三体问题初探

其中：
（ １）
Ｒ! １， Ｒ! ２ 的 方 向 余 弦 分 别 为
即
（ ２）
根据牛顿第二定律有Fra bibliotek（ ３）由 （ １ ） 、（ ２ ） 、（ ３ ） 式 可 得 小 天 体 的 运 动 微 分 方 程
（ ４）
其中： １９８１ 年 著 名 天 体 力 学 家 策 比 黑 利 （ Ｖ．Ｓｚｅｂｅｈｅｌｙ） 等 人 研 究 了 上 面
从 以 上 各 图 可 以 看 出 在 改 变 ０ ．０１ 个 很 小 的 单 位 时 ， 小 天 体 的 运 动 轨 迹 有 较 显 著 的 差 别 ， 也 就 是 说 ， 小 天 体 的 运 动 对 初 值 很 “敏 感 ”！ 即 使 改 变 很 小 ， 运 动 轨 迹 相 差 很 大 ， 而 且 很 难 准 确 预 料 其 运 动 。 这 与 牛 顿 的 决 定 论 是 不 同 的 ， 即 圆 型 限 制 型 三 体 问 题 中 存 在 “混 沌 ” 现象。
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三体问题初探
文 ／ 徐卫青 陈朋 连磊 陈亮 谢欣欣
【摘 要 】 三 体 问 题 （ ｔｈｒｅｅ－ ｂｏｄｙ ｐｒｏｂｌｅｍ ） 是 天 体 力 学 中 的 基 本 力 学 模 型 ， 分 为 一 般 三 体 问 题 、圆 型 限 制 性 三 体问题和椭圆型限制性三体问题． 本文就圆型限制性三体问题进行研究并绘出轨迹图， 分析运动的混沌现 象． 对圆型限制性三体问题的研究方法也适用于一般三体问题． 【关 键 词 】 圆 型 限 制 性 三 体 问 题 天 体 动 力 学 混 沌
ｔ ＝０ ： １ ： ２０
ｔ ＝０ ： ０．５ ： ２０
ｔ ＝０ ： ０．１ ： ２０
由 （ １ ） 、（ ２ ） 可 知 在 一 定 的 范 围 内 ， 积 分 步 长 越 短 ， 积 分 时 间 越
长， 所绘出的图象越精确！
（ ３ ） 向 Ｌ４ 上 取 的 １１ 个 初 值 相 差 很 小 的 线 元 （ ｙ 轴 坐 标 从 ０ ．８６６
４ 、结 束 语 进入二十一世纪的中国， 政府与企业共同面临挑战。因此， 政 府行政企业化本身并不值得推崇， 最重要的是改革精神和改革思
维 。 危 机 感 不 仅 仅 来 源 于 企 业 运 作 得 好 而 政 府 充 斥 着 腐 败 、无 能 与 低效， 而更多的是政府和企业共同面临着新时代的挑战。 参考文献 ［１ ］ 吴 志 华 ． 试 论 政 府 适 度 仿 企 业 化 ［Ｊ］． 华 东 师 范 大 学 学 报 （ 哲 学 社 会 科 学 版 ）， ２０００ ， （２）． ［２ ］ 胡 伟 ， 王 世 雄 ． 构 建 面 向 现 代 化 的 政 府 权 力 — —— 中 国 行 政 体 制 改 革 理 论 研 究 ［Ｊ］． 政 治 学 研 究 ， １９９９ ， （３）． ［３ ］ 竺 乾 威 ． 从 行 政 到 管 理 ［Ｊ］． 公 共 行 政 与 人 力 资 源 ， ２０００ ， （１）． ［４ ］ 任 晓 ． 中 国 行 政 改 革 ［Ｍ ］． 杭 州 ： 浙 江 人 民 出 版 社 ， １９９８． ［５ ］ 项 飞 ． 发 展 经 济 学 视 野 中 政 府 角 色 的 演 变 与 启 示 ［Ｊ］． 复 旦 学 报 （ 社 会 科 学 版 ）， ２００１－ ０２－ １１． ［６ ］ 施 雪 华 ． 政 府 权 能 理 论 ［Ｍ ］． 杭 州 ： 浙 江 人 民 出 版 社 ， １９９８． ［７ ］ 胡 伟 ． 政 府 过 程 ［Ｍ ］． 杭 州 ： 浙 江 人 民 出 版 社 ， １９９８．
（ ４） 临界点现象： 我在改变 值时发现了下面的有趣的现象： 当 在
三 、结 论 三体问题是复杂的， 其关键性工作是怎样求解微分方程组的问 题， 但目前还不能给出严格的解析解， 这有待于数学理论的进一步 发展．目前的情况下只能通过计算机的数值计算来模拟其运动规律． 在 计 算 过 程 中 发 现 三 体 问 题 运 动 的 “不 确 定 性 ”， 即 存 在 混 沌 现 象 ． 这 一现象激励着更多的物理学家和数学家投入研究． 参考文献 ［１ ］ 周 衍 柏 ． 理 论 力 学 教 程 ． 北 京 ： 高 等 教 育 出 版 社 ， １９８９． ［２ ］ 卢 圣 治 ． 理 论 力 学 基 本 教 程 ． 北 京 ： 北 京 师 范 大 学 出 版 社 ， ２００４． ［３ ］ 易 照 华 ． 天 体 力 学 基 础 ． 南 京 ： 南 京 大 学 出 版 社 ， １９９３ ， ３９ – ４４ ． ［４ ］ 漆 安 慎 ， 杜 婵 英 ． 力 学 ． 北 京 ： 高 等 教 育 出 版 社 ， １９９６， ２０４－ ２０７． ［５］ 黄 元 义． 平 面 园 型 限 制 性 三 体 问 题 的 运 动 方 程． 宜 宾 师 专 学 报 （ 自 然 科 学 版 ） ， ２ （ １９９５ ） ． ［６］ 万 云 芳． 平 面 圆 型 限 制 性 三 体 问 题． 聊 城 师 范 学 报 （ 自 然 科 学 版 ） ． ３ （ １９９７ ） ． ［７］李 立 康 ， 於 崇 华 ， 朱 政 华． 微 分 方 程 数 值 解 法． 上 海 ： 复 旦 大 学 出 版 社 ， １９９９． ［８ ］ 彭 芳 麟 ， 管 靖 ， 胡 静 ， 卢 圣 治 ． ＭＡＴＬＡＢ 编 程 应 用 ， 理 论 力 学 计 算 机 模 拟 ． 北 京 ： 清 华 大 学 出 版 社 ， ２００２． ［９ ］ 飞 思 科 技 产 品 研 发 中 心 ． ＭＡＴＬＡＢ ７ 基 础 与 提 高 ． 武 汉 ： 电 子 工 业 大 学 出 版 社 ， ２００５．
（作者单位系谢欣欣皖西学院数理系物理学）
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２．３ 小天体运动微分方程 建 立 坐 标 系 如 Ｆｉｇ．２ 所 示 ， 在
系 中 ｍ１， ｍ２， ｍ 的 坐 标 分 别 为
ｔ ＝０ ： ０．０１ ： ２０ ｔ ＝０ ： ０．０１ ： ２０００
ｔ ＝０ ： ０．０１ ： ２００ （下 转 ２４５ 页 ）
－ ２４３－
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术和工具。这种改革思路与改革实践的高度同质性和契合性决定了 “仿 企 业 化 ”方 略 在 西 方 发 达 国 家 行 政 改 革 中 相 对 较 高 的 地 位 。不 过 即 使 在 西 方 发 达 国 家 ， “企 业 型 政 府 ” 是 否 就 是 行 政 改 革 的 核 心 取 向 ， 还 有 争 论 。需 要 指 出 的 是 ， 不 同 于 “建 立 市 场 经 济 体 制 ”在 当 代 中 国 经 济 体 制 中 的 地 位 ， 也 不 同 于 “政 府 行 政 企 业 化 ”在 西 方 发 达 国 家 行 政 改 革 中 的 地 位 ， “政 府 行 政 企 业 化 ”思 路 在 当 代 中 国 不 可 能 成 为 行政改革的目标模式。 政府可以借鉴企业的理念和运作机制， 但我 国政府较之于西方发达国家政府， 必须更多地保持有其独特的行政 理 念 和 区 别 于 企 业 的 运 作 机 制 — —— 即 使 是 在 “政 府 行 政 企 业 化 ”思 路 的 尝 试 性 实 践 当 中 ； 在 我 国 ， 单 纯 地 推 进 “政 府 行 政 企 业 化 ”， 其 效 果也是有限的。
的 问 题 ， 发 现 了 小 天 体 运 动 的 不 “确 定 性 ”． 他 考 察 了 小 天 体 在 Ｆｉｇ．１ 中 的 Ｌ４ 附 近 随 时 间 变 化 的 行 为 ． 他 们 自 Ｌ４ 向 上 取 一 平 行 ｙ 轴 的 小 线 段 ， 长 为 ０ ．１ ， 并 把 它 等 分 成 １０ 个 小 线 元 ， 此 时 分 点 Ｓｉ （ ｉ ＝０ ， １ ， ２ ， … ， １０ ） 代 表 小 星 体 的 不 同 位 置 ， 取 初 速 度 为 零 ， 用 计 算 机 求 非 线 性 方程组（ ４） 的数值解．我在求（ ４） 式的数值解的过程中， 发现小天体 的运动轨迹与积分步长和积分时间以及初始位置三者有关系（ 以地 球 、月 球 和 一 航 天 器 为 研 究 系 统 ） 。 （ １） 当积分步长不变， 改变积分时间得到的小天体的运动图象：
个 单 位 每 改 变 ０ ．０１ 个 单 位 至 ０ ．９７６ 单 位 ） ， 为 了 显 示 差 异 ， 我 将 积 分
步 长 定 为 ０ ．０１ ， 积 分 时 间 定 为 ２０ ， 分 别 依 次 绘 出 图 象 ：
（ ５） 特别的情况：
此时小天体的运动轨迹只是一条简单的折线． 注意： 以上讨论都是在小天体的初速度为零的情况下展开的， 即
Ｒ! １， Ｒ! ２ 分 别 为 ｍ 相 对 于 两 大 天 体 的 位 置 矢 量；
ｒ" １， ｒ" ２， "ｒ 分 别 为 ｍ１， ｍ２， ｍ 相 对 于 质 心 惯 性 系 的位置矢量； 计算单位采用归一化单位制：
． 在 旋 转 坐 标 系 Ｃ － ＸＹＺ 中 的 坐 标 分 别 为 （Ｘ１，０ ，） （Ｘ２，０ ，０ ）（ｘ，ｙ，ｚ）两 坐 标 系 坐 标 变 换 关 系 为 ：
（作者单位系安徽大学管理学院）
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（上 接 ２４３ 页 ） （ ２） 当积分时间不变， 改变积分步长得到的小天体的运动图象：
０．３０１７７５９９９２９９９９９９５９ 附近时小天体的运动轨迹有很大的变化： 大于上值 时其轨迹像一个圆饼， 而小于此值时则为无规则的曲线！
一 、引 言 三体问题是研究三个可视为质点的天体在相互之间的万有引 力 作 用 下 的 运 动 规 律 问 题 ， 分 为 一 般 三 体 问 题 、圆 型 限 制 性 三 体 问 题和椭圆型限制性三体问题． 一般三体问题的运动方程为十八阶方 程 ， 必 须 得 到 １８ 个 积 分 才 能 得 到 完 全 解。然而， 目前还只能得到三体问题的 １０ 个 初 积 分 ， 还 远 不 能 解 决 三 体 问 题 。 研究三体问题的方法大致可分为三类： 第一类是分析方法， 第二类是定性方法， 第三类是数值方法。三体问题中有两个 特 例 ： 早 在 １７７２ 年 ， 拉 格 朗 日 已 发 现 三 体 问 题 中 存 在 两 个 定 型 解 （如 ）， 即 等 边 三角形定型解和直线形定型解． 本文只 讨论三体问题中最简单的一种情况： 圆型限制性三体问题， 即研究 一个很小的质量体在两个有限质量体 （ 围绕公共质心作圆周运动） 的万有引力作用下运动的规律问题．讨论这个问题是有实际意义的． 例如， 在航天活动中， 可以把航天器看作一个很小的质量体．航天器 在地球－ 月球引力作用下， 或者在太阳－ 地球引力作用下， 或者在太 阳－ 某大行星引力作用下的运动问题， 都可以近似地看成圆型限制 性三体问题． 二 、圆 型 限 制 性 三 体 问 题 （ ｃｉｒｃｕｌａ ｒ ｒｅ ｓ ｔｒｉｃｔｅ ｄ ｔｈｒｅ ｅ － ｂｏｄｙ ｐｒｏｂ－ ｌｅ ｍ ） 下面讨论圆型限制性三体问题的运动规律． ２．１ 坐标系的建立 相互作圆周运动．取质心旋转坐标系 ， 且旋转速度等于两天体 的圆周运动角速度．则 在此坐标系中处于静止， 如 所示． ２．２ 符号和单位的规定 ｍ１， ｍ２， ｍ 分 别 为 两 个 大 天 体 的 质 量 和 另 一 小天体的质量；