归纳函数极限的计算方法

归纳函数极限的计算方法

1. 预备知识

1.1函数极限的εδ-定义]1[

设函数f 在点0x 的某个空心邻域'0(;)U x δ内有定义，A 为定数，若对任给的

0ε>，存在正数'()δδ<，使得当00||x x δ<-<时有|()|f x A ε-<，则称函数当趋于0

x 时以A 为极限，记作0

lim ()x x f x A →=或()f x A →0()x x →.

2.求函数极限的方法总结

极限是描述函数的变化趋势，以基于图形或直观结合定义可以求出一些简单的函数的极限；但是结构较为复杂的函数的图形不易画出，基于直观也就无法得出极限，本着化繁为简的思想，产生了极限的四则运算法则；由“数列的单调有界准则”和“迫敛准则”产生了两个重要极限和无穷小量的性质—有界函数与无穷小量的积仍是无穷小量；由中值定理得出了罗必达法则.以上也是我们求极限的理论依据，但在个依据下求极限又有各自的技巧.

2.1依据函数极限的迫敛性求极限

函数极限的迫敛性 设0

lim ()lim ()x x x x f x g x A →→==，且在某'0(;)U x δ内有

()()()f x h x g x ≤≤，则0

lim ()x x h x A →=.

例1求极限]1[lim 0x x x →

解：当0>x 时，有

1]1

[1≤<-x

x x

而1)1(lim 0

=-+→x x ,由函数迫敛性可得

1]1

[lim 0=+→x

x x 同理可得0

[lim 0=→x

x x

注：依据函数极限的迫敛性求极限时，需判断该函数的上下范围，这时通常用到以下不等式：1cos 1,1sin 1),0(1][),0(][1≤≤-≤≤->-≤<<≤<-x x x x x x x x x x

2.2 依据极限的四则运算求极限]2[

依据极限的四则运算法则求极限的题目，除了直接使用极限的四则运算法则外，往往还有以下几种类型：

分母极限为0:可先采用“约简分式”或“分子、分母有理化”进行恒等变形，将分母极限化为非零，然后再运用法则：

例2 求极限1

1

lim 1--→n m x x x （n 和m 都是正整数）

解：原式=)

1)(1()

1)(1(lim 21211+Λ++-+Λ++-----→n n m m x x x x x x x

=n

m

x x x x n n m m x =+Λ+++Λ++----→11lim 21

211 ∞

∞

∞?∞±∞,

0,等未定型：因“∞”不是一个数，故该类型的题目不能直接使用运算法则，但可以利用“无穷大量的导数”、“分式有理化”或“通分”等方法，将其转化为极限存在后，再运用法则计算.

例3求极限)13

11(lim 21x

x x ---→ 解：原式=)

1)(1(31lim 221x x x x x x ++--++→ =13

3

)1)(1()2)(1(lim

21-=-=++-+--→x x x x x x

2.3 依据两个重要极限求极限

两个重要的极限:0sin lim

1x x x →=，1

lim(1)x x e x

→∞+=.

函数经过一定变形，若能出现以下情况：

))(())(1(),)(())

(11(),0)(()()(sin )(1

)

(∞→+∞→+→x h x h x g x g x f x f x f x h x g 时，也可采用重要极限来求.

例4 求极限

]

2[3

2

03sin sin 3lim x x x x x -+→

解：原式=10

1301333sin 3sin sin 3lim 2

0=-??+=-?+

→x x

x x

x x

x

例5 求极限1

2)1

323(lim -∞→-+x x x x

解：原式=2231

23

1

31)2

313(])1

331[(lim e e x x x x x =?=+--+

-∞→ 2.4依据等价无穷小替换求极限

求函数极限，若能恰当采用等价无穷小的代换，可以起到变难为易，化繁为简的作用.需要记住一些常见的等价无穷小, 如当0x →时:

.~1)1(,~)1ln(,~1,~arctan ,~arcsin ,~tan ,~sin x x x x x e x x x x x x x x x αα-++-

例6 求极限]2[30sin sin tan lim

x

x

x x -→ 解:原式3

0sin cos sin sin cos 1lim x x

x x x x -?=→

2

302sin sin 12lim cos sin x x

x x x

→=? 23011

2lim cos 2

x x x x x →?=?=

注:用等价无穷小替换求极限时，应注意只能用分子、分母整个部分去代换，或是把函数化成积的形式实行无穷小代换，对极限式的相加相减部分不能随意替代. 2.5 依据洛必达法则求极限

洛必达法则]1[:

型不定式极限 若函数f 和g 满足: (i)0

lim ()lim ()0x x x x f x g x →→==;

(ii)在点0x 的某空心邻域00()U x 内两者都可导, 且'()0g x ≠ (iii)0

'()

lim

'()

x x f x A g x →=(A 可为实数, 也可为±∞或∞), 则 0

0()'()

lim

lim ()'()

x x x x f x f x A g x g x →→==

∞

∞

型不定式极限 若函数f 和g 满足: (i)0

lim ()lim ()x x x x f x g x ++→→==∞;

(ii)在点0x 的某右邻域00()U x +内两者都可导, 且'()0g x ≠ (iii)0

'()

lim

'()

x x f x A g x →=(A 可为实数, 也可为±∞或∞), 则 0

()'()

lim lim ()'()x x x x f x f x A g x g x +

+→→== 因此函数为∞

∞

,00型，通常可采用此法，如下：

例7计算极限)

cos 1(])1arctan([lim

00

2

x x du dt t x

x x -+??→

解：原式x x x dt

t x x sin )cos 1()1arctan(lim 2

0?+-+=?

→

20arctan(1)2lim 2sin sin x x x

x x x

→+?=+? 222

042arctan(1)1lim 3cos sin x x x x

x x x

→+++=-? 202arctan(1)lim 3cos 6

x x x π→+== 注：“洛必达法则”是求函数极限的有力工具，但在运用中，由于积、商、复合函数的求导会使分子、分母的项数增加, 导致求极限过程繁琐，因此用Hoshital L'法

则求∞

∞

,00型的极限是不够的，需综合运用其它方法才能发挥作用.

2.6 依据麦克劳林展开式求极限

一般常见函数的麦克劳林公式]1[:

2

1()2!

!

n

x

n x x e x x n ο=+++

++ 35

21

1

2sin (1)

()3!5!

(21)!

m m m x x x x x x m ο--=-++

+-+-

24

221cos 1(1)()2!4!(2)!

m

m

m x x x x x m ο+=-++

+-+

23

1

ln(1)(1)

()23

n

n n x x x x x x n

ο-+=-++

+-+ 2(1)

(1)

(1)(1)1()2!

!

n

n n x x x x x n αααααααο---++=+++

+

+

21

1()1n n x x x x x

ο=+++++-

利用洛必达法则求∞

∞

,00型极限时，其结果是化成某阶导数的比，而麦克劳林展

开式的各项系数正分别含着各阶导数的值，因此对∞

∞

,00型函数极限也可采用此法.

例8 求极限4

02

cos lim x e x x

x -→-

解：24

5 cos 1()224

x x x x ο=-++

224

52

1()28

x x x e

x ο-=-++

原式=2

4

54

4001()

cos 1

12lim

lim 12

x

x x x x x e x x ο-→→-

+-==- 注：若本题采用洛必达法则去做，会导致计算过程繁杂. 2.7 运用函数的连续性求极限

函数的连续性定义]1[: 设函数f 在某0()U x 内有定义, 若

0lim ()()x x f x f x →=,

则称f 在点0x 连续.

若函数f 在区间I 上的每一点都连续, 则称f 为I 上的连续函数.

例9 计算极限3

5

lim 222-+→x x x

思路：)(x f 为连续函数, 0x 为)(x f 的定义区间上的一点，则)()(lim 00

x f x f x =→.

解：原式=93

25

22

2=-+

2.8 运用导数的定义求极限

导数的定义]1[: 设函数()y f x =在点0x 的某邻域内有定义, 若极限

00

()()

lim

x x f x f x x x →--

存在, 则称函数f 在点0x 处可导, 并称该极限值为函数f 在点0x 处的导数, 记作

0'()f x .

若函数f 在区间I 上的每一点都可导(对区间端点, 仅考虑相应的单侧导数), 则称f 为I 上的可导函数.

例10 计算)0(ln )ln(lim

0>-+→h x

h

x h x

思路：对具有000

)()(lim x x x f x f x --→或h

x f h x f h )

()(lim 000-+→形式的极限，可由导数的定义来进行计算.

解：原式=h

x h x 1

|)'(ln =

= 2.9运用定积分的定义求极限

定积分的定义]1[: 设f 是定义在[,]a b 上的一个函数, J 是一个确定的实数.若对任意给的正数ε, 总存在某一正数δ, 使得对[,]a b 的任何分割T , 以及在其上任意选取的点集{}i ξ, 只要T δ<, 就有

1

()n

i

i

i f x J

ξε=?-<∑

则称函数f 在区间[,]a b 上可积或黎曼可积;数J 称为f 在区间[,]a b 上的定积分或黎曼积分, 记作()b

a J f x dx =?

例11 计算]3

[01lim 1cos

n n →++ 思路：和式极限，利用定积分定义1001

1lim ()()n n i i

f f x n n →==∑?dx 求得极限.

解：原式01

1lim n n i n →==

0)d x =?

2

x

dx ππ

==

?

2.10 运用微分中值定理求极限

拉格朗日中值定理]1[: 若函数f 满足如下条件： （i ）f 在闭区间[,]a b 上连续；

（ii ）f 在开区间(,)a b 内可导，则在内至少存在一点ξ，使得

'()()

()f b f a f b a

ξ-=

-.

例12：计算

]

3[sin 0lim sin x x x e e x x

→-- 思路：对函数()f x 在区间[sin ,]x x 上运用拉格朗日中值定理，即可求得. 解：原式0

lim 1e αα→== （其中α在[sin ,]x x 区间内）

综上所述，求极限时，在不同的函数类型下，所采用的技巧是各不相同的，对同一题也可能有多种求法，有难有易，有时甚至需要结合上述各种方法，才能简单有效的求出，因此学会判断极限的类型和对以上的解法的灵活运用是必要的.