2017年春北师大版八年级数学下册1.4《第2课时：角平分线(2)》ppt课件
6．在△ABC中，∠C＝90°，O为△ABC三条角平分线的交点， OD⊥BC于点D，OE⊥AC于点E，OF⊥AB于点F，且AB＝10 cm，BC＝8 cm，AC＝6 cm，则点O到三边AB，AC，BC的距离分别为(A ) A．2 cm，2 cm，2 cm B．3 cm，3 cm，3 cm C．4 cm，4 cm，4 cm D．2 cm，3 cm，5 cm 7．如图，O为△ABC内任意一点，OD⊥AB于点D，OE⊥AC于点E， OF⊥BC于点F，若OD＝OE＝OF，连接OA，OB，OC，下列结论不一定 正确的是( B ) A．△BOD≌△BOF B．∠OAD＝∠OBF C．∠COE＝∠COF D．AD＝AE
10．如图，AB＝AC，PB＝PC，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别是D，E. 求证：PD＝PE.
证明：连接AP，∵AB＝AC，PB＝PC，AP＝AP， ∴△ABP≌△ACP(SSS)，∴∠BAP＝∠CAP， 又∵PD⊥AB，PE⊥AC， ∴PD＝PE(角平分线上的点到这个角的两边的距离相等)
11．如图，已知∠B＝∠C＝90°，E为BC的中点，且AE平分∠BAD.求
解：过点 D 作 DF⊥AC，∵AD 是∠BAC 平分线，DE⊥AB， 4× 2 ∴DF＝DE＝2，∵S△ABD＝ 2 ＝4，∴S△ACD＝7－4＝3， 2AC ∴ 2 ＝3，即 AC＝3
13．如图，在△ABC 中，PD⊥AC，PE⊥AB，PF⊥BC，PD＝PE＝PF， 1 求证：∠BPC＝90°＋2∠BAC.
解：(1)过点D作DE⊥AB，交AB于点E，∵AD为∠BAC的平分线， DC⊥AC，DE⊥AB，∴DE＝DC，∵AD＝AD， ∴Rt△ACD≌Rt△AED(HL)，∴AC＝AE，∠ACB＝∠AED，∵∠ACB＝ 2∠B，∴∠AED＝2∠B，又∵∠AED＝∠B＋∠EDB，∴∠B＝∠EDB， ∴BE＝DE＝DC，则AB＝AE＋BE＝AC＋CD (2)AB＝CD＋AC (3)AB＝CD－AC.理由：在AF上截取AE＝AC，∵AD为∠FAC的平分线， ∴∠EAD＝∠CAD，∵AD＝AD，∴△ADE≌△ADC(SAS)，∴CD＝ED， ∠AED＝∠ACD，即∠FED＝∠ACB，∵∠ACB＝2∠B，∴∠FED＝2∠B， 又∵∠FED＝∠B＋∠EDB，∴∠B＝∠EDB，∴BE＝DE＝CD，则AB＝ BE－AE＝CD－AC
第１章 三角形的证明
１．４ 角平分线 第2课时 角平分线（2）
1．(教材P32习题1变式)如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°， 6 AD是△ABC的角平分线．若CD＝3 cm，则BD的长为____cm.
2．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB交BC于 6 cm. 点D，DE⊥AB于点E，且AB＝6 cm，则△BED的周长是____
3．如图，BO，CO分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于点D， 33 ． 且OD＝3.若△ABC的周长是22，则△ABC的面积是____
4．如图，∠AOE＝∠BOE＝15°，EF∥OB，EC⊥OB， 2 ． 若EC＝1，则EF＝____
5．如图，在△ABC 中，∠C＝90°，∠B＝30°，以 A 为圆心，任意 1 长为半径画弧分别交 AB，AC 于点 M 和 N，再分别以 M，N 为圆心，大于2 MN 的长为半径画弧，两弧交于点 P，连接 AP 并延长交 BC 于点 D，则下列 说法中正确的个数是( D ) ①AD 是∠BAC 的平分线； ②∠ADC＝60°； ③点 D 在 AB 的垂直平分线上； ④S△DAC∶S△ABC＝1∶3. A．1 个 B．2 个 AC，PE⊥AB，PF⊥BC，PD＝PE＝PF， ∴点 P 是△ABC 三个内角平分线的交点．∴CP 平分∠ACB， 1 1 BP 平分∠ABC.∴∠PCB＝2∠ACB，∠PBC＝2∠ABC. 1 1 ∴∠BPC＝180°－∠PCB－∠PBC＝180°－ 2∠ACB－2∠ABC＝180 1 1 1 °－2(∠ACB＋∠ABC)＝180°－2(180°－∠BAC)＝90°＋2∠BAC
证：DE平分∠ADC.
证明：过点E作EF⊥AD于点F，∵AE平分∠BAD，∠B＝90°， ∴EF＝EB(角平分线上的点到这个角的两边的距离相等)， 又∵E为BC的中点，∴EB＝EC，∴EF＝EC，又∵EF⊥AD，∠C＝ 90°，∴DE平分∠ADC(到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上)
12．如图，AD 是△ABC 中∠BAC 的平分线，DE⊥AB 于点 E， S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，求 AC 的长．
14．在△ABC中，∠ACB＝2∠B.
(1)如图①，当∠C＝90°，AD为∠BAC的角平分线时，
求证：AB＝AC＋CD； (2) 如图② ， 当时∠ C≠90° ， AD 为∠ BAC 的角平分线时 ， 线段 AB ， AC，CD又有怎样的数量关系？不需要证明，请直接写出你的猜想； (3)如图③，当AD为△ABC的外角平分线时 ，线段AB，AC，CD 又有 怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对你的猜想给予证明．
8．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，DE垂直平分AB，交 BC于点D，垂足为E.则下列结论错误的是( C ) A．DE＋BD＝BC B．BD＝2CD C．BE＋DE＝BC D．BE＋AC＝AB
9．如图，在△ABC中，∠B，∠C的平分线交于点O，OD⊥AB于点D， OE⊥AC于点E，则OD与OE的大小关系是( B) A．OD＞OE B．OD＝OE C．OD＜OE D．无法确定
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北师大版八年级下册1.4.2角平分线(2)课件(共19张PPT)
A
D
E
O
B
C
6.在⊿ABC的外角∠DBC的平分线与∠BCF的
平分线相交于点E，哪么点E在∠DAF的平分
线上吗？为什么？
A
BG
C N
M
D
E
F
如图，已知在⊿ABC中，∠BAC平分线AD与 BC的垂直平分线相交于点P，DM⊥AB于点M， DN ⊥AC的延长线于点N。 求证：（1）BM=CN；
（2）AM AN 1 (AB AC) 2
自学指导1：（5分钟）
自学P30例2
例2求证：三角形的三条角平分线交于_一__点， 并且这一点到三条边的距离 相等 。
已知：如图，在⊿ABC中，角平分线BM与角平分
线CN相交于点P，过点P分别作AB，BC，AC的垂
线，垂足分别是D，E，F。
求证：∠BAC的平分线经过点P，且PD=PE=PF。
A
D NP
C
P
A
B
上的点到这个角的两边距离相等。
角平分线判定定理：
在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在 这个角的平分线上。
学习目标：（1分钟）
（1）经历观察、证明的过程，能够理解三 角形的三条角平分线的性质。
（2）能够运用三角形的三条角平分线的性 质。进行相关的计算和证明。
A、三条中线的交点；B、三条高的交点；
C、三条角平分线的交点；D、不能确定
3.已知：△ABC中，BP、CP分别是∠ABC和
∠ACB的角平分线，且交于P,若P到边AB的距
离为3cm，△ABC的周长为18cm，则△ABC的面
积为 27cm2 。
C
E
FP
AD
B
点拨：三角形的三条角平分线交于一点，
北师大版初二数学下《角平分线》课件
第一章 三角形的证明
角平分线
互动一：寻找作法
• 工人师傅常用角尺平分一个任意角，做法如下： 如图，∠AOB是一个任意角，在边OA，OB上分 别取OM＝ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻 度分别与M、N重合。过角尺顶点C的射线OC便 是∠AOB的平分线。为什么？
互动二：明确作法
• 现在我们一起来完成用尺规作一个锐角 的平分线。已知：∠AOB，求作： ∠AOB的平分线。
(勾股定理)， ∴AC=BC=CD+BD=(4+ )cm．
[例1]如图，在△ABC中．AC=BC，∠C=90°，AD是 △ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E．
(1)已知CD=4 cm，求AC的长；
A
(2)求证：AB=AC+CD．
(2)证明：由(1)的求解过程可知， Rt△ACD≌Rt△AED(HL)
∴∠1=∠2(全等三角形对应角相等)．
P C
E B
角平分线的判定定理
在一个角的内部，且到角两边距离相等 的点，在这个角的角平分线上．
三角形角平分线的性质定理
定理：三角形的三条角平分线相交于 一点，并且这一点到三条边的距离相等．
比较三角形三边的垂直平分线和三条角平分线的性质定理
三边垂直平分线 三条角平分线
作法：
1、以O为圆心，以适当的长为半径 画弧，交OA于M，交OB于N；
2长、为分半别径以画M弧、，N两为弧圆在心∠，A以O大B的于内12 部MN交的于 点C；
3、画射线OC，射线OC就是∠AOB的平 分线。
互动四：课堂延伸
1、作出一对邻补角的角平分线。
B
M
N
A
O
C
猜一猜这两条射线的位置关系如何？
角平分线
互动一：寻找作法
• 工人师傅常用角尺平分一个任意角，做法如下： 如图，∠AOB是一个任意角，在边OA，OB上分 别取OM＝ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻 度分别与M、N重合。过角尺顶点C的射线OC便 是∠AOB的平分线。为什么？
互动二：明确作法
• 现在我们一起来完成用尺规作一个锐角 的平分线。已知：∠AOB，求作： ∠AOB的平分线。
(勾股定理)， ∴AC=BC=CD+BD=(4+ )cm．
[例1]如图，在△ABC中．AC=BC，∠C=90°，AD是 △ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E．
(1)已知CD=4 cm，求AC的长；
A
(2)求证：AB=AC+CD．
(2)证明：由(1)的求解过程可知， Rt△ACD≌Rt△AED(HL)
∴∠1=∠2(全等三角形对应角相等)．
P C
E B
角平分线的判定定理
在一个角的内部，且到角两边距离相等 的点，在这个角的角平分线上．
三角形角平分线的性质定理
定理：三角形的三条角平分线相交于 一点，并且这一点到三条边的距离相等．
比较三角形三边的垂直平分线和三条角平分线的性质定理
三边垂直平分线 三条角平分线
作法：
1、以O为圆心，以适当的长为半径 画弧，交OA于M，交OB于N；
2长、为分半别径以画M弧、，N两为弧圆在心∠，A以O大B的于内12 部MN交的于 点C；
3、画射线OC，射线OC就是∠AOB的平 分线。
互动四：课堂延伸
1、作出一对邻补角的角平分线。
B
M
N
A
O
C
猜一猜这两条射线的位置关系如何？
北师大版数学八年级下册1.4第2课时三角形三条内角的平分线课件(共17张)
∠CBE =∠ABE，且 AC = 6 cm，
那么 AE + DE = 6 cm.
C E
A
D
B
3. 如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建
一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相
等，凉亭的位置应选在 ( C )
A
A. △ABC 的三条中线的交点
B. △ABC 三边的垂直平分线的交点
C. △ABC 三条角平分线的交点
点，且点 O 到△ABC 三边的距离相等．若∠A
＝40°，则∠BOC 的度数为 ( A )
A．110°
B．120°
C．130°
D．140°
解析：O 到△ABC 三边的距离相等，所以 O 是内心，即
三条角平分线的交点，故 BO，CO 都是内角平分线，
则∠CBO＝∠ABO＝ 1∠ABC，∠BCO＝∠ACO＝ 1∠ACB，
解：如图，过点 O 作 OE⊥AB 于点 E，ON⊥BC 于
点 N，连接 OC.
S ABC S AOC S BOC S AOB
B
1 AB OE 1 BC ON 1 AB OM
2
2
2
OP
1 OM ( AB BC OM )
2
1 4 32 64.
A
2
DM C
例3 如图，在△ABC 中，点 O 是△ABC 内一
∴ DE = CD = 4 cm.
E
∵ AC = BC，∴∠B =∠BAC.
∵∠C = 90°，∴∠B = 45°. ∴ BE = DE. C D
B
在等腰 Rt△BDE 中，BD 2DE2 4 2 cm.
AC BC CD BD (4 4 2) cm.
北师大版数学八年级下册1.4《角平分线》课件2 (共14张PPT)
的距离为__5___
B
E P
O
C
A
•9、要学生做的事，教职员躬亲共做；要学生学的知识，教职员躬亲共学；要学生守的规则，教职员躬亲共守。2021/9/102021/9/10Friday, September 10, 2021 •10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。2021/9/102021/9/102021/9/109/10/2021 8:37:43 AM •11、只有让学生不把全部时间都用在学习上，而留下许多自由支配的时间，他才能顺利地学习……（这）是教育过程的逻辑。2021/9/102021/9/102021/9/10Sep-2110-Sep-21 •12、要记住，你不仅是教课的教师，也是学生的教育者，生活的导师和道德的引路人。2021/9/102021/9/102021/9/10Friday, September 10, 2021
求证：PC-PB﹤AC-AB
C
A P
B
证明：作PB′=PB，与AC交于点B′， 易证△APB′≌ △APB ∴AC-AB= AC-AB′ 在△PB′C中， PC-PB′＜B′C=AC-AB′
∴ PC-PB＜AC-AB
A
C
B′
P B
课堂小结
通过本节课的学习你有哪些收获？
布置作业
1.从教材习题中选取 2.完成练习册本课时的习题
三角形的三条角平分线相交于一点
2.如图，P是△ABC的三条角平分线的交点，求 证：PD=PE=PF.
由上题的证明可知：PD=PE=PF.
三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等。
归纳结论
三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等。
随堂演练
1、直接应用定理求线段的长度：
北师大版八年级下册 第一章 1.4.1 角平分线 课件(共30张PPT)
PDO＝PEO(已证) ∵ １＝２（已证） OP＝OP (公共边 )
∴ △OPD≌△OPE (AAS)
∴ PD=PE（ 三角形全等对应边相等）
一个命题被证明是正确之后，怎么直接使用？
角平分线性质定理 定理 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等
几何语言
∵ OC是∠AOB的平分线 PD⊥OA , PE⊥OB ∴ PD=PE（角平分线上的点到这个角的两边的距离相等）
A．PA＝PB
B．PO平分∠APB
C．OA＝OB D．AB垂直平分OP
随堂检测
４.如图，AD，AE分别是△ABC中∠A的内角平
分线和外角平分线，它们有什么关系？
分析：
AD是线段 AF是射线
AD，AF存在数量关系？
拓展提升
１.如图,在△ABC中，AD是它的角平分线，BD＝CD,
DE丄AB， DF丄AC ，垂足分别为E，F，
求证 ：EB＝FC （1）还有哪些新的发现？ （2）连接 EF 后又有那些新发现？ 请说出成立的理由
拓展提升
２.如图,在△ABC中，∠BAC＝60°，点D在BC上，
AD＝10，DE丄AB， DF丄AC ，垂足分别为E，F，
DE＝DF，求DE的长.
分析：DE 丄 AB， DF 丄 AC ，
DE＝DF，
PDO＝PEO=90 ( 已证) PD＝PE（已知） OP＝OP (公共边 )
∴ △OPD≌△OPE (AAS) ∴ ∠1= ∠2（ 三角形全等对应边相等）
∴OP平分∠AOB
随堂检测
１.如图，点P是∠AOB平分线OC上一点， PD⊥OB，垂足为D，若PD＝2，则点P到边OA 的距离是( A ) A．2 B．3 C.
北师大版初中数学八年级下册1.4《角平分线》课件ppt同步
新课
角平分线的性质定理： 角平分线上的点到这个角的两边的距
离相等．
几何语言： ∵OC 是∠AOB 的平分 线，PD⊥OA，PE⊥OB， ∴PD = PE.
新课
你能写出这个定理的逆命题吗？它是真命 题吗？
如果有一个点到角两边的距离相等，那么 这个点必在这个角的平分线上．
这个命题是假命题．角平分线是角内部的一 条射线，而角的外部也存在到角两边距离相等的 点．
分析：运用角平分线 的判定和直角三角形 的性质求解.
例题
解： ∵DE⊥AB， DF⊥AC，垂足分别为E，F， 且 DE=DF， ∴ AD平分∠BAC（在一个角的内部， 到角的两 边 距离相等的点在这个角的平分线上） . 又∵∠BAC=60°， ∴∠ BAD = 30° . 在 Rt△ADE中， ∠AED=90°， AD=10， ∴ DE= 1/2 AD = 1/2× 10 = 5（在直角三角形中， 如果一个锐角等于30° ， 那么它所对的直角边等 于斜边的一半） .
例题
（1） 解： ∵AD是△ABC 的角平分线， DC⊥AC，DE⊥AB，垂足为 E， ∴ DE=CD=4cm（角平分线上的点到这个角的 两边的距离相等） . ∵ AC=BC， ∴ ∠B=∠BAC（等边对等角） . ∵ ∠C= 90°， ∴∠B=1/2×90°= 45° . ∴ ∠BDE =90°- 45°= 45° . ∴ BE = DE（等角对等边） .
三角形的三条角平分线相交于一点，并且这
一点到三条边的距离相等． 几何语言：
A
N
DP
M F
如图,在△ABC中, ∵BM,CN,AH分别是△ABC的 B
三条角平分线,且PD⊥AB,
EC
H
北师大版(新)初中数学八年级下册 1,4角平分线 第二课时【优质课件】
1 已知△ABC，求作一点P，使P 到∠A 的两边的距离相等，且 PA＝PB.下列确定P 点的方法正确的是( B ) A．P 为∠A 与∠B 的平分线的交点 B．P 为∠A 的平分线与AB 的垂直平分线的交点 C．P 为AC，AB 两边上的高的交点 D．P 为AC，AB 两边的垂直平分线的交点
2 如图，李明计划在张村、李村之间建一家超市．张、李两村 坐落在两相交公路内．超市的位置应满足下列条件：(1)使其 到两公路的距离相等；(2)为了方便群众，超市到两村的距离 之和最短，请你通过作图确定要建超市的位置．
证明：∵BM 是△ABC 的角平分线，点P 在BM上，且PD丄AB，PE 丄BC，垂足分别为D，E， ∴PD＝PE (角平分线上的点到这个角的两边的距离相等). 同理，PE＝PF． ∴PD＝PE＝PF. ∴点P 在∠A 的平分线上(在一个角的内部，到角的两边距离 相等的点在这个角的平分线上)，即∠A 的平分线经过点P.
(2) 求证：AB＝AC＋CD.
A
E
C
D
B
(1) 解：∵AD 是△ABC 的角平分线，DC丄AC，DE丄AB 垂足为E， ∴ DE＝CD＝4 cm (角平分线上的点到这个角的两边的距离相等). ∵AC＝BC，∴ ∠B＝∠BAC， (等边对等角). ∵ ∠C＝90°， ∴ B＝1 90＝45 . ∴∠BDE＝90°－45°＝45° .
FEM＝FDN，
在△FEM 与△FDN 中， EMF＝DNF，
∴△FEM ≌ △FDN.
FM＝FN，
∴FE＝FD.
2 在△ABC 内到三条边距离相等的点是△ABC 的( B )
A．三条中线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三条高的交点 D．以上均不对
3 到三角形三边距离相等的点的个数是( D )
八年级数学下册第一章角平分线第2课时三角形的角平分线作业pptx课件新版北师大版
两条直角边分别与OA，OB相交于点E，F.
（2）把三角尺绕点P旋转（如图②），小明
发现PE与PF仍然相等；
1
2
3
4
5
6
7
8
证明：（2）当PE⊥OA时，如图①，
∵∠AOB＝90°，OC平分∠AOB，∴∠POE＝∠POF＝45°，
∵∠PEO＝∠EPF＝∠EOF＝90°，
且∠PEO＋∠EPF＋∠EOF＋∠PFO＝360°，
1
2
3
4
5
6
7
8
7.【2023·北京海淀区期中】如图，在Rt△ABC中，∠C＝
90°，AD平分∠BAC交BC于点D.
（1）若BC＝8，BD＝5，求点D到AB的距离.
解：（1）如图，过点D作DE⊥AB于E，
∵BC＝8，BD＝5，
∴CD＝BC－BD＝8－5＝3，
∵∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB，
B.S1＋S2＜S3
C.S1＋S2＞S3
D.无法确定
1
2
3
4
5
6
7
8
点拨：过点I分别向边AB，BC，AC作垂线，垂足分别为
D，E，F，如图，
根据角平分线的性质，得ID＝IE＝IF，
设ID＝IE＝IF＝h，则S1＝
h，
S2＝ h，S3＝ h，
∵AC＋AB＞BC，∴S1＋S2＞S3.
∵∠AOB＝50°，∠EPF＝130°，且∠AOB＋
∠EPF＋∠PFG＋∠OEP＝360°，∴∠PFG＋
∠OEP＝180°，∴∠PGF＝∠PFG，∴PG＝
PF，∴PE＝PF.
1
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（2）把三角尺绕点P旋转（如图②），小明
发现PE与PF仍然相等；
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证明：（2）当PE⊥OA时，如图①，
∵∠AOB＝90°，OC平分∠AOB，∴∠POE＝∠POF＝45°，
∵∠PEO＝∠EPF＝∠EOF＝90°，
且∠PEO＋∠EPF＋∠EOF＋∠PFO＝360°，
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7.【2023·北京海淀区期中】如图，在Rt△ABC中，∠C＝
90°，AD平分∠BAC交BC于点D.
（1）若BC＝8，BD＝5，求点D到AB的距离.
解：（1）如图，过点D作DE⊥AB于E，
∵BC＝8，BD＝5，
∴CD＝BC－BD＝8－5＝3，
∵∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB，
B.S1＋S2＜S3
C.S1＋S2＞S3
D.无法确定
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点拨：过点I分别向边AB，BC，AC作垂线，垂足分别为
D，E，F，如图，
根据角平分线的性质，得ID＝IE＝IF，
设ID＝IE＝IF＝h，则S1＝
h，
S2＝ h，S3＝ h，
∵AC＋AB＞BC，∴S1＋S2＞S3.
∵∠AOB＝50°，∠EPF＝130°，且∠AOB＋
∠EPF＋∠PFG＋∠OEP＝360°，∴∠PFG＋
∠OEP＝180°，∴∠PGF＝∠PFG，∴PG＝
PF，∴PE＝PF.
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角平分线 课件 数学北师大版八年级下册
知1－练
例2 [母题教材P31例3 ]如图 1-4-3，在△ ABC 中，∠ C= 90°，AC=BC， AD 平分∠ CAB，交 BC 于点 D， DE ⊥ AB，垂足为E. 若 AB=8 cm，求△ DEB 的周长 .
感悟新知
知1－练
解题秘方：运用角平分线的性质及全等三角形的 性质，将求△ DEB 的周长转化为求线 段 AB 的长 .
感悟新知
知2－练
例5 如图 1-4-7，∠ MAC 和∠ NCA 是△ ABC 的外角， ∠ ABC 的平分线 BD 与∠ MAC 的平分线 AD 交于点 D. 求证： CD 平分∠ ACN.
感悟新知
解题秘方：紧扣“到 CA， CN 的距离相等的点在 知2－练 ∠ ACN 的平分线上”进行证明 .
角平分线
性质 判定
角平分线
三角形三条 内角平分线
的线段是“垂直于角两边的线段”，而不是 “垂直于角平分线的线段”.
感悟新知
知1－练
例1 如图 1-4-2， OD 平分 ∠ EOF， 在 OE， OF 上分 别取点 A， B， 使 OA=OB， P 为 OD 上一点， PM ⊥ BD，PN ⊥ AD，垂足分别为 M， N. 求证： PM=PN.
感悟新知
证明：如图 1-4-7，过点 D 作 DE⊥BM于点 E， DF ⊥ BN 于点 F， DG ⊥ AC 于点 G. ∵ BD 平分∠ ABC，∴ DE=DF. ∵ AD 平分∠ MAC，∴ DE=DG. ∴ DG=DF. ∴ CD 平分∠ CAN.
感悟新知
知2－练
由此例的结论可知，三角形的一条内角平 分线与两条外角平分线也相交于一点.
这一点到三条边的距离相等 .
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2. 几何语言 如图 1-4-8，在△ ABC 中， AD， BM， CN 分别是∠ BAC，∠ ABC， ∠ ACB 的平分线，则 AD， BM， CN 交于 一点 O，且点 O 到三边 BC， AB， AC 的 距离( OE， OG， OF 的长)相等，即 OE=OG=OF.
例2 [母题教材P31例3 ]如图 1-4-3，在△ ABC 中，∠ C= 90°，AC=BC， AD 平分∠ CAB，交 BC 于点 D， DE ⊥ AB，垂足为E. 若 AB=8 cm，求△ DEB 的周长 .
感悟新知
知1－练
解题秘方：运用角平分线的性质及全等三角形的 性质，将求△ DEB 的周长转化为求线 段 AB 的长 .
感悟新知
知2－练
例5 如图 1-4-7，∠ MAC 和∠ NCA 是△ ABC 的外角， ∠ ABC 的平分线 BD 与∠ MAC 的平分线 AD 交于点 D. 求证： CD 平分∠ ACN.
感悟新知
解题秘方：紧扣“到 CA， CN 的距离相等的点在 知2－练 ∠ ACN 的平分线上”进行证明 .
角平分线
性质 判定
角平分线
三角形三条 内角平分线
的线段是“垂直于角两边的线段”，而不是 “垂直于角平分线的线段”.
感悟新知
知1－练
例1 如图 1-4-2， OD 平分 ∠ EOF， 在 OE， OF 上分 别取点 A， B， 使 OA=OB， P 为 OD 上一点， PM ⊥ BD，PN ⊥ AD，垂足分别为 M， N. 求证： PM=PN.
感悟新知
证明：如图 1-4-7，过点 D 作 DE⊥BM于点 E， DF ⊥ BN 于点 F， DG ⊥ AC 于点 G. ∵ BD 平分∠ ABC，∴ DE=DF. ∵ AD 平分∠ MAC，∴ DE=DG. ∴ DG=DF. ∴ CD 平分∠ CAN.
感悟新知
知2－练
由此例的结论可知，三角形的一条内角平 分线与两条外角平分线也相交于一点.
这一点到三条边的距离相等 .
感悟新知
2. 几何语言 如图 1-4-8，在△ ABC 中， AD， BM， CN 分别是∠ BAC，∠ ABC， ∠ ACB 的平分线，则 AD， BM， CN 交于 一点 O，且点 O 到三边 BC， AB， AC 的 距离( OE， OG， OF 的长)相等，即 OE=OG=OF.
北师大版八年级数学下册 1.4 角平分线课件(共18张PPT)
A D
求证:点P在∠AOB的平分线上.
P
O
证明： ∵ PD⊥OA,PE⊥OB
∴ ∠ODP= ∠OEP=90°
E
在Rt△ODP和Rt △OEP中
B
DP= EP, OP＝ OP
∴ Rt△ODP ≌Rt △OEP(HL)
∴ ∠AOP= ∠BOP，点P在∠AOB的平分线上.
逆定理： 在一个角的内部, 到角的两边距离相等 的点在这个角的平分线上.
4.如图，在四边形OACB 中,CM⊥OA于点M,若∠1 =∠2,∠3+∠4= 180° 求证:CA=CB.
习题1.9答案 1.解如图,结论:三角形的三个 内角的平分线交于一点,并且 这个点到三角形的三边的距离相等.
2.证明∵AD平分∠BAC且 DE⊥AB,DF⊥AC,∴DE=DF.
又BD=DC,∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL). ∴BE=CF.
∴DE=DC. ∵在Rt△DCF和Rt△DEB中,
∴Rt△CDF≌Rt△EDB(HL).
2．如图，点E是∠AOB的平分线上一点， EC⊥OA，ED⊥OB，垂足分别为C，D.求证： (1)∠ECD＝∠EDC； (2)OC＝OD； (3)OE是线段CD的垂直平分线．
证明：(1)∵点E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，
又∵∠C=90°,BE=BE, ∴Rt△BDE≌Rt△BCE(HL). ∴∠DBE=∠CBE ∴BE平分∠ABC.
4.解作法:如图,(1)作∠AOB的平分线OM; (2)连接CD; (3)作CD的垂直平分线交OM于点P,则P点即 为所求.
������������ = ������������,
∴△EBD≌△FCD(AAS). ∴DE=DF.
∴点D在∠BAC的平分线上(在一个角的内部,到角