常数项级数
常数项级数的概念和
n(n 2
1)
.
ln im snln im n(n21), ∴所给级数是发散的. 3
定 义 如 果 级un数 的 部 分{和 sn}有 数极 列 s， 限
n1
则 称 级 un数 收 敛 ， 并 un且 s.
n1
n1
例2 判定级数1 的收敛 . 性
课堂练习 判别级数1 的敛散. 性
P255.4(3)
n2 n 3
解ln im un
1 lim
3 nn
级数
1 发散.
lim
n
1
1
3n
1 1 0. 1
|q|1,
该级数收敛,
并且
4
n
n0 5
1
1
4
5.
5
9
二、收敛级数的基本性质
性质1 设常k数 0,则kun与un有相同的敛
n1
n1
证 设u n的部sn 分 u 1 和 u 2 为 u n;
n 1
则knu 的 部n 分 k1 u 和 k2u 为 knu ksn . n 1
( u 1 u 2 u n ) ( v 1 v 2 v n ) snn,
ln i m nln i (m snn)s,
(un vn)收敛，且其和s为 ．
n1
11
性质2 如果级 数 un、 vn分别收敛s、 于 , 和
例3 讨 论 等a比 nq aa 级 qa数 2q anq
n0
常数项级数的应用
常数项级数的应用在数学中，常数项级数是一种由常数项组成的数学级数。
常数项级数在各个领域的应用非常广泛，从物理学到工程学，从经济学到计算机科学。
本文将介绍常数项级数的定义和性质，并探讨其在实际应用中的一些例子。
1. 常数项级数的定义常数项级数是指一个无穷序列的和，其中每一项都是常数。
具体地，常数项级数的一般形式为：$$ S = a_0 + a_1 + a_2 + a_3 + \\ldots $$其中，a i表示第i项的常数。
2. 常数项级数的性质常数项级数有许多重要的性质，下面列举其中几个常见的性质。
2.1 收敛与发散常数项级数可能收敛或发散。
当常数项级数的部分和有一个有限的极限值时，我们称该级数收敛。
如果常数项级数的部分和趋向于无穷大，我们称该级数发散。
2.2 收敛级数的性质如果一个常数项级数收敛，那么它有以下性质：•唯一性：常数项级数的和是唯一确定的。
•加法性：如果两个常数项级数收敛，那么它们的和也收敛，并且和的值等于两个级数的和之和。
•数乘性：如果一个常数项级数收敛，那么把每一项乘以同一个常数，所得到的级数也收敛，并且和的值等于原级数的和乘以该常数。
2.3 绝对收敛与条件收敛如果一个常数项级数的每一项的绝对值都收敛，那么我们称该级数是绝对收敛的。
如果一个常数项级数是收敛的但不是绝对收敛的，那么我们称该级数是条件收敛的。
2.4 收敛级数的收敛方法常数项级数有多种判定方法来确定其是否收敛。
其中一些重要的方法包括比值判别法、根值判别法和积分判别法。
3. 常数项级数的应用常数项级数在实际应用中发挥着重要作用。
下面我们将介绍一些常见的应用。
3.1 数值逼近常数项级数可以用来进行数值逼近。
通过适当选择常数项的值，我们可以使用有限个项的和来近似表达无穷级数。
这在计算机科学、物理学和工程学中非常常见。
3.2 统计学常数项级数在统计学中有广泛的应用。
例如，在统计模型中，我们经常需要计算概率分布的累积分布函数（CDF）。
11.1 常数项级数
称为交错级数 . 定理5 ( Leibnitz 判别法 )
1)
2)
若 ( 1)
n1
n1
un
满足条件:
un un1 ( n 1 , 2 , ) ;
n
lim un 0 ,
但
1 n1
1 n2
1 nn
1 2
lim ( S 2 n S n ) 0 ,
n
所以， 级数
1 n
是发散的
n 1
例3. 判别下列级数的敛散性:
解: (1)
Sn ln 2 1 ln 3 2
ln 4 3 ln n1 n
(ln 2 ln 1) (ln 3 ln 2) ln( n 1) ln n
ln( n 1)
( n ）
所以级数 (1) 发散 ;
(2) Sn
1 1 2
1 2 3
1 34
1 n ( n 1)
1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 3 3 4 n n 1
1 (1 1 n
n
lim
( n 1) n! n
n
n !
n
n lim n n 1
n
lim
n
)
n
1 e
1
n1
n! n
n
收敛.
( 2 ) lim
n
u n 1 un
lim
n 1 10
n
常数项级数的概念与性质
性质1
如果级数
un
n1
收敛于和S，则它的各项同乘以一
个常数k所得的级数 kun 也收敛，且其和为kS。
n1
性质2 如果级数 un、 vn 收敛于和S1, S2 ，则级数 n1 n1
un vn 也收敛，且其和为S1 ± S2 。
n1
性质3 若级数 un收敛，则对该级数的项任意加（或去）
4
3 5
0
所以，由级数收敛的必要条件知，该级数发散。
高等数学
性质4 在一个级数中任意去掉、增加或改变有限项后，级 数的收敛性不会改变，但对于无穷级数收敛级数，其和将受 到影响。
性质5
如果
lim
n
un
0
（包括极限不存在），则级数
un
n1
必发散。
例4 判定级数
3n 的敛散性。
n1 5n 4
解 级数的一般项
un
3n 5n
4
因为
lim
n
un
lim
n
3n 5n
3 103
，
可以得到如下的表达式
33 3
3
0.33 3 10 102 103 10n
显然，如果n →∞，那么我们就得到
0.3
1 3
3 10
13 3 3
3
3 10 102 103 10n
二、常数项级数的概念
定义1 如果给定一个数列u1, u2, u3, …, un, …，则由这数列 构成的表达式
定义2 如果级数 un 的部分和数列{Sn} 的极限存在，即 n 1
lim
n
Sn
S
则称级数un 收敛，S为级数的和，记为 n 1
常数项级数的概念和性质
3
幂级数求和法的优点是适用于特定的幂级数，可 以快速得到级数的和。然而，对于非幂级数，这 种方法不适用。
04 常数项级数的应用
在数学分析中的应用
数学分析中的极限理论
常数项级数在数学分析中用于研究函数的极限行为，例如通过级数的收敛性来研究函数的连续性和可 积性。
函数逼近
常数项级数可以用来逼近复杂的函数，通过将复杂的函数展开成级数的形式，可以更方便地研究函数 的性质和进行近似计算。
常数级数的概念和性质
contents
目录
• 常数项级数的定义 • 常数项级数的性质 • 常数项级数的求和 • 常数项级数的应用 • 常数项级数的扩展
01 常数项级数的定义
有限级数和无穷级数
有限级数
级数的项数是有限的，可以表示为几 个常数相加的形式。
无穷级数
级数的项数是无限的，可以表示为无 穷多个常数相加的形式。
在物理中的应用
热力学中的熵
在热力学中，常数项级数用于计算熵，熵是系统无序度的量度，对于理解系统的热力学 行为具有重要意义。
波动方程的解
在物理中，常数项级数用于求解波动方程，例如在声学和电磁学中，通过级数的形式来 表示波的传播。
在工程中的应用
电路分析
在电路分析中，常数项级数用于表示和 计算电路中的电流、电压和功率等参数 ，有助于理解和优化电路的性能。
应用
复数项级数在数学、物理和工程 等领域有广泛的应用，如傅里叶 分析、量子力学和电路分析等。
函数项级数
定义
函数项级数是各项为函数的级数，可以表示为 $sum_{n=0}^{infty} f_n(x)$，其中$f_n(x)$是函数。
性质
函数项级数的收敛性取决于函数的性质和级数的收敛条件，如一致 收敛、逐点收敛等。
常数项级数的概念和..
n1
n1
如果 {sn } 没有极限， 则称级数 un 发散．
n1
例1 证明级数 1 2 3 n 是发散的.
证 这级数的部分和为
sn 1 2 3 n
n(n 1) . 2
lim
n
sn
lim
n
n(n 1) 2
,
∴所给级数是发散的.
3
定 义 如 果 级 数 un 的 部 分 和 数 列{sn } 有 极 限s，
3
7
a aq aq2
aqn
aqn
n0
| q | 1时, 收敛,
|
q
|
1
时,
发散.
并且 aqn
a
( q 1). (P250例 1)
n0
1q
课堂练习
判定级数
5 3
52 32
53 33
(1)n
5n 3n
的敛散性.
解 为等比级数，公 比q 5 . 3
| q | 1, 该级数发散.
n0
(a 0, q为 公 比) 的 收 敛 性.
解
若q
q
1,
1时, sn
则 lim q n n
a aq aq2 aqn1
0，
lim
n
sn
a， 1q
1 qn
a
.
1q
级数收敛.
若 q 1,
则 lim q n n
，
lim
n
sn
，级数发散．
q 1时,
若q 1,
则
lim
n
sn
lim na
n
，级数发散，
若
q
1,
则lim n
常数项级数
n=1
ρ > 1 时, lim an ≠ 0,因而 an发散 ∑
n→∞ n=1
∞
根值判别法
设
∑a
n=1
∞
n 为正项级数
, 且 lim
n
n
n→ ∞
an = ρ
则 (1 ) ρ < 1 时 ,
∑a
n=1 ∞
∞
收敛 ,
( 2 ) ρ > 1 时 , ∑ a n 发散 . n=1 ρ 1 , 注 : 根值判别法对 = 1的情形没有下任何结论
, 比值判别法无效 且比值判别法不是充要 . 条件 2 : 由根值判别法的证明过 程可见： 程可见：
ρ > 1 时, lim an ≠ 0,因而 an发散 ∑
n→∞ n=1
∞
积分判别法
且单减， 设 (1) f在[1,+∞ )上连续 , f ≥ 0且单减， ( 2) an = f ( n) ( n = 1,2,K),
与条件收敛 常数项级数的绝对收敛
定义： 定义：
, , 若绝对值级数 an 收敛 则称级数 an绝对收敛 ∑ ∑
n=1 n=1
∞
∞
, , 若级数 an收敛 但绝对值级数 an 发散 则称级 ∑ ∑
n=1 n=1
∞
∞
. 数∑an条件收敛
n=1
∞
定理
, 若级数 an绝对收敛 则级数 an收敛. ∑ ∑
n=1 n=1
n
为正项级数 , 且
∞
an+1 lim = ρ n→ ∞ a n
则 (1) ρ < 1 时 , ∑ a n 收敛 .
n=1 ∞
( 2 ) ρ > 1 时 , ∑ a n 发散 .
常数项级数的概念和性质
则式子 u1 u2 u3 un
称为(常数项)无穷级数，简称(常数项)级数。
记作
u ， 即 u
n
Hale Waihona Puke nn 1n 1
u1 u2 un
其中 un 称为级数的一般项（或通项），
问题： un 存在不存在？ (即有没有和数)
n 1
2 . 部分和数列 一数列中有限项相加总是有和数的，
用 Sn 近似代替 S 产生的误差为 | rn | ,
且因为 n 时, Sn S， 所以 rn 0 .
例
题
例1. 讨论等比级数 (几何级数) 的敛散性：
aq n 1 a aq aq 2 ... aq n ...
(a 0, q为公比）
n 1
n 1
, un Sn Sn1 ,
n 1
un
{ Sn }
现通过研究 { Sn } 来研究级数。
3. 级数的收敛和发散
定义： 设级数
n
un ， 对应的部分和数列 Sn ，
n 1
若 lim S n S 存在， 则称
un 收敛 ,
n 1
(C)
convergence
n 1 n 1
则
(un vn ) s un vn .
n 1
收敛级数可逐项相加减。
推论： 若
则
un (C ) , vn ( D) , n 1
n 1
(un vn )
n 1
( D) .
推论： (C) + (D) => (D)
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常数项级数
所谓无穷级数即表示无穷项相加，他是一种研究函数以及数值计算的工具。
一、 常数项级数的概念和性质
① 引例y ǐn l ì
：求圆的周长，可以内接正多边形，当正多边形边数无穷
增加时的极限值近似可以得到圆的周长： 123n A a a a a =++⋅⋅⋅⋅⋅++⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
一般地 ，如果给定一个数列：
123,,,,n u u u u ,⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
则由这个数列所构成的和的表达式：
123,n u u u u +++⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅⋅
叫做（常数项）无穷级数，简称（常数）级数，记为：
1231,n n n u u u u u ∞==+++⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅⋅∑
其中第n 项称为级数的一般项。
n u
下面从有限项的和出发，观察它的变化趋势，来理解无穷多个数量相加的意义：
作（常数项）级数的前n 项的和，记作： 123n n S u u u u =+++⋅⋅⋅⋅⋅+
n S 称为级数的部分和，当n 依次取得1，2，3，……时，他们构成了一个新的数列：
11S u =，21S u u 2=+，312S u u u 3=++
123n n S u u u u =+++⋅⋅⋅⋅⋅+
② 常数项级数的和函数定义：如果级数
1231
,n n n u u u u u ∞
==+++⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅⋅∑的部分和数列 {}n S 有极限s ，即：lim n n S s →∞
= 称无穷级数收敛，这时极限s 叫做这个级数的和，并写成：
1n n u
∞=∑123n s u u u u =+++⋅⋅⋅⋅⋅++⋅⋅⋅⋅⋅ 如果极限不存在，则称无穷级数
1n n u ∞=∑发散。