数学答题纸(理)(A面)
数学辅导答主答题纸标准模板(A4打印版)
数学辅导答主答题纸标准模板(A4打印版)为了提供一份规范的数学辅导答题纸标准模板，以下是一个简单的模板示例，可用于A4打印版。
答题纸格式1. 纸张尺寸：A42. 页面边距：上下左右各2.54厘米3. 字体：使用Arial或者Times New Roman字体4. 字体大小：正文部分使用12号字体，标题使用14号字体5. 行距：1.5倍行距答题纸布局答题纸应包含以下要素，并按照以下布局进行排版：1. 标题答题纸的标题应置于页面的顶部，并使用14号字体居中显示。
2. 头部信息头部信息包括学生姓名、学生学号、班级等信息，应置于标题下方，使用12号字体居左显示。
3. 答题区域答题区域应占据页面的大部分空间，用于学生作答。
建议在答题区域内设置题号和答案空间。
每题应包括一个唯一的题号，并在题号后面留出足够的空间供学生作答。
4. 底部信息底部信息包括辅导答主姓名、辅导答主编号等信息，应置于答题区域下方，使用12号字体居左显示。
使用示例下面是一个符合上述要求的数学辅导答题纸标准模板的使用示例：数学辅导答题纸学生姓名：张三学生学号：班级：数学班1. 题目1答案空间：_________2. 题目2答案空间：_________...辅导答主姓名：李四辅导答主编号：TUTOR001请注意，以上示例仅为一种可能的答题纸布局示例，具体格式和要求可以根据实际情况进行调整和修改。
结论本文档为数学辅导答主答题纸标准模板的简要说明，可作为制作数学辅导答题纸的参考。
在设计具体的答题纸时，建议根据实际需求进行个性化调整，并确保格式和排版符合要求，以提供一份清晰、规范的答题纸。
2014届天津市高三数学上学期期末五校联考 理
天津市2014届高三数学上学期期末五校联考 理一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1．已知集合{}3,2a M =，{},N a b =，若{}2MN =，则M N =A ．{}0,2,3 B ．{}1,2,3C ．{}0,1,2 D ．{}0,1,32．若复数i ia 213++（a R ∈，i 为虚数单位）是纯虚数,则实数a 的值为 A ．-6 B ．13 C ．32 D ．133． 已知2cos ,(,0),tan(2)232ππααπα⎛⎫+=∈--=⎪⎝⎭则。
A.5±B. 2C. 5-D．5 4.等差数列{}n a 各项都是负数，22383829a a a a ++=，则它的前10项和10S = A ．11- B ．13- C ．15- D ．9-5.若,x y R ∈，且102300x y x x y -≤⎧⎪--≤⎨⎪-≤⎩，则2z x y =+的最小值等于A ．2B ． 3C ．5D ．9 6. 已知3,23,(),a b a b a ==⊥+则a 在b 上的投影为A.3-B.3C.2-D.2 7.已知双曲线22221(a,b 0)x y a b -=>与抛物线24y x =共焦点，双曲线与抛物线的一公共点到抛物线准线的距离为2，双曲线的离心率为e ，则22e b -的值是1B. 2C.4-D.48.已知函数()f x 对x R ∀∈满足()(2)f x f x =--，且在[1,)+∞上递增，若)1()(x f x g +=，且2122(log a)3g(1)(log a)g g -≤，则实数a 的范围为A ．(0,2]B ．1(0,]2C ．1[,2]2 D ．[1，2]二、填空题（共6个小题，每题5分，共30分）9．=⎰π-dx x )2(sin 0210. 已知点)4,1(P 在圆042:22=+-++b y ax y x C 上，点P 关于直线 03=-+y x 的对称点也在圆C 上，则a =_______11. 函数)0)(42sin()(>ωπ+ω=x x f 的图象与x 轴的交点中，距离最近的两点相距2π，则=ω12．几何体的三视图如图所示， 当这个几何体的体积最大时，a -的值是13．给出下列三个结论，其中不正确结论的序号是①若命题p ：2,10x R x x ∃∈-+<，则01,:2>+-∈∀⌝x x R x p ；② “在ABC ∆中，若sin sin A B >，则A B >”的逆命题是真命题；③正项数列}{n a 中，14a =，n a S n n =-+1，则=n a 1231+⋅-n )(*∈N n14．函数|1|,1()1()1,12x a x f x x -=⎧⎪=⎨+≠⎪⎩,若关于x 的方程22()(23)()30f x a f x a -++=有五个不同的实数解，则a 的取值范围是_______．三、解答题（本大题共6小题，共80分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15.（本题满分13分）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边c b a ,,满足bc a c b =-+222（1）求角A 的大小；（2）设函数2cos 2cos 2sin 3)(2xx x x f +=，求)(B f 的最大值． 16．（本题满分13分）设命题1:()(1,)x m P f x x m -+=+∞-在区间上是减函数；命题:q 20,210a ax x ∃≥++<使得，且关于m 的不等式 255m m a +-≥恒成立，若为假命题为真命题，q ∧∨p q p ，试求实数m 的取值范围.17. （本题满分13分）在四棱锥P ABCD -中， 侧面PCD ⊥底面ABCD ，PD CD ⊥，E 为PC 中点， 底面ABCD 是直角梯形，//AB CD ，ADC ∠=90°,1AB AD PD ===，2CD =.（1）求证：BE //平面PAD ； （2）求证：BC ⊥平面PBD ；APBCED（3）已知在侧棱PC 上存在一点Q ，使得二面角Q BD P --为45°，求PQPC .18.（本题满分13分）设椭圆C ：)0(12222>>=+b a b y a x 的左、右焦点分别为12,F F ，上顶点为A ，过点A 与2AF 垂直的直线交x 轴负半轴于点Q ，且2221=+F F F ．若过A 、Q 、2F 三点的圆的半径是2. (1)求椭圆C 的方程；(2)过右焦点2F 作斜率为k 的直线l 与椭圆C交于M 、N 两点，在x 轴上存在点)0,(m P使得以PN PM ,为邻边的平行四边形是菱形， 求m 的取值范围．19.（本题满分14分）已知公比为q 的等比数列{n a }是递减数列，且满足1a +2a +3a =913，1a 2a 3a =271.（1）求数列{n a }的通项公式； （2）求数列{n a n ⋅-)12(}的前n 项和为n T ； （3）若*)(2331N n a n b n n n ∈+⋅=-，证明：13221111++++n n b b b b b b ≥354. 20.（本题满分14分）已知)1ln()(-=x a x f ，bx x x g +=2)(，)()1()(x g x f x F -+=，其中R b a ∈,.（1）若)(x f y =与)(x g y =的图像在交点（2，k ）处的切线互相垂直，求b a ,的值；（2）若2=x 是函数)(x F 的一个极值点，0x 和1是)(x F 的两个零点，且0x ∈（)1,+n n ，N n ∈，求n ；（3）当2-=a b 时，若1x ，2x 是)(x F 的两个极值点，当121>-x x 时，求证：()()2ln 4321->-x F x F .2013-2014学年度第一学期期末五校联考 高三数学理科答题纸二、填空题（每题 5分，共30分）9. 10. 11. 12. 13. 14.三、解答题（本大题共6小题，共80分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15.（本题满分13分）16. （本题满分13分）17. （本题满分13分）18. （本题满分13分）APBCED19. （本题满分14分）20. （本题满分14分）2013-2014学年度第一学期期末五校联考高三数学理科答案一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。
北京市十一学校2011届高三12月月考数学试卷(理科)
北京市十一学校2011届高三12月月考数学试卷（理5—16班）命题人：贺思轩 2010．12．2一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
请将答案直接填在答题纸对应题号后的空格内1、设全集U=R ，集合}02|{2<-=x x x A ，103x B x x ⎧-⎫=≥⎨⎬-⎩⎭，则集合A ðU B=（ ）A ．}10|{<<x xB ．}10|{≤<x xC ．}20|{<<x xD ．}1|{≤x x2、等差数列{}n a 中，n S 是前n 项的和，若205=S ，则=++432a a a （ ） A ． 9 B ． 12 C ． 15 D ． 183、在ABC ∆中，如果sin A C =，30B=，那么角A 等于 （ ） A ．30B ．45C ．60D ．1204、若向量a ，b 满足||||1a b ==，且a ·b +b ·b =23，则向量a ，b 的夹角为（ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°5、一组合体三视图如右，正视图中正方形 边长为2，俯视图为正三角形及内切圆， 则该组合体体积为（ ） A ．B ．43π CD ．43π6、已知直线a 、b 和平面α、β，下面命题中的假命题是（ ）A ．若//a β，//αβ，a α⊄，则//a αB ．若//a β，//b α，//αβ，则//a bC ．若a α⊥，//b β，//αβ，则a b ⊥D ．若a α⊥，b β⊥，αβ⊥，则a b ⊥ 7、若椭圆或双曲线上存在点P ，使得点P 到两个焦点的距离之比为2：1，则称此椭圆或双曲线存在“F 点”，下列曲线中存在“F 点”的是（ ） A ． 122=-y xB ．1242522=+y x C ．11522=-y x D ．1151622=+y x 8、给出如下四个命题：①四个非零实数a 、b 、c 、d 依次成等比数列的充要条件是ad bc =；②设a ，b R ∈，且0ab ≠，若1a b <，则1ba>；③若()2log f x x =，则()f x 是偶函数；④若直线y x a =+与曲线2194x x y ⋅-=有两个交点，则a =错误命题个数是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.请将答案直接填在答题纸对应题号后的横线上。
2022年春学期小学六年级数学期末检测试题(附答题纸)
姓名2022年春学期小学六年级数学期末检测试题：准考证号：说明：1．答题前，请将你的学校、班级、姓名和准考证号认真填写在答题纸上。
2．本试卷分为“选择题”“填空题”“计算题”“操作题”和“解决问题”五部分，共6页。
3．所有题目的解答过程或答案请直接写在答题纸相应的位置。
4．考试时间为80分钟，请合理安排答题时间。
5．考试结束后，请将试卷和答题纸一并交回。
一、选择题（共10题，每题2分，20分。
每题四个选项中，只有一项是正确的，将正确选项对应的字母填写在答题纸相应的位置）1．下面四个数中，（▲）中的“8”表示“8个百”。
A ．0.834B ．8.34C ．834D ．83402．如右图所示，桥梁限重标志牌上的字母正巧被空中的飞鸟遮挡住了，被遮挡的字母应该是（▲）。
A ．km B ．t C ．g D ．kg 3．下面图形中，（▲）的对称轴条数最多。
A ．B ．C ．D．4．杨老师用若干个1cm 3的正方体摆成了一个长方体，小红和小明分别从前面和右面观察这个长方体（如下图）。
这个长方体的体积是（▲）cm 3。
A ．12B ．18C ．24D ．365．李梅为了布置教室墙报，剪了四张大小不同的长方形剪纸。
下面图（▲）的长与宽的比与5∶4正好能组成比例。
A ．B ．C ．D ．18cm12cm10cm15cm6．小明把不同数量的水倒入同样的杯子里，分别测得杯中水的高度和体积（如下表）。
杯中水的体积和水的高度（▲）。
水的高度/cm 2468…水的体积/cm 350100150200…A ．成正比例B ．成反比例C ．不成比例D ．无法判断7．右图中，荷兰花海在盐城高铁站的（▲）处。
A ．南偏东60°方向24千米B ．南偏东30°方向36千米C ．南偏东60°方向2千米D ．北偏东30°方向2千米8．右图可以表示算式（▲）的思考过程。
A ．3＋43B ．3－43C ．3×43D ．3÷439．洋洋制作了一个长方体纸盒，在纸盒的上面进行涂色（如右图）。
高中数学考试答题卡(A4版可修改)
普通高等学校招生全国统一考试 数学试题答题卡
姓 名 ________________________
准考证号
考生禁填： 缺考考生由监考员填涂右边的缺考标记． 填 涂 样 例 注意事项 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码； 2．选择题必须用2B 铅笔填涂，解答题必须用0.5毫米黑色签字笔书写，字体工整，笔迹清楚； 3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。
正确填涂 错误填涂 √ × ○ ● 第Ⅰ卷 一、选择题（共60分） A B C D 1 A B C D 2 A B C D 3 A B C D 4 A B C D 5 A B C D 6 A C D B 7 A C D B 8 A C D B 9 A C D B 10 13、______ ___ __ ___ 14、_______ _______ 15、______ __ ______ 16、 第Ⅱ卷 二、填空题（共20分） 三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）（共70分） A C D B 11 A C D B 12 考 生 条 形 码 粘 贴 处 17.。
甘肃省华亭市实验小学2024年数学三年级第一学期期末综合测试模拟试题含解析
甘肃省华亭市实验小学2024年数学三年级第一学期期末综合测试模拟试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。
选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、 填空题。
（20 分）1．在有余数的除法算式□÷8＝102……□中，余数最大是（________），被除数最大是（________）。
2．249×4的积是（______）位数；6200乘5的积的末尾有（______）个0。
3．63是7的（________）倍，8的4倍是（________）。
895比615多（________），比327多126的数是（________）。
4．□53×4的积是四位数，□最小填________。
5．把一篮鸡蛋平均装在8个纸箱中，每个纸箱装32个，还剩14个，这蓝鸡蛋一共（________）个。
6．将一张边长12厘米的正方形纸片，对折再对折，展开后得到如下边图形．每一个小长方形的周长是_____厘米．7．小明和小红同看一本书，小明看了45，小红看了67，（________）剩下的多。
8．要使364⨯的积是四位数，□里最小填（______）；要使364÷的商是两位数，□里最大填（______）。
9．100米游泳比赛中，小明的成绩是66.1秒，小亮的成绩是67.0秒，（_____）游得快．10．小明有一个长20厘米、宽15厘米的长方形相框，现要在相框四周镶上花边，花边的长度至少为（______）厘米。
二、 选择题。
（把正确答案序号填在括号里。
每题 2 分， 共 10 分）11．哪三个数相加减最接近200？（ ）。
A ．220－160＋100B ．420－290－110C ．220＋256－15D ．500－310＋10012．下面几种说法中，正确的是（ ）。
10-5-6数学试题(理科)
2010-2011学年高三10月5-6日十月月考数学试题（理科）（5-16班）（第1页） 命题人 韩天民 一、选择题（每小题5分）1．已知集合}0,2|{)},2lg(|{2>==-==x y y B x x y x A x ，R 是实数集，则()R C B A = A ．[0,1] B ．(,0]-∞ C ．(0,1] D ．以上都不对 2．已知命题p ：1sin ,≤∈∀x R x ，则A.1sin ,:≥∈∃⌝x R x pB. 1sin ,:≥∈∀⌝x R x pC.1sin ,:>∈∃⌝x R x pD. 1sin ,:>∈∀⌝x R x p3．在平面直角坐标系xOy 中作矩形OABC ,已知3,4==AB OA ,则AC → ·OB →的值为 A ． 0 B 。
7 C 。
25 D 。
7- 4．已知数列{}n a 中，111111,3n n a a a +==+，则10a 等于 A ．15 B 。
14 C 。
16D 。
以上都不对5．已知()ln 2,f x a x =+ 且1()42009f = 则(2009)f 的值为 A ．0 B 。
4 C 。
－a D 。
不能确定6． sin1cos1tan1、、的大小关系是 A . sin1cos1tan1>> B . sin1tan1cos1>> C . tan1sin1cos1>> D . tan1cos1sin1>>7．已知函数)(x f y =的图象与函数xa y =（0>a 且1≠a ）的图象关于直线x y =对称，记()()[()(2)1]g x f x f x f =+-．若)(x g y =在区间]2,21[上是增函数，则实数a 的取值范围是A ．),2[+∞B ．)2,1()1,0(C ．]21,0(D ． )1,21[8．对于函数①()()12lg +-=x x f ，②()()22-=x x f ，③()()2cos +=x x f .判断如下三个命题的真假：命题甲：()2+x f 是偶函数；命题乙：()()2,∞-在区间x f 上是减函数，在区间()+∞,2上是增函数；命题丙：()()x f x f -+2在()+∞∞-,上是增函数.能使命题甲、乙、丙均为真的所有函数的序号是二、填空题（每小题5分）9．已知数列}{n a 是非零等差数列，又139,,a a a 组成一个等比数列的前三项，则1042931a a a a a a ++++的值是 ； 10．设11(2)3ln 2ax dx x+=+⎰，则实数a = ；11．求值：[2sin50sin10(1++ = ； 12．已知函数y =M ，最小值为m ，则mM= ； 13．已知函数)(x f 具有如下两个性质：（1）对任意的R x x ∈21,)(21x x ≠，都有0)()(2121>--x x x f x f ；（2）)1()1(x f x f --=+，写出函数)(x f 的一个具体表达式 ； 14．已知ABC ∆的周长为1，且s i n s i n 2s i nA B C +=.则ABC ∆边AB 的长为 ；若又已知ABC ∆的面积为1sin 6C ，则角C 的度数为 ．三、解答题15．（本题14分）已知函数211()sin 2sin cos cos sin()(0)222f x x x πϕϕϕϕπ=+-+＜＜， 其图象过点π1(,)62．（Ⅰ）求ϕ的值并指出函数()y f x =的周期、对称轴和单调递减区间； （Ⅱ）将函数()y f x =的图象上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到函数g()y x =的图象，求函数()g x 在 π[0,]4上的最大值和最小值．16．（12分）二次函数21()41(0,)f x x x a a R a=-+≠∈在[0，1]上有最大值M 和最小值m 。
江苏省盐城中学2015届高三第一次阶段考试数学(理)试题
江苏省盐城中学2015届高三第一次阶段考试数学（理）试题一、填空题：1. 设全集为R ，集合}41|{<<=x x A ，集合}03|{≤-=x x B ，则⋂A (∁B R )= ▲2. 命题“对∀R x ∈，都有02≥x ”的否定为 ▲3. 对于函数R x x f y ∈=),(,“)(x f y =是奇函数”是“|)(|x f y =的图象关于y 轴对称”的_____▲_____条件.（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”之一）4. 函数)12(log 1)(21+=x x f 的定义域为 ▲5. 已知向量)1,3(=，)1,0(-=，)3,(k =，若//)2(-，则实数=k ▲6. 过原点作曲线xe y =的切线，则此切线方程为 ▲ 7. 已知()()xx x f 21ln -+=的零点在区间()()N k k k ∈+1,上，则k 的值为 ▲ 8. 已知,为非零向量，且,夹角为3π，若向量||||b a +==|| ▲9. 函数]2,0[,sin 21π∈-=x x x y 的单调增区间为 ▲ 10. 设)(x f 是定义在R 上周期为4的奇函数，若在区间]2,0()0,2[⋃-，⎩⎨⎧≤<-<≤-+=20,102,)(x ax x b ax x f ，则=)2015(f ▲11. 已知定义在R 上的奇函数)(x f 和偶函数)(x g 满足2)()(+-=+-xx a a x g x f 0(>a ，且)1≠a ，若a g =)2(，则=)2(f ▲12. 在面积为2的ABC ∆中，F E ,分别是AC AB ,的中点，点P 在直线EF 上，则2BC PB PC +⋅的最小值是▲13.若函数)(x f 定义在R 上的奇函数，且在)0,(-∞上是增函数，又0)2(=f ，则不等式0)1(<+x xf 的解集为▲14. 已知函数)(|1|)(22R m x mx x x f ∈--+=，若)(x f 在区间)0,2(-上有且只有1个零点，则实数m 的取值范围是 ▲ 二、解答题：15. 已知函数)(x f 为定义在R 上的奇函数，且当0>x 时，x x x f 2)(2+-=. （1）求)(x f 的解析式；（2）若函数)(x f 在区间]2,1[--a 上单调递增，求实数a 的取值范围.16. 设集合{}21A x x =-<<-，|lg ,0,3x a B x y a a R a x -⎧⎫==≠∈⎨⎬-⎩⎭. （1）当a =1时，求集合B ；（2）当A B B =时，求a 的取值范围．17. 如图，在△OAB 中，已知P 为线段AB 上的一点，.OP x OA y OB =⋅+⋅ （1）若BP PA =，求x ，y 的值；（2）若3BP PA =，||4OA =，||2OB =，且OA 与OB 的夹角为60°时，求OP AB ⋅ 的值.18. 某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y （单位：千克）与销售价格x （单 位：元/千克）满足关系式210(6)3ay x x =+--，其中36x <<，a 为常数.已知销售价格为 5元/千克时，每日可售出该商品11千克. （1）求a 的值；（2）若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x 的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大.19. 中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆C 的焦距为2，两准线间的距离为10. 设(5,0),A 过点A 作直线l 交椭圆C 于,P Q 两点，过点P 作x 轴的垂线交椭圆C 于另一点.S （1）求椭圆C 的方程;（2）求证直线SQ 过x 轴上一定点;B（3）若过点A 作直线与椭圆C 只有一个公共点,D 求过,B D 两点，且以AD 为切线的圆的方程.20. 已知函数x x f ln )(=．（1）求函数1)()(+-=x x f x g 的极值；（2）求函数||)()(a x x f x h -+=（a 为实常数）的单调区间；（3）若不等式22)1()()1(-≥-x k x f x 对一切正实数x 恒成立，求实数k 的取值范围．2015届高三第一次月考（理）数学答题纸2014.10一、填空题(14×5＝70分)1、}43|{<<x x2、R x ∈∃，0<x3、充分不必要4、)0,21(-5、16、ex y =7、18、3 9、)35,3(ππ10、2111、415 12、32 13、)1,3()1,0(--⋃14、21≤m 或1=m二、解答题（共90分））∵BP PA =， ∴BO OP PO OA +=+，即2OP OB OA =+， ∴1122OP OA OB =+，即x （2）∵3BP PA =，∴33BO OP PO OA +=+，即43OP OB OA =+ ∴3144OP OA OB =+ ∴4x =，4y =31()()44OP AB OA OB OB OA ⋅=+⋅-131OB OB OA OA OA OB =⋅-⋅+⋅19、（16分）（1）设椭圆的标准方程为()222210.x y a b a b+=>>依题意得：222,1,,210,c c a a c=⎧=⎧⎪⎪⎨⎨==⎪⎩⎪⎩得2 4.b ∴= 所以，椭圆的标准方程为221.54x y += （2）设),(11y x P ，),(22y x Q ，AP=tAQ ，则⎩⎨⎧=-=-2121)5(5ty y x t x .结合⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+14514522222121y x y x ，得⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=t t x t x 233221. 设B (x ，0)，则t x x x x =--21，1121=++=t tx x x ，所以，直线SQ 过x 轴上一定点B (1，0).（3）设过点A 的直线方程为：(5),y k x =-代入椭圆方程22154x y += 得： 2222(45)50125200k x k x k +-+-=.依题意得：0,∆=即2222(50)4(45)(12520)0k k k -+-=得：55±k 且方程的根为 1.x=(1,5D ∴±. 当点D 位于x 轴上方时，过点D 与AD 垂直的直线与x 轴交于点E ,直线DE 的方程是：1(1),(,0)5y x E=-∴.所求的圆即为以线段DE 为直径的圆，方程为：22324()(;5525x y -+-=同理可得：当点D 位于x 轴下方时，圆的方程为：22324()(.525x y -+=20. 已知函数x x f ln )(=．（1）求函数1)()(+-=x x f x g 的极值；（2）求函数||)()(a x x f x h -+=（a 为实常数）的单调区间；（3）若不等式22)1()()1(-≥-x k x f x 对一切正实数x 恒成立，求实数k 的取值范围． 解：（1）g （x ）＝lnx －x ＋1，g′（x ）＝1x －1＝1－x x，当0＜x ＜1时，g′（x ）＞0；当x ＞1时，g′（x ）＜0，可得g （x ）在（0,1）上单调递增，在（1，＋∞）上单调递减， 故g （x ）有极大值为g （1）＝0，无极小值． （2）h （x ）＝lnx ＋|x －a|．当a ≤0时，h （x ）＝lnx ＋x －a ，h′（x ）＝1＋1x ＞0恒成立，此时h （x ）在（0，＋∞）上单调递增；当a ＞0时，h （x ）＝⎩⎨⎧lnx ＋x －a ，x ≥a ，lnx －x ＋a ，0＜x ＜a ．①当x ≥a 时，h （x ）＝lnx ＋x －a ，h′（x ）＝1＋1x＞0恒成立，此时h （x ）在（a ，＋∞）上单调递增；②当0＜x ＜a 时，h （x ）＝lnx －x ＋a ，h′（x ）＝1x －1＝1－x x．当0＜a ≤1时，h′（x ）＞0恒成立，此时h （x ）在（0，a ）上单调递增；当a ＞1时，当0＜x ＜1时h′（x ）＞0，当1≤x ＜a 时h′（x ）≤0， 所以h （x ）在（0，1）上单调递增，在（1，a ）上单调递减．综上，当a ≤1时，h （x ）的增区间为（0，＋∞），无减区间；当a ＞1时，h （x ）增区间为（0，1），（a ，＋∞）；减区间为（1，a ）．（3）不等式（x 2－1）f （x ）≥k （x －1）2对一切正实数x 恒成立，即（x 2－1）lnx ≥k （x －1）2对一切正实数x 恒成立． 当0＜x ＜1时，x 2－1＜0；lnx ＜0，则（x 2－1）lnx ＞0； 当x ≥1时，x 2－1≥0；lnx ≥0，则（x 2－1）lnx ≥0． 因此当x ＞0时，（x 2－1）lnx ≥0恒成立．又当k ≤0时，k （x －1）2≤0，故当k ≤0时，（x 2－1）lnx ≥k （x －1）2恒成立． 下面讨论k ＞0的情形．当x ＞0且x ≠1时，（x 2－1）lnx －k （x －1）2＝（x 2－1）[lnx －k(x －1)x ＋1]．设h （x ）＝lnx －k(x －1)x ＋1（ x ＞0且x ≠1），222)1(1)1(2)1(21)('++-+=+-=x x x k x x k x x h ． 记△＝4（1－k ）2－4＝4（k 2－2k ）．① 当△≤0，即0＜k ≤2时，h′（x ）≥0恒成立，故h （x ）在（0，1）及（1，＋∞）上单调递增．于是当0＜x ＜1时，h （x ）＜h （1）＝0，又x 2－1＜0，故（x 2－1） h （x ）＞0， 即（x 2－1）lnx ＞k （x －1）2．当x ＞1时，h （x ）＞h （1）＝0，又x 2－1＞0，故（x 2－1） h （x ）＞0， 即（x 2－1）lnx ＞k （x －1）2．又当x ＝1时，（x 2－1）lnx ＝k （x －1）2．因此当0＜k ≤2时，（x 2－1）lnx ≥k （x －1）2对一切正实数x 恒成立．② 当△＞0，即k ＞2时，设x 2＋2（1－k ）x ＋1＝0的两个不等实根分别为x 1，x 2（x 1＜x 2）． 函数φ（x ）＝x 2＋2（1－k ）x ＋1图像的对称轴为x ＝k －1＞1， 又φ（1）＝4－2k ＜0，于是x 1＜1＜k －1＜x 2．故当x ∈（1，k －1）时，φ（x ）＜0，即h′（x ）＜0， 从而h （x ）在（1，k －1）在单调递减；而当x ∈（1，k －1）时，h （x ）＜h （1）＝0，此时x 2－1＞0，于是（x 2－1） h （x ）＜0， 即（x 2－1）lnx ＜k （x －1）2，因此当k ＞2时，（x 2－1）lnx ≥k （x －1）2对一切正实数x 不恒成立． 综上，当（x 2－1）f （x ）≥k （x －1）2对一切正实数x 恒成立时，k ≤2， 即k 的取值范围是（－∞，2]．。