2019_2020学年高中数学课时分层作业8等比数列的前n项和含解析北师大版必修5

课时分层作业(八)(建议用时：60分钟)[基础达标练]一、选择题1．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且4a 1,2a 2，a 3成等差数列．若a 1＝1，则S 4等于( ) A ．7 B ．8 C ．15D ．16C [设{a n }的公比为q ， 因为4a 1,2a 2，a 3成等差数列，所以4a 2＝4a 1＋a 3，即4a 1q ＝4a 1＋a 1q 2， 即q 2－4q ＋4＝0，所以q ＝2.又a 1＝1，所以S 4＝1－241－2＝15，故选C ．]2．设{a n }是由正数组成的等比数列，S n 为其前n 项和．已知a 1a 5＝1，S 3＝7，则S 5等于( ) A ．152B ．314C ．334D ．172B [∵{a n }是由正数组成的等比数列，且a 1a 5＝1， ∴a 1·a 1q 4＝1，又a 1，q >0，∴a 1q 2＝1，即a 3＝1，S 3＝7＝1q 2＋1q＋1，∴6q 2－q －1＝0，解得q ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫q ＝－13舍去，∴a 1＝1q 2＝4，S 5＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1321－12＝314.]3．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝23a n ，n ∈N ＋，其前n 项和为S n ，则( )A ．S n ＝2a n －1B ．S n ＝3a n －2C ．S n ＝4－3a nD ．S n ＝3－2a nD [易知{a n }是以1为首项，以23为公比的等比数列，所以a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1，S n＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫23n1－23＝1－23a n1－23＝3－2a n .]4．已知等比数列{a n }的前3项和为1，前6项和为9，则它的公比q 等于( ) A ．12 B ．1 C ．2D ．4C [∵S 3＝1，S 6＝9，∴S 6－S 3＝8＝a 4＋a 5＋a 6＝q 3(S 3)＝q 3，∴q 3＝8，∴q ＝2.] 5．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n＋k (k 为常数)，那么下列结论正确的是( )A ．k 为任意实数时，{a n }是等比数列B ．k ＝－1时，{a n }是等比数列C ．k ＝0时，{a n }是等比数列D ．{a n }不可能是等比数列 B [a n ＝S n －S n －1＝3n －3n －1＝2×3n －1.∵a 1＝S 1＝3＋k ＝2×30＝2，∴k ＝－1. 即k ＝－1时，{a n }是等比数列．] 二、填空题6．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＋3S 2＝0，则公比q ＝________. －2 [S 3＋3S 2＝a 1＋a 2＋a 3＋3a 1＋3a 2＝4a 1＋4a 2＋a 3＝a 1(4＋4q ＋q 2)＝a 1(2＋q )2＝0，故q ＝－2.]7．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＋a 3＝52，a 2＋a 4＝54，则S na n ＝________.2n－1 [设等比数列{a n }的公比为q . 则q ＝a 2＋a 4a 1＋a 3＝5452＝12，所以S n a n ＝1－q n(1－q )q n －1＝1－12n12n ＝2n－1.] 8．在等比数列{a n }中，已知a 1＋a 2＋a 3＝1，a 4＋a 5＋a 6＝－2，则该数列的前15项和S 15＝________.11 [设数列{a n }的公比为q ，则由已知，得q 3＝－2. 又a 1＋a 2＋a 3＝a 11－q(1－q 3)＝1，所以a 11－q ＝13，所以S 15＝a 11－q (1－q 15)＝a 11－q [1－(q 3)5]＝13×[1－(－2)5]＝11.]三、解答题9．已知等差数列{a n }和等比数列{b n }满足a 1＝b 1＝1，a 2＋a 4＝10，b 2b 4＝a 5. (1)求{a n }的通项公式； (2)求和：b 1＋b 3＋b 5＋…＋b 2n －1.[解] (1)设等差数列{a n }的公差为d ，因为a 2＋a 4＝10，所以2a 1＋4d ＝10，解得d ＝2，所以a n ＝2n －1.(2)设等比数列{b n }的公比为q ，因为b 2b 4＝9，所以b 21q 4＝9，解得q 2＝3，所以b 2n －1＝b 1q2n－2＝3n －1.从而b 1＋b 3＋b 5＋…＋b 2n －1＝1＋3＋32＋…＋3n －1＝3n－12.10．记S n 为等比数列{a n }的前n 项和，已知S 2＝2，S 3＝－6. (1)求{a n }的通项公式；(2)求S n ，并判断S n ＋1，S n ，S n ＋2是否成等差数列． [解] (1)设{a n }的公比为q .由题设可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1(1＋q )＝2，a 1(1＋q ＋q 2)＝－6.解得q ＝－2，a 1＝－2.故{a n }的通项公式为a n ＝(－2)n.(2)由(1)可得S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝－23＋(－1)n 2n ＋13.由于S n ＋2＋S n ＋1＝－43＋(－1)n·2n ＋3－2n ＋23＝2[－23＋(－1)n 2n ＋13]＝2S n ，故S n ＋1，S n ，S n ＋2成等差数列．[能力提升练]1．已知等比数列{a n }的首项为8，S n 是其前n 项的和，某同学经计算得S 1＝8，S 2＝20，S 3＝36，S 4＝65，后来该同学发现其中一个数算错了，则该数为( )A ．S 1B ．S 2C ．S 3D ．S 4C [由题S 1正确．若S 4错误，则S 2、S 3正确，于是a 1＝8，a 2＝S 2－S 1＝12.a 3＝S 3－S 2＝16，与{a n }为等比数列矛盾，故S 4＝65.若S 3错误，则S 2正确，此时，a 1＝8，a 2＝12.∴q ＝32，∴S 4＝a 1(1－q 4)1－q ＝8⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫3241－32＝65，符合题意．]2．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若8a 2＋a 5＝0，则下列式子中数值不能确定的是( )A ．a n ＋1a n －1 B ．S 5S 3C ．S 5a 3D ．S n ＋1S nD [由8a 2＋a 5＝0，得8a 2＋a 2q 3＝0，∵a 2≠0，∴q 3＝－8，∴q ＝－2，∵a n ＋1a n －1＝q 2＝4，S 5S 3＝a 1(1－q 5)1－q a 1(1－q 3)1－q ＝1－q 51－q 3＝113，S 5a 3＝a 1(1－q 5)1－q a 1q 2＝1－q 5q 2(1－q )＝114，而D 中S n ＋1S n ＝1－q n ＋11－qn 与n 有关，故不确定．] 3．已知等比数列{a n }的前n 项和S n ＝t ·3n －2－13，则实数t 的值为________． 3 [由S n ＝t ·3n －2－13，得S n ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫t 3·3n －1，根据等比数列前n 项和公式的性质S n ＝A (q n －1)，可得t3＝1，解得t ＝3.]4．设f (x )是定义在R 上的恒不为零的函数，且对任意的实数x ，y ，都有f (x )·f (y )＝f (x ＋y )．若a 1＝12，a n ＝f (n )(n ∈N ＋)，则数列{a n }的前n 项和S n ＝________.1－12n [令x ＝n ，y ＝1，则f (n )·f (1)＝f (n ＋1)，又a n ＝f (n )，∴a n ＋1a n ＝f (n ＋1)f (n )＝f (1)＝a 1＝12，∴数列{a n }是以12为首项，12为公比的等比数列，∴S n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n 1－12＝1－12n .]5．数列{a n }是首项为1的等差数列，且公差不为零，而等比数列{b n }的前三项分别是a 1，a 2，a 6.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b 1＋b 2＋…＋b k ＝85，求正整数k 的值． [解] (1)设数列{a n }的公差为d ， 因为a 1，a 2，a 6成等比数列， 所以a 22＝a 1·a 6，所以(1＋d )2＝1×(1＋5d )，所以d 2＝3d ， 因为d ≠0， 所以d ＝3，所以a n ＝1＋(n －1)×3＝3n －2.(2)数列{b n }的首项为1，公比为q ＝a 2a 1＝4， 故b 1＋b 2＋…＋b k ＝1－4k1－4＝4k－13.令4k－13＝85，即4k＝256，解得k ＝4.故正整数k 的值为4.。