第七章 线性动态网络时域分析
动态网络的模型与分析
动态网络的模型与分析介绍：动态网络是指网络中的节点和边随着时间变化的一种网络结构，与传统的静态网络相比，动态网络更能真实地反映出真实世界中各种复杂的关系。
一、动态网络模型1. 时间演化模型动态网络的一个重要特征就是时间的变化，时间演化模型是描述网络节点和边如何随时间变化的数学模型。
常用的时间演化模型有：随机模型、增长模型和演化模型等。
随机模型：随机模型中的节点和边会随机出现和消失，模拟了网络中节点和边的随机变化。
增长模型：增长模型是指网络中的节点和边会随着时间的推移逐渐增加，模拟了网络的生长过程。
演化模型：演化模型是描述网络中节点和边之间的关系随时间变化的模型，可以根据节点和边之间的关系演化规律来推演网络的发展。
2. 网络结构模型网络结构模型是指网络中节点和边之间的连接关系的数学模型。
常用的网络结构模型有：小世界网络、无标度网络和随机网络等。
小世界网络：小世界网络模型是一种介于规则网络和随机网络之间的模型，节点之间的连接关系更倾向于短路径，模拟了现实世界中人际关系的特点。
无标度网络：无标度网络模型是一种节点度数呈幂律分布的网络模型，少数节点拥有大量的连接，模拟了现实世界中少数节点对网络的重要影响。
随机网络：随机网络模型是一种节点之间的连接关系是随机产生的网络模型，节点的度数差异较小，模拟了一些简单的网络结构。
二、动态网络的分析方法1. 社区发现算法社区是动态网络中具有紧密内部联系、稀疏外部联系的节点集合。
社区发现算法通过划分节点集合，帮助我们识别出网络中的社区结构。
常用的社区发现算法有：谱聚类算法、模块度优化算法等。
谱聚类算法：谱聚类算法根据网络中节点之间的相似性构建相似度矩阵，对相似度矩阵进行特征值分解来划分社区。
模块度优化算法：模块度优化算法通过优化网络的模块度，并将网络划分为多个模块，每个模块内的节点之间具有较高的联系。
2. 传播模型传播模型是研究动态网络中信息传播的数学模型，用于模拟信息在网络中的传播过程。
数字信号处理线性系统的时域分析法
a0>0
ai(i=0,1,2,…n)>0
(2)劳思稳定判据 1)劳思表
cij=
i---列；j---行
ci+1.j-2 c1.j-2 ci+1.j-1 c1.j-1
c1.j-1
稳定充分必要条件 C1,j >0 (j=0,1…n+1)
Sn
a0
a2
a4
a6
…
Sn-1
a1
a3
a5
a7
…
Sn-2
0
s0
-4
-7
-4
-4
0
-4
0 (dF(s)/d(s)=0 系数)
由于劳思表第一列数值有一次符号变化,故系统不稳定,且 有一个正实部根.其特征根是±2, ±j,(-1±j√3)/2
辅助方程:F(s)=s4-3s2-4=(s2-4)(s2+1)=0
3)劳思稳定判据的应用 例:设比例-积分(PI)控制系统如图所示.其中,K1为与积分器
r k 1
Ck Bkkk k 1 k2
e k k t
sin(
k
1 k2 )t
t0
特征根实部
0
lim
k(t)
t
c或振荡
全负
稳定
1个为正
不稳定
1个为零其余为负 临界稳定
r(t)
0
t
j
s
× ××
×× × 0
× ××
特征根全部位于左半S平面
c(t)
0
t
c(t)
0
t
c(t)
0
t
稳定判据
设: D(s) a0sn a1sn1 an1s an 0
时域分析方法时域分析方法
所谓时域分析法，就是通过求解控制系统的时间响应，来分析系统的稳定性、快 速性和准确性。它是一种直接在时间域中对系统进行分析的方法，具有直观、准 确、物理概念清楚的特点，尤其适用于二阶系统。
自动控制系统暂态响应性能指标
暂态响应性能指标是以系统在单位阶跃输入作用下的衰减振荡过程（或称欠阻尼 振荡过程）为标准来定义的。系统在其它典型输入作用下定义的暂态响应性能指 标，均可以直接或间接求出与这一指标的关系。用来表述单位阶跃输入时暂态响 应的典型性能指标通常有：最大超调量、上升时间、峰值时间和调整时间。图 3.11 说明一个线性控制系统的典型单位阶跃响应。上述指标就是用系统阶跃响 应来定义的。
=
K
p (1 + Td s)
=
K
p
+
KDs
PD 有助于增加系统的稳定性.
PD 增加了一个零点 z = − K p ,提高了系统的阻尼,可改善暂态性能. KD
（2） PI 控制:
∫ u2 (t)
=
K
pu1 (t ) +
Kp Ti
t 0
u1
(t
)dt
G(s)
=
K
p 1 +
1 Ti s
=
K
3.2.3、频域分析方法：
频率响应法是一种工程方法，是以传递函数为基础的一种控制系统分析方法。 这种方法不仅能根据系统的开环频率特性图形直观地分析系统的闭环响应，而且 还能判别某些环节或参数对系统性能的影响，提示改善系统性能的信息。控制系 统的频域分析方法不仅可以对基于机理模型的系统性能进行分析，也可以对来自 于实验数据的系统进行有效分析。它同根轨迹法一样是又一种图解法，研究的主 要手段有极坐标图(Nyquist 图)和伯德图(Bode 图)法。
时域与频域分析
时域与频域分析时域与频域分析是信号处理中常用的两种方法，用于分析信号在时间和频率上的特征。
时域分析主要关注信号的幅度、相位和波形，而频域分析则关注信号的频率成分和频谱特性。
一、时域分析时域分析是指通过对信号在时间轴上的变化进行观察和分析，来研究信号的特性。
它通常使用时域图形表示信号，常见的时域图形有时域波形图和时域频谱图。
1. 时域波形图时域波形图是将信号的幅度随时间变化的曲线图形。
通过观察时域波形图，我们可以获得信号的振幅、周期、持续时间等特征。
例如，对于周期性信号，我们可以通过时域波形图计算出信号的周期，并进一步分析信号的频谱成分。
2. 时域频谱图时域频谱图是将信号的频谱信息与时间信息同时呈现的图形。
它可以用来描述信号在不同频率下的能量分布情况。
常见的时域频谱图有瀑布图和频谱图。
瀑布图将时域波形图在频域上叠加，通过颜色表示不同频率下的幅度，以展示信号随时间和频率的变化。
频谱图则是将时域信号转换到频域上，通过横轴表示频率，纵轴表示幅度，以展示信号的频谱特性。
二、频域分析频域分析是指通过将信号从时域转换到频域，来研究信号在频率上的特性。
频域分析通常使用傅里叶变换或者其它频域变换方法来实现。
1. 傅里叶变换傅里叶变换是一种将信号从时域转换到频域的重要方法。
它可以将信号分解成不同频率成分的叠加。
傅里叶变换得到的频域信息包括频率、幅度和相位。
通过傅里叶变换，我们可以分析信号中各个频率成分的能量分布，从而了解信号的频谱特性。
2. 频谱分析频谱分析是对信号的频谱特性进行定量分析的方法。
经过傅里叶变换后，我们可以得到信号的频谱，进而进行频谱分析。
常见的频谱分析方法有功率谱密度分析、功率谱估计、自相关分析等。
通过频谱分析，我们可以计算信号的平均功率、峰值频率、峰值功率等参数，进一步得到信号的特征信息。
三、时域与频域分析的应用时域与频域分析在信号处理和通信领域具有广泛的应用。
例如：1. 时域分析可以用于信号的滤波和去噪。
线性系统时域响应分析
线性系统时域响应分析线性系统是一类特殊的系统，其输入和输出之间具有线性关系。
这种系统广泛应用于信号处理、控制工程、电路和通信等领域中。
在分析线性系统时，时域响应是其中一种重要的分析方法之一，可以帮助我们了解系统对不同输入信号的输出情况。
时域响应是指系统对输入信号在时间域上的响应情况。
对于线性时不变系统（LTI）来说，时域响应完全由系统的冲激响应函数（impulse response function）所确定。
冲激响应函数描述了在系统输入为单位冲激函数（单位冲激函数是一个幅度为1、持续时间无限小、面积为1的信号）时，系统对此输入信号的输出响应。
为了求得系统的时域响应，我们可以通过系统的冲激响应函数进行求解。
具体来说，给定一个冲激响应函数h(t)，如果系统的输入信号为x(t)，那么系统的输出信号y(t)可以通过卷积运算得到：y(t)=x(t)*h(t)其中，*表示卷积运算。
对于时不变系统来说，其冲激响应函数是独立于时间t的。
这意味着一个时不变系统对于任何一个单位冲激输入信号，在任何一个时刻t上的输出都可以通过卷积运算得到。
这是时域响应分析的一个关键特性。
时域响应分析还可以帮助我们确定系统的稳定性。
对于一个稳定的系统来说，当输入信号是有界的时候，输出信号也是有界的。
这意味着系统不会产生无界的输出，保证了系统的稳定性。
通过分析时域响应，我们可以判断系统是否具有稳定性。
除了冲激响应函数，还有其他一些常见的时域响应函数，例如阶跃响应函数和频率响应函数。
阶跃响应函数描述了在系统输入为单位阶跃函数时，系统对此输入信号的输出响应。
频率响应函数描述了系统对不同频率的正弦信号输入的响应情况。
这些响应函数在不同的应用中有着重要的意义。
对于实际系统来说，时域响应分析可以帮助我们了解系统对不同输入的输出特性，例如输出的时延、幅度和频谱等。
这对于系统设计和系统性能分析都至关重要。
总之，时域响应分析是一种重要的方法，用于分析线性系统在时域上对输入信号的响应情况。
(电路理论)第八章-线性动态电路的时域分析
运算放大器使用注意事项
在使用运算放大器时，应注意其输入、输出范围以及共模抑制比等参数，避免信号失真或误差过大。
复杂电路时域响应求解技巧
初始值计算 列写微分方程 求解微分方程 分析响应特性 根据电路初始状态，计算各元件的初始值，如电容电压、电感电流等。 根据电路元件的伏安关系，列写电路的时域微分方程。 利用数学方法求解微分方程，得到电路的时域响应表达式。 根据时域响应表达式，分析电路的响应特性，如稳态值、时间常数等。
实验结果与仿真结果对比分析
观察实验测得的波形与仿真软件得到的波形是否一致，分析可能存在的误差原因。
对比实验波形与仿真波形
将实验测量得到的数据与仿真软件计算得到的数据进行对比，分析数据的准确性和可靠性。
对比实验数据与仿真数据
根据实验结果与仿真结果的对比情况，评估所建立的仿真模型的准确性，为后续的优化和改进提供依据。
初始条件与动态元件
第一章
初始条件概念及确定方法
在电路发生换路或动态过程开始的瞬间，电路中各独立电源及储能元件已存在的状态。 初始条件定义 通过电路换路前的稳态或上一状态的电路分析，利用基尔霍夫定律和元件的电压、电流关系来确定。 确定方法
动态元件特性与分类
在电路中，其电压或电流会随时间发生变化的元件，如电容、电感等。 电容元件的电压不能突变，其电流取决于电压的变化率。 电感元件的电流不能突变，其电压取决于电流的变化率。 根据动态元件在电路中的作用和特性，可将其分为储能元件和换能元件。 动态元件定义 电容元件特性 电感元件特性 分类
观察电路响应曲线随时间的变化趋势，若响应逐渐趋于稳定值，则系统稳定；若响应持续发散或振荡，则系统不稳定。
线性系时域分析法-精品文档78页
5% 2%
wn
% h(tp)h( )10 % 0 e1 2 10 % 0
h( )
ess 0
南 京 理 工 大 学 自 动 化 系 NJUST AUTOMATION
南 京 理 工 大 学 自 动 化 系 NJUST AUTOMATION
,t 0
n e n ts i d t n ) (d e n tc o d t ) s 0 (
12
tg 1 2
tg(dt )
dtp0,,2,
,根据峰值时间定义，应取
dtp
tpd 1 2 2 dd 1 2 T d
2、过阻尼情况（ 1）
南 京 理 工 大 学 自 动 化 系 NJUST AUTOMATION
二、二阶系统单位阶跃响应 3、临界阻尼情况（ 1）
南 京 理 工 大 学 自 动 化 系 NJUST AUTOMATION
二、二阶系统单位阶跃响应 4、欠阻尼情况（ 0 1）
在控制工程中，除了那些不容许产生振荡响应的系统 外，通常都希望控制系统具有适度的阻尼、快速的响应速 度和较短的调节时间。
12
e
nt sind(tr
)0
dtr
tr d
一定，即 一定，n tr ,响应速度越快
南 京 理 工 大 学 自 动 化 系 NJUST AUTOMATION
t p (峰值时间)
h (t) 1 1 12e n tsin d t ( )
Uc
r(t)
R(s)
C (s)
TC(t)C(t)r(t)
传递函数为：(s)C(s) 1
线性系统的时域分析
close all;clear all; a=[1 1;0 1]; b=[0 1;1 0]; c=[1 0 ;0 1]; d=[0 1;1 0]; t=20:0.1:30; impulse(a,b,c,d,1,t)
[Y,X]=impulse(sys,iu,t)
close all;clear all; close all;clear all; a=[1 1;0 1]; a=[1 1;0 1]; b=[0 1;1 0]; b=[0 1;1 0]; c=[1 0 ;0 1]; c=[1 0 ;0 1]; d=[0 1;1 0]; d=[0 1;1 0]; close all;clear all; %t=0:0.1:30; a=[1 1;0 1]; [y,x,t]=impulse(a,b,c,d,1,20) b=[0 1;1 0]; c=[1 0 ;0 1]; d=[0 1;1 0]; t=20:0.1:30; impulse(a,b,c,d,1,t) impulse(a,b,c,d,20)?
求任意输入信号时系统的响应 [Y,X]=lsim(sys1,u,t)
格式1 格式1：lsim(sys1,u,t)
格式2 格式2：lsim(sys2,u,t,x0) [Y,X]=lsim(sys2,u,t,x0) 说明： 为输入信号.t为等间隔时间向量. .t为等间隔时间向量 说明： u为输入信号.t为等间隔时间向量. sys1为 )或 )模型 模型。 sys1为tf( )或zpk( )模型。 sys2为 )模型 其中x0 模型。 x0为初始条件 sys2为ss( )模型。其中x0为初始条件
频 域 响 应 频域分析法是利用系统开环的奈氏图、波特图、尼氏图分析系 频域分析法是利用系统开环的奈氏图、 波特图、 统的性能，如系统的稳态性能、动态性能、稳定性。 统的性能，如系统的稳态性能、动态性能、稳定性。 系统稳定的充要条件： 如果开环系统有P 系统稳定的充要条件 ： 如果开环系统有 P 个极点在右半平面相 应于频率ω ∞→+∞变化时 开环频率特性G(jω)H(jω) 变化时， G(jω)H(jω)曲线逆 应于频率ω从-∞→+∞变化时，开环频率特性G(jω)H(jω)曲线逆 时针方向环绕（ 点的次数N 时针方向环绕（－1，j0）点的次数N等于右半根平面内的开环系统 的极点数P，那么闭环系统就是稳定的，否则是不稳定的。 的极点数P 那么闭环系统就是稳定的，否则是不稳定的。 求连续系统的Nyquist Nyquist曲线 1 nyquist 求连续系统的Nyquist曲线 格式1 格式1：nyquist(sys) [re,im,w]=nyquist(sys) 格式2 格式2：nyquist(sys,w) [re,im,w]=nyquist(sys,w) 格式3 格式3：nyquist(sys,iu,w) [re,im,w]=nyquist(sys,iu w) 中任一种模型。 说明： sys为tf(),zpk(),ss()中任一种模型 说明： sys为tf(),zpk(),ss()中任一种模型。w设定频率范围 省略时由机器自动产生。对于不带返回参数的将绘制Nyquist曲 绘制Nyquist 省略时由机器自动产生。对于不带返回参数的将绘制Nyquist 曲 对于带有返回参数的将不绘制 曲线,返回参数 绘制曲线 返回参数re im为 线 。 对于带有返回参数的将不 绘制 曲线 返回参数 re im 为 开环 G(jw)), G(jw)在各频率点的实部和虚部即：re=Re(G(jw) 在各频率点的实部和虚部即 G(jw)在各频率点的实部和虚部即：re=Re(G(jw)), im=Im(G(jw)) G(jw)). im=Im(G(jw)).
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时间常数 等于电压 uC衰减到初始值U0 的
所需的时间。
36.8%
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uC ( t ) U 0e iC ( t ) C
-
t
t
( t 0) U0 R U0 R
t -
duC dt
e
( t 0) ( t 0)
i R ( t ) iC ( t )
称为特征根(电路的固有频率)。
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dt RCp 1 0 1 p － RC
uC 0
于是电容电压变为
uC ( t ) Ke
pt
Ke
t RC
(t 0)
式中K是待定常数，由初始条件确定。当t=0+ 时上式变为 t
uC (0 ) K e
RC
K
L t
u ( )d
1 C
uC ( t ) uC ( 0 ) iL (t ) iL (0 ) 1
t
t
t
i ( )d
计算t = 0+ 时的值，有
uC ( 0 ) uC ( 0 ) iL (0 ) iL (0 ) 1 1 C
i1 ( 0 ) u 1 ( 0 ) / R 1 0
(b) 0+时刻等效电路
注 : u1 ( 0 ) 0 i1 ( 0 ) 0 u2 (0 ) 0 i2 (0 ) 0 iC ( 0 ) 0
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u 2 ( 0 ) u C ( 0 ) 10 V
e
U0 0.368U0
0
uC
U0/R 0.368U0/R
iR
RC放电电路的零输入曲线
t
0
t
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动态过程时间(暂态时间)的确定
理论上认为 t 电路达稳态 . 时 uC 0 工程上认为 t ( 3时 5) 电容放电基本结束。 u 0
e 随时间而衰减
t
C
C
i
R +
Us
uC
–
i=0 ,
uC= Us
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i
Us
K
U
uc
S
US i t1
新稳态R+R Nhomakorabea?
过渡状态
uC
–
C
初始状态 0
t
a. 动态电路：含有动态元件的电路，当电路状态发 生改变时需要经历一个变化过程才能 达到新的稳态。 上述变化过程习惯上称为电路的过渡过程。
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或 C (0 ) C (0 )
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uC (0 ) uC (0 ) ,
i L (0 ) i L (0 )
1 C
因为
uC ( t ) uC ( t 0 ) iL (t ) iL (t0 ) 1
t
t
0
t
0
i ( )d
t = 0 时换路
注意: （1）电容电流和电感电压为有限值是换路定律成立的条件。 （2）换路定律反映了能量不能跃变。
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求初始值的步骤: 1. 由换路前电路（一般为稳定状态）求uC(0－)和iL(0－)； 2. 由换路定律得 uC(0+) 和 iL(0+)。 3. 画0+等效电路。 a. 换路后的电路 b. 电容（电感）用电压源（电流源）替代。 （取0+时刻值，方向与原假定的电容 电压、电感电流方向相同）。 4. 由0+电路求所需各变量的0+值。
C R uC －
设uC(0+)=U0
电容放出能量：
1 2
CU
2 0
电阻吸收（消耗）能量：
WR
U
2 0
0
i Rdt
2t RC
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t=0+的等效电路如下图(b)所示．
i1 R1 3KΩ u1 US
10V
K iC i2
i1(0+)
3KΩ iC(0+) uC(0+) i2(0+) u2(0+)
u1(0+)
C
10μF
uC
R2
2KΩ
u2 U S
10V
2KΩ
uC 0 10V
(a)
u1 ( 0 ) U S u C ( 0 ) 0
i 2 ( 0 ) u 2 ( 0 ) / R 2 5 mA
i C ( 0 ) i 1 ( 0 ) i 2 ( 0 ) 5 mA
例 电路中的开关断开已经很久，t=0时闭合开关， 试求开关转换前和转换后瞬间的电感电流和电感电 压。
L
iL
i1
K 2A R1=1Ω R2=1Ω
换路后，描述电路的方程是一阶微分方程。
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5. 动态电路的分析方法 (1) 根据KVL、KCL及元件的 VCR 建立电路 方程，该方程为以时间为自变量的线性常 微分方程。
an d i dt
n n
a n 1
d
n 1
i
dt
n 1
a1
di dt
a0 i u
•
•
7.8 二阶电路的零输入响应
7.9 二阶电路的零状态响应
7.1 电路动态过程和初始条件
产生动态过程的条件 换路定律 初始值计算
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7.1.1 电路动态过程和初始条件
1. 动态电路 t=0
Us
K
i
R +
稳态分析 K未动作前
C
uC
–
i = 0 , uC = 0 K接通电源后很长时间
K 2A R1=1Ω R2=1Ω L
iL
i1
(a)
注 ： u L (0 ) 0
i1
2A R1 iL(0+) uL(0+) R2
(b) 0+时刻等效电路
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例 和
电路如图所示， t<0时电路已达稳态，t=0时开
di L dt
关Ｋ由①扳向②，试求各元件电压和电流的初始值， ． duC
根据初始条件
uC ( 0 ) uC ( 0 ) U 0
求得
K U 0 uC (0 )
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电路的零输入响应为
iR
C
uC
R
uR
uC
O
(b)
uC ( t ) uC (0 )e
iC ( t ) C duC dt
t RC
U 0e
t
-
t RC
t
iR
b. 动态电路与电阻电路的比较： 动态电路换路后产生过渡过程 ，描述电路 的方程为微分方程。 i
Us
K
R
+
uC
–
C
RC
duC dt
uC U S
电阻电路换路后状态改变瞬间完成，描述 电路的方程为代数方程。
+ R1 R2 R3
-
us
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2. 过渡过程产生的原因 （1） 电路内部含有储能元件 L 、C
t0
(2) 求出微分方程的解，从而得到所求变量。
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7.1.2 初始条件的确定
换路定律
记: t = 0 — 表示换路时刻 (计时起点)； t = 0- — 表示换路前的终了瞬间； t = 0+ —表示换路后的初始瞬间．
uC (0 ) uC (0 ) i L (0 ) i L (0 ) 或 qC (0 ) qC (0 )
u R Ri
R
R
C
RC
d uC dt
代入上式得到以下方程
RC duC dt uC 0
( t 0)
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R0
1
2
iR
K U0 C
uC
R
C
uC
R
uR
(a)
(b)
这是一个常系数线性一阶齐次微分方程。其通 解为 pt
uC ( t ) Ke
duC
特征方程
其解为
RC
t 0
dt
t 0
解 开关原置于位置①， 且电路稳态，可求 出：
uC (0 ) uC (0 ) 4V iL (0 ) iL (0 )
3Ω
1H
iL iC
i
①
②
10V
uC
2F 2Ω 1Ω
2A
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t=0时开关由①扳向② ，0+时刻等效电路如下图所示．
U0
iC
e
-
RC t RC
i R ( t ) iC ( t )
R U0 R
e
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时间常数
由曲线可见，各电压电流的变化快慢取决于R 和C的乘积。令 =RC，由于 具有时间的量纲， 故称它为RC电路的时间常数。
的物理意义
t
uC ( t ) U 0 e
当 t 时 uC U 0e 1 36.8%U 0
L t
u ( )d
t
t
t
i dt
L t
u dt
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在换路瞬间，若i，u有限值，从而