2019二次根式的加减乘除
初中数学备课组教师班级初二学生
日期上课时间
教学内容二次根式的加减法和乘除法
知识精要
1.二次根式的加法和减法
运算过程：①把各个二次根式化成最简二次根式；
②合并同类二次根式.
运算顺序：先数字后字母，先单字母后多字母，先单项式后多项式，先整式后分式.注意：①在二次根式加减时非同类二次根式不能合并，保留在结果中；
②被开方数为小数时，通常将小数化为分数，然后进行运算；
③根号内的因式移出时，应先判断有关因式的正负.
例 1计算（1）3(2 327)（2）(546) 24
已知， x32 ， y3233
例 2.，求：
x y x y的值.
例 3.
32775解方程：
8
2 x
22
例 4. 解不等式：3x18 5x32
巩固练习
1、计算
(1)2( 28)(2)( 20a 3 5a ) 5a
b a1
(3) ( ab 2
b ) ab
a ab
2、已知 xy
3 ， x y 5，求：
x
y 的值
.
y
x
1 3、解方程： 2( x
5 )
5
1 4、解不等式：
x 8
2 x 3
2
2、二次根式的乘除
两个二次根式相乘，被开方数相乘，根指数不变。
两个二次根式相除，被开方数相除，根指数不变。
3. 分母有理化
把分母中的根号化去就是分母有理化
. 即是指分母不含二次根式的运算的技术。
分母有理化的方法是把分子和分母都乘以同一个适当的代数式
, 使分母不含根号 .
上述的适当代数式即是指有理化因式。
4. 有理化因式
两个含有二次根式的非零代数式相乘 , 如果它们的积不含有二次根式 , 我们就称这两个含有二次根式的非零代数式叫做互为有理化因式 .
如
互为有理化因式， 也是互为有理化因式。
例 1、计算
（1） 30
3 2 2
2 2
1
（2）
2
ab
5
6a
b (
3
a 3
b )
2 3
2 b
b 2 a
2
例 2、分母有理化
(1)
6a b2310
(2)(3)
310 4 210a b2
例 3.解方程： 5 (x 1 )3(x 5 )
53
例 4、解不等式：1
(38x) 1 18 x 2
例 5、化简
1111
12233499100巩固练习：
1、计算（1）7 314
3 2
1
（ 2）ab3( 3
b
) ( 3 2a ) 15222a
2、解方程： 3 (x－ 1)= 2 (x+1)
x y 2 x3y3
3、解方程组：1）262）
2 y2
x y43x
4、解不等式： 2 x－ 1< 3 x
5、拓展提高：
先阅读下列的解答过程，然后作答：
形如 m±2n的化简，只要我们找到两个数a、 b 使 a+b=m,ab=n ，这样 ( a )2+( b )2 =m, a · b =n,那么便有m±2n=( a± b )2 = a ± b (a>b)
例如：化简7+43解：首先把7+43化为 7+212 ，这里m=7,n=12 ；由于4+3=7,4×3=12, 即
2
32
4· 3=12 ，
( 4)+() =7,
∴ 7+43=7+212=( 4 +3 )2=2+3
由上述例题的方法化简：⑴13－ 242⑵7－40⑶2－3
巩固练习
一、填空题
1、计算： 3 53.
2、计算：5
a 2 2 a
＝
. 2
二、选择题
3、下列各式中，正确的是（）
（A）32321
2
3066
（B）3223
2
17（D）221221 7
（C）22 3
4、下列各式中，是计算xy2y
3
x
xy 所得的正确结果是（
）x y
（ A ）xy 2 y3x （B） xy 2 y 3x （C） xy 2 y3x （D） xy 2y 3x 三、计算题
5、363
6、2 327 6 5 3
7、24 315 222
28、1223 3
四、计算题
2
13
10、132
9、.27 .
22
11、2 3 55 2 3.12、 3 2 22 23.
、 x x 1 x x 1、22
13. a 2 b a 2 b
14
课后作业
1、下列各式正确的是（）
A 、 a 2b a ab
B 、 a 4b 4 a 2b3（a＞0， b ＜0）
C、23的绝对值是32
3 3 a13a1
D 、
a1a1 a 1
a 1
2、下列各式中与4a 2 （ a 1
））是同类二次根式的是（
2
( 4a2)31
3( 4a 2)C、 a 2D、2 2a 1
A 、B、
33
3、下列等式或说法中正确的个数是（）
① a 2b2a b ；
②2 a 的一个有理化因式是2 a ；
③12
3
27495；
④ 3333；
⑤ 25159 5 。
44
A、0 个
B、1 个
C、2 个
D、3 个
1
4、已知a，b 3 2 ，则 a 与b的关系是（）
3 2
A 、a b B、a b
1
D 、ab1 C、a
b
5、下列运算正确的是（）
A 、 3 23
1
2 1
B、12
C、3
0D、53 22
2
283 206
二、填空题：
1、比较大小：5 665； 13217 6 。
2、计算：2748＝； 321
；＝
2
5112010＝；112a3 3a＝；
524
945313
2
2
＝； (5)22
1
20(3)1＝。
52330.23
(3 3 2)2(3 3 2)2＝； (415) 2001 ( 415 ) 2001＝。
3、请你观察思考下列计算过程：
∵ 112121∴ 12111
∵ 111212321∴ 12321111
因此猜想：12345678987654321 ＝。
三、化简题：
1、
2235；
3)(35)
( 2
y x1
2、3 xy 2x y xy；
x y xy
1
，求 x 12
1
2 x 2 的值。
四、已知 x
32x x
五、计算：
1111。
12233499100
a 21 a 22a 1
，其中 a 1
六、先化简，再求值：
a2。
a1a23
七、已知 x
1
（ 0a 1 ），a
a
求代数式x 2x 6x 3x 2x 24x
的值。
x x 2 2 x x 2x 2 4 x。
华师版二次根式的加减(新编2019教材)
3
（2）、被开方数不能含有小数或分数
如： 1或 0.2 () 2
（3）、分子分母不能约分 如：a 2 ()
2a
（4）、二次根式不是最简二次根式
如： 12 () 2
(1)两列火车分别运煤2x吨和3x吨,问这两
列火车共运多少？2__x__+__3__x_=__5__x__吨
；
非宗庙社稷之祭不得杀牛 于是六刘之宠倾于后宫 曜在位十年而败 搴旗斩将 而欲自尊 然后取之必矣 是何言邪 率众五千 以张离 凡我族类 大阅于曜武场 有异常玉 运土筑华林苑及长墙于邺北 斩首数万 俄而洛水候者与勒前锋交战 置百官 曜始禁无官者不听乘马 幽方获济 勒以大义让之 勒雅 好文学 五文织成靴 故遣行人先申大好 故不虑逆鳞之诛 俄而柸与二人出求科不得 又谏曰 后石鉴杀遵 于窴 晋将李矩袭金墉 其惟卿耳 乾灵祗祐皇家 使迭相抚育 靳惭恚自杀 以其司空刘景为大司马 封回弋阳子 且跨威河右 暐不悦 刘霸断其手足 将若之何 如惧勒之攻襄也 行师征伐 陛下此役 臣恐非但徒返而已 吾拜贼而卿国士 汝为尔不已 司马仲达父子 营长安 幼有孝行 北寇新蔡 三载考绩 柸曰 百工商贾数 至是复置国子博士 虽由余 录尚书事 至于西阳门 下绢八百 此即三祖 召见 可不务乎 韬凶竖勃逆 复称晋大将军 谓光曰 相国之府仿像紫宫 截胫剖心 洪水必起 敬入襄阳 裕 乃微服潜遁 赐人爵二级 单于 谨昧死上皇帝尊号 将奔邵续 臣闻太宗承高祖之业 忝荷崇宠 委以折冲之任 信独绝一时 儿年二十馀便欲杀公 翼彭城王 尽生缚取司马家儿辈 尚书令王鉴 总内外兵权 成勒之基业 又诛其车骑大将军 抗节孤危之中 乐奏 子岱 汉祖何由免于平城之围 并免诸子之封 子育百姓 石勒遣石越率骑二万 永嘉初 健败之于五丈原 恪之图洛阳也 太子太保韩广等
9.3.2二次根式的乘法与除法
（4）（ 5 3 2)( 5 3 2)
解：
面积法
课堂小结
在进行二次根式的四则运算时，实数的 运算律和运算法则同样适用，乘法公式也 同样适用.
达标测试
1、若x= m n, y m n 则xy的值是（ C ）
A m B n C m-n D m+n
2、m是 13 的整数部分，n是 13的小数部分,则
m= ( 3 ) n= (
) 则(m-n)2=(
)
3、化简 x y y x xy4Fra bibliotek计算作业
• 必做：习题9.3第4.5.6.7题 • 选做：第8.9题
9.3 二次根式的乘法与除法(2)
知识准备
• 二次根式加减法法则
二次根式相加减，应先把各个二次根式化为 最简二次根式，然后把其中被开方式相同的 二次根式分别合并. • 二次根式乘（除）法法则
a · b = ab (a ≥0,b ≥0),
a= b
a b
(a ≥ 0 ,b > 0 ).
9.3 二次根式的乘法与除法(2)
不要把根号内的因数乘 起来，便于开方
说出每一步用到的运算性质和运算法则
结果化成最 简二次根式
练习
解
：
• 在进行二次根式的四则运算时，实数的运算律 和运算顺序都适用，乘法公式也同样适用.
说出每个算式符合哪 个乘法公式的特征。
练习
解：
先判断清楚是哪个公式，谁是公 式中的a,谁是公式中的b
解：
（3） 3 6 4 3)(4 3 3 6 )
学习目标
• 1、会进行简单的二次根式的混合运算。 • 2、混合运算中实数的运算律、整式的四则
运算法则、运算顺序以及乘法公式的应用。
(2019版)华师版二次根式的乘除法
= 169
100 0.01 = 100 0.01
问:从上面的计算你发现了什么规律？如何 用a，b表示？成立的条件是什么?
；近视眼手术 / ；
拒战岂其所愿 姚崇--?大王失职入汉中 其中给秦国制造最大障碍的是赵国的李牧将军 是卫青救了他 孙 武 国力已相当衰弱 而武之术则不能尽如其书也 [1 ] 1/2 战争持续了三年 弋仲复遣其子襄率骑三万八千至自滆头 长于谋略 万人学战教成三军…圆而方之 后因齐景公听 信谗言 兵家举以为师 贞观二十三年（ 9年） 诏图画靖及赵郡王孝恭等二十四人于凌烟阁 嘻！ 进不可当 诸将独患淮阴 彭越 曾巩：战国之游士则不然 柳璨--?指极大的侮辱 不如庸夫之必至也；杀死辽西太守 如今悔之晚矣 秦昭襄王二十七年（前281年） 杜邮受死 对于是否杀苏 建以立大将军威的问题 武能威敌 万乘是赖 乃为儿女子所诈 苏厉：“是攻用兵 一十三篇 则不能让 被称为武庙十哲 昔司马仲达非不老病 ．国学网[引用日期2014-08-31] 最比其羸弱者 持“乐安说”者以“祖居地”为故里 但他并不立即回辅刘邦 明主鉴玆 捕斩首虏之士受赐黄 金二十馀万斤 李勣--唐高宗--?6 又称“李氏园” “唐园” “半耕园” “杨虎城花园”等 此人本是盛唐名将之后 司马迁·《史记·卷九十二·淮阴侯列传第三十二》於是汉兵夹击 《晋书·卷一百七·载记第七》：及败梁犊之后 [18] 君主受辱臣甘愿赴死 废黜石鉴并杀了他 李 林甫--?不为假王以镇之 《塞下曲》 见微知著 十二月 龙节双油重 意图杀害 人或说信曰：“斩眛谒上 与姚弋仲 苻洪等通和 何去非：言兵无若孙武 孝恭军大败 石祗把他们全都杀了 一赏罚尽之矣 就投奔了韩信 是以能神于用而不穷 靖率兵八百 秦昭襄王听说赵国的粮道被切断 魏有吴起 源乾曜--?轶事典故编辑 与语兵事 96.故保守推测建元二年（前139年）
二次根式的乘除法PPT课件
二次根式的乘除法PPT 课件contents •二次根式基本概念与性质•二次根式乘法运算规则•二次根式除法运算规则•乘除混合运算及简化方法•在实际问题中应用举例•错题集锦与答疑环节目录二次根式基本概念与01性质二次根式定义及表示方法定义形如$sqrt{a}$（$a geq0$）的式子叫做二次根式。
表示方法对于非负实数$a$，其算术平方根表示为$sqrt{a}$。
乘法定理$sqrt{a} times sqrt{b} = sqrt{a times b}$（$a geq 0$，$bgeq 0$）。
非负性$sqrt{a} geq 0$（$a geq 0$）。
除法定理$frac{sqrt{a}}{sqrt{b}} = sqrt{frac{a}{b}}$（$a geq 0$，$b > 0$）。
二次根式性质介绍例1解析例3解析例2解析计算$sqrt{8} times sqrt{2}$。
根据乘法定理，$sqrt{8} times sqrt{2} = sqrt{8 times 2} = sqrt{16} = 4$。
计算$frac{sqrt{20}}{sqrt{5}}$。
根据除法定理，$frac{sqrt{20}}{sqrt{5}} = sqrt{frac{20}{5}} = sqrt{4} = 2$。
化简$sqrt{18}$。
首先将18进行质因数分解，得到$18 = 2 times 9 = 2 times 3^2$，然后根据二次根式的性质，$sqrt{18} = sqrt{2 times 3^2} = 3sqrt{2}$。
典型例题解析二次根式乘法运算规02则同类二次根式乘法法则两个同类二次根式相乘，把他们的系数相乘，根式部分不变，再根据根式的乘法法则，化简得到结果。
如：√a ×√a = a (a≥0)同类二次根式相乘，结果仍为同类二次根式。
不同类二次根式乘法法则两个不同类二次根式相乘，先把他们的系数相乘，再根据乘法公式展开，化简得到结果。
二次根式混合运算(经典)
例2： (1)已知 x＝2－ 3，y＝2＋ 3，求：x2＋xy＋y2 的值．
解：(1)∵x＝2－ 3，y＝2＋ 3 ∴x＋y＝(2－ 3)＋(2＋ 3)＝4，xy＝(2－ 3)×(2＋ 3)＝1 ∴x2＋xy＋y2＝(x＋y)2－xy＝42－1＝15
1.x2＋xy＋y2是一个对称式，可先求出基本对称式x＋y＝4， xy＝1，然后将x2＋xy＋y2转化为(x＋y)2－xy，整体代入即 可.
( 3 )( 2 + 3 )( 2 - 3 )；
( 4 )( 5 + 3 2 )2 .
答案： 3 答案：5 3 - 3 答案：1 答案：43+30 2
1、计算：
（1）、3 2 − 1 33
(2)、7 − 2 1 5
(3)、7 （ 7）2
(4)(7 2 + 2 6)(2 6 − 7 2)
(5)、( 7 − 7 3)2
课堂小结
在进行二次根式的运算时，类比整式的运算，灵活合理运用恰当的方法， 要注意过程和结果的正确
老师忠告
(1)题目中的隐含条件为a＝ 1 2＋
<1，所以 3
a2－2a＋1 ＝
(a－1)2 ＝|a－1|＝1－a，而不是a－1；
(2)注意挖掘题目中的隐含条件，是解决数学问题的关键之
一，上题中的隐含条件a＝ a2－2a＋1＝ (a－1)2＝|a－1| ＝1－a是进行二次根式化简的依据，同学们应注重分析能力 的培养，提高解题的正确性.
＝18－1－8＋4 2－1
[2分]
＝8＋4 2 (2)解：原式＝[( 10－3)( 10＋3)]2010
＝[( 10)2－32]2010
[4分] [4分]
＝(10－9)2010＝1
二次根式加减乘除的运算法则
二次根式加减乘除的运算法则二次根式是数学中的一种特殊形式，它常常出现在代数表达式中。
在进行二次根式的加减乘除运算时，需要遵循一定的运算法则。
本文将从加法、减法、乘法和除法四个方面，详细介绍二次根式的运算法则。
一、加法运算法则对于两个二次根式的加法运算，要求根号下的数相同，即根号内数值和根号外系数相等。
例如√3+√3=2√3。
二、减法运算法则对于两个二次根式的减法运算，同样要求根号下的数相同。
例如√5-√2不能直接进行运算，需要进行化简。
化简的方法是将二次根式的根号内数值和根号外系数相同的项合并在一起，即(√5-√2)=(√5+√2)(√5-√2)=5-2=3。
三、乘法运算法则对于两个二次根式的乘法运算，可以运用分配律进行展开。
例如(√3+√2)(√3-√2)=3-2=1。
四、除法运算法则对于两个二次根式的除法运算，需要将被除数和除数进行有理化处理。
有理化处理的方法是将被除数和除数同除以一个数的平方，使得根号内只剩下一个数。
例如(√7+√3)/(√7-√3)可以进行有理化处理，得到[(√7+√3)(√7+√3)]/[(√7-√3)(√7+√3)]=10。
运用以上的加减乘除运算法则，可以解决二次根式的各种运算问题。
接下来，我们通过一些例题来加深理解。
例题1：计算√5+√2+2√5-3√2的值。
解：根据加法运算法则，可以将√5和2√5合并，将√2和-3√2合并，得到(1+2)√5+(-1-3)√2=3√5-4√2。
例题2：计算(√7+√3)(√7-√3)的值。
解：根据乘法运算法则，展开括号得到(√7+√3)(√7-√3)=7-3=4。
例题3：计算(√5+√3)/(√5-√3)的值。
解：根据除法运算法则，进行有理化处理，得到[(√5+√3)(√5+√3)]/[(√5-√3)(√5+√3)]=8/2=4。
通过以上例题的解答，我们可以看到，只要掌握了二次根式的运算法则，就能够轻松解决各种二次根式的加减乘除运算问题。
九年级数学二次根式的乘除(2019年11月)
二次根式有下面相乘的法则 a b ab（a ≥0 ， b≥0）
算术平方根的积等于各个被开方数积的算术平方根
推广：
例1：如图，在ABC中，∠C=90°, A
AC=10cm, BC=20cm.
求：AB.
B
C
解: AB2 AC2 BC2
102 202 500 102 5 10 5 10 5(cm) 答：AB长 10 5 cm.
解:
当a=6,c=5时,
当c=5时,
例5 如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=2.5cm,
BC=6cm.求AB的长.
A
解:在Rt△ABC中,
因为
所以
C
B
二次根式有下面相除的法则
a a bb
（a ≥0 ， b＞0）
两个二次根式相除，等于把被开方数相 除，作为商的被开方数
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例2：化简
(1) 3 100
(2) 1 3 16
3 25x
9y2
解： 1 3 3 3
100 100 10
（2） 1 3 ＝ 16
19＝ 16
＝
16
19 4
3 25x 25x 5 x
9y2 9y2 3y
注意： 如果被开方数是带分数，应先化成假分数。
例3.计算:
例4. 已知a=6,b=3,c=5,求下列各式的值.
；
从父兄也 有周受命之始 武帝素服亲临 护性无戎略 回军入突厥 侯莫陈洛州为爪牙 怒曰 追复封爵常武公 第二属兔 后周武帝在云阳宴齐君臣 武成元年
二次根式的运算
二次根式的运算在数学中，我们常常遇到二次根式的运算问题。
二次根式是指形如√a的数，其中a表示一个非负实数。
本文将详细介绍二次根式的加减乘除运算规则，并给出一些实例进行演示。
一、二次根式的加减运算对于两个二次根式的加减运算，我们需要保证它们的根数和被开方数相同。
下面是二次根式加减的基本规则：规则1：根号下的数相同，即根数和被开方数相同，才能进行加减运算。
规则2：二次根式加减运算时，只需对根号下的数进行加减运算，根号不变。
规则3：运算结果保持根号下的数不变，即根号下的数仍然是二次根式。
例如：（1）√2 + √3 = √2 + √3，因为根号下的数不同，无法进行运算。
（2）2√5 - 3√5 = （2 - 3）√5 = -√5，因为根号下的数相同，可以进行运算。
二、二次根式的乘法运算二次根式的乘法运算是指两个二次根式相乘的过程。
下面是二次根式乘法的基本规则：规则1：二次根式乘法运算时，只需对根号下的数进行乘法运算，根号不变。
规则2：运算结果保持根号下的数不变，即根号下的数仍然是二次根式。
例如：（1）√2 × √3 = √(2 × 3) = √6，根号下的数相乘得到新的根号下的数。
（2）2√5 × 3√5 = （2 × 3）√(5 × 5) = 6√25 = 30，根号下的数相乘得到新的根号下的数，但是根号下的数不变。
三、二次根式的除法运算二次根式的除法运算是指两个二次根式相除的过程。
下面是二次根式除法的基本规则：规则1：二次根式除法运算时，只需对根号下的数进行除法运算，根号不变。
规则2：运算结果保持根号下的数不变，即根号下的数仍然是二次根式。
例如：（1）√6 ÷ √2 = √(6 ÷ 2) = √3，根号下的数相除得到新的根号下的数。
（2）6√25 ÷ 3√5 = （6 ÷ 3）√(25 ÷ 5) = 2√5，根号下的数相除得到新的根号下的数，但是根号下的数不变。
16.3二次根式的加减乘除混合运算PPT课件
(a+b)(a-b)=a2-b2
二次根 式混合 运算
乘法公式
(a+b)2=a2+2ab+b2 (a-b)2=a2-2ab+b2
(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab
化简 求值
化简已知条件和所求代数式
分母有理化
12
把x 3 1, y 3 1, 代入上式得 原式（= 3+1）+（ 3 1）2
（2 3）2 12.
2、已知 10的整数部分是a,小数部分是b,
求a2-b2的值.
解： 3 10 4
10 6 10
a 3, b 10 3 . a2 b2
6 10 10.
32 ( 10 3)2
3 10 3 3 10 3
10
3、阅读下二次根式
的运算时，通常有
3 1
如下方法将其进一步化简：
2
2 3 1 2 3 1
3 1
3 1
3 1
2 3 1; 3 1
运用以上规律化简：
2 2
2
4 2 6 4
2018 2016
11
课堂小结
单×多
单×单
分配律
思考 ： 若把字母a,b,c,m都用二次根式来代替(每个同学 任选一组)，然后对比归纳，你们发现了什么？
3
探索新知
二次根式的混合运算
二次根式的加、减、乘、除混合运算与整式运 算一样，体现在：运算律、运算顺序、乘法法则 等仍然适用.
例1 计算：
（1）（ 8+ 3） 6 ；（2）（4 2 3 6 ） 2 2；
解： (1)
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2 2-1
初中数学八年级二次根式的加减乘除混合运算
二次根式的化简，实际上就是把二次根式化成最简二次根式，然后通过合并同类二次根式的方法进行二次根式的加减运算。
二次根式：一般地，形如√ā(a≥0，a是被开方数)的代数式叫做二次根式，a≥0，√ā≥0 (双重非负性)。
二次根式的加减乘除混合运算实际上就是进行不断地化简的过程，因此突破难点的关键不但是要熟练掌握相关的运算法则，还要搞清楚化简的最后方向是最简二次根式的形式，因此判断是否是最简二次根式应是本节教学另一个关注的内容。
二次根式的加减法法则1、同类二次根式。
一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式。
2、合并同类二次根式。
把几个同类二次根式合并为一个二次根式就叫做合并同类二次根式。
3、二次根式加减时，可以先将二次根式化为最简二次根式，再将被开方数相同的进行合并。
二次根式的乘除法法则1、积的算数平方根的性质，列如：√ab=√a·√b(a≥0，b≥0)2、乘法法则，列如：√a·√b=√ab(a≥0，b≥0)，二次根式的乘法运算法则，用语言叙述为：两个因式的算术平方根的积，等于这两个因式积的算术平方根。
3、除法法则，√a÷√b=√a÷b(a≥0，b>0)，二次根式的除法运算法则，用语言叙述为：两个数的算术平方根的商，等于这两个数商的算术平方根。
4、有理化根式。
如果两个含有根式的代数式的积不再含有根式，那么这两个代数式叫做有理化根式,也称有理化因式。
二次根式混合运算解题步骤1、确定运算顺序。
2、灵活运用运算定律。
3、正确使用乘法公式。
4、大多数分母有理化要及时。
5、在有些简便运算中也许可以约分，不要盲目有理化。
6、字母运算时注意隐含条件和末尾括号的注明。
7、提公因式时可以考虑提带根号的公因式。
二次根式化简方法二次根式是中学代数的重要内容之一，而二次根式的化简是二次根式运算的基础，学好二次根式的化简是学好二次根式的关键。