(完整word版)特征函数(CharacteristicFunction)地性质

特征函数（Characteristic Function ）的性质 1．;1)0(|)(|=≤??t

).0(11|||||)(|??==≤≤=E e E Ee t itX itX

2. )()(t t ??=-.

)()(t Ee e E Ee t itX

itX itX ??====--. 3. 若Y=aX+b, 其中a 和b 为常数，则

).()(at e t X ibt Y

??= 4． 若X 的l 阶矩存在，则

.1,|)(0l k EX i t dt

d k

k t k k ≤≤==?

k

k t itX k k t itX k k t k k EX i e X E i Ee dt

d t dt d ======000|)(||)(?. 注意求导和期望可交换的条件. 可利用特征函数求随机变量的各阶矩. 5. 特征函数具有一致连续性. ?

><>?>?M

x dx x p t s M ||)(..,0,0εε

?∞

∞

=-=-+|)()1(||)()(|x dF e e

t h t

itx

ihx

??

?

∞∞

--≤)(|1|x dF e ihx

??

->-+-=M

M

M

x ihx

ihx

x dF e

x dF e

||)(|1|)(|1|

|||2

sin |2)(||1|2

/2

/2

/hx hx

e

e

e e ihx ihx ihx ihx

≤=-=--

x hx

e

e

e

e

ihx ihx ihx ihx ?≤=-=--,2|2

sin |2)(||1|2

/2

/2

/

?

?

>-+≤-+M

x M

M

x dF x dF x h t h t ||)(2)(|||)()(|??

?-+≤+≤M M

hM x dF hM εε22)(.

取,/M εδ

=则 对

任意实数t ，和),0(δ∈h 有

.3|)()(|ε??≤-+t h t

所以，特征函数是一致连续的. 引理：狄利克雷积分

).

(2

1

21

00

02

1)sin(1)(0a sign a a a dt t at a I =???

?

???<-=>==?∞+π 证明：

?

∞

=

sin )(1

)(dt t

t

a sign a I π

以下证明

?

+∞

=0

2

sin π

du u u .

?+∞-=0

1ds e u us ?

??

??-+∞+∞-==T

us T

T us

ududs

e ds e u du u

u 0

00

00sin sin sin ?

∞

+-++-+=0

2

22)cos sin 11(ds e T

s T T T s s s

?

+∞-++-=

22cos sin 2

ds e T

s T T T s s

π

s s T e e T s T T T s T s T T T s --∞→<++=++|cos sin |,0cos sin lim 2

222 2

sin lim 0

π

=?

∞→T

T du u u 。

Th 4.1.3(逆转定理)

设F(x)和)(t ?分别为随机变量X 的分布函数和特征函数，则对F 的任意两个连续点x 1

.)(21

lim

)()(2

112?---∞→-=-T

T

itx itx T dt t it

e e x F x F ?π

证明：记 ?---=

-T

T itx itx T dt t it e e J )(212

1?π

’则

?----=T T itX

itx itx T dt e it

e e E J 21

21π ?------=T

T

x X it x X it dt it

e e E )

()

(2121π

?----+--=T

x X it x X it x X it x X it dt

it e e e e E 0)

()

()

()(221121πdt t

t x X t x X E T ?---=021)sin()sin(1π )]()([2

1

lim 21x X sign x X sign E J T T ---=∞→. 不妨设x 1

??

?

??<<==><=---212

12

121210)()(x

X x x X or x X x X or x X x X sign x X sign

.

2

)

0()(2)0()()()0()]()([2

1

lim 11221221-+--+=--+=+==→∞x F x F x F x F x F x F x X P x X P J T T 若x 1和x 2 是F(x)的连续点，则定理得证.

Th （唯一性定理）分布函数有特征函数唯一确定。

证明：将分布函数的连续点集记为)(F C ，设)(t ?是)(x F 的特征函数.当)(,1F C x x ∈时，由反演公式

.)(21

lim

)()(2

112?---→∞-=-T

T itx itx T dt t it e e x F x F ?π

令1x 在)(F C 中趋于∞-，则有对)(2F C x ∈?，)(2x F 由)(t ?唯一确定。当)(F C x ?时，可令2x 在)(F C 中单调减的趋于x ，由)(x F 的右连续性可知，)(x F 由)(t ?唯一确定。

Th. 若特征函数)(t ?绝对可积，即

?

∞

∞

-∞

则其对应的分布函数)(x F 为连续型，且密度函数为

.)(21

)(?

∞

∞

--=

dt e t x p itx ?π

证明：对R a ∈?，令a b n ↓，根据反演公式有

?∞

∞--≤-+-≤dt t a b a b F n n |)(|22)0F(F(a))(0?π

由定理条件可知，2

)

0F(F(a))(-+-a b F n 单调减的趋于0，而根

据)(x F 的右连续性可知)()(a F b F n →，故有

).0()(,02

)0F(F(a))(-==-+-a F a F a a F 即

亦即)(x F 处处连续。

对0,≠?∈?x R x ，根据反演公式得

?∞

∞-?+--?-=

?-?+dt t x it e e x x F x x F x x it itx )(21

)()()

(?π

令0→?x 得到

)()()(x p x

x F x x F →?-?+；

itx

x x it itx e x it e e -?+--→?-)( 所以，

.)(21

)(?

∞

∞

--=

dt e t x p itx

?π

二．多元特征函数 若n 维随机变量T n X X X ),...,(1=的分布函数为),...,,(21n x x x F ，则定义

其特征函数为

?

?

∞

∞

-∞

∞

-∑=

==),...,(...)(11

n x t i

X

it x x dF e

Ee

t n

k k

k T ?

其中，.),...,,(21T n t t t t =也称为是随机向量T n X X X ),...,(1=的联合特

征函数.

Th1. 由随机向量T n X X X

),...,(1=的联合特征函数可求出任意个子

向量的边缘特征函数.例如

).0,...,,(),();0,...,0,()(2121,112

11

t t t t t t X X

X ????==

性质：

;),...,(),...,(;1)0(|),...,(|111n n n t t t t f t t ???=--=≤

0,...,011...1`1

11

1

1|),...,(......==+-

???∑==n n n

n

j j

n t t n n

k k k k k k n

k t t t t i

X EX ? 反演公式

n

n c c n

j j

b it a it

c c c c n n dt dt t t it e e

b X a b X a P j

j j

j n n

n ...),...,(...)2(1

...),...,(111

2

n 1111

1

1lim lim ?π?∏

?-=---∞

→∞

→-=

≤<≤<

Th2. 随机变量X 和Y 相互独立的充要条件为

)()(),(2121,t t t t Y X Y X ???=

三．n 元正态分布

随机向量,),...,(1T n X X =X 定义

,),...,(1T n EX EX EX =

T EX X EX X E X ))(()cov(--=

1. 设),1,0(~,,...,1N iid X X n 则其联合密度为

n

n

n n n R x x x x x x x f ∈?

?????++-=

),...,(,)...(21ex p )2(1),...,(1222212/1πEX=0,cov(X)=I n 密度函数又可写成

}21ex p{)

2(1)(2

/Ix x x f T

n -=π

称之为标准n 元正态分布。

Def 如果A 是n 阶非奇异阵，μ是n 维实向量，而随机变量X 服从n 元标准正态分布，则将随机变量

μ+=AX Y

所服从的分布成为n 元正态分布.

易证：0)cov(,>==T

AA Y EY μ.记

,T AA =∑用记号 ),(~∑μN Y 表示Y 服从参数是∑,μ的正态分布.

TH, n

元正态分布),(∑μN 的概率密度为

)}()(2

1

ex p{|

|)

2(1)(12

/12

/μμπ-∑--∑=

-x x x f T n .

Th. n 元正态分布),(∑μN 的特征函数为

n T

T

R t t t t i t ∈?∑-=},2

1exp{)(μ?

证明：首先，对服从标准多元正态分布的随机向量X,其特征函数为

};

21exp{}21exp{)(}exp{)(121

t t t t X it E t T n j j n

j j X T

i -=-===∑∏==??根据多元正态分布的定义，存在矩阵A ，使得T AA =∑，故所求特征函数为

}.

2

1exp{}

2

1exp{)()

(t t it t AA t e

Ee

e

Ee

t T

T

T T it AX

it it AX it T T T ∑-=-===T +μ?μ

μ

μ

Th. n 元正态分布 ),(∑μN 的任一k 维的边缘分布都是k 元正态分布，其中n k <≤1. 证明：,),...,,(),,(~21T

i i i k n k X X X X N X

=∑μ k

X 的特征

函数可以通过在X 的特征函数中令},...,,{,021k j j i i i t t ??=得到.有令},...,{,0;),...,(11k j X

it n X i i j t Ee

t t T ??==?

.

),...,(,),

()0,...,,...,0,,0(11

T i i X X is i X k k k

T k

i t t s s Ee

t t ===其中??

又根据}2

1exp{)(t t it t T

T

X ∑-=μ?，得到

.

,...,,...,,),...,(},2

1exp{)(11***

*

1列形成的矩阵行和第的第是其中

k k T i i T T

X i i i i s s is s k k ∑∑=∑-=μμμμ?另外，还可以证明多元正态分布的各种形式的条件分布还是正态分布.

Th 设),(~,...,,21∑μn n N X X X ，则它们相互独立的充要条件是它们

两两互不相关.

证明：必要性是显然的.下证充分性.

若n X X X ,...,,21两两互不相关，则,,0),cov(j i X X j i ≠?=即

},...,,{2211nn diag σσσ=∑，所以

∏∏∑=-=-==n

k

k X n

k

kk k k k k k kk k T

n t t t i t t i t t k ).

(}

21

exp{}21exp{),...,(2121?σμσμ?

由多元特征函数的性质可知n X X X ,...,,21相互独立.

Th 对于n 维正态随机向量),(~),(21∑=μN X X X

T T

T

，对∑和μ作相应

的分块

???

? ??∑∑

∑∑=∑???? ??=2221121121，

μμμ 则),,(~),,(~22211111∑∑μμN X N X 且.01221=∑相互独立的充要条件是

和X X

Th 多元正态分布经过任意的线性变换后依然服从多元正态分

布.X C Y N X n m m n ?=∑),,(~μ即若,则

).,(~T mn C C C N Y ∑μ

推论：

.

,I),N(~X Y ,0),,(~.12/-12/-1分量相互独立的即则Y N X μμ∑∑=>∑∑

).,(~),,(~.222I A N AX Y A I N X σμσμ=是正交阵，则

Th ).,(~,),(~1

a a a N X a R a N X T

T T n n ∑∈??∑?μμ