【状元之路】2017届高三数学一轮总复习开卷速查13 变化率与导数、导数的计算 Word版含解析(数理化网)
联立得(x1－x2)[2x－(x1＋x2)]＝0。 ∵x1≠x2，∴x＝ x1＋x2 2 ，代入 l1，
1 解得 y＝x1x2＝－4，故选 D。 答案：D 7．[2014· 广东]曲线 y＝－5ex＋3 在点(0，－2)处的切线方程为 __________。 解析：由 y＝－5ex＋3 得，y′＝－5ex，所以切线的斜率 k＝y′|x
2
a＝2， 解得 b＝3。
所以 f(x)＝
2x－6 。 x2＋3 B级 能力提升练
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11．[2016· 淮南模拟]点 P 是曲线 x2－y－lnx＝0 上的任意一点， 则点 P 到直线 y＝x－2 的最小距离为( A．1 5 C. 2 3 B. 2 D. 2 )
1 解析： 将 x2－y－lnx＝0 变形为 y＝x2－lnx(x＞0)， 则 y′＝2x－x ， 1 令 y′＝1，则 x＝1 或 x＝－2(舍)，可知函数 y＝x2－lnx 的斜率为 1 的切线的切点横坐标为 x＝1， 纵坐标为 y＝1。 故切线方程为 x－y＝0。 则点 P 到直线 y＝x－2 的最小距离即 x－y＝0 与 y＝x－2 的两平行线 |0＋2| 间的距离，d＝ ＝ 2。 2 答案：D 12． [2016· 武汉模拟]已知曲线 f(x)＝xn＋1(n∈N*)与直线 x＝1 交于 点 P， 设曲线 y＝f(x)在点 P 处的切线与 x 轴交点的横坐标为 xn， 则 log2
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b 的值； (2)若曲线 y＝f(x)存在两条垂直于 y 轴的切线，求 a 的取值范围。 解析：f′(x)＝3x2＋2(1－a)x－a(a＋2)。
f0＝b＝0， (1)由题意得 f′0＝－aa＋2＝－3，
解得 b＝0，a＝－3 或 a＝1。 (2)因为曲线 y＝f(x)存在两条垂直于 y 轴的切线， 所以关于 x 的方程 f′(x)＝3x2＋2(1－a)x－a(a＋2)＝0 有两个不 相等的实数根， 所以 Δ＝4(1－a)2＋12a(a＋2)＞0， 1 即 4a2＋4a＋1＞0，所以 a≠－2， 1 1 所以 a 的取值范围为－∞，－2∪－2，＋∞。
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点 P 的坐标为(e，e)。 答案：(e，e) b 9．[2014· 江苏]在平面直角坐标系 xOy 中，若曲线 y＝ax2＋x (a， b 为常数)过点 P(2，－5)，且该曲线在点 P 处的切线与直线 7x＋2y＋ 3＝0 平行，则 a＋b 的值是__________。 b 解析：由曲线 y＝ax2＋x 过点 P(2，－5)， b 得 4a＋2＝－5。① b b 7 又 y′＝2ax－x2，所以当 x＝2 时，4a－4＝－2，②
14．已知函数 f(x)＝x3＋x－16。 (1)求曲线 y＝f(x)在点(2，－6)处的切线方程； (2)直线 l 为曲线 y＝f(x)的切线，且经过原点，求直线 l 的方程及 切点坐标； 1 (3)如果曲线 y＝f(x)的某一切线与直线 y＝－4x＋3 垂直，求切点 坐标与切线的方程。 解析：(1)可判定点(2，－6)在曲线 y＝f(x)上。 ∵f′(x)＝(x3＋x－16)′＝3x2＋1， ∴在点(2，－6)处的切线的斜率为 k＝f′(2)＝13。 ∴切线的方程为 y＝13(x－2)＋(－6)， 即 y＝13x－32。 (2)设切点为(x0，y0)， 则直线 l 的斜率为 f′(x0)＝3x2 0＋1，
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1 ＝1，令 x＝0 得 y＝－a，因为 a＞0，所以所围成的三角形的面积为2 ×a×1＝4，解得 a＝8。 答案：C 6．已知函数 f(x)＝x2 的图象在点 A(x1，f(x1))与点 B(x2，f(x2))处的 切线互相垂直，并交于点 P，则点 P 的坐标可能是(
3 A.－2，3
＝0
＝－5，所以切线方程为 y＋2＝－5(x－0)，即 5x＋y＋2＝0。 答案：5x＋y＋2＝0 8．[2014· 江西]若曲线 y＝xlnx 上点 P 处的切线平行于直线 2x－y
＋1＝0，则点 P 的坐标是__________。 1 解析：由题意得 y′＝lnx＋x· x＝1＋lnx，直线 2x－y＋1＝0 的斜 率为 2.设 P(m，n)，则 1＋lnm＝2，解得 m＝e，所以 n＝elne＝e，即
2 设切点的坐标为(x0，y0)，则 f′(x0)＝3x0 ＋1＝4，解得 x0＝± 1。
x0＝1， x0＝－1， ∴ 或 y0＝－14 y0＝－18。
切线方程为 y＝4(x－1)－14 或 y＝4(x＋1)－18。 即 y＝4x－18 或 y＝4x－14。
015x1＋log2 015x2＋…＋log2 015x2 014 的值为________。
解析：由题意知 P(1,1)，f′(x)＝(n＋1)xn，k＝f′(1)＝n＋1，点 P(1,1)处的切线方程为 y－1＝(n＋1)(x－1)， 令 y＝0， 得 x＝1－ 1 ＝ n＋1
n n 1 2 3 2 013 2 014 ，即 xn＝ ，所以 x1· x2 · …· x2 014＝2×3×4×…×2 014×2 015 n＋1 n＋1 1 ＝2 015， 则 log2 015x1＋log2 015x2＋…＋log2 015x2 014 1 ＝log2 015(x1· x2 · …x2 014)＝log2 0152 015＝－1。 答案：－1 13．已知函数 f(x)＝x3＋(1－a)x2－a(a＋2)x＋b(a，b∈R)。 (1)若函数 f(x)的图象过原点， 且在原点处的切线斜率为－3， 求 a，
2 ∴直线 l 的方程为 y＝(3x0 ＋1)(x－x0)＋x3 0＋x0－16，
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又∵直线 l 过点(0,0)，
3 ∴0＝(3x2 0＋1)(－x0)＋x0＋x0－16，
整理得，x3 0＝－8，∴x0＝－2。 ∴y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26， k＝3×(－2)2＋1＝13。 ∴直线 l 的方程为 y＝13x，切点坐标为(－2，－26)。 x (3)∵切线与直线 y＝－4＋3 垂直， ∴切线的斜率 k＝4。
解析：设切点坐标为(x0，y0)，且 x0＞0， 3 3 由 y′＝x－x，得 k＝x0－x ＝2，∴x0＝3。
0
答案：A 3．若 f(x)＝2xf′(1)＋x2，则 f′(0)等于( A．2 C．－2 B．0 D．－4 )
解析：f′(x)＝2f′(1)＋2x， 令 x＝1，则 f′(1)＝2f′(1)＋2，得 f′(1)＝－2， 所以 f′(0)＝2f′(1)＋0＝－4。 答案：D 4．若存在过点 O(0,0)的直线 l 与曲线 f(x)＝x3－3x2＋2x 和 y＝x2
)
B．(0，－4) 1 D.1，－4
C．(2,3)
2 解析：由题意知，A(x1，x2 1)，B(x2，x2)，f′(x)＝2x，则在 A，B
两点处的切线斜率 k1＝2x1，k2＝2x2。 1 又两切线互相垂直，所以 k1k2＝－1，即 x1x2＝－4。
2 2 两条切线方程分别为 l1：y＝2x1x－x1 ，l2：y＝2x2x－x2 ，
a＝－1， 由①②得 所以 a＋b＝－3。 b＝－2，
答案：－3 ax－6 10．已知函数 f(x)＝ 2 的图象在点(－1，f(－1))处的切线方程 x ＋b 为 x＋2y＋5＝0，求 y＝f(x)的解析式。 解析：由已知得，－1＋2f(－1)＋5＝0， 所以 f(－1)＝－2，即切点为(－1，－2)。 ax－6′x2＋b－ax－6x2＋b′ 又 f′(x)＝ x2＋b2 －ax2＋12x＋ab ＝ ， x2＋b2 －a－6 1＋b ＝－2， 所以 －a－12＋ab 1 ＝－ 2， 1＋b
y0 2 又 k＝x ＝x0 －3x0＋2，②
0
3 由①，②联立，得 x0＝2(x0＝0 舍)， 1 ∴k＝－4。 1 ∴所求切线 l 的方程为 y＝－4x。
y＝－1x， 4 由 y＝x2＋a，
1 得 x2＋4x＋a＝0。
1 1 依题意，Δ＝16－4a＝0，∴a＝64。 1 综上，a＝1 或 a＝64。 答案：C 5． 曲线 y＝alnx(a＞0)在 x＝1 处的切线与两坐标轴所围成的三角 形的面积为 4，则 a 的值为( A．4 B．－4 C．8 D．－8 a 解析：y′＝x ，在 x＝1 处的切线斜率 k＝a，当 x＝1 时，y＝aln1 ＝0，即切点坐标为(1,0)，因此切线方程为 y＝a(x－1)，令 y＝0 得 x )
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开卷速查(十三)
变化率与导数、导数的计算
A 级 基础巩固练 1．[2016· 哈尔滨模拟]已知 f(x)＝x(2 013＋lnx)，f′(x0)＝2 014， 则 x0 等于( A．e2 C．ln2 D．e ) B．1
解析：因为 f(x)＝2 013x＋xlnx， 所以 f′(x)＝2 013＋lnx＋1＝2 014＋lnx， 又因为 f′(x0)＝2 014， 所以 2 014＋lnx0＝2 014，解得 x0＝1。 答案：B x2 2．已知曲线 y＝ 2 －3lnx 的一条切线的斜率为 2，则切点的横坐 标为( A．3 C．1 ) B．2 1 D.2
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＋a 都相切，则 a 的值是( A．1 1 B.64 1 D．1 或－64
)
1 C．1 或64
解析：易知点 O(0,0)在曲线 f(x)＝x3－3x2＋2x 上， (1)当 O(0,0)是切点时，易得 a＝1。
3 (2)当 O(0,0)不是切点时， 设切点为 P(x0， y0)， 则 y0＝x0 －3x2 0＋2x0， 2 且 k＝f′(x0)＝3x0 －6x0＋2。①
第一节 变化率与导数、导数的计算-高考状元之路
第三章 导数及其应用复习备考资讯考纲点击1．变化率与导数、导数的计算(1)了解导数概念的实际背景．(2)理解导数的几何意义．(3)能根据导数定义求函数xy x y x y c y 1,,,2====的导数． (4)能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数．2．导数在研究函数中的应用(1)了解函数单调性和导数的关系，能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（其中多项式函数一般不超过三次）．(2)了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值（其中多项式函数一般不超过三次）；会求闭区间上函数的最大值、最小值（其中多项式函数一般不超过三次）．(3)会利用导数解决某些实际问题．考情分析1．导数的运算是导数的基本内容，在高考中每年必考，一般一单独命题，而在考查导数应用的同时考查．2．导数的几何意义是高考考查的重点内容，常与解析几何知识交汇命题，多以选择题、填空题的形式出现，有时也出现在解答题中关键的一步．3．利用导数研究函数的单调性、极值、最值以及解决生活中的优化问题，巳成为近几年高考炙手可热的考点。
4．选择题、填空题，侧重于利用导数确定函数的单调性和极值；解答题，侧重于导数与函数、解析几何、不等式、数列的综合应用，一般难度较大，属中高档题，第一节 变化率与导数、导数的计算预习设计 基础备考知识梳理1．函数)(x f y =从1x 到2x 的平均变化率函数)(x f y =从1x 到2x 的平均变化率为若),()(,1212x f x f y x x x -=∆-=∆则平均变化率可表示为2．函数)(x f y =在0x x =处的导数(1)定义；称函数0)(x x x f y ==在处的瞬时变化率 = 为函数)(x f y =在0x x =处的导数，记作,|)(0/0/x x y x f =或即=∆=---ΛAxy x r lim )(0 (2)几何意义：函数)(x f 在点0x 处的导数)(0/x f 的几何意义是在曲线)(x f y =上点 处的 ．相应地，切线方程为3．函数)(x f 的导函数称函数=)(/x f 为)(x f 的导函数，导函数有时也记作/y4．基本初等函数的导数公式5．导数运算法则=±/)]()]()[1(x g x f=/)]()()[2(x g x f=/])()()[3(x g x f ).0)((=/x g典题热身1．设,ln )(x x x f =若,2)(0/=x f 则=0x ( )2.e A e B . 22ln .c 2ln .D2．（2011．山东高考）曲线113+=x y 在点P(l ，12)处的切线与y 轴交点的纵坐标是( )9.-A 3.-B 9.C 15.D3．（2010．全国课标卷）曲线123+-=x x y 在点(1，O)处的切线方程为( )1-=⋅x y A 1+-=⋅x y B 22-=⋅x y C 22+-=⋅x y D4．设曲线2ax y =在点（1，a ）处的切线与直线062=--y x 平行，则=a1.A 21.B 21.-c 1.-D5．（2011．湖南高考）曲线21cos sin sin -+=x x x y 在点)0,4(πM 处的切线的斜率为 ( ) 21.-A 21.B 22.-c 22.D 课堂设计 方法备考【例1】 已知P ，Q 为抛物线y x 22=上两点，点P ，Q 的横坐标分别为4，-2，过P ，Q 分别作抛物线的切线，两切线交于点A ，则点A 的纵坐标为__ __．【例2】已知曲线 ⋅+=34313x y (1)求曲线在点P(2，4)处的切线方程；(2)求曲线过点P(2，4)的切线方程；(3)求斜率为1的曲线的切线方程．例3已知函数)(x f y =的图象是折线段ABC ，其中).0,1().5,21()0,0(C B A 函数x x xf y ≤=0)(()1≤的图象与x 轴围成的图形的面积为解题思路解析 由已知可得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈+-∈=],1,21(,1010],21,0[,10)(x x x x x f 则⎪⎩⎪⎨⎧∈+-∈==],1,21(,1010],21,0[,10)(22x x x x x x xf y 画出函数图象，如图所示，所求面积+=⎰+dx x s )10(20+=+-⎰++0321|310)1010(x dx x x +=+-+125|)5310(123x x )41581310()5310(⨯+⨯--+-⋅=45题型三 导数的几何意义及其应用【例3】设函数),,(1a )(z b a bx x x f ∈++=曲线)(x f y =在点(2，，f(2))处的切线方程为.3=y (1)求)(x f 的解析式；(2)证明函数)(x f y =的图像是一个中心对称图形，并求其对技法巧点1．函数求导的方法和步骤求导数时，先化简再求导是运算的基本方法．一般地，分式函数的求导，要先观察函数的结构特征，可否化为整式函数或较简单的分式函数；对数函数的求导，先化为和、差形式，再求导；三角函数求导，先应用三角公式转化为和或差的形式．2．与导数的几何意义有关的两类问题有关导数几何意义的题目一般有两类：一类是求曲线韵切线方程，这类题目要注意审好题，看到底是在某点处的切线还是过某点的切线，在某点处的切线一般有一条，过某点的切线可能有两条或更多；另一类是已知曲线的切线求字母的题目，已知曲线的切线一般转化为两个条件，即原函数一个条件，导函数一个条件，导函数的条件一般不会忽视，但原函数的条件很容易被忽视。
全国版2017版高考数学一轮复习第二章函数导数及其应用2.10变化率与导数导数的计算课件理
)
y=2x-1与曲线y=ax2+(a+2)x+1相切,联立
cos x e x co得s x a exx 2+ax+2=0,显然a≠0,所以由 Δ = sain2x-8 ac eo=xs x02 .⇒a=8.
ex
答案:8
1 g 3 3 3 .
u
2 3 x 3 x 2
考向一 导数的计算
f′(x)=____
1
f′(x)= _x___
x 2
3.导数的运算法则
(1)[f(x)±g(x)]′=_______________. f′(x)±g′(x)
(2)[f(x)·g(x)]′=______________________. f′(x)g(x)+f(x)g′(x)
(3)
cos x
=__(__l_n____x________1____)__________.
2
x 【加固训练】1.(2016·咸阳模拟)直线y= x+b与曲线
1.(2016·大同模拟)曲线y=xex+2x-1在点(0,-1)处的
切线方程为 ( )
A.y=3x-1
B.y=-3x-1
C.y=3x+1
D.y=-2x-1
【解析】选A.由题意得y′=(x+1)ex+2,则曲线y=xex +2x-1在点(0,-1)处的切线的斜率为(0+1)e0+2=3,故曲 线y=xex+2x-1在点(0,-1)处的切线方程为y+1=3x,即 y=3x-1.
所以f′(1)=a=3.
答案:3
5.(2015·全国卷Ⅱ)已知曲线y=x+lnx在点(1,1)处的
高考数学(理)一轮复习课时分层作业： 十三 2.10变化率与导数、导数的计算 Word版含解析
课时分层作业十三变化率与导数、导数的计算一、选择题(每小题5分,共35分)1.f′(x)是函数f(x)=x3+2x+1的导函数,则f′(-1)的值为()A.0B.3C.4D.-【解析】选B.因为f(x)=x3+2x+1,所以f′(x)=x2+2.所以f′(-1)=3.2.已知函数f(x)=cosx,则f(π)+f′= ()A.-B.-C.-D.-【解析】选C.因为f′(x)=-cosx+(-sinx),所以f(π)+f′=-+·(-1)=-.3.已知曲线y=lnx的切线过原点,则此切线的斜率为 ()A.eB.-eC.D.-【解析】选C.y=lnx的定义域为(0,+∞),且y′=,设切点为(x0,lnx0),则y′=,切线方程为y-lnx0=(x-x0),因为切线过点(0,0),所以-lnx0=-1,解得x0=e,故此切线的斜率为.【变式备选】曲线y=e x在点A(0,1)处的切线斜率为()A.1B.2C.eD.【解析】选A.由题意知y′=e x,故所求切线斜率k=e x=e0=1.4.若曲线y=x3+ax在坐标原点处的切线方程是2x-y=0,则实数a= ()A.1B.-1C.2D.-1【解析】选C.导数的几何意义即为切线的斜率,由y′=3x2+a得在x=0处的切线斜率为a,所以a=2.【变式备选】直线y=x+b是曲线y=lnx(x>0)的一条切线,则实数b 的值为 ()A.2B.ln2+1C.ln2-1D.ln2【解析】选C.y=lnx的导数为y′=,由=,解得x=2,所以切点为(2,ln2).将其代入直线方程y=x+b,可得b=ln2-1.5.已知f(x)=2e x sinx,则曲线f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为()A.y=0B.y=2xC.y=xD.y=-2x【解析】选 B.因为f(x)=2e x sinx,所以f(0)=0,f′(x)=2e x·(sinx+cosx),所以f′(0)=2,所以曲线f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=2x.6.设曲线y=在点处的切线与直线x-ay+1=0平行,则实数a等于 ()A.-1B.C.-2D.2【解析】选A.因为y′=,所以y′=-1,由条件知=-1,所以a=-1.7.直线y=kx+1与曲线y=x3+ax+b相切于点A(1,3),则2a+b的值等于()A.2B.-1C.1D.-2【解析】选C.依题意知,y′=3x2+a,则由此解得所以2a+b=1.二、填空题(每小题5分,共15分)8.若曲线y=2x2的一条切线l与直线x+4y-8=0垂直,则切线l的方程为________________.【解析】设切点为(x0,y0),y′=4x,则4x0=4⇒x0=1,所以y0=2,所以切线方程为:y-2=4(x-1)⇒4x-y-2=0.答案:4x-y-2=09.若函数f(x)=lnx-f′(-1)x2+3x-4,则f′(1)=________.【解析】因为f′(x)=-2f′(-1)x+3,所以f′(-1)=-1+2f′(-1)+3,解得f′(-1)=-2,所以f′(1)=1+4+3=8.答案:810.已知定义在R上的函数f(x)满足f(1-x)+f(1+x)=2,且当x>1时,f(x)=xe2-x,则曲线y=f(x)在x=0处的切线方程是________.【解析】因为f(x)满足f(1-x)+f(1+x)=2,所以y=f(x)的图象关于点(1,1)对称.当x<1时,取点(x,y),该点关于(1,1)的对称点是(2-x,2-y),代入f(x)=xe2-x可得:2-y=(2-x)e2-(2-x),所以y=2-(2-x)e x=xe x,y′=(x+1)e x,y′|x=0=1,所以切线方程为y=x,即x-y=0.答案:x-y=01.(5分)已知函数f(x)在R上满足f(2-x)=2x2-7x+6,则曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程是()A.y=2x-1B.y=xC.y=3x-2D.y=-2x+3【解析】选 C.令x=1得f(1)=1,令2-x=t,可得x=2-t,代入f(2-x)=2x2-7x+6得f(t)=2(2-t)2-7(2-t)+6,化简整理得f(t)=2t2-t,即f(x)=2x2-x,所以f′(x)=4x-1,所以f′(1)=3.所以所求切线方程为y-1=3(x-1),即y=3x-2.【巧思妙解】选C.令x=1得f(1)=1,由f(2-x)=2x2-7x+6,两边求导可得f′(2-x)·(2-x)′=4x-7,令x=1可得-f′(1)=-3,即f′(1)=3. 所以所求切线方程为y-1=3(x-1),即y=3x-2.2.(5分)若点P是曲线y=x2-lnx上任意一点,则点P到直线y=x-2距离的最小值为()A.1B.C.D.【解析】选B.对于曲线y=x2-lnx上任意一点P,当过该点的切线斜率与直线y=x-2的斜率相同时,点P到直线的距离最小.因为定义域为(0,+∞),所以y′=2x-=1,解得x=1,则在P(1,1)处的切线方程为x-y=0,所以两平行线间的距离为d==.【变式备选】曲线y=ln(2x)上任意一点P到直线y=2x的距离的最小值是________.【解析】如图,所求最小值即曲线上斜率为2的切线与y=2x两平行线间的距离,也即切点到直线y=2x的距离.由y=ln(2x),则y′==2,得x=,y=ln=0,即与直线y=2x平行的曲线y=ln(2x)的切线的切点坐标是,y=ln(2x)上任意一点P到直线y=2x的距离的最小值,即=.答案:3.(5分)若存在过点O(0,0)的直线l与曲线f(x)=x3-3x2+2x和y=x2+a 都相切,则a的值为________.【解析】易知点O(0,0)在曲线f(x)=x3-3x2+2x上,(1)当O(0,0)是切点时,切线方程为y=2x,则联立y=2x和y=x2+a得x2-2x+a=0,由Δ=4-4a=0,解得a=1.(2)当O(0,0)不是切点时,设切点为P(x0,y0),则y0=-3+2x0,且k=f′(x0)=3-6x0+2.①又k==-3x0+2,②由①,②联立,得x0=(x0=0舍),所以k=-,所以所求切线l的方程为y=-x.由得x2+x+a=0.依题意,Δ′=-4a=0,所以a=.综上,a=1或a=.答案:1或【易错警示】(1)片面理解“过点O(0,0)的直线与曲线f(x)=x3-3x2+2x 相切”.这里有两种可能:一是点O是切点;二是点O不是切点,但曲线经过点O,解析中易忽视后面情况.(2)本题还易出现以下错误:一是当点O(0,0)不是切点,无法与导数的几何意义沟通起来;二是盲目设直线l的方程,导致解题复杂化,求解受阻.4.(12分)已知函数f(x)=x3+x-16.(1)求曲线y=f(x)在点(2,-6)处的切线的方程.(2)直线l为曲线y=f(x)的切线,且经过原点,求直线l的方程及切点坐标.【解析】(1)可判定点(2,-6)在曲线y=f(x)上.因为f′(x)=(x3+x-16)′=3x2+1,所以f(x)在点(2,-6)处的切线的斜率为k=f′(2)=13.所以切线的方程为y+6=13(x-2),即y=13x-32.(2)设切点坐标为(x0,y0),则直线l的斜率k为f′(x0)=3+1,y0=+x0-16,所以直线l的方程为y=(3+1)(x-x0)++x0-16.又因为直线l过原点(0,0),所以0=(3+1)(-x0)++x0-16,整理得,=-8,所以x0=-2,所以y0=(-2)3+(-2)-16=-26,得切点坐标为(-2,-26),k=3×(-2)2+1=13.所以直线l的方程为y=13x,切点坐标为(-2,-26).5.(13分)已知函数f(x)=x-1+(a∈R,e为自然对数的底数).(1)若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线平行于x轴,求a的值.(2)当a=1时,若直线l:y=kx-1与曲线y=f(x)相切,求l的直线方程.【解析】(1)f′(x)=1-,因为曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线平行于x轴,所以f′(1)=1-=0,解得a=e.(2)当a=1时,f(x)=x-1+,f′(x)=1-.设切点为(x0,y0),因为f(x0)=x0-1+=kx0-1,①f′(x0)=1-=k,②①+②得x0=kx0-1+k,即(k-1)(x0+1)=0.若k=1,则②式无解,所以x0=-1,k=1-e.所以l的直线方程为y=(1-e)x-1.关闭Word文档返回原板块。
高考数学一轮复习变化率与导数、导数的计算
第十节变化率与导数、导数的计算[考纲 ] (教师用书独具 )1.了解导数概念的实际背景.2.通过函数图象直观理1解导数的几何意义 .3.能根据导数的定义求函数y＝C(C 为常数 )， y＝x，y＝x，y＝x2，y＝ x3，y＝ x的导数 .4.能利用根本初等函数的导数公式和导数的四那么运算法那么求简单函数的导数．(对应学生用书第30 页)[根底知识填充 ]1．导数的概念(1)函数 y＝ f(x)在 x＝x0处的导数：①定义：称函数y＝ f(x)在 x＝x0处的瞬时变化率lim f x0＋ x －f x0＝ lim y为函数 y＝f(x)在 x＝x0处的导数，记作 f′ (x0)x→ 0xx→0xx＝x0，即 f′(x0)＝ limy＝limf x0＋ x － f x0或 y′|x x.x→ 0x→0②几何意义：函数 f(x)在点 x0处的导数 f′ (x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点0 ，f(x0))处的切线斜率．相应地，切线方程为000(x y－f(x )＝f′(x )(x－x )．f x＋ x －f x为 f(x) 的导函数．(2)函数 f(x)的导函数：称函数 f ′(x)＝ lim xx→02．根本初等函数的导数公式根本初等函数导函数f(x)＝ c(c 为常数 )f′ (x)＝0f(x)＝x n(n∈Q* )f′(x)＝n·x n－1f(x)＝ sin x f′ (x)＝cos_xf(x)＝cos x f′(x)＝－ sin_xf(x)＝a x f′ (x)＝a x ln_a(a＞0)f(x)＝e x f′ (x)＝e x1f(x)＝log a xf ′ (x)＝xln a1f(x)＝ln xf ′ (x)＝ x3. 导数的运算法那么(1)[f(x) ±g(x)]′＝ f ′ (x) ±g ′ (x)；(2)[f(x) ·g(x)]′＝ f ′(x)g(x)＋f(x)g ′(x)；f xf ′ xg x －f x g ′ x(3) g x ′＝ [g x ]2(g(x)≠0)．[知识拓展 ]1．曲线 y ＝f(x)“在点 P(x 0， y 0 )处的切线 〞 与“过点 P(x 0，y 0)的切线 〞 的区别：前者 P(x 0， y 0)为切点，而后者 P(x 0，y 0)不一定为切点．2．直线与二次曲线 (圆、椭圆、双曲线、抛物线)相切只有一个公共点；直线与非二次曲线相切，公共点不一定只有一个．[根本能力自测 ]1．(思考辨析 )判断以下结论的正误． (正确的打“√〞，错误的打“×〞 )(1)f ′(x 0)与 (f(x 0 ))′表示的意义相同． ( )(2)求 f ′(x )时，可先求 f(x )再求 f ′ (x )．()(3)曲线的切线与曲线不一定只有一个公共点． () (4)假设 f(a)＝ a 3＋2ax －x 2，那么 f ′(a)＝ 3a 2＋ 2x.()[答案 ] (1)×(2)× (3)√ (4)√2 32．(教材改编 )有一机器人的运动方程为s(t)＝t ＋ t (t 是时间， s 是位移 )，那么该机器人在时刻 t ＝2 时的瞬时速度为 ()19B ． 17A ． 4415D ． 13C ． 442313器人的瞬时速度为 v(2)＝ 2× 2－22＝4 .]3．(2021 ·天津高考 )函数 f(x)＝(2x＋1)e x，f′(x)为 f(x)的导函数，那么 f′(0)的值为 ________．3 [ 因为 f(x)＝ (2x＋ 1)e x，x x x所以 f′(x)＝ 2e ＋ (2x＋ 1)e ＝(2x＋3)e ，所以 f′(0)＝ 3e0＝ 3.]4．(2021 ·全国卷Ⅰ )曲线 y＝x2＋1x在点 (1,2)处的切线方程为 ________．1x－y＋1＝0[∵y′＝2x－x2，∴y′|x＝1＝1，即曲线在点 (1,2)处的切线的斜率k＝ 1，∴切线方程为 y－ 2＝ x－ 1，即x－ y＋ 1＝ 0.]35．(2021 ·全国卷Ⅰ )函数f(x)＝ax ＋x＋ 1 的图象在点 (1，f(1))处的切线过点1 [ ∵f′(x)＝3ax2＋ 1，∴f′(1)＝ 3a＋1.又f(1)＝a＋2，∴切线方程为 y－ (a＋2)＝ (3a＋ 1)(x－1)．∵切线过点(2,7)，∴7－ (a＋2)＝ 3a＋1，解得 a＝1.](对应学生用书第30 页)导数的计算求以下函数的导数：(1)y＝e x ln x；211 (2)y＝x x ＋x＋x3；x x (3)y＝x－sin2cos2；(4)y＝cos x.【导学号： 79170059】e x[解]x′＋x′＝x＋x 1x ln x＋1(1)y′＝ (e)ln x e (ln x)·＝e x.e ln x e x3122 (2)∵y＝ x ＋1＋x2，∴y′＝3x－x3.11 (3)∵y＝ x－2sin x，∴y′＝1－2cos x.cos x′＝cos x ′e x－ cos x e x′(4)y′＝x x 2e esin x＋cos x＝－e x.[规律方法 ] 1.熟记根本初等函数的导数公式及运算法那么是导数计算的前提，求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量提高运算速度，减少过失．2．如函数为根式形式，可先化为分数指数幂，再求导．[变式训练 1] (1)函数 f(x)的导函数为 f′(x)，且满足 f(x)＝3x2＋2x·f′(2)，那么 f′(5)＝ ()A．2B．4C．6D．8(2)(2021 天·津高考 )函数 f(x)＝axln x，x∈(0，＋∞ )，其中 a 为实数， f′(x)为f(x)的导函数．假设 f′ (1)＝ 3，那么 a 的值为 ________．(1)C(2)3 [(1)f′(x)＝6x＋ 2f′(2)，令x＝2，得 f′(2)＝－ 12.再令 x＝5，得 f′ (5)＝ 6× 5＋ 2f′(2)＝ 30－24＝6.1(2)f′ (x)＝ a ln x＋x·＝a(1＋ ln x)．x由于 f′(1)＝a(1＋ln 1) ＝a，又 f′(1)＝3，所以 a＝3.]导数的几何意义角度 1求切线方程1 34曲线 y＝3x ＋3.(1)求曲线在点 P(2,4)处的切线方程；(2)求曲线过点 P(2,4)的切线方程．[思路点拨 ] (1)点 P(2,4)是切点，先利用导数求切线斜率，再利用点斜式写出切线方程；1 34(2)点 P(2,4)不一定是切点，先设切点坐标为x0，3x0＋3，由此求出切线方程，再把点 P(2,4)代入切线方程求x0.[解] (1)根据得点 P(2,4)是切点且 y′＝x2，∴在点P(2,4)处的切线的斜率为y′|x＝2＝4，∴曲线在点 P(2,4)处的切线方程为y－ 4＝ 4(x－ 2)，即 4x－ y－ 4＝ 0.1 34134，(2)设曲线 y＝3x ＋3与过点 P(2,4)的切线相切于点 A x0，3x0＋32那么切线的斜率为 y′|x＝x0＝x0，∴切线方程为 y－1342，x0＋＝ 0 － 033x (x x )2 23 4即y＝x0·x－3x0＋3.∵点P(2,4)在切线上，2 23 4∴4＝2x0－3x0＋3，3 2即x0－ 3x0＋ 4＝ 0，322∴x0＋ x0－4x0＋4＝0，∴x02(x0＋1)－4(x0＋1)(x0－1)＝0，∴(x0＋1)(x0－2)2＝0，解得 x0＝－ 1 或 x0＝2，故所求的切线方程为x－ y＋ 2＝0 或 4x－ y－ 4＝ 0.角度 2求切点坐标假设曲线 y＝xln x 上点 P 处的切线平行于直线 2x－ y＋ 1＝ 0，那么点 P 的坐标是 ________．1e) [ 由题意得 y′＝ln x＋x·＝1＋ln x，直线 2x－y＋1＝ 0 的斜率为 2.设 xP(m，n)，那么 1＋ln m＝ 2，解得 m＝e，所以 n＝ eln e＝ e，即点 P 的坐标为 (e，e)．]角度 3求参数的值(1)直线 y＝ 1 ＋与曲线＝－1 ＋相切，那么b的值为()2x b y2x ln x A．2B．－ 1C．－1D．12x＋1(2)(2021 西·宁复习检测 (一))曲线 y＝x－1在点 (3,2)处的切线与直线ax＋y ＋1＝0 垂直，那么 a＝()A．－ 2B．211C．－2D．2(1)B(2)A [(1) 设切点坐标为 (x0， y0 )，1 1y′＝－2＋x，则y′|x＝x0＝－1＋1，由－1＋1＝1得 x0＝1，切点坐标为 1，－1，又切点2 x02 x0 2211111，－2在直线 y＝2x＋b 上，故－2＝2＋b，得 b＝－ 1.－ 21(2)由 y′＝x－12得曲线在点 (3,2)处的切线斜率为－2，又切线与直线ax＋y ＋1＝0 垂直，那么 a＝－ 2，应选A ．][规律方法 ] 1.导数 f′(x0)的几何意义就是函数 y＝f(x)在点 P(x0，y0)处的切线的斜率，切点既在曲线上，又在切线上，切线有可能和曲线还有其他的公共点．2．曲线在点 P 处的切线是以点P 为切点，曲线过点 P 的切线那么点 P 不一定是切点，此时应先设出切点坐标．易错警示：当曲线 y＝ f(x)在点 (x0， f(x0 ))处的切线垂直于x 轴时，函数在该点处的导数不存在，切线方程是x＝x0.。
【状元之路】2017届高三一轮：2-10《变化率与导数、导数的计算》ppt课件
课前学案
基础诊断
夯基固本 基础自测
fx2－fx1 1 __________ x2－x1 ，若 Δx＝x2－x1，Δy＝f(x2) 函数 y＝f(x)从 x1 到 x2 的平均变化率为□ Δy 2 ________ Δx －f(x1)，则平均变化率可表示为□ 。
1．函数 y＝f(x)从 x1 到 x2 的平均变化率
4．曲线 y＝x3－x＋3 在点(1,3)处的切线方程为__________。
解析：∵y′＝3x2－1，∴y′|x＝1＝3×12－1＝2。 ∴该切线方程为 y－3＝2(x－1)，即 2x－y＋1＝0。 答案：2x－y＋1＝0
5．函数 y＝xcosx－sinx 的导数为__________。
)
解析：∵f′(x)＝ex＋xex，∴f′(1)＝2e。 答案：C
2． 曲线 y＝xlnx 在点(e， e)处的切线与直线 x＋ay＝1 垂直， 则实数 a 的值为( A．2 1 C. 2 B．－2 1 D．－ 2
)
1 解析：依题意得 y′＝1＋lnx，y′|x＝e＝1＋lne＝2，所以－ ×2＝－1，a＝2。 a 答案：A
1 个区别——“过某点”与“在某点”的区别 曲线 y＝f(x)“在点 P(x0，y0)处的切线”与“过点 P(x0，y0)的切线”的区别：前 者 P(x0，y0)为切点，而后者 P(x0，y0)不一定为切点。 4 个注意点——导数运算及切线的理解应注意的问题 (1)利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆。 (2)利用导数公式求导数时，只要根据几种基本函数的定义，判断原函数是哪类 基本函数，再套用相应的导数公式求解，切不可因判断函数类型失误而出错。
3．函数 f(x)的导函数 fx＋Δx－fx lim Δx 9 _________________ 称函数 f′(x)＝□ 为 f(x)的导函数，导函数有时也记作 y′。 Δx→0
高三数学一轮复习 第二章 第十节 变化率与导数、导数的计算课件 理 新人教A版
2．函数y＝xcos x－sin x的导数为(
)
A．xsin x
C．xcos x 【解析】 【答案】
B．－xsin x
D．－xcos x f′(x)＝cos x－xsin x－cos x＝－xsin x. B
3．已知f(x)＝xln x，若f′(x0)＝2，则x0等于( A．e2 B． e ln 2 C. D．ln 2 2
原函数 f(x)＝xn(n∈Q*)
导函数 f′(x)＝_________ n·xn－1 cosx f′(x)＝__________ f′(x)＝__________ －sinx
f(x)＝sin x
f(x)＝coaxlna (a＞0)
f(x)＝ex
第十节
变化率与导数、导数的计算
1．导数的概念 (1)函数 y＝ f(x)在 x＝ x0处的导数： ①定义：称函数 y＝ f(x)在 x＝x0处的瞬时变化率
____________________为函数 y＝ f(x)在 x＝ x0处的导数，记作 f′(x0)或 y′|x＝ x0.
②几何意义：函数 f(x) 在点 x0 处的导数 f′(x0) 的几何意义 切线斜率 ． ( 瞬时速度就 是曲线 y ＝ f(x) 在点 (x ， f(x ) 处的 __________
（2x＋3）′ · （x2＋1）－2xln（2x＋3） 2x＋3 （x2＋1）2 2（x2＋1）－2x（2x＋3）ln（2x＋3） ＝ . 2 2 （2x＋3）（x ＋1）
1．本题在解答过程中常见的错误有： (1)商的求导中， 符号判定错误；(2)不能正确运用求导公式和求导法则． 2．求函数的导数的方法 (1) 连乘积的形式： 先展开化为多项式的形式 ，再 求
导；
高考数学一轮复习 第三章 变化率与导数、导数的计算课件 新人教A版
f(x)＝sinx
f′(x)＝□12 __________
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原函数 f(x)＝cosx f(x)＝ax(a＞0，且a≠1)
f(x)＝ex f(x)＝logax(a＞0，且a≠1)
f(x)＝lnx
导函数
f′(x)＝□13 __________ f′(x)＝□14 __________ f′(x)＝□15 __________ f′(x)＝□16 __________ f′(x)＝□17 __________
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●三个防范 1．利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符 号，防止与乘法公式混淆． 2．要正确理解直线与曲线相切和直线与曲线只有一个 交点的区别． 3．正确分解复合函数的结构，由外向内逐层求导，做 到不重不漏.
第十五页，共48页。
基础自测
1.下列求导过程中①
1 x
′＝－
1 x2
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3．函数f(x)的导函数
称函数f′(x)＝□9 ________为f(x)的导函数，导函数有时
也记作y′.
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4．基本初等函数的导数公式
原函数
导函数
f(x)＝c
f′(x)＝□10 __________
f(x)＝xn(n∈Q*)
f′(x)＝□11 __________
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(3)∵y＝sin2x－cos2x＝－12sinx，
∴y′＝－12sinx′＝－12(sinx)′＝－12cosx.
(4)y＝1－1
x＋1＋1
x＝11＋－
x＋1－ x1＋
xx＝1－2 x，
∴y′＝1－2 x′＝－211－－xx2′＝1－2 x2.
2017版高考一轮总复习数学课件：第2章 第10节 变化率与导数、导数的计算
求下列函数的导数： (1)y＝x2sin x；(2)y＝eexx－＋11. 解：(1)y′＝(x2)′sin x＋x2(sin x)′＝2xsin x＋x2cos x. (2)y′＝（ex＋1）′（ex－（1）ex－－1（）ex2＋1）（ex－1）′ ＝ex（ex－（1）ex－－（1）ex2＋1）ex＝（e－x－2e1x）2.
第二章 函数、导数及其应用
第十节 变化率与导数、导数的计算
第一页，编辑于星期六：三点 二十九分。
第二页，编辑于星期六：三点 二十九分。
求下列函数的导数 (1)y＝exln x；(2)y＝xx2＋1x＋x13； (3)y＝x－sinx2cos x2；
第三页，编辑于星期六：三点 二十九分。
解：(1)y′＝(ex)′ln x＋ex(ln x)′ ＝exln x＋ex·x1＝exln x＋1x. (2)∵y＝x3＋1＋x12，∴y′＝3x2－x23. (3)∵y＝x－12sin x，∴y′＝1－12cos x.
3．当曲线 y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线垂直于 x 轴时，函数在 该点处的导数不存在，切线方程是 x＝x0.
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(1)函数 f(x)＝exsin x 的图象在点(0，f(0))处的切线的倾斜
角为( )
3π
π
A. 4
B. 3
π
π
C. 4
D. 6
解析：因为 f′(x)＝exsin x＋excos x，所以 f′(0)＝1，即曲线 y＝f(x)
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由yy＝ ＝2axx－ 2＋1（，a＋2）x＋1，消去 y，得 ax2＋ax＋2＝0. 由 Δ＝a2－8a＝0，解得 a＝8. 法二 同解法一得切线方程为 y＝2x－1. 设 y＝2x－1 与曲线 y＝ax2＋(a＋2)x＋1 相切于点(x0，ax20＋(a＋ 2)x0＋1)． ∵y′＝2ax＋(a＋2)，∴y′|x＝x0＝2ax0＋(a＋2)．
届高三数学一轮复习知识点归纳与总结变化率与导数导数的计算
[备考方向要明了]1．导数的概念(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数：称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率lim Δx→0f?x0＋Δx?－f?x0?Δx＝limΔx→0ΔyΔx为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0f?x0＋Δx?－f?x0?Δx.(2)导数的几何意义：函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点P(x0，y0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为y－y0＝f′(x0)(x －x0)．(3)函数f(x)的导函数：称函数f′(x)＝limΔx→0f?x＋Δx?－f?x?Δx为f(x)的导函数．[探究] 1.f′(x)与f′(x0)有何区别与联系？提示：f′(x)是一个函数，f′(x0)是常数，f′(x0)是函数f′(x)在x0处的函数值．2．曲线y＝f(x)在点P0(x0，y0)处的切线与过点P0?x0，y0)的切线，两种说法有区别吗？提示：(1)曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线是指P为切点，斜率为k＝f′(x0)的切线，是唯一的一条切线．(2)曲线y＝f(x)过点P(x0，y0)的切线，是指切线经过P点．点P可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条．3．过圆上一点P的切线与圆只有公共点P，过函数y＝f(x)图象上一点P的切线与图象也只有公共点P吗？提示：不一定，它们可能有2个或3个或无数多个公共点．2．几种常见函数的导数3．(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；(3)f?x?g?x?′＝f′?x?g?x?－f?x?g′?x?[g?x?]2(g(x)≠0)．4．复合函数的导数复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y x′＝y u′·u x′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．[自测·牛刀小试]1．(教材习题改编)f′(x)是函数f(x)＝13x3＋2x＋1的导函数，则f′(－1)的值为()A．0B．3C．4 D．－7 3解析：选B∵f(x)＝13x3＋2x＋1，∴f′(x)＝x2＋2.∴f′(－1)＝3.2．曲线y＝2x－x3在x＝－1处的切线方程为() A．x＋y＋2＝0 B．x＋y－2＝0 C．x－y＋2＝0 D．x－y－2＝0 解析：选A∵f(x)＝2x－x3，∴f′(x)＝2－3x2.∴f′(－1)＝2－3＝－1.又f(－1)＝－2＋1＝－1，∴切线方程为y＋1＝－(x＋1)，即x＋y＋2＝0. 3．y＝x2cos x的导数是()A．y′＝2x cos x＋x2sin xB．y′＝2x cos x－x2sin xC．y＝2x cos xD．y′＝－x2sin x解析：选B y′＝2x cos x－x2sin x.4．(教材习题改编)曲线y＝sin xx在点M(π，0)处的切线方程是________．解析：∵f(x)＝sin xx，∴f′(x)＝x·cos x－sin xx2，∴f′(π)＝－ππ2＝－1π.∴切线方程为y＝－1π(x－π)，即x＋πy－π＝0.答案：x＋πy－π＝05．(教材习题改编)如图，函数y＝f(x)的图象在点P处的切线方程是y＝－x＋8，则f(5)＋f′(5)＝________.解析：由题意知f ′(5)＝－1， f (5)＝－5＋8＝3， ∴f (5)＋f ′(5)＝3－1＝2. 答案：2[例1] (1)y ＝(1－x )⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x ； (2)y ＝ln xx ； (3)y ＝tan x ； (4)y ＝3x e x －2x ＋e.[自主解答] (1)∵y ＝(1－x )⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x ＝1x－x ＝x 12-－x 12，∴y ′＝(x12-)′－(x 12)′＝－12x 32-－12x 12-.(2)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x x ′＝?ln x ?′x －x ′ln x x 2＝1x ·x －ln x x 2＝1－ln x x 2. (3)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x cos x ′＝?sin x ?′cos x －sin x ?cos x ?′cos 2x＝cos x cos x －sin x ?－sin x ?cos 2x ＝1cos 2x .(4)y ′＝(3x e x )′－(2x )′＋e ′＝(3x )′e x ＋3x (e x )′－(2x )′＝3x (ln 3)·e x ＋3x e x －2x ln 2＝(ln 3＋1)·(3e)x －2x ln 2.若将本例(3)中“tan x ”改为“sin x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2cos 2x 4”如何求解？解：∵y ＝sin x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2cos 2x 4＝－sin x 2cos x 2＝－12sin x∴y ′＝－12cos x ． ———————————————————求函数的导数的方法(1)求导之前，应先利用代数、三角恒等式等对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错；(2)有的函数虽然表面形式为函数的商的形式，但可在求导前利用代数或三角恒等变形将其化简为整式形式，然后进行求导，这样可以避免使用商的求导法则，减少运算量．1．求下列函数的导数(1)y ＝x ＋x 5＋sin x x 2；(2)y ＝(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)；(3)y ＝11－x ＋11＋x；(4)y ＝cos 2xsin x ＋cos x .解：(1)∵y ＝x 12＋x 5＋sin x x 2＝x 32-＋x 3＋sin x x 2，∴y ′＝(x32-)′＋(x 3)′＋(x －2sin x )′＝－32x 52-＋3x 2－2x －3sin x ＋x －2cos x . (2)y ＝(x 2＋3x ＋2)(x ＋3) ＝x 3＋6x 2＋11x ＋6， ∴y ′＝3x 2＋12x ＋11. (3)∵y ＝11－x＋11＋x＝21－x ， ∴y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫21－x ′＝－2?1－x ?′?1－x ?2＝2?1－x ?2. (4)y ＝cos 2x sin x ＋cos x＝cos x －sin x ，∴y ′＝－sin x －cos x .[例2] 求下列复合函数的导数： (1)y ＝(2x －3)5；(2)y ＝3－x ； (3)y ＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3；(4)y ＝ln(2x ＋5)．[自主解答] (1)设u ＝2x －3，则y ＝(2x －3)5由y ＝u 5 与u ＝2x －3复合而成，∴y ′＝f ′(u )·u ′(x )＝(u 5)′(2x －3)′ ＝5u 4·2＝10u 4＝10(2x －3)4.(2)设u ＝3－x ，则y ＝3－x 由y ＝u 12与u ＝3－x 复合而成． ∴y ′＝f ′(u )·u ′(x )＝(u 12)′(3－x )′ ＝12u －12(－1)＝－12u 12- ＝－123－x ＝3－x 2x －6.(3)设y ＝u 2，u ＝sin v ，v ＝2x ＋π3， 则y ′x ＝y ′u ·u ′v ·v ′x ＝2u ·cos v ·2 ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3 ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋2π3.(4)设y ＝ln u ，u ＝2x ＋5，则y ′x ＝y ′u ·u ′x ， ∴y ′＝12x ＋5·(2x ＋5)′＝22x ＋5. ———————————————————复合函数求导应注意三点一要分清中间变量与复合关系；二是复合函数求导法则，像链条一样，必须一环一环套下去，而不能丢掉其中的任一环；三是必须正确分析复合函数是由哪些基本函数经过怎样的顺序复合而成的，分清其复合关系．2．求下列复合函数的导数： (1)y ＝(1＋sin x )2；(2)y ＝ln x 2＋1； (3)y ＝1?1－3x ?4；(4)y ＝x1＋x 2.解：(1)y′＝2(1＋sin x)·(1＋sin x)′＝2(1＋sin x)·cos x.(2)y′＝(ln x2＋1)′＝1x2＋1·( x2＋1)′＝1x2＋1·12(x2＋1)12-·(x2＋1)′＝xx2＋1.(3)设u＝1－3x，y＝u－4.则y x′＝y u′·u x′＝－4u－5·(－3)＝12?1－3x?5.(4)y′＝(x1＋x2)′＝x′·1＋x2＋x⎝⎛⎭⎫1＋x2′＝1＋x2＋x21＋x2＝1＋2x21＋x2.[例3](1)(2012·P，Q的横坐标分别为4，－2，过P，Q分别作抛物线的切线，两切线交于点A，则点A的纵坐标为________．(2)已知曲线y＝13x3＋43.①求曲线在点P(2,4)处的切线方程；②求斜率为4的曲线的切线方程．[自主解答](1)y＝x22，y′＝x，∴y′|x＝4＝4，y′|x＝－2＝－2.点P 的坐标为(4,8)，点Q 的坐标为(－2,2)， ∴在点P 处的切线方程为y －8＝4(x －4)，即 y ＝4x －8.在点Q 处的切线方程为y －2＝－2(x ＋2)，即y ＝－2x －2.解⎩⎪⎨⎪⎧y ＝4x －8，y ＝－2x －2，得A (1，－4)，则A 点的纵坐标为－4.(2)①∵P (2,4)在曲线y ＝13x 3＋43上， 且y ′＝x 2，∴在点P (2,4)处的切线的斜率k ＝y ′|x ＝2＝4. ∴曲线在点P (2,4)处的切线方程为y －4＝4(x －2)， 即4x －y －4＝0.②设切点为(x 0，y 0)，则切线的斜率k ＝x 20＝4， x 0＝±2.切点为(2,4)或⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－43，∴切线方程为y －4＝4(x －2)或y ＋43＝4(x ＋2)， 即4x －y －4＝0或12x －3y ＋20＝0. [答案] (1)－4若将本例(2)①中“在点P (2,4)”改为“过点P (2,4)”如何求解？ 解：设曲线y ＝13x 3＋43与过点P (2,4)的切线相切于点A ⎝⎛⎭⎪⎫x 0，13x 30＋43， 则切线的斜率k ＝y ′|x ＝x 0＝x 20.∴切线方程为y －⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 30＋43＝x 20(x －x 0)，即y ＝x 20·x －23x 30＋43.∵点P ?2，4?在切线上，∴4＝2x 20－23x 30＋\f(4,3)，即x 30－3x 20＋4＝0. ∴x 30＋x 20－4x 20＋4＝0.∴x 20?x 0＋1?－4?x 0＋1??x 0－1?＝0.∴?x 0＋1??x 0－2?2＝0.解得x 0＝－1或x 0＝2. 故所求的切线方程为4x －y －4＝0或x －y ＋2＝0. ———————————————————1．求曲线切线方程的步骤(1)求出函数y ＝f (x )在点x ＝x 0处的导数，即曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处切线的斜率； (2)由点斜式方程求得切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)·(x －x 0)． 2．求曲线的切线方程需注意两点(1)当曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线平行于y 轴(此时导数不存在)时，切线方程为x ＝x 0；(2)当切点坐标不知道时，应首先设出切点坐标，再求解． 3．已知函数f (x )＝2x ＋1(x >－1)，曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线l 分别交x轴和y 轴于A ，B 两点，O 为坐标原点．(1)求x 0＝1时，切线l 的方程；(2)若P 点为⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，233，求△AOB 的面积． 解：(1)f ′(x )＝1x ＋1，则f ′(x 0)＝1x 0＋1，则曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))的切线方程为 y －f (x 0)＝1x 0＋1(x －x 0)，即y ＝x x 0＋1＋x 0＋2x 0＋1.所以当x 0＝1时，切线l 的方程为x －2y ＋3＝0.(2)当x ＝0时，y ＝x 0＋2x 0＋1；当y ＝0时，x ＝－x 0－2.S △AOB ＝12⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 0＋2x 0＋1·?x 0＋2?＝?x 0＋2?22 x 0＋1， ∴S △AOB ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＋222 －23＋1＝839.[例4] 已知a －1＝0垂直的切线，则实数a 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，＋∞ B.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－12 C.[)－1，＋∞D.(]－∞，－1[自主解答] 由题意知曲线上存在某点的导数为1， 所以y ′＝2ax ＋3－1x ＝1有正根， 即2ax 2＋2x －1＝0有正根． 当a ≥0时，显然满足题意；当a <0时，需满足Δ≥0，解得－12≤a <0. 综上，a ≥－12.[答案] A ———————————————————导数几何意义应用的三个方面导数的几何意义是切点处切线的斜率，应用时主要体现在以下几个方面： (1)已知切点A (x 0，f (x 0))求斜率k ，即求该点处的导数值：k ＝f ′(x 0)； (2)已知斜率k ，求切点A (x 1，f (x 1))，即解方程f ′(x 1)＝k ；(3)已知过某点M (x 1，f (x 1))(不是切点)的切线斜率为k 时，常需设出切点A (x 0，f (x 0))，利用k ＝f ?x 1?－f ?x 0?x 1－x 0求解．4．若函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π6＋θ(0<θ<π)，且f (x )＋f ′(x )是奇函数，则θ＝________.解析：∵f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π6＋θ， ∴f ′(x )＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π6＋θ.于是y ＝f ′(x )＋f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π6＋θ＋3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π6＋θ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π6＋θ＋π3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋θ＋π2＝2cos(3x ＋θ)，由于y ＝f (x )＋f ′(x )＝2cos(3x ＋θ)是奇函数， ∴θ＝k π＋π2(k ∈Z )．又0<θ<π，∴θ＝π2. 答案：π21个区别——“过某点”与“在某点”的区别曲线y ＝f (x )“在点P (x 0，y 0)处的切线”与“过点P (x 0，y 0)的切线”的区别：前者P (x 0，y 0)为切点，而后者P (x 0，y 0)不一定为切点．4个防范——导数运算及切线的理解应注意的问题(1)利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆． (2)利用导数公式求导数时，只要根据几种基本函数的定义，判断原函数是哪类基本函数，再套用相应的导数公式求解，切不可因判断函数类型失误而出错．(3)直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线，同样，直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点．(4)曲线未必在其切线的同侧，如曲线y ＝x 3在其过(0,0)点的切线y ＝0的两侧.易误警示——导数几何意义应用的易误点[典例] (2013·杭州模拟)若存在过点(1,0)的直线与曲线y ＝x 3和y ＝ax 2＋154x －9都相切，则a 等于( )A ．－1或－2564 B ．－1或214 C ．－74或－2564D ．－74或7[解析] 设过(1,0)的直线与y ＝x 3相切于点(x 0，x 30)，所以切线方程为y －x 30＝3x 20(x －x 0)，即y ＝3x 20x －2x 30，又(1,0)在切线上，则x 0＝0或x 0＝32， 当x 0＝0时，由y ＝0与y ＝ax 2＋154x －9相切可得a ＝－2564；当x 0＝32时，由y ＝274x －274与y ＝ax 2＋154x －9相切可得a ＝－1，所以选A. [答案] A1．如果审题不仔细，未对点(1,0)的位置进行判断，误认为(1,0)是切点，则易误选B. 2．解决与导数的几何意义有关的问题时， 应重点注意以下几点： (1)首先确定已知点是否为曲线的切点是解题的关键；(2)基本初等函数的导数和导数运算法则是正确解决此类问题的保证； (3)熟练掌握直线的方程与斜率的求解是正确解决此类问题的前提． 1．曲线y ＝sin x sin x ＋cos x －12在点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0处的切线的斜率为( )A ．－12 B.12 C ．－22 D.22解析：选By ′＝cos x ?sin x ＋cos x ?－?cos x －sin x ?sin x ?sin x ＋cos x ?2＝1?sin x ＋cos x ?2，故y ′⎪⎪⎪4x π=＝12. ∴曲线在点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0处的切线的斜率为12.2．已知函数f (x )＝x 3＋f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 2－x ，则函数f (x )的图象在点⎝⎛⎭⎪⎫23，f ⎝⎛⎭⎪⎫23处的切线方程是________．解析：由f (x )＝x 3＋f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 2－x ，可得f ′(x )＝3x 2＋2f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫23x －1，∴f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋2f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫23×23－1，解得f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝－1，即f (x )＝x 3－x 2－x .则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝⎝ ⎛⎭⎪⎫233－⎝ ⎛⎭⎪⎫232－23＝－2227，故函数f (x )的图象在⎝ ⎛⎭⎪⎫23，f ⎝⎛⎭⎪⎫23处的切线方程是 y ＋2227＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －23，即27x ＋27y ＋4＝0.答案：27x ＋27y ＋4＝0一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1．(2013·永康模拟)函数y ＝f (x )的图象如图所示，则y ＝f ′(x )的图象可能是( ) 解析：选D 据函数的图象易知，x <0时恒有f ′(x )>0，当x >0时，恒有f ′(x )<0. 2．若函数f (x )＝cos x ＋2xf ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3的大小关系是( )A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3B ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3C ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3D ．不确定解析：选C 依题意得f ′(x )＝－sin x ＋2f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，∴f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝－sin π6＋2f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝12，f ′(x )＝－sin x ＋1， ∵当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2时，f ′(x )>0，∴f (x )＝cos x ＋x 是⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上的增函数，注意到－π3<π3，于是有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3.3．已知t 为实数，f (x )＝(x 2－4)(x －t )且f ′(－1)＝0，则t 等于( ) A ．0 B ．－1 C.12D ．2解析：选C f ′(x )＝3x 2－2tx －4， f ′(－1)＝3＋2t －4＝0，t ＝12.4．曲线y ＝x e x ＋2x －1在点(0，－1)处的切线方程为( ) A ．y ＝3x －1 B ．y ＝－3x －1 C ．y ＝3x ＋1D ．y ＝－2x －1解析：选A 依题意得y ′＝(x ＋1)e x ＋2，则曲线y ＝x e x ＋2x －1在点(0，－1)处的切线的斜率为y ′|x ＝0，故曲线y ＝x e x ＋2x －1在点(0，－1)处的切线方程为y ＋1＝3x ，即y ＝3x －1.5．(2013·大庆模拟)已知直线y ＝kx 与曲线y ＝ln x 有公共点，则k 的最大值为( ) A ．1 B.1e C.2eD.2e解析：选B 从函数图象知在直线y ＝kx 与曲线y ＝ln x 相切时，k 取最大值．y ′＝(ln x )′＝1x ＝k ，x ＝1k (k ≠0)，切线方程为y －ln 1k ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1k ，又切线过原点(0,0)，代入方程解得ln k ＝－1，k ＝1e .6．设函数f (x )在R 上的导函数为f ′(x )，且2f (x )＋xf ′(x )>x 2.下面的不等式在R 上恒成立的是( )A ．f (x )>0B ．f (x )<0C ．f (x )>xD ．f (x )<x解析：选A 由已知，令x ＝0得2f (0)>0，排除B 、D 两项；令f (x )＝x 2＋14，则2x 2＋12＋x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋14′＝4x 2＋12>x 2，但x 2＋14>x 对x ＝12不成立，排除C 项．二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)7．已知f (x )＝x 2＋2xf ′(1)，则f ′(0)＝________. 解析：f ′(x )＝2x ＋2f ′(1)， ∴f ′(1)＝2＋2f ′(1)，即f ′(1)＝－2. ∴f ′(x )＝2x －4.∴f ′(0)＝－4. 答案：－48．已知函数y ＝f (x )及其导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，则曲线y ＝f (x )在点P 处的切线方程是________．解析：根据导数的几何意义及图象可知，曲线y ＝f (x )在点P 处的切线的斜率k ＝f ′(2)＝1，又过点P (2,0)，所以切线方程为x －y －2＝0.答案：x －y －2＝09．若曲线f (x )＝ax 5＋ln x 存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是________． 解析：曲线f (x )＝ax 5＋ln x 存在垂直于y 轴的切线，即f ′(x )＝0有正实数解． 又∵f ′(x )＝5ax 4＋1x ，∴方程5ax 4＋1x ＝0有正实数解． ∴5ax 5＝－1有正实数解．∴a <0. 故实数a 的取值范围是(－∞，0)． 答案：(－∞，0)三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分) 10．已知函数f (x )＝ax －6x 2＋b的图象在点(－1，f (－1))处的切线方程为x ＋2y ＋5＝0，求y ＝f (x )的解析式．解：由已知得，－1＋2f (－1)＋5＝0， ∴f (－1)＝－2，即切点为(－1，－2)．又f ′(x )＝?ax －6?′?x 2＋b ?－?ax －6??x 2＋b ?′?x 2＋b ?2＝－ax 2＋12x ＋ab ?x 2＋b ?2，∴⎩⎪⎨⎪⎧－a －61＋b ＝－2，－a －12＋ab ?1＋b ?2＝－12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝3.∴f (x )＝2x －6x 2＋3.11．如右图所示，已知A (－1,2)为抛物线C ：y ＝2x 2上的点，直线l 1过点A ，且与抛物线C 相切，直线l 2：x ＝a (a <－1)交抛物线C 于点B ，交直线l 1于点D .(1)求直线l 1的方程； (2)求△ABD 的面积S 1.解：(1)由条件知点A (－1,2)为直线l 1与抛物线C 的切点． ∵y ′＝4x ，∴直线l 1的斜率k ＝－4. 所以直线l 1的方程为y －2＝－4(x ＋1)， 即4x ＋y ＋2＝0.(2)点A 的坐标为(－1,2)，由条件可求得点B 的坐标为(a,2a 2)， 点D 的坐标为(a ，－4a －2)，∴△ABD 的面积为S 1＝12×|2a 2－(－4a －2)|× |－1－a |＝|(a ＋1)3|＝－(a ＋1)3.12．如图，从点P 1(0,0)作x 轴的垂线交曲线y ＝e x 于点Q 1(0,1)，曲线在Q 1点处的切线与x 轴交于点P 2.再从P 2作x 轴的垂线交曲线于点Q 2，依次重复上述过程得到一系列点：P 1，Q 1；P 2，Q 2；…；P n ，Q n ，记P k 点的坐标为(x k,0)(k ＝1,2，…，n )．(1)试求x k 与x k －1的关系(k ＝2，…，n )； (2)求|P 1Q 1|＋|P 2Q 2|＋|P 3Q 3|＋…＋|P n Q n |. 解：(1)设点P k －1的坐标是(x k －1,0)，∵y ＝e x ，∴y ′＝e x ，∴Q k －1(x k －1，e x k －1)，在点Q k －1(x k －1，e x k －1)处的切线方程是y －e x k －1＝e x k －1(x －x k －1)，令y ＝0，则x k ＝x k －1－1(k ＝2，…，n )． (2)∵x 1＝0，x k －x k －1＝－1， ∴x k ＝－(k －1)， ∴|P k Q k |＝e x k ＝e －(k －1)，于是有|P 1Q 1|＋|P 2Q 2|＋|P 3Q 3|＋…＋|P n Q n | ＝1＋e －1＋e －2＋…＋e －(n －1) ＝1－e －n 1－e －1＝e －e 1－n e －1， 即|P 1Q 1|＋|P 2Q 2|＋|P 3Q 3|＋…＋|P n Q n |＝e －e 1－n e －1.1．设函数f (x )在x 0处可导，则lim Δx →0 f ?x 0－Δx ?－f ?x 0?Δx 等于( )A ．f ′(x 0)B ．－f ′(x 0)C ．f (x 0)D ．－f (x 0)解析：选B lim Δx →0 f ?x 0－Δx ?－f ?x 0?Δx ＝－lim Δx →0f [x 0＋?－Δx ?]－f ?x 0??－Δx ?＝－f ′(x 0)． 2．求下列各函数的导数： (1)(x )′＝12x 12-； (2)(a x )′＝a 2ln x ；(3)(x cos x )′＝cos x ＋x sin x ； (4)⎝ ⎛⎭⎪⎫x x ＋1′＝1x ＋1，其中正确的有( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个D ．3个解析：选B 根据函数的求导公式知只有(1)正确．3．函数y ＝x 2(x >0)的图象在点(a k ，a 2k )处的切线与x 轴的交点的横坐标为a k ＋1，其中k∈N *.若a 1＝16，则a 1＋a 3＋a 5的值是________．解析：∵y ′＝2x ，∴点(a k ，a 2k )处的切线方程为y －a 2k ＝2a k (x －a k )．又该切线与x 轴的交点为(a k ＋1,0)，∴a k ＋1＝12a k ，即数列{a k }是等比数列，首项a 1＝16，其公比q ＝12.∴a 3＝4，a 5＝1.∴a 1＋a 3＋a 5＝21.答案：214．设函数f (x )＝ax －bx ，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0. (1)求f (x )的解析式；(2)证明：曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形面积为定值，并求此定值．解：(1)方程7x －4y －12＝0可化为y ＝74x －3. 当x ＝2时，y ＝12. 又f ′(x )＝a ＋bx 2， 于是⎩⎪⎨⎪⎧2a －b 2＝12，a ＋b 4＝74，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3.故f (x )＝x －3x .(2)设P (x 0，y 0)为曲线上任一点，由y ′＝1＋3x 2知曲线在点P (x 0，y 0)处的切线方程为y －y 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3x 20(x －x 0)，即y －⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－3x 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3x 20(x －x 0)．令x ＝0得y ＝－6x 0，从而得切线与直线x ＝0的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－6x 0.令y ＝x 得y ＝x ＝2x 0.从而得切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x 0,2x 0)．所以点P (x 0，y 0)处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形面积为12⎪⎪⎪⎪⎪⎪－6x 0|2x 0|＝6.故曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，此定值为6.。
2017届新课标高考总复习·数学课件：第3章 第1节 变化率与导数、导数的计算
π3′＝cos
π3.(
)
(5)若(ln x)′＝1x，则1x′＝ln x．(
)
(6)函数 f(x)＝sin (－x)的导数为 f′(x)＝cos x．( )
答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)× (5)× (6)×
第八页，编辑于星期六：点 五十六分。
2．曲线 y＝sin x＋ex 在点(0,1)处的切线方程是( )
解析：因为 f′(x)＝x′·[(x－a1)(x－a2)·…·(x－a8)]＋[(x－a1)(x － a2)·…·(x － a8)]′·x ＝ (x － a1)·(x － a2)·…·(x － a8) ＋ [(x － a1)(x － a2)·…·(x－a8)]′·x，所以 f′(0)＝(0－a1)(0－a2)·…·(0－a8)＋0＝ a1a2·…·a8.因为数列{an}为等比数列，所以 a2a7＝a3a6＝a4a5＝a1a8＝ 8，所以 f′(0)＝84＝212.
答案：212
第十九页，编辑于星期六：点 五十六分。
导数的几何意义是每年高考的必考内容，考查题型既有选
择题、填空题，也常出现在解答题的第(1)问中，难度偏小，属
中低档题，且主要有以下几个命题角度：
角度一：求切线方程
[典题 3] (1)(2016·唐山模拟)曲线 y＝ex－ln x 在点(1，e)
处的切线方程为( )
第十一页，编辑于星期六：点 五十六分。
(2)y′
＝
ln x x
′
＝
ln
x′x－x′ln x2
x
＝
1x·x－ln x2
x
＝
1－ln x x2 .
第十二页，编辑于星期六：点 五十六分。
(3)y′＝csions