位置双曲线，两者相交便可确定船位.我们来看一种简单的“特殊”状况；如图所示，已知三个发射台分别为A ，B ，C 且刚好三点共线，已知34AB =海里，20AC =海里，现以AB 的中点为原点，AB 所在直线为x 轴建系.现根据船P 接收到C 点与A 点发出的电磁波的时间差计算出距离差，得知船P 在双曲线()222713664x y --=的左支上，根据船P 接收到A 台和B 台电磁波的时间差，计算出船P 到B 发射台的距离比到A 发射台的距离远30海里，则点P 的坐标（单位：海里）为（ ）A ．9011,77⎛⎫±⎪⎪⎝⎭B ．135322,77⎛⎫±⎪⎪⎝⎭C ．3217,3⎛⎫±⎪⎝⎭D ．(45,162±【答案】B 【解析】 【分析】设由船P 到B 台和到A 台的距离差确定的双曲线方程为()22221x y x a a b-=≥，根据双曲线的定义得出15a =，再得出由船P 到B 台和到A 台的距离差所确定的双曲线为()2211522564x y x -=>，与双曲线()222713664x y --=联立，即可得出点P 坐标. 【详解】设由船P 到B 台和到A 台的距离差确定的双曲线方程为()22221x y x a a b-=≥由于船P 到B 台和到A 台的距离差为30海里，故15a =，又=17c ，故8b =故由船P 到B 台和到A 台的距离差所确定的双曲线为()2211522564x y x -=>联立()()()222227121366411522564x y x x y x ⎧--=<⎪⎪⎨⎪-=>⎪⎩，解得135,7P ⎛ ⎝⎭ 故选：B 【点睛】本题主要考查了双曲线的应用，属于中档题.16．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过2F 且斜率为247的直线与双曲线在第一象限的交点为A ，若()21210F F F A F A +⋅=u u u u v u u u u v u u u v，则此双曲线的标准方程可能为（ ）A ．22143x y -=B ．22134x y -=C ．221169x y -=D ．221916x y -=【答案】D 【解析】 【分析】先由()21210F F F A F A +⋅=u u u u r u u u u r u u u r 得到1222F F F A c ==，根据2AF 的斜率为247，求出217cos 25AF F ∠=-，结合余弦定理，与双曲线的定义，得到c a ，求出ab ，进而可得出结果. 【详解】由()21210F F F A F A +⋅=u u u u r u u u u r u u u r，可知1222F F F A c ==，又2AF 的斜率为247，所以易得217cos 25AF F ∠=-，在12AF F ∆中，由余弦定理得1165AF c =， 由双曲线的定义得16225c c a -=， 所以53c e a ==，则:3:4a b =， 所以此双曲线的标准方程可能为221916x y -=.故选D 【点睛】本题考查双曲线的标准方程，熟记双曲线的几何性质与标准方程即可，属于常考题型.17．设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点为F ，过点F 作与x 轴垂直的直线l 交椭圆于P ，B 两点（点P 在第一象限），过椭圆的左顶点和上顶点的直线1l 与直线l 交于A 点，且满足AP BP <u u u v u u u v ，设O 为坐标原点，若(,)OP OA OB R λμλμ=+∈u u u v u u u v u u u v ，29λμ=，则该椭圆的离心率为（ ）A ．35B ．1213C ．35或1213D ．45【答案】A 【解析】分析：根据向量共线定理及29λμ=，AP BP <u u uv u u u v ，可推出λ，μ的值，再根据过点F 作与x 轴垂直的直线l 交椭圆于P ，B 两点（点P 在第一象限），可推出P ，B 两点的坐标，然后求出过椭圆的左顶点和上顶点的直线1l 的方程，即可求得A 点的坐标，从而可得a ，b ，c 三者关系，进而可得椭圆的离心率.详解：∵A 、P 、B 三点共线，(),OP OA OB R λμλμ=+∈u u u v u u u v u u u v∴1λμ+= 又∵29λμ=∴1323λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或2313λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∵AP BP <u u u v u u u v∴2313λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∵过点F 作与x 轴垂直的直线l 交椭圆于P ，B 两点（点P 在第一象限）∴2(,)b P c a，2(,)b B c a -∵过椭圆的左顶点和上顶点的直线1l 与直线l 交于A 点 ∴直线1l 的方程为为1x y a b+=- ∴()(,)a c bA c a+ ∵2133OP OA OB =+u u u r u u u r u u u r∴222()1()33b a c b b a a a+=⋅+⋅-，即2b a c =+. ∴22224()2a c a ac c -=++，即223520a c ac --=. ∴25230e e +-= ∵(0,1)e ∈∴35e =故选A.点睛：本题考查了双曲线的几何性质，离心率的求法，考查了转化思想以及运算能力，双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出,a c ，代入公式ce a=；②只需要根据一个条件得到关于,,a b c 的齐次式，转化为,a c 的齐次式，然后转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)，即可得e (e 的取值范围)．18．已知椭圆2221(1)x y a a+=>的左、右焦点分别为1F ，2F ，A 是椭圆在第一象限上的一个动点，圆C 与1F A 的延长线，12F F 的延长线以及线段2AF 都相切，且()3,0M 为其中一个切点．则椭圆的离心率为（ ） AB．3C．2D【答案】B 【解析】 【分析】设圆C 与1F A 的延长线相切于点N ，与2AF 相切于点T ，由切线长相等和椭圆的定义，解方程得出3a =，求出c ，进而可得离心率. 【详解】设圆C 与1F A 的延长线相切于点N ，与2AF 相切于点T ，由切线长相等，得AN AT =，11F N F M =，22F T F M =，1(,0)F c -，2(,0)F c ，由椭圆的定义可得，122AF AF a +=，()111223+22+F N F M c AF AN a AF AN a AN AT TF ==+==-+=+-222(3)a F M a c =-=--，则26a =，即3a =，又1b =，所以2222c a b =-=， 因此椭圆的离心率为223c e a ==. 故选：B.【点睛】本题主要考查求椭圆的离心率，熟记椭圆的定义，以及椭圆的简单性质即可，属于常考题型.19．若函数1()ln (0,0)a a f x x a b b b+=-->>的图象在x ＝1处的切线与圆x 2＋y 2＝1相切，则a ＋b 的最大值是( ) A ．4 B ．2 C ．2 D ． 【答案】D 【解析】()1ln (0,0)a a f x x a b b b+=-->>，所以()'a f x bx ＝－，则f ′(1)＝－ab为切线的斜率，切点为(1，－1a b+)， 所以切线方程为y ＋1a b +＝－ab(x －1)， 整理得ax ＋by ＋1＝0.因为切线与圆相切，所以22a b+＝1，即a 2＋b 2＝1.由基本不等式得a 2＋b 2＝1≥2ab ， 所以(a ＋b )2＝a 2＋b 2＋2ab ＝1＋2ab ≤2， 所以a ＋b ≤，即a ＋b 的最大值为.故选D.点睛：求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点00(,)P x y 及斜率，其求法为：设00(,)P x y 是曲线()y f x =上的一点，则以P 的切点的切线方程为：000'()()y y f x x x -=-．若曲线()y f x =在点00(,())P x f x 的切线平行于y 轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为0x x =．20．已知0mn ≠，则方程是221mx ny +=与20mx ny +=在同一坐标系内的图形可能是 ( ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】方程20mx ny +=即2my x n=-，表示抛物线，方程()2210mx ny mn +=≠表示椭圆或双曲线，当m 和n 同号时，抛物线开口向左，方程()2210mx ny mn +=≠表示椭圆，无符合条件的选项，当m 和n 异号时，抛物线2my x n=-开口向右，方程221mx ny +=表示双曲线，故选A.。
知识05 平面解析几何(含真题)-【新高考】2021年高考数学考前必备知识速记
2．两条直线的交点的求法
直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则l1与l2的交点坐标就是方程组 的解．
3．三种距离公式
(1)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点之间的距离：|P1P2|＝ .
(2)点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离：d＝ .
6．点(x，y)关于直线y＝x的对称点为(y，x)，关于直线y＝－x的对称点为(－y，－x)．
7．点(x，y)关于直线x＝a的对称点为(2a－x，y)，关于直线y＝b的对称点为(x,2b－y)．
8．点(x，y)关于点(a，b)的对称点为(2a－x,2b－y)．
9．点(x，y)关于直线x＋y＝k的对称点为(k－y，k－x)，关于直线x－y＝k的对称点为(k＋y，x－k)．
斜率与倾斜角的关系
(1)当直线不垂直于x轴时，直线的斜率和直线的倾斜角为一一对应关系．
(2)当直线l的倾斜角α∈ 时，α越大，直线l的斜率越大；当α∈ 时，α越大，直线l的斜率越大．
(3)所有的直线都有倾斜角，但不是所有的直线都有斜率．
(4)已知倾斜角α的范围，求斜率k的范围，实质是求k＝tanα的值域；已知斜率k的范围，求倾斜角α的范围，实质是在 ∪ 上解关于正切函数的三角不等式问题，可借助正切函数图象来解决此类问题．
三、圆的方程
1．圆的定义及方程
定义
平面内与定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)
标准方程
(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)❶
圆心：(a，b)，半径：r
一般方程
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
(D2＋E2－4F＞0)❷
2021高考数学平面解析几何
专题11平面解析几何选择填空题
历年考题细目表
题型年份考点试题位置
单选题2019 椭圆2019年新课标1理科10
单选题2018 抛物线2018年新课标1理科08
单选题2018 双曲线2018年新课标1理科11
单选题2017 抛物线2017年新课标1理科10
单选题2016 双曲线2016年新课标1理科05
单选题2016 抛物线2016年新课标1理科10
单选题2015 双曲线2015年新课标1理科05
单选题2014 双曲线2014年新课标1理科04
单选题2014 抛物线2014年新课标1理科10
单选题2013 双曲线2013年新课标1理科04
单选题2013 椭圆2013年新课标1理科10
单选题2012 椭圆2012年新课标1理科04
单选题2012 双曲线2012年新课标1理科08
单选题2011 双曲线2011年新课标1理科07
单选题2010 双曲线2010年新课标1理科12
填空题2019 双曲线2019年新课标1理科16
填空题2017 双曲线2017年新课标1理科15
填空题2015 圆的方程2015年新课标1理科14
填空题2011 椭圆2011年新课标1理科14
填空题2010 圆的方程2010年新课标1理科15
历年高考真题汇编
1．【2019年新课标1理科10】已知椭圆C的焦点为F1（﹣1，0），F2（1，0），过F2的直线与C交于A，B两点．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则C的方程为（）
A．y2＝1 B． 1
C． 1 D． 1。
备战2021高考理数热点题型和提分秘籍 专题75 平面解析几何综合题-(解析版)
专题七十五平面解析几何综合题【高频考点解读】解析几何是高考的必考内容，它包括直线、圆、圆锥曲线和圆锥曲线综合应用等内容．高考常设置三个客观题和一个解答题，对解析几何学问和数学思想方法的应用进行考查，其分值约为27分，约占总分的16%.近几年高考解析几何试题的考查特点，一是设置客观题，考查两直线位置关系、点线距离、圆有关的概念、性质及其简洁应用；考查圆锥曲线即椭圆、双曲线、抛物线的概念、性质及其简洁应用等基础学问；二是以直线与圆位置关系、直线与圆锥曲线位置关系为载体，在代数、三角函数、向量等学问的交汇处设置解答题，考查圆锥曲线性质和向量有关公式、性质的应用，考查解决轨迹、不等式、参数范围、探究型等综合问题的思想方法，并且留意测试规律推理力量．高考解析几何综合试题主要考查解决直线与圆锥曲线位置关系、轨迹方程和探究型等问题的思想方法．为此，我们应把握圆锥曲线的定义、性质，明确解决直线与圆锥曲线位置关系的思想方法，把握曲线轨迹方程的各种求法，沟通学问间的横纵联系，借助方程理论、不等式性质，向量工具和数形结合、化归转化等思想方法，就能从容应对高考．【热点题型】题型一直线与圆的综合问题例1、已知圆O：x2＋y2＝4和点M(1，a)．(1)若过点M有且只有一条直线与圆O相切，求实数a的值，并求出切线方程；(2)若a ＝2，过点M的圆的两条弦AC、BD相互垂直，求|AC|＋|BD|的最大值．【提分秘籍】解决直线和圆的问题，首先要明确确定直线和圆的几何要素；其次要把握好直线方程和各种形式及其适用范围、圆的标准方程和一般方程；第三要把握好直线与直线的位置关系、点到直线的距离，直线与圆、圆与圆的位置关系；最终要充分重视平面几何学问在解决直线与圆问题中的作用．【热点题型】题型二最值与范围问题例2、在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的离心率e＝23，且椭圆C上的点到点Q(0,2)的距离的最大值为3.(1)求椭圆C的方程；(2)在椭圆C上，是否存在点M(m，n)，使得直线l：mx＋ny＝1与圆O：x2＋y2＝1相交于不同的两点A、B，且△OAB的面积最大？若存在，求出点M的坐标及对应的△OAB的面积；若不存在，请说明理由．由题设存在点P 1满足|P 1Q |＝3， 则9＝|P 1Q |2≤6＋3b 2，∴b ≥1.当b ≥1时，由于y ＝－1∈[－b ，b ]，此时|PQ |2取得最大值6＋3b 2. ∴6＋3b 2＝9⇒b 2＝1，a 2＝3. 故所求椭圆C 的方程为x 23＋y 2＝1.所以满足要求的点恰有四个，其坐标分别为⎝⎛⎭⎫62，22，⎝⎛⎭⎫62，－22，⎝⎛⎭⎫－62，22和⎝⎛⎭⎫－62，－22，此时对应的诸三角形的面积均达到最大值12.【提分秘籍】最值问题是从动态角度去争辩解析几何中数学问题的主要内容，一是在精确 把握题意的基础上，建立函数、不等式模型，利用二次函数、三角函数的有界性、基本不等式解决；二是利用数形结合，考虑相切、相交的几何意义解决．【热点题型】 题型三 存在性问题例3、已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)过点A (1，－2)． (1)求抛物线C 的方程，并求其准线方程；(2)是否存在平行于OA (O 为坐标原点)的直线l ，使得直线l 与抛物线C 有公共点，且直线OA 与l 的距离等于55？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．【提分秘籍】解决直线与圆锥曲线位置关系的存在性问题，往往是先假设所求的元素存在，然后再推理论证，检验说明假设是否正确．【热点题型】题型四 定值、定点问题例4、在直角坐标系xOy 中，曲线C 1上的点均在圆C 2：(x －5)2＋y 2＝9外，且对C 1上任意一点M ，M 到直线x ＝－2的距离等于该点与圆C 2上点的距离的最小值．(1)求曲线C 1的方程；(2)设P (x 0，y 0)(y 0≠±3)为圆C 2外一点，过P 作圆C 2的两条切线，分别与曲线C 1相交于点A ，B 和C ，D .证明：当P 在直线x ＝－4上运动时，四点A ，B ，C ，D 的纵坐标之积为定值．【解】 (1)法一：设M 的坐标为(x ，y )，由已知得|x ＋2|＝x －52＋y 2－3.易知圆C 2上的点位于直线x ＝－2的右侧，于是x ＋2＞0，所以x －52＋y 2＝x ＋5.化简得曲线C 1的方程为y 2＝20x .法二：由题设知，曲线C 1上任意一点M 到圆心C 2(5,0)的距离等于它到直线x ＝－5的距离．因此，曲线C 1是以(5, 0)为焦点，直线x ＝－5为准线的抛物线．故其方程为y 2＝20x .【提分秘籍】定值问题所要解决的一些量的值与变量无关，基本的求解方法是：先用变量表示这些量，然后再通过推导和已知条件，最终导出这些量与变量没有关系．即解打算值问题首先是求解非定值问题，即变量问题，然后才是定值问题．【高考风向标】1．（2022·江西卷）在平面直角坐标系中，A ，B 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C 与直线2x ＋y －4＝0相切，则圆C 面积的最小值为( )A.45πB.34π C ．(6－25)π D.54π【答案】A 【解析】由题意知，圆C 必过点O (0，0)，故要使圆C 的面积最小， 则点O 到直线l 的距离为圆C 的直径，即2r ＝45，所以r ＝25，所以S ＝45π.2．（2022·湖南卷）如图1-7，O 为坐标原点，椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为e 1；双曲线C 2：x 2a 2－y 2b 2＝1的左、右焦点分别为F 3，F 4，离心率为e 2.已知e 1e 2＝32，且|F 2F 4|＝3－1.(1)求C 1，C 2的方程；(2)过F 1作C 1的不垂直于y 轴的弦AB ，M 为AB 的中点．当直线OM 与C 2交于P ，Q 两点时，求四边形APBQ 面积的最小值．图1-7解： (1)由于e 1e 2＝32，所以a 2－b 2a ·a 2＋b 2a ＝32，即a 4－b 4＝34a 4，因此a 2＝2b 2，从而F 2(b ，0)，F 4(3b ，0)，于是3b －b ＝|F 2F 4|＝3－1，所以b ＝1，a 2＝2.故C 1，C 2的方程分别为x 22＋y 2＝1，x 22－y2＝1.(2)因AB 不垂直于y 轴，且过点F 1(－1，0)，故可设直线AB 的方程为x ＝my －1，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my －1，x 22＋y 2＝1得(m 2＋2)y 2－2my －1＝0.易知此方程的判别式大于0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1，y 2是上述方程的两个实根，所以y 1＋y 2＝2mm 2＋2，y 1y 2＝－1m 2＋2.3．（2022·新课标全国卷Ⅰ] 已知点A (0，－2)，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，F 是椭圆E 的右焦点，直线AF 的斜率为233，O 为坐标原点．(1)求E 的方程；(2)设过点A 的动直线l 与E 相交于P ，Q 两点，当△OPQ 的面积最大时，求l 的方程． 解：(1)设F (c ，0)，由条件知，2c ＝233，得c ＝ 3.又c a ＝32，所以a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝1. 故E 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)当l ⊥x 轴时不合题意，故可设l ：y ＝kx －2，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)．将y ＝kx －2代入x 24＋y 2＝1得(1＋4k 2)x 2－16kx ＋12＝0，4．（2022·新课标全国卷Ⅱ] 设F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，M 是C 上一点且MF 2与x 轴垂直，直线MF 1与C 的另一个交点为N .(1)若直线MN 的斜率为34，求C 的离心率；(2)若直线MN 在y 轴上的截距为2，且|MN |＝ 5|F 1N |，求a ，b .(2)由题意知，原点O 为F 1F 2的中点，MF 2∥y 轴，所以直线MF 1与y 轴的交点D (0，2)是线段MF 1的中点，故b 2a＝4，即b 2＝4a .①由|MN |＝5|F 1N |得|DF 1|＝2|F 1N |. 设N (x 1，y 1)，由题意知y 1<0，则⎩⎪⎨⎪⎧2（－c －x 1）＝c ，－2y 1＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－32c ，y 1＝－ 1.代入C 的方程，得9c 24a 2＋1b 2＝1.②将①及c ＝a 2－b 2代入②得9（a 2－4a ）4a 2＋14a＝1，解得a ＝7，b 2＝4a ＝28，故a ＝7，b ＝27.5．（2022·山东卷）已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，A 为C 上异于原点的任意一点，过点A 的直线l 交C 于另一点B ，交x 轴的正半轴于点D ，且有|F A |＝|FD |.当点A 的横坐标为3时，△ADF 为正三角形．(1)求C 的方程．(2)若直线l 1∥l ，且l 1和C 有且只有一个公共点E . ①证明直线AE 过定点，并求出定点坐标．②△ABE 的面积是否存在最小值？若存在，恳求出最小值；若不存在，请说明理由．由于直线l 1和直线AB 平行， 设直线l 1的方程为y ＝－y 02x ＋b ，所以点B 到直线AE 的距离为d ＝⎪⎪⎪⎪4x 0＋x 0＋4＋m ⎝⎛⎭⎫y 0＋8y 0－11＋m 2＝4（x 0＋1）x 0＝4⎝⎛⎭⎫x 0＋1x 0， 则△ABE 的面积S ＝12×4⎝⎛⎭⎫x 0＋1x 0x 0＋1x 0＋2≥16，当且仅当1x 0＝x 0，即x 0＝1时，等号成立．所以△ABE 的面积的最小值为16. 【随堂巩固】1．已知圆M 的方程为x 2＋(y －2)2＝1，直线l 的方程为x －2y ＝0，点P 在直线l 上，过点P 作圆M 的切线P A ，PB ，切点为A 、B .(1)若∠APB ＝60°，试求点P 的坐标；(2)若P 点的坐标为(2,1)，过P 作直线与圆M 交于C ，D 两点，当|CD |＝2时，求直线CD 的方程．2．已知圆C 过定点F ⎝⎛⎭⎫－14，0，且与直线x ＝14相切，圆心C 的轨迹为E ，曲线E 与直线l ：y ＝k (x ＋1)(k ∈R ，k ≠0)相交于A ，B 两点．(1)求曲线E 的方程；(2)在曲线E 上是否存在与k 的取值无关的定点M ，使得MA ⊥MB ？若存在，求出全部符合条件的定点M ；若不存在，请说明理由．解：(1)由题意，点C 到定点F ⎝⎛⎭⎫－14，0和到直线x ＝14的距离相等，∴点C 的轨迹是抛物线，其轨迹方程为y 2＝－x ，即曲线E 的方程为y 2＝－x .(2)存在定点M .证明如下：3．已知椭圆C 1、抛物线C 2的焦点均在x 轴上，C 1的中心和C 2的顶点均为原点O ，从每条曲线上各取两个点，将其坐标记录于下表中：x 3 －2 4 2 y－2 3－422(1)求C 1、C 2的标准方程；(2)是否存在直线l 满足条件：①过C 2的焦点F ；②与C 1交于不同的两点M 、N ，且满足OM →⊥ON →？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．(2)简洁验证当直线l 的斜率不存在时，不满足题意．当直线l 的斜率存在时，设其方程为y ＝k (x －1)，与C 1的交点为M (x 1，y 1)、N (x 2，y 2)．4．已知平面内一动点P 到点F (1,0)的距离与点P 到y 轴的距离的差等于1. (1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)过点F 作两条斜率存在且相互垂直的直线l 1，l 2，设l 1与轨迹C 相交于点A ，B ，l 2与轨迹C 相交于点D ，E ，求AD →·EB →的最小值．解：5．已知中心在坐标原点O 的椭圆C 经过点A (2,3)，且点F (2,0)为其右焦点． (1)求椭圆C 的方程；(2)是否存在平行于OA 的直线l ，使得直线l 与椭圆C 有公共点，且直线OA 与l 的距离等于4？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．6.过点C (0,1)的椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32.椭圆与x 轴交于两点A (a,0)、B (－a,0)，过点C 的直线l 与椭圆交于另一点D ，并与x 轴交于点P .直线AC 与直线BD 交于点Q .(1)当直线l 过椭圆右焦点时，求线段CD 的长； (2)当点P 异于点B 时，求证：OP →·OQ →为定值．。
高考数学真题专题分类汇编专题十 平面解析几何(学生版)
专题十平面解析几何真题卷题号考点考向2023新课标1卷5 椭圆的性质已知椭圆离心率求参6 直线与圆的位置关系求过圆外一点作圆的两条切线所成角16 双曲线的性质求双曲线的离心率22 抛物线的方程、直线与抛物线的位置关系求轨迹方程、四边形的周长的最值问题（求弦长）2023新课标2卷5 直线与椭圆的位置关系直线与椭圆相交时的面积问题10 抛物线的方程与性质求抛物线的方程、焦点弦问题15 直线与圆的位置关系直线与圆相交的弦长问题21 双曲线的方程、直线与双曲线的位置关系求双曲线的标准方程、求动点的轨迹2022新高考1卷11 抛物线的标准方程、性质抛物线的性质、直线与抛物线的位置关系14 圆与圆的位置关系求两圆的公切线方程16 直线与椭圆位置关系椭圆的定义的应用、求椭圆中的弦长21 双曲线的标准方程、直线与双曲线位置关系求双曲线的标准方程、交线的斜率，三角形的面积2022新高考2卷3 直线的倾斜角与斜率求直线的斜率10 抛物线的定义与性质、直线与抛物线位置关系求交线的斜率、抛物线定义与性质的应用15 直线与圆的位置关系求直线方程、已知直线与圆的位置关系求参16 直线与椭圆的位置关系求与椭圆相交的直线方程21 双曲线的标准方程、直线与双曲线的位置关系求双曲线的标准方程、求点的轨迹方程、判断直线的位置关系2021新高考1卷 5 椭圆的定义求椭圆上的点到两焦点距离积的最值11 直线与圆的位置关系 求点到直线的距离、直线与圆相切的位置关系中的最值问题 14 抛物线的定义与性质 求抛物线的准线方程 21 双曲线的标准方程、直线与双曲线的位置关系 求点的轨迹方程、直线与双曲线位置关系中的定值问题（斜率之和为定值）2021新高考2卷3 抛物线的性质、点到直线的距离求抛物线焦点坐标11直线与圆的位置关系判断直线与圆的位置关系13 双曲线的性质求双曲线的渐近线方程 20 椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系求椭圆的标准方程、求椭圆的弦与圆相切时的弦长 2020新高考1卷9圆锥曲线的方程与性质 由参数范围判断圆锥曲线的类型及相关性质13 直线与抛物线的位置关系 求抛物线的弦长 22 椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系求椭圆的方程、直线与椭圆位置关系中的定点问题 2020新高考2卷10圆锥曲线的方程与性质 由参数范围判断圆锥曲线的类型及相关性质14直线与抛物线的位置关系求抛物线的弦长【2023年真题】1.（2023·新课标I 卷 第5题）设椭圆2212:1(1)x C y a a +=>，222:14x C y +=的离心率分别为1e ，2.e 若21e =，则a =( ) A.B.C.D.2. （2023·新课标I 卷 第6题）过点(02)−与圆22410x y x +−−=相切的两条直线的夹角为α则sin α=( ) A. 1B.C.D.3 （2023·新课标II 卷 第5题）已知椭圆22:13x C y +=的左、右焦点分别为1F ，2F ，直线y x m=+与C 交于A ，B 两点，若1F AB 面积是2F AB 面积的2倍，则m =( )A.23B.C. D.234. （2023·新课标II 卷 第10题）（多选）设O 为坐标原点，直线1)y x −过抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点，且与C 交于M ，N 两点，l 为C 的准线，则( ) A. 2p =B. 8||3MN =C. 以MN 为直径的圆与l 相切D. OMN 为等腰三角形5. （2023·新课标I 卷 第16题）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b−=>>的左右焦点分别为12,F F ，点A在C 上，点B 在y 轴上，11F A F B ⊥ ，222=-3F A F B，则C 的离心率为__________.6. （2023·新课标II 卷 第15题）已知直线10x my −+=与22:(1)4C x y −+= 交于A 、B 两点，写出满足“ABC 面积为85”的m 的一个值__________ 7. （2023·新课标I 卷 第22题）在直角坐标系xOy 中，点P 到x 轴的距离等于点P 到点的距离，记动点P 的轨迹为.W(1)求W 的方程；(2)已知矩形ABCD 有三个顶点在W 上，证明：矩形ABCD 的周长大于8. （2023·新课标II 卷 第21题）已知双曲线C 的中心为坐标原点，左焦点为(−(1)求C 的方程：(2)记C 的左、右顶点分别为1A ，2A ，过点(4,0)−的直线与C 的左支交于M ，N 两点，M 在第二象限，直线1MA 与2NA 交于点P ，证明：点P 在定直线上.【2022年真题】9.（2022·新高考II 卷 第3题）图1是中国古代建筑中的举架结构，AA ′，BB ′，CC ′，DD ′是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图.其中1DD ，1CC ，1BB ，1AA 是举，1OD ，1DC ，1CB ，1BA 是相等的步，相邻桁的举步之比分别为110.5DD OD =，111CC k DC =，121BBk CB =，131AA k BA =，已知1k ，2k ，3k 成公差为0.1的等差数列，且直线OA 的斜率为0.725，则3k =( )A. 0.75B. 0.8C. 0.85D. 0.910.（2022·新高考I 卷 第11题）（多选）已知O 为坐标原点，点(1,1)A 在抛物线2:2(0)C x py p =>上，过点(0,1)B −的直线交C 于P ，Q 两点，则( ) A. C 的准线为1y =− B. 直线AB 与C 相切 C.D. 2||||||BP BQ BA ⋅>11.（2022·新高考II 卷 第10题）（多选）已知O 为坐标原点，过抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点F 的直线与C 交于A ，B 两点，点A 在第一象限，点(,0)M p ，若||||AF AM =，则( ) A. 直线AB的斜率为 B. ||||OB OF =C. ||4||AB OF >D. 180OAM OBM ∠+∠<°12.（2022·新高考I 卷 第14题）写出与圆221x y +=和22(3)(4)16x y −+−=都相切的一条直线的方程__________.13.（2022·新高考I 卷 第16题）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>，C 的上顶点为A ，两个焦点为1F ，2F ，离心率为12，过1F 且垂直于2AF 的直线与C 交于D ，E 两点，||6DE =，则ADE 的周长是__________.14.（2022·新高考II 卷 第15题）设点(2,3)A −，(0,)B a ，直线 AB 关于直线y a =的对称直线为l ，已知l 与圆22:(3)(2)1C x y +++=有公共点，则a 的取值范围为__________.15.（2022·新高考II 卷 第16题）已知直线l 与椭圆22163x y +=在第一象限交于A ，B 两点，l 与x 轴y轴分别相交于M ，N 两点，且||||MA NB =，||MN =l 的方程为__________.16.（2022·新高考I 卷 第21题）已知点(2,1)A 在双曲线2222:1(1)1x yC a a a −=>−上，直线l 交C 于P ，Q 两点，直线,AP AQ 的斜率之和为0.(1)求l 的斜率；(2)若tan PAQ ∠，求PAQ的面积．17.（2022·新高考II 卷 第21题）设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b−=>>的右焦点为(2,0)F ，渐近线方程为.y =(1)求C 的方程;(2)经过F 的直线与C 的渐近线分别交于A ，B 两点，点11(,)P x y ，22(,)Q x y 在C 上，且120x x >>，10.y >过P 且斜率为的直线与过Q M ，从下面三个条件①②③中选择两个条件，证明另一个条件成立：①M 在AB 上;②//;PQ AB ③||||.AM BM =【2021年真题】18.（2021· 新高考I 卷 第5题）已知1F ，2F 是椭圆C ：22194x y +=的两个焦点，点M 在C 上，则12||||MF MF ⋅的最大值为( )A. 13B. 12C. 9D. 619.（2021·新高考II 卷 第3题）抛物线22(0)y px p =>的焦点到直线1y x =+，则p =( ) A. 1B. 2C.D. 420.（2021·新高考I 卷 第11题）（多选）已知点P 在圆22(5)(5)16x y −+−=上，点(4,0)A ，(0,2)B ，则( )A. 点P 到直线AB 的距离小于10B. 点P 到直线AB 的距离大于2C. 当PBA ∠最小时，||PB =D. 当PBA ∠最大时，||PB =21.（2021·新高考II 卷 第11题）（多选）已知直线2:0l ax by r +−=与圆222:C x y r +=，点(,)A a b ，则下列说法正确的是( )A. 若点A 在圆C 上，则直线l 与圆C 相切B. 若点A 在圆C 内，则直线l 与圆C 相离C. 若点A 在圆C 外，则直线l 与圆C 相离D. 若点A 在直线l 上，则直线l 与圆C 相切22.（2021·新高考I 卷 第14题）已知O 为坐标原点，抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，P 为C 上一点，PF 与x 轴垂直，Q 为x 轴上一点，且.PQ OP ⊥若||6FQ =，则C 的准线方程为__________.23.（2021·新高考II 卷 第13题）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b−=>>的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为__________.24.（2021·新高考I 卷 第21题）在平面直角坐标系xOy 中，已知点1(F ，2F ，点M 满足12|||| 2.MF MF −=记M 的轨迹为.C (1)求C 的方程；(2)设点T 在直线12x =上，过T 的两条直线分别交C 于A ，B 两点和P ，Q 两点，且||||||||TA TB TP TQ ⋅=⋅，求直线AB 的斜率与直线PQ 的斜率之和.25.（2021·新高考II 卷 第20题）已知椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>，右焦点为F ，且(1)求椭圆C 的方程；(2)设M ，N 是椭圆C 上的两点，直线MN 与曲线222(0)x y b x +=>相切．证明：M ，N ，F 三点共线的充要条件是||MN =【2020年真题】26.（2020·新高考I 卷 第9题、 II 卷 第10题）（多选）已知曲线22:1C mx ny +=，则( ) A. 若0m n >>，则C 是椭圆，其焦点在y 轴上 B. 若0m n =>，则CC. 若0mn <，则C 是双曲线，其渐近线方程为y =D. 若0m =，0n >，则C 是两条直线27.（2020·新高考I 卷 第13题、II 卷 第14题）的直线过抛物线:C 2y 4x =的焦点，且与C 交于A ，B 两点，则||AB =__________.28.（2020·新高考I 卷 第22题）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>，且过点(2,1).A(1)求C 的方程;(2)点M ，N 在C 上，且AM AN ⊥，AD MN ⊥，D 为垂足.证明：存在定点Q ，使得||DQ 为定值.29.（2020·新高考II 卷 第21题）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>过点(2,3)M ，点A 为其左顶点，且AM 的斜率为1.2(1)求C 的方程；(2)点N 为椭圆上任意一点，求AMN 的面积的最大值．【答案解析】1.（2023·新课标I 卷 第5题）解：易得，1e =，2e =12=，解得a =故选.A 2. （2023·新课标I 卷 第6题）解：22(2)5x y −+=，故圆心(2,0)B ，记(0,2)A −，设切点为M ，.N，，故，，，sin 2sin cos22ααα==B 3 （2023·新课标II 卷 第5题）解：1F 到AB 的距离1d ，2F 到AB 距离2d，1d =2d =122F AB F AB S S =，m ∴−，又 直线与椭圆相交，消y 可得2246330x mx m ++−=，0∆>，24m ∴<，m ∴.C 4. （2023·新课标II 卷 第10题）（多选）解：因为1)y x −过抛物线22y px =的焦点，则焦点(1,0)F ，2p =，A 选项正确；抛物线24y x =，MN 的倾斜角23πα=，224163sin 34p MN α===，B 选项错误；以MN 为直径的圆一定与准线相切，C 选项正确；联立，解得，设1(3M N ，OM =ON =，163MN =，所以OMN 不是等腰三角形，D 选项错误； 故选：.AC5.（2023·新课标I 卷 第16题）解：222=-3F A F B，设22||2,||3(0)F A t F B t t ==>，||5.AB t ∴= 由对称性知21||||3.F B F B t ==又11F A F B ⊥，故1||4F A t =，4cos .5A = 由双曲线的定义知，，故.t a =在12F AF 中，22216444cos 2425a a c A a a +−==⋅⋅ 解得：29()5c a =，故C6. （2023·新课标II 卷 第15题）解：由题知22:(1)4C x y −+= 的圆心为(1,0)，半径为2， 设圆心到直线的距离为d，则||AB ，于是，118||225ABC S AB d d =⋅=×= ，得2165d =或245d =， 若取2165d =，则d ==，解得1122m m ==−或， 若取245d =，则d ==22m m ==−或， 故答案为：1(2答案不唯一). 7. （2023·新课标I 卷 第22题） 解：(1)设点P 的坐标为(,)x y ，由题意得，整理，得214y x =+， 故W 的方程为：21.4y x =+ (2)设矩形的三个顶点，，在轨迹W 上，且a b c <<，1AB BC k k =−， 令0AB k a b m =+=<，0BC k b c n =+=>，则1mn =−， 设矩形的周长为C ，由对称性不妨设||||m n …，1c a n m n n−=−=+， 则当且仅当时等号成立)，令221()()(1),0,f x x x x x =++> 则令()0,f x ′=得x =当x >时，()0f x ′>；当0x <<时，()0f x ′<， 所以，所以12C =C …当且仅当n m ==).等号不能同时成立，所以C >【解析】本题考查轨迹方程的求解，直线与圆锥曲线的位置关系，弦长的求解，利用导数求最值，属于压轴题.（1）设出点P 的坐标，由距离公式即可求解；（2）由轨迹方程设出三点坐标，由对称性结合弦长公式表示出矩形的周长，利用导数求最值即可求解. 8. （2023·新课标II 卷 第21题）解：(1)由题意可得c =，cea==，则2a =，4b，故C 的方程为221.416x y −=(2)设直线:4MN x my =−，00(,)P x y ，11(,)M x y ，22(,)N x y由(1)知12(2,0)(2,0)A A −，则111:(2)2y MA y x x =++，222:(2)2y NA y x x =−− 联立得：012121220121222(6)6()6(*)2(2)2x y my my y y y y x my y my y y −⋅−−++==+−⋅−， 将4x my =−代入221416x y −=得22(41)32480m y my −−+=，则0∆>，且248041m <−，得11.22m −<< 则有1223241my y m +=−，1224841y y m =−； 代入(*)式可得2222022022248192621446(41)41413482482(41)241m my x m y m m m m x m y m y m −+−−+−−−===−+−−−−， 解得01x =−，故点P 在定直线1x =−上.【解析】本题考查双曲线的标准方程、双曲线的离心率、双曲线的定直线问题，计算量较大，属于较难题.(1)根据题意得出a ，b 的值，即可求出结果；(2)先设出直线:4MN x my =−，00(,)P x y ，11(,)M x y ，22(,)N x y ，，可得到1MA ，2NA ，联立可得(*)式.再将将4x my =−代入双曲线方程，由韦达定理可得12y y +，12.y y 再结合(*)式，即可得定直线.即可证明点P 在定直线上.9.（2022·新高考II 卷 第3题）解：设11111OD DC CB BA ====，则11CC k =，12BB k =，13AA k =′ 由题意得310.2k k =+，320.1k k =+， 且111111110.725DD CC BB AA OD DC CB BA +++=+++， 解得30.9.k =10.（2022·新高考I 卷 第11题）（多选）解：点(1,1)A 在抛物线2:2(0)C x py p =>上， 即212:p C x y =⇒=，所以准线为14y =−，所以A 错; 直线:21AB y x =−代入2x y =， 得：22210(1)01x x x x −+=⇒−=⇒=，0∆=， 所以AB 与C 相切，故B 正确.由题知直线PQ 的斜率一定存在，则可设直线:1PQ y kx =−，11(,)P x y ，22(,)Q x y ，则22110y kx x kx y x=− ⇒−+== ，2402k k ∆=−>⇒<−或2k >， 此时12121x x k x x += = ，222212121212221212()221y y x x x x x x k y y x x +=+=+−=− == ，||||OP OQ ⋅==，故C 正确;12|||||0||0|BP BQ x x ⋅−−22212(1)||(1)5||k x x k BA =+=+>=，故D 正确.11.（2022·新高考II 卷 第10题）（多选） 解：选项:A 设FM 中点为N ，则3224A Nppx x p +===，所以 223322(0)42A A A y px p p p y ==⋅=>，所以A y p =，故AB k = 选项1121125:||3||||||62342B B p p B BF p X X p AF BF p BF p p +=⇒+=⇒==+⇒=+所以 2222.33Bp p y p =⋅=所以22222227||.9394B B p p p p OB x y =+=+=≠选项325:||24||.4312p C AB p p p p OF =++=>= 选项:D 由选项A ，B知3()4A p p，(,)3p B p ，所以22233()(,)04344p pOA OB p p p p p⋅==−=−<，所以AOB∠为钝角;又211().(,04312p pMA MB p p⋅=−−=−<，所以AMB∠为钝角，所以180.OAM OBM∠+∠<°12.（2022·新高考I卷第14题）解：方法1:显然直线的斜率不为0，不妨设直线方程为0x by c++=，1=化简得221c b=+①，4.=化简得，|34||4|b c c++=，于是344b c c++=或344b c c++=−，再结合①解得1bc==或247257bc=−=−或4353bc==−，所以直线方程有三条，分别为10x+=，724250x y−−=，3450.(x y+−=填一条即可)方法2:设圆221x y+=的圆心(0,0)O，半径为11r=，圆22(3)(4)16x y−+−=的圆心(3,4)C，半径24r=，则12||5OC r r==+，因此两圆外切，由图像可知，共有三条直线符合条件，显然10x+=符合题意；又由方程22(3)(4)16x y−+−=和221x y+=相减可得方程3450x y+−=，即为过两圆公共切点的切线方程，又易知两圆圆心所在直线OC 的方程为430x y −=， 直线OC 与直线10x +=的交点为4(1,)3−−，设过该点的直线为4(1)3y k x +=+，则，解得724k =， 从而该切线的方程为724250.(x y −−=填一条即可) 13.（2022·新高考I 卷 第16题）解：由椭圆离心率为12，可得2a c =，则b =，则椭圆C ：2222143x y c c+=，)A ，1(,0)F c −，2(,0)F c ，易得2AF l ：y +，ED l ：)y x c +，可解得2AF 与DE 的交点(2c M ，故直线DE 垂直平分2AF ，即，，又，213||||6()4278D E D E D E DE x x x x x x c ∴=−=⇒+−=⇒=， 所以ADE 的周长14.（2022·新高考II 卷 第15题） 解：因为32AB a k −=，所以AB 关于直线y a =的对称直线为(3)220a x y a −−+=，所以，整理可得261130,a a −+…解得13.32a 剟15.（2022·新高考II 卷 第16题）解：取AB 的中点为E ，因为||||MA NB =，所以||||ME NE =，设11(,)A x y ，22(,)B x y可得1212121212y y y y x x x x +−×=−+−，即1..2OE AB k k =−设直线:AB y kx m =+，0k <，0m >， 令0x =，y m =，令0y =，m x k =−，所以(,)22m mE k −， 所以212m k k m k×=−=−−，k =， 22212m m +=，2m =，所以直线:2AB y x +，即0.x −= 16.（2022·新高考I 卷 第21题） 解：(1)将点A 代入双曲线方程得224111a a −=−，化简得42440a a −+=得： 22a =，故双曲线方程为221;2x y −= 由题显然直线l 的斜率存在，设:l y kx m =+，设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，则联立直线与双曲线得： 222(21)4220k x kmx m −+++=，0> ，故122421km x x k +=−−，21222221m x x k +=−， 12121212111102222AP AQ y y kx m kx m k k x x x x −−+−+−+=+=+=−−−−，化简得：12122(12)()4(1)0kx x m k x x m +−−+−−=， 故2222(22)4(12)()4(1)02121k m kmm k m k k ++−−−−−=−−， 即(1)(21)0k m k ++−=，而直线l 不过A 点， 故l 的斜率 1.k =−(2)设直线AP 的倾斜角为α，由tan PAQ ∠，得tan2PAQ ∠=， 由2PAQ απ+∠=，得tan AP k α==，即1112y x −=−，联立1112y x −=−，及221112x y −=得1x =，1y =，同理，2x =，2y =， 故12203x x +=，12689x x =而1|||2|AP x =−，2|||2|AQ x =−，由tan PAQ ∠，得sin PAQ ∠，故12121||||sin |2()4|2PAQS AP AQ PAQ x x x x =∠=−++= 17.（2022·新高考II 卷 第21题） 解：(1)由题意可得ba=2=，故1a =，b = 因此C 的方程为221.3y x −=(2)设直线PQ 的方程为(0)y kx m k =+≠，将直线PQ 的方程代入C 的方程得222(3)230k x kmx m −−−−=，则12223km x x k +=−，212233m x x k +=−−，12x x−=设点M的坐标为(,)M Mx y，则两式相减，得1212)My y x x−=−+，而121212()()()y y kx m kx m k x x−+−+−，故1212())Mk x x x x−++，解得Mx=两式相加，得12122())My y y x x−+=−，而121212()()()2y y kx m kx m k x x m++++++，故12122())2My k x x x x m+−+，解得3M My xk=⋅因此，点M的轨迹为直线3y xk=，其中k为直线PQ的斜率.若选择①②:设直线AB的方程为(2)y k x=−，并设A的坐标为(,)A Ax y，B的坐标为(,).B Bx y则，解得A x=，Ay=同理可得B x=，By=此时2243A Bkx xk+=−，212.3A Bky yk+=−而点M的坐标满足(2)3M MM My k xy xk=−=，解得22232A BMx xkxk+==−，2632A BMy ykyk+==−，故M为AB的中点，即||||.MA MB=若选择①③:当直线AB的斜率不存在时，点M即为点(2,0)F，此时M不在直线3y xk=上，矛盾.故直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为(2)(0)y p x p=−≠，并设A 的坐标为(,)A A x y ，B 的坐标为(,).B B x y则，解得A x =，A y =同理可得B x =B y = 此时22223A B M x x p x p +==−，26.23A B M y y p y p +==− 由于点M 同时在直线3y x k =上，故2362p p k=⋅，解得.k p =因此//.PQ AB 若选择②③:设直线AB 的方程为(2)y k x =−，并设A 的坐标为(,)A A x y ，B 的坐标为(,).B B x y则解得A x =，A y =同理可得B x =，B y =，设AB 的中点为(,)C C C x y ，则22223A B C x x k x k +==−，26.23A B C y y k y k +==− 由于||||MA MB =，故M 在AB 的垂直平分线上，即点M 在直线1()C C y y x x k−=−−上. 将该直线与3y x k =联立，解得2223M C k x x k ==−，263M C k y y k ==−， 即点M 恰为AB 中点，故点而在直线AB 上. 18.（2021· 新高考I 卷 第5题）解：由1F ，2F 是椭圆22:194x y C +=的两个焦点，点M 在C 上，得12||||23 6.MF MF +=×=所以当且仅当12||||3MF MF ==时，取等号，即12||||MF MF ⋅有最大值9.故选.C19.（2021·新高考II 卷 第3题）解：抛物线的焦点坐标为,02p， 其到直线10x y −+=的距离为d=解得2(6p p ==−舍去). 故选.B20.（2021·新高考I 卷 第11题）（多选） 解：由点(4,0)A ，(0,2)B ，可得直线AB 的方程为240.x y +−=则圆心(5,5)=故P 到直线AB410<42<，所以A 正确，B 错误. 由题意可知，当直线PB 与圆相切时，PBA ∠最大或最小， 由于圆心到B 的距离为，此时，故C ，D 都正确.故选.ACD21.（2021·新高考II 卷 第11题）（多选） 解：圆心到直线l的距离d =，若点在圆C 上，则222a b r +=，所以|d r =，则直线l 与圆C 相切，故A 正确；若点在圆C 内，则222a b r +<，所以||d r >，则直线l 与圆C 相离，故B 正确；若点在圆C 外，则222a b r +>，所以||dr <，(,)A a b (,)A a b (,)A a b则直线l 与圆C 相交，故C 错误；若点在直线l 上，则2220a b r +−=即222=a b r +，所以，直线l 与圆C 相切，故D 正确.故选.ABD22.（2021·新高考I 卷 第14题）解：PF 与x 轴垂直，设点P 在第一象限，∴点P 坐标为，又OP PQ ⊥ ，POF ∴ ∽QPF ，,2p PF p OF ==， 则FQPF 2PF OF ==， 6FQ = ，即62p =，故3p =，则准线方程为32x =−， 故答案为3.2x =−23.（2021·新高考II 卷 第13题）解：因为双曲线的离心率为2， 所以2e =， 所以223b a=， 所以该双曲线的渐近线方程为.b y x a =± 故答案为：.y =24.（2021·新高考I 卷 第21题）解：(1)由题意知点 M 的轨迹 C 是焦点在 x 轴上的双曲线的右支，且1a =，c =， 22216b c a ∴=−=，(,)A a b |d r =22221(0,0)x y a b a b −=>>C ∴的方程为221(1).16y x x −=… (2)设1(,)2T m ，设直线AB 的方程为，11(,)A x y ，22(,)B x y ， 由，得， 整理得，2111221216k m k x x k −∴+=−，22111221116416k m k m x x k −−−=−，22221122111212(1)(1)1616m m k k k k −−+=+⋅=+⋅−−， 设2PQ k k =，同理可得， 由||||||||TA TB TP TQ ⋅=⋅，得，222221121616k k k k ∴−=−，2212=k k ∴，12k k ≠ ，12=k k ∴−，120.k k ∴+=25.（2021·新高考II 卷 第20题）(1)解：由题意，椭圆半焦距c =c e a==，所以a = 又2221b a c =−=，所以椭圆方程为2213x y +=； (2)证明：由(1)得，曲线为221(0)x y x +=>，当直线MN 的斜率不存在时，直线:1MN x =，不满足M ，N ，F 三点共线； 当直线MN 的斜率存在时，设()()1122,,,M x y N x y ，必要性：若M ，N ，F 三点共线，可设直线(:MN y k x =即0kx y −−=，由直线MN 与曲线221(0)x y x +=>相切可得，解得1k =±，联立可得2430x −+=，0∆>，所以121234x x x x +=⋅=， 所以，所以必要性成立；充分性：设直线即0kx y b −+=， 由直线MN 与曲线221(0)x y x +=>相切可得，所以221b k =+，联立可得，22212(31)240k b k ∆=−+=>， 所以2121222633,1313kb b x x x x k k−+=−⋅=++， 所以==， 化简得，所以1k =±，所以或，所以直线:MN y x =−或y x =−，所以直线MN过点F ，M ，N ，F 三点共线，充分性成立；所以M ，N ，F三点共线的充要条件是||MN =【2020年真题】26.（2020·新高考I 卷 第9题、 II 卷 第10题）（多选）解：当,0m n ≠时，221mx ny +=可化为22111x y m n+=， 若0m n >>，则11m n <，故22111x y m n+=表示焦点在y 轴的椭圆，故A 正确； 若0m n =>，221mx ny +=可化为221x y n +=的圆，故B 错误； 若0mn <，则C 是双曲线，令220,mx ny +=故其渐近线方程为y =，故C 正确； 若0m =，0n >，221mx ny +=可化为21y n =，即y =，表示两条直线，故D 正确. 故选.ACD 27.（2020·新高考I 卷 第13题、II 卷 第14题）解：抛物线2:4C y x =的焦点为， 则直线AB的方程为1)y x =−，联立得231030x x −+=， 所以12103x x +=，从而 121016||233AB x x p =++=+=， 故答案为：16.328.（2020·新高考I 卷 第22题）(1)解：由题意可知c a =，22411a b +=，222a b c =+， 解得26a =，23b =，所以椭圆方程为221.63x y += (2)证明：设点11(,)M x y ，22(,)N x y ， 因为AM AN ⊥，所以121211122y y x x −−⋅=−−−， 所以12121212()12()4y y y y x x x x −++=−++−，① 当k 存在的情况下，设:MN y kx m =+， 联立得222(12)4260k x kmx m +++−=， 由0∆>，得22630k m −+>， 由根与系数的关系得122412km x x k +=−+，21222612m x x k−=+， 所以121222()212m y y k x x m k +=++=+， 222212121226()12m k y y k x x km x x m k−=+++=+， 代入①式化简可得248(1)(31)0k km m m ++−+=，即(21)(231)0k m k m +−++=， 所以12m k =−或213k m +=−， 所以直线方程为12y kx k =+−或213k y kx +=−， 所以直线过定点(2,1)或21(,)33−，又因为(2,1)和A 点重合，故舍去， 所以直线过定点21(,)33E −， 所以AE 为定值，又因为AED 为直角三角形，AE 为斜边，所以AE 中点Q 满足||QD ，此时41(,).33Q 29.（2020·新高考II 卷 第21题）解：(1)由题意可知直线AM 的方程为：13(2)2y x −=−，即24x y −=−， 当0y =时，解得4x =−，所以4a =，椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>过点(2,3)M ， 可得249116b+=，解得212b =， 所以C 的方程：221.1612x y += (2)设与直线AM 平行的直线方程为：2x y m −=，当直线与椭圆相切时，与AM 距离比较远的直线与椭圆的切点为N ，此时AMN 的面积取得最大值．将2x y m −=与椭圆方程：2211612x y +=联立， 化简可得：2216123480y my m ++−=， 所以22144416(348)0m m =−×−= ， 即264m =，解得8m =±，与AM 距离比较远的直线方程为：28x y −=，利用平行线之间的距离为：d ，又(4,0)A −，(2,3)M ，所以||AM =所以AMN 的面积的最大值：118.2×=。
(9)平面解析几何——高考数学三年真题专项汇编卷(2019-2021)
（9）平面解析几何——高考数学三年真题专项汇编卷（2019-2021）1.【2021年·全国乙卷（理）】设B 是椭圆22221(0):x y C a b a b+=>>的上顶点，若C 上的任意一点P 都满足2PB b ≤，则C 的离心率的取值范围是()A.22⎫⎪⎢⎪⎣⎭B.1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭C.20,2⎛ ⎝⎦D.10,2⎛⎤⎥⎝⎦2.【2021年·全国乙卷（文）】设B 是椭圆22:15x C y +=的上顶点，点P 在C 上，则PB的最大值为()A.52D.23.【2021年·新高考Ⅰ卷】已知1F ，2F 是椭圆22:194x y C +=的两个焦点，点M 在C 上，则12MF MF ⋅的最大值为()A.13B.12C.9D.64.【2020年·全国Ⅰ卷（文）】已知圆2260x y x +-=，过点()1,2的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为()A.1B.2C.3D.45.【2021年·全国甲卷（理）】已知1F ，2F 是双曲线C 的两个焦点，P 为C 上一点，且1260F PF ∠=°，123PF PF =，则C 的离心率为()A.2B.26.【2020年·全国Ⅰ卷（理）】已知22:2220M x y x y +---=e ，直线:220l x y ++=，P 为l 上的动点，过点P 作⊙M 的切线,PA PB ，切点为,A B ，当||||PM AB ⋅最小时，直线AB 的方程为()A.210x y --=B.210x y +-= C.210x y -+= D.210x y ++=7.【2019年·全国Ⅱ卷（理）】若抛物线()220y px p =>的焦点是椭圆2231x y pp+=的一个焦点，则p =()A ．2B ．3C ．4D ．88.【2020年·新高考Ⅰ卷】（多选）已知曲线22:1C mx ny +=，()A.若0m n >>，则C 是椭圆，其焦点在y 轴上B.若0m n =>，则CC.若0mn <，则C 是双曲线，其渐近线方程为y =D.若0m =，0n >，则C 是两条直线9.【2021年·全国乙卷（理）】已知双曲线22:1(0)x C y m m-=>的一条渐近线为0my +=，则C 的焦距为_____________.10.【2021年·全国乙卷（文）】双曲线22145x y -=的右焦点到直线280x y +-=的距离为___________.11.【20202:4C y x =的焦点，且与C 交于,A B 两点，则||AB =_________.12.【2021年·全国甲卷（理）】已知1F ，2F 为椭圆22:1164x y C +=的两个焦点，P ，Q 为C 上关于坐标原点对称的两点，且12PQ F F =，则四边形12PF QF 的面积为___________.13.【2020年·新高考Ⅰ卷】已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为2，且过点(2,1)A (1)求C 的方程；(2)点,M N 在C 上，且,AM AN AD MN ⊥⊥，D 为垂足，证明：存在定点Q ，使得DQ 为定值.14.【2021年·全国乙卷（文）】已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点F 到准线的距离为2.（1）求C 的方程；（2）已知O 为坐标原点，点P 在C 上，点Q 满足9PQ QF =，求直线OQ 斜率的最大值.15.【2021年·全国乙卷（理）】已知抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点为F ，且F 与圆22:(4)1M x y ++=上点的距离的最小值为4.（1）求p .（2）若点P 在M 上，PA 、PB 是C 的两条切线，A 、B 是切点，求PAB 面积的最大值.答案以及解析1.答案：C解析：本题考查椭圆的方程与几何性质、离心率，二次函数的图象与性质，不等式的求解.由题可得(0,)B b ，设()00,P x y ，0[,]y b b ∈-，则有2200221x y a b +=，可得2220021y x a b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，故()2222222000002||12y PB x y a y b b y b b ⎛⎫=+=-+-+=⎪⎝⎭-223222222000022222c c b y by a b y y a b b b c ⎛⎫--++=-⋅+++ ⎪⎝⎭，根据题目条件知0y b =-时，2||PB 取得最大值22(2)4b b =，则有32b b c-≤-，整理得22b c ≥，即222a c c -≥，解得a ≥，故椭圆离心率c e a =≤0e <≤.2.答案：A解析：本题考查椭圆的性质、两点间距离公式、复合函数的最值、极坐标系.由椭圆C 的方程：2215x y +=得其上顶点(0,1)B ，,sin )(1sin 1,1cos 1)P θθθθ-≤≤-≤≤.由||PB ==1sin 4θ=-时，max 5||2PB ==.3.答案：C解析：本题考查椭圆的性质，二次函数的最值.设点M 的坐标为(,)x y ，所以2125339339MF MF x x x ⎛⎫⎛⎫⋅=+-=- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.因为33x -≤≤，所以2125999MF MF x ⋅=-≤，当0x =时，取得最大值9.4.答案：B解析：将圆的方程2260x y x +-=化为标准方程22(3)9x y -+=，设圆心为C ，则(30)C ，，半径3r =.设点(12)，为点A ，过点(12)A ，的直线为l ，因为22(13)29-+<，所以点(12)A ，在圆C 的内部，则直线l 与圆C 必相交，设交点分别为B D ，.易知当直线l AC ⊥时，直线l 被该圆所截得的弦的长度最小，设此时圆心C 到直线l 的距离为d ，则d AC ==，所以min ||2BD ==，即弦的长度的最小值为2，故选B.5.答案：A解析：本题考查双曲线的定义及离心率、余弦定理.设122PF PF a -=，由123PF PF =，可知13PF a =，2PF a =，又122F F c =，1260F PF ∠=︒，故222(2)(3)23cos60c a a a a =+-⨯︒，解得2247c a =.6.答案：D解析：通解由22:2220M x y x y +---=e ①，得22:(1)(1)4M x y -+-=e ，所以圆心(11)M ，.如图，连接AM ，BM ，易知四边形PAMB 的面积为1||||2PM AB ⋅，欲使||||PM AB ⋅最小，只需四边形PAMB 的面积最小，即只需PAM V 的面积最小.因为||2AM =，所以只需||PA 最小.又||PA ==，所以只需直线220x y ++=上的动点P 到M=，此时PM l ⊥，易求出直线PM 的方程为210x y -+=.由220210x y x y ++=⎧⎨-+=⎩，，得10x y =-⎧⎨=⎩，，所以(10)P -，.易知P A M B ，，，四点共圆，所以以PM 为直径的圆的方程为222122x y ⎫⎛⎫+-=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，即2210x y y +--=②，由①②得，直线AB 的方程为210x y ++=，故选D.优解因为22:(1)(1)4M x y -+-=e ，所以圆心(11)M ，.连接AM BM ，，易知四边形PAMB 的面积为1||||2PM AB ⋅，欲使||||PM AB ⋅最小，只需四边形PAMB 的面积最小，即只需PAM V 的面积最小.因为||2AM =，所以只需||PA 最小.又||PA ==||PM 最小，此时PM l ⊥.因为PM AB ⊥，所以l AB P ，所以2AB k =-，排除A ，C.易求出直线PM 的方程为210x y -+=，由220210x y x y ++=⎧⎨-+=⎩，，得10x y =-⎧⎨=⎩，，所以(10)P -，.因为点M 到直线1x =-的距离为2，所以直线1x =-过点P 且与M e 相切，所以(11)A -，.因为点(11)A -，在直线AB 上，故排除B.故选D.7.答案：D解析：因为抛物线22(0)y px p =>的焦点(,0)2p是椭圆2231x y p p+=的一个焦点，所以23()2pp p -=，解得8p =，故选D ．8.答案：ACD解析：对于选项A ，0m n >>Q ，110m n∴<<，方程221mx ny +=可变形为22111x y m n +=，∴该方程表示焦点在y 轴上的椭圆，正确；对于选项B ，0m n =>Q ，∴方程221mx ny +=可变形为221x y n +=的圆，错误；对于选项C ，0mn <Q ，∴该方程表示双曲线，令220mx ny y +=⇒=，正确；对于选项D ，0m =Q ，0n >，∴方程221mx ny +=变形为21ny y =⇒=，该方程表示两条直线，正确.综上选ACD.9.答案：4解析：本题考查双曲线的方程与几何性质、渐近线方程及其性质.由双曲线22:1x C y m-=可得其渐近线方程为0y=0my +=，解得3m =，故2c ==，所以C 的焦距为24c =.10.答案：解析：本题考查双曲线的性质、点到直线的距离.由双曲线的方程22145x y -=，得其右焦点为(3,0)F ，所以点(3,0)F 到直线280x y +-=的距离为d ==11.答案：163解析：由题意得直线方程为1)y x =-，联立方程，得21)4y x y x ⎧=-⎪⎨=⎪⎩，，得231030x x -+=，103A B x x ∴+=，故1016||11233A B AB x x =+++=+=.12.答案：8解析：本题考查椭圆的定义、焦点，矩形的判定和面积.由题可知四边形12PF QF 是矩形，且222121248PF PF F F +==，1228PF PF a +==，可得128PF PF ⋅=.13.答案：(1)由题设得222224111,2a b a b a -+==，解得226,3a b ==.所以C 的方程为22163x y +=.(2)设()()1122,,,M x y N x y .若直线MN 与x 轴不垂直，设直线MN 的方程为y kx m =+，代入22163x y +=得()222124260k xkmx m +++-=.于是2121222426,1212km m x x x x k k -+=-=++.①由AM AN ⊥知0AM AN ⋅=，故()()()()121222110x x y y --+--=，可得()()2212121(2)(1)40kx x km k x x m ++--++-+=.将①代入上式可得()222222641(2)(1)401212m km k km k m k k -+---+-+=++.整理得(231)(21)0k m k m +++-=.因为(2,1)A 不在直线MN 上，所以210k m +-≠，故2310,1k m k ++=≠.于是MN 的方程为21(1)33y k x k ⎛⎫=--≠ ⎪⎝⎭.所以直线MN 过点21,33P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，若直线MN 与x 轴垂直，可得()11,N x y -，由0AM AN ⋅=得()()()()111122110x x y y --+---=.又2211163x y +=，可得2113840x x -+=.解得12x =（舍去），123x =.此时直线MN 过点21,33P ⎛⎫- ⎪⎝⎭.令Q 为AP 的中点，即41,33Q ⎛⎫⎪⎝⎭.若D 与P 不重合，则由题设知AP 是Rt ADP △的斜边，故1||||23DQ AP ==.若D 与P 重合，则1|||2DQ AP =|.综上，存在点41,33Q ⎛⎫⎪⎝⎭，使得DQ 为定值.14.答案：（1）由题意知2p =，所以24y x =.（2）由（1）知，抛物线2:4C y x =，(1,0)F .设点Q 的坐标为(,)m n ，则(1,)QF m n =--，9(99,9)PQ QF m n ==--，所以点P 的坐标为(109,10)m n -，将点P 代入C 得21004036n m =-，整理得22100362594010n n m ++==，所以2101019259325n n k m n n n===≤++，当且仅当35n =时取最大值，所以直线OQ 斜率的最大值为13.15.答案：（1）点0,2p P ⎛⎫⎪⎝⎭到圆M 上的点的距离的最小值为||14142p FM -=+-=，解得2p =.（2）由（1）知，抛物线的方程为24x y =，即214y x =，则12y x '=，设切点()11,A x y ，()22,B x y ，直线PA 的方程为1111()2y y x x x -=-，又点()11,A x y 在抛物线上，所以2114x y =，所以211:24PA x x l y x =-，同理可得，222:24PB x x l y x =-，联立211222,24,24x x y x x x y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩从而得到1212,24x x x x P +⎛⎫⎪⎝⎭.设:AB l y kx b =+，联立2,4,y kx b x y =+⎧⎨=⎩消去y 并整理可得2440x kx b --=，所以216160k b ∆=+>，即20k b +>，且124x x k +=，124x x b =-，所以(2,)P k b -.因为||AB =，点P 到直线AB 的距离d =，所以()3221||42PAB SAB d k b =⋅=+①，又点(2,)P k b -在圆22:(4)1M x y ++=上，代入得221(4)4b k --=，代入①得，322121544PABb b S⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭，而[5,3]P y b =-∈--，所以当5b =时，()maxPAB S=.。