河北省衡水中学2018届高三下学期全国统一联合考试(3月)数学(文)试题+Word
衡中2018年全国高三统一联合考试
文科数学
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合{}1A x x =≤，且{}0,1A B = ，则集合B 可能是( ) A.{}0x x ≥
B.{}1x x >-
C.{}1,0,1-
D.{}0,1,2
2.已知向量()1,2a = ，()1,0b =- ，则2a b -=
( )
B.17
C.5
D.25
3.若复数z 在复平面内对应的点的坐标是()1,2-，则z
i
=( ) A.12i -
B.12i +
C.2i -
D.2i --
4.《九章算术》中的“两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题：“今有垣厚若干尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢，各穿几何？”题意是：“有两只老鼠从墙的两边同时相向打洞穿墙，大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半.”如果这两只老鼠恰好用了7天把墙打穿，则墙厚为( ) A.
8255
64
尺 B.129尺 C.
2079
32
尺 D.65尺
5.若双曲线22
:11
x y C m m -=+m =( )
A.1
B.2
C.1或2-
D.1或2
6.已知命题p ：m R ∃∈，使()2f x x mx =+是偶函数；命题q ：若21x =，则1x =，现给出下列命题：
①p ；②q 的逆否命题；③p q ∧；④()p q ∨⌝. 其中真命题的个数为( ) A.0
B.1
C.2
D.3
7.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为( )
B.83
C.8
D. 8.函数()3sin 23f x x π⎛
⎫=- ⎪⎝⎭的图象经过下面哪种平移变换后所得的图象关于y 轴对称
( ) A.向左平移56
π
个单位长度 B.向左平移12
π
个单位长度 C.向右平移
56
π
个单位长度
D.向右平移
12
π
个单位长度
9.执行如图所示的程序框图，若输出的S 的值为3-，则判断框内可填入( )
A.7?n <
B.6?n <
C.5?n <
D.4?n <
10.已知一个圆柱的侧面展开图是边长为1的正方形，则该圆柱的外接球的表面积为( )
A.
2
1
ππ
+ B.
21
2ππ
+ C.
2
1
4ππ
+ D.
()
32
2
2
16π
π+
11.已知直线20x y --=与x 轴交于点M ，与抛物线()220y px p =>交于A ，B 两点，若2AM MB =
，则p =( )
A.
12
B.1
C.2
D.4
12.若存在0a >，b R ∈，使得()()2
2
22ln 5
z b a b a -=--成立，
则实数z 的取值范围是( )
A.(
B.)
⎡+∞⎣
C.4,5⎡⎫
+∞⎪⎢⎣⎭
D.[)4,+∞
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.已知,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则2sin 2x π⎛
⎫+ ⎪⎝
⎭1≥的概率为______________.
14.已知函数()214
133f x x x =-+的图象与坐标轴的交点均在圆M 上，则圆M 的标准方程是
_________.
15.已知实数,x y 满足不等式组10
1033x y x y x y +-≥⎧⎪
-+≤⎨⎪-≤⎩
，则2z x y =-的最大值为______________.
16.已知曲线()1n f x x +=在点()()1,1f 处的切线在x 轴上的截距为()n ϕ，若数列{}n a 满足12a =，()1n n a a n ϕ+=，则2018a =______________.
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.在ABC △中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，且2sin tan a B b A =. (1)求角A 的大小；
(2)若2a =，求22b c +的最大值.
18.如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，60DAB =∠°，点M 为AD 上一点，且190MBC =∠°
.
(1)证明：1A D BM ⊥.
(2)若四棱柱1111ABCD A B C D -
的表面积为11B BMC -的体积.
19.某县教育局为了检查本县甲、乙两所学校的学生对党的十九大精神的学习情况，在这两所学校进行了党的十九大知识考试，随机在这两所学校各抽取20名学生的考试成绩作为样本，成绩大于或等于80分的为优秀，否则为不优秀，统计结果如下图：
(1) 求甲校样本的中位数；
(2) 从乙校成绩优秀的学生中任选两名，求这两名学生的成绩恰有一个落在[]90,100内的概
率；
(3) 由以上数据完成下面列联表，并回答有多大的把握认为学生的成绩与两所学校的选择有
关.
附：()
()()()()
2
2n ad bc K a b c d a c b d -=
++++，其中n a b c d =+++.
为直径的圆的面积为9π. (1)求椭圆C 的方程；
(2)过点A 作斜率为1k 的直线1l 交椭圆C 于另一点M ，过点B 作斜率为2k 的直线2l 交椭圆C 于另一点N ，若2120k k =≠，证明直线MN 过x 轴上一定点，并求出该定点的坐标. 21.已知函数()()()
x x f x e x a e x -=--+. (1)讨论()f x 的单调性；
(2)证明：当a e ≤且0x ≥时，()2f x ≥-.
22.在平面直角坐标系xOy 中，直线:l y x =，圆C 的参数方程为2
x y m α
α⎧=⎪⎨=⎪⎩(α为参
数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. (1)求直线l 和圆C 的极坐标方程；
(2)若直线l 与圆C 交于A ，B 两点，且钝角ABC △m 的值. 23.已知函数()221f x x a x =-+-. (1)若1a =，求不等式()8f x ≤的解集；
(2)若不存在[]1,x a ∈，使()2f x x <成立，求实数a 的取值范围.。
河北省衡水中学2018年高考押题(三)文科数学 (PDF)文数(三)试卷
（1）如果曲线 y f x 在点 0, f 0 处的切线方程为 y x ，求 a ， b 的值； （2）若 a 1 ， b 2 ，关于 x 的不等式 f x ax 的整数解有且只有一个，求 a 的取值范围.
请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．
C．第三象限 D．第四象限
B．第二象限
r r r 1 r r 3．已知平面向量 a ， b 的夹角为 ，且 a 1 ， b ，则 a 2b （ 3 2 3 A．1 B． 3 C．2 D． 2
2
9． 某几何体的正视图和侧视图如图 （1） ， 它的俯视图的直观图是矩形 O1 A1 B1C1（如图 （2） ） ， 其中 O1 A1 3 ，
22．选修 4-4：坐标系与参数方程
3 x 1 t, 2 （ t 为参数），在以坐标原点为极点、 x 轴的非负半轴为极轴建立 已知直线 l 的参数方程为 y 1 t 2
的极坐标系中，圆 C 的极坐标方程为 2 2 . （1）求直线 l 被圆 C 截得的弦长； （2）若 M 的坐标为 1, 0 ，直线 l 与圆 C 交于 A ， B 两点，求 MA MB 的值. 23．选修 4-5：不等式选讲 已知 f x x 1 x a （ a 为常数）. （1）若 f 2 f a 1，求实数 a 的取值范围； （2）若 f x 的值域为 A ，且 A 2,3 ，求实数 a 的取值范围.
）
若关于 x 的方程 f x kx
1 恰有四个不相等的实数根，则实 2
A．
1 , e 2
B． , e
1 2
河北省衡水中学2018届高三数学下学期全国统一联合考试(3月)试题 理(无答案)
河北省衡水中学2018届高三数学下学期全国统一联合考试（3月）试题 理一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集{}1,2,3,4,5,6,7,8U =，{}3,4,5A =，{}1,3,6B =，则集合{}2,7,8是( ) A.ABB.ABC.()U C ABD.()U C A B2.已知复数z 的实部不为0，且1z =，设1z z ω=+，则ω在复平面上对应的点在( )A.实轴上B.虚轴上C.第三象限D.第四象限3.将()2nx -的展开式按x 的升幂排列，若倒数第三项的系数是40-，则n 的值是( ) A.4B.5C.6D.74.如图所示是三棱柱与球的组合体的三视图，则三棱柱的体积与球的体积之比是( )B.6πC.9π5.设1F ，2F 分别是双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>的左、右焦点，以1F 为圆心、12F F 为半径的圆与双曲线左支的其中一个交点为A ，若12120AF F =∠°，则该双曲线的离心率是( )16.若函数()()()2sin 20f x a x θθπ=+<<，a 是不为零的常数)在R 上的值域为[]2,2-，且在区间5,1212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是单调减函数，则a 和θ的值是( )A.1a =，3πθ=B.1a =-，3πθ=C.1a =，6πθ=D.1a =-，6πθ=7.已知函数()32f x x ax bx c =+++(a ，b ，c 均为常数)的图象关于点()1,0-对称，则b c-的值是( ) A.4-B.4C.2-D.28.已知“x a x b ≥⇒>”，且“x a x c <⇒≤”，则“x c ≤”是“x b ≤”的( ) A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件9.“三个臭皮匠，楔个诸葛亮”，这是我们常说的口头禅，主要是说集体智慧的强大，假设李某智商较高，他独自一人解决项目M 的概率为10.3P =；同时，有n 个水平相同的人也在研究项目M ，他们各自独立地解决项目M 的概率都是0.1.现在李某单独研究项目M ，且这n 个人组成的团队也同时研究项目M ，设这个n 人团队解决项目M 的概率为2P ，若21P P ≥，则n 的最小值是( ) A.3B.4C.5D.610.已知向量()cos ,sin AB αα=，()cos ,sin BC ββ=，()cos ,sin CA γγ=，其中02αβγπ<<<<，则AB BC ⋅的值是( )A.12B.12-C. 11.设函数()f x 定义如下表：执行如图所示的程序框图，则输出的x 的值是( )A.4B.5C.2D.312.已知异面直线a ，b 所成的角为90°，直线AB 与a ，b 均垂直，且垂足分别为A ，B ，若动点P 在直线a 上运动，动点Q 在直线b 上运动，4PA QB +=，则线段PQ 的中点M 的轨迹所围成的平面区域的面积是( ) A.2B.4C.8D.12二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.抛物线24y x =-的焦点到它的准线的距离是____________.14.若实数x ，y 满足100x y x y +≥-⎧⎪≤⎨⎪≤⎩，则2z x y =+取得最大值时对应的最优解是____________.15.已知在ABC △中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c，cos A =cos B =c =则a =____________.16.已知函数()xxf x e =，关于x 的方程()()220f x f x c -+=⎡⎤⎣⎦有以下四个结论： ①当0c =时，方程有3个实根；②当221c c e -=时，方程有3个实根；③当2211e c e -<<时，方程有2个实根；④当221e c e -<时，方程有4个实根. 以上结论中正确的有____________(填序号).三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.已知正项等比数列{}n a 满足()*14n n n a a n N +=∈. (1)求数列{}n a 的通项公式； (2)设2211log log n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n S .18.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1AC BC AB AA ===，过1AA 的平面分别交BC ，11B C 于点D ，1D.(1)求证：四边形11ADD A 为平行四边形；(2)若1AA ⊥平面ABC ，D 为BC 中点，E 为1DD 中点，求二面角1A C E C --的余弦值.19.最近，在“我是演说家”第四季这档节目中，英国华威大学留学生游斯彬的“数学之美”的演讲视频在微信朋友圈不断被转发，点赞的人数更是不断增加，对一周(7天)内演讲视频被转发的天数x 与点赞的人数y 进行了统计，数据见下表：根据所给数据(),x y ，画出了散点图以后，发现演讲视频被转发的天数x 与点赞的人数y 的关系可以近似地表示为x y a b =⋅(,a b 均为正常数). (题中所有数据的最后计算结果都精确到0.01) (1) 建立y 关于x 的回归方程；(2) 试预测，至少经过多少天，点赞的人数超过12000？附：①对于一组数据()11,x y ，()22,x y ，…，(),n n x y ，其回归直线y x a β=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为()()()121nii i nii xx y yxxβ==--=-∑∑，a y x β=-.②参考数据：20.已知椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，椭圆E 上一点A 在x 轴上的射影恰好为1F ，且直线2AF 的斜率为(1)求椭圆E 的离心率；(2)当2a =时，过点()0,2Q -的射线与椭圆E 交于不同的两点M ，N ，若点P 在射线QM 上，且满足2QM QN QP ⋅=，求点P 的横坐标0x 的取值范围. 21.已知函数()ln f x x =.(1)设()()()()'F x f k x k f k =-+(其中0k >)，求证：()()f x F x ≤.(2)若曲线()y f x =与抛物线()22y ax a x =+-有两个公共点，求实数a 的取值范围.22.已知圆C 的极坐标方程为2sin 104πρθ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭，直角坐标系xOy 的坐标原点O 与极点重合，x轴的正半轴与极轴重合.(1)求圆C的标准方程和它的一个参数方程；(2)设()P x y是圆C上的任意一点，求xy的最大值.,23.已知函数()1=+-.f x x x(1)解不等式()3f x≥；(2)若()()2f x f y+≤，求x y+的取值范围.。
【衡水金卷】2018届四省名校高三第三次大联考文科数学试题(解析版)
【衡水金卷】2018届四省名校高三第三次大联考试题文科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 复数满足（为虚数单位），则的虚部为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：由已知等式变形得，再利用复数的四则运算法则求出z的代数形式，再写出虚部。
详解：由有，则z 的虚部为，故选B.点睛：本题主要考查了复数的四则运算以及复数的代数形式，属于容易题。
若复数，则复数的虚部为。
2. 某几何体的三视图是如图所示的三个直角三角形，若该几何体的体积为144，则（）A. 14B. 13C. 12D. 11【答案】C【解析】分析：先根据已知的三视图还原得到直观图，再根据几何体的体积，利用体积计算公式，求出侧视图中一直角边的长。
详解：根据已知的三视图，作出直观图如下：由已知有平面BCD，且，且，由三棱锥的体积计算公式，求出，故选C.点睛：本题主要考查了三视图成直观图、三棱锥的体积计算公式，属于基础题。
解答本题的关键是由三视图还原成直观图。
3. 设集合，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】分析：先由不等式求出的范围，写成集合即为N，再得出集合M，N之间的关系，最后得到正确的选项。
详解：由有，即，所以，根据全称命题的特点和子集的定义，得出正确选项为B.4. 《莱因德纸草书》（）是世界上最古老的数学著作之一.书中有一道这样的题目：把100个面包分给5个人，使每个人所得成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两份之和，则最小的一份为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：根据已知条件，设等差数列的公差为，将已知条件转化为等式，求出等差数列的首项和公差，再得出答案。
详解：设等差数列的公差为，由已知有，解得，故最小一份是，选C.点睛：本题主要考查了等差数列的基本量的计算，属于容易题。
注意从已知的条件中找出数学等式。
衡水金卷2018届高三四省第三次大联考数学(文)试题(含答案)
2018届四省名校高三第三次大联考文数第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知复数z 满足(1)(i z i i -=为虚数单位），则z 的虚部为( ) A ．12-B ．12C ．12i - D ．12i 2.一个几何体的三视图是如图所示的三个直角三角形，若该几何体的体积为3114cm ，则d =( )A ．6cmB ．8cmC ．10cmD ．12cm 3.设集合{|02}M x R x =∈<≤，2{|2}N x R x x =∈≥，则( )A ．,x N x M ∀∈∈B ．,x M x N ∀∈∈C ．00,x N x M ∃∉∈D ．00,x M x N ∃∈∉ 4.《莱因德纸草书》（Rhind Papyrus ）是世界上最古老的数学著作之一，书中有这样一道题目：把100个面包分给5各人，使每个人所得成等差数列，且较大的三份之和的17等于较小的两份之和，问最小的一份为( ) A ．56 B ．116 C.53 D ．1035.已知双曲线2221(0)y x b b-=>的一条渐近线截圆2240x y y +-=得弧长之比为1：2的两部分，则双曲线的离心率为( )A ．23B ．2 C.3 D ．31-6.某校李老师学期任高一A 班、B 班两个班数学课数学，两个班都是50个学生，下图反映的是两个班在本学期5次数学检测中的班级平均分对比，根据图表信息，下列不正确的结论是( )A ．A 班的数学成绩平均水平好于B 班 B ．B 班的数学成绩没有A 班稳定C.下次B 班的数学平均分高于A 班 D ．在第一次考试中，A B 、两个班总平均分为78分 7.已知()f x 为定义在R 上周期2的奇函数，当10x -≤<时，()(1)f x x ax =+，若512f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则a =( ) A ．6 B ．4 C.1425-D ．-6 8.阅读如图所示的程序，若运行结果为35，则程序中a 的取值范围是( )A ．67a <≤B ．67a ≤≤ C.67a ≤< D ．67a << 9.已知函数()sin()(0,0)f x x ωϕωϕπ=+><<的图象关于点,03M π⎛⎫⎪⎝⎭对称，点M 到该函数图象的对称轴的距离的最小值为4π，则( ) A ．()f x 的周期为2π B ．()f x 的初相6πϕ=C.()f x 在区间2,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是单调递减函数 D ．将()f x 的图象向左平移12π个单位长度后与函数cos 2y x =图象重合 10.设1232,ln 2,5xy z -===，则( )A ．x y z <<B ．y z x << C.z x y << D ．z y x << 11.如图，在ABC ∆中，已知12BD DC =,P 为线段AD 上一点，且满足49CP mCA CB =+，若ABC ∆的面积为3，3ACB π∠=，则CP 的最小值为( )A ．163 B ．169 C.83 D ．4312.设抛物线2:4E y x =的焦点为F ，准线l 与x 轴交于点K ，过点K 的直线m 与抛物线相交于A B 、两点，且32AF =，连接BF 并延长交准线l 于点C ，若记ACF ∆与ABC ∆的面积分别为12,S S ，则12S S =( )A ．47 B ．45 C.23 D ．710第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.若变量,x y 满足约束条件1,0,3250,x x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪-+≥⎩2z x y =-，则z 的最小值为 ．14.设{}n a 为等比数列，n S 为其前n 项和，若352a a =，则43S S = ． 15.已知3,2a ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且满足1sin 121sin cos ααα-+=+，则2cos 2sin 2αα+= ． 16.如图，已知直二面角l αβ--，点,,,,4,3A a B C l D l CD BC BD β∈∈∈∈==，60BDC ∠=.若2AC AD =，则三棱锥A BCD -的体积的最大值为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知函数()2cos (cos 3sin )f x x x x =+. (1)当7,2412x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求()f x 的值域； (2)在ABC ∆中，若()1,3f B BC =-=，sin 3sin B A =,求ABC ∆的面积.18. 2018年6月14日，第二十一届足球世界杯将在俄罗斯拉开帷幕，为了了解喜爱足球运动是否与性别有关，某体育台随机抽取100名观众进行统计，得到如下2×2列联表. 男 女 合计 喜爱 30 40 不喜爱 40 合计100(1)将2×2列联表补充完整，并判断能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为喜爱足球运动与性别有关？(2)在不喜爱足球运动的观众中，按性别用分层抽样的方式抽取6人，再从这6人中随机抽取2人参加一台访谈节目，求这2人中至少有一位男性的概率.附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.20()P K k ≥0.010 0.005 0.001 0k6.6357.87910.82819.在如图所示的几何体中，EA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为等腰梯形，1//,12AD BC AD =,160,//2ABC EF AC ∠=. (1)证明：AB CF ⊥； (2)若多面体ABCDEF 的体积为338.求线段CF 的长.20.如图，在平面直角坐标系中，已知定点(1,0)F ,过直线:4l x =左侧的动点P 作PH l ⊥于点,H HPF ∠的角平分线交x 轴于点M ，且2PH MF =，记动点P 的轨迹为曲线C . (1)求曲线C 的方程；(2)过点F 作直线'l 交曲线C 于A B 、两点，设AF FB λ=，若1,22λ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求AB 的取值范围.21. 已知函数2()(1)()xf x a x e a R =+-∈. (1)当12a =时，判断函数()f x 的单调性； (2)若()f x 有两个极值点1212,()x x x x <. ①求实数a 的取值范围； ②证明：111()2f x e-<<-. 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为6sin ρθ=，点P 的极坐标为2,4π⎛⎫⎪⎝⎭，以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立平面直角坐标系，(1)求曲线C 的直角坐标方程和点P 的直角坐标；(2)过点P 的直线l 与曲线C 相交于,A B 两点，若2PA PB =,求AB 的值. 23.选修4-5：不等式选讲已知函数()|2||21|f x x a x =++-，65()21x g x x -=-. (1)若3a =，解不等式()6f x ≤；(2)若对任意151,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，都存在2x R ∈，使得()12()g x f x =成立，求实数a 的取值范围.2018届四省名校高三第三次大联考文数答案一、选择题1-5:BDBCB 6-10:CAADC 11、12：DC二、填空题13.-3 14.3 15. 9516.863三、解答题17.解：(Ⅰ)由题得，31()2sin2cos2122f x x x⎛⎫=++⎪⎪⎝⎭2sin 216x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭.7,2412x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 42,643x πππ⎡⎤∴+∈⎢⎥⎣⎦. 当262x ππ+=，即6x π=时，()f x 取得最大值3；当4263x ππ+=，即712x π=时， ()f x 取得最小值13-，()f x ∴的值域为13,3⎡⎤-⎣⎦.(2)设ABC ∆中角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .()1,sin 216f B B π⎛⎫=-∴+=- ⎪⎝⎭，由于0B π<<.即22666B ππππ<+<+，3266B ππ∴+=，得23B π=. 又3BC =，即3,sin 3sin a B A ==，即3b a =，3b ∴=.由正弦定理sin sin a bA B =. 解得1sin 2A =.0,36A A ππ<<∴=，11133sin 332224ABC S ab C ∆∴==⨯⨯⨯=. 18.解：(1)补充列联表如下： 男 女 合计 喜爱301040不喜爱 20 40 60 合计5050100由列联表知()22100304010205010.828505040603K ⨯⨯-⨯==>⨯⨯⨯，故可以在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为喜爱足球运动与性别有关. (2)由分层抽样知，从不喜爱足球运动的观众中抽取6人，其中男性有206260⨯=人，女性有406460⨯=人. 记男性观众分别为12,a a ，女性观众分别为12,b b ，34,b b ，随机抽取2人，其基本事件有()()()()()1213142324,,,,,,,,,b b b b b b b b b b ，()()()()()3411122122,,,,,,,,,b b b a b a b a b a ，()()3134,,,,b a b b ()()1112,,,b a b a ，()()()()()2122332241,,,,,,,,,b a b a b a b a b a ，()()4212,,,b a a a ，共15种.记至少有一位男性观众为事件A ，则事件A 包含()()()()11122122,,,,,,,b a b a b a b a ，()31,,b a()()()()32414212,,,,,,,b a b a b a a a ，共9个基本事件.由古典概型，知93()155P A ==. 19.解：(1)EA ⊥平面ABCD ,EA AB ∴⊥.作AH BC ⊥于点H ，在Rt ABH ∆中，160,2ABH BH ∠==，得1AB =.在ABC ∆中，2222cos603AC AB BC AB BC =+-=.222AB AC BC ∴+=,AB AC ∴⊥,且AC EA A =,AB ∴⊥平面ACFE .又CF ⊂平面ACFE ，AB CF ∴⊥.(2)设AE a =，作DG AC ⊥于点G . 则DG ⊥平面ACFE ，且12DG =.又11133=+3a 133224B ACFE ACFE V S AB a -⎛⎫=⨯⨯⨯⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭梯形， 1113133332228D ACFEACFE V S DG a a -⎛⎫=⨯=⨯⨯+⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭梯形 3333=88B ACFE D ACFE ABCDEF V V V a --∴+==多面体，得1a =. 连接FG ，则FG AC ⊥,22237122CF FG CG ⎛⎫∴=+=+= ⎪ ⎪⎝⎭. 20.解：(Ⅰ)设(,)P x y ，由题可知MF PF =,所以12PF MF PH PH ==, 即22(1)1|4|2x y x -+=-.化简整理，得22143x y +=. 即曲线C 的方程为22143x y +=. (2)由题意，直线'l 的斜率0k ≠，设直线'l 的方程为1x my =+，由221143x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()2234690m y my ++-=.设1122(,),(,)A x y B x y ，所以222(6)36(34)144(1)0m m m ∆=++=+>恒成立， 且121222693434m y y y y m m --+==++， ① 又因为AF FB λ=，所以12y y λ-=. ②联立①②，消去12,y y ，得()2221434m m λλ-=+. 因为()211120,2λλλλ-⎡⎤=+-∈⎢⎥⎣⎦，所以22410342m m ≤≤+，解得2405m ≤≤. 又22121||1AB m y y m =+-=+.()2212122212124443434m y y y y m m ++-==-++，因为2324345m ≤+≤， 所以242743,348AB m ⎡⎤=-∈⎢⎥+⎣⎦. 所以AB 的取值范围是273,8⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 21.解：(1)当12a =时，21()(1),'()12x x f x x e f x x e =+-=+-， 记()1xg x x e =+-，则'()1xg x e =-，由'()10xg x e =->，得0x <， 由'()10xg x e =-<，得0x >，()g x ∴即'()f x 在区间(),0-∞上单调递增，在区间()0,+∞上单调递减.max '()'(0)0f x f ∴==. ∴对,'()0x R f x ∀∈≤，()f x ∴在R 上单调递减.(2)①()f x 有两点个值点，∴关于x 的方程'()2(1)0x f x a x e =+-=，有两个根12,x x .设()2(1)xx a x e ϕ=+-，则'()2xx a e ϕ=-， 当0a ≤时，'()20xx a e ϕ=-<，()x ϕ即'()f x 在R 上单调递减,'()0f x ∴=最多有一根，不合题意.当0a >时，由'()0x ϕ>，得ln 2x a <，由'()0x ϕ<，得ln 2x a >，即'()f x 在区间(),ln 2a -∞上单调递增，在区间()ln 2,a +∞上单调递减.且当x →-∞时，'()f x →-∞，当x →+∞时，'()f x →-∞，要使'()0f x =有两个不同的根，必有max '()'(ln 2)2(ln 21)22ln 20f x f a a a a a a ==+-=>，解得12a >. ∴实数a 的取值范围是1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭. ②1'(1)0f e-=-<，'(0)210f a =->. 110x ∴-<<.又111'()2(1)0x f x a x e =+-=，112(1)x e a x ∴=+. 111121111111()(1)(1)(1)(10)22x x x x f x a x e x e e x e x ∴=+-=+-=--<<. 令1()(1)(10)2x h x x e x =--<<. 则1'()02x h x xe =<， ()h x ∴在区间()1,0-上单调递减.1(0)()(1)f f x f ∴<<-. 又11(0)1,(1)2f a f e=->--=-. 111()2f x e ∴-<<-. 22.解：(1)由6sin ρθ=，得26sin ρρθ=，又cos ,sin x y ρθρθ==， 226x y y ∴+=.即曲线C 的直角坐标方程为22(3)9x y +-=，P 点的直角坐标为()1,1. (2)设过点P 的直线l 的参数方程是1cos ,1sin x t y t θθ=+⎧⎨=+⎩(t 为参数），将其代入2260x y y +-=，得22(cos 2sin )40t t θθ+--=.设,A B 两点对应的参数分别为12,t t . 124t t ∴=-.2PA PB =，得122t t =-，1222,2t t ∴==-或1222,2t t =-=.1232AB t t ∴=-=.23.解：(1)当3a =时，()|23||21|f x x x =++-，3()62(23)126x f x x x ⎧≤-⎪≤⇔⎨⎪-++-≤⎩或31,2223126x x x ⎧-<<⎪⎨⎪++-≤⎩或1,223216x x x ⎧≥⎪⎨⎪++-≤⎩ ， 解得21x -≤≤.即不等式()6f x ≤的解集为{}|21x x -≤≤.(2)()|2||21||221||1|f x x a x x a x a =++-≥+-+=+.当且仅当()2(21)0x a x +-≤时取等号. ()f x ∴的值域为[)|1|,a ++∞.又652()32121x g x x x -==---在51,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上单调递增，()g x ∴的值域为51,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 由题可知，[)51,|1|,2a ⎡⎤⊆++∞⎢⎥⎣⎦， 11a ∴+≤，解得20a -≤≤.∴实数a 的取值范围为[]2,0-.。
河北省衡水中学2018届高三数学下学期全国统一联合考试3月试题理无答案
河北省衡水中学2018届高三数学下学期全国统一联合考试（3月）试题 理一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集{}1,2,3,4,5,6,7,8U =，{}3,4,5A =，{}1,3,6B =，则集合{}2,7,8是( ) A.ABB.ABC.()U C ABD.()U C A B2.已知复数z 的实部不为0，且1z =，设1z z ω=+，则ω在复平面上对应的点在( )A.实轴上B.虚轴上C.第三象限D.第四象限3.将()2nx -的展开式按x 的升幂排列，若倒数第三项的系数是40-，则n 的值是( )4.如图所示是三棱柱与球的组合体的三视图，则三棱柱的体积与球的体积之比是( )33B.6πC.9π435.设1F ，2F 分别是双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>的左、右焦点，以1F 为圆心、12F F 为半径的圆与双曲线左支的其中一个交点为A ，若12120AF F =∠°，则该双曲线的离心率是( ) 233131+6.若函数()()()2sin 20f x a x θθπ=+<<，a 是不为零的常数)在R 上的值域为[]2,2-，且在区间5,1212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是单调减函数，则a 和θ的值是( )A.1a =，3πθ=B.1a =-，3πθ=C.1a =，6πθ=D.1a =-，6πθ=7.已知函数()32f x x ax bx c =+++(a ，b ，c 均为常数)的图象关于点()1,0-对称，则b c -的值是( ) A.4-B.4C.2-8.已知“x a x b ≥⇒>”，且“x a x c <⇒≤”，则“x c ≤”是“x b ≤”的( ) A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件9.“三个臭皮匠，楔个诸葛亮”，这是我们常说的口头禅，主要是说集体智慧的强大，假设李某智商较高，他独自一人解决项目M 的概率为10.3P =；同时，有n 个水平相同的人也在研究项目M ，他们各自独立地解决项目M 的概率都是0.1.现在李某单独研究项目M ，且这n 个人组成的团队也同时研究项目M ，设这个n 人团队解决项目M 的概率为2P ，若21P P ≥，则n 的最小值是( )10.已知向量()cos ,sin AB αα=，()cos ,sin BC ββ=，()cos ,sin CA γγ=，其中02αβγπ<<<<，则AB BC ⋅的值是( )A.12B.12-C.3-D.3 11.设函数()f x 定义如下表： x1 2 3 4 5 ()f x14253执行如图所示的程序框图，则输出的x 的值是( )12.已知异面直线a ，b 所成的角为90°，直线AB 与a ，b 均垂直，且垂足分别为A ，B ，若动点P 在直线a 上运动，动点Q 在直线b 上运动，4PA QB +=，则线段PQ 的中点M 的轨迹所围成的平面区域的面积是( )二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.抛物线24y x =-的焦点到它的准线的距离是____________.14.若实数x ，y 满足100x y x y +≥-⎧⎪≤⎨⎪≤⎩，则2z x y =+取得最大值时对应的最优解是____________.15.已知在ABC △中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，5cos A =，10cos B =，2c =，则a =____________.16.已知函数()xxf x e =，关于x 的方程()()220f x f x c -+=⎡⎤⎣⎦有以下四个结论： ①当0c =时，方程有3个实根；②当221c c e -=时，方程有3个实根；③当2211e c e -<<时，方程有2个实根；④当221e c e -<时，方程有4个实根. 以上结论中正确的有____________(填序号).三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.已知正项等比数列{}n a 满足()*14n n n a a n N +=∈. (1)求数列{}n a 的通项公式； (2)设2211log log n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n S .18.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1AC BC AB AA ===，过1AA 的平面分别交BC ，11B C 于点D ，1D .(1)求证：四边形11ADD A 为平行四边形；(2)若1AA ⊥平面ABC ，D 为BC 中点，E 为1DD 中点，求二面角1A C E C --的余弦值.19.最近，在“我是演说家”第四季这档节目中，英国华威大学留学生游斯彬的“数学之美”的演讲视频在微信朋友圈不断被转发，点赞的人数更是不断增加，对一周(7天)内演讲视频被转发的天数x 与点赞的人数y 进行了统计，数据见下表： x1 2 3 4 5 6 7 y611213466114210根据所给数据(),x y ，画出了散点图以后，发现演讲视频被转发的天数x 与点赞的人数y 的关系可以近似地表示为x y a b =⋅(,a b 均为正常数). (题中所有数据的最后计算结果都精确到0.01) (1) 建立y 关于x 的回归方程；(2) 试预测，至少经过多少天，点赞的人数超过12000？附：①对于一组数据()11,x y ，()22,x y ，…，(),n n x y ，其回归直线y x a β=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为()()()121nii i nii xx y yxxβ==--=-∑∑，a y x β=-.②参考数据： lg2lg3lg6lg11lg 21lg34lg66lg114lg 2100.30 0.48 0.78 1.04 1.32 1.53 1.82 2.06 2.3220.已知椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，椭圆E 上一点A 在x 轴上的射影恰好为1F ，且直线2AF 的斜率为3(1)求椭圆E 的离心率；(2)当2a =时，过点()0,2Q -的射线与椭圆E 交于不同的两点M ，N ，若点P 在射线QM 上，且满足2QM QN QP ⋅=，求点P 的横坐标0x 的取值范围. 21.已知函数()ln f x x =.(1)设()()()()'F x f k x k f k =-+(其中0k >)，求证：()()f x F x ≤.(2)若曲线()y f x =与抛物线()22y ax a x =+-有两个公共点，求实数a 的取值范围.22.已知圆C 的极坐标方程为222sin 104πρρθ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭，直角坐标系xOy 的坐标原点O 与极点重合，x轴的正半轴与极轴重合.(1)求圆C的标准方程和它的一个参数方程；(2)设()P x y是圆C上的任意一点，求xy的最大值.,23.已知函数()1=+-.f x x x(1)解不等式()3f x≥；(2)若()()2f x f y+≤，求x y+的取值范围.。
河北省衡水中学2018年高考押题(三)文科数学 (PDF)文数(三)答案
. 6
（2） 设 an 的公差为 d ， 因为 a1 sin A 1 ， 且 a2 ，a4 ，a8 成等比数列， 所以 a1 所以 a1 3d a1 d a1 7 d ，且 d 0 ，解得 d 2 ，
2
1 2 且 a4 a2 a8 ， 2， sin A
x
12 d12 d 22 2d1d 2 12k 2 . k 2 1 1 M N d1 d 2 ， 2
2 x 1 0 .
N F2 的面积 S 因为四边形 F1M
所以 S
2
当 0 a 1 时，函数 F x 0 ，所以 F x 在 , 1 内为单调递减函数，所以 F 1 0 ，即
表二中非优秀学生共 5 人，记测评等级为合格的 3 人为 a ， b ， c ，尚待改进的 2 人为 A ， B ，则从这 5 人中任选 2 人的所有可能结果为 a, b ， a, c ， b, c ， A, B ， a, A ， a, B ， b, A ， b, B ， c, A ，
1 12k 2 2 d12 d 22 2d1d 2 4 k 1
2
3 a 1； 2e
当 a 0 时， F 1
3k 2 4k 2 16
k 2 1
.
3 2a 0 ，不符合题意. e 3 ,1 . 2e
2
令 k 1 t （ t 1 ），则
1 1 ，所以 a ； 2 2
②当 1 a 2 时，（*）式可化为 a 1 2 a 2 ，即 1 2 ，所以 a ； ③当 a 2 时，（*）式可化为 a 1 a 2 2 ，解之得 a 综上知，实数 a 的取值范围为 ,
2018届河北省衡水中学高三大联考数学(文)试题
2018届河北省衡水中学高三大联考数学（文）试题一、单选题1．已知集合M = x |x 2−5x +4≤0 ，N = 0,1,2,3 ，则集合M ∩N 中元素的个数为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4 【答案】C【解析】由题得，集合M = x x 2−5x +4≤0 ={x |1≤x ≤4}，所以M ∩N ={1,2,3}.集合M ∩N 中元素的个数为3. 故选C.2．已知命题p ：x R ∀∈，()1220x -<，则命题p ⌝为（ ） A. 0x R ∃∈，()12020x -> B. x R ∀∈，()1210x -> C. x R ∀∈，()1210x -≥ D. 0x R ∃∈，()12020x -≥ 【答案】D【解析】全称命题的否定是特称命题，则：若命题p ：x R ∀∈，()1220x -<，则命题p ⌝为0x R ∃∈，()12020x -≥. 本题选择D 选项. 3．已知复数521iz i =-（i 为虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限 【答案】D【解析】结合复数的运算法则可得：()()2121522121i i i iz i i i +-==-=---， 即复数z 在复平面内对应的点位于第四象限.本题选择D 选项.4．已知双曲线C ：x 2a −y 216=1 a >0 的一个焦点为 5,0 ，则双曲线C 的渐近线方程为（ ）A. 4x ±3y =0B. 16x ±9y =0C. 4x ± 41y =0D. 4x ±3y =12 【答案】A【解析】由题意得，c =5，则a 2=c 2−16=9，即a =3. 所以双曲线C 的渐近线方程为y =±43x ，即4x ±3y =0. 故选A.5．2017年8月1日是中国人民解放军建军90周年，中国人民银行为此发行了以此为主题的金银纪念币.如图所示是一枚8克圆形金质纪念币，直径22mm ，面额100元.为了测算图中军旗部分的面积，现用1粒芝麻向硬币内投掷100次，其中恰有30次落在军旗内，据此可估计军旗的面积大约是（ ）A.27265mm π B. 236310mm π C. 23635mm π D. 236320mm π【答案】B【解析】利用古典概型近似几何概型可得，芝麻落在军旗内的概率为30310010p ==， 设军旗的面积为S ，由题意可得：()22233363,1111101010S S mm πππ=∴=⨯⨯=⨯. 本题选择B 选项.6．下列函数中，与函数122x x y =-的定义域.单调性与奇偶性均一致的函数是（ ）A. sin y x =B. 3y x = C. 1y x = D. 22,0{ ,0x x y x x -≥=<【答案】D 【解析】函数122x x y =-为奇函数，且在R 上单调递减， 对于A ，sin y x =是奇函数，但不在R 上单调递减； 对于B ，3y x =是奇函数，但在R 上单调递增； 对于C ，1y x=定义域不同； 对于D ，画出函数图象可知函数()()220{ 0x x y x x -≥=<是奇函数，且在R 上单调递减， 故选D.7．如图是一个空间几何体的正视图和俯视图，则它的侧视图为（ ）A. B.C. D. 【答案】A 【解析】由正视图和俯视图可知，该几何体是一个圆柱挖去一个圆锥构成的，结合正视图的宽及俯视图的直径可知其侧视图为A. 故选A.点睛：思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整.8．设a =log 54−log 52，b =ln 23+ln 3，c =1012lg 5，则a ， b ， c 的大小关系为（ ）A. a <b <cB. b <c <aC. c <a <bD. b <a <c 【答案】A【解析】由题意得，a =log 54−log 52=log 52，b =ln 23+ln 3=ln 2,c =1012lg 5= 5.得a =1l o g25,b =1l o g 2e，而l o g25> l o g 2e >1.所以0<1l o g25<1l o g 2e<1，即0<a <b <1.又c = 5>1.故a <b <c . 选A.9．执行如图所示的程序框图，则输出的S 值为（ ）A. 1819 B. 1920 C. 2021 D. 120 【答案】B【解析】由框图可知，S =1−12+12−13+⋯+119−120=1−120=1920. 故选B.10．将函数()2sin 43f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象向左平移6π个单位，再把所有点的横坐标伸长到原来的2倍，得到函数()y g x =的图象，则下列关于函数()g x 的说法错误的是（ ）A. 最小正周期为πB. 图象关于直线12x π=对称C. 图象关于点,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称 D. 初相为3π【答案】C【解析】易求得()223g x sin x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，其最小正周期为π，初相位3π，即A ，D 正确，而π2sin 2122g π⎛⎫== ⎪⎝⎭.故函数()y g x =的图象关于直线12x π=对称，即B 项正确，故C 错误.选C.11．抛物线有如下光学性质：由焦点射出的光线经抛物线反射后平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线发射后必经过抛物线的焦点.已知抛物线y 2=4x 的焦点为F ，一平行于x 轴的光线从点M 3,1 射出，经过抛物线上的点A 反射后，再经抛物线上的另一点B 射出，则直线A B 的斜率为（ ）A. 43B. −43C. ±43D. −169 【答案】B【解析】令y =1，代入y 2=4x 可得x =14，即A (14,1). 由抛物线的光学性质可知，直线A B 经过焦点F (1,0)，所以k =1−014−1=−43.故选B.点睛：抛物线的光学性质：从抛物线的焦点发出的光线或声波在经过抛物线周上反射后,反射光线平行于抛物线的对称轴.12．已知ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且()()222cos cos ab c a B b A abc +-⋅+=，若2a b +=，则c 的取值范围为（ ）A. ()0,2B. [)1,2C. 1,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭D. (]1,2【答案】B【解析】由题意可得：222cos cos 122a b c a B b A ab c +-+⨯=, 且222cos 2a b c C ab +-=，cos cos sin cos sin cos sin 1sin sin a B b A A B B A Cc C C ++===， 据此可得：1cos 2C =，即：2222221,22a b c a b c ab ab +-=+-=， 据此有：()222223434312a b c a b ab a b ab ab +⎛⎫=+-=+-=-≥-= ⎪⎝⎭，当且仅当1a b ==时等号成立；三角形满足两边之和大于第三边，则2c a b <+=， 综上可得：c 的取值范围为[)1,2.本题选择B 选项.点睛：1．在解三角形的问题中，三角形内角和定理起着重要作用，在解题时要注意根据这个定理确定角的范围及三角函数值的符号，防止出现增解或漏解．2．正、余弦定理在应用时，应注意灵活性，尤其是其变形应用时可相互转化．如a 2＝b 2＋c 2－2bccosA 可以转化为sin 2 A ＝sin 2B ＋sin 2 C －2sinBsinCcosA ，利用这些变形可进行等式的化简与证明．二、填空题13．已知向量a = sin π3,cos π6 ，b = k ,1 ，若a ∥b ，则k =__________．【答案】1【解析】由a //b ,得sin π3− k cos π6=0.即 32− 32k =0. 解得k =1.14．已知函数()32f x x x =-，若曲线()f x 在点()()1,1f 处的切线经过圆C ：()222x y a +-=的圆心，则实数a 的值为__________.【答案】2-【解析】结合函数的解析式可得：()311211f =-⨯=-，对函数求导可得：()2'32f x x =-，故切线的斜率为()2'13121k f ==⨯-=， 则切线方程为：()111y x +=⨯-，即2y x =-，圆C ：()222x y a +-=的圆心为()0,a ，则：022a =-=-.15．已知实数x ， y 满足约束条件 3x +y ≤π,x ≥π6,y ≥0, 则sin x +y 的取值范围为__________（用区间表示）． 【答案】 12,1【解析】作出约束条件表示的平面区域(如图阴影部分表示)设z =x +y ，作出直线l :x +y =z ，当直线l 过点B (π6,0)时，z 取得最小值π6；当直线l 过点A (π6,π2)时，z 取得最大值2π3. 即π6≤x +y ≤2π3,所以sin x +y ∈[12,1]. 点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一、准确无误地作出可行域；二、画标准函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三、一般情况下，目标函数的最大或最小会在可行域的端点或边界上取得.16．在《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马.若四棱锥M −A B C D 为阳马，侧棱M A ⊥底面A B C D ，且M A =B C =A B =2，则该阳马的外接球与内切球表面积之和为__________． 【答案】36π−16 2π【解析】设该阳马的外接球与内切球的半径分别R 与r ，则2R = M A 2+A B 2+B C2=2 3.即R = 3.由13S M −A B C D表∙r =13S A B C D ∙M A .得r =S A B C D∙M AS M −A B C D 表=2×2×22×2+12×(2×2×2+2×2 2×2)=2− 2.所以该阳马的外接球与内切球表面积之和为4π R 2+r 2 =36π−16 2π.三、解答题17．在递增的等比数列{}n a 中，1632a a ⋅=，2518a a +=，其中*N n ∈. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记21log n n n b a a +=+，求数列{}n b 的前n 项和n T . 【答案】（1）12n n a -=；（2）2212nn n+-+.【解析】试题分析：（1）由251632a a a a ⋅=⋅=及2518a a +=得22a =，516a =，进而的q ，可得通项公式；（2）12n n b n -=+利用分组求和即可，一个等差数列和一个等比数列. 试题解析：（1）设数列{}n a 的公比为q ， 则251632a a a a ⋅=⋅=， 又2518a a +=，∴22a =，516a =或216a =，52a =（舍）. ∴3528a q a ==，即2q =. 故2122n n n a a q --==（*N n ∈）. （2）由（1）得，12n n b n -=+. ∴12n n T b b b =+++()()211222123n n -=+++++++++()112122n n n +-=+- 2212nn n +=-+.18．如图，在三棱柱A B C −A 1B 1C 1中，A A 1⊥平面A B C ，A C ⊥B C ，A C =B C =C C 1=2，点D 为A B 的中点. （1）证明：A C 1∥平面B 1C D ； （2）求三棱锥A 1−C D B 1的体积.【答案】（1）见解析；（2）43.【解析】试题分析：（I）连接BC1交B1C于点O，连接O D，通过证明O D∥A C1，利用直线与平面平行的判定定理证明AC1∥平面CDB1．（II）要求三棱锥A1−C D B1的体积，转化为V A1−C D B1=V C−A1DB1=1 3SΔA1DB1×C D即可求解．试题解析：（1）连接BC1交B1C于点O，连接O D.在三棱柱A B C−A1B1C1中，四边形B C C1B1是平行四边形.∴点O是BC1的中点.∵点D为A B的中点，∴O D∥A C1.又O D⊂平面B1C D，A C1⊄平面B1C D，∴A C1∥平面B1C D.（2）∵A C=B C，A D=B D，∴C D⊥A B.在三棱柱A B C−A1B1C1中，由A A1⊥平面A B C，得平面A B B1A1⊥平面A B C.又平面A B B1A1∩平面A B C=A B.∴C D⊥平面A B B1A1.∴点C到平面A1DB1的距离为C D，且C D=A C sinπ4=2.∴V A1−C D B1=V C−A1DB1=13SΔA1DB1×C D=13×12×A1B1×A A1×C D=16×22×2×2=43.19．随着资本市场的强势进入，互联网共享单车“忽如一夜春风来”，遍布了一二线城市的大街小巷.为了解共享单车在A市的使用情况，某调查机构借助网络进行了问卷调查，并从参与调查的网友中抽取了200人进行抽样分（1）根据以上数据，能否在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为A 市使用共享单车情况与年龄有关？（2）现从所抽取的30岁以上的网友中利用分层抽样的方法再抽取5人. （i ）分别求这5人中经常使用、偶尔或不用共享单车的人数；（ii ）从这5人中，再随机选出2人赠送一件礼品，求选出的2人中至少有1人经常使用共享单车的概率. 参考公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.【答案】(1)能在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为A 市使用共享单车情况与年龄有关；(2)(i)经常使用共享单车的有3人，偶尔或不用共享单车的有2人.(ii)910【解析】试题分析：(1)由列联表可得2 2.198 2.072K ≈>，所以能在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为A 市使用共享单车情况与年龄有关. (2)（i ）依题意可知，经常使用共享单车的有6053100⨯=（人），偶尔或不用共享单车的有4052100⨯=（人）. （ii ）由题意列出所有可能的结果，结合古典概型公式和对立事件公式可得选出的2人中至少有1人经常使用共享单车的概率910P =.试题解析：（1）由列联表可知，()2220070406030 2.19813070100100K ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯.因为2.198 2.072>，所以能在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为A 市使用共享单车情况与年龄有关.（2）（i）依题意可知，所抽取的5名30岁以上的网友中，经常使用共享单车的有6053100⨯=（人），偶尔或不用共享单车的有4052100⨯=（人）.（ii）设这5人中，经常使用共享单车的3人分别为a，b，c；偶尔或不用共享单车的2人分别为d，e.则从5人中选出2人的所有可能结果为(),a b，(),a c，(),a d，(),a e，(),b c，(),b d，(),b e，(),c d，(),c e，(),d e共10种.其中没有1人经常使用共享单车的可能结果为(),d e共1种，故选出的2人中至少有1人经常使用共享单车的概率1911010 P=-=.20．已知椭圆C：x2a +y2b=1a>b>0过点 −2,1，离心率为22，直线l：k x−y+2=0与椭圆C交于A ， B两点.（1）求椭圆C的标准方程；（2）是否存在实数k，使得O A+O B=O A−O B（其中O为坐标原点）成立？若存在，求出实数k的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）x 24+y22=1；（2）k=±2.【解析】试题分析：（1）根据题意得2a+1b=1,ca=22,a2=b2+c2,，从而可得方程；（2）直线和椭圆联立得1+2k2x2+8k x+4=0，设A x1,y1，B x2,y2，由O A+O B=O A−O B，得O A⋅O B=0，即x1x2+y1y2=0，由韦达定理代入即得.试题解析：（1）依题意，得2a+1b=1,ca=22,a2=b2+c2,解得a2=4，b2=2，c2=2，故椭圆C的标准方程为x24+y22=1.（2）假设存在符合条件的实数k.依题意，联立方程y=k x+2, x2+2y2=4,消去y并整理，得1+2k2x2+8k x+4=0.则Δ=64k2−161+2k2>0，即k >22或k <− 22. 设A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，则x 1+x 2=−8k1+2k ，x 1x 2=41+2k . 由 O A +O B = O A −O B ， 得O A ⋅O B=0. ∴x 1x 2+y 1y 2=0.∴x 1x 2+ k x 1+2 k x 2+2 =0. 即 1+k 2 x 1x 2+2k x 1+x 2 +4=0. ∴4 1+k 2 1+2k −16k 21+2k +4=0.即8−4k 21+2k =0.即k 2=2，即k =± 2.故存在实数k =± O A +O B = O A −O B 成立. 21．已知函数()2ln 23f x x x =-+，()()'4ln g x f x x a x =++()0a ≠. （1）求函数()f x 的单调区间；（2）若关于x 的方程()g x a =有实数根，求实数a 的取值范围.【答案】(1)单调递增区间为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递减区间为1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭；(2)()[),01,-∞⋃+∞.【解析】试题分析：(1)结合函数的解析式可得()()()1212'x x f x x+-=，()0,x ∈+∞，结合导函数与原函数的单调性的关系可得函数()f x 的单调递增区间为10,2⎛⎫⎪⎝⎭，单调递减区间为1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.(2)原问题等价于方程10alnx a x +-=有实数根，构造函数()1h x alnx a x=+-，利用导函数研究函数存在零点的充要条件可得：当()[),01,a ∈-∞⋃+∞时，方程()g x a =有实数根.试题解析：（1）依题意，得()()()21212114'4x x x f x x x x x+--=-==，()0,x ∈+∞. 令()'0f x >，即120x ->，解得102x <<； 令()'0f x <，即120x -<，解得12x >， 故函数()f x 的单调递增区间为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递减区间为1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.（2）由题得，()()'4g x f x x alnx =++1alnx x=+. 依题意，方程10alnx a x +-=有实数根，即函数()1h x alnx a x=+-存在零点，又()2211'a ax h x x x x-=-+=，令()'0h x =，得1x a=.当0a <时，()'0h x <，即函数()h x 在区间()0,+∞上单调递减，而()110h a =->，1111111a ah e a a a e --⎛⎫⎛⎫=+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1111110ae e -=-<-<，所以函数()h x 存在零点；当0a >时，()'h x ，()h x 随x 的变化情况如表：极小值所以11h a aln a alna a a ⎛⎫=+-=- ⎪⎝⎭为函数()h x 的极小值，也是最小值.当10h a ⎛⎫> ⎪⎝⎭，即01a <<时，函数()h x 没有零点；当10h a ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，即1a ≥时，注意到()110h a =-≤，()110h e a a e e =+-=>，所以函数()h x 存在零点.综上所述，当()[),01,a ∈-∞⋃+∞时，方程()g x a =有实数根.点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出，本专题在高考中的命题方向及命题角度从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．22．选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线C 的参数方程为 x =2cos αy =sin α（α为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为 2ρsin θ+π4 =3. （1）求曲线C 的普通方程及直线l 的直角坐标方程； （2）求曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值.【答案】（1）曲线C 的普通方程为x 24+y 2=1，直线l 的普通方程为x +y −3=0；（2）10+3 22. 【解析】试题分析：（1）利用sin 2α+cos 2α=1消去参数得曲线C 的普通方程为x 24+y 2=1，利用x =ρcos θ，y =ρsin θ得直线l 的普通方程为x +y −3=0；（2）利用圆的参数方程得d = 2=5sin 2，进而由三角求最值即可. 试题解析：（1）由曲线C 的参数方程x =2co sαy =si n α（α为参数），得曲线C 的普通方程为x 24+y 2=1. 由 ρsin θ+π4 =3，得ρ sin θ+cos θ =3， 即x +y =3.∴直线l 的普通方程为x +y −3=0. （2）设曲线C 上的一点为 2cos α,sin α ， 则该点到直线l 的距离d = 2=5sin 2（其中tan φ=2）.当sin α+φ =−1时，d max =5+ 2=10+3 22. 即曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值为 10+3 22. 23．已知函数()211f x x x =-++. （1）解不等式()3f x ≤；（2）记函数()()1g x f x x =++的值域为M ，若t M ∈，试证明：223t t -≥. 【答案】(1){}|11x x -≤≤；(2)证明见解析. 【解析】试题分析：(1)结合函数的解析式零点分段可得不等式()3f x ≤的解集为{}|11x x -≤≤. (2)结合绝对值三角不等式的性质可得[)3,M =+∞，结合二次函数的性质可得30t -≥，10t +>，则223t t -≥.试题解析：（1）依题意，得()3,1,1{2,1, 213,,2x x f x x x x x -≤-=--<<≥则不等式()3f x ≤，即为1,{ 33,x x ≤--≤或11,{ 223x x -<<-≤或1,{ 233,x x ≥≤解得11x -≤≤. 故原不等式的解集为{}|11x x -≤≤.（2）由题得，()()1g x f x x =++212221223x x x x =-++≥---=， 当且仅当()()21220x x -+≤， 即112x -≤≤时取等号， ∴[)3,M =+∞，∴()()22331t t t t --=-+， ∵t M ∈，∴30t -≥，10t +>， ∴()()310t t -+≥， ∴223t t -≥.。
衡水金卷2018届高三大联考word答案全数学(文)
12．已知 的内角 的对边分别是 ，且 ，若 ，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．已知向量 ， ，若 ，则 ．
14．已知函数 ，若曲线 在点 处的切线经过圆 ： 的圆心，则实数 的值为．
15．已知实数 满足约束条件 则 的取值范围为（用区间表示）．
二、填空题
13．1 14． 15． 16．
三、解答题
17．解：（1）设数列 的公比为 ，
则 ，
又 ，
∴ ， 或 ， （舍）.
∴ ，即 .
故 （ ）.
（2）由（1）得， .
∴
.
18．解：（1）连接 交 于点 ，连接 .
在三棱柱 中，四边形 是平行四边形.
∴点 是 的中点.
∵点 为 的中点，
∴ .
（2）记 ，求数列 的前 项和 .
18．如图，在三棱柱 中， 平面 ， ， ，点 为 的中点.
（1）证明： 平面 ；
（2）求三棱锥 的体积.
19．随着资本市场的强势进入，互联网共享单车“忽如一夜春风来”，遍布了一二线城市的大街小巷.为了解共享单车在 市的使用情况，某调查机构借助网络进行了问卷调查，并从参与调查的网友中抽取了200人进行抽样分析，得到下表（单位：人）：
A． B． C． D．
6．下列函数中，与函数 的定义域、单调性与奇偶性均一致的函数是（ ）
A． B．
C． D．
7．如图是一个空间几何体的正视图和俯视图，则它的侧视图为（ ）
A． B． C． D．
8．设 ， ， ，则 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
衡水金卷2018年高考模拟卷(三)数学(文)试题Word版含答案
衡水金卷2018年高考模拟卷(三)数学(文)试题Word版含答案2018年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题文数（三）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若集合 $A=\{x|1<x\leq3\}$，$B=\{x|0\leq x<2\}$，则$A\cap B=$（）A。
$\{x|0\leq x<2\}$B。
$\{x|0\leq x\leq3\}$C。
$\{x|1<x<2\}$D。
$\{x|1\leq x\leq3\}$2.设函数 $f(x)=\begin{cases}x+1,&x\geq2\\\frac{1}{2},&x<2\end{cases}$，则 $f[f(-1)]=($$)$A。
$\frac{3}{2}$B。
$2+1$C。
$1$D。
$3$3.若向量$\boldsymbol{a}=(1,0)$，$\boldsymbol{b}=(0,1)$，$\boldsymbol{c}=2x\boldsymbol{a}+y\boldsymbol{b}=(2,3)(x,y\in\mathbb{R})$，则 $x+y=$（）A。
$4$B。
$5$C。
$3$D。
$2$4.若实数 $x$，$y$ 满足约束条件 $\begin{cases}y\geq1\\x+y\leq3\end{cases}$，则 $x$ 的取值范围是（）A。
$(-\infty,2]$B。
$[2,3]$C。
$(-\infty,-2]\cup[2,3]$D。
$(-\infty,3]$5.命题 $p$：若复数$z=\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}+2i$（$i$ 为虚数单位），则复数 $z$ 对应的点在第二象限，命题 $q$：若复数 $z$ 满足$z\cdot\overline{z}$ 为实数，则复数$z$ 一定为实数，那么（）A。
河北省衡水市衡水金卷2018届高三大联考数学(文)试卷及答案
河北省衡水市衡水金卷2018届高三大联考数学（文）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}2540M x x x =-+≤，{}0,1,2,3N =，则集合M N I 中元素的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．42．已知命题p ：x ∀∈R ，()1220x -<，则命题p ⌝为（ ） A ．0x ∃∈R ，()12020x -> B ．x ∀∈R ，()1210x -> C ．x ∀∈R ，()1210x -≥ D ．0x ∃∈R ，()12020x -≥ 3．已知复数5i2i 1z =-（i 为虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限4．已知双曲线C ：()2221016x y a a -=>的一个焦点为()5,0，则双曲线C 的渐近线方程为（ ） A ．430x y ±= B ．1690x y ±=C ．40x =D ．4312x y ±=5．2017年8月1日是中国人民解放军建军90周年，中国人民银行发行了以此为主题的金银纪念币.如图所示的是一枚8克圆形金质纪念币，直径22毫米，面额100元.为了测算图中军旗部分的面积，现向硬币内随机投掷100粒芝麻，已知恰有30粒芝麻落在军旗内，据此可估计军旗的面积大约是（ ）A ．2726mm 5π B．2363mm 10π C ．2363mm 5π D ．2363mm 20π6．下列函数中，与函数122x x y =-的定义域、单调性与奇偶性均一致的函数是（ ）A ．sin y x =B ．2y x =C ．1y x =D ．()()2200x x y x x ⎧-≥⎪=⎨<⎪⎩7．如图是一个空间几何体的正视图和俯视图，则它的侧视图为（ ）A ．B ．C ．D ．8．设55log 4log 2a =-，2ln ln 33b =+，1lg5210c =，则a b c ，，的大小关系为（ ） A ．a b c << B ．b c a << C ．c a b << D ．b a c << 9．执行如图所示的程序框图，则输出的S 值为（ ）A ．1819 B ．1920 C ．2021 D ．12010．将函数()2sin 43f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭π的图象向左平移6π个单位，再把所有点的横坐标伸长到原来的2倍，得到函数()y g x =的图象，则下列关于函数()y g x =的说法错误的是（ ） A ．最小正周期为π B ．图象关于直线12x =π对称C ．图象关于点,012⎛⎫⎪⎝⎭π对称 D ．初相为3π11．抛物线有如下光学性质：由焦点射出的光线经抛物线反射后平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线发射后必经过抛物线的焦点.已知抛物线24y x =的焦点为F ，一平行于x 轴的光线从点()3,1M 射出，经过抛物线上的点A 反射后，再经抛物线上的另一点B 射出，则直线AB 的斜率为（ ） A ．43 B ．43- C ．43± D ．169- 12．已知ABC ∆的内角A B C ，，的对边分别是a b c ，，，且()()222cos cos ab c a B b A abc +-⋅+=，若2a b +=，则c 的取值范围为（ ）A ．()0,2B ．[)1,2C ．1,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．(]1,2第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知向量sin ,cos 36a ⎛⎫= ⎪⎝⎭ππr ，(),1b k =r，若a b ∥r r ，则k = ．14．已知函数()32f x x x =-，若曲线()f x 在点()()1,1f 处的切线经过圆C ：()222x y a +-=的圆心，则实数a 的值为 ．15．已知实数x y ，满足约束条件3,,60,x y x y +≤⎧⎪⎪≥⎨⎪≥⎪⎩ππ则()sin x y +的取值范围为 （用区间表示）．16．在《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马.若四棱锥M ABCD -为阳马，侧棱MA ⊥底面ABCD ，且2MA BC AB ===，则该阳马的外接球与内切球表面积之和为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．在递增的等比数列{}n a 中，1632a a ⋅=，2518a a ⋅=，其中*n ∈N .（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记21log n n n b a a +=+，求数列{}n b 的前n 项和n T .18．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，AC BC ⊥，12AC BC CC ===，点D 为AB 的中点.（1）证明：1AC ∥平面1B CD ； （2）求三棱锥11A CDB -的体积.19．随着资本市场的强势进入，互联网共享单车“忽如一夜春风来”，遍布了一二线城市的大街小巷.为了解共享单车在A 市的使用情况，某调查机构借助网络进行了问卷调查，并从参与调查的网友中抽取了200人进行抽样分析，得到下表（单位：人）：（1）根据以上数据，能否在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为A 市使用共享单车情况与年龄有关？（2）现从所抽取的30岁以上的网友中利用分层抽样的方法再抽取5人. （i ）分别求这5人中经常使用、偶尔或不用共享单车的人数；（ii ）从这5人中，再随机选出2人赠送一件礼品，求选出的2人中至少有1人经常使用共享单车的概率.参考公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.参考数据：()20P K k ≥0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0k2.0722.7063.8415.0246.63520．已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>过点()2,12，直线l ：20kx y -+=与椭圆C 交于A B ，两点. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）是否存在实数k ，使得OA OB OA OB +=-uu r uu u r uu r uu u r（其中O 为坐标原点）成立？若存在，求出实数k 的值；若不存在，请说明理由.21．已知函数()2ln 23f x x x =-+，()()()4ln 0g x f x x a x a '=++≠. （1）求函数()f x 的单调区间；（2）若关于x 的方程()g x a =有实数根，求实数a 的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线C 的参数方程为2cos sin x y =⎧⎨=⎩αα（α为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线lsin 34⎛⎫+= ⎪⎝⎭πθ. （1）求曲线C 的普通方程及直线l 的直角坐标方程； （2）求曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值. 23．选修4-5：不等式选讲 已知函数()211f x x x =-++. （1）解不等式()3f x ≤；（2）记函数()()1g x f x x =++的值域为M ，若t M ∈，试证明：223t t -≥.衡水金卷2018届全国高三大联考文数参考答案及评分细则一、选择题1-5:CDDAB 6-10:DAABC 11、12：BB 二、填空题13．1 14．2- 15．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦16．36-π 三、解答题17．解：（1）设数列{}n a 的公比为q ，则251632a a a a ⋅=⋅=， 又2518a a +=，∴22a =，516a =或216a =，52a =（舍）. ∴3528a q a ==，即2q =. 故2122n n n a a q--==（*n ∈N ）.（2）由（1）得，12n n b n -=+.∴12n n T b b b =+++L()()211222123n n -=+++++++++L L()112122n n n +-=+- 2212nn n +=-+.18．解：（1）连接1BC 交1B C 于点O ，连接OD .在三棱柱111ABC A B C -中，四边形11BCC B 是平行四边形. ∴点O 是1BC 的中点. ∵点D 为AB 的中点， ∴1OD AC ∥.又OD ⊂平面1B CD ，1AC ⊄平面1B CD ，∴1AC ∥平面1B CD .（2）∵AC BC =，AD BD =， ∴CD AB ⊥.在三棱柱111ABC A B C -中，由1AA ⊥平面ABC ，得平面11ABB A ⊥平面ABC . 又平面11ABB A I 平面ABC AB =. ∴CD ⊥平面11ABB A .∴点C 到平面11A DB 的距离为CD ，且sin 4CD AC ==π∴11111113A CDB C A DB A DB V V S CD --∆==⨯1111132A B AA CD =⨯⨯⨯⨯=14263⨯=. 19．解：（1）由列联表可知，()2220070406030 2.19813070100100K ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯.因为2.198 2.072>，所以能在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为A 市使用共享单车情况与年龄有关. （2）（i ）依题意可知，所抽取的5名30岁以上的网友中，经常使用共享单车的有6053100⨯=（人）， 偶尔或不用共享单车的有4052100⨯=（人）.（ii ）设这5人中，经常使用共享单车的3人分别为a b c ，，；偶尔或不用共享单车的2人分别为d e ，.则从5人中选出2人的所有可能结果为(),a b ，(),a c ，(),a d ，(),a e ，(),b c ，(),b d ，(),b e ，(),c d ，(),c e ，(),d e ，共10种.其中没有1人经常使用共享单车的可能结果为(),d e ，共1种.故选出的2人中至少有1人经常使用共享单车的概率1911010P =-=. 20．解：（1）依题意，得22222211,,2,a b caa b c ⎧+=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎪⎩解得24a =，22b =，22c =，故椭圆C 的标准方程为22142x y +=. （2）假设存在符合条件的实数k .依题意，联立方程222,24,y kx x y =+⎧⎨+=⎩消去y 并整理，得()2212840k xkx +++=.则()226416120k k∆=-+>，即2k >或2k <-. 设()11,A x y ，()22,B x y ，则122812k x x k +=-+，122412x x k=+. 由OA OB OA OB +=-uu r uu u r uu r uu u r ，得0OA OB ⋅=uu r uu u r.∴12120x x y y +=.∴()()1212220x x kx kx +++=. 即()()212121240kx xk x x ++++=.∴()22224116401212k k k k+-+=++. 即2284012k k -=+. 即22k =，即k =故存在实数k =OA OB OA OB +=-uu r uu u r uu r uu u r成立.21．解：（1）依题意，得()21144x f x x x x -'=-=()()1212x x x+-=，()0,x ∈+∞. 令()0f x '>，即120x ->. 解得102x <<； 令()0f x '<，即120x -<. 解得12x >. 故函数()f x 的单调递增区间为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递减区间为1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭. （2）由题得，()()4ln g x f x x a x '=++=1ln a x x+. 依题意，方程1ln 0a x a x +-=有实数根， 即函数()1ln h x a x a x=+-存在零点.又()2211a ax h x x x x -'=-+=.令()0h x '=，得1x a=.当0a <时，()0h x '<.即函数()h x 在区间()0,+∞上单调递减，而()110h a =->，111111e 1a ah a a a e --⎛⎫⎛⎫=+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1111110e e a-=-<-<.所以函数()h x 存在零点；当0a >时，()h x '，()h x 随x 的变化情况如下表：所以11ln ln h a a a a a a a ⎛⎫=+-=- ⎪⎝⎭为函数()h x 的极小值，也是最小值. 当10h a ⎛⎫> ⎪⎝⎭，即01a <<时，函数()h x 没有零点； 当10h a ⎛⎫≤⎪⎝⎭，即1a ≥时，注意到()110h a =-≤， ()11e 0e eh a a =+-=>， 所以函数()h x 存在零点.综上所述，当()[),01,a ∈-∞+∞U 时，方程()g x a =有实数根.22．解：（1）由曲线C 的参数方程2cos sin x y =⎧⎨=⎩αα（α为参数），得曲线C 的普通方程为2214x y +=. 2sin 34⎛⎫+= ⎪⎝⎭πρθ， 得()sin cos 3+=ρθθ，即3x y +=.∴直线l 的普通方程为30x y +-=.（2）设曲线C 上的一点为()2cos ,sin αα，则该点到直线l的距离d ==（其中tan 2=ϕ）.当()sin 1+=-αϕ时，max d ==. 即曲线C 上的点到直线l. 23．解：（1）依题意，得()3,1,12,1,213,.2x x f x x x x x ⎧⎪-≤-⎪⎪=--<<⎨⎪⎪≥⎪⎩ 则不等式()3f x ≤即为1,33x x ≤-⎧⎨-≤⎩或11,223x x ⎧-<<⎪⎨⎪-≤⎩或1,23 3.x x ⎧≥⎪⎨⎪≤⎩ 解得11x -≤≤.故原不等式的解集为{}11x x -≤≤. （2）由题得，()()121g x f x x x =++=-+2221223x x x +≥---=， 当且仅当()()21220x x -+≤.即112x -≤≤时取等号. ∴[)3,M =+∞.∴()()22331t t t t --=-+. ∵t M ∈，∴30t -≥，10t +>. ∴()()310t t -+≥. ∴223t t -≥.。