北师大版数学七年级下册第四章测试题
第四章 三角形单元测试题
（时间100分钟，满分100分）
编号： 姓名： 成绩：
一、选择题(每小题3分，共30分)
1．任意三角形的内角和是（ ）
A ．90°
B ．180°
C ．270°
D ．360° 2．下面四个图形中，线段B
E 是⊿ABC 的高的图是（ ）
A B C D 3．以下各组线段为边，能组成三角形的是（ ）
A ．1cm ，2cm ，4cm
B ．8cm ，6cm ，4cm
C ．12cm ，5cm ，6cm
D ．2cm ，3cm ，6cm 4．已知在一个三角形中有两个锐角互余，则这个三角形是（ ）
A ．直角三角形
B ．锐角三角形
C ．钝角三角形
D ．不能确定 5．如图要测量河两岸相对的两点A 、B 的距离，先在AB 的
垂线BF 上取两点C 、D ，使CD=BC ，再定出BF 的垂线DE ，
可以证明△EDC ≌△ABC ，得ED=AB ，因此，测得ED 的长就 是AB 的长。
判定△
EDC ≌△ABC 的理由是( )
A ．SSS
B ．ASA
C ．AAS
D ．SAS
6．下面说法正确的有（ ）
①三角形的三条中线交于一点，这点称为三角形的重心；②三角形的三条高所在的直线交于一点，交点都在三角形的内部；③如果∠A ＋∠B=90°，那么△ABC 是直角三角形；④三角形的三条角平分线交于一点；⑤在 ABC 中，若∠A ＋∠B=∠C ，则此三角形是直角三角形。
A ．①②④ B ．①③④ C ．②④⑤ D 7．如图所示,在△ABC 中，AB=AC ，BE=CE ，
则由 “SSS ”可以判定是（ ）
A ．△ABD≌△ACD
B ．△BDE≌△CDE
C ．△ABE ≌△ACE
D ．△AB
E ≌△CDE
8．如图，将一副三角板叠放在一起，使直角的顶点重合于O ，
则∠AOC+∠DOB=（ ）
B A
●
●
D
C
E F
第5题图
第7题图
A D
A ．90°
B ．120°
C ．160°
D ．180°
9．已知等腰三角形两边的长度分别为5cm 、7cm ，那么该等腰三角形的周长为（ ） A ．12 cm B ． 17cm C ．19cm D ．17cm 或19cm 10．给出下列命题：①三条线段组成的图形叫三角形 ② 三角形的角平分线是线段 ③任何一个三角形都有三条高、三条中线、三条角平分线。
正确的命题有( )
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个 二、填空题（每题4分，共20分）
11．如图，一面小红旗其中∠A=60°, ∠B=30°,则∠BCD= 。
12．为了使一扇旧木门不变形，木工师傅在木门的背面加钉了一根木条这样做的道理是___________________.
13．把一副常用的三角板如图所示拼在一起，那么图中∠ADE 是 度。
14．能够完全重合的两个三角形全等，那么能判定两个三角形全等的条件有; _____、_____、_______、_______（填简写即可）。
15.如果将长度为a 、8和2的三根线段首尾顺次相接可以得到一个三角形，那么a 的取值范围是 。
三、解答题（共50分）
16．（本题4分）尺规作图题：已知如图线段a 、b 、c ，求作∆ABC ，
使得AB=c ，BC=a ，AC=b 。
（不要求写作法，但必须保留作图痕迹）
17．（本题8分）已知在等腰∆ABC 中，AB=AC ，AD 是∠BAC 的角平分线。
试说明:ACD ABD ∆≅∆.
· C B A 第11题图 第12题图 A B C D E
第13题图 第16题图
E
D
B
A
18．（本题8分）如图,已知△ABC 中,AB=AC,D ，E 分别是AB ，AC 的中点，且CD=BE ，
△ADC 与△AEB 全等吗？说说理由.
19．（本题10分）如图5 点C F 、在BE 上，A D AC DF BF EC ∠=∠=，∥，．
试判断AB 与DE 是否相等？并说明理由。
第19题图
第18题图
20. （本题10分）如图,已知D 为△ABC 边BC 延长线上一点,DF ⊥AB 于F 交 AC 于E,∠A=35°,∠D=42°,求∠ACD 的度数.
21．（本题10分）已知，如图，在△ ABC 中，AD ，AE 分别是 △ ABC 的高和角平分线， 若∠B=30°，∠C=50°. （1）求∠DAE 的度数。
（2）试写出 ∠DAE 与∠C-∠B 有何关系?（不用说明理由）
F
D
C
B
E
A 第20题图
A C D 第21题图。
七年级数学下册第四章测试卷-北师大版(含答案)
七年级数学下册第四章测试卷-北师大版（含答案）[时间:100分钟满分:120分]一、选择题(本大题共6小题,每小题3分,共18分)1.下列语句规范的是()A.直线a,b相交于点mB.延长直线ABC.延长射线AO到点BD.直线AB,CD相交于点M2.下列四个角中,能用一副三角尺画出的是()A.108°B.118°C.125°D.135°3.下列结论正确的是()A.若AB=BC,则B是线段AC的中点AC,则B是线段AC的中点B.若AB=12C.若AB=BC=1AC,则B是线段AC的中点2D.若AB+BC=AC,则B是线段AC的中点4.下列说法正确的个数为()(1)过两点有且只有一条直线;(2)连接两点的线段叫做两点间的距离;(3)两点之间的所有连线中,线段最短;(4)直线AB没有端点.A.1B.2C.3D.45.下列说法正确的是()A.8点45分,时针与分针的夹角是30°B.6点30分,时针与分针重合C.3点30分,时针与分针的夹角是90°D.3点整,时针与分针的夹角是90°6.已知∠α,∠β都是钝角,甲、乙、丙、丁四人计算1(∠α+∠β)的结果依次是28°,48°,60°,88°,其中只有一人计算正确,6他是()A.甲B.乙C.丙D.丁二、填空题(本大题共6小题,每小题3分,共18分)7.(1)7200″='=°;(2)30.26°=°'″.8.如图所示,一副三角尺的直角顶点O重叠在一起,且OB恰好平分∠COD,则∠AOD的度数是.9.一个圆被分为1∶3两部分,则较小的弧所对的圆心角的度数是.10.同一平面内的三条直线两两相交,最多有a个交点,最少有b个交点,则a+b=.11.如图,线段AB=BC=CD=DE=1 cm,那么图中所有线段的长度之和等于cm.12.已知A,B,C是直线l上的三点,且线段AB=9 cm,BC=1AB,那么A,C两点间的距离是3.三、解答题(本大题共5小题,每小题6分,共30分)13.计算:(1)35°24'+32°47'-26°55';(2)13°23'×3-3°5'21″.14.按下列要求作图:如图,在同一平面内有A,B,C,D四个点.①画射线CD;②画直线AD;③连接AB;④直线BD与直线AC相交于点O.15.下面是小明做的一道题目以及他的解题过程:在同一平面上,若∠BOA=72°,∠BOC=21°,求∠AOC的度数.解:根据题意可画图如图4-D-4所示,∠AOC=∠BOA-∠BOC=72°-21°=51°.如果你是老师,能给小明满分吗?若能,请说明理由;若不能,请将错误指出来,并给出你认为正确的解法.16.如图所示,点O在直线AB上,OE平分∠COD,且∠AOC∶∠COD∶∠DOB=1∶3∶2,求∠AOE的度数.17.如图,已知点C,D,E,F在线段AB上,E,F分别是AC,BD的中点,CD=0.8厘米,EF=5厘米,求AB的长.四、解答题(本大题共3小题,每小题8分,共24分)18.如图,在直线上任取1个点,2个点,3个点,4个点.(1)填写下表:点的个数所得线段的条数所得射线的条数1234(2)在直线上取n个点,可以得到几条线段,几条射线?19.如图,将一张长方形纸片ABCD分别沿着OF,OE折叠,使点A落在点M处,点B落在点N处,若∠FOE=86°,求∠1的度数.20.如图,∠AOC=∠DOB=90°.(1)当∠BOC=28°时,求∠DOA的度数;(2)当∠BOC∶∠DOA=2∶7时,求∠BOC的度数.五、解答题(本大题共2小题,每小题9分,共18分)21.已知线段AB=10 cm,试探讨下列问题:(1)是否存在一点C,使它到A,B两点的距离之和等于8 cm?(2)是否存在一点C,使它到A,B两点的距离之和等于10 cm?若存在,它的位置唯一吗?(3)当点C到A,B两点的距离之和等于20 cm时,点C一定在直线AB外吗?请举例说明.22.已知:如图,∠AOB是直角,∠AOC=40°,ON是∠AOC的平分线,OM是∠BOC的平分线.(1)求∠MON的度数;(2)当锐角∠AOC的度数发生改变时,∠MON的度数是否发生改变?为什么?六、解答题(本大题共12分)23.如图,点C在线段AB上,AC=8 cm,BC=6 cm,M,N分别是AC,BC的中点.(1)求线段MN的长;(2)若C为线段AB上任意一点,满足AC+BC=a cm,其他条件不变,你能猜想MN的长度吗?并说明理由;(3)若C在线段AB的延长线上,且满足AC-BC=b cm,M,N分别为AC,BC的中点,你能猜想MN的长度吗?请画出图形,写出你的结论,并说明理由;(4)你能用一句简洁的话,描述你发现的结论吗?参考答案1.D2.D3.C4.C5.D6.B7.(1)1202(2)3015368.135°9.90°10.411.2012.6 cm或12 cm13.解:(1)原式=41°16'.(2)原式=40°9'-3°5'21″=37°3'39″.14.解:如图.15.解:不能,他忽略了一种情况.正解:如图①,∠AOC=∠BOA-∠BOC=72°-21°=51°;如图②,∠AOC=∠BOA+∠BOC=72°+21°=93°.所以∠AOC的度数为51°或93°.16.解:因为∠AOC∶∠COD∶∠DOB=1∶3∶2,所以可设∠AOC=x°,则∠COD=3x°,∠DOB=2x°.因为∠AOC+∠COD+∠DOB=180°,即x+3x+2x=180,解得x=30, 所以∠AOC=30°,∠COD=3x°=90°.∠COD=45°,又因为OE平分∠COD,所以∠COE=12所以∠AOE=∠AOC+∠COE=30°+45°=75°.17.解:因为E为AC的中点,F为BD的中点,所以AE=EC,DF=BF.因为EC+DF=EF-CD=5-0.8=4.2(厘米),所以AE+BF=EC+DF=4.2厘米,所以AB=AE+BF+EF=4.2+5=9.2(厘米).18.解:(1)填表如下:所得线段的所得射线的条数点的个数条数1 0 22 1 43 3 64 6 8(2)因为某一点可以和不相邻的任何一点构成一条线段,则以这点为端点的线段都有(n-1)条,所以总共有n(n-1)条线段,2总共有2n条射线.19.解:由折叠得∠AOF=∠FOM,∠BOE=∠EON.因为∠AOF+∠BOE=∠AOB-∠FOE=180°-86°=94°,所以∠FOM+∠EON=94°,所以∠1+∠FON+∠1+∠EOM=94°,所以∠1+∠FOE=94°,所以∠1=94°-∠FOE=94°-86°=8°.20.解:(1)因为∠BOA=∠COA-∠BOC=90°-28°=62°,所以∠DOA=∠BOA+∠BOD=62°+90°=152°.(2)∠BOC+∠DOA=∠BOC+(∠BOA+∠BOC+∠DOC)=∠AOC+∠DOB=90°+90°=180°.设∠BOC=2x.根据∠BOC∶∠DOA=2∶7,得∠DOA=7x.因为∠BOC+∠DOA=180°,所以2x+7x=180°,解得x=20°,所以∠BOC=40°.21.解:(1)不存在.因为两点之间线段最短,所以AC+BC≥10.(2)存在.它的位置不唯一.C可以是线段AB上任意一点.(3)不一定,也可在直线AB上.如图,当点C在点A的左侧5 cm处,AC+BC=20 cm.(点C也可以在点B的右侧5 cm处)22.解:(1)因为∠AOB 是直角,∠AOC=40°, 所以∠BOC=∠AOB+∠AOC=90°+40°=130°.又因为OM 是∠BOC 的平分线,ON 是∠AOC 的平分线, 所以∠MOC=12∠BOC=65°,∠NOC=12∠AOC=20°, 所以∠MON=∠MOC-∠NOC=65°-20°=45°.(2)当锐角∠AOC 的度数发生改变时,∠MON 的度数不发生改变.理由:因为∠MON=∠MOC-∠NOC=12∠BOC-12∠AOC=12(∠BOC-∠AOC )=12∠AOB. 又因为∠AOB=90°, 所以∠MON=12∠AOB=45°.23.解:(1)因为M ,N 分别是AC ,BC 的中点,AC=8 cm,BC=6 cm, 所以MC=12AC=4,CN=12BC=3, 所以MN=MC+CN=4+3=7(cm). (2)MN=12a cm .理由:因为M ,N 分别是AC ,BC 的中点, 所以MC=12AC ,CN=12BC ,所以MN=MC+CN=12(AC+BC )=12a cm . (3)如图.MN=12b cm .理由:因为M ,N 分别是AC ,BC 的中点, 所以MC=12AC ,CN=12BC ,所以MN=MC-CN=12(AC-BC )=12b cm .(4)只要满足点C 在线段AB 所在的直线上,M ,N 分别是AC ,BC 的中点,那么MN 就等于线段AB 的一半.。
北师大版七年级数学下册第四章同步测试题及答案
∴∠BAC=180°﹣∠ABC﹣∠ACB=60°．
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE= ∠BAC=30°．
（2）∵∠CAE=∠BAE=30°，∠ACB=80°，
∴∠AEB=∠CAE+∠ACB=110°，
∵AD是BC边上的高，
∴∠ADE=90°，
∴∠DAE=∠AEB﹣∠ADE=20°．
13．解：（1）∵a+b=4，a2+b2=8，
∴（a+b）2=a2+2ab+b2=8+2ab=16，
∴ab=4，
（a﹣b）2=（a+b）2﹣4ab=16﹣16=0；
（2）∵a、b、c是△ABC的三边，
∴a+b＞c，b+c＞a，a+c＞b，
∴|a+b﹣c|﹣|c﹣a+b|﹣|b﹣c﹣a|+|b﹣a﹣c|
（第10题图）
三．解答题（共8小题）
11．（1）下列图中具有稳定性是（填序号）
（2）对不具稳定性的图形，请适当地添加线段，使之具有稳定性．
（3）图5所示的多边形共条对角线．
（第11题图）
12．小辉用7根木条钉成一个七边形的木架，他为了使该木架稳固，想在其中加上四根木条，请你在图1、2、3中画出你的三种想法，并说明加上木条后使该木架稳固所用的数学道理.
（第12题图）
13．如图1，直线AM⊥AN，AB平分∠MAN，过点B作BC⊥BA交AN于点C；动点E、D同时从A点出发，其中动点E以2m/s的速度沿射线AN方向运动，动点D以1m/s的速度运动；已知AC=6cm，设动点D，E的运动时间为t．
（1）当点D在射线AM上运动时满足S△ADB：S△BEC=2：1，试求点D，E的运动时间t的值；
北师大版七年级下册数学第四章 测试卷
（1）上图反映了哪两个变量之间的关系？自变量是谁？因变量是谁？
（2）A、B两点表示什么？
（3）小蕊10岁时身高多少？
（4）比较小军和小蕊的青春期身高情况有何相同与不同
21、（本小题满分12分）温度的变化，是人们常谈论的话题．下图是某地某天温度变化的情况．
三、解答题（本大题共有5个小题，共52分）
17、（本小题满分10分）如图是甲、乙两人同一地点出发后，路程随时间变化的图象．
（1）此变化过程中，__________是自变量，_________是因变量．
（2）甲的速度________乙的速度.
（大于、等于、小于）
（3）6时表示________
（4）路程为150km，甲行驶了____小的________（前面、后面、相同位置）
（6）乙比甲先走了3小时，对吗？__________
18、（本小题满分10分）已知某易拉罐厂设计一种易拉罐，在设计过程中发现符合要求的易拉罐的底面半径与铝用量有如下关系：
底面半径x（cm）
1.6
2.0
2.4
2.8
3.2
17、（1）时间，路程；（2）小于；（3）甲乙路程相同为100千米；（4）9小时；4小时；（5）后面；（6）不对，晚走3小时
18、（1）易拉罐底面半径和用铝量的关系，易拉罐底面半径为自变量，用铝量为因变量（2）当底面半径为2.4cm时，易拉罐的用铝量为5.6cm
（3）易拉罐底面半径为2.8cm时比较合适，因为此时用铝较少，成本低
19、（本小题满分10分）如图所示，是反映了爷爷每天晚饭后从家中出发去散步的时间与距离之间的关系的一幅图．
【精选】北师大版七年级下册数学第四章《变量之间的关系》综合测试卷(含答案)
【精选】北师大版七年级下册数学第四章《变量之间的关系》综合测试卷（含答案）一、选择题(每题3分，共30分)1．【教材P68习题T1变式】地表以下岩层的温度随着所处深度的变化而变化，在这一问题中因变量是( )A．地表B．岩层的温度C．所处深度D．时间2．已知两个变量之间的关系满足y＝－x＋2，则当x＝－1时，对应的y的值为( )A．1 B．3 C．－1 D．－33．如果圆珠笔有12支，总售价为18元，用y(元)表示圆珠笔的售价，x(支)表示圆珠笔的数量，那么y与x之间的关系应该是( )A．y＝12x B．y＝18x C．y＝23x D．y＝32x4．【教材P78复习题T6变式】小明从家出发，外出散步，到一个公共阅报栏前看了一会儿报后，继续散步了一段时间，然后回家．如图描述了小明在散步过程中离家的距离s(m)与散步所用时间t(min)之间的关系．根据图象，下列信息错误．．的是( )A．小明看报用时8 minB．公共阅报栏距小明家200 mC．小明离家最远的距离为400 mD．小明从出发到回家共用时16 min5．下面的表格列出了一个实验的统计数据，表示将皮球从高处落下时，弹跳高度b(cm)与下降高度d(cm)的关系，下面能表示这种关系的式子是( )A.b＝d2B．b＝2d C．b＝d2D．b＝d＋256．【2022·合肥一六八中学模拟】一个长方形的周长为24 cm，其中一边长为x cm，面积为y cm2，则y与x的关系式可写为( )A．y＝x2B．y＝(12－x)2 C．y＝x(12－x) D．y＝2(12－x) 7．小王利用计算机设计了一个程序，输入和输出的数据如下表：那么，当输入数据8时，输出的数据是( )A.861B.863C.865D.8678．【教材P74随堂练习T2改编】【2022·雅安】一辆公共汽车从车站开出，加速行驶一段时间后开始匀速行驶．过了一段时间，汽车到达下一车站．乘客上、下车后汽车开始加速，一段时间后又开始匀速行驶．下图中近似地刻画出汽车在这段时间内的速度变化情况的是( )9．如图是甲、乙两车在某时间段速度随时间变化的图象，下列结论错误．．的是( )A．乙前4 s行驶的路程为48 mB．在0 s到8 s内甲的速度每秒增加4 mC．两车到第3 s时行驶的路程相等D．在4 s到8 s内甲的速度都大于乙的速度10．【2022·河北】某项工作，已知每人每天完成的工作量相同，且一个人完成需12天．若m个人共同完成需n天，选取6组数对(m，n)，下列各图中正确的是( )二、填空题(每题3分，共24分)11．已知圆的半径为r，则圆的面积S与半径r之间有如下关系：S＝πr2.在这个关系中，常量是__________，变量是__________．12．小虎拿6元钱去邮局买面值为0.8元的邮票，买邮票后所剩的钱数y(元)与买邮票的枚数x(枚)的关系式为________________，最多可以买________枚．13．【数学运算】根据如图所示的程序，当输入x＝3时，输出的结果y是________．(第13题) (第14题) (第15题) 14．假定甲、乙两人在一次赛跑中，路程s(m)与时间t(s)的关系如图所示，则甲、乙两人中先到达终点的是________，乙在这次赛跑中的速度为__________．15．如图，长方形ABCD的四个顶点在互相平行的两条直线上，AD＝10 cm.当点B，C在平行线上运动时，长方形的面积发生了变化．(1)在这个变化过程中，自变量是__________________，因变量是__________________________；(2)如果长方形的边AB长为x(cm)，那么长方形的面积y(cm2)与x(cm)的关系式为____________．16．声音在空气中传播的速度y(m/s)与气温x(℃)之间的关系式为y＝35x＋331.(1)当气温为15 ℃时，声音在空气中传播的速度为__________；(2)当气温为22 ℃时，某人看到烟花燃放5 s后才听到响声，则此人与燃放的烟花所在地相距__________．17．某市自来水收费实行阶梯水价，收费标准如下表所示．月用水量不超过12 t的部分超过12 t不超过18 t的部分超过18 t的部分收费标准/(元/t)2.00 2.503.00 某户5月份交水费45元，则所用水量为__________．18．火车匀速通过隧道时，火车在隧道内的长度y(m)与火车行驶时间x(s)之间的关系用图象描述如图所示，有下列结论：①火车的长度为120 m；②火车的速度为30 m/s；③火车整体都在隧道内的时间为25 s；④隧道的长度为750 m.其中，正确的结论是__________(把你认为正确结论的序号都填上)．三、解答题(19，20，23题每题14分，其余每题12分，共66分)19．【教材P63随堂练习T2变式】下表是橘子的销售额随橘子卖出质量的变化表：质量/kg 1 2 3 4 5 6 7 8 9 …销售额/元 2 4 6 8 10 12 14 16 18 …(1)这个表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？(2)当橘子卖出5 kg时，销售额是________元．(3)如果用x表示橘子卖出的质量，y表示销售额，按表中给出的关系，y与x之间的关系式为____________．(4)当橘子的销售额是100元时，共卖出多少千克橘子？。
北师大版七年级数学下册 第四章 三角形 单元测试训练卷(word版 含解析)
北师大版七年级数学下册第四章 三角形单元测试训练卷一、单选题（共10小题,每小题4分,共40分）1．下列各组数为边,能构成三角形的是（ ）A ．1,2,3B ．2,3,4C ．4,4,8D ．3,5,9 2．如图,65A ∠=︒,45B ∠=︒,则ACD ∠=（ ）A ．65°B ．60°C ．45°D ．110° 3．如图,12,AC AD ∠=∠=,要使ABC AED ≌△△,还需添加一个条件,那么在以下条件中不能选择的是（ ）A ．AB AE = B ．BC ED = C ．C D ∠=∠ D ．BE ∠=∠ 4．若△ABC 的一个外角等于其中一个内角,则（ ）A ．必有一个内角等于30°B ．必有一个内角等于45°C ．必有一个内角等于60°D ．必有一个内角等于90° 5．如果一个三角形的两边长分别为3和7,则第三边长可能是（ ）． A ．3 B ．4 C ．7 D ．10 6．如图,一名工作人员不慎将一块三角形模具打碎成三块,他要带其中一块或两块碎片到商店去配一块与原来一样的三角形模具,他带（ ）去最省事．A．△B．△C．△D．△△7．已知：如图,在长方形ABCD中,AB＝4,AD=6,延长BC到点E,使CE＝2,连接DE,点P 以每秒2个单位的速度沿BC﹣CD﹣DA向终点A运动,设点P的运动时间为t秒（）秒时．△ABP和△DCE全等．A．1B．1或3C．1或7D．3或78．如图,△CAB＝△DBA,再添加一个条件,不一定能判定△ABC△△BAD的是（）A．AC＝BD B．△1＝△2C．△C＝△D D．AD＝BC 9．如图,在△ABC中,△BAC＝90°,AB=AC,AD是经过A点的一条直线,且B、C在AD的两侧,BD△AD于D,CE△AD于E,交AB于点F,CE=10,BD＝4,则DE的长为（）A．6B．5C．4D．810．如图,在ABC中,△ACB＝45°,AD△BC,BE△AC,AD与BE相交下点F,连接并延长CF交AB于点G,△AEB的平分线交CG的延长线于点H,连接AH．则下列结论：△△EBD＝45°；△AH＝HF；△ABD△CFD；△CH＝AB+AH；△BD＝CD﹣AF．其中正确的有（）个．A ．5B ．4C ．3D ．2二、填空题（共6小题,每小题4分,共24分）11．用木棒钉成一个三角架,两根小棒长分别是7cm 和10cm,第三根小棒长为x cm,则x 的取值范围是___．12．如图所示,某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块,现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃,那么最省事的办法是带________去玻璃店．13．如图,AB ＝AC ,D ,E 分别是AB ,AC 上的点,添加一个条件能判断△ABE △△ACD 的是____．14．如图,A E ∠=∠,AC BE ⊥,AB EF =,25BE =,8=CF ,则AC =_______．15．在△ABC 中,D 、E 分别是BC 、AD 的中点,S △ABC ＝4cm 2,则S △ABE ＝_____．16．如图,ABC 和ADE 均为等边三角形,D ,E 分别在边AB ,AC 上,连接BE ,CD ,若15ACD =︒∠,则CBE =∠__________．三、解答题（共6小题, 56分）17．如图,在ABC ∆中,AD BC ⊥,垂足为D ,BE AC ⊥,垂足为E ,AE BE =,AD 与BE 相交于点F ．(1)请说明AEF BEC ∆∆≌的理由．(2)如果2AF BD =,试说明AD 平分BAC ∠的理由．18．如图,△ABC中,D为BC上一点,△C=△BAD,△ABC的角平分线BE交AD于点F．(1)求证：△AEF=△AFE；(2)G为BC上一点且FE平分△AFG．求证：AB=GB19．如图,已知AE△AB,AF△AC,AE＝AB,AF＝AC．求证：(1)EC＝BF；(2)EC△BF．20．探索归纳：(1)如图1,已知ABC 为直角三角形,90A ∠=︒,若沿图中虚线剪去A ∠,则12∠+∠=________︒．(2)如图2,已知ABC 中,40A ∠=︒,剪去A ∠后成四边形,则12∠+∠=__________︒．(3)如图2,根据（1）与（2）的求解过程,请你归纳猜想12∠+∠与A ∠的关系是___________．(4)如图3,若没有剪掉,而是把它折成如图3形状,试探究12∠+∠与A ∠的关系并说明理由．21．在△BAC中,△BAC＝90°,AB＝AC,AE是过A的一条直线,BD△AE于点D,CE△AE于E．(1)如图（1）所示,若B,C在AE的异侧,易得BD与DE,CE的关系是DE＝；(2)若直线AE绕点A旋转到图（2）位置时,（BD＜CE）,其余条件不变,问BD与DE,CE 的关系如何？请予以证明；(3)若直线AE绕点A旋转,（BD＞CE）,问BD与DE,CE的关系如何？请直接写出结果,不需证明．22．如图,AB=12cm,AC△AB,BD△AB,AC=BD=9cm,点P在线段AB上以3cm/s的速度,由A向B运动,同时点Q在线段BD上由B向D运动；设点P的运动时间为t秒．(1) PB=________ cm．（用含t的代数式表示）(2)如图1,若点Q的运动速度与点P的运动速度相等,当运动时间t=1秒时,△ACP与△BPQ是否全等？并说明理由．(3)如图2,将“AC△AB,BD△AB”改为“△CAB=△DBA”,其余条件不变；设点Q的运动速度为xcm/s,是否存在实数x,使得△ACP与△BPQ全等？若存在,求出相应的x、t的值；若不存在,请说明理由．参考答案：1．B【解析】【分析】根据三角形的三边关系：两边之和大于第三边,两边之差小于第三边,逐项分析判断即可．【详解】解：A. 1+2=3 ,不能构成三角形,故该选项不符合题意；B. 2+3＞4,能构成三角形,故该选项符合题意；C. 4+4=8,不能构成三角形,故该选项不符合题意；D. 3+5<9,不能构成三角形,故该选项不符合题意；故选B【点睛】本题考查了构成三角形的条件,掌握三角形三边关系是解题的关键．2．D【解析】【分析】根据三角形外角的性质求解即可．【详解】解：△65A ∠=︒,45B ∠=︒,△110ACD A B ∠=∠+∠=︒,故选：D ．【点睛】本题考查了三角形外角的性质,熟练掌握三角形外角的性质是解题的关键．3．B【解析】【分析】由△1=△2,可得∠BAC=∠EAD ,又AC=AD ,可知在△ABC 和△AED 中,已知一角及其临边对应相等,要证两三角形全等,任意再找一对角对应相等,或者找已知角的另一边对应相等,由此可得答案．解：△△1=△2,△∠BAC=∠EAD ,当AB=AE 时,根据SAS 可得ABC AED ≌△△；当C D ∠=∠时,根据ASA 可得ABC AED ≌△△；当B E ∠=∠时,根据AAS 可得ABC AED ≌△△；当BC=ED 时,SSA 不能判定两个三角形全等,故答案为：B【点睛】本题考查三角形全等的判定,角的和差是常考的判定已知角相等的方法,熟知三角形全等的判定定理是解题的关键．4．D【解析】【分析】根据三角形的外角性质、邻补角的概念计算即可．【详解】解：△三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角,△△ABC 的一个外角等于其中一个内角时,这个外角等于它的邻补角,△这个三角形必有一个内角等于90°,故选：D ．【点睛】本题考查的是三角形的外角性质,掌握三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角是解题的关键．5．C【解析】【分析】根据三角形三边之间的关系即可判定．【详解】解：设第三边长为x ,则4<x <10,所以选项中符合条件的整数只有7．故选：C ．本题考查了三角形三边关系,三角形中,任意两边之差小于第三边,任意两边之和大于第三边．6．C【解析】【分析】根据全等三角形的判定方法“角边角”可以判定应当带△去．【详解】解：由图形可知,△有完整的两角与夹边,根据“角边角”可以作出与原三角形全等的三角形, 所以,最省事的做法是带△去．故选：C．【点睛】本题考查了全等三角形的判定方法,正确理解“角边角”的内容是解题的关键．7．C【解析】【分析】分P点在线段BC上和P点在线段AD上两种情况讨论,当P点在线段BC上时得到△ABP=△DCE=90°,BP=CE=2进而求解；当P点在线段AD上时得到△BAP=△DCE=90°,AP=CE=2进而求解．【详解】解：由题意可知：AB=CD,当P点在线段BC上时：△ABP=△DCE=90°,BP=CE=2,此时△ABP△△DCE(SAS),由题意得：BP=2t=2,△t=1；当P点在线段AD上时：△BAP=△DCE=90°,AP=CE=2,此时△BAP△△DCE(SAS),由题意得：AP=16-2t=2,△t=7．△当t的值为1或7秒时．△ABP和△DCE全等．故答案为：C．【点睛】本题考查了三角形全等的判定方法,注意要分类讨论,熟练掌握三角形全等判定方法是解题的关键．8．D【解析】【分析】根据全等三角形的判定定理（SAS,ASA,AAS,SSS）判断即可．【详解】解答：解：A.△AC＝BD,△CAB＝△DBA,AB＝AB,△根据SAS能推出△ABC△△BAD,故本选项错误；B.△△CAB＝△DBA,AB＝AB,△1＝△2,△根据ASA能推出△ABC△△BAD,故本选项错误；C.△△C＝△D,△CAB＝△DBA,AB＝AB,△根据AAS能推出△ABC△△BAD,故本选项错误；D.根据AD＝BC和已知不能推出△ABC△△BAD,故本选项正确；故选：D．【点睛】本题考查了对全等三角形的判定定理的应用,注意：全等三角形的判定定理有SAS,ASA,AAS,SSS．9．A【解析】【分析】根据△BAC＝90°得到△BAD+△CAD＝90°,由于CE△AD于E,于是得到△ACE+△CAE＝90°,根据余角的性质得到△BAD＝△ACE,推出△ABD△△CAE,根据全等三角形的性质即可得到结论．【详解】解：△△BAC＝90°,△△BAD+△CAD＝90°,△CE△AD于E,△△ACE+△CAE＝90°,△△BAD＝△ACE,在△ABD 与△CAE 中,90D AEC BAD ACE AB AC ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩, △△ABD △△CAE （AAS ）,△AE ＝BD ＝4,AD ＝CE ＝10,△DE ＝AD ﹣AE ＝6．故选：A ．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质,解题的关键是利用余角的性质得到△BAD ＝△ACE ． 10．A【解析】【分析】△利用三角形内角和定理即可说明其正确；△利用垂直平分线的性质即可说明其正确；△利用SAS 判定全等即可；△利用△中的结论结合等量代换和等式的性质即可得出结论；△利用△中的结论结合等量代换和等式的性质即可得出结论．【详解】如图所示,设EH 与AD 交于点M ,△△ACB ＝45°,BE △AC ,△△EBD ＝90°﹣△ACD ＝45°,故△正确；△AD △BC ,△EBD ＝45°,△△BFD ＝45°,△△AFE ＝△BFD ＝45°,△BE △AC ,△△F AE ＝△AFE ＝45°,△△AEF 为等腰直角三角形,△EM 是△AEF 的平分线,△EM △AF ,AM ＝MF ,即EH 为AF 的垂直平分线,△AH ＝HF ,△△正确；△AD △BC ,△ACD ＝45°,△△ADC 是等腰直角三角形,△AD ＝CD ,同理,BD ＝DF ,在△ABD 和△CFD 中,90AD CD ADB CDF BD FD =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩, △△ABD △△CFD （SAS ）,△△正确；△△ABD △△CFD ,△CF ＝AB ,△CH ＝CF +HF ,由△知：HF ＝AH ,△CH ＝AB +AH ,△△正确；△BD ＝DF ,CD ＝AD ,又△DF ＝AD ﹣AF ,△BD ＝CD ﹣AF ,△△正确,综上,正确结论的个数为5个．故选：A ．【点睛】本题考查了直角三角形的性质,全等三角形的判定与性质,等腰直角三角形的判定与性质,垂直平分线的判定与性质等相关知识,综合性较强,难度较大,做题时要分清角的关系与边的关系．11．3＜x＜17【解析】【分析】根据三角形的三边关系：两边之和大于第三边,两边之差小于第三边,确定出第三边的取值范围即可得出答案．【详解】解：设第三根小棒的长为x cm,根据三角形的三边关系可得：10-7＜x＜10+7,即3＜x＜17,故答案为3＜x＜17．【点睛】本题考查了三角形的三边关系．三角形的三边关系：第三边大于两边之差而小于两边之和．12．△【解析】【分析】观察每块玻璃形状特征,利用ASA判定三角形全等可得出答案．【详解】第一块和第二块只保留了原三角形的一个角和部分边,根据这两块中的任一块均不能配一块与原来完全一样的；第三块不仅保留了原来三角形的两个角还保留了一边,则可以根据ASA 来配一块一样的玻璃．应带△去．故答案为：△．【点睛】本题属于利用ASA判定三角形全等的实际应用,难度不大,但形式较颖,要善于将所学知识与实际问题相结合．13．AD＝AE（答案不唯一）【解析】【分析】根据全等三角形的判定定理添加条件可以,添加AD ＝AE ,根据SAS 证明△ABE △△ACD 即可．【详解】解：添加的条件是AD ＝AE ,理由是：在△ABE 和△ACD 中,AE AD A A AB AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,△△ABE △△ACD （SAS ）,故答案为：AD ＝AE （答案不唯一）．【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理,熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 14．17【解析】【分析】由“AAS ”可证ABC EFC ∆≅∆,可得AC CE =,9BC CF ==,即可求解．【详解】解：AC BE ⊥,90ACB ECF ∴∠=∠=︒,在ABC ∆和EFC ∆中,A E ACB ECF AB EF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩, ()ABC EFC AAS ∴∆≅∆,AC CE ∴=,8BC CF ==,25817AC CE BE BC ∴==-=-=,故答案为：17．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质,解题的关键是证明三角形全等．15．1cm 2【解析】【分析】根据三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形的性质分析,即可得到答案．【详解】∵D 是BC 的中点,S △ABC ＝4cm 2∴S △ABD ＝12S △ABC ＝12×4＝2cm 2∵E 是AD 的中点,∴S △ABE ＝12S △ABD ＝12×2＝1cm 2故答案为：1cm 2．【点睛】本题考查了三角形中线的知识；解题的关键是熟练掌握三角形中线的性质,从而完成求解． 16．45︒##45度【解析】【分析】根据题意利用全等三角形的判定与性质得出()BD C S ED E SA ≅和15EBD ACD ︒∠=∠=,进而依据CBE =∠ABC EBD ∠-∠进行计算即可.【详解】解：△ABC 和ADE 均为等边三角形,△,,AB AC AE AD EC DB ===,△60,120,AED ADE ABC DEC EDB ︒︒∠=∠=∠=∠=∠=在CED 和BDE 中, EC DB DEC EDB ED ED =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩, △()BD C S ED E SA ≅,△15EBD ACD ︒∠=∠=,△CBE =∠601545ABC EBD ︒︒︒∠-∠=-=.故答案为：45︒.【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质以及等边三角形的性质,熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键.17．(1)见解析(2)见解析【解析】【分析】（1）由余角的性质可证DAC EBC ∠=∠,根据“ASA”可证结论成立；（2）由AEF BEC ∆∆≌可得AF BC =,结合2AF BD =可知BD CD =,然后根据“SAS”证明△ABD △△ACD 可证结论成立．(1)证明：AD BC ⊥,BE AC ⊥,90ADC ∴∠=,△AEB =△CEB =90°,90DAC C +∠=∴∠,△EBC +△C =90°,DAC EBC =∠∴∠,在AEF ∆与BEC ∆中,EAF EBC AEF BEC AE BE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩, ()ΔΔASA AEF BEC ∴≌．(2)解：由（1）知,AF BC =,2AF BD =,2BC BD ∴=,D ∴是BC 的中点,BD CD ∴=,在△ABD 和△ACD 中AD AD ADB ADC BD CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩, △△ABD △△ACD ,△BAD CAD ∠=∠,AD ∴平分BAC ∠．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质,余角的性质,角平分线的定义,熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．18．(1)证明见解析(2)证明见解析【解析】【分析】（1）先根据角平分线的定义得到△1=△2,再由三角形外角的性质得到△AEF=△2+△C,△AFE=△1+△BAD,由△C=△BAD,即可推出△AEF=△AFE；（2）根据角平分线的定义得到△AFE=△GFE,再由△AFB＋△AFE=180°,△BFG+△GFE=180°,得到△AFB=△BFG,然后证明△ABF△△GBF即可得到AB=GB．(1)解：△BE是△ABC的角平分线,△△1=△2,△△AEF、△AFE分别是△BCE、△ABF的外角,△△AEF=△2+△C,△AFE=△1+△BAD,又△△C=△BAD,△△AEF=△AFE；(2)解：△FE平分△AFG,△△AFE=△GFE,△△AFB＋△AFE=180°,△BFG+△GFE=180°,△△AFB=△BFG,在△ABF和△GBF中12AFB BFG BF BF∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩, △△ABF △△GBF (ASA )△AB =GB ．【点睛】本题主要考查了角平分线的定义,全等三角形的性质与判定,三角形外角的性质,熟知相关知识是解题的关键．19．(1)见解析(2)见解析【解析】【分析】（1）先求出△EAC =△BAF ,然后利用“边角边”证明△ABF 和△AEC 全等,根据全等三角形对应边相等即可证明；（2）根据全等三角形对应角相等可得△AEC =△ABF ,设AB 、CE 相交于点D ,根据△AEC +△ADE =90°可得△ABF +△ADM =90°,再根据三角形内角和定理推出△BMD =90°,从而得证．(1)△AE △AB ,AF △AC ,△△BAE =△CAF =90°,△△BAE +△BAC =△CAF +△BAC ,即△EAC =△BAF ,在△ABF 和△AEC 中,AE AB EAC BAF AF AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩, △△ABF △△AEC （SAS ）,△EC =BF ；(2)如图,设AB 交CE 于D根据（1）,△ABF△△AEC,△△AEC=△ABF,△AE△AB,△△BAE=90°,△△AEC+△ADE=90°,△△ADE=△BDM（对顶角相等）,△△ABF+△BDM=90°,在△BDM中,△BMD=180°-△ABF-△BDM=180°-90°=90°,所以EC△BF．【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识,解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题,学会利用“8字型”证明角相等．20．(1)270(2)220∠+∠=︒+∠(3)12180A(4)122A∠+∠=∠,理由见解析【解析】【分析】(1)利用三角形的外角定理及直角三角形的性质求解；(2)利用三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和求解；(3)根据(1)、(2)中思路即可求解；∠=︒-∠, (4)根据折叠对应角相等,得到AFE PFE∠=∠,AEF PEF∠=∠,进而求出11802AFE∠+∠=︒-∠即可求解．AFE AEF A∠=︒-∠,最后利用18021802AEF(1)解：如下图所示：在△AEF中,由外角性质可知：△1=△A+△EF A=90°+△EF A,△2=△A+△AEF=90°+△AEF,△△1+△2=(90°+△EF A)+( 90°+△AEF)=180°+△EF A+△AEF,△△ABC为直角三角形,△△A=90°,△EF A+△AEF=180°-△A=90°,△△1+△2=180°+90°=270°．(2)解：如下图所示：在△AEF中,由外角性质可知：△1=△A+△EF A,△2=△A+△AEF,△△1+△2=(△A+△EF A)+( △A+△AEF)=(△A +△EF A+△AEF)+∠A=180°+40°=220°．(3)解：由(1)、(2)中思路,由三角形外角性质可知：△1=△A +△EF A ,△2=△A +△AEF ,△△1+△2=(△A +△EF A )+( △A +△AEF )=(△A +△EF A +△AEF)+∠A =180°+∠A ,△12∠+∠与A ∠的关系是：△1+△2=180°+∠A ．(4)解：12∠+∠与A ∠的关系为：122A ∠+∠=∠,理由如下：如图,△EFP △是由EFA △折叠得到的,△AFE PFE ∠=∠,AEF PEF ∠=∠,△11802AFE ∠=︒-∠,21802AEF ∠=︒-∠,△()12(1802)(1802)3602AFE AEF AFE AEF ∠+∠=︒-∠+︒-∠=︒-∠+∠,又△180AFE AEF A ∠+∠=︒-∠,△()1236021802A A ∠+∠=︒-︒-∠=∠,△12∠+∠与A ∠的关系122A ∠+∠=∠．【点睛】主要考查了折叠的性质及三角形的内角和外角之间的关系：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和、三角形的内角和是180度．求角的度数常常要用到“三角形的内角和是180°”这一隐含的条件．21．(1)BD ﹣EC(2)BD ＝DE ﹣CE ．见解析(3)当B ,C 在AE 的同侧时,BD ＝DE ﹣CE ；当B ,C 在AE 的异侧时,BD ＝DE +CE ．【解析】【分析】（1）通过互余关系可得△ABD ＝△CAE ,进而证明△ABD △△ACE （AAS ）,即可求得BD ＝AE ,AD ＝EC ,进而即可求得关系式；（2）方法同（1）证明△ABD △△CAE （AAS ）,进而得出结论；（3）综合（1）（2）结论,分当B ,C 在AE 的同侧或异侧时,写出结论即可．(1)结论：DE ＝BD ﹣EC ．理由：如图1中,△BD △AE ,CE △AE ,△△ADB ＝△CEA ＝90°,△△ABD +△BAD ＝90°,又△△BAC ＝90°,△△EAC +△BAD ＝90°,△△ABD ＝△CAE ,在△ABD 与△ACE 中,ADB CEA ABD CAE AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩, △△BAD △△ACE （AAS ）,△BD ＝AE ,AD ＝EC ,△BD ＝DE +CE ,即DE ＝BD ﹣EC ．故答案为：BD ﹣EC ；(2)结论：BD ＝DE ﹣CE ．理由：如图2中,△BD △AE ,CE △AE ,△△ADB ＝△CEA ＝90°,△△ABD +△BAD ＝90°,又△△BAC ＝90°,△△EAC +△BAD ＝90°,△△ABD ＝△CAE ,在△ABD 与△CAE 中,ADB CEA ABD CAE AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩, △△ABD △△CAE （AAS ）,△BD ＝AE ,AD ＝EC ,△BD ＝DE ﹣CE ；(3)归纳：由（1）（2）可知：当B ,C 在AE 的同侧时,BD ＝DE ﹣CE ；当B ,C 在AE 的异侧时,BD ＝DE +CE ．【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定,掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． 22．(1)（12-3t ）(2)△CAP △△PBQ ,理由见解析(3)满足条件的点Q 的速度为3或92cm /s ． 【解析】【分析】（1）求出AP ,再根据题意写出PB 的值即可；（2）求出AP ,PB ,BQ 的值,根据SAS 证明△CAP △△PBQ （SAS ）即可；（3）分两种情形分别求解：△由（1）可知,Q 的速度为3cm /s 时,△ACP △△BPQ ,这种情形符合题意．△当P A =PB ,AC =BQ 时,△APC △△BPQ （SAS ）,首先确定运动时间,再求出点Q 的运动速度即可．(1)解：由题意：P A =3t （cm ）,△AB =12cm ,△PB =AB -AP =12-3t （cm ）,故答案为：（12-3t ）；(2)解：△CAP△△PBQ,理由如下：由题意：t=1（s）时,P A=BQ=3（cm）,△AB=12cm,△PB=AB-AP=12-3=9（cm）,△AC=9cm,△AC=BP,△△CAP=△PBQ=90°,P A=BQ,△△CAP△△PBQ（SAS）；(3)解：△由（2）可知,Q的速度为3cm/s时,△ACP△△BPQ,这种情形符合题意．△当P A=PB,AC=BQ时,△APC△△BPQ（SAS）,△t=63=2（s）,△点Q的运动速度为92cm/s．△满足条件的点Q的速度为3或92cm/s．【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质,掌握全等三角形的判定定理和性质定理、注意分类讨论思想的灵活运用是解题的关键．。
第四章三角形 章节测试同步练习2022-2023学年北师大版七年级数学下册
北师大版七下三角形章节测试一、选择题（共11小题）1. 下列各图中a，b，c为三角形的边长，则甲、乙、丙三个三角形和左侧△ABC全等的是( )A. 甲和乙B. 乙和丙C. 甲和丙D. 只有丙2. 如果过三角形重心的一条直线将该三角形分成两个直角三角形，则该三角形一定是( )A. 锐角三角形B. 钝角三角形C. 等腰三角形D. 等边三角形3. 已知三角形三边长分别为2，x，13，若x为正整数，则这样的三角形个数为( )A. 2B. 3C. 5D. 134. 用直尺和圆规作已知角的平分线的示意图如图所示，则说明∠CAD=∠DAB的依据是( )A. SSSB. SASC. ASAD. AAS5. 一块三角形玻璃，被摔成如图所示的四块，小敏想去店里买一块形状、大小与原来一样的玻璃，借助“全等三角形”的相关知识，小敏只带了一块去，则这块玻璃的编号是( )A. ①B. ②C. ③D. ④6. 根据下列条件，能唯一画出△ABC的是( )A. AB=3，BC=4，AC=8B. AB=4，BC=3，∠A=30∘C. ∠A=60∘，∠B=45∘，AB=4D. ∠C=90∘，AB=67. 根据下列已知条件，能作出唯一△ABC的是( )A. AB=3，BC=4，CA=8B. AB=4，BC=3，∠A=60∘C. ∠A=60∘，∠B=45∘，AB=4D. ∠C=90∘，∠B=30∘，∠A=60∘8. 下列长度的三条线段，不能组成三角形的是( )A. 3，8，4B. 4，9，6C. 15，20，8D. 9，15，89. 下列说法中错误的是( )A. 三角形的三个内角中，最多有一个钝角B. 三角形三个内角中，至少有两个锐角C. 直角三角形中有两个锐角互余D. 三角形中两个内角和必大于90∘10. 两个边长分别为a，b，c的直角三角形和一个两条直角边都是c的直角三角形拼成如图所示的图形，用两种不同的计算方法计算这个图形的面积，则可得等式为( )A. (a+b)2=c2B. (a−b)2=c2C. a2+b2=c2D. a2−b2=c211. 如图，点B，C分别在AE，AD上，BD与CE相交于点O，如果AB=AC，AD=AE，那么图中的全等三角形共有( )A. 2对B. 3对C. 4对D. 5对二、填空题（共8小题）12. 已知△ABC的两条中线AD，BE相交于点F．如果AF=10，那么AD的长为．13. 请完善本课的知识结构图：14. 如图是5×5的正方形网络，以点D，E为两个顶点作位置不同的格点三角形，使所作的格点三角形与△ABC全等，这样的格点三角形最多可以画出个．15. 如图，在5×5的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，以AB为一边画一个等腰三角形ABC，使点C在格点上，点C的个数．16. 在△ABC中，如果∠A−∠B=90∘，则△ABC是三角形．17. 若直角三角形的一个锐角为15∘，则另一个锐角等于．18. 如图，一块三角形玻璃碎成了Ⅰ、Ⅱ两块，现需购买同样大小的一块三角形玻璃，为方便起见，只需带上第块玻璃碎片．19. 如图所示，图中有个三角形，其中以AB为边的三角形为，含∠OCB的三角形为．在△BOC中，OC的对角是，∠OCB的对边是．三、解答题（共5小题）20. 如图所示的每个图形中各有多少个三角形?21. 如图，已知 A ，D ，C ，F 在同一条直线上，AC =FD ，AB =FE ，∠A =∠F ，请说明 △ABC 与△FED 全等的理由．22. 一个三角形的三个内角度数之比为 1:1:2．求这个三角形三个内角的度数，并说明该三角形的形状．23. 如图，AB 与 CD 相交于点 O ，如果 ∠A =∠C ，OA =OC ，那么 △AOD 与 △COB 全等吗?为什么?解：在 △AOD 和 △COB 中，{ ( ), ( ),∠AOD =∠COB ( ), 所以 △AOD ≌△COB ( )．24. 如图①，在 Rt △ABC 中，∠C =90∘，BC =9 cm ，AC =12 cm ，AB =15 cm ，现有一动点 P ，从点 A 出发，沿着三角形的边 AC →CB →BA 运动，回到点 A 停止，速度为 3 cm/s ，设运动时间为 t s ．（1）如图①，当t=时，△APC的面积等于△ABC面积的一半；（2）如图②，在△DEF中，∠E=90∘，DE=4cm，DF=5cm，∠D=∠A．在△ABC的边上，若另外有一个动点Q，与点P同时从点A出发，沿着边AB→BC→CA运动，回到点A停止．在两点运动过程中的某一时刻，恰好使△APQ≌△DEF，求点Q的运动速度．答案1. B2. C【解析】∵三角形重心是三角形三边中线的交点，过这一点的直线恰好分三角形为两个直角三角形，则这条线在三角形内部的线段是高，利用三角形“三线合一”的性质，即可推断这是等腰三角形．3. B4. A【解析】从角平分线的作法得出，△AFD与△AED的三边对应相等，则△AFD≌△AED(SSS)，所以∠CAD=∠DAB．5. C【解析】因为第③块中有完整的两个角以及他们的夹边，利用ASA易证三角形全等，故应带第3块．故选：C．6. C7. C【解析】A. ∵AB=3，BC=4，CA=8，AB+BC<CA，∴不能画出三角形，故本选项不合题意；B. AB=4，BC=3，∠A=60∘，不能画出唯一三角形，故本选项不合题意；C.当∠A=60∘，∠B=45∘，AB=4时，根据“ASA”可判断△ABC的唯一性；D.已知三个角，不能画出唯一三角形，故本选项不符合题意．8. A9. D【解析】A、三角形的三个内角中，最多有一个钝角，正确．B 、三角形三个内角中，至少有两个锐角，正确．C、直角三角形中有两个锐角互余，正确，D、三角形中两个内角和必大于90∘，错误，比如钝角三角形的两个锐角的和小于90∘．10. C【解析】根据题意得：S=12(a+b)(a+b)，S=12ab+12ab+12c2，∴12(a+b)(a+b)=12ab+12ab+12c2，即(a+b)(a+b)=ab+ab+c2，整理得：a2+b2=c2．11. C12. 1513. 不在同一直线上，首尾顺次联结，三角形任意两边的和大于第三边，三角形任意两边的差小于第三边，AD，AD，BC，ADB，ADC，AE，BE，CE，BC，BC，BE，CE，AF，∠BAF，∠CAF，∠BAC，∠BAC，∠BAF，∠CAF14. 415. 7【解析】16. 钝角【解析】因为 ∠A −∠B =90∘，所以 ∠A =90∘+∠B ，所以 ∠A 是钝角，所以 △ABC 是钝角三角形．17. 75∘【解析】∵ 直角三角形的一个锐角为 15∘，∴ 另一个锐角 =90∘−15∘=75∘．18. Ⅰ19. 8，△ABO ；△ABC ；△ABD ，△BOC ；△ABC ，△OBC ，OB【解析】题图中有 8 个三角形，分别是 △ABO ，△ABD ，△ABC ，△BOC ，△ODC ，△BDC ，△ADO ，△ADC ，其中以 AB 为边的三角形为 △ABO ，△ABC ，△ABD ；含 ∠OCB 的三角形为 △BOC ，△ABC ．在 △BOC 中，OC 的对角是 ∠OBC ，∠OCB 的对边是 OB ．20. 如图所示，（1）中有 8 个三角形；（2）中有 5 个三角形；（3）中有 6 个三角形．21. 在 △ABC 和 △FED 中，{AC =DF(已知),∠A =∠F(已知),AB =FE(已知),所以 △ABC ≌△FED (SAS )．22. 45∘，45∘，90∘．等腰直角三角形．23. ∠A =∠C ；已知；OA =OC ；已知；对顶角相等；ASA24. （1） 112 或 192【解析】①当点 P 在 BC 上时，如图 1，若△APC的面积等于△ABC面积的一半，则12AC⋅CP=12⋅12AC⋅CB，∴CP=12BC=92cm，此时，点P移动的距离为AC+CP=12+92=332cm，∴移动的时间为332÷3=112s．②当点P在BA上时，过点C作CD⊥AB，交AB于D，如图2，若△APC的面积等于△ABC面积的一半，则12AP⋅CD=12⋅12AB⋅CD，∴AP=12AB，即点P为BA的中点，此时，点P移动的距离为AC+CB+BP=12+9+152=572cm，∴移动的时间为572÷3=192s．故答案为112或192．（2）∵△APQ≌△DEF，∴对应顶点为A与D，P与E，Q与F．①当点P在AC上时，如图3所示：此时，AP=4cm，AQ=5cm，∴点Q移动的速度为5÷(4÷3)=154cm/s．②当点P在AB上时，如图4所示：此时AP=4cm，AQ=5cm，即点P移动的距离为AC+CB+BP=9+12+15−4=32cm，点Q移动的距离为AB+BC+CQ=15+9+12−5=31cm，∴点Q移动的速度为31÷(32÷3)=9332cm/s，综上所述，点Q的运动速度为154cm/s或9332cm/s．第11页（共11 页）。
北师大版七年级数学下册第四章单元测试题(含答案)
第四章三角形一．选择题（共10小题，每小题4分，满分40分.每小题只有一个正确的选项.）1.在下列图形中，最具有稳定性的是()2.如面是个网球场地，在A、B、C、D、E、F六个图形中，其中全等图形有()A.1对B.2对C.3对D.4对第2题图第3题图第4题图3.在课堂上，老师把教学用的两块三角板叠放在一起，得到如图所示的图形，其中三角形有()A．2个B．3个C．5个D．6个4.已知：∠AOB.作法:(1)作射线O'A';(2)以点O为圆心，以任意长为半径作弧，交OA于C，交OB于D;(3)以点O'为圆心，以OC长为半径作弧，交O’A'于C';(4)以点C'为圆心，以CD长为半径作弧，交前弧于D';(5)经过点D'作射线O'B'．∠A'D'B'就是所求的角．这个作图是() A.平分已知角 B.作一个角等于已知角C.作一个三角形等于已知三角形D.作一个角的平分线5.下列各三角形中，能正确画出AC边长的高的是()A B C D6.下列各组线段的长度，能构成三角形的是()A．3、4、8B．5、6、10C．5、6、11D．2、3、6 7.若一个三角形三个内角的度数之比为2∶3∶7，则此三角形一定是()A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．等腰三角形8.如图1，已知AB=AC，D为∠BAC的角平分线上面一点，连接BD，CD；如图2，已知AB=AC，D、E为∠BAC的角平分线上面两点，连接BD，CD，BE，CE；如图3，已知AB=AC，D、E、F为∠BAC的角平分线上面三点，连接BD，CD，BE，CE，BF，CF；…，依此规律，则第n个图形中有全等三角形的对数是()A．n B．2n﹣1C．(1)2n nD．3(n+1)9.如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A在四边形BCDE的外部时，关于∠A，∠1与∠2的数量关系，下列结论正确的是()A．∠1＝∠2＋∠A B．∠1＝2∠A＋∠2C．∠1＝2∠2＋2∠A D．2∠1＝∠2＋∠A第9题图第12题图第13题图10.若三角形的三边长分别为2，a－1，4，则化简|a－3|＋|a－7|的结果为()A．2a－10B．10－2a C．4D．－4二．填空题（每空4分，共24分)11.已知在直角△ABC中，有一个锐角等于50°，则另一个锐角的度数是°.12.如图，生活中都把自行车的几根梁做成三角形的支架，这是因为三角形具有性．13.如图,在△ABC中,∠ABC,∠ACB的平分线交于点O,若∠BOC＝132°,则∠A=°.14.一个缺角的三角形ABC残片如图，若量得∠A=60°，∠B=75°，则这个三角形残缺前的∠C=°.第14题图第15题图第16题图15.如图,AD是△ABC的角平分线,BE是△ABC的高,若∠BAC＝40°,则∠AFE=_°．16.如图，D、E分别是△ABC边AB、BC上的点，AD=2BD，BE=CE，设△ADC的面积为S1，△ACE的面积为S2，若S△ABC=6，则S1﹣S2的值为．三．解答题(满分86分)17.在我市19年春季田径运动会上，某校七年级(1)班的全体同学荣幸成为拉拉队队员，为了在明天的比赛中给同学加油助威，提前每人制作了一面同一规格的直角三角形彩旗．队员小明放学回家后，发现自己的彩旗破损了一角，他想用如下图所示的长方形彩纸重新制作一面彩旗．请你帮助小明，用直尺与圆规在彩纸上作出一个与破损前完全一样的三角形(保留作图痕迹，不写作法)．18.如图，在△ABC 中，AE 是角平分线，AD 是高，∠BAC ＝80°，∠EAD ＝10°，求∠B 的度数.19.如图，A ，B 两个建筑物分别位于河的两岸，要测得它们之间的距离，可以从B 出发沿河岸画一条射线BF ，在BF 上截取BC ＝CD ，过D 作DE ∥AB ，使E ，C ，A 在同一条直线上，则DE 的长就等于A ，B 之间的距离，请你说明道理．第17题图第18题图第19题图20.已知，a ，b ，c 为△ABC 的三边长，b ，c 满足(b －2)2＋|c －3|＝0，且a 为方程|a －4|＝2的解，求△ABC 的周长，并判断△ABC 的形状．21.如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AE 是角平分线，CD 是高，AE ，CD 相交于点F ，试说明：∠CEF ＝∠CFE .22.如图，在△ABC 和△DAE 中，D 是AC 边上一点，AD ＝AB ，DE ∥AB ，DE ＝AC .求证：AE =BC .23.如图，有一块直角三角板XYZ 放置在△ABC 中，三角板的两条直角边XY 和XZ 恰好分别经过点B 和点C .(1)若∠A ＝30°，则∠ABX ＋∠ACX 的大小是多少？(2)若改变三角板的位置，但仍使点B ，C 分别在三角板的边XY 和第21题图第22题图边XZ 上，此时∠ABX ＋∠ACX 的大小有变化吗？请说明你的理由．24.如图1，已知线段AB 、CD 相交于点O ，连接AC 、BD ，则我们把形如这样的图形称为“8字型”．(1)试说明：∠A +∠C ＝∠B +D ；(2)如图2，若∠CAB 和∠BDC 的平分线AP 和DP 相交于点P ，且与CD 、AB 分别相交于点M 、N ．①以线段AC 为边的“8字型”有个，以点O 为交点的“8字型”有个；②若∠B ＝100°，∠C ＝120°，求∠P 的度数；③若角平分线中角的关系改为“∠CAP ＝∠CAB ，∠CDP ＝∠CDB ”，试探究∠P 与∠B 、∠C之间存在的数量关系，并证明理由．第23题图第24题图25.“如图1，∠ACB=90°，AC=BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别为D，E，AD=2.5cm，DE=1.7cm，求BE的长．”(1)请你也独立完成这道题；(2)待同学们完成这道题后，张老师又出示了一道题：在课本原题其它条件不变的前提下，将CE所在直线旋转到△ABC的外部(如图2)，请你猜想AD，DE，BE三者之间的数量关系，直接写出结论，不需说理．(3)如图3，将(1)中的条件改为：在△ABC中，AC=BC，D，C，E三点在同一条直线上，并且有∠BEC=∠ADC=∠BCA=α，其中α为任意钝角，那么(2)中你的猜想是否还成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．第25题图参考答案一．选择题（共10小题，每小题4分，满分40分.每小题只有一个正确的选项，请将正确选项填入相应的表格内）题号12345678910答案D C C B D B A C B C二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）11.4012.稳定13.8414.4515.7016.1.三．解答题(满分86分)17.解：18.解：∵AD是高，∴∠ADC＝90°，∵AE是角平分线，∠BAC＝80°，∴∠CAE＝BAC＝40°，∵∠EAD＝10°，∴∠CAD＝30°，∴∠C＝60°，∴∠B＝180°﹣∠BAC﹣∠C＝40°．19.解：∵AB∥DE，∴∠A＝∠E或∠ABC＝∠EDC，在ΔABC与ΔEDC中，∴ΔABC≌ΔEDC(AAS)，∴AB＝ED，即测出ED的长后即可知道A，B之间的距离．20.解:∵(b－2)2＋|c－3|＝0，∴b－2＝0，c－3＝0，解得b＝2，c＝3，∵a为方程|a－4|＝2的解，解得a＝6或2，∵a，b，c为△ABC的三边长，b＋c＜6，∴a＝6不合题意，舍去，∴a＝2，∴△ABC的周长为：2＋2＋3＝7.∵a＝b，∴△ABC是等腰三角形．21.解：∵∠ACB＝90°，CD是高，∴∠ACD＋∠CAB＝90°，∠B＋∠CAB＝90°，∴∠ACD＝∠B.∵AE是角平分线，∴∠CAE＝∠BAE.∵∠CEF＝∠BAE＋∠B，∠CFE＝∠CAE＋∠ACD，∴∠CEF＝∠CFE.22.证明：∵DE∥AB，∴∠ADE＝∠BAC.在△ADE和△BAC中，＝BA，ADE＝∠BAC，＝AC，∴△ADE≌△BAC(SAS)．∴AE＝BC.23.解:(1)∵∠A＝30°，∴∠ABC＋∠ACB＝180°－∠A＝180°－30°＝150°，∵∠YXZ＝90°，∴∠XBC＋∠XCB＝90°，∴∠ABX＋∠ACX＝150°－90°＝60°.(2)∠ABX＋∠ACX的大小没有变化，理由：∵∠ABC＋∠ACB＝180°－∠A，∠YXZ＝90°，∴∠XBC＋∠XCB＝90°，∴∠ABX＋∠ACX＝180°－∠A－90°＝90°－∠A，即∠ABX＋∠ACX的大小没有变化．24.(1)证明：在图1中，有∠A+∠C＝180°﹣∠AOC，∠B+∠D＝180°﹣∠BOD，∵∠AOC＝∠BOD，∴∠A+∠C＝∠B+∠D；(2)解：①3；4；②以M为交点“8字型”中，有∠P+∠CDP＝∠C+∠CAP，以N为交点“8字型”中，有∠P+∠BAP＝∠B+∠BDP∴2∠P+∠BAP+∠CDP＝∠B+∠C+∠CAP+∠BDP，∵AP、DP分别平分∠CAB和∠BDC，∴∠BAP＝∠CAP，∠CDP＝∠BDP，∴2∠P＝∠B+∠C，∵∠B＝100°，∠C＝120°，∴∠P＝(∠B+∠C)＝(100°+120°)＝110°；③3∠P＝∠B+2∠C，其理由是：∵∠CAP＝∠CAB，∠CDP＝∠CDB，∴∠BAP＝∠CAB，∠BDP＝∠CDB，以M为交点“8字型”中，有∠P+∠CDP＝∠C+∠CAP，以N为交点“8字型”中，有∠P+∠BAP＝∠B+∠BDP∴∠C﹣∠P＝∠CDP﹣∠CAP＝(∠CDB﹣∠CAB)，∠P﹣∠B＝∠BDP﹣∠BAP＝(∠CDB﹣∠CAB)．∴2(∠C﹣∠P)＝∠P﹣∠B，∴3∠P＝∠B+2∠C．25.解:(1)∵BE⊥CE，AD⊥CE，∴∠E=∠ADC=90°，∴∠EBC+∠BCE=90°．∵∠BCE+∠ACD=90°，∴∠EBC=∠DCA．∵AC=BC，∴△CEB≌△ADC（AAS），∴BE=DC，CE=AD=2.5．∵DC=CE﹣DE，DE=1.7cm，∴DC=2.5﹣1.7=0.8cm，∴BE=0.8cm；(2)AD+BE=DE，证明：∵BE⊥CE，AD⊥CE，∴∠E=∠ADC=90°，∴∠EBC+∠BCE=90°．∵∠BCE+∠ACD=90°，∴∠EBC=∠DCA．∵AC=BC，∴△CEB≌△ADC（AAS），∴BE=DC，CE=AD，∴DE=CE+DE=AD+BE；(3)、(2)中的猜想还成立，证明：∵∠BCE+∠ACB+∠ACD=180°，∠DAC+∠ACB+∠ACD=180°，∠ADC=∠BCA，∴∠BCE=∠CAD，∵AC=BC，∴△CEB≌△ADC，∴BE=CD，EC=AD，∴DE=EC+CD=AD+BE．。
北师大版数学七年级下册第四章单元测试卷(含答案)
北师大版数学七年级下册第四章单元测试卷一、选择题(本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合要求的)1．若三角形有两个内角的和是85°，那么这个三角形是()A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．不能确定2．如图，已知AB∥CD，∠A＝40°，∠C＝65°，则∠P的度数为() A．20°B．35°C．30°D．25°(第2题)(第5题)3．现有3 cm，4 cm，7 cm，9 cm长的四根木棒，任取其中三根组成一个三角形，那么可以组成的三角形的个数是()A．1 B．2 C．3 D．44．下列说法正确的是()A．全等三角形是指形状相同的三角形B．全等三角形是指面积相等的三角形C．全等三角形的周长和面积相等D．所有等边三角形是全等三角形5．如图，AD是△ABC的角平分线，过点D向AB，AC两边作垂线，垂足分别为E，F，那么下列结论中不一定．．．正确的是()A．BD＝CD B．DE＝DFC．AE＝AF D．∠ADE＝∠ADF6．如图，AD∥BC，AB∥CD，AC，BD交于点O，过点O的直线EF交AD于点E，交BC于点F，且BF＝DE，则图中的全等三角形共有()A．6对B．5对C．3对D．2对(第6题)(第7题)7．工人师傅常用角尺平分一个任意角．做法如下：如图，∠AOB是一个任意角，在边OA，OB上分别取OM＝ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点M，N重合，过角尺顶点C作射线OC.由此作法便可得△MOC≌△NOC，其依据是()A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS8．下列四个图形中，线段BE是△ABC的高的是()9．根据下列已知条件，能画出唯一一个．．．．△ABC的是()A．AB＝3，BC＝4，AC＝8B．AB＝4，BC＝3，∠A＝30°C．∠A＝60°，∠B＝45°，AB＝4D．∠C＝90°，AB＝610．如图，在△ABC中，AC⊥CB，CD平分∠ACB，点E在AC上，且CE＝CB，则下列结论：①DC平分∠BDE；②BD＝DE；③∠B＝∠CED；④∠A＋∠CED ＝90°.其中正确的有()A．1个B．2个C．3个D．4个(第10题)(第11题)二、填空题(本题共6小题，每小题3分，共18分)11．如图，照相机的底部用三脚架支撑着，这样做的依据是____________________．12．如图，要测量池塘两岸相对的两点A，B的距离，可以在池塘外取AB的垂线BF上的两点C，D，使BC＝CD，再画出BF的垂线DE，使E与A，C在一条直线上．若想知道两点A，B的距离，只需要测量出线段____________的长度即可．(第12题) (第13题)13．如图，点C，F在线段BE上，BF＝EC，∠1＝∠2.请你添加一个条件，使△ABC ≌△DEF，这个条件可以是____________(不再添加辅助线和字母)．14．如图，AD，AE分别是△ABC的角平分线、高线，且∠B＝50°，∠C＝70°，则∠EAD＝________．15．如图，在△ABC中，点D是BC的中点，点E是AC上一点，EC＝2AE，AD ＝2AF，已知△ABC的面积为30，那么四边形CDFE的面积为______________．(第15题)(第16题)16．如图，已知四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于点E，且AE＝12(AB3＋AD )，若∠D ＝115°，则∠B ＝________．三、解答题(本题共6小题，共52分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(8分)如图，已知：AD ＝BC ，AD ∥BC ，E ，F 是AC 上两点，且AF ＝CE .试说明：DE ＝BF .请补全下面的推理过程． 解：因为AD ∥BC (已知)，所以∠____＝∠____(两直线平行，内错角相等)． 因为AF ＝CE (已知)，所以______________(等式的基本性质)． 即AE ＝CF .在△ADE 和△CBF 中， ⎩⎪⎨⎪⎧（ ），（ ），（ ），所以△ADE ≌△CBF (________)． 所以DE ＝BF (__________________)．18．(8分)如图，在△ABC 中，AD 是角平分线，∠B ＝54°，∠C ＝76°. (1)求∠ADB 和∠ADC 的度数；(2)若DE ⊥AC 于点E ，求∠EDC 的度数．19．(10分)七年级(2)班的篮球啦啦队为了在明天的比赛中给同学们加油助威，每人提前制作了一面同一规格的三角形彩旗．小贝放学回家后，发现自己的彩旗破损了一角(如图①)，她想用彩纸(如图②)重新制作一面彩旗．(1)请你帮助小贝，用直尺与圆规在彩纸上作出一个与破损前完全一样的三角形(不写作法，保留作图痕迹)；(2)你作图的理由是判定三角形全等条件中的“________”．20．(8分)如图，要测量河岸相对两点A，B的距离，可以从AB的垂线BF上取两点C，D，使BC＝CD，过D作DE⊥BF，且A，C，E三点在一条直线上，若测得DE＝15米，即可知道AB也为15米，请你说明理由．21．(8分)如图，△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，D为AB边上一点．试说明：BD＝AE.522．(10分)如图①，AB＝7 cm，AC⊥AB，BD⊥AB，垂足分别为A，B，AC＝5 cm.点P在线段AB上以2 cm/s的速度由点A向点B运动，同时点Q在射线BD 上运动．它们运动的时间为t(s)(当点P停止运动时，点Q随之停止运动)．(1)AP＝________cm，BP＝________cm(用含t的代数式表示)．(2)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t＝1时，△ACP与△BPQ是否全等？并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系，请分别说明理由．(3)如图②，若“AC⊥AB，BD⊥AB”改为“∠CAB＝∠DBA”，点Q的运动速度为xcm/s，其他条件不变，当点P，Q运动到何处时有△ACP与△BPQ全等？求出相应的x的值．7 答案一、1.A 2.D 3.B 4.C 5.A 6.A 7．A 8.D 9.C 10.D二、11.三角形具有稳定性 12.DE 13．CA ＝FD (答案不唯一) 14.10°15.252 点拨：如图，连接CF ，因为点D 是BC 的中点，S △ABC ＝30，所以S △ADB ＝S △ADC ＝12S △ABC ＝15.因为AD ＝2AF ，所以AF ＝DF ， 所以S △BDF ＝S △ABF ＝12S △ABD ＝152. 因为EC ＝2AE ，S △ABC ＝30 ， 所以S △BEC ＝23S △ABC ＝20，所以S 四边形CDFE ＝S △BEC －S △BDF ＝20－152＝252.16．65° 点拨：过点C 作CF ⊥AD ，交AD 的延长线于点F .因为AC 平分∠BAD ，所以∠CAF ＝∠CAE .因为CF ⊥AF ，CE ⊥AB ，所以∠AFC ＝∠AEC ＝90°.在△CAF 和△CAE 中，⎩⎨⎧∠CAF ＝∠CAE ，∠AFC ＝∠AEC ，AC ＝AC ，所以△CAF ≌△CAE (AAS)．所以FC ＝EC ，AF ＝AE .因为AE ＝12(AB ＋AD )，所以AF ＝12(AE ＋EB ＋AD )，易得AF ＝BE ＋AD .又因为AF ＝AD ＋DF ，所以DF ＝BE .在△FDC 和△EBC 中，⎩⎨⎧CF ＝CE ，∠CFD ＝∠CEB ＝90°，DF ＝BE ，所以△FDC ≌△EBC (SAS)．所以∠FDC ＝∠B .又因为∠ADC ＝115°，所以∠FDC ＝180°－115°＝65°.所以∠B ＝65°.三、 17.A ；C ；AF －EF ＝CE －EF ；AD ＝BC ；∠A ＝∠C ；AE ＝CF ；SAS ；全等三角形的对应边相等18．解：(1)因为∠B ＝54°，∠C ＝76°，所以∠BAC ＝180°－54°－76°＝50°.因为AD 平分∠BAC ，所以∠BAD ＝∠CAD ＝25°.所以∠ADB ＝180°－54°－25°＝101°，所以∠ADC ＝180°－101°＝79°.(2)因为DE ⊥AC ，所以∠DEC ＝90°.所以∠EDC ＝180°－90°－76°＝14°. 19．解：(1)如图所示，△ABC 为所求作的三角形．(2)ASA20．解：因为AB ⊥BF ，DE ⊥BF ，所以∠B ＝∠CDE ＝90°.在△ABC 和△EDC 中，⎩⎨⎧∠B ＝∠CDE ，BC ＝CD ，∠ACB ＝∠DCE ，所以△ABC ≌△EDC (ASA)．所以AB ＝DE ＝15米． 21．解：因为△ABC 和△ECD 都是等腰直角三角形，且∠ACB ＝∠DCE ＝90°， 所以AC ＝BC ，CD ＝CE ， ∠ACE ＋∠ACD ＝∠BCD ＋∠ACD . 所以∠ACE ＝∠BCD . 在△ACE 和△BCD 中，⎩⎨⎧AC ＝BC ，∠ACE ＝∠BCD ，CE ＝CD ，所以△ACE ≌△BCD (SAS)．所以BD ＝AE . 22．解：(1) 2t ；(7－2t )(2)△ACP 与△BPQ 全等，PC ⊥PQ .理由：因为点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，所以当t＝1时，AP＝BQ＝2 cm，BP＝7－2＝5 (cm)．因为AC＝5 cm，所以AC＝BP.又因为∠A＝∠B＝90°，所以△CAP≌△PBQ(SAS)，所以∠ACP＝∠BPQ.因为∠ACP＋∠CP A＝90°，所以∠BPQ＋∠CP A＝90°，所以∠CPQ＝90°，所以PC⊥PQ.(3)△ACP与△BPQ全等有两种情况：①当AC＝PB，AP＝BQ时，AC＝PB＝5 cm，AP＝BQ＝7－5＝2(cm) ，因为AP＝2t cm，BQ＝xt cm，所以2t＝2，xt＝2，解得t＝1，x＝2.②当AC＝BQ，AP＝PB时，AC＝BQ＝5 cm，AP＝PB＝72cm，因为AP＝2t cm，BQ＝xt cm，所以2t＝72，xt＝5，解得t＝74，x＝207.综上，当AP＝BQ＝2 cm或AP＝72cm，BQ＝5 cm时，△ACP与△BPQ全等，相应的x的值分别为2，20 7.9。
北师大版初中数学七下第四章综合测试试题试卷含答案
第四章综合测试一、选择题（共10小题，满分30分）1．一个三角形的两边长分别是2和4，则第三边的长可能是（ ） A ．1B ．2C ．4D ．72．在ABC △中，作BC 边上的高，以下作图正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．3．如图，已知BD CD =，则AD 一定是ABC △的（ ）A ．角平分线B ．高线C ．中线D ．无法确定4．如图，在ABC △中，点D 在BC 的延长线上，若60A ︒∠=，40B ︒∠=，则ACD ∠的度数是（ ）A ．140︒B ．120︒C ．110︒D ．100︒5．如图，在ABC △中，CD 平分ACB ∠，DE BC ∥.已知74A ︒∠=，46B ︒∠=，则BDC ∠的度数为（ ）A ．104︒B ．106︒C ．134︒D ．136︒6．如图，AB AC =，若要使ABE ACD △≌△.则添加的一个条件不能是（ ）A ．BC ∠=∠ B ．ADC AEB ∠=∠ C ．BD CE = D ．BE CD =7．如图，A B 、两点分别位于一个池塘的两端，小明想用绳子测量A B 、间的距离，如图所示的这种方法，是利用了三角形全等中的（ ）A ．SSSB ．ASAC ．AASD ．SAS8．小明学习了全等三角形后总结了以下结论： ①全等三角形的形状相同、大小相等； ②全等三角形的对应边相等、对应角相等； ③面积相等的两个三角形是全等图形； ④全等三角形的周长相等. 其中正确的结论个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．49．如图，AD 是ABC △的高，BE 是ABC △的角平分线，BE AD ，相交于点F ，已知42BAD ︒∠=，则BFD ∠=（ ）A ．45︒B ．54︒C ．56︒D ．66︒10．如图，ABC △的三边长均为整数，且周长为22，AM 是边BC 上的中线，ABM △的周长比ACM △的周长大2，则BC 长的可能值有（ ）个.A ．4B ．5C ．6D ．7二、填空题（共6小题，满分24分）11．下列4个图形中，属于全等的2个图形是________.（填序号）12．如图，某人将一块三角形玻璃打碎成两块，带________块（填序号）能到玻璃店配一块完全一样的玻璃，用到的数学道理是________.13．如图，Rt ABC △中，90C ︒∠=，25B ︒∠=，分别以点A 和点B 为圆心，大于AB 的长为半径作弧，两弧相交于M N 、两点，作直线MN ，交BC 于点D ，连接AD ，则CAD ∠的度数是________.14．如图，在ABC △中，AC BC =，过点A B ，分别作过点C 的直线的垂线AE BF ，.若3AE CF ==，4.5BF =，则EF =________.15．边长为整数、周长为20的三角形的个数为________.16．如图，Rt ABC △中，90BAC ︒∠=，6AB =，3AC =，G 是ABC △重心，则AGC S =△________.三、解答题（共8小题，满分66分）17．如图，在一个三角形的一条边上取四个点，把这些点与这条边所对的顶点连接起来.问图中共有多少个三角形.请你通过与数线段或数角的问题进行类比来思考.18．如图，AB DE =，AC DF =，BE CF =，求证：ABC DEF △≌△.19．王强同学用10块高度都是2cm 的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（AC BC =，90ACB ︒∠=），点C 在DE 上，点A 和B 分别与木墙的顶端重合. （1）求证：ADC CEB △≌△；（2）求两堵木墙之间的距离.20．如图，已知B D ，在线段AC 上，且AD CB =，BF DE =，90AED CFB ︒∠=∠= 求证：（1）AED CFB △≌△；（2）BE DF ∥.21．如图，已知锐角ABC △，AB BC ＞.（1）尺规作图：求作ABC △的角平分线BD ；（保留作图痕迹，不写作法） （2）点E 在AB 边上，当BE 满足什么条件时？BED C ∠=∠.并说明理由.22．如图，ABC △中，90ACB ︒∠=，D 为AB 上一点，过D 点作AB 垂线，交AC 于E ，交BC 的延长线于F .（1）1∠与B ∠有什么关系？说明理由.（2）若BC BD =，请你探索AB 与FB 的数量关系，并且说明理由.23．如图1，点A B 、分别在射线OM ON 、上运动（不与点O 重合），AC BC 、分别是BAO ∠和ABO ∠的角平分线，BC 延长线交OM 于点G .（1）若60MON ︒∠=，则ACG ∠=________︒；若90MON ︒∠=，则ACG ∠=________︒； （2）若MON n ︒∠=.请求出ACG ∠的度数；（用含n 的代数式表示）（3）如图2，若MON n ︒∠=，过C 作直线与AB 交F .若CF OA ∥时，求BGO ACF ∠−∠的度数.（用含n 的代数式表示）24．如图1所示，在Rt ABC △中，90C ︒∠=，点D 是线段CA 延长线上一点，且AD AB =，点F 是线段AB上一点，连接DF ，以DF 为斜边作等腰Rt DFE △，连接EA ，EA 满足条件EA AB ⊥.（1）若20AEF ︒∠=，50ADE ︒∠=，2BC =，求AB 的长度；（2）求证：AE AF BC =+；（3）如图2，点F 是线段BA 延长线上一点，探究AE AF BC 、、之间的数量关系，并证明你的结论.第四章综合测试答案解析一、 1．【答案】C【解析】解：设第三边的长为x ， 由题意得：4242x −+＜＜，26x ＜＜，故选：C. 2．【答案】D【解析】解：BC 边上的高应从点A 向BC 引垂线，只有选项D 符合条件，故选：D. 3．【答案】C【解析】解：由于BD CD =，则点D 是边BC 的中点，所以AD 一定是ABC △的一条中线.故选：C.4．【答案】D【解析】解：ACD ∠是ABC △的一个外角，100ACD A B ︒∴∠=∠+∠=，故选：D. 5．【答案】A【解析】解：74A ︒∠=，46B ︒∠=，60ACB ︒∴∠=，CD 平分ACB ∠，11603022BCD ACD ACB ︒︒∴∠=∠=∠=⨯=，180104BDC B BCD ︒︒∴∠=−∠−∠=，故选：A. 6．【答案】D【解析】解：A 、添加B C ∠=∠可利用ASA 定理判定ABE ACD △≌△，故此选项不合题意；B 、添加ADC AEB ∠=∠可利用AAS 定理判定ABE ACD △≌△，故此选项不合题意；C 、添加BD CE =可得AD AE =，可利用利用SAS 定理判定ABE ACD △≌△，故此选项不合题意；D 、添加BE CD =不能判定ABE ACD △≌△，故此选项符合题意；故选：D.7．【答案】D【解析】解：观察图形发现：AC DC BC BC ACB DCB ==∠=∠，，，所以利用了三角形全等中的SAS ，故选：D. 8．【答案】C【解析】解：①全等三角形的形状相同、大小相等，正确；②全等三角形的对应边相等、对应角相等，正确；③面积相等的两个三角形是全等图形，错误；④全等三角形的周长相等，正确.故选：C. 9．【答案】D 【解析】解：AD 是ABC △的高，90ADB ︒∴∠=，42BAD ︒∠=，18048ABD ADB BAD ︒︒∴∠=−∠−∠=，BE 是ABC △的角平分线， 1242ABF ABD ︒∴∠=∠=，422466BFD BAD ABF ︒︒︒∴∠=∠+∠=+=，故选：D. 10．【答案】A【解析】解：ABC △的周长为22，ABM △的周长比ACM △的周长大2，222BC BC ∴−＜＜，解得211BC ＜＜，又ABC △的三边长均为整数，ABM △的周长比ACM △的周长大2，2222BC AC −−∴=为整数， BC ∴边长为偶数， 46810BC ∴=，，，，故选：A. 二、11．【答案】①③【解析】解：根据全等三角形的判定（SAS ）可知属于全等的2个图形是①③，故答案为：①③. 12．【答案】② ASA【解析】解：第①块只保留了原三角形的一个角和部分边，根据这两块中的任一块不能配一块与原来完全一样的；第②块不仅保留了原来三角形的两个角还保留了一边，则可以根据ASA 来配一块一样的玻璃.应带②去.故答案为：②，ASA . 13．【答案】40︒【解析】解：Rt ABC △中，90C ︒∠=，25B ︒∠=，90902565CAB B ︒︒︒︒∴∠=−∠=−=，由作图过程可知：MN 是AB 的垂直平分线，DA DB ∴=， 25DAB B ︒∴∠=∠=，652540CAD CAB DAB ︒︒︒∴∠=∠−∠=−=.答：CAD ∠的度数是40︒. 故答案为：40︒. 14．【答案】7.5【解析】解：过点A B ，分别作过点C 的直线的垂线AE BF ，，90AEC CFB ︒∴∠=∠=，在Rt AEC △和Rt CFB △中，AC BCAE CF =⎧⎨=⎩，Rt Rt AEC CFB HL ∴△≌△（）， 4.5EC BF ∴==，4.537.5EF EC CF ∴=+=+=，故答案为：7.5. 15．【答案】8【解析】解：边长为整数、周长为20的三角形分别是：（9，9，2）（8，8，4）（7，7，6）（6，6，8）（9，6，5）（9，7，4）（9，8，3）（8，7，5），共8个.故答案为：8. 16．【答案】3【解析】解：延长AG 交BC 于E .90BAC ︒∠=，63AB AC ==，，192ABC S AB AC ∴==△， G 是ABC △的重心，2AG GE BE EC ∴==，，19 4.52AEC S ∴=⨯=△，233AGC AEC S S ∴=⨯=△△，故答案为3. 三、17．【答案】解：如图所示，图中三角形的个数有ABC △，ACD △，ADE △，AEF △，AFG △，ABD △，ABE △，ABF △，ABG △ACE △，ACF △，ACG △，ADF △，ADG △，AEG △.18．【答案】解：BE CF =，BE EC CF EC ∴+=+，即BC EF =，在ABC △和DEF △中，AB DE AC DFBC EF =⎧⎪=⎨⎪=⎩（已知）（已知）（已知）， ABC DEF SSS ∴△≌△（）.19．【答案】（1）证明：由题意得：AC BC =，90ACB ︒∠=，AD DE BE DE ⊥⊥，，90ADC CEB ︒∴∠=∠=，9090ACD BCE ACD DAC ︒︒∴∠+∠=∠+∠=，， BCE DAC ∴∠=∠在ADC △和CEB △中ADC CEB DAC BCE AC BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，ADC CEB AAS ∴△≌△（）；（2）解：由题意得：236cm AD =⨯=，7214cm BE =⨯=，ADC CEB △≌△，6cm EC AD ∴==，14cm DC BE ==， 20cm DE DC CE ∴=+=（），答：两堵木墙之间的距离为20cm .20．【答案】证明（1）90AED CFB ︒∠=∠=， 在Rt AED △和Rt CFB △中AD BCDE BF =⎧⎨=⎩， Rt Rt AED CFB HL ∴△≌△（）.（2）AED CFB △≌△，BDE DBF ∴∠=∠，在DBE △和BDF △中DE BFBDE DBF BD DB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，DBE BDF SAS ∴△≌△（），DBE BDF ∴∠=∠， BE DF ∴∥.21．【答案】解：（1）如图，线段BD 即为所求.（2）结论：BE BC =. 理由：BD 平分ABC ∠， EBD CBD ∴∠=∠， BE BC BD BD ==，，BDE BDC SAS ∴△≌△（）， BED C ∴∠=∠.22．【答案】解：（1）1∠与B ∠相等，理由：ABC △中，90ACB ︒∠=，190F ︒∴∠+∠=，FD AB ⊥，90B F ︒∴∠+∠=，1B ∴∠=∠；（2）若BC BD =，AB 与FB 相等，理由：ABC △中，90ACB ︒∠=，DF AB ⊥，90ACB FDB ︒∴∠=∠=，在ACB △和FDB △中，B B ACB FDB BC BD ∠=∠∠=∠=⎧⎪⎨⎪⎩，ACB FDB AAS ∴△≌△（），AB FB ∴=.23．【答案】（1）60 45（2）在AOB △中，180180OBA OAB AOB n ︒︒︒∠+∠=−∠=−，OBA OAB ∠∠、的平分线交于点C ，1118022ABC BAC OBA OAB n ︒︒∴∠+∠=∠+∠=−（）（）， 即1902ABC BAC n ︒︒∠+∠=−， 11180180909022ACB ABC BAC n n ︒︒︒︒︒︒∴∠=−∠+∠=−−=+（）（）， 1809090ACG n n ︒︒︒︒︒∴∠=−+=−（）；（3）AC BC 、分别是BAO ∠和ABO ∠的角平分线，1122ABC ABO BAC OAC BAO ∴∠=∠∠=∠=∠，， CF AO ∥，ACF CAG ∴∠=∠，BGO BAG ABG ∠=∠+∠，°12902BGO ACF BAG ABG ACF BAC ABG BAC ABG BAC n ︒∴∠−∠=∠+∠−∠=∠+∠−∠=∠+∠=−. 【解析】解：（1）60MON ︒∠=，120OBA OAB ︒∴∠+∠=，OBA OAB ∠∠、的平分线交于点C ，1120602ABC BAC ︒︒∴∠+∠=⨯=， 18060120ACB ︒︒︒∴∠=−=，60ACG ︒∴∠=；90MON ︒∠=，90OBA OAB ︒∴∠+∠=，OBA OAB ∠∠、的平分线交于点C ，195452ABC BAC ︒︒∴∠+∠=⨯=， 18045135ACB ︒︒︒∴∠=−=；45ACG ︒∴∠=；故答案为：60，45.24．【答案】解：（1）在等腰直角三角形DEF 中，°90DEF ∠=， 120︒∠=，2170DEF ︒∴∠∠−∠=＝，23180EDA ︒∠+∠+∠=，360︒∴∠=，EA AB ⊥，°90EAB ∴∠=，3180EAB A ︒∠+∠+∠=，430︒∴∠=，90C ︒∠=，24AB BC ∴==；（2）如图1，过D 作DM AE ⊥于M ，在DEM △中，2590︒∠+∠=， 2190︒∠+∠=，15∴∠=∠，DE FE =，在DEM △与EFA △中，51DME EAF DE EF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， DEM EFA ∴△≌△，AF EM ∴=，490B ︒∠+∠=，34180EAB ︒∠+∠+∠=，3490︒∴∠+∠=，3B ∴∠=∠，在DAM △与ABC △中，3B DMA C AD AB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，DAM ABC ∴△≌△，BC AM ∴=，AE EM AM AF BC ∴=+=+；（3）如图2，过D 作DM AE ⊥交AE 的延长线于M ， 90C ︒∠=，190B ︒∴∠+∠=，°°2118090MAB MAB ∠+∠+∠=∠=，，21902B ︒∴∠+∠=∠=∠，，在ADM △与BAC △中，2M CB AD AB∠=∠∠=∠=⎧⎪⎨⎪⎩，ADM BAC ∴△≌△，BC AM ∴=，°90EF DE DEF =∠=，，34180DEF ︒∠+∠+∠=，°3490∴∠+∠=，°3590∠+∠=，45∴∠=∠，在MED △与AFE △中，54M EAFDE EF∠=∠∠=∠=⎧⎪⎨⎪⎩，MED AFE ∴△≌△，ME AF ∴=，AE AF AE ME AM BC ∴+=+==，即AE AF BC +=.。
北师大版数学七年级下册数学第四章三角形测试题(原题版 )
【北师大版七年级数学（下）单元测试卷】第四章 三角形一、选择题：（每小题3分共36分）1．如图，已知ABE ACD ∆≅∆，若50B ∠=o ，120AEC ∠=o ，则DAC ∠的度数为（ ）A ．120oB ．70oC ．60oD ．50o2．如图，DE ∥BC ，BE 平分∠ABC ，若∠1＝70°，则∠CBE 的度数为（ ）A ．20°B ．35°C ．55°D ．70°3．如图，BE ＝CF ，AE ⊥BC ，DF ⊥BC ，要根据“HL ”证明Rt △ABE ≌Rt △DCF ，则还需要添加一个条件是（ ）A ．AE ＝DFB ．∠A ＝∠DC ．∠B ＝∠CD ．AB ＝DC4．如图，△ABC 中，CE 平分∠ACB 的外角，D 为CE 上一点，若BC=a ，AC=b ，DB=m ，AD=n ，则m ﹣a 与b ﹣n 的大小关系是（ ）A ．m ﹣a ＞b ﹣nB ．m ﹣a ＜b ﹣nC ．m ﹣a=b ﹣nD ．m ﹣a ＞b ﹣n 或m﹣a ＜b ﹣n的度数为（）A．25°B．30°C．35°D．40°6．如图，在平面直角坐标系中，将直角三角形的直角顶点固定在点P（8，8）处，转动直角三角形，若两条直角边分别与x轴正半轴交于点A，y轴正半轴交于点B，则OA ＋OB的值为（）A．10 B．16 C．8 D．无法确定7．如图．从下列四个条件：①BC=B′C，②AC=A′C，③∠A′CA=∠B′CB，④AB=A′B′中，任取三个为条件，余下的一个为结论，则最多可以构成正确的结论的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个8．下面四个图形中，线段BE是⊿ABC的高的图是（）A．B．C．D．9．如图，△ABC≌△DEF，∠A=50°，∠B=100°，则∠F的度数是( )A．100°B．60°C．50°D．30°10．下列四组条件中, 能使△ABC≌△DEF的条件有( )①AB = DE, BC = EF, AC = DF; ②AB = DE, ∠B = ∠E, BC = EF;③∠B = ∠E, BC = EF, ∠C = ∠F; ④AB = DE, AC = DF, ∠B = ∠E.A．1组B．2组C．3组D．4组11．如图，已知∠ABC=∠BAD，添加下列条件还不能判定△ABC≌△BAD的是（）A．∠C=∠D B．∠CAB=∠DBA C．AC=BD D．BC=AD12．如图，∠EOF内有一定点P，过点P的一条直线分别交射线OE于A，射线OF于B．当满足下列哪个条件时，△AOB的面积一定最小（）A．OA=OB B．OP为△AOB的角平分线C．OP为△AOB的高D．OP为△AOB的中线二、填空题：（每小题3分共12分）13．如图，已知四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于点E，且AE＝12(AB＋AD)，若∠D＝115°，则∠B＝________．14．如图，△ABC≌△ADE，∠B=80°，∠C=30°，∠DAC=25°，则∠EAC的度数=_______．15．如图，在四边形ABCD中，AB=CB，AD=CD．若∠A=108°，则∠C的大小=_______（度）．16．如图，已知∠1=∠2，AC=AD，请增加一个条件，使△ABC≌△AED，你添加的条件是______．三、解答题：（共52分）17．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，且AB＝13 cm，BC＝12 cm，AC＝5 cm，求：(1)△ABC的面积；(2)CD的长．18．某大学计划为新生配备如图1所示的折叠凳.图2是折叠凳撑开后的侧面示意图(木条等材料宽度忽略不计),其中凳腿AB和CD的长相等,O是它们的中点.为了使折叠凳坐着舒适,厂家将撑开后的折叠凳宽度AD设计为30 cm,由以上信息能求出CB的长度吗?请你说明理由.19．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AD平分∠CAB．（1）求∠CAD的度数；（2）延长AC至E，使CE=AC，求证：DA=DE．20．如图，在△ABC中，AD是角平分线，∠B＝54°，∠C＝76°.(1)求∠ADB和∠ADC的度数；(2)若DE⊥AC，求∠EDC的度数．21．如图，沿AC方向开山修路，为了加快施工进度，要在山的另一边同时施工，工人师傅在AC上取一点B，在小山外取一点D，连接BD，并延长使DF＝BD，过F点作AB的平行线段MF，连接MD，并延长，在其延长线上取一点E，使DE＝DM，在E点开工就能使A、C、E成一条直线，请说明其中的道理；22．已知△ABN和△ACM位置如图所示，AB=AC，AD=AE，∠1=∠2．(1)试说明：BD=CE；(2)试说明：∠M=∠N．23．如图，已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，分别过B，C向经过点A的直线EF作垂线，垂足为E，F．（1）如图1，当EF与斜边BC不相交时，请证明EF=BE+CF；（2）如图2，当EF与斜边BC相交时，其他条件不变，写出EF、BE、CF之间的数量关系，并说明理由；（3）如图3，猜想EF、BE、CF之间又存在怎样的数量关系，写出猜想，不必说明理由．。