(全新整理)7月全国自考初等数论试卷及答案解析
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浙江省2018年7月高等教育自学考试
初等数论试题
课程代码：10021
一、单项选择题(本大题共5小题，每小题2分，共10分)
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1.下列不定方程（组）中，没有整数解的是（ ） A.3x+15y=0 B.9x-11y=1 C.⎩⎨⎧=+=-3
2432z y y x D. ⎩⎨⎧=+-=++3
22132z y x z y x
2．两个素数p ，q ，满足p+q=99，则p
q
q p +的值是（ ） A.9413 B.1949413
C.
99
9413
D.
111
9413
3.2005！的标准分解式中，7的最高幂指数为（ ） A ．330 B ．331 C ．332
D ．334
4．n 为正整数，若2n +1为素数，则n 是（ ） A ．素数 B ．合数
C ．1
D ．2k (k 为非负整数)
5.如果a ≡b(mod m)，c 是任意整数，则下列错误的是（ ） A ．ac ≡bc(mod mc) B ．m|a-b C ．(a,m)=(b,m)
D ．a=b+mt,t ∈Z
二、填空题(本大题共10小题，每小题3分，共30分)
请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
1.如果p 是素数，a 是整数，则有（a ，p ）=1或者_______.
2.设p 是奇素数,(a,p)=1,则a 是模p 的平方非剩余的充要条件是_______.
3.1000开始到2005结束的所有整数中13的倍数有_______个.
4.整数2005的正约数个数有_______个.
2
5.欧拉定理是_______.
6.2756839-1的末位数是_______.
7.不定方程ax+by=c 有解的充要条件是_______.
8.写出模12的一个最小的非负简化系，并要求每项都是7的倍数，则此简化系为_______.
9.已知563是素数，则⎪⎭⎫
⎝⎛5632=_______.
10.整数n>1，且(n-1)!+1≡0(mod n),则n 为_______.
三、计算题(本大题共4小题，1、3题各10分，2、4题各8分，共36分)
1．一个正整数，如果用7进制表示为abc ，如果用5进制表示为cba ，请用10进制表示这
个数.
2.某矩形的长和宽都为整数，且周长和面积数值相同，求长和宽. 3．解同余方程组
⎪⎩
⎪
⎨⎧≡≡≡)9(mod 3)8(mod 2)
7(mod 1x x x 4.求22005被33除所得的余数.
四、证明题(本大题共3小题，每小题8分，共24分) 1．证明：一个完全平方数不可能写成5个奇数的平方和. 2．证明：若ｎ是不能被4整除的正整数，则有
5|1n +2n +3n +4n
3.设p=4n+3是素数，证明当q=2p+1也是素数时，梅森数M p =2p -1不是素数.。
2020年自考《初等数论》专业考试题库及答案
2020年⾃考《初等数论》专业考试题库及答案2020年⾃考《初等数论》专业考试题库及答案⼀填空题（每空2分）1.写出30以内的所有素数 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29 .2.,(,)(,)(,)a b a b a b a b =设是任意两个不为零的整数,则 1 . 3.若,a b 是⾮零整数,则a 与b 互素的充要条件是存在整数,x y ,适1ax by +=4.写出180的标准分解式是 22235?? ,其正约数个数有 (2+1)(2+1)(1+1)=18个.5.,1,2,,a b a b L 设与是正整数则在中能被整除的整数恰有 []ab个.6.设,a b 是⾮零整数,c 是整数,⽅程ax by c +=有整数解(,x y )的充要条件是 (,)|a b c7. 若整数集合A 是模m 的完全剩余系,则A 中含有 m 个整数.8.?(3)= 2 ;?(4)= 2 .9.当p 素数时,(1)()p ?= 1p - ;(2)()k p ?= 1k k p p -- . 10.(),(,)1,1m m a m a ?=-≡设是正整数则 0 (mod ).m 11.,,p p a a a -≡设是素数则对于任意的整数有 0 (mod ).p 12.已知235(mod7)x +≡,则x ≡ 1 (mod 7).13.同余⽅程22(mod 7)x ≡的解是 4(mod7) . 14.同余⽅程2310120(mod 9)x x ++≡的解是 .X=6. . 15.(,)1n p =若,n p 是模的⼆次剩余的充要条件是 -121(mod ).p n p ≡ . 16.(,)1n p =若,n p 是模的⼆次⾮剩余的充要条件是 -121(mod ).p np ≡- .17.3()=5 -1 ; 4()=5 1 .18.,p 设是奇素数则2()p=218(1).p --.19.,p 设是奇素数则1()p = 1 ;-1()p= -12(-1).p .20. 5()=9 1 ; 2()=45-1 .⼆判断题(判断下列结论是否成⽴，每题2分). 1. ||,|a b a c x y Z a bx cy ?∈+且对任意的有.成⽴2. (,)(,),[,][,]a b a c a b a c ==若则.不成⽴3. 23|,|a b a b 若则.不成⽴4.(mod ),0,(mod ).a b m k k N ak bk mk ≡>∈?≡成⽴5.(mod )(mod ).ac bc m a b m ≡?≡不成⽴6. 22(mod ),(mod )(mod )a b m a b m a b m ≡≡≡-若则或⾄少有⼀个成⽴. 不成⽴ 7. 222(mod ),(mod )a b m a b m ≡≡若则.不成⽴8. 若x 通过模m 的完全剩余系,则x b +(b 是整数)通过模m 的完全剩余系. 成⽴ 9. 1212{,,,}{,,,}.m m a a a b b b L L 若与都是模m 的完全剩余系不成⽴1122{,,,}.m m a b a b a b m +++L 则也是模的完全剩余系不成⽴10.若(,)1a m =,x 通过模m 的简化剩余系,则ax b +也通过模m 的简化剩余系. 不成⽴ 11.12121212,,(,)1,()()().m m N m m m m m m ∈==若则成⽴12. 同余⽅程24330(mod15)x x -+≡和同余⽅程2412120(mod15)x x +-≡是同解的. 成⽴13. (mod ).ax b m ax my b ≡+=同余⽅程等价于不定⽅程成⽴14. 2,(mod ),() 1.am x a m m≡=当是奇素数时若有解则成⽴15. 2,()1,(mod ).a m x a m m=≡当不是奇素数时若则⽅程⼀定有解不成⽴三计算题1. (1859,1573)-求.（6分）解：1.(1859,1573)(1859,1573)(286,1573)(286,15732865)(286,143)(0,143)143-===-?===2.求 [-36,108,204].（8分）解：22232232.[36,108,204][36,108,204],3623,10823,2042317,[36,108,204]23171836.-==?=?=??∴=??=Q3. 求(125,17),以及x ,y ,使得125x +17y =(125,17).（10分）解：3.651,16-56-(17-26)36-173(125-177)-173125-2217.1253-17221,3,-22.x y =+==?=?=??=??∴??===由等式起逐步回代得4. 求整数x ,y ,使得1387x -162y =(1387,162).（10分）解：4.9421,19-429-4(11-9)59-4115(20-11)-411520-911520-9(71320)322097132(91-71)97132914171329141(16291)73914116273(13878162)41162731387625162.1=?+=?=?=??=??=??=??-?=?-?=?-?=?-?=?-?-=?-?=?-?-?=?-?∴由等式起逐步回代得38773162625 1.-=5. 12!.分解为质因数乘积（8分）6. ,10|199!k k 求最⼤的正整数使.（8分）7. [1+L 求(10分) 8. 81743.x y +=求⽅程的整数解(6分)9.求⽅程19 x ＋20y=1909的正整数数解。
自考初等数论试题及答案
自考初等数论试题及答案初等数论考试试卷1一、单项选择题(每题3分，共18分)1、如果a b ，b a ，则( ).A b a =B b a -=C b a ≤D b a ±=2、如果n 3，n 5，则15（）n .A 整除B 不整除C 等于D 不一定3、在整数中正素数的个数（）.A 有1个B 有限多C 无限多D 不一定4、如果)(mod m b a ≡,c 是任意整数,则A )(mod m bc ac ≡B b a =C ac T )(mod m bcD b a ≠5、如果( ),则不定方程c by ax =+有解.A c b a ),(B ),(b a cC c aD a b a ),(6、整数5874192能被( )整除.B 3与9C 9D 3或9二、填空题(每题3分，共18分)1、素数写成两个平方数和的方法是（）.2、同余式)(mod 0m b ax ≡+有解的充分必要条件是( ).3、如果b a ,是两个正整数,则不大于a 而为b 的倍数的正整数的个数为( ).4、如果p 是素数,a 是任意一个整数,则a 被p 整除或者( ).5、b a ,的公倍数是它们最小公倍数的( ).6、如果b a ,是两个正整数,则存在( )整数r q ,,使r bq a +=,b r ≤0.三、计算题(每题8分，共32分)1、求[136,221,391]=?2、求解不定方程144219=+y x .3、解同余式)45(mod 01512≡+x .4、求563429,其中563是素数. （8分）四、证明题(第1小题10分，第2小题11分，第3小题11分，共32分)1、证明对于任意整数n ,数62332n n n ++是整数. 2、证明相邻两个整数的立方之差不能被5整除.3、证明形如14-n 的整数不能写成两个平方数的和.试卷1答案一、单项选择题(每题3分，共18分)1、D.2、A4、A5、A6、B二、填空题(每题3分，共18分)1、素数写成两个平方数和的方法是（唯一的）.2、同余式)(mod 0m b ax ≡+有解的充分必要条件是(b m a ),().3、如果b a ,是两个正整数,则不大于a 而为b 的倍数的正整数的个数为( ][b a ).4、如果p 是素数,a 是任意一个整数,则a 被p 整除或者( 与p 互素 ).5、b a ,的公倍数是它们最小公倍数的( 倍数 ).6、如果b a ,是两个正整数,则存在( 唯一 )整数r q ,,使r bq a +=,b r ≤0.三、计算题(每题8分，共32分)1、求[136,221,391]=?（8分）解 [136,221,391]=[[136,221],391] =[391,17221136?]=[1768,391] ------------(4分) = 173911768?=104?391=40664. ------------（4分）2、求解不定方程144219=+y x .（8分）解：因为（9，21）=3，1443，所以有解； ----------------------------（2分）化简得4873=+y x ； -------------------（1分）考虑173=+y x ，有1,2=-=y x ， -------------------（2分）所以原方程的特解为48,96=-=y x ， -------------------（1分）因此，所求的解是Z t t y t x ∈-=+-=,348,796。
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⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯精品自学考 料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯全国 2018 年 7 月高等教育自学考试数论初步试题课程代码： 00418一、单项选择题（本大题共30 小题，每小题 1 分，共 30 分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1．m, n 是整数，下列式子可能成立的是（ ）A ． 2m=2n+1B ． 4n=4m+1C ． 3m=5n+1D ． 6m=4n+12．下列说法正确的是（ ）A ． -2 除以 -3 余数为 1B ． -5 除以 2，余数为 -1C ． -10 除以 -3，余数为 -7D ． 19 除以 2，余数为 33．任意 12 个连续整数中能被 4 除余数为 2 的数有（）个。
A ． 2B ． 3C ． 4D ． 54．设 m 为整数，则必有（ ）A ． 6|m(m+1)(m+2)B ． 5|m(m+1)(m+2)C ． 4|m(m+1)(m+2)D ． 7|m(m+1)(m+2)(m+3)5．若 m 为偶数， n 为整数，下列说法正确的是（ ）A ．mn是整数B ． m(n1)是偶数22334n是整数C ．nm n 是整数D ．m226．下列数中是合数的是（ ）A ． 17B ． 23C ． 20D ． 19 7．不超过 36 的与 12 互质的自然数有（ ）个。
A ． 11B ． 12C ． 13D ． 148．已知整数 c>0，则（ a ,b） =1 是 c=（ a, b ）的（）c c1A ．充分条件B ．必要条件C ．充分必要条件D ．关系不确定，取决于 c 的奇偶数 9．自 1 到 82 的整数中， 7 的倍数有（ ）个 A ． 12 B ． 13 C ． 10D ． 1110． x, y 为任意实数，则下列式子一定正确的是（ ）A ． [x+y] ≤ [x]+[y]B ． {x+y}<{x}+{y}C ． {x+y} ≤ {x}+{y}D ． [-x]=-[x]-111． 30!的标准分解式中，最高幂指数是 1 的质因数有（）个。
数论试题及解析
数论试题及解析数论是研究整数及其性质的一个分支学科，其重要性不言而喻。
本文将为读者提供一些数论试题，并给出详细解析，以帮助读者更好地理解和掌握数论的基本概念和方法。
一、选择题1. 下列四个数中最大的是：A. 357B. 578C. 695D. 834解析：观察这四个数的个位数，可以发现选项中的个位数依次是7、8、5、4。
因此最大的数应该是选项中个位数最大的数，即选项D。
因此答案为D。
2. 若 p 是一个质数，且 p>2，则有：A. p 是奇数B. p 是偶数C. p 不是奇数也不是偶数D. 无法确定解析：质数只能被1和自身整除。
对于大于2的质数来说，它既不能被2整除也不能被2的倍数整除，所以它一定是奇数。
因此答案为A。
二、填空题1. 设 n 是一个正整数，且满足n ≡ 1 (mod 3)，则 n² - 1 是 3 的 ___倍。
解析：根据同余的定义，n ≡ 1 (mod 3) 表示 n 除以 3 所得的余数是1。
将 n 的值代入，则有 n = 3k + 1，其中 k 是一个整数。
将 n = 3k + 1代入 n² - 1，得到 n² - 1 = (3k + 1)² - 1 = 9k² + 6k + 1 - 1 = 9k² + 6k。
因此，n² - 1 是 3 的 2 倍。
2. 已知 a 是一个奇数，b 是一个偶数，则 a + b 是一个 ___。
解析：奇数加偶数一定是奇数。
因此，a + b 是一个奇数。
三、应用题1. 小明拿一支笔来算数，他发现这支笔的长度恰好可以整除 7 个相同长度的小段。
如果这支笔长度为 x，试求小段的长度和 x 的比值。
解析：设小段的长度为 y，则根据题意，有 x = 7y。
要求小段的长度和 x 的比值，即要求 y/x。
将 x 的值代入，得到 y/x = y/(7y) = 1/7。
因此，小段的长度和 x 的比值为 1/7。
7月全国自考数论初步试题及答案解析
1全国2018年7月高等教育自学考试数论初步试题课程代码：00418一、单项选择题(在每小题的四个备选答案中，选出一个正确答案，并将正确答案的序号填在题干的括号内。
每小题2分，共20分)1. 下列是梅森数的是( )。
A. 15B. 31C. 63D. 182. 5×3×a ×9×b 是奇数，则a 、b 的奇偶性为( )。
A. a 奇b 偶B. a 奇b 奇C. a 偶b 偶D. a 偶b 奇3. 设a 为合数,则下列正确的是( )。
A. d(a)=1B. d(a)=2C. d(a)=3D. d(a)≥34. 下列是勾股数的是( )。
A. 4，5，6B. 10，11，12C. 33，56，63D. 8，15，175. 下列数中能被7整除的是( )。
A. 88888B. 888888C. 888D. 88886. 12.⋅1 +13.⋅1+14.⋅1+…+20.⋅1的结果是( )。
A. 100.9B. 144.9C. 145D. 2457. 下列几个分数中能化为纯循环小数的是( )。
A.127B. 143C. 115D. 658. 若m|a -b,m 为正整数，则下列不正确的是( )。
A. a ≡b(mod m)B. a=b+mt ，t 为整数C. b=a+mt ，t 为整数D. a=b+m9. 设M ：(a,b)=d,N ：存在整数s,t 使得as+bt=d ，则下列成立的是()。
2A. M 是N 的充分且必要条件B. M 是N 充分条件C. N 是M 的充分条件D. M 既不是N 的充分条件，也不是N 的必要条件10. 1000的标准分解式为( )。
A. 5×2×52×22B. 23·53C. 2×2×53×2D. 2×2×2×53二、填空题(每空2分，共20分)1. 15!的标准分解式是______。
7月全国数论初步自考试题及答案解析
1全国2018年7月高等教育自学考试数论初步试题课程代码：00418一、单项选择题(在每小题的四个备选答案中，选出一个正确答案，并将正确答案的序号填在题干的括号内。
每小题2分，共20分)1. 如果n 是一个自然数，那么n(n+1)是（ ）。
A. 奇数B. 偶数C. 奇数或偶数D. 由n 奇偶性而定 2. 19983除以9后的余数是（ ）。
A. 1B. 2C. 3D. 0 3. 下列哪一对数是互为亲和数？（ ） A. 220，284B. 5，7C. 16，18D. 3，6 4. 模10的绝对值最小的完全剩余系是（ ）。
A. 0，1，2，3，…8，9B. 1，2，3，…9，10C. -5，-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4D. 11，12，13，…19，205. 1500的标准分解式是（ ）。
A. 2×2×5×5×5×3B. 3×53×22C. 22×3×53D. 2×2×3×5×5×5 6. 85340 .是（ ）。
A. 纯循环小数B. 混循环小数C. 有限小数D. 无理数 7. 有一批同样砖块，宽30cm ，长45cm ，至少需要这样的砖多少块，才能铺成一个正方形地面？（ ）A. 4B. 6C. 9D. 24 8. 边长为自然数，面积为30的长方形有多少个？（ ） A. 2B. 3C. 4D. 无数 9. 一堆排球，3个3个数余2个，4个4个数余3个，问这堆排球至少有多少个?（ ） A. 23B. 35C. 24D. 11 10. 下列不定方程中是三元二次不定方程的有（ ）。
A. xyz=9B. 5x+6y+7z=5C. xy+5z=8D. 2x+3y=62 二、填空题(每空2分，共20分)1. d(6300)=____________,σ(6300)=____________, (6300)=____________。
《初等数论》各章习题参考解答
《初等数论》各章习题参考解答第一章习题参考解答1.解:因为25的最小倍数是100,9的最小倍数是，所以满足条件的最小正整数11111111100a =。
2.解：3在100!的分解式中的指数()1001001001003100!33113148392781⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+++=+++=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 在100!的分解式中的指数()1001001001001002100!50251261942481664⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=++++=++++=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，∴ ()9448474847100!2343123,,61k k k k =⋅⋅=⋅⋅=⋅=。
故 max 47n =，min 3M k =，(),61k =。
故 当M 最小值是3的倍数，但不是2的倍数。
3.解：112121n n n n x x ++++++等价于()()21221n n n x x x ++-+-，从而3x ³（n 就不会太大，存在反向关系）。
由()()22121n nn x x x -+-?+，得()()2212n n n x x -+?，即()()()121122nn x x -+?。
若2n ³，则()()()()251221114242nn x xx x-?+??，导致25140x x -+?，无解。
所以，只有1n =，335314x x x +-?，只能是37,14x +=，从而4,11x =。
综上所述，所求正整数对()()(),4,111,1x n =、。
4.解：按题意，2m n >>，记*,m n k k N =+?；则()222211111n n k nk n k k a a a a a a a a a a a a +++-+-?-+--++-22211111n k k n k k a a a a a a a a a ++?---+?-+-，故 存在无穷多个正整数a 满足2111n k k a a a a ++-+-。
自考数论初步试题及答案
自考数论初步试题及答案一、选择题（每题4分，共20分）1. 以下哪个数是素数？A. 2B. 4C. 6D. 8答案：A2. 一个数n是合数，那么它的因数个数至少是：A. 1B. 2C. 3D. 4答案：C3. 欧拉函数φ(n)表示小于等于n的正整数中与n互质的数的个数，那么φ(10)的值是：A. 4B. 8C. 6D. 10答案：C4. 模n的同余方程ax ≡ b (mod n)有解的充分必要条件是：A. a和n互质B. b能被a整除C. a和n的最大公约数能整除bD. a和n的最大公约数不能整除b答案：C5. 以下哪个算法是用于计算最大公约数的？A. 欧几里得算法B. 牛顿迭代法C. 欧拉算法D. 斐波那契算法答案：A二、填空题（每题5分，共20分）1. 如果p和q都是素数，那么p*q是____。
答案：合数2. 一个数n的最小素数因子是3，那么n至少是____。
答案：33. 如果a和b互质，那么a*b的欧拉函数φ(a*b)等于____。
答案：φ(a) * φ(b)4. 模n的乘法逆元是指一个数x，使得ax ≡ 1 (mod n)，如果a和n 互质，那么a在模n下的乘法逆元是____。
答案：存在且唯一三、解答题（每题15分，共40分）1. 证明：如果p是一个大于3的素数，那么p一定能被6整除或者p-1能被6整除。
答案：证明：设p为大于3的素数，p除以6的余数只能是1、2、3、4、5中的一个。
因为p是素数，所以p不能被2整除，因此p除以6的余数不能是2或4。
如果p除以6的余数是3或5，那么p-1除以6的余数就是3或5的补数，即3或5，因此p-1能被6整除。
如果p除以6的余数是1，那么p-1除以6的余数是5，因此p-1也能被6整除。
综上，p一定能被6整除或者p-1能被6整除。
2. 已知a=2，b=3，n=7，求模7的同余方程2x ≡ 3 (mod 7)的解。
答案：首先，我们需要找到2在模7下的乘法逆元，即找到一个数y，使得2y ≡ 1 (mod 7)。
初等数论考试题及答案
初等数论考试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 以下哪个数是质数？A. 23B. 45C. 68D. 89答案：A2. 两个连续的自然数的乘积一定是：A. 偶数B. 奇数C. 质数D. 合数答案：A3. 求下列哪个数的因数个数最多？A. 12B. 18C. 24D. 30答案：C4. 一个数如果被6整除，那么它一定能被：A. 2整除B. 3整除C. 2和3同时整除D. 以上都不是答案：C5. 以下哪个数是完全数？A. 6B. 28C. 496D. 8128答案：A6. 一个数的最小素因子是2，那么这个数一定是：A. 偶数B. 奇数C. 质数D. 合数答案：A7. 求下列哪个数的各位数字之和最大？A. 123B. 456C. 789D. 135答案：C8. 一个数的各位数字之和是9，那么这个数除以9的余数是：A. 0B. 1C. 2D. 3答案：A9. 一个数的各位数字之和是3的倍数，那么这个数一定是：A. 3的倍数B. 9的倍数C. 27的倍数D. 不一定是3的倍数答案：A10. 一个数的各位数字之和是5的倍数，那么这个数一定是：A. 5的倍数B. 25的倍数C. 125的倍数D. 不一定是5的倍数答案：D二、填空题（每题4分，共20分）1. 一个数如果只有1和它本身两个因数，那么这个数叫做__质数__。
2. 如果两个数的最大公约数是1，那么这两个数叫做__互质数__。
3. 一个数如果除了1和它本身外，还有其他因数，那么这个数叫做__合数__。
4. 一个数如果能够被2整除，那么这个数叫做__偶数__。
5. 一个数如果能够被3整除，那么这个数的各位数字之和也一定能被3整除。
三、解答题（每题10分，共50分）1. 证明：如果一个数n能被4整除，那么2n也能被4整除。
证明：设n能被4整除，则存在整数k使得n=4k。
则2n=2×4k=8k，显然8k能被4整除，因此2n也能被4整除。
2. 证明：如果一个数n能被9整除，那么它的各位数字之和也能被9整除。
自考初等数论试题及答案
自考初等数论试题及答案一、选择题（每题2分，共10分）1. 以下哪个数是素数？A. 4B. 9C. 11D. 15答案：C2. 一个数的最小素因子是3，那么这个数的最小公倍数是：A. 3B. 6C. 9D. 12答案：C3. 计算 \((2^3) \div 2^2\) 的结果是：A. 2B. 4C. 8D. 16答案：A4. 一个数的质因数分解是 \(2^2 \times 3^3\)，那么这个数的约数个数是：A. 5B. 6C. 7D. 8答案：D5. 如果 \(p\) 是一个素数，那么 \(p^2 - 1\) 可以分解为：A. \((p-1)(p+1)\)B. \(p(p-1)\)C. \((p+1)(p-1)\)D. \(p^2 - 1\)答案：C二、填空题（每题3分，共15分）1. 如果一个数 \(n\) 能被3整除，那么 \(n\) 的各位数字之和也能被____整除。
答案：32. 一个数 \(a\) 与 \(b\) 的最大公约数（GCD）是 \(d\)，那么\(a \times b\) 的最大公约数是______。
答案：d3. 一个数 \(n\) 能被9整除，那么 \(n\) 的各位数字之和也能被______整除。
答案：94. 一个数 \(n\) 能被11整除，那么 \(n\) 的奇数位数字之和与偶数位数字之和的差是______的倍数。
答案：115. 一个数 \(n\) 能被7整除，那么 \(2n + 4\) 能被______整除。
答案：7三、解答题（每题10分，共20分）1. 求 \(2^{16} - 1\) 的所有素因子。
答案：\(2^{16} - 1 = (2^8 + 1)(2^8 - 1) = (2^4 + 1)(2^4 -1)(2^8 + 1) = (2^2 + 1)(2^2 - 1)(2^4 + 1)(2^4 - 1)(2^8 + 1) = 3 \times 15 \times 17 \times 15 \times 255\)，所以素因子为3, 5, 17, 255。