2018年中考数学复习系列之9---三角形等腰三角形
2018年中考数学复习系列之9---三角形及等腰三角形
一．基本知识
1．三角形的内角和是180°，外角是360°．
2．三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．（两边之差＜第三边＜两边之和）
3．等腰三角形的性质：
（1）等腰三角形的两个底角相等（“等边对等角”）．
（2）等腰三角形的顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高重合（“等腰三角形的三线合一”）．
4．等腰三角形的判定：
（1）有两条边相等的三角形是等腰三角形．
（2）有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称：等角对等边）．
5．等边三角形的性质：等边三角形的三条边相等，三个角都是60°．
6．等边三角形的判定：
（1）三条边相等的三角形是等边三角形；
（2）三个角相等的三角形是等边三角形；
（3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
二．基本练习
1．下列长度的三条线段能组成三角形的是 （ ）
A ．1，2，3
B ．1 3
C ．3，4，8
D ．4，5，6 2．在△ABC 中，∠A ：∠B ：∠C=3：4：5，则∠C 等于 （ ） A ．45° B ．60° C ．75° D ．90°
3．等腰三角形一条边的边长为3，它的另两条边的边长是关于x 的一元二次方程2120x x k -+= 的
两个根，则k 的值是________．
4．已知等腰三角形的一个角是30°，则这个等腰三角形底角的度数是 ．
5．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AB=2AC ，点E 在中线CD 上，
BE 平分∠ABC ，那么∠DEB 的度数是 ．
6．如图，在折纸活动中，小明制作了一张△ABC 纸片，点D 、E 分别是边AB 、AC 上的点，将△ABC 沿着DE 折叠压平，A 与A′重合，若∠A=70°，则∠1+∠2=__________．
第6题 第7题 第8题 第9题
7．如图，四边形ABCD 的对角线AC 和BD 相交于点E ，如果△CDE 的面积为3，△BCE 的面积为4，△AED 的面积为6，那么△ABE 的面积为__________．
8．如图，△ABC 是等边三角形，P 是∠ABC 的平分线BD 上一点，PE ⊥AB 于点E ，线段BP 的垂直平分线交BC 于点F ，垂足为点Q ．若BF=2，则PE 的长为__________．
9．如图，△ABD 和△CED 均为等边三角形，AC=BC ，AC ⊥BC ．若CD= ．
10．已知等腰一腰上的高与另一腰的夹角为36°，则该等腰三角形的底角的度数是．
上．
11．如图，在平面直角坐标系xOy中，A（0，2），B（0，6），动点C在直线y x 若以A、B、C三点为顶点的三角形是等腰三角形，则点C的个数是__________．
第11题
12．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，ABC绕点C逆时针旋转60°，得到△MNC，连接BM，则BM的长是．
13．如图，在△ABC中，AB=BC=4，AO=BO，P是射线CO上的一个动点，∠AOC=60°，则当△PAB 为直角三角形时，AP的长为．
第12题第13题
14．如图，在等腰直角△ACB中，∠ACB=90°，O是斜边AB的中点，点D、E分别在直角边AC、BC上，且∠DOE=90°，DE交OC于点P．则下列结论：①图形中全等的三角形只有两对；
②△ABC的面积等于四边形CDOE的面积的2倍；③；④AD2+BE2=2OP•OC．
其中正确的结论有．
15．如图，四边形ABCD中，∠A=90°，AB=AD=3，点M，N分别为线段BC，AB上的动点（点M不与点B重合），点E，F分别为DM，MN的中点，则EF长度的最大值为．
第14题第15题
三．例题讲解
16．如图，在△ABC 中，∠ABC=45°，CD ⊥AB ，BE ⊥AC ，垂足分别为D ，E ，F 为BC 中点，BE
与DF ，DC 分别交于点G ，H ，∠ABE=∠CBE ．
（1）线段BH 与AC 相等吗？若相等给予证明，若不相等请说明理由；
（2）求证：BG 2﹣GE 2=EA 2
17．（拓展）如图，在△ABC 中，∠B ＝90°，AB=3，BC=4．动点P 从点A 出发沿AC 向终点C 运
动，同时动点Q 从点B 出发沿BA 向点A 运动，到达A 点后立刻以原来的速度沿AB 返回．点P ，Q 运动速度均为每秒1个单位长度，当点P 到达点C 时停止运动，点Q 也同时停止．连结PQ ，设运动时间为t （t >0）秒．
（1）伴随着P 、Q 两点的运动，线段PQ 的垂直平分线为l ．
①当l 经过点A 时，求t 的值；
②当l 经过点B 时，求t 的值．
（2）设△APQ 的面积为S ，请求S 关于t 的函数关系式，并写出t 的取值范围．
C B
A
C B A
A
D B
1．如图，在Rt ABC △中，∠B=90° ，ED 是AC 的垂直平分线，交AC 于点D ，交BC 于点E ．已
知∠BAE ＝10°，则∠C
第1题 第2题 第3题
2．在△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=120°，BC=6cm ，AB 的垂直平分线交BC 于M ，交AB 于E ，
AC 的垂直平分线交BC 于N ，交AC 于F ，则MN= cm ．
3．如图，已知△ABC 中，∠ABC=90°，AB=BC ，三角形的顶点在相互平行的三条直线l 1，l 2，l 3上，
且l 1，l 2之间的距离为2，l 2，l 3之间的距离为3，则AC 的长是__________．
4．如图，正六边形ABCDEF 中，AB=2，点P 是ED 的中点，连接AP ，则AP 的长为_____．
5．如图，过边长为1的等边△ABC 的边AB 上一点P ，作PE ⊥AC 于E ，Q 为BC 延长线上一点，当PA=CQ 时，连PQ 交AC 边于D ，则DE 的长为__________．
第4题 第5题 第6题
6．如图，在△ABC 中，AB=AC ，D 、E 是△ABC 内两点，AD 平分∠BAC ，∠EBC=∠E=60°，
若BE=4cm ，DE=3cm ，则BC=
cm ．
7．如图，△ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC ，AD ⊥BC ，垂足是D ，AE 平分∠BAD ，交BC 于点E ，
EH ⊥AB ，垂足是H ．在AB 上取一点M ，使BM=2DE ，连接ME ．求证：ME ⊥BC ．
选做题:8．如图，已知：∠MON=30°，点A 1、A 2、A 3…在射线ON 上，点B 1、
B 2
、
B 3…在射线OM 上，△A 1B 1A 2、△A 2B 2A 3、△A 3B 3A 4…均为等边三角形，若OA 1=1，则△A 6B 6A 7的边长为_____．。
等腰三角形的复习ppt课件
等腰三角形是轴对称图形，有一条对称 轴，即底边的垂直平分线（或底边的中 垂线）。
等腰三角形性质
等腰三角形的两个底角相等 （简写成“等边对等角”）。
等腰三角形的顶角的平分线， 底边上的中线，底边上的高的 重合（简写成“三线合一”）。
等腰三角形是轴对称图形，对 称轴是底边的垂直平分线。
判定方法
在一个三角形中，如果一个角的 平分线与它所对边的高重合，那
么这个三角形是等腰三角形。
在一个三角形中，如果一条边上 的中线等于这条边的一半，那么
这个三角形是等腰三角形。
在一个三角形中，如果两个角的 度数相等，那么这两个角所对的 边也相等，即这个三角形是等腰
三角形。
02
等腰三角形面积与 周长计算
面积计算公式
等腰三角形面积公式
01
$S = frac{1}{2} times 底 times 高$
题目2 已知等腰三角形ABC的周长为16cm，AD是底边 BC上的中线，AD∶AB = 3∶5，且△ABD的周长 为12cm，求△ABC的各边长及AD的长．
题目3 已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为 45°，且腰长为6，则其面积为多少？
THANKS
感谢您的观看
善于利用图形中的隐含条件，如公共边、公共角等。
辅助线构造方法
等腰三角形中的高
连接顶点与底边中点，构 造出高，利用高的性质进 行证明。
中位线
连接两腰中点，构造出中 位线，利用中位线的性质 进行证明。
角平分线
若题目中涉及到角的平分， 可以构造角平分线，利用 角平分线的性质进行证明。
典型例题解析
解析
根据等腰三角形的性质， 我们知道∠B=∠C。又因 为AD是BC边上的高， 所以 ∠ADB=∠ADC=90°。 根据三角形的全等判定， 我们可以证明 △ABD≌△ACD，从而得 出∠BAD=∠CAD。
2018年中考数学考点总动员系列专题27等腰三角形含解析
考点二十七：等腰三角形 聚焦考点☆温习理解一、等腰三角形1、等腰三角形性质〔1〕等腰三角形性质定理及推论：定理：等腰三角形两个底角相等〔简称：等边对等角〕推论1：等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边。
即等腰三角形顶角平分线、底边上中线、底边上高重合。
推论2：等边三角形各个角都相等，并且每个角都等于60°。
〔2〕等腰三角形其他性质：①等腰直角三角形两个底角相等且等于45°②等腰三角形底角只能为锐角，不能为钝角〔或直角〕，但顶角可为钝角〔或直角〕。
③等腰三角形三边关系：设腰长为a ，底边长为b ，那么2b <a④等腰三角形三角关系：设顶角为顶角为∠A ，底角为∠B 、∠C ，那么∠A=180°—2∠B ，∠B=∠C=2、等腰三角形判定等腰三角形判定定理及推论：定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对边也相等〔简称：等角对等边〕。
这个判定定理常用于证明同一个三角形中边相等。
推论1：三个角都相等三角形是等边三角形推论2：有一个角是60°等腰三角形是等边三角形。
推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对直角边等于斜边一半。
三条边都相等三角形是等边三角形.2.性质：等边三角形各角都相等，并且每一个角都等于60°三个角都相等三角形是等边三角形；有一个角等于60°等腰三角形是等边三角形.垂直一条线段，并且平分这条线段直线叫作这条线段垂直平分线.线段垂直平分线上一点到这条线段两端距离相等到一条线段两端点距离相等点，在这条线段垂直平分线上.名师点睛☆典例分类考点典例一、等腰三角形性质【例1】〔2021黑龙江齐齐哈尔第17题〕经过三边都不相等三角形一个顶点线段把三角形分成两个小三角形，如果其中一个是等腰三角形，另外一个三角形和原三角形相似，那么把这条线段定义为原三角形“和谐分割线〞．如图，线段CD是ABC∆“和谐分割线〞，ACD∠=︒，那么ACBA∠度数∆和ABC∆相似，46∆为等腰三角形，CBD为．【答案】113°或92°．【解析】考点：1.相似三角形性质；2.等腰三角形性质．【点睛】此题考察是等腰三角形性质和相似三角形性质，熟知等腰三角形两底角相等是解答此题关键．【举一反三】〔2021浙江台州〕如图，等腰三角形ABC，AB=AC．假设以点B为圆心，BC长为半径画弧，交腰AC于点E，那么以下结论一定正确是〔〕A. AE=ECB. AE=BEC. ∠EBC=∠BACD. ∠EBC=∠ABE【答案】C【解析】试题分析：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∵以点B为圆心，BC长为半径画弧，交腰AC于点E，∴BE=BC，∴∠ACB=∠BEC，∴∠BEC=∠ABC=∠ACB，∴∠A=∠EBC，应选C．考点：等腰三角形性质．考点典例二、等腰三角形多解问题【例2】〔2021黑龙江绥化第20题〕在等腰ABC∆中，AD BC⊥交直线BC于点D，假设，那么ABC∆顶角度数为．【答案】30°或150°或90°．【解析】试题分析：①BC为腰，∵AD⊥BC于点D，AD=12BC，∴∠ACD=30°，如图1，AD在△ABC内部时，顶角∠C=30°，如图2，AD在△ABC外部时，顶角∠ACB=180°﹣30°=150°，②BC为底，如图3，∵AD⊥BC于点D，AD=12BC，∴AD=BD=CD，∴∠B=∠BAD，∠C=∠CAD，∴∠BAD+∠CAD=12×180°=90°，∴顶角∠BAC=90°，综上所述，等腰三角形ABC顶角度数为30°或150°或90°．考点：1.含30度角直角三角形；2.等腰三角形性质．【点睛】题考察了等腰三角形性质；对于底和腰不等等腰三角形，假设条件中没有明确哪边是底哪边是腰时，应在符合三角形三边关系前提下分类讨论．【举一反三】〔湖南省衡阳市船山实验中学2021-2021学年八年级上期末模拟〕等腰三角形一个内角为70°，它一腰上高与底边所夹角度数是〔〕A. 35°B. 20°C. 35°或20°D. 无法确定【答案】C【解析】70°是顶角，它一腰上高与底边所夹角度数是35°， 70°是底角，顶角是40°，它一腰上高与底边所夹角度数是20°.应选C.考点典例三、等边三角形性质与判定【例3】〔2021河池第12题〕等边ABCDE⊥于∆边长为12，D是AB上动点，过D作AC点E，过E作BCFG⊥于点G.当G与D重合时，AD长是〔〕EF⊥于点F，过F作ABA．3 B．4 C. 8 D．9【答案】B.【解析】试题分析：设AD=x，根据等边三角形性质得到∠A=∠B=∠C=60°，由垂直定义得到∠ADF=∠DEB=∠EFC=90°，解直角三角形即可得到结论．考点：等边三角形性质；含30度角直角三角形.【点睛】此题主要考察了等边三角形判定和性质，解题关键是利用性质和判定解决．【举一反三】〔重庆市江津区2021-2021学年八年级上学期第二次六校联考〕如下图，△ABC为等边三角形，P为BC上一点，Q为AC上一点，AQ=PQ，PR=PS，PR⊥AB于R，PS⊥AC于S，•那么对下面四个结论判断正确是〔〕①点P在∠BAC平分线上，②AS=AR，③QP∥AR，④△BRP≌△QSP.A. 全部正确;B. 仅①和②正确;C. 仅②③正确;D. 仅①和③正确【答案】A【解析】试题解析：∵PR⊥AB于R，PS⊥AC于S.∴∠ARP=∠ASP=90°.∵PR=PS，AP=AP.∴Rt△ARP≌Rt△ASP.∴AR=AS，故〔2〕正确，∠BAP=∠CAP.∴AP是等边三角形顶角平分线，故〔1〕正确.∴AP是BC边上高和中线，即点P是BC中点.∵AQ=PQ.∴点Q是AC中点.∴PQ是边AB对中位线.∴PQ∥AB，故〔3〕正确.∵∠B=∠C=60°，∠BRP=∠CSP=90°，BP=CP.∴△BRP≌△QSP，故〔4〕正确.∴全部正确．.应选A．考点典例四、线段垂直平分线性质运用【例3】〔山东省昌乐县第三中学2021-2021学年八年级上期末模拟〕如图，△ABC中，AB=AC，AB垂直平分线交AC于D，△ABC和△DBC周长分别是60cm和38cm，那么△ABC 腰和底边长分别为〔〕A. 24cm和12cmB. 16cm和22cmC. 20cm和16cmD. 22cm和16cm【答案】D考点：线段垂直平分线性质.【点睛】此题考察了线段垂直平分线性质，熟记性质是解题关键．【举一反三】〔广西钦州市钦北区2021-2021学年第二学期期末〕如图，在△ABC中，∠ACB=90°，分别以点A和点B为圆心，以一样长〔大于AB〕为半径作弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN交AB于点D，交BC于点E．假设AC=3，AB=5，那么DE等于〔〕A. 2B.C.D.【答案】C【解析】根据勾股定理求出BC，根据线段垂直平分线性质求出AE=BE，根据勾股定理求出AE，再根据勾股定理求出DE即可.解：在RtABC中，由勾股定理得：BC==4,连接AE，从作法可知：DE是AB垂直评分线，根据性质AE=BE，在Rt△ACE中，由勾股定理得：AC+CE=AE，即3+〔4-AE〕=AE，解得：AE=，在Rt△ADE中，AD=AB=，由勾股定理得：DE+()=()，解得：DE=.应选C.课时作业☆能力提升一、选择题1.〔2021海南第13题〕△ABC三边长分别为4、4、6，在△ABC所在平面内画一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中一个是等腰三角形，那么这样直线最多可画〔〕条．A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B.考点：等腰三角形性质.2. 〔2021黑龙江大庆〕如图，△ABD 是以BD 为斜边等腰直角三角形，△BCD 中，∠DBC =90°，∠BCD =60°，DC 中点为E ，AD 与BE 延长线交于点F ，那么∠AFB 度数为〔 〕A. 30°B. 15°C. 45°D. 25°【答案】B【解析】解：∵∠DBC =90°，E 为DC 中点，∴BE =CE =CD ，∵∠BCD =60°，∴∠CBE =60°，∴∠DBF =30°，∵△ABD 是等腰直角三角形，∴∠ABD =45°，∴∠ABF =75°，∴∠AFB =180°﹣90°﹣75°=15°，应选B ．3. 〔2021湖北武汉第10题〕如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=，以ABC ∆一边为边画等腰三角形，使得它第三个顶点在ABC ∆其他边上，那么可以画出不同等腰三角形个数最多为〔 〕A．4 B．5 C． 6 D．7【答案】C【解析】试题解析：①以B为圆心，BC长为半径画弧，交AB于点D，△BCD就是等腰三角形；②以A为圆心，AC长为半径画弧，交AB于点E，△ACE就是等腰三角形；③以C为圆心，BC长为半径画弧，交AC于点F，△BCF就是等腰三角形；④作AC垂直平分线交AB于点H，△ACH就是等腰三角形；⑤作AB垂直平分线交AC于G，那么△AGB是等腰三角形；⑥作BC垂直平分线交AB于I，那么△BCI是等腰三角形．应选C.考点：画等腰三角形.4. 〔河北省故城县运河中学2021-2021学年八年级〔上〕期末〕等边三角形边长为2，那么该三角形面积为〔〕A. B. C. D. 3【答案】C【解析】如图，作CD⊥AB，那么CD是等边△ABC底边AB上高，根据等腰三角形三线合一，可得AD=1，所以，在直角△ADC中，利用勾股定理，可求出CD==，代入面积计算公式，解答出S=×2×=；△ABC应选：C．5.〔2021-2021学年苏州市工业园区金鸡湖学校期末复习〕如图，在中，于点，于点，为边中点，连接、，那么以下结论:①;②为等边三角形.下面判断正确是( )A. ①正确B. ②正确C. ①②都正确D. ①②都不正确【答案】C【解析】试题解析：①∵BM⊥AC于点M，CN⊥AB于点N，P为BC边中点，∴PM=BC，PN=BC，∴PM=PN，正确；②∵∠A=60°，BM⊥AC于点M，CN⊥AB于点N，∴∠ABM=∠ACN=30°，在△ABC中，∠BCN+∠CBM═180°-60°-30°×2=60°，∵点P是BC中点，BM⊥AC，CN⊥AB，∴PM=PN=PB=PC，∴∠BPN=2∠BCN，∠CPM=2∠CBM，∴∠BPN+∠CPM=2〔∠BCN+∠CBM〕=2×60°=120°，∴∠MPN=60°，∴△PMN是等边三角形，正确；所以①②都正确．应选C．6．在平面直角坐标系中，点A〔2，2〕，B〔32，32〕，动点C在x轴上，假设以A、B、C三点为顶点三角形是等腰三角形，那么点C个数为〔〕A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B．【解析】考点：1．等腰三角形判定；2．坐标与图形性质；3．分类讨论；4．综合题；5．压轴题．7.〔浙江省上杭县西南片区2021-2021学年八年级上册期末模拟〕如图，在△ABC中，∠B=∠C，AD为△ABC中线，那么以下结论错误是〔〕A. △ABD≌△ACDB. AD为△ABC高线C. AD为△ABC角平分线D. △ABC 是等边三角形【答案】D【解析】试题解析：∵∠B=∠C，∴AB=AC，∵AD是△ABC中线，∴AD⊥BC，∠BAD=∠CAD，即AD是△ABC高，AD为△ABC角平分线，∴∠ADB=∠ADC=90°，在△ABD和△ACD中∴△ABD≌△ACD，即选项A、B、C都正确，根据只能推出AC=AB，不能推出AC、AB和BC关系，即不能得出△ABC是等边三角形，选项D错误，应选D．二、填空题8. 〔广东省广州市黄埔区中考数学一模〕如图，△ABC和△AED均为等边三角形，点D在BC边上，DE与AB相交于点F，如果AC=12，CD=4，那么BF长度为__．【答案】【解析】试题分析：△ABC和△AED均为等边三角形，∴ , , ,∴，∴~∆ACD,又,∴,∴,∴,∴,∴ 即，所以BF=故答案为9.〔山西省汾西县双语学校2021-2021学年八年级上期末模拟〕：点P、Q是△ABC边BC上两个点，且BP=PQ=QC=AP=AQ，∠BAC度数是〔〕A. 100°B. 120°C. 130°D. 150°【答案】B10. 〔浙江省宁波市东方中学2021-2021学年八年级上册期末模拟〕等腰△ABC，其中AB=AC=17cm，BC=16cm，那么三角形面积为________cm2．【答案】120【解析】利用等腰三角形顶角平分线、底边上中线、底边上高重合性质，勾股定理求出=BC•AD=×16×三角形高AD==15cm，再利用三角形面积公式求S△ABC15=120cm2．故答案为：120.11. 〔浙江省宁波市李兴贵中学2021-2021学年八年级上册期末模拟〕等腰三角形一腰上高与另一腰夹角为40°，那么等腰三角形顶角度数是 _______【答案】50或130【解析】首先根据题意画出图形，一种情况等腰三角形为锐角三角形，①如图1，∵BD⊥AC，∠ABD=40°，∴∠A=50°，即顶角度数为50°．另一种情况等腰三角形为钝角三角形，②如图2，∵BD⊥AC，∠DBA=40°，∴∠BAD=50°，∴∠BAC=130°．故答案为：50或130．12.〔江苏省靖江市2021-2021学年八年级上学期期中〕一个等腰三角形两边长分别为3和6，那么该等腰三角形周长是______．【答案】15．【解析】试题解析：此题可分为两种情况来讨论.第一种，当腰长为3时，等腰三角形三边长为3、3、6，由于，所以不能构成三角形.第二种，当腰长为6时，等腰三角形三边长为6、6、3，由于.故此题正确答案应为15.13. 〔2021新疆建立兵团第15题〕如图，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，对角线AC，BD相交于点O，以下结论中：①∠ABC=∠ADC；②AC与BD相互平分；③AC，BD分别平分四边形ABCD两组对角；④四边形ABCD面积S=12 AC•BD．正确是〔填写所有正确结论序号〕【答案】①④【解析】试题解析：①在△ABC和△ADC中，∵，∴△ABC≌△ADC〔SSS〕，∴∠ABC=∠ADC，故①结论正确；②∵△ABC≌△ADC，∴∠BAC=∠DAC，∵AB=AD，∴OB=OD，AC⊥BD，而AB与BC不一定相等，所以AO与OC不一定相等，故②结论不正确；③由②可知：AC平分四边形ABCD∠BAD、∠BCD，而AB与BC不一定相等，所以BD不一定平分四边形ABCD对角；故③结论不正确；④∵AC⊥BD，∴四边形ABCD面积S=S△ABD +S△BCD=12BD•AO+12BD•CO=12BD•〔AO+CO〕=12AC•BD．故④结论正确；所以正确有：①④考点：全等三角形判定与性质；线段垂直平分线性质．14. 〔2021湖北武汉第15题〕如图△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，∠DAE=60°，BD=5，CE=8，那么DE长为．【答案】7.【解析】试题解析：∵AB=AC，∴可把△AEC绕点A顺时针旋转120°得到△AE′B，如图，∴BE′=EC=8，AE′=AE，∠E′AB=∠EAC，∵∠BAC=120°，∠DAE=60°，∴∠BAD+∠EAC=60°，∴∠E′AD=∠E′AB+∠BAD=60°，在△E′AD和△EAD中∴△E′AD≌△EAD〔SAS〕，∴E′D=ED，过E′作EF⊥BD于点F，∵AB=AC，∠BAC=120°，∴∠ABC=∠C=∠E′BA=30°，∴∠E′BF=60°，∴∠BE′F=30°，∴BF=12BE′=4，E′F=43∵BD=5，∴FD=BD-BF=1，在Rt△E′FD中，由勾股定理可得E′D=22（43）+1=7，∴DE=7．考点：1.含30度角直角三角形；2.等腰三角形性质．15. 〔2021广西贵港第16题〕如图，点P 在等边ABC ∆内部，且6,8,10PC PA PB ===，将线段PC 绕点C 顺时针旋转60得到'P C ，连接'AP ，那么sin 'PAP ∠值为 ．【答案】35【解析】试题解析：连接PP′，如图，∵线段PC 绕点C 顺时针旋转60°得到P'C ， ∴CP=CP′=6，∠PCP′=60°，∴△CPP′为等边三角形，∴PP′=PC=6，∵△ABC 为等边三角形，∴CB=CA ，∠ACB=60°，∴∠PCB=∠P′CA，在△PCB 和△P′CA 中∴△PCB ≌△P′CA，∴PB=P′A=10，∵62+82=102，∴PP′2+AP 2=P′A 2，∴△APP′为直角三角形，∠APP′=90°， ∴sin ∠PAP′=．考点：旋转性质；等边三角形性质；解直角三角形．16.〔2021黑龙江齐齐哈尔第19题〕如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形12OA A 直角边1OA 在y 轴正半轴上，且1121OA A A ==，以2OA 为直角边作第二个等腰直角三角形23OA A ，以3OA 为直角边作第三个等腰直角三角形20172018OA A ，那么点2017A 坐标为 ．【答案】〔0，〔2〕2021〕或〔0，21008〕． 【解析】考点：规律型：点坐标．三、解答题17. 〔重庆市江津区2021-2021学年八年级上学期第二次六校联考〕如图，在△ABC中，AB=AC，D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC．〔1〕试问△ADE是否是等腰三角形，并说明理由.〔2〕假设M为DE上点，且BM平分，CM平分，假设周长为20，BC=8.求周长.【答案】(1) 是等腰三角形，理由详见解析；(2)28.【解析】试题分析：〔1〕由DE∥BC，可知△ADE∽△ABC，根据相似三角形性质即可求得结论；.〔2〕由于DE∥BC，BM平分∠ABC，CM平分∠ACB，易证BD=DM，ME=CE，根据△ADE周长为20，BC=8，即可求出△ABC周长．试题解析：〔1〕∵DE∥BC，.∴△ADE∽△ABC．.∴．.∵AB=AC，.∴AD=AE．.∴△ADE是等腰三角形．.18. 〔2021江苏无锡第24题〕如图，等边△ABC，请用直尺〔不带刻度〕和圆规，按以下要求作图〔不要求写作法，但要保存作图痕迹〕：〔1〕作△ABC外心O；〔2〕设D是AB边上一点，在图中作出一个正六边形DEFGHI，使点F，点H分别在边BC和AC上．【答案】〔1〕作图见解析；〔2〕作图见解析.【解析】试题分析：〔1〕根据垂直平分线作法作出AB，AC垂直平分线交于点O即为所求；〔2〕过D点作DI∥BC交AC于I，分别以D，I为圆心，DI长为半径作圆弧交AB于E，交AC于H，过E点作EF∥AC交BC于F，过H点作HG∥AB交BC于G，六边形DEFGHI 即为所求正六边形．试题解析：〔1〕如下图：点O即为所求．〔2〕如下图：六边形DEFGHI即为所求正六边形．考点：1.作图—复杂作图；2.等边三角形性质；3.三角形外接圆与外心．19.〔2021内蒙古呼和浩特第18题〕如图，等腰三角形ABC中，BD，CE分别是两腰上中线．〔1〕求证：BD CE=；〔2〕设BD与CE相交于点O，点M，N分别为线段BO和CO中点．当ABC∆重心到顶点A距离与底边长相等时，判断四边形DEMN形状，无需说明理由．【答案〔1〕证明见解析；〔2〕四边形DEMN是正方形.【解析】试题分析：〔1〕根据条件得到AD=AE，根据全等三角形性质即可得到结论；〔2〕根据三角形中位线性质得到ED∥BC，ED=12BC，MN∥BC，MN=12BC，等量代换得到ED∥MN，ED=MN，推出四边形EDNM是平行四边形，由〔1〕知BD=CE，求得DM=EN，得到四边形EDNM是矩形，根据全等三角形性质得到OB=OC，由三角形重心性质得到O到BC距离=12BC，根据直角三角形判定得到BD⊥CE，于是得到结论．试题解析：〔1〕由题意得，AB=AC，∵BD，CE分别是两腰上中线，∴AD=12AC，AE=12AB，∴AD=AE，在△ABD和△ACE中，∴△ABD≌△ACE〔ASA〕．∴BD=CE；〔2〕四边形DEMN是正方形，理由：∵E、D分别是AB、AC中点，∴AE=12AB，AD=12AC，ED是△ABC中位线，∴ED∥BC，ED=12 BC，∵点M、N分别为线段BO和CO中点，∴OM=BM，ON=CN，MN是△OBC中位线，∴MN∥BC，MN=12BC，∴ED∥MN，ED=MN，∴四边形EDNM是平行四边形，由〔1〕知BD=CE，又∵OE=ON，OD=OM，OM=BM，ON=CN，∴DM=EN，∴四边形EDNM是矩形，在△BDC与△CEB中，，∴△BDC≌△CEB，∴∠BCE=∠CBD，∴OB=OC，∵△ABC 重心到顶点A 距离与底边长相等，∴O 到BC 距离=12BC ，∴BD ⊥CE ， ∴四边形DEMN 是正方形．考点：1.全等三角形判定与性质；2.三角形重心；3.等腰三角形性质．20. 〔2021哈尔滨第24题〕：ACB △和DCE △都是等腰直角三角形，90ACB DCE ∠∠°，连接AE ，BD 交于点O ，AE 与DC 交于点M ，BD 与AC 交于点N . (1)如图1，求证：AE BD ；(2)如图2，假设AC DC ，在不添加任何辅助线情况下，请直接写出图2中四对全等直角三角形.【答案】〔1〕证明见解析；〔2〕△ACB ≌△DCE 〔SAS 〕，△EMC ≌△BCN 〔ASA 〕，△AON ≌△DOM 〔AAS 〕，△AOB ≌△DOE 〔HL 〕 【解析】试题分析：〔1〕根据全等三角形判定〔SAS 〕证明△ACE ≌△BCD ，从而可知AE=BD ； 〔2〕根据条件判断出图中全等直角三角形即可；〔2〕∵AC=DC，∴AC=CD=EC=CB，△ACB≌△DCE〔SAS〕；由〔1〕可知：∠AEC=∠BDC，∠EAC=∠DBC，∴∠DOM=90°，∵∠AEC=∠CAE=∠CBD，∴△EMC≌△BCN〔ASA〕，∴CM=CN，∴DM=AN，△AON≌△DOM〔AAS〕，∵DE=AB，AO=DO，∴△AOB≌△DOE〔HL〕考点：1.全等三角形判定与性质；2.等腰直角三角形．。
2018年中考数学总复习第四章基本图形(一)第19讲特殊三角形第1课时等腰三角形讲解篇
第19讲特殊三角形第1课时等腰三角形1．等腰三角形考试内容考试要求概念有两条边的三角形是等腰三角形．a性质1.等腰三角形是轴对称图形，一般有条对称轴．2．性质1：等腰三角形的两底角(简写成“等边对”)．3．性质2:等腰三角形的顶角平分线、底边上的、底边上的相互重合（简写成“三线合一”)．c判定1.有两边相等的三角形是等腰三角形；2．有两角相等(简写成“等角对”）的三角形是等腰三角形．2。
等边三角形考试内容考试要求概念有条边相等的三角形叫做等边三角形．a性质1.具有一般等腰三角形的所有性质；2．等边三角形的三个角都相等，并且每个角都于；3．等边三角形是轴对称图形，共有条对称轴．c判定1.三条边相等的三角形是等边三角形；2．三个角都的三角形是等边三角形；3．有一个角是的等腰三角形是等边三角形．拓展S等边△ABC＝错误!ah＝错误!a2,h＝错误!a，其中a为边长，h为高．考试内容考试要求基本方法求等腰三角形腰上的高，在所给条件不确定的条件下，应按顶角为锐角和钝角两种情况来考虑：(1）当顶角为锐角时，腰上的高在三角形内部；(2)当顶角为钝角时，腰上的高在三角形外部．c1．（2017·台州）如图，已知等腰三角形ABC，AB＝AC，若以点B为圆心，BC长为半径画弧,交腰AC于点E,则下列结论一定正确的是（）A．AE＝EC B．AE＝BE C．∠EBC＝∠BAC D．∠EBC＝∠ABE2．(2017·丽水)等腰三角形的一个内角为100°,则顶角的度数是____________________．3．（2015·义乌）由于木质衣架没有柔性，在挂置衣服的时候不太方便操作．小敏设计了一种衣架，在使用时能轻易收拢，然后套进衣服后松开即可．如图1，衣架杆OA＝OB＝18cm，若衣架收拢时，∠AOB＝60°,如图2,则此时A,B两点之间的距离是____________________cm。
中考数学总复习《等腰三角形》考点梳理及典例讲解课件
相等
三条
2.判定 （1）三条边都相等的三角形是等边三角形； （2）________都相等的三角形是等边三角形； （3）有一个角为_____的等腰三角形是等边三角形. 3.面积计算公式：，其中是等边三角形任意一边的长，是该边上的高，且．
三个角
体验3 [2023·武威改编] 如图，是等边的边上的高，以点为圆心，长为半径作弧交的延长线于点，以下结论中不正确的是( )
B
A. B. C. D.
（2） 在中，已知，，分别是，，所对的边，则下列条件中，不能使是等腰三角形的是( )
B
A.，， B.C. ， D.
示），它的顶角为 ，腰长为，则底边上的高是( )
考点三 等边三角形的性质与判定
1.性质 （1）等边三角形的三个内角相等，且都等于_____； （2）等边三角形的三条边都______； （3）等边三角形是轴对称图形，有______对称轴； （4）等边三角形每条边上都满足“三线 合一”性质.
第一部分 基础梳理
第四章 三角形
19 等腰三角形
考点
考查内容要求
考查热度
等腰三角形的有关概念及分类
理解等腰三角形的有关概念及分类
等腰三角形的判定与性质
探索并证明等腰三角形的性质定理，探索并掌握等腰三角形的判定定理
____
等边三角形的判定与性质
理解等边三角形的概念，探索等边三角形的判定定理和性质定理
（1） [2023·上饶模拟] 如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点.在矩形中，已知，，为的中点，为边上一点.若是以为腰的等腰三角形，则所有满足条件的点的坐标为_____________________.
（3） 已知，则________．
（1） 写出图中两个等腰三角形；
中考数学专题复习第18讲等腰三角形和直角三角形考点知识精讲
(2)C 当40°为底角时，顶角为100°；40°也可以为顶角．故选C.
中考数学专题复习第18讲 等腰三角形与直角三角形
(3)C 由勾股定理的逆定理可判定 A、B、D 三项均能构成直角三角
形．∵( 3)2＋22≠( 5)2，故选 C.
(4)D 因为 tan∠AEC＝AECC，由△ABC∽△EDC 可得AECC＝BCCD，故①正
中考数学专题复习第18讲 等腰三角形与直角三角形
考点四 直角三角形的性质、判定 1．性质 (1)直角三角形的两个锐角 互余 ； (2)勾股定理：a2＋b2＝c2(在Rt△ABC中，∠C＝90°)； (3)在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边 等于斜边的 一半； (4)在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直 角边所对的锐角为 30° ； (5)直角三角形 斜边 上的中线等于斜边的一半．
在一条直线上，点 M 是 AE 的中点，下列结论：①tan∠AEC＝CD；②S△ABC
＋S△CDE≥S△ACE；③BM⊥DM；④BM＝DM.正确结论的个数是( )
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【点拨】本组题主要考查等腰三角形,直角三角形的有关性质和判定.
【解答】(1)D ∵3＋3＝6，∴等腰三角形的底边长和腰长分别为3 cm和6 cm，∴它的周长是6×2＋3＝15(cm)．
中考数学专题复习第18讲 等腰三角形与直角三角形
2011·芜湖 如图，在梯形ABCD中，DC∥AB， AD＝BC，BD平分∠ABC，∠A＝60°，过点D作DE⊥AB， 过点C作CF⊥BD，垂足分别为E，F，连接EF，求证：△DEF为等边三角 形． 【点拨】先证F为BD的中点，从而得到DF＝EF＝BF.再由∠BDE＝60°， 可得△DEF为等边三角形． 【解答】∵CD∥AB，AD＝BC，∠A＝60°， ∴∠ABC＝∠A＝60°. 又∵BD 平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠CBD＝12∠ABC＝30°.
初中数学课件等腰三角形的性质(几何)ppt课件
利用三角函数
通过已知角度和边长，利用三角函 数求出高或底，再代入公式计算面 积。
利用向量
在平面直角坐标系中，可以利用向 量表示三角形的顶点，通过向量的 运算求出三角形的面积。
案例分析：不同类型题目解法
01
02
03
04
已知等腰三角形的底和高，直 接代入公式求解。
已知等腰三角形三边长度，利 用海伦公式求解。
勾股定理在等腰三角形中的推广
对于非直角的等腰三角形，可以通过作高将其分为两个直角三角形，再利用勾股定理求解 相关问题。
相似三角形与等腰三角形关系探讨
相似三角形定义
两个三角形如果它们的对应角相等，则称这两个三角形相 似。
等腰三角形的相似性质
对于两个等腰三角形，如果它们的顶角相等，则这两个三 角形相似。此外，如果两个等腰三角形的底边和腰成比例 ，则这两个三角形也相似。
实际应用：测量、作图等问题
01
测量
在实际生活中，等腰三角形的性质可以应用于测量问题。例如，在无法
直接测量某一边长时，可以通过测量等腰三角形的底角和腰长来间接计
算。
02
作图
在几何作图中，等腰三角形的性质也有广泛应用。例如，可以通过作等
腰三角形的高来平分底边，或者通过作等腰三角形的角平分线来得到对
称的图形。
初中数学课件等腰三角形的性质(几 何)ppt课件
目录
• 等腰三角形基本概念与性质 • 等腰三角形判定方法 • 等腰三角形面积计算 • 等腰三角形在生活中的应用 • 等腰三角形相关定理和推论 • 练习题与课堂互动环节
01
等腰三角形基本概念与性质
等腰三角形定义及特点
定义
有两边相等的三角形叫做等腰三 角形。
2018年中考数学专题复习第十八讲：等腰三角形与直角三角形(学生版) 精品
2018年中考数学专题复习第十八讲等腰三角形与直角三角形【基础知识回顾】一、等腰三角形1、定义：有两边的三角形叫做等腰三角形，其中的三角形叫做等边三角形2、等腰三角形的性质：⑴等腰三角形的两腰等腰三角形的两个底角简称为⑵等腰三角形的顶角平分线、互相重合，简称为⑶等腰三角形是轴对称图形，它有条对称轴，是3、等腰三角形的判定：⑴定义法：有两边相等的三角形是等腰三角形⑵有两相等的三角形是等腰三角形，简称【名师提醒：1、等腰三角形的性质还有：等腰三角形两腰上的相等，两腰上的相等，两底角的平分线也相等2、同为等腰三角形腰和底角的特殊性，所以在题目中往常出现对边和角的讨论问题，讨论边时应注意保证讨论角时应主要底角只被围角】4、等边三角形的性质：⑴等边三角形的每个内角都都等于⑵等边三角形也是对称图形，它有条对称轴1、等边三角形的判定：⑴有三个角相等的三角形是等边三角形⑵有一个角是度的三角形是等边三角形【名师提醒：1、等边三角形具备等腰三角形的所有性质2、有一个角是直角的等腰三角形是三角形】二、线段的垂直平分线和角的平分线1、线段垂直平分线定义：一条线段且这条线段的直线叫做线段的垂直平分线2、性质：线段垂直平分线上的点到得距离相等3、判定：到一条线段两端点距离相等的点在角的平分线：1、性质：角平分线上的点到得距离相等2、判定：到角两边距离相等的【名师提醒：1、线段的垂直平分可以看作是的点的集合，角平分线可以看作是的点的2、要移用作一条已知线段的垂直平分线和已知角的角平分线】三、直角三角形：1、勾股定理和它的逆定理：勾股定理：若一个直角三角形的两直角边为a、b斜边为c则a、b、c满足逆定理：若一个三角形的三边a、b、c满足则这个三角形是直角三角形【名师提醒：1、勾股定理在几何证明和计算中应用非常广泛，要注意和二次根式的结合2、勾股定理的逆定理是判断一个三角形是直角三角形或证明线段垂直的主要依据，3、勾股数，列举常见的勾股数三组、、】2、直角三角形的性质：除勾股定理外，直角三角形还有如下性质：⑴直角三角形两锐角⑵直角三角形斜边的中线等于⑶在直角三角形中如果有一个锐角是300，那么它就对边是边的一半3、直角三角形的判定：除勾股定理的逆定理外，直角三角形还有如下判定方法：定义法：⑴有一个角是的三角形是直角三角形⑵有两个角是的三角形是直角三角形⑶如果一个三角形一边上的中线等于这边的这个三角形是直角三角形【名师提醒：直角三角形的有关性质在边形，中均有广泛应用，要注意这几条性质的熟练掌握和灵活运用】【重点考点例析】考点一：等腰三角形性质的运用例 1 （2018•襄阳）在等腰△ABC中，∠A=30°，AB=8，则AB边上的高CD的长是．对应训练A．45°B．75°C．45°或75°D．60°考点二：线段垂直平分线例2 （2018•毕节地区）如图．在Rt△ABC中，∠A=30°，DE垂直平分斜边AC，交AB 于D，E是垂足，连接CD，若BD=1，则AC的长是（）A．B．2 C．D．4思路分析：求出∠ACB，根据线段垂直平分线求出AD=CD，求出∠ACD、∠DCB，求出对应训练2．（2018•贵阳）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB的垂直平分线DE交于BC的延长线于F，若∠F=30°，DE=1，则EF的长是（）A．3 B．2 C．D．1考点三：等边三角形的判定与性质例3 （2018•遵义）如图，△ABC是边长为6的等边三角形，P是AC边上一动点，由A 向C运动（与A、C不重合），Q是CB延长线上一点，与点P同时以相同的速度由B向CB延长线方向运动（Q不与B重合），过P作PE⊥AB于E，连接PQ交AB于D．（1）当∠BQD=30°时，求AP的长；（2）当运动过程中线段ED的长是否发生变化？如果不变，求出线段ED的长；如果变化请说明理由．对应训练3．（2018•湘潭）如图，△ABC是边长为3的等边三角形，将△ABC沿直线BC向右平移，使B点与C点重合，得到△DCE，连接BD，交AC于F．（1）猜想AC与BD的位置关系，并证明你的结论；（2）求线段BD的长．考点四：角的平分线例4 （2018•梅州）如图，∠AOE=∠BOE=15°，EF∥OB，EC⊥OB，若EC=1，则EF= ．对应训练4．（2018•常德）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，DC=2，则D 到AB边的距离是．考点五：勾股定理【备考真题过关】一、选择题1．（2018•肇庆）等腰三角形两边长分别为4和8，则这个等腰三角形的周长为（）A．20或16 B．20C．16 D．以上答案均不对3．（2018•江西）等腰三角形的顶角为80°，则它的底角是（）A．20°B．50°C．60°D．80°4．（2018•三明）如图，在平面直角坐标系中，点A在第一象限，点P在x轴上，若以P，O，A为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点P共有（）A．2个B．3个C．4个D．5个5．（2018•本溪）如图在直角△ABC中，∠BAC=90°，AB=8，AC=6，DE是AB边的垂直平分线，垂足为D，交边BC于点E，连接AE，则△ACE的周长为（）A．16 B．15 C．14 D．136．（2018•荆门）如图，△ABC是等边三角形，P是∠ABC的平分线BD上一点，PE⊥AB 于点E，线段BP的垂直平分线交BC于点F，垂足为点Q．若BF=2，则PE的长为（）A．2 B．C．D．37．（2018•黔东南州）如图，矩形ABCD中，AB=3，AD=1，AB在数轴上，若以点A为圆心，对角线AC的长为半径作弧交数轴的正半轴于M，则点M的坐标为（）A．（2，0） B1，0）C1，0）D0）1．（2018•铜仁地区）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于M，交AC于N，若BM+CN=9，则线段MN的长为（）2．（2018•佳木斯）如图，△ABC中，AB=AC=10，BC=8，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，则△CDE的周长为（）二、填空题8．（2018•随州）等腰三角形的周长为16，其一边长为6，则另两边为．9．（2018•泉州）如图，在△ABC中，AB=AC，BC=6，AD⊥BC于D，则BD= ．10．（2018•钦州）已知等腰三角形的顶角为80°，那么它的一个底角为．11．（2018•黑龙江）等腰三角形一腰长为5，一边上的高为4，则底边长．12．（2018•贵阳）如图，在△ABA1中，∠B=20°，AB=A1B，在A1B上取一点C，延长AA1到A2，使得A1A2=A1C；在A2C上取一点D，延长A1A2到A3，使得A2A3=A2D；…，按此做法进行下去，∠A n的度数．13．（2018•海南）如图，在△ABC中，∠B与∠C的平分线交于点O，过点O作DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E．若AB=5，AC=4，则△ADE的周长是．14．（2018•黄冈）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，AB的垂直平分线交AC于点E，垂足为点D，连接BE，则∠EBC的度数为．15．（2018•黔东南州）用6根相同长度的木棒在空间中最多可搭成个正三角形．4．（2018•鸡西）Rt△ABC中，∠A=90°，BC=4，有一个内角为60°，点P是直线AB上不同于A、B的一点，且∠ACP=30°，则PB的长为4或或．5．（2018•无锡）如图，△ABC中，∠ACB=90°，AB=8cm，D是AB的中点．现将△BCD 沿BA方向平移1cm，得到△EFG，FG交AC于H，则GH的长等于3cm．6．（2018•朝阳）下列说法中正确的序号有①②③④．①在Rt△ABC中，∠C=90°，CD为AB边上的中线，且CD=2，则AB=4；②八边形的内角和度数约为1080°；③2、3、4、3这组数据的方差为0.5；④分式方程的解为x=；⑤已知菱形的一个内角为60°，一条对角线为2，则另一条对角线长为2．三、解答题18．（2018•益阳）如图，已知AE∥BC，AE平分∠DAC．求证：AB=AC．19．（2018•珠海）如图，在△ABC中，AB=AC，AD是高，AM是△ABC外角∠CAE的平分线．（1）用尺规作图方法，作∠ADC的平分线DN；（保留作图痕迹，不写作法和证明）（2）设DN与AM交于点F，判断△ADF的形状．（只写结果）20．（2018•常州）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC的中点为O，过点O 作AC的垂线分别与AD、BC相交于点E、F，连接AF．求证：AE=AF．7．（2018•淮安）如图，△ABC中，∠C=90°，点D在AC上，已知∠BDC=45°，BD=10，AB=20．求∠A的度数．1．（2018•河池）如图，在10×10的正方形网格中，△ABC的顶点和线段EF的端点都在边长为1的小正方形的顶点上．（1）填空：tanA=，AC=2（结果保留根号）；（2）请你在图中找出一点D（仅一个点即可），连接DE、DF，使以D、E、F为顶点的三角形与△ABC全等，并加以证明．2．（2018•鄂州）小明是一位善于思考的学生，在一次数学活动课上，他将一副直角三角板如图位置摆放，A、B、D在同一直线上，EF∥AD，∠A=∠EDF=90°，∠C=45°，∠E=60°，量得DE=8，试求BD的长．3．（2018•北京）如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点E，∠BAC=90°，∠CED=45°，∠DCE=30°，DE=，BE=2．求CD的长和四边形ABCD的面积．。
2018年云南中考数学一轮复习课件-第4章第3节 等腰三角形与直角三角形
第4页
2018中考数学复习课件
ห้องสมุดไป่ตู้
第5页
2018中考数学复习课件
1．(人教八下 P34 习题 17.2 第 1 题改编)下列各组线段中，不能 构成直角三角形的是( B ) A．a＝8，b＝15，c＝17 B．a＝10，b＝24， c＝ 25 C．a＝4，b＝5，c＝ 41 D．a＝5，b＝12，c＝13
第8页
2018中考数学复习课件
4 ．( 北师八下 P31 例 3 改编)如图，AB ∥CD，∠CAB 与 ∠ACD 的平分线相交于 H 点，点 E 为 AC 的中点，若 EH ＝2 ，则 AC＝4.
第9页
2018中考数学复习课件
5．(人教八上 P83 第 14 题改编) 如图，点 M，N 是△ABC 的边 BC 上的两点，且 BM ＝MN＝NC＝AM＝AN，则∠BAN＝90.
第17页
2018中考数学复习课件
【名师提醒】在等腰三角形中， 要注意分情况讨论： 1． 当已知等腰三角形的一个内角时 ，通常需要按这个角是顶角或 底角两种情况进行讨论， 此时要注意等腰三角形的底角一定是锐角， 即在等腰三角形中 ，钝角只能是顶角． 2． 当已知等腰三角形的两边时， 要按照其中一条边是腰或者底边 两种情况进行讨论 ，此时要注意使用三角形的三边关系进行验证，底 边长一定小于腰长的 2 倍 ，否则不能构成三角形．
(4)当∠A 为顶角时，如错解，则∠BAC＝90°综上，∠BAC 的度数为 90°或 75°或 15°.
第16页
2018中考数学复习课件
2．(2017·淄博 )在边长为 4 的等边三角形 ABC 中，D 为 BC 边 上的任意一点 ， 过点 D 分别作 DE⊥ AB， DF⊥ AC， 垂足分别 为 E ，F， 则 DE＋ DF＝ __2 3__.,易错点：未进行分类讨论 而出现错解或漏解 ⇨ 【错因分析】 题目中并没有指明 BC 是等腰△ABC 的底或 腰．当 BC 为底时， 可求得∠BAC＝ 90° ；当 BC 为腰时， 还 应对 ∠B 的大小进行讨论．
等腰三角形试题含解析-中考数学真题分类汇编第一辑
等腰三角形一、选择题1．（2018?山东枣庄?3 分）如图是由8 个全等的矩形组成的大正方形，线段AB 的端点都在小矩形的顶点上，如果点P 是某个小矩形的顶点，连接PA、PB，那么使△ ABP为等腰直角三角形的点P 的个数是（）A．2 个B．3 个C．4 个D．5 个【分析】根据等腰直角三角形的判定即可得到结论．【解答】解：如图所示，使△ABP为等腰直角三角形的点P 的个数是3，故选：B．【点评】本题考查了等腰直角三角形的判定，正确的找出符合条件的点P 是解题的关键．2 （2018?山东枣庄?3 分）如图，在Rt △ABC中，∠ ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，AF平分∠CAB，交CD于点E，交CB于点F．若AC=3，AB=5，则CE的长为（）A．B．C．D．【分析】根据三角形的内角和定理得出∠CAF+∠CFA=90°，∠FAD+∠AED=90°，根据角平分线和对顶角相等得出∠CEF=∠CFE，即可得出EC=FC，再利用相似三角形的判定与性质得出答案．【解答】解：过点 F 作FG⊥AB于点G，∵∠ACB=90°，CD⊥AB，∴∠CDA=9°0，∴∠CAF+∠CFA=90°，∠FAD+∠AED=90°，∵AF 平分∠ CAB，∴∠CAF=∠FAD，∴∠CFA=∠AED=∠CEF，∴CE=CF，∵AF 平分∠ CAB，∠ ACF=∠AGF=90°，∴FC=FG，∵∠B=∠B，∠FGB=∠ACB=90°，∴△BFG∽△ BAC，∴= ，∵AC=3，AB=5，∠ACB=90°，∴BC=4，∴= ，∵FC=FG，∴= ，解得：FC= ，即CE的长为．故选：A．【点评】本题考查了直角三角形性质、等腰三角形的性质和判定，三角形的内角和定理以及相似三角形的判定与性质等知识，关键是推出∠CEF=∠CFE．3.（2018?山东淄博?4 分）如图，P 为等边三角形ABC内的一点，且P 到三个顶点A，B，C 的距离分别为3，4，5，则△ABC的面积为（）2A ．B ．C ．D ．【考点】 R2：旋转的性质； KK ：等边三角形的性质； KS ：勾股定理的逆定理．【分析】 将△ BPC 绕点 B 逆时针旋转 60°得△ BEA ，根据旋转的性质得 BE=BP=4， AE=PC=5， ∠PBE=60°，则△ BPE 为等边三角形，得到 PE=PB=4，∠ BPE=60°，在△ AEP 中， AE=5，延长 BP ，作 AF ⊥ BP 于点 FAP=3， PE=4，根据勾股定理的逆定理可得到△APE 为直角三角形，且∠ APE=90°，即可得到∠ APB 的度数，在直角△ APF 中利用三角函数求得 AF 和 PF 的长，则在直角△ ABF 中利用勾股定理求得 AB 的长，进而求得三角形 ABC 的面积．【解答】 解：∵△ ABC 为等边三角形， ∴BA=BC ，可将△ BPC 绕点 B 逆时针旋转 60°得△ BEA ，连 EP ，且延长 BP ，作 AF ⊥ BP 于点 F ．如图，∴BE=BP=4， AE=PC=5，∠ PBE=60°， ∴△ BPE 为等边三角形， ∴PE=PB=4，∠ BPE=60°，在△ AEP 中， AE=5，AP=3， PE=4，2 2 2∴AE =PE+PA ，∴△ APE 为直角三角形，且∠ APE=90°， ∴∠ APB=90° +60°=150°． ∴∠ APF=30°，∴在直角△ APF 中， AF= AP= ， PF=AP=．22222∴在直角△ ABF 中， AB =BF +AF =（ 4+） +（ ） =25+12 ．则△ ABC 的面积是 ?AB = ?（ 25+12 ）=． 故选： A ．22【点评】 本题考查了等边三角形的判定与性质、 勾股定理的逆定理以及旋转的性质： 旋转前后的两个图形全等， 对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角， 对应点到旋转中心的距离相等．4.（2018?江苏扬州? 3 分）如图，点 A 在线段 BD 上，在 BD 的同侧做等腰 Rt △ ABC 和等腰 Rt △ ADE ， CD 与 B E 、AE 分别交于点 P ， M ．对于下列结论： ①△ BAE ∽△ CAD ；② MP?MD=MA?；M ③E 2CB=CP?C ．M 其中正确的是（）A ．①②③B ．①C ．①②D ．②③【分析】（ 1）由等腰 Rt △ ABC 和等腰 Rt △ ADE 三边份数关系可证；（2） 通过等积式倒推可知，证明△PAM ∽△ EMD 即可；（3）2CB 转化为 AC2，证明△ ACP ∽△ MCA ，问题可证．【解答】 解：由已知： AC=AB ， AD=AE∴∵∠ BAC=∠EAD ∴∠ BAE=∠CAD ∴△ BAE ∽△ CAD 所以①正确 ∵△ BAE ∽△ CAD ∴∠ BEA=∠CDA ∵∠ PME=∠AMD ∴△ PME ∽△ AMD∴∴MP?MD=MA?ME 所以②正确 ∵∠ BEA=∠CDA ∠PME=∠ AMD∴P 、E 、D 、 A 四点共圆 ∴∠ APD=∠EAD=90°22 ∵∠ CAE=18°0 ﹣∠ BAC ﹣∠ EAD=90°∴△ CAP ∽△ CMA ∴AC=CP?CM ∵AC=AB∴2CB=CP?CM 所以③正确故选： A ．【点评】 本题考查了相似三角形的性质和判断． 在等积式和比例式的证明中应注意应用倒推的方法寻找相似三角形进行证明，进而得到答案．5．（ 2018 ·湖南省常德 ·3 分） 如图， 已知 BD 是△ ABC 的角平分线， ED 是 BC 的垂直平分线， ∠BAC=90°， AD=3，则 CE 的长为（）A ． 6B ． 5C ． 4D ． 3【分析】 根据线段垂直平分线的性质得到DB=DC ，根据角平分线的定义、三角形内角和定理求出∠ C=∠DBC=∠ABD=30°，根据直角三角形的性质解答． 【解答】 解：∵ ED 是 BC 的垂直平分线， ∴DB=DC ， ∴∠ C=∠ DBC ，∵BD 是△ ABC 的角平分线， ∴∠ ABD=∠DBC ，∴∠ C=∠ DBC=∠ABD=30°， ∴BD=2AD=6， ∴CE=CD × cos ∠ C=3 ，故选： D ．【点评】 本题考查的是线段垂直平分线的性质、 直角三角形的性质， 掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键．6.（ 2018·台湾·分）如图，锐角三角形ABC 中， BC ＞ AB ＞ AC ，甲、乙两人想找一点P ，使得∠ BPC 与∠ A 互补，其作法分别如下：（甲）以 A 为圆心， AC 长为半径画弧交 AB 于 P 点，则 P 即为所求；（乙）作过 B 点且与 AB 垂直的直线 l ，作过 C 点且与 AC 垂直的直线，交 l 于 P 点，则 P 即为所求对于甲、乙两人的作法，下列叙述何者正确？（）A．两人皆正确B．两人皆错误C．甲正确，乙错误D．甲错误，乙正确【分析】甲：根据作图可得AC=AP，利用等边对等角得：∠APC=∠ACP，由平角的定义可知：∠BPC+∠APC=18°0，根据等量代换可作判断；乙：根据四边形的内角和可得：∠BPC+∠A=180°．【解答】解：甲：如图1，∵AC=AP，∴∠APC=∠ACP，∵∠BPC+∠APC=18°0∴∠BPC+∠ACP=18°0，∴甲错误；乙：如图2，∵ AB⊥ PB，AC⊥ PC，∴∠ABP=∠ACP=90°，∴∠BPC+∠A=180°，∴乙正确，故选：D．【点评】本题考查了垂线的定义、四边形的内角和定理、等腰三角形的性质，正确的理解题意是解题的关键．7．（2018?湖北荆门?3 分）如图，等腰Rt △ABC中，斜边AB 的长为2，O 为AB 的中点，P 为AC边上的动点，OQ⊥OP交BC于点Q，M为PQ的中点，当点P 从点 A 运动到点 C 时，点M 所经过的路线长为（）A．B．C．1 D．2【分析】连接OC，作PE⊥AB于E，MH⊥AB于H，QF⊥AB 于F，如图，利用等腰直角三角形的性质得AC=BC= ，∠A=∠B=45°，OC⊥AB，OC=OA=OB=，1∠OCB=4°5 ，再证明Rt△AOP ≌△COQ得到AP=CQ，接着利用△APE和△BFQ都为等腰直角三角形得到PE= AP= CQ，QF= BQ，所以PE+QF= BC=1，然后证明MH为梯形PEFQ的中位线得到MH= ，即可判定点M到AB 的距离为，从而得到点M的运动路线为△ABC的中位线，最后利用三角形中位线性质得到点M所经过的路线长．【解答】解：连接OC，作PE⊥AB于E，MH⊥AB于H，QF⊥AB于F，如图，∵△ ACB为到等腰直角三角形，∴AC=BC= AB= ，∠A=∠B=45°，∵O为AB的中点，∴OC⊥AB，OC平分∠ ACB，OC=OA=OB=，1∴∠OCB=4°5 ，∵∠POQ=9°0 ，∠COA=9°0 ，∴∠AOP=∠COQ，在Rt △ AOP和△ COQ中，∴Rt △AOP≌△COQ，∴AP=CQ，易得△ APE和△ BFQ都为等腰直角三角形，∴PE= AP= C Q，QF= BQ，∴PE+QF= （CQ+BQ）= BC= ×=1，∵M点为PQ的中点，∴MH为梯形PEFQ的中位线，∴MH= （PE+QF）= ，即点M到AB的距离为，而CO=1，∴点M的运动路线为△ABC的中位线，∴当点P 从点A 运动到点 C 时，点M所经过的路线长=AB=1．故选：C．【点评】本题考查了轨迹：通过计算确定动点在运动过程中不变的量，从而得到运动的轨迹．也考查了等腰直角三角形的性质．8.（2018?河北?3 分）已知：如图4，点P 在线段AB 外，且PA PB . 求证：点P 在线段AB 的垂直平分线上. 在证明该结论时，需添加辅助线，则作法不．正确的是（）A.作APB 的平分线PC 交AB 于点CB.过点P 作PC AB 于点C 且AC BCC.取AB 中点C ，连接PCD.过点P 作PC AB ，垂足为C9.(2018 四川省绵阳市) 如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，CA=CB，CE=CD，△ACB 的顶点 A 在△ECD的斜边DE 上，若AE= ，AD= ，则两个三角形重叠部分的面积为（）A.B.C.D.【答案】 D【考点】三角形的面积，全等三角形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形【解析】【解答】解：连接BD，作CH⊥DE，∵△ ACB和△ ECD都是等腰直角三角形，∴∠ACB=∠ECD=9°0 , ∠ADC=∠CAB=45°,即∠ ACD+∠DCB=∠ACD+∠ACE=90°，∴∠DCB=∠ACE，在△ DCB和△ ECA中，,∴△DCB≌△ECA，∴DB=EA= , ∠CDB=∠E=45°,∴∠CDB+∠ADC=∠ADB=90°，在Rt △ ABD中，∴AB= =2 ，在Rt △ ABC中，2 2∴2AC=AB=8，∴AC=BC=，2在Rt △ ECD中，2 2∴2CD=DE= ，∴CD=CE= +1，∵∠ACO=∠DCA，∠CAO=∠CDA，∴△CAO∽△CDA，∴又∵：== CE = DE·=CH，=4-2 ，∴CH= = ，∴∴= AD·CH= ×=（4-2 ）××=3-=.，即两个三角形重叠部分的面积为3- . 故答案为： D.【分析】解：连接BD，作CH⊥DE，根据等腰直角三角形的性质可得∠ACB=∠ECD=9°0 , ∠ADC= ∠CAB=45°, 再由同角的余角相等可得∠DCB=∠ACE；由SAS得△DCB≌△ECA，根据全等三角形的性质知DB=EA= , ∠CDB=∠E=45°, 从而得∠ADB=90°，在Rt △ABD中，根据勾股定理得AB=2 ，同理可得AC=BC=，2 CD=CE= +1；由相似三角形的判定得△CAO∽△CDA，根据相似三角形的性质：面积比等于相似比的平方从而得出两个三角形重叠部分的面积. 二. 填空题1．（2018 四川省泸州市 3 分）如图，等腰△ABC的底边BC=20，面积为120，点 F 在边BC 上，且BF=3FC，EG是腰AC的垂直平分线，若点 D 在EG上运动，则△CDF周长的最小值为18．【分析】如图作AH⊥BC于H，连接AD．由EG垂直平分线段AC，推出DA=DC，推出DF+DC=AD+D，F 可得当A、D、F 共线时，DF+DC的值最小，最小值就是线段AF 的长；【解答】解：如图作AH⊥BC于H，连接AD．∵EG垂直平分线段AC，∴DA=DC，∴DF+DC=AD+D，F∴当A、D、F 共线时，DF+DC的值最小，最小值就是线段AF的长，∵?BC?AH=12，0∴AH=12，∵AB=AC，AH⊥BC，∴BH=CH=1，0∵BF=3FC，∴CF=FH=5，∴AF= = =13，∴DF+DC的最小值为13．∴△CDF周长的最小值为13+5=18；故答案为18．【点评】本题考查轴对称﹣最短问题、线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会利用轴对称，解决最短问题，属于中考常考题型．2.（2018?广西桂林?3 分）如图，在ΔABC中，∠A=36°,AB=AC,BD 平分∠ABC，则图中等腰三角形的个数是【答案】 3详解：∵ AB=AC，∴△ ABC是等腰三角形．∵∠A=36°，∴∠C=∠ABC=72°．BD平分∠ ABC交AC于D，∴∠ABD=∠DBC=3°6，∵∠A=∠ABD=36°，∴△ ABD是等腰三角形．∠BDC=∠A+∠ABD=36°+36°=72°=∠C，∴△ BDC是等腰三角形．∴共有 3 个等腰三角形．故答案为：3．点睛：本题考查了等腰三角形的判定与性质及三角形内角和定理；求得角的度数是正确解答本题的关键．3.（2018·新疆生产建设兵团· 5 分）如图，△ABC 是⊙O的内接正三角形，⊙O的半径为2，则图中阴影部的面积是．【分析】根据等边三角形性质及圆周角定理可得扇形对应的圆心角度数，再根据扇形面积公式计算即可．【解答】解：∵△ ABC 是等边三角形，∴∠C=60°，根据圆周角定理可得∠ AOB=∠2 C=120°，∴阴影部分的面积是= π，故答案为：【点评】本题主要考查扇形面积的计算和圆周角定理，根据等边三角形性质和圆周角定理求得圆心角度数是解题的关键．4.（2018·四川宜宾· 3 分）刘徽是中国古代卓越的数学家之一，他在《九章算术》中提出了“割圆术”，即用内接或外切正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积，设圆O的半径为1，若用圆O的外切正六边形的面积来近似估计圆O的面积，则S= 2 ．（结果保留根号）【考点】MM：正多边形和圆；1O：数学常识．【分析】根据正多边形的定义可得出△ABO为等边三角形，根据等边三角形的性质结合OM 的长度可求出AB 的长度，再利用三角形的面积公式即可求出S 的值．【解答】解：依照题意画出图象，如图所示．∵六边形ABCDEF为正六边形，∴△ ABO为等边三角形，∵⊙O的半径为1，∴OM=1，∴BM=AM= ，∴AB= ，∴S=6S△ABO=6×××1=2 ．故答案为： 2 ．【点评】本题考查了正多边形和圆、三角形的面积以及数学常识，根据等边三角形的性质求出正六边形的边长是解题的关键．5.（2018·天津·3 分）如图，在边长为 4 的等边中，，分别为，的中点，于点，为的中点，连接，则的长为．【答案】【解析】分析：连接DE，根据题意可得ΔDEG是直角三角形，然后根据勾股定理即可求解DG的长.详解：连接DE，∵D、E 分别是AB、BC的中点，∴DE∥AC，DE= AC∵ΔABC是等边三角形，且BC=4∴∠DEB=60°,DE=2∵EF⊥AC，∠C=60°,EC=2∴∠F EC=30°，EF=∴∠DEG=180°-60 °-30 °=90°∵G是EF的中点，∴EG= .在Rt ΔDEG中，DG=故答案为：.点睛：本题主要考查了等边三角形的性质，勾股定理以及三角形中位线性质定理，记住和熟练运用性质是解题的关键.6．（2018·湖北省武汉·3 分）如图．在△ABC中，∠ACB=60°，AC=1，D 是边AB 的中点，E 是边BC上一点．若DE平分△ABC的周长，则DE的长是．【分析】延长BC至M，使CM=C，A 连接AM，作CN⊥AM于N，根据题意得到ME=EB，根据三角形中位线定理得到DE= AM，根据等腰三角形的性质求出∠ACN，根据正弦的概念求出AN，计算即可．【解答】解：延长BC至M，使CM=CA，连接AM，作CN⊥AM于N，∵DE平分△ ABC的周长，∴ME=EB，又AD=DB，∴DE= AM，DE∥AM，∵∠ACB=60°，∴∠ACM=120°，∵CM=CA，∴∠ACN=6°0，AN=M，N∴AN=AC?sin∠ACN= ，∴AM= ，∴DE= ，故答案为：．【点评】本题考查的是三角形中位线定理、等腰三角形的性质、解直角三角形，掌握三角形中位线定理、正确作出辅助性是解题的关键．7．（2018?北京?2 分）右图所示的网格是正方形网格，BACDAE ．（填“”，“”或“”）【答案】【解析】如下图所示，EBG E DBD C AFC A△ AFG 是等腰直角三角形，∴FAG BAC 45 ，∴BAC DAE ．另：此题也可直接测量得到结果．【考点】等腰直角三角形8. （2018?江苏盐城? 3 分）如图，在直角中，，，，、分别为边、上的两个动点，若要使是等腰三角形且是直角三角形，则．16. 【答案】或【考点】等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质【解析】【解答】解：当△ BPQ是直角三角形时，有两种情况：∠ BPQ=90度，∠BQP=90度。
2018中考数学专题复习 第十七讲 等腰三角形和直角三角形(共83张PPT)
此时PA=PC,
则AD=CD1 = AC=1,∠PAC=∠ACP=30°,
2
∠ABD=1 ∠ABC=30°,
2
∴PD=AD·tan30°=3
3
AD=3ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
3
,BD=3
AD=3
,
∴PB=BD-PD=3 - 3 =2 3 .
33
答案: 2 3
3
2.(2017·黄冈中考)已知:如图,在正方形ABCD的外侧, 作等边三角形ADE,则∠BED=________度.
考点二 等边三角形的性质与判定 【示范题2】(2017·淄博中考)在边长为4的等边三角 形ABC中,D为BC边上的任意一点,过点D分别作DE⊥AB, DF⊥AC,垂足分别为E,F,则DE+DF=________.
【思路点拨】作AG⊥BC于点G,根据等边三角形的性 质得出∠B=60°,解直角三角形求得AG=2 ,3 根据 S△ABD+S△ACD=S△ABC即可得出DE+DF=AG=2 .3
第十七讲 等腰三角形和直角三角形
一、等腰三角形
定义
有_两__边__相等的三角形
轴对 称性
等腰三角形是轴对称图形,_底__边__上__的__中__线__ _(_或__底__边__上__的__高__或__顶__角__平__分__线__)_所__在__的__直__ _线__是它的对称轴
性质
1.等腰三角形的两个底角_相__等__(简称:_等__ _边__对__等__角__)
【变式训练】 1.(2017·威海中考)如图,△ABC为等边三角形,AB=2. 若P为△ABC内的一动点,且满足∠PAB=∠ACP.则线段 PB长度的最小值为________.
【解析】∵△ABC是等边三角形, ∴∠ABC=∠BAC=60°,AC=AB=2, ∵∠PAB=∠ACP, ∴∠PAC+∠ACP=60°, ∴∠APC=120°, 当PB⊥AC时,PB长度最小,设垂足为点D,